Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z1.pdf M E C H A N I K A TEOR ETYC Z N A I  STOSOWAN A 1,  18  (1980) ZASTOSOWANIE TRANSFORMACJI LAPLACE'A  W METODZIE UŚ REDNIANIA POPRAWEK FUNKCJONALNYCH Z BI G N I E W  N O W A K ,  KAZ I M I ER Z  R U P  (K R AK Ó W) 1. Wstę p W  pracy  [2]  przedstawion o  oryginalną   modyfikację   zastosowania  metody uś redniania poprawek  funkcjonalnych  do  przybliż onego  rozwią zywania  równania  róż niczkowego typu  paraboliczn ego  opisują cego  nieizotermiczny  przepł yw  cieczy  newtonowskiej.  U m o- ż liwia  ona  aplikację   wym ienionej,  analitycznej  m etody  przybliż onej  rozwią zania  równań róż niczkowych  bez  koniecznoś ci  wprowadzan ia  poję cia  „ gł ę bokoś ci  wnikania  ciepł a" (np.  przy  rozwią zywaniu  równ an ia  przewodnictwa  cieplnego).  Tę   konieczność  ominię to w pracy  [2] przez wykorzystan ie  d o  obliczania wartoś ci  począ tkowych  (stał ych cał kowania) warunku  polegają cego  n a  speł nieniu postulatu m in im um cał ki  z kwadratu  odchylenia. W  pierwszej  czę ś ci  niniejszej  pracy  przedstawiono  propozycję   zastosowania  metody uś redniania  poprawek  funkcjonalnych  w  obrazie  przekształ cenia  cał kowego  Laplace'a. Wykazano,  że  w  ten sposób  eliminuje  się  konieczność wyznaczania  wartoś ci  począ tkowych z  dodatkowych  postulatów.  P owracają c  n astę pn ie  do  dziedziny  oryginał u,  otrzymano poszukiwane  pole  tem peratury  w  ustalon ym ,  lam inarnym  przepł ywie  nieś ciś liwej  cieczy newtonowskiej  przez  prostoosiową   rurę   koł ową ,  w  pierwszym  i  drugim  przybliż eniu. P odan o  również  sposób  kon struowan ia  dowolnego,  / j- tego  przybliż enia. W  drugiej  czę ś ci  pracy  przedstawion o  odm ienny  wariant  zastosowania  metody  uś red- niania  poprawek  funkcjonalnych  do  tego  samego  zagadnienia  brzegowego,  w  którym wykorzystano,  do  wyznaczania  wartoś ci  począ tkowych,  postulat  minimum  cał ki  z  od- chylenia.  Wykazan o,  że  w  obu  przypadkach  otrzymuje  się   identyczne  postacie  funkcji przybliż onej  opisują cej  pole  tem peratury.  W  ten  sposób  udowodn ion o,  że  zastosowanie metody  uś redn ian ia  poprawek  funkcjonalnych  w  obrazie  przekształ cenia  cał kowego Laplace'a  determ inuje  autom atyczn ie  wybór  kryterium ,  z  którego  należy  wyznaczyć wartoś ci  począ tkowe  w  przypadku  nie  stosowania  transformacji  Laplace'a.  W  oparciu o  kon kretn y  przykł ad  liczbowy  wykazano,  że  zastosowana  w  pracy  modyfikacja  metody uś redn ian ia  poprawek  funkcjonalnych  daje  wysoki  stopień  aproksymacji  rozwią zania dokł adn ego ju ż  w  drugim  przybliż eniu. N astę pn ie  po ró wn an o  rozwią zanie  przybliż one  równania  róż niczkowego  omówionego w  pracy  [2]  w  przypadkach ,  gdy  do  wyznaczania  wartoś ci  począ tkowych  stosuje  się   dwa kryteria,  a  m ian owicie:  post u lat  m in im um  cał ki  z  odchylenia  oraz  warunek  minimum cał ki  z  kwadratu  odchylen ia.  Stwierdzono,  że  nieco  wyż szy  stopień  dokł adnoś ci  apro- ksymacji  otrzymuje  się   w  przypadku  zastosowan ia  postulatu  minimum  cał ki  z  kwadratu odchylenia. 72  Z.  N OWAK,  K.  R U P Oznaczenia a  =   współ czynnik  wyrównania  tem peratury, A  =   RVT Pe  param etr C  stał a d  ś rednica  rury N u  liczba  N usselta  (4.3), p  zmienna  zespolona, w •   R  a p e  a=   liczba  Pecleta, a 9i(X), q 2 (X),  • • • ,9,iW  współ czynniki  funkcyjne  (param etry  swobodne), q s   strumień  ciepł a  n a  ś ciance  rury, q*  bezwymiarowy  strumień  ciepł a  n a  ś ciance  rury, r  współ rzę dna  prom ieniowa, R  promień  rury, t  tem peratura, t s   tem peratura  ś cianki  rury, t 0   tem peratura  począ tkowa, T   =   —  bezwymiarowa  tem peratura, w(q)  prę dkość  lokaln a  cieczy, w  prę dkość  ś rednia, x  współ rzę dna  osiowa, 1  x X  —  —  —  bezwymiarowa  współ rzę dna, .iTC  iV Xx  =   2X  bezwymiarowa  współ rzę dna, V( =   —•   osiowy  gradient  tem peratury  n a  ś ciance  rury, G  =   — - 5-   bezwymiarowa  tem peratura, A 0  tem peratura  ś rednia, / • Q  =  —  bezwymiarowa  współ rzę dna  prom ien iowa. K 2.  Przedstawienie  proponowanej  modyfikacji Jak  wiadom o  [1, 2],  m etoda  uś redn ian ia  poprawek  funkcjonalnych  jest  analityczną , wewnę trzną   metodą   przybliż oną   rozwią zywania  równ ań  róż niczkowych,  cał kowych i  róż niczkowo- cał kowych,  której  idea  przewodnia  polega  w  ogólnoś ci  n a  zastą pieniu samej,  poszukiwanej  funkcji  (lub  jej  pochodnej),  cią gł ej  w  pewnym  obszarze,  przez  jej ś rednią   cał kową   w  tym  obszarze.  Om awian a  m etoda  wykazuje,  w  porówn an iu  z  innymi analitycznymi  metodam i przybliż onymi,  nastę pują ce  zalety: M E T O D A  U Ś R E D N I AN IA  P OP R AWEK  F U N KC JON ALN YC H   73 a)  wzglę dna  ł atwość  wyznaczania  funkcji  aproksymują cej  rozwią zanie  ś cisł e, b)  moż liwość  wyznaczania  dowolnego,  rc- tego  przybliż enia.  Warto  przy  tym  dodać, że  wyznaczona  w  pierwszym  przybliż eniu  funkcja  aproksymują ca  nie  ulega  zmianie  przy konstruowaniu  nastę pnego  przybliż enia  (podobnie  w  metodzie  Kantorowicza,  zmody- fikowanej  przez  K erra  [3]), c)  eliminuje  intuicyjny  wybór  funkcji  aproksymują cej  rozwią zanie  ś cisł e. Poniż ej  przedstawiono  ideę   przewodnią   proponowanej  modyfikacji  zastosowania metody  uś redniania  poprawek  funkcjonalnych  n a  przykł adzie  równania  róż niczkowego, opisują cego  pole  tem peratury  w  ustalonym,  laminarnym  przepł ywie  nieś ciś liwej  cieczy newtonowskiej  przez  prostoosiową   rurę   koł ową .  T o  równanie  otrzymuje  się   z  ogólnych równań  opisują cych  ruch  cieczy  lepkiej  [4,  5], tj.  równania  energii,  pę du  i  cią gł oś ci,  przy nastę pują cych  zał oż eniach  upraszczają cych: 1) nieś ciś liwa  ciecz  newtonowska  przepł ywa  ustalonym  ruchem laminarnym  przez prosto- osiową   rurę   koł ową , 2) wł asnoś ci fizyczne  (rj, X,  Q, C)  cieczy  nie zależą   od temperatury, 3) brak jest wewnę trznych  ź ródeł  ciepł a  (pomija  się  dysypację  energii  przepł ywają cej  cieczy, wywoł aną   tarciem  wewnę trznym), 4)  przepł yw  ciepł a  w  kierun ku  promieniowym  jest  znacznie  intensywniejszy  niż  przepł yw ciepł a  w  kierunku  osiowym, 5)  pomijamy  wpł yw  pola  jedn ostkowych  sił   masowych. Przedmiotowe  równ an ie  róż niczkowe  przyjmuje  w  omawianym  przypadku  postać  [2]: zaś  warunki  brzegowe  zapisują   się   nastę pują co: (2.2)  J f < 0 ,  0  <  g  <  1  => f  =   r0 (2.3)  X  >  0,  Q =  I  =>  t  =  ł o +AX (2.4)  X>0,  g  =   0 = > - ^ - =0 Przeję cie  warunku  brzegowego  w  postaci  (2.3)  wynikł o  z  koniecznoś ci  porównania otrzymanego  poniż ej  rozwią zania  przybliż onego  z  rozwią zaniem  ś cisł ym,  zawartym w  pracy  [7]. Równanie róż niczkowe  (2.1) wraz  z warunkami  brzegowymi  (2.2), (2.3), i (2.4) poddane zostanie  przekształ ceniu  cał kowemu  Laplace'a  po  zmiennej  bezwymiarowej  X.  Po  jego wykonaniu,  transform aty  współ czynników  funkcyjnych  q 1}   q 2 ,  • • •  zostaną   wyznaczone za  pomocą   metody  uś redniania  poprawek  funkcjonalnych.  Warto  tutaj  zaznaczyć,  że omawiana  m etoda  nie  był a  dotychczas  stosowana  w  podobnym  przypadku.  W  dostę pnej dla  autorów  literaturze  z  tego  zakresu  wykorzystano  wprawdzie  transformację   Laplace'a, ale przekształ cone równanie  rozwią zywano  nastę pnie metodą   G alerkina  [6, 7, 8, 9]. Po raz pierwszy  zapropon ował   powyż szą   technikę   WE I N E R  [6]  do  przybliż onego  rozwią zania równania  przewodnictwa  cieplnego.  Ten  sam  tok  postę powania  stosowano  nastę pnie w  pracach  [7, 8, 9]. 74 Z.  N OWAK,  K.  R U P P o  wyznaczeniu  za  pomocą   omawianej  metody  współ czynników  funkcyjnych  w  dzie- dzinie  obrazu  przekształ cania  cał kowego  Laplace'a,  zastosujemy  n astę pn ie  odwrotne przekształ cenie  Laplace'a  otrzymują c  poszukiwane  rozwią zanie  przybliż one  w  dziedzi- nie oryginał u. Warto już  w tym miejscu  podkreś lić, że zastosowanie  transformacji  Laplace'a do  omawianego  zagadnienia  umoż liwi  wyznaczenie  współ czynników  funkcyjnych,  a  na- stę pnie  pola  tem peratury  bez  koniecznoś ci  okreś lania  wartoś ci  począ tkowych  z  dodatko- wych  postulatów. P o  wykonaniu  przekształ cenia cał kowego  Laplace'a  równ an ie  (2.1)  przyjmuje  postać: Q  8, zaś  warunki  brzegowe  (2.3)  i  (2.4) zapisują   się   n astę pują co: t 0   ,  A (2.6) (2.7) T (Q,P) =   o 0  =  0 I zie: (2.8) t(e,p).  = Równanie  róż niczkowe  (2.5)  przy  warun kach  brzegowych  (2.6)  i  (2.7)  rozwią zane zostanie  za  pomocą   metody  uś redniania  poprawek  funkcjonalnych.  Z godn ie  z  jej  ideą przewodnią ,  aproksymuje  się   równ an ie  (2.5)  w  pierwszym  przybliż eniu,  nastę pują cym równ an iem : (2.9)  2(1 - Q2)pq %   - 2 (1 - gdzie: (2.10)  q x   . t t -   Qdo. P o  dwukrotnym  scał kowaniu  równ an ia  (2.9)  wzglę dem  zmiennej  g  otrzymuje  się   pier- wsze przybliż enie  pola  tem peratury w  postaci: h =  {^ e2- Y Wystę pują ce  w  równaniu  (2.11)  transform aty  współ czynników  funkcyjnych q i3   wyznacza  się   w  oparciu  o warunki  brzegowe  (2.6) i  (2.7).  Otrzym ujem y: (2.12) Ł .i  =   0 -   =  1  C  =  - A,  czyli Z atem  pierwsze  przybliż enie  poszukiwanego  pola  tem peratury  cieczy  opisuje  osta- tecznie  funkcja: (3.ii)  t x ( 8 ,x)  =   t o +Ax+~ Z godnie  z ideą   stosowanej  metody,  równanie  (2.1) aproksymuje  się  w drugim  przy- bliż eniu  równ an iem : gdzie: (3- 13) M E T O D A  U Ś R E D N I AN IA  P OP R AWE K  F U N KC JON ALN YC H   79 P odstawiają c  (3.11)  do  (3.12), a nastę pnie cał kują c dwukrotn ie to  ostatnie po zmiennej g,  otrzymuje  się : (3.14)  fefe,*) lub  po wykorzystan iu  warun ków  brzegowych  (2.3)  i  (2.4): (3.15)  t 2 (Q,X) =  6A^ (~6 ]T(1 ~^^x) ~ y P odstawiają c  n astę pn ie  wyraż enie  (3.11) i  (3.15)  do (3.13) i wykonują c  przepisane  cał ko- wanie  tego  ostatn iego  otrzymuje  się  jedn o  równ an ie  róż niczkowe  zwyczajne,  które po uporzą dkowan iu  przyjmuje  p o st ać : 69 (3.16)  q 2 (^ ) + 6q 2 (X)=  - —  / fexp(- 6X). R ówn an ie  (3.16) daje  się   ł atwo scał kować  [11] i jego  rozwią zanie  m a postać: (3.17) Stał ą   cał kowan ia  C  w  równ an iu t(3.17)  wyznacza  się , podobn ie jak  dla pierwszego przybliż enia,  ż ą dając  speł nienia  postulatu  m in im um  cał ki  z  odchylenia.  Warunek ten przyjmuje  p o st ać : =   o. Warun ek  (3.18)  dostarcza  jedn ego  równ an ia  algebraicznego,  z  którego  wyznacza  się niewiadomą   q 2 (0).  W naszym  przypadku  otrzym am y: (3- 19) a  stą d (3.20)  q 2 {X)  =A\ ^ -   |p Sr) exp ( - 6X). P odstawiają c  (3.20)  d o  wyraż enia  (3.15)  otrzymujemy  ostatecznie  drugie  przybliż enie poszukiwanego  pola  tem peratury  cieczy: 80  Z .  N OWAK,  K.  R U P (3.21)  r a ( e , *)  = 187  , .  ^  5 - g8 )  e x p ( - 6 J)  + 320  V 1  *  '  '  24  V i  c  '  128 69  2  69 40  160 Ogólnie,  w  n- tym  przybliż eniu,  aproksymuje  się  równ an ie  (2.1),  w  m etodzie  uś redniania poprawek  funkcjonalnych,  nastę pują cym  równ an iem : przy  czym : i (3.23)  q n (X) -   2 J  - |£e d & - ^  (Z ). o Warto  tutaj  wyraź nie  podkreś lić,  że  wyraż enie  (3.23)  dostarcza  dla  każ dego  przybli- ż enia  tylko jedn ego  równ an ia  róż niczkowego  zwyczajnego,  podczas  gdy,  n p . w  oryginalnej metodzie  Kantorowicza,  otrzymuje  się  w  podobn ym  przypadku  ukł ad  równ ań  róż niczko- wych  zwyczajnych. 4.  Dyskusja P orównując  odpowiednio funkcje  przybliż on e:  (2.16)  i  (3.11)  oraz  (2.24)  i  (3.21) moż na stwierdzić,  co  nastę puje:  1°  zastosowanie  począ tkowo  transformacji  cał kowej  Laplace'a do równania  róż niczkowego  liniowego,  a n astę pn ie m etody uś redn ian ia  poprawek  funkcjo- nalnych  w  obrazie  przekształ cenia  Laplace'a  daje  identyczne  wyniki,  ja k  w  przypadku zatosowan ia  metody  uś redniania  poprawek  funkcjonalnych  bez  wykorzystania  transfor- macji  Laplace'a,  ale  pod  warunkiem,  że  stał ą  cał kowania  (wartość  począ tkowa)  wyznacza się  z postulatu  minimum cał ki  z  odchylenia  (3.7). I n n ym i  sł owy,  przekształ cenie  Laplace'a determinuje  wybór  kryterium,  z  którego  jest  wyznaczona  stał a  cał kowan ia  dla  danej me- tody  przybliż onej.  Tak  n p.  dla  metody  G alerkin a  lub  Kan torowicza  wymienioną  stał ą wyznacza,  w  podobn ych  przypadkach,  zastosowanie  przekształ cenia  Laplace'a  lub  po- stulat  minimum  cał ki  z  kwadratu  odchylenia  [7,  9,  12]; 2°  zastosowanie  przekształ cenia  Laplace'a,  a  nastę pnie  m etody  uś redn ian ia  poprawek funkcjonalnych  lub  innych  metod  (n p.  G alerkin a  lub  Kan torowicza)  uł atwia  wprawdzie tok  obliczeń,  ale jest moż liwe  jedynie  w  przypadku  zagadnienia  brzegowego  lub  począ tko- wego,  opisanego  liniowymi  równaniam i  róż niczkowym i; 3°  wymienione  w  punkcie  2°  ograniczenie  nie  wystę puje  przy  zastosowaniu  techniki  wy- korzystują cej  metodę  uś redniania  poprawek  funkcjonalnych,  gdy  stał ą  cał kowan ia  wy- znacza  się  z  postulatu  m inim um  cał ki  z  odchylenia  (3.7); 4°  stosując  metodę  uś redn ian ia  poprawek  funkcjonalnych  m oż na  stał ą  cał kowan ia  wy- znaczyć  oczywiś cie  z  innych  kryteriów,  n p. z  postulatu  m in im um  cał ki  z  kwadratu  odchy- M E T O D A  U Ś R E D N I AN IA  P OP R AWE K  F U N K C JO N ALN YC H   81 lenia  [2, 3,  12], Przy  zastosowaniu  innych  metod przybliż onych  wykorzystano  w podob- nych przypadkach  również  metodę  kolł okacji  na  brzegu  [13]; 5° wybór jednego  z przytoczonych kryteriów  do wyznaczania  stał ej cał kowania ma istotny wpływ  na  stopień  dokł adnoś ci koń cowego  rozwią zania  przybliż onego.  D la potwierdzenia tego  faktu  przedstawiamy  poniż ej  rozwią zanie  przybliż one  równania  róż niczkowego, opisują cego  podobny, nieizotermiczny przepł yw cieczy w rurze koł owej, o postaci: 1  d   I   dT \   a  2\   dT (41)  ^ —\ 8 ~ z , —  —  =   \ \ ~Q) Q  OQ \   oc> I  dXx ale przy nastę pują cych  warunkach  brzegowych: (4.2)  X t   <  0,  0 <   Q <  1 *.  T  -   0, (4.3)  X x   >  0,  1  Q =   1 =*•   T  =  1, (4.4)  X t >0,  e  =  0 =>  - y-   =  0. Zgodnie  z  ideą   przewodnią   metody  uś redniania  poprawek  funkcjonalnych,  aproksy- mujemy  równanie  (4.1) nastę pują cym  równaniem w pierwszym  przybliż eniu: (4"5) j{ gdzie: J i J Całkują c  równanie  (4.5)  dwukrotnie  po  zmiennej  g  otrzymujemy,  po  uwzglę dnieniu  wa- runków  brzegowych  (4.3) i  (4.4), pierwsze  przybliż enie  pola temperatury: (4.7)  A  =  - i - (i  - e 4 ) ? 1 ( i o -   ~ ( i  - e 2 ki(Xi)+1. Podstawiają c  (4.7)  do  (4.6)  otrzymuje  się ,  po  wykonaniu  przypisanego  cał kowania, jedno  równanie  róż niczkowe  zwyczajne  w  postaci: (4.8)  ^JiWł ft W  =   0, którego cał ka ogólna  wynosi: (4.9)  g t (X0  =  C 3exp ( - 12Zx) . Stał a  cał kowania  C 3  wyznaczymy,  podobnie  jak  poprzednio,  z  postulatu minimum cał ki  z  odchylenia,  czyli  z  warunku: (4.10)  J  J  [T (g,  0) -   1\ {Q, 0)]dS  =   minimum. s Zakł adają c,  podobnie jak  poprzednio, że  wyraż enie  (4.10) jest równe zeru,  otrzymuje- my: (4.11)  J  ^ • (l- e4- )q 1 (0)- ~(l~Q 2 )qt(0)+l\ ed Q   =  0, 6  M ech.  T eoret.  i  Stos.  1/80 82 Z.  N OWAK,  K.  R U P a  stą d: (4.12)  ^ ( 0 )  =   C 3  =   12. Zatem  pierwsze  przybliż enie  pola  temperatury  cieczy  ma,  w  omawianym  przez  nas zagadnieniu  brzegowym,  postać: (4.13)  7 i ( e , *i )  = ~ ^ ( l - e4 ) e x p f - 1 2 Z1 ) - 3 ( l -e 2 ) e x p ( - 1 2 Î )  +  l. Postę pując  podobnie  jak  w  przypadku  wyznaczania  pierwszego  przybliż enia,  otrzy- mamy  nastę pują cą  postać  drugiego  przybliż enia  pola  temperatury  cieczy: (4.14)  T 2 {q,X 1 )  = 207 "W 10exp(- 12Zr) + | R=O 0 , 8 0,6 0.4 0.2 U  0,05  0,10  0,15  0,20  0,25  .0,30  ±£_ Fed Rys.  1. Rozkł ad bezwymiarowej  temperatury cieczy  wzdł uż osi rury  1  —rozwią zanie  ś cisłe  [4], 2 — wy- raż enie  (4.13)  3—wyraż enie  (4.14), 4 — wyraż enie  (4.15) W  pracy  [2]  rozwią zano  równanie  (4.1)  przy  identycznych  warunkach  brzegowych, również  za  pomocą  metody  uś redniania  poprawek  funkcjonalnych.  D o  wyznaczania wartoś ci  począ tkowych  zastosowano  jednak  warunek  polegają cy  na  speł nieniu postulatu minimum  cał ki  z  kwadratu  odchylenia.  Otrzymano  nastę pują cą  postać  drugiego  przybli- ż enia  pola  temperatury  cieczy: \ \ \ \ _ — — —- / 2 4 •   • * * (4.15) 15 50 i90] I ( 1 - e4 ) - 7581 J ( i- e *)' N a  rys,  1 porównano przebieg zmian bezwymiarowej  temperatury cieczy  w osi rury ko- ł owej  w/ g  zależ noś ci  (4.13)  (4.14) i  (4.15) z rozwią zaniem  ś cisł ym znalezionym  w pracy  [4]. M E T O D A  U Ś R E D N I AN IA  P OP R AWE K  F U N KC JON ALN YC H   83 5.  P rzykł ad  liczbowy W  celu  zilustrowania  przeprowadzonych  rozważ ań  oraz  przeprowadzenia  pewnych porównań  otrzym anych  rozwią zań  przybliż onych  z  wynikami  rozwią zania  ś cisł ego, wykonano  przykł ad  liczbowy. Jak  wiadomo,  strumień  ciepł y  na  ś ciance  rury  moż na  wyznaczyć  z  zależ noś ci  [4,  5, 7]: (5- 1) X  8t * • - - * • • 8 = 1 Podstawiają c  do  (5.1)  wyraż enie  (3.21)  otrzymamy,  po  prostych przekształ ceniach: (5.2)  «*- - # -] N a  rys.  2  porówn an o  zależ ność  (5.2)  z  rozwią zaniem,  znalezionym  w  pracy  [7].  Jak widać,  uzyskano  ju ż  w  drugim  przybliż eniu  wysoki  stopień dokł adnoś ci. 0,6 q* 0,4 0,2 0  0,4  0,8  1,2  1,6  1JL Pe  R R ys.  2.  P rzebieg  zm ia n  wart o ś ci  st r u m ien ia  ciep ł a  n a  ś cian ce  rury  przy  jej  lin iowym  wzroś cie  tem pera- t u ry  1 —  r o zwią za n ie  o t r zym a n e  w  p racy  [7]  2  —  ro zwią zan ie  o t rzym an e  w  niniejszej  pracy —  / — 2 Liczbę   N usselta,  charakteryzują cą   proces  wymiany  ciepł a,  moż na  zapisać  w  postaci [4, 55  7J: (5.3) I zie: (5.4) 187 320 N u  = ©- es 84  Z .  N OWAK,  K.  R U P Bezwymiarową   tem peraturę   ś rednią   O  w  wyraż eniu  (5.3)  wyznaczono  z  zależ noś ci: (5. 5) otrzymują c  ostatecznie: (5.6) 6(X) -   X+ I L  +  (  ̂ +  -f Ponieważ  bezwymiarowa  tem peratura  ś cianki  rury  wynosi (5.7)  @| e = i = 0 s  =   * zatem  wyraż enie  (5.3)  m oż na  przepisać  w  postaci: 1- 1  —  +   ^ r - (5.8)  Nu  =   — 91  253 G raniczna  wartość  liczby  N u  wynosi (5.9)  li m N u  =   4,363636... i  pokrywa  się   dokł adnie z wynikiem  analitycznych obliczeń  ś cisł ych  [4, 5, 7]. 6.  Wnioski 1°  P rzedstawiona  w  niniejszej  pracy  oraz w  rozprawie  [2] modyfikacja  m etody  uś redniania poprawek  funkcjonalnych  umoż liwia  rozszerzenie  jej  zastosowania  w  zagadnieniach  kon- wekcji  wymuszonej  i  przewodzenia  ciepł a. 2°  Z astosowanie  metody  uś redniania  poprawek  funkcjonalnych: a) eliminuje  intuicyjny  wybór  postaci  funkcji  aproksymują cych, b)  umoż liwia  ł atwiejszy  dobór  odpowiednich  funkcji  przybliż onych  w  porówn an iu z  innymi,  analitycznymi  m etodam i  przybliż onymi. 3°  Z astosowanie  omawianej  metody  w  obrazie  przekształ cania  cał kowego  Laplace'a: a)  eliminuje  koniecznoś ć,  wyznaczania  wartoś ci  począ tkowych  z  dodatkowych  po- stulatów, b)  determinuje  wybór  kryterium,  z  którego  należy  wyznaczyć  wartoś ci  począ tkowe w  przypadku  niestosowania  transformacji  Laplace'a.  Jest  nim  postulat  m in im um  cał ki z odchylenia. 4°  W  przeliczonym  w  p.  4  przykł adzie  wyż szy  stopień  dokł adn oś ci aproksym acji  rozwią - zania  ś cisł ego  uzyskano  przez  zastosowanie  do  wyznaczenia  wartoś ci  począ tkowych  po- stulatu  minimum  cał ki  z  kwadratu  odchylenia. 85 Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  I O .  JX-   C O K O J I O B,  O  Memode  ocpedmuun  §yuK%uoHanhHux  nonpaeoit,  YM JK ,  1,  9,  (1957). 2.  K.  R U P ,  Modyfikacja  metody  uś redniania funkcjonalnych  poprawek w zagadnieniach konwekcji wymuszo- nej  i przepł ywu  ciepł a, M ech.  Teor.  i  Stos.,  1,16,  (1978). 3.  B.  KRAJEWSKI,  Modyfikacja  metody  Kantorowicza, Archiwum  Termodynamiki  i  Spalania,  4,  7,  (1976). 4.  E.  C .  IlETyxoBj  T erutooOMeii  u  conpomuenenue  npu  jiahiunapnoM  menamu  wcudKocmu  e  mpySax,  M o- cKBa  (1967). 5.  W.  M .  KAYS,  Convective heat  and  mass  transfer, M c  G raw- H ill  Book  Company,  (1967). 6.  J.  H .  WE I N E R , A  Method for  the  Approximate  Solution of  the  Heat  Equation, WAD C Teen. R ep.  54—427, (AD   97343), (1955). 7.  n .  B.  U pił ,  Memodu  pacuema  omdejibnux  3adan  menJtOMacconepeuoca,  SneprH H ,  MocKBa  (1971). 8.  D .  D I C KE R ,  M .  B.  F R I E D M AN ,  Solutions  of  Heat- Conduction  Problems  with  N onseparable Domains, J.  Appl.  M ech.,  T ran saction s  of  th e  ASM E ,  ser  E ,  85,  (1963). 9.  B.  KR AJE WSKI ,  Application  of  variational methods  to  problems  of  unsteady heat flow,  Arch.  M ech.  Sto- sowanej,  5,  20,  (1968). 10.  P raca  zbiorowa,  Poradnik  inż yniera —  M atem atyka,  WN T  Warszawa  (1971). 11.  H .  M .  M AT BE E B,  JJiujjijiepeHił iiaJibHue  ypasnenun,  M H H C K  (1976). 12.  B.  KR AJEWSKI ,  Etn  directes  Variationsverfahren zur  Behandlung  der  W armeiibertragunsprobleme  fiir erzwungene Konvektion,  int.  J.  H eat  M ass  Transfer,  16,  (1973). 13.  H .  E.  BETH EL, A  generalized  Galerkin —  Kantorovich treatment  of  transient evaporation  through a  finite region, I n t.  J.  H eat  M ass  Tran sfer,  11, 10,  (1967). P  e  3  IO  M   e I T P H M E H E H H E  M E T O D A  O C P E flH E H H H   < J> yH KU H OH AJILH BIX  riOITPABOK B  OBJTAC TH   I T P E O E P A3O BAH H H   JIAITJIACA n p e fln o we n a  pafioTa  HBjMeTCH   npoflon>iKeHHWH   M&T OP, B npeo6pa3OBaH nn  J la n n a c a ,  m o  iłCKJiio^iHJio HeoSxoflnMOCTL  onpeflejieH H H   na^ajiKKbix  3HaMeHHH. TpeSoBanH H .  KpoM e  sToro  yiyHiKfleimoM   cny^iae  TpeSoBaroie  MHHHMYM  H H Terpana  H3  OTKnoneHHH  aBJineiCH   STUM  K p m e- .  IIpM6jiH>KeHHbie  pe3yjibTaTw  pac^ieTa  cpaBHeHO  c  To^mbiM   peiueH H eM.  AH an ro pernem tH   BO BTOP OM  npH 6jiH >KeH nn  noKa3ajij  tiTO  OH H   xo po u io  coraacyioTCH   c TO t̂Hbimn KpoMe Toro  cpaBH eito npH6jiHH