Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  18  (1980) DRGANIA  KON STRU KCJI  I  STOCH ASTYCZN E  MOD ELE U SZKOD ZEŃ KAZIMIERZ  S O B C Ż YK  (WARSZAWA) 1.  Wstę p Zagadnienia  wyznaczania  przemieszczeń  i  naprę ż eń  powodowanych  dynamicznymi obcią ż eniami  o  charakterze  przypadkowym  (oraz)  lub  fluktuacjami  parametrów  rozwa- ż anych  ukł adów  stanowią   bardzo  waż ny  dla  praktyki  skł adnik  analizy  konstrukcji  inż y- nierskich. W  ostatnim  dwudziestoleciu  problemy  drgań  konstrukcji  pod  wpł ywem  obcią ż eń przypadkowych  był y  badane  bardzo  intensywnie  i  w  chwili  obecnej  istnieje  bogata  litera- tura  dotyczą ca  metod  i  rezultatów  dynamiki  stochastycznej  (por.  [1],  [2],  [3],  [4],  [5]). Podstawową   przyczyną   tych  badań  jest  fakt,  że  w  wię kszoś ci  realnych  sytuacji  podsta- wowe  czynniki  determinują ce  zachowanie  się   konstrukcji,  tak  jak  na  przykł ad  obcią - ż enia  zewnę trzne  czy  wł asnoś ci  mechaniczne rozważ anych  ukł adów mają   charakter  fluk- tuacyjny  i  nie  mogą   być  opisane  w  zwykł y —  deterministyczny  sposób.  Odnosi  się   to szczególnie  do  obcią ż eń  konstrukcji  budowlanych  powodowanych  porywistym  wiatrem czy  dział aniem fal  akustycznych  lub  sejsmicznych,  konstrukcji  statków  n a  które  dział ają fale  morskie,lub  szumy  turbulentne itp. W  takich  sytuacjach  waż ne jest  zbadanie  wpł ywu owych  stochastycznych  czynników  na zachowanie  się   konstrukcji  i jej  zniszczenie.  Zasad- niczym  motywem  i  celem  analizy  drgań  stochastycznych  konstrukcji  jest  ocena  ich  nie- zawodnoś ci.  Z  metodycznego  punktu  widzenia  probabilistyczną   analizę   konstrukcji drgają cych  moż na  podzielić  na  dwa  etapy:  pierwszy —  dotyczy  wyznaczenia  statystycz- nych  charakterystyk  reakcji  konstrukcji  (np.  przemieszczeń,  naprę ż eń  itp.),  zaś  celem drugiego  etapu  jest  analiza  niezawodnoś ciowa —  charakteryzują ca  stany  niebezpieczne i  dostarczają ca  informacji  o  wystę powaniu  uszkodzeń  i  zniszczeniu  konstrukcji. W  chwili  obecnej,  istnieją ce  metody  i  rezultaty  dynamiki  stochastycznej  dają   moż li- wość  wyznaczania  podstawowych  charakterystyk  statystycznych  reakcji  dla  szerokiej klasy ukł adów i obcią ż eń stochastycznych. Problemy dotyczą ce niezawodnoś ci  stochastycz- nie  drgają cych  konstrukcji  nie  są   jednak  wystarczają co  zbadane. Celem niniejszej  pracy jest  przedstawienie  problemów  i nowych  wyników  dotyczą cych stochastycznej  analizy  drgań  konstrukcji,  ze  szczególnym  uwzglę dnieniem  zagadnień niezawodnoś ciowych.  Po  zwię zł ym  przedstawieniu  metody  wyznaczania  charakterystyk reakcji  ukł adów cią gł ych uwaga  bę dzie  skupiona  na dyskusji  zniszczenia  spowodowanego drganiami  stochastycznymi.  Ponieważ  uszkodzenia  konstrukcji  powodowane  drganiami Artykuł   przeglą dowy,  wygł oszony jako  referat  problemowy  n a  XX- tej  Polskiej  Konferencji  M echa- niki  Ciał a  Stał ego,  Porą bka- Kozubnik,  wrzesień  1978. 152  K.  SOBCZYK stochastycznymi  przyjmują  najczę ś ciej  postać  uszkodzeń  zmę czeniowych,  w  ostatniej czę ś ci  pracy  przedstawione  zostaną  stochastyczne  modele  uszkodzeń  zmę czeniowych, w  tym modele  bazują ce  na propagacji  w materiale  dominują cej  szczeliny. 2.  Reakcja  konstrukcji  na  obcią ż enie  stochastyczna Rozważ my  drgania  technicznego  ukł adu  cią gł ego  i zał óż my, że jest  on sprę ż ysty  i li- niowy.  D la  szerokiej  klasy takich ukł adów równanie opisują ce  drgania moż na przedstawić w  postaci (2.1)  mU+cU+£(U)  -   Q(r,  t), gdzie m i c są parametrami charakteryzują cymi  masę ukł adu i tł umienie, if  jest  liniowym operatorem  róż niczkowym  wzglę dem  zmiennych  przestrzennych, zaś Q(r,  ł ) jest  funkcją losową  zmiennych r =  (x,y,  z) i  czasu  t.  D la  przykł adu  operator 3? może  mieć  postać d 2 ( 2 . 2 )  JS? = — T dx2' P2  ' a 4  a 4  a 4 • ^ T T +2 dx 2 dy 2   ^   5 / i  wtedy  równanie  (2.1) opisuje  odpowiednio drgania  struny, koł owo- cylindrycznej powł oki lub  pł yty sprę ż ystej.  W zależ noś ci  od sytuacji  równanie  (2.1) należy  rozwią zywać  z odpo- wiednimi  warunkami  począ tkowymi  i  brzegowymi.  Równanie  (2.1) jest  równaniem  sto- chastycznym  interpretowanym  zwykle  w  sensie  ś rednio- kwadratowym  (por.Ł  [5],  [6]). M etody  stochastycznej  analizy  ukł adów  sprę ż ystych  opisanych  przez  równanie (2.1) są  analogiczne  do  metod  uż ywanych  w  stochastycznej  dynamice  ukł adów  dyskretnych (opisanych  przez  równania  róż niczkowe  zwyczajne).  Metoda charakterystyk  impulsowych oraz metoda widmowa  mogą  być  ł atwo zastosowane.  D la zastosowania  metody charakte- rystyk  impulsowych  należy  znać  funkcję  G reena  G(r, t, r t ,  t t ),  która  jest  definiowana jako  rozwią zanie  równania (2.3)  mG+cG+&(G)  =  5(1"- )̂  «(«- / , ), z  odpowiednimi  warunkami  brzegowymi  i  zerowymi  warunkami  począ tkowymi  dla Rozwią zanie  równania  (2.1)  ma postać (2.4)  U(r, t)  =  /   /   G(r,  t\  r x , tJQfa,  t x )dr t dt x . OD G dzie  D jest  obszarem  (powierzchnią)  rozważ anego  ukł adu.  N a  podstawie  definicji war- toś ci  przecię tnej  i  funkcji  korelacyjnej  otrzymuje  się t (2- 5)   =  /   /   G(r,  t; n,, / 1) 0 D D ROAN IA  KON STRUKCJI  153 (2.6)  K v (r,  t;h,ti)  -   '  t')G(r lt t t ]r",  t")K Q (r',  t';r",t")dr'dr"dt'dt". o o Jako  szczególny  przypadek  wzoru  (2.6)  otrzymuje  się   wyraż enie  dla  czasowej  funkcji korelacji  (dla  ustalonego  r  =   rŁ)  oraz  przestrzennej  funkcji  korelacyjnej  (dla  ustalonego t  =   ł i).  Czę sto  wystarczy  znajomość  wartoś ci  funkcji  korelacyjnej  pola  U(r,  i)  w  usta- lonym,  wybranym  (np.  szczególnie  wraż liwym)  punkcie  »• ;•   traktuje  się   wtedy  U(r,  t) jako  funkcję   losową   tylko  czasu  t,  czyli—jako  proces  stochastyczny. Wprowadzają c  uogólnioną   gę stość  widmową   pola  U(r, t)  zgodnie  z  nastę pują cą definicją + 00  +00 (2.7)  gv(r±,'<»i ;  >l2,  © a)  -   J  J  Kv(T u  kl  r 2 ,  t 2 )e- i( - m ^ - a 'i t >'>dt 1 dt 2 —  CO  — D O i  analogicznie  uogólnioną   gę stość  gQ(r 1 ,(o 1 ;r z ,co2%  otrzymujemy  nastę pują cą   relację "widmową ": (2.8)  g v (r 1 ,o) 1 ;r 2 ,co 2 )  =  j  j  g Q (r',ca l ;r",m 2 )H{r x ,r';ca l )H(r 2 ,v";(o 2 )dr'dr" 1 gdzie .  +co (2.9)  H(r,  r, ;co) =  J  G(r, r,;  t)e- imdt,  t  =  t- t ± . — 00 Jeż eli  pole  losowe  Q(y, t) jest  stacjonarne  w  szerszym  sensie  i  statystycznie jednorodne, to  powyż sze  wzory  znacznie  upraszczają   się . D la  skorzystania  z  powyż szych  wzorów  należy  znać  podstawowe  charakterystyki obcią ż enia  losowego  Q(r,  t), tj. jego wartość przecię tną  i funkcję   korelacyjną   oraz  funkcję G reena  G(r, t;*- ^ ,  ix) .  Charakterystyki  obcią ż enia  należy  wyznaczyć  na  drodze  opraco- wywania  materiał u doś wiadczalnego. Wyznaczenie funkcji  G reena nie zawsze jest moż liwe; dla  stosunkowo  szerokiej  klasy  ukł adów  liniowych  zwykle  stosuje  się   wersję   metody rozdzielenia  zmiennych znaną   w  dynamice konstrukcji  jako  metoda  modów normalnych (ang.  the  normal- mode approach —  por.  [3]). Przytoczone  wyż ej  wzory  wyczerpują co  charakteryzują   reakcję   konstrukcji  opisanej równaniem  (2.1)  jeś li  jej  parametry  materiał owe,  warunki  począ tkowe  i  brzegowe  są deterministyczne  a  obcią ż enie  Q(r,  t) jest  gaussowską   funkcją   losową .  Jeś li  któryś  z  wy- mienionych warunków  nie jest speł niony wzory  (2.5) i (2.6) dają   tylko  czę ś ciową   charakte- rystykę   losowego  pola  przemieszczeń,  gdyż  jest  ono  wtedy  nie  gaussowskie.  Czę sto — w celu uproszczenia analizy — korzysta się  z'gaussowskiego  przybliż enia. Jednakże problem jak  dalece analiza gaussowska  jest  akceptowalna  w  problemach niegaussowskich  wymaga oddzielnego  badania  (por.  [7]). W  stochastycznej  analizie  ukł adów  konstrukcyjnych  nieliniowych  istnieją ce  wyniki dotyczą   przede  wszystkim  nieliniowoś ci  natury  geometrycznej  pochodzą cych  z  uwzglę d- niania skoń czonych odkształ ceń  (por. [3], [5]). Tego rodzaju  drgania nieliniowych ukł adów sprę ż ystych  przy  wymuszeniu  stochastycznym  moż na  badać  za  pomocą   metod  przybli- 154 K .  SOBCZYK ż onych  bę dą cych  poł ą czeniem metod  mechaniki  nieliniowej  i  metod  analizy  korelacyjnej lub  aparatu  procesów  M arkowa.  Pewne  rezultaty  dotyczą ce  drgań  stochastycznych konstrukcji  sprę ż ysto- pł astycznych  są   zawarte  w  [8]  (por.  także  [9]). 3.  D rgania  Stochastyczne  i  uszkodzenia  konstrukcji N iech  Y(t)  oznacza  dynamiczną   reakcję   konstrukcji  (przemieszczenie,  naprę ż enie itp.)  w  ustalonym  punkcie  krytycznym.  Zał óż my, że  podstawowe  charakterystyki  proba- bilistyczne  procesu  Y(t)  został y  wyznaczone  metodami  scharakteryzowanymi  w  punkcie poprzednim.  Jak  wykorzystać  informacje  o  procesie  Y(t)  w  badaniu  uszkodzeń  powo- dowanych  przez  ten  proces  i  w  ocenie  dł ugowiecznoś ci  konstrukcji? N ależy  wyróż nić  dwa  podstawowe  mechanizmy  uszkodzeń  zwią zane  z  drganiami stochastycznymi: 1.  Y(t)  osią ga  po raz pierwszy  pewien  okreś lony  górny  (np. a) lub dolny  (np.. —b) poziom, gdzie a i b  są   danymi duż ymi liczbami  dodatnimi;  mówimy, że uszkodzenia  wystę pują ce przy  zajś ciu  tego  zdarzenia  są   uszkodzeniami  katastroficznymi  (lub  uszkodzeniami pierwszego  przejś cia;  ang.  first  excursion  failures); 2.  Y(t)  nie  przyjmuje  duż ych  (katastroficznych) wartoś ci,  doznaje jednak  wielu nieznacz- nych wyjść  poza  granicę  wytrzymał oś ci  i wobec  tego zniszczenie  konstrukcji  akumuluje Rys.  1 Rys.  2 się ;  cał kowite  zniszczenie  nastę puje  gdy  nagromadzone  uszkodzenia  osią gają   pewną okreś loną   wartoś ć;  ten  rodzaj  zniszczenia  znany jest  pod  nazwą   zniszczenia  zmę cze- niowego. Schematycznie, powyż sze  rodzaje  uszkodzeń  są   przedstawione  n a  rysunkach (rys.  1,  2). 3.1. Uszkodzenia  katastroficzne.  W  ocenie niezawodnoś ci  konstrukcji  w  oparciu o  pierwszy mechanizm  zniszczenia  istotne jest  okreś lenie  czasu  T   w  którym  reakcja  Y(t) —  np.  na- prę ż enie —  osią gnie  ustalony  poziom  po  raz  pierwszy.  Oczywiś cie,  czas  T  jest  zmienną losową .  Podstawowe  zagadnienie  w  analizie  uszkodzeń  katastroficznych  moż na  sformu- ł ować  nastę pują co:  znają c  wł asnoś ci  statystyczne  reakcji  konstrukcji  Y(t)  należy  wyzna- czyć  charakterystyki  probabilistyczne  czasu  pierwszego  przejś cia  T . Problemy  zwią zane  z  wyznaczaniem  czasu  pierwszego  wyjś cia  realizacji  procesu  z roz- waż anego  obszaru  był y  rozważ ane  w  teorii  procesów  stochastycznych.  Efektywne  roz- wią zania  mogą   być  jednak  otrzymane  tylko  dla  specjalnych  klas  procesów  n p.  dla  dy- fuzyjnych  procesów  M arkowa;  wtedy  bowiem  korzystają c  z  równania  Fokkera- Plancka- 156  K .  SOBCZYK jako  funkcja  niezawodnoś ci  ukł adu;  prawdopodobień stwo  niezawodnej  pracy  ukł adu w  przedziale  [0, / ] jest  bowiem  równe (3.7)  R(t)  =   J  P(tly 0 )p(y 0 )dy 0 , gdzie  p(y 0 )  jest  gę stoś cią   prawdopodobień stwa  procesu  7 ( 0  w  chwili  t  =   0. D la  przypadków  kiedy  reakcja  konstrukcji  nie  może  być  opisana  przez  dyfuzyjny proces M arkowa korzysta  się  z pewnych  rozwią zań  przybliż onych  oraz oszacowań prawdo- podobień stwa pierwszego  przejś cia.  Szczególnie prosty rezultat otrzymuje się , jeż eli  przyjmie się   zał oż enie,  że  przekroczenia  rozważ anego  poziomu  a  przez  proces  Y(t)  są   wystarcza- ją co  rzadkie  i  statystycznie  niezależ ne;  oznacza to, że  liczba  chwil  losowych  w  przedziale (0, t]  w  których  nastę pują   przekroczenia  poziomu a jest  scharakteryzowana  przez jedno- rodny  proces  Poissona (3.8) Wtedy  prawdopodobień stwo  tego,  że  w  przedziale  (0, t]  nie nastą pi  ż adne przekroczenie poziomu  a  jest  po  prostu  równe (3.9)  P{N (t)  =  0}  =   Q- U. Prawdopodobień stwo  uszkodzenia  katastroficznego  w  przedziale  (0, t]  jest  wię c  w  tym przypadku: Oznacza  to, że  czas  pierwszego  przejś cia  T  danego  (wysokiego) poziomu  c  przez  proces Ą(t)  jest  zmienną   losową   o  rozkł adzie wykł adniczym.  W  tym  przypadku (3.10)    =  ±- ,  a\   =  ~ . Parametr  X  oznacza  intensywność  procesu  Poissona;  w  zagadnieniach  niezawodnoś cio-, wych  jest  uzasadnione  przyją ć,  że jest  on  równy  ś redniej  liczbie  przewyź szeń  poziomu  a przez  proces  Y{t)  w jednostce  czasu,  tj. (3.11). Wyraż enie  (3.9)  w  którym  X jest  wyraż one  przez  (3.11)  okreś la  niezawodność  ukł adu w  równoważ nym  przypadku;  w  analizie  konstrukcji  został o  ono  po  raz  pierwszy  zapro- ponowane przez  J. J. Colemana (1959  r.). N ależy jednak  podkreś lić,  że zał oż enie iż prze- wyż szenia  poziomu  a  przez  proces  Y{i)  są   statystycznie  niezależ ne jest  bardzo  ograni- czają ce.  N ie jest  ono, n a  przykł ad,  akceptowalne  dla  procesów  stacjonarnych  o  wą skim widmie  dla  których  przewyż szenia  wystę pują   grupowo. Bez zał oż enia o  niezależ noś ci  przewyź szeń  wyznaczenie  rozkł adu prawdopodobień stwa czasu  pierwszego  przejś cia  jest  —  za  wyją tkiem  prostych  sytuacji  opisanych  procesem M arkowa —  niemoż liwe.  Toteż  istotne  znaczenie  mają   róż ne  oszacowania  prawdopodo- bień stwa  pierwszego  przejś cia. D RG AN IA  KON STRUKCJI 157 N ajprostsze  oszacowanie  oparte  jest  na  uogólnionej  nierównoś ci  Czebyszewa; za- kł adają c,  że    =  0  górne  oszacowanie  prawdopodobień stwa  pierwszego  wyjś cia poza  symetryczne  poziomy  a i  —a  ma  postać  nastę pują cą (3.12) P{t;  - a, aY(t)oi(t)dt gdzie  a\  i  a\  oznaczają   odpowiednio  wariancję   procesu  Y(t)  i jego  pochodnej. D okł adniejsze,  górne  i  dolne  oszacowanie  prawdopodobień stwa  pierwszego  przejś cia wyraż one  przez  funkcję   gę stoś ci  prawdopodobień stwa  procesu  Y(t) i  pochodną   Y{t) został o  podane  przez  Shinozukę   [11]. D la  ukł adu  o jednym  stopniu  swobody  opisanego równ an iem mY+fzY+kY  =   mX(t), gdzie  proces  stochastyczny  X(t) jest  procesem  gaussowskim  niestacjonarnym  postaci: X(t)  = H(t)e- am °'Z(t),  H{t)  — funkcja  H evisaide'a,  Z(t)  — stacjonarny  proces  gaus- Rys.  3. (1) górne  oszacowanie; nierówność Czebyszewa,  (2)  górne  oszacowanie wg Shin ozuki,  (3)  doln e oszacowanie wg Shinozuki sowski o wartoś ci  przecię tnej równej  zeru i danej  gę stoś ci  widmowej  oszacowania  prawdo- podobień stwa pierwszego przejś cia  w zależ noś ci  od parametru k 0   = —$•   są   przedstawione na rys. 3; er* jest maksymalną   wartoś cią   odchylenia standardowego reakcji  ukł adu  (w przy- kł adzie:  a* wystę puje  dla  o t  — 1,85). 3.2. Uszkodzenia zmę czeniowe; „zrandomizowane" kryterium  Palmgrena- Minera. Zniszczenie kon- strukcji  pod wpł ywem  drgań  stochastycznych  przyjmuje  najczę ś ciej  formę   zniszczenia zmę czeniowego  powstają cego  na skutek  dł ugotrwał ego  oddział ywania  naprę ż enia  o cha- rakterze  pulsują cym.  Fizyczne  zjawiska  leż ą ce  u  podstaw  zniszczenia  zmę czeniowego są   bardzo zł oż one a ich natura nie jest jeszcze w peł ni  zbadana. W chwili  obecnej  podsta- wowe informacje  o tym rodzaju  zniszczenia  czerpane są  z doś wiadczeń  przeprowadzanych w  warunkach  deterministycznych  naprę ż eń  cyklicznych.  W  takim  przypadku  istnieje relacja  mię dzy  amplitudą   naprę ż enia  i  liczbą   cykli  powodują cych  zniszczenie;  jest  to 158  K.  SOBCZYK dobrze  znana  krzywa  S- N opisana  wzorem (3.13)  N S b  =   c; gdzie  S  jest  amplitudą   naprę ż enia, N  jest  niszczą cą   liczbą   cykli,  zaś  b  i  c  są .  dodatnimi stał ymi  materiał owymi. Jeż eli  amplituda  naprę ż enia  zmienia  się ,  to  należy  wprowadzić dodatkowe zał oż enia. N ajlepiej  znaną  —i  ze wzglę du  na prostotę  ogólnie przyjmowaną   — jest  hipoteza  Palmgrena- M inera postulują ca,  że  jeż eli  zniszczenie  pod  wpływem  naprę - ż enia  o danej  amplitudzie wystę puje  po N  cyklach, to uszkodzenie akumuluje  się  w sposób jedn orodn y  w  każ dym  kolejnym  cyklu,  tak  że podczas jednego  cyklu  nastę puje  —  cał ko- witego  zniszczenia.  Zniszczenie  spowodowane  dział aniem ni  cykli  naprę ż enia  o  ampli- tudzie  Ą   i  =  1,2,  ...  jest  równe (3.14)  Ai"W '  n i < N " i gdzie  N i jest  niszczą cą   liczbą   cykl  przy  amplitudzie  naprę ż enia  S t .  Cał kowite znisz- czenie jest  równe (3.15,  "  » element  (próbka)  doznaje  zniszczenia  zmę czeniowego jeż eli  D  =  1. Kryterium  Palmgrena- Minera  został o  zaadaptowane  do  przypadku  obcią ż eń  sto- chastycznych  przez  zamianę  we  wzorach  (3.14),  (3.15)  symbolu  m  liczbą   maksimów  na poziomie  S t   procesu  charakteryzują cego  naprę ż enia.  Oczywiś cie,  jeż eli  naprę ż enia  są deterministyczne  i  cykliczne,  to  liczba  maksimów  jest  równa  liczbie  cykli;  jeż eli  proces naprę ż enia jest  stacjonarnym  procesem  stochastycznym  o  wą skim  widmie  to liczba  mak- simów  równa  się   liczbie  przecię ć  poziomu  zerowego. Zał óż my, dla lepszej  przejrzystoś ci  wzorów, że reakcja konstrukcji  w wybranym punkcie krytycznym jest  scharakteryzowana przez stacjonarny proces stochastyczny  Y(t)  o wą skim widmie.  N iech  v$  oznacza  ś rednią   liczbę   przewyż szeń  poziomu  zerowego  w  jednostce czasu.  W  czasie  T  ś rednia  liczba  przewyż szeń  poziomu zerowego jest v$T .  Ś rednia liczba maksimów  n(d)  o  amplitudzie  zawartej  mię dzy  a  i  a+da  jest  tówna (3.16)  n(c) =  v$T p(a)da, gdzie p(a) jest  gę stoś cią   prawdopodobień stwa  maksimów.  Zgodnie z  hipotezą  Palmgrena- M inera  każ de  maksimum  o  amplitudzie  a  powoduje  przyrost  zniszczenia  równy  - T T T T . gdzie N (a) jest niszczą cą   liczbą   cykli  w warunkach  stał ej amplitudy naprę ż enia a. Wartość ś rednia  zniszczenia  powodowanego  wszystkimi  maksimami  o  amplitudzie  w  przedziale [a, a+da]  jest •   N (a)  ~'0^   JV(«) Wartość  ś rednia  cał kowitego  zniszczenia  <(Ż >>  jest  równa D R G AN I A  KOKSTRU KCJI  159 gdzie  N (a)  należy  wyznaczyć  z  krzywej  N- S.  Jeż eli  Y(t)  jest  procesem  gaussowskim, • to korzystając  z krzywej  N- S oraz  podstawiając  w  miejsce  p{d)  funkcję  gę stoś ci  rozkł adu Rayleigh'a  (por.  [3])  otrzymujemy (3.17) gdzie  P(x)  jest  funkcją  gamma. A  zatem,  w  rozważ anym  przypadku  wartość  ś rednia  nagromadzonego  zniszczenia zmę czeniowego  jest  proporcjonalna  do  ś redniej  liczby  przewyż szeń  poziomu  zerowego oraz zależy  (w sposób  nieliniowy)  od wariancji  losowego  procesu  naprę ż enia. Wzór  (3.17) daje  moż liwość  wyznaczenia  czasu  T F   charakteryzują cego  dł ugowieczność  konstrukcji, tj.  czas  potrzebny  do  tego  aby  wartość  ś rednia  cał kowitego  zniszczenia  osią gnę ła  war- tość  jeden. Jeż eli  proces  stochastyczny  charakteryzują cy  reakcję  konstrukcji  jest  niestacjonarny, to  odpowiednie  wzory  są  o  wiele  bardziej  skomplikowane. Kryterium  Palrngrena- Minera jest  hipotezą,  której  podstawowa  zaleta  polega  n a  jej prostocie.  D ane  doś wiadczalne  wskazują  bowiem  istotne  braki  tego  kryterium.  A  oto najważ niejsze  z  nich: 1)  doś wiadczalnie stwierdza  się, że jeż eli zmienne obcią ż enie wywoł uje  naprę ż enia charakte- ryzują ce  się  bardzo  dużą  liczbą  maksimów  (nie  przekraczają cych  granicy  zmę czenia), to  zniszczenie  może  wystą pić  również  wtedy  gdy  £  ~~  <  1; N i 2)  w  doś wiadczeniach  stwierdza  się,  iż  wielkość  akumulowanego  zniszczenia  w  sposób istotny  zależy  od  kolejnoś ci  wystę powania  naprę ż eń  o  róż nych  amplitudach,  czego kryterium  Palmgrena- Minera  nie  uwzglę dnia. N ależy  podkreś lić,  że  kryterium  Palmgrena- Minera  (oraz  inne  podobne  kryteria zniszczenia) jest jedynie  inż ynierską  metodą  szacowania  nagromadzają cych  się  uszkodzeń bardziej  lub  mniej  sł uszną  w  zależ noś ci  od  konkretnych  sytuacji  i  nie  stanowi  w  ż adnej mierze  wyjaś nienia  zł oż onego  i  w  istocie  swej  stochastycznego  mechanizmu  zniszczenia zmę czeniowego.  W celu bardziej  adekwatnego  opisu  tego zjawiska  został y zaproponowane . pewne  modele  stochastyczne. 4.  Stochastyczne  modele  zniszczenia  zmę czeniowego 4.1.  Zniszczenie  zmę czeniowe  jako  proces  M arkowa.  Z go d n i e  z  ist n ie ją c ymi  p o gl ą d a mi  p r o c e s zniszczenia  zmę czeniowego  (od  powstania  pierwszych  odkształ ceń  plastycznych  w  sł ab- szych  ziarnach poprzez  pojawienie  się  i  rozwój  pę knięć  mikroskopowych  i  makroskopo- wych) jest  procesem  stochastycznym.  Opis  tego  procesu  zajmował   uwagę  wielu  autorów (por.  [12],  [13],  [14],  [15]).  " Bardzo  ogólny,  stochastyczny  opis zniszczenia  otrzymamy  traktując  rozważ aną  próbkę materiał u  (lub  element  konstrukcji)  jako  pewien  ukł ad  którego  stan  mechaniczny  jest scharakteryzowany  przez  M- wymiarowy  proces  stochastyczny  X(t)  =   [X t {t),  ...,X„(t)]; jest  uzasadnione  przyją ć,  że  0  ^  Xj(t)  <  1,  przy  czym  wartość  0  odpowiada  stanowi 160  K .  SOBCZYK idealn em u  zaś  wart ość  1 —  cał kowitemu  zniszczeniu.  Oznaczając  ł ą czną  funkcję  gę stoś ci p rawd o p o d o bień st wa  procesów  skł adowych  przez  p(x,t)=p(x lt ...,x„;t)  m oż na form aln ie  wypisać  ró wn an ie  „ kin et yc zn e"  opisują ce  ewolucję  zniszczenia  w  czasie:- (4.1)  dpi*' t   °  -   &[p{x,  t);  2 ( 0 ,  0 ( 0 1 , gdzie  ££ jest  operatorem  dział ają cym  na funkcje  wystę pują ce  w  nawiasie;  Q(j)  — oznacza zespół   odpowiednich  parametrów  charakteryzują cych  wymuszenie  zewnę trzne,  @{t) — param etr  charakteryzują cy  pole  temperatury. W  takim  sformuł owaniu  problem  polega  n a  skonstruowaniu  operatora  i?  na  bazie informacji  o  oddział ywaniu  elementów  „ pierwotnych"  próbki  i  rozkł adzie prawdopodo- bień stwa  wytrzymał oś ci. N aturalny  i  stosunkowo  prosty  opis  otrzymuje  się  przyjmują c,  że  proces  zniszczenia jest  procesem  M arkowa.  Scharakteryzujemy  dokł adniej  tę  ideę. Zał óż my,  że  próbka  (lub  ogóln iej—ukł ad)  może  znajdować  się  w  jednym  z  J I + 1 stanów:  E o ,  E±,   ..., E n .  Stan E o   odpowiada  elementowi  idealnemu, zaś  stan  E„  charakte- ryzuje  pewien  okreś lony  stan  koń cowy  zniszczenia.  Przejś cia  ukł adu  z  jednego  stanu do  innego  moż liwe  są  tylko  w  wyniku  przejść  ód  stanu  poprzedniego  do  nastę pnego, tj.  wedł ug  schematu: .  E 0 - *E t ^   E z ^   ...  - * E t - i  -> Et  - +  - .  - »  Ą -i  ->  E n . N iech Ptj(s,  t)  oznacza prawdopodobień stwo  tego, że ukł ad który w chwili s znajdował się  w  stanie  E t   bę dzie  w  chwili  t  >  s  znajdował   się  w  stanie Ej', Pij(s, t)  są  prawdopodo- bień stwami  przejś cia  rozważ anego  procesu  M arkowa. Zgodnie  z  okreś leniem (4- 2)  A, 2_i  - PIJ(S>  0  =   1  dla  dowolnych  s,  t  >  s. Z e  wzglę du  na  moż liwość  przechodzenia  tylko  do  stanu  nastę pnego  Ptj(s, t)  =  0  dla j  <  i, wobec  czego  macierz P  =  {Pij(s, t)}  jest  macierzą  trójką tną,  przy  czym  przyjmuje się  iż  P, m (s,  0  =   1  (oznacza  to,  że jeż eli  ukł ad znalazł  się  w jakiejś  chwili  w  stanie E„, pozostaje  w  nim  na  zawsze  z  prawdopodobień stwem  1;  stan  E„  jest  pochł aniają cy). N iech  zgodnie  z  teorią  skokowych  procesów  M arkowa  qi(t)  oznacza  intensywność przejś cia  ukł adu ze  stanu Et w  chwili  t do stanu E i+1   w infinitezymalnym  przedziale  czasu (/ , t+At).  Oczywiś cie,  q a {t)  =   0.  Prawdopodobień stwa  przejś cia  P fJ   speł niają  znane równania  Koł mogorowa (4.3)  ^ wr1  -   - f t W .̂  o . > 0(4.4)  dpu 0  .  - qt (t)P u (s,  t) + gj. 1 (t)P tlJ ^ ( S)   0 , z  warunkami  począ tkowymi  (4.2). D RG AN IA  KON STRUKCJI  161 Rozwią zując  równania  (4.3), (4.4) wyznaczamy  prawdopodobień stwa  przejś cia  P>j{s,  t). Z  kolei,  trwał ość  (lub  funkcja  niezawodnoś ci)  elementu  (ukł adu) jest  scharakteryzowan a przez  P on (0,  / ),  tj.  przez  prawdopodobień stwo  przejś cia  ze  stanu  E o   do  stan u  E a , D la  ilustracji  zał oż ymy,  że  intensywnoś ci  przejś cia  # ;(/ )  są   funkcjami  postaci (4.5)  q t (f)  =   q t i . F unkcja  niezawodnoś ci  jest  wię c T (4.10)  P o n ( 0 , 0  -   Qoa(x)  =   Qon  (/   cp{z)dz). o W  przypadku  gdy  q- t  =  qj  — q  dla  wszystkich  0  <  i  ^  j  <  — 1  otrzymujemy  równania róż niczkowe  odpowiadają ce  procesowi  P oissona;  ich  rozwią zanie  ma  postać (4.H)  &_,(*)  =   e ~ ' * - g .̂ Jeż eli  qt(t)  ~  q  =  const,  to  prawdopodobień stwo  przejś cia  ze  stan u  E o   do  stan u  Ej  jest równe (4- 12)  Q0J(t)  =  f 00 Ponieważ  Y  2o;(O  =   1.  t o  prawdopodobień stwo  zniszczenia  zmę czeniowego  próbki (ukł adu),  bę dą ce  prawdopodobień stwem  przejś cia  do  stan u  Ej,  j  >  n  jest  równ e n- l U (4.13)  P(t) -   1 -   f A  zatem,  dł ugowieczność  ukł adu  ma  rozkł ad  gam m a. Zastosowanie  wyż ej  scharakteryzowanego  modelu  zniszczenia  wymaga  wł aś ciwego doboru  funkcji  intensywnoś ci  q t (jt).  N iestety  w  chwili  obecnej  brak  jest  iloś ciowych  kry- 162 K .  SOBCZYK teriów  pozwalają cych  szacować  postać  funkcji  qi{t).  Toteż  sprawdzianem  poprawnoś ci przyję tej  postaci  funkcji  intensywnoś ci  może  być  tylko  wymaganie  dobrej  zgodnoś ci teorii  z  doś wiadczeniem.  N iezależ nie  od  powyż szego,  w  celu  oszacowania  postaci  funkcji qi(t)  konieczny  jest  wybór  bardzo  konkretnego  modelu  mechanicznego  próbki,  której zmę czenie  badamy;  por.  n p.  [13]. 4.2.  Wzrost  szczeliny  Jako stochastyczny  proces punktowy.  Ogólnie  przyjmuje  się ,  że  proces zmę czenia  zachodzi  w  wyniku  formowania  się   i  rozwoju  szczelin.  D oś wiadczenia  poka- zują   jednak,  że chociaż w badanej próbce może pojawić  się   bardzo dużo szczelin,  to zawsze istnieje  jedn a  „ dominują ca"  szczelina,  która  jest  gł ównie  odpowiedzialna  za  ostateczne zniszczenie.- U zasadnione jest  wię c  opisywanie  procesu  zmę czenia  przez  badanie  wzrostu dominują cej  szczeliny.  Takie podejś cie  został o zaproponowane przez  VELLURI'EG O  W pracy [16] i jest  obecnie ogólnie akceptowane. Z drugiej  strony, wiadomo, że parametry materia- ł owe,  geometria  próbki,  charakter  obcią ż enia  i  inne czynniki  wpływają   na  proces  nagro- madzania  się   uszkodzeń  zmę czeniowych  w  sposób  bardzo  skomplikowany,  wobec  czego proces  ten  może  być  adekwatnie  opisany  jedynie  jako  proces  stochastyczny. W  tym  punkcie  pokaż emy  jak  moż na  charakteryzować  stochastyczny  proces  wzrostu dominują cej  szczeliny  wychodzą c  z  obserwacji  danych  doś wiadczalnych.  D ane  te — przedstawione  n a  rys.  4  wskazują ,  że  „uzasadnione jest  przyją ć,  iż  dominują ca  szczelina 2,6 | 2 , 2 K2,0 u  1 H V)  I,» O 3   1.6 1 / 1,2 "I  •  I  I  I  I — r =Ki  I I  i i  i r  — - - - - I  r 4935  5091  5467  5883 cykle  obciqienia R ys.  4  (wg  [16])  • wzrasta  w  sposób  przerywany  i  wzrost  ten zawiera  okresy  aktywnoś ci  i  „ drzemki" (patrz [16], s.  764).  Biorą c powyż sze pod uwagę  wydaje się  naturalne aby  charakteryzację   procesu wzrostu  dominują cej  szczeliny  oprzeć  n a  nastę pują cych  postulatach: 1)  w  chwili  t 0   istnieje  dominują ca  szczelina  o  dł ugoś ci L o   wystarczają cej  do  propagacji; 2)  wzrost  szczeliny  odbywa  się   skokami  o  losowej  wielkoś ci;  bę dziemy  oznaczali  przez F(l) —  dystrybuantę   dł ugoś ci  skoku,  tj.  prawdopodobień stwo,  że  jeż eli  szczelina wzrasta,  to  jej  przyrost  AL   jest  mniejszy  od  1; 3)  wzrost  szczeliny  obserwowany  w  czasie  zachodzi  w  losowo  rozł oż onych na  przedziale [t 0 ,  oo)  chwilach:  t lt   t z ,  ...,  t B   ...;  liczba  „ skoków"  w  dł ugoś ci  szczeliny  jest  losowa w  każ dym  ustalonym  przedziale  czasu — bę dziemy  tę   zmienną  losową   oznaczali  przez N ,  a  jej  rozkł ad  przez  (n k ; p k )- W  celu  otrzymania  bardziej  efektywnych  rezultatów  konieczne jest  przyję cie  zał oż enia, ż e: D RG AN IA  KON STRUKCJI  163 4)  zmienne  losowe  charakteryzują ce  wielkość  przyrostu  szczeliny  L   oraz  liczbę  skoków we  wzroś cie  szczeliny  N   są  niezależ ne. A.  U proszczony  model  „ statyczny".  ' Uż ywając  postulatów  1) —  3)  lub  1) — 4)  należy  wyznaczyć  rozkł ad  prawdopodo- bień stwa  G(x)  cał kowitej  dł ugoś ci  szczeliny  L tOt   w  koń cu  ustalonego  przedział u czasu,, tj- (4.14)  <7(*)- P {£ ,„< *}• Oznaczając  przez  G k (x)  prawdopodobień stwo  warunkowe,  że jeż eli  liczba  skoków  wynosi k,  to  cał kowity  wzrost  szczeliny  spowodowany  tymi  skokami  jest  mniejszy  od  x,  tj. Szukane  prawdopodobień stwo  G(x) jest  wtedy  równe (4.15)  .  G(x)  ] Zał óż my,  dla  uproszczenia,  że  przyrosty  dł ugoś ci  szczeliny  AL k   są  statystycznie  nieza- leż ne  wtedy (4.16)  .  G k (x) =  /   G k ^ (x- l)dF{l)  =   G k . t (x)*F(x). o N iech  liczba  skoków  w  dł ugoś ci  szczeliny  ma  rozkł ad Poissona (4.17)  .  ^  =  P {N   =  fc} = wtedy (4.18)  ' CO  CO  00   00 (L tot y  = f  xdG(x)  =  ] ? ^ -   f  xdG k (x)  -   ^ ^ L - km  = hn, O  fc  =   O  '  6 k = 0 gdyż  ś rednia  rozkł adu G k   jest  km;  m — oznacza  wartość  ś rednią  rozkł adu  F; (4.19)  < # o t >  =  J  x 2 dG(x)  = I o gdzie a2  =   fx 2 dF(x). N iech  dł ugoś ci  przyrostu  szczeliny  bę dą  scharakteryzowane  klasą  rozkł adów  gamma, tj. (4.20)  f( x )  =   F '(x)  m   r{b+l) x b s- ax ,  x>0,  b.*•   - 1 ; 164  K .  SOBCZYK wtedy ax &~ x +  I  w(ź )dz,  x  ?z 0 (4.21)  G(x)  =   i 0  ,  x  <0, gdzie CO < p(z)  =   Az6 e - a + I )  V D la  rozkł adu  wykł adniczego  (b  — 0) CO (4- 23)  tp(z) -   Ae ' ( A + z )  >  T , ; .  ' . R ozkł ad  wykł adniczy  przyrostów  szczeliny  odpowiada  sytuacjom  kiedy  wię kszym  przy- rostom  odpowiadają   mniejsze  prawdopodobień stwa,  zaś  mniejszym  przyrostom  wię ksze prawdopodobień stwa; wydaje  się , iż może on stanowić dobre przybliż enie w wielu realnych przypadkach .  P aram etr  a  m oż na  szacować  z  danych  doś wiadczalnych. Jeż eli  ]/  Xz jest  wielkoś cią   bardzo  mał ą   wtedy  szereg  (4.23) jest  szybko  zbież ny  i  war- toś ci  funkcji    3)  nastę pują ce  rozwinię cie daje  wystarczają co  dokł adne  wartoś ci  dla  0 O S   x<0, D RG AN IA  KON STRUKCJI  165 lub  w  postaci  cał kowej t (4.25)  L F (t)=fAL (r)dN (r),. o Wartość  przecię tna i  wariancja  L , ot (t)  przy  zał oż eniu, że  wielkoś ci  przyrostów  AL t   szcze- liny  w róż nych chwilach  t t   są   niezależ ne i mają  jednakowy  rozkł ad F(x) lubf(x),  są   równe (4.26)   =  L o   + /    /   xf(x)dx  = o W  celu  wyznaczenia  wariancji  należy  skorzystać  z  produktowych  funkcji  gę stoś ci  rzę du drugiego  wprowadzonych  do  opisu  procesów  punktowych  (por.  [17]).  Otrzymujemy t  i (4.27)  <2 o  o t t =   ^ g2{r 1 ,t 2 )dx 1 dx 2 [j  xf(x)dx] 2   + f  idN (r)y f  x 2 f(x)dx  = 0   0   0   0   0 t I =   m2 J  Jg 2 (rx,  T 2 )dr 1  dr 2   + a 2< N ( r) > . o o gdzie g 2 (ti,  r 2 ) jest produktową  funkcją   gę stoś ci  rzę du drugiego procesu N (t)  definiowaną nastę pują co giCji,  r 2 )dr l dr 2   =  , jeż eli  infinitezymalne  przedział y  di,  d 2   są   rozł ą czne, zaś  gdy  d x ,  d 2   zachodzą   na  siebie Jeż eli  proces  punktowy  N (?) jest  jednorodnym  procesem  Poissona  o  intensywnoś ci  X, tj- to ^ l( f)  =   A,  ^ 2 ( T i ,  T J )  - i  wobec  tego (4.28) ,  Rozważ ania  przedstawione  w  tym  punkcie  dotyczą  jedynie  nagromadzania  się   uszko- dzeń  zmę czeniowych  lub  inaczej — wzrostu  dominują cej  szczeliny.  N ie  wspominaliś my nic  o  tym jak  i  kiedy  szczelina  zaczyna  wzrastać  oraz jaka  jej  dł ugość  powoduje  znisz- czenie.  Proces  zarodkowania  szczeliny  jest  skomplikowany.  D ane  doś wiadczalne  wska- 2  Mech.  Teoret.  i  Stos.  2/80 166  K .  SOBCZYK ż ują,  że  przy  duż ych  amplitudach  naprę ż enia  szczeliny  pojawiają   się  już  w  pierwszych cyklach  obcią ż enia. W przypadku  drgań  stochastycznych  wydaje  się , że moż na z  wystar- czają cym  przybliż eniem  zaniedbać  okres  zarodkowania  szczeliny  przyjmują c,  że  pojawia się   ona wystarczają co  wcześ nie  w  procesie  obcią ż enia. Zał oż ona  „ począ tkowa", dł ugość dominują cej  szczeliny  (lub jej  rozkł ad) powinna  być szacowana  doś wiadczalnie. D ruga  wspomniana  kwestia  dotyczy  krytycznej  dł ugoś ci  dominują cej  szczeliny. Kry- tyczna  dł ugość  L „  szczeliny  zależy  od wielu  czynników,  np. przył oż onych  naprę ż eń S, temperatury  0,  wł asnoś ci  materiał u  (np..  moduł u  Younga  E) itp. Symbolicznie,  moż na zapisać (4.29)  •   L ct ^ L ct {S,&,EA) gdzie  I  oznacza  zespół   moż liwych  innych  czynników,  które,  w  zależ noś ci  od  sytuacji, należy  uwzglę dnić  w  obliczeniach.  Zależ ność  dł ugoś ci  szczeliny  od odpowiednich  para- metrów  może  być  oszacowana  z  doś wiadczeń.  Wydaje  się , że dla wykorzystania  modeli scharakteryzowanych  wyż ej  może  być  uż yta  pewna  zmodyfikowana  postać  kryterium G riffith'a,  orzekają ca  że (4.30)  •   L C T = J r gdzie  B  i  a  są   stał ymi;  np. KAeHHH 3  a  TaiOKe HeKOTOpbie  MOflejiH   cBH saH H tie  c  pacrrpQCTpaneH H eM   ycrajiocTH oił   Tpem H H H . S u m m a r y RAN D OM   VIBRATION S  AN D   STOCH ASTIC  M OD ELS  F OR STR U C TU R AL F AILU RES  i The  objective  of  the paper  is  to  present  the problems  and new  results  concerned  with  ran dom  vibra- tions  of  continuous  structural  systems  with  a  special  emphasize  to  associated  reliability  problems.  After a  short  description  of  basic  methods  of  stochastic  dynamics  of  structural  systems  the atten tion is  focused on  probabilistic  models  for  fatigue  failures.  The  stochastic  M arcovian  models  for  fatigue  accumulation and  some  models  associated  with  fatigue  crack  propagation  are  discussed  in  detail. I P P T  PAN Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  18 grudnia  1978  roku