Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  18  (1980) NIEKTÓRE  PROBLEMY  N IELIN IOWEJ  TEORII  POWŁ OK WOJCIECH   P I E T R A S Z K I E W I C Z  (GDAŃ SK) 1.  Wstęp W  pracy  autora  [1], w  oparciu  o  publikacje  do  koń ca  1973  r.,  dokonano  przeglą du róż nych wariantów  równań  nieliniowej  teorii pierwszego  przybliż enia  dla cienkich powł ok sprę ż ystych.  Podano  też  krótki  przegląd  prac  polskich  z  tej  dziedziny  oraz  wskazano na  niektóre  nierozwią zane  jeszcze  problemy. W  cią gu  ubiegł ych ponad czterech lat nastą pił  dalszy  rozwój  nieliniowej  teorii powł ok. Oprócz  prac  autora  [2- 11]  w  tej  dziedzinie  ukazał y  się  monografie  G ALIMOWA  [12], BRUSHA i  ALMROTHA  [13], AKSELRADA  £14] oraz  SZILKRU TA  i  WYRŁ ANA  [15] a  także arty- kuł y  przeglą dowe  LANGHAARA  [16],  SIMMONDSA  [17]  i  WEIN ITSCH KE  [18]  gdzie  podana jest obszerna dodatkowa bibliografia.  Opublikowano  też szereg oryginalnych  prac  [19 -  37] dotyczą cych  podstawowych  zagadnień  nieliniowej  teorii  powł ok.  N iniejsza  praca  ma  na celu  przedstawienie  niektórych  dodatkowych  w  stosunku  do  podanych  w  [1]  wyników uzyskanych  ostatnio  przez  autora  oraz  krótkie  omówienie  zwią zanych  z  tym  wybranych rezultatów  uzyskanych  w  innych  opublikowanych  ostatnio pracach. Deformację  otoczenia każ dej  czą stki  os'rodka  cią gł ego  moż na  rozł oż yć  na  trzy  stany elementarne:  sztywne  przemieszczenie,  czyste  rozcią gnię cie  wzdł uż  gł ównych  kierunków odkształ cenia  oraz  sztywny  obrót  skoń czony  kierunków  gł ównych.  Czę ść  obrotowa deformacji  opisywana  jest  zwykle  albo  przy  pomocy  tensora  ortogonalnego  R,  lub  przez trzy  ką ty  obrotu  (zwykle  ką ty  Eulera)  lub  też  poprzez  wektor  obrotu  skoń czonego £1, [38,  39]. Już  NOWOŻ YŁ OW  [40] wskazał ,  że  przy  mał ych odkształ ceniach oraz  wyeliminowaniu ruchu  jako  ciał a  sztywnego,  w  trójwymiarowym  ciele  sprę ż ystym  mogą  wystą pić  tylko mał e  obroty  elementów  materialnych,  [41].  Jednakże  dla  ciał   cienkich —  belek,  prę tów cienkoś ciennych,  pł yt  i  powł ok —  nawet  przy  mał ych  odkształ ceniach  mogą  wystą pić duże  obroty  elementów  materialnych  ciał a.  Jest  to  istotna jakoś ciowa  róż nica  w  zacho- waniu  się ciał  cienkich w  stosunku  do  ciał  o trzech wymiarach  tego  samego  rzę du. Wska- zuje  ona, że w nieliniowej mechanice powł ok obrotowa czę ść deformacji  powinna  odgrywać rolę  znacznie  wię kszą,  niż  to  ma  miejsce  dla  zagadnień  trójwymiarowych. Jest rzeczą  godną zastanowienia, że czę ść obrotowa deformacji  powł oki został a opisana dopiero  niedawno,  w  ramach  nieliniowej  teorii  typu  Kirchhoffa- Love'a  w  pracach  SIM - MÓNDSA  i  DANIELSONA  [42,  43],  którzy  uż yli  wektora  obrotu  skoń czonego  Si  gł ównych kierunków  odkształ cenia  jako  jedną  z  dwóch  podstawowych  zmiennych  niezależ nych nieliniowej  teorii  powł ok.  Obrót  elementu  brzegowego  powł oki  opisany  został   przez 170  W.  PlETRASZKIEWICZ N OWOŻ YŁ OWA  i  SZAMIN Ę  [44], którzy  uż yli  tu  wektora  cał kowitego obrotu  skoń czonego £l t .  W  tych  pracach  wektory  obrotu  skoń czonego  został y  wprowadzone  w  sposób  opi- sowy,  bez  ich  powią zania  z  innymi  zmiennymi  kinematycznymi,  jak  przemieszczenie powierzchni  ś rodkowej  lub  tensor gradientu  deformacji  powł oki. W  ramach teorii powł ok typu  Kirchhoffa- Love'a  teoria  obrotów  skoń czonych  został a  opracowana  w  [7, 8]. Ogólna  teoria  obrotów  skoń czonych  w  powł okach  podana  został a  w  [5,  10],  gdzie jako  przypadki  szczególne  uzyskano  wiele  zależ noś ci  uproszczonych,  sł usznych  dla  nie- liniowej  teorii  typu  Kirchhoffa- Love'a,  dla  teorii geometrycznie  nieliniowej  oraz  dla  teorii pierwszego  przybliż enia  cienkich  powł ok  sprę ż ystych.  Wprowadzenie  poję cia  obrotu skoń czonego  okazał o  się  niezwykle  poż ytecznym  i  umoż liwiło  m.in.  uzyskanie  nowych wariantów  geometrycznych  i  statycznych  warunków  brzegowych  [5,  7,  9], róż ne  mody- fikacje  ukł adu  równań  podstawowych  [9,  42,  43]  oraz  zbudowanie  nowej  klasyfikacji równań  uproszczonych  dla  geometrycznie  nieliniowej  teorii  cienkich  powł ok  sprę ż ystych przy  ograniczonych  obrotach  [7,  8]  (por.  również  [67,  68]). Istnieje  szereg  praktycznie  waż nych  zadań  zachowania  się  elementów  powł okowych, których  rozwią zanie  wymaga  uś ciś lonych  dwuwymiarowych  zależ noś ci  podstawowych. Wymień my  tu  n p.  obliczanie  wzglę dnie  grubych  powł ok  przy  nierównomiernych  ob- cią ż eniach,  okreś lanie  charakterystyk  dynamicznych  powł oki  od  szybkozmiennych  ob- cią ż eń,  zadania  kontaktowe,  obliczanie  powł ok o duż ej  anizotropii  itp.  U ś ciś lenie  zależ- noś ci  nieliniowej  teorii  powł ok, przy  zał oż eniu liniowoś ci  rozkł adu przemieszczeń  na gru- boś ci  powł oki,  przedyskutowano  w  [5, 45]. Przy  konstruowaniu  róż nych  zależ noś ci  geometrycznie  nieliniowej  teorii  powł ok szczególną  uwagę  należy  zwrócić  n a  sposób  wprowadzenia  uproszczeń  sł usznych  przy mał ych odkształ ceniach. Okazuje  się, że szereg wzorów i definicji  pojawia  się tutaj w postaci róż nicy  wielkoś ci  tego  samego  rzę du.  N ależy  więc  najpierw  wykonać  dział ania  ś ciś le (t.zn.  z  uwzglę dnieniem  skoń czonych  odkształ ceń ),  dopiero  w  zależ noś ciach wynikowych moż na  pomijać  czł ony  mał e  w  stosunku  do  jednoś ci.  Wprowadzanie  uproszczeń  w  za- leż noś ciach  poś rednich  może  doprowadzić  do  bł ę dnych  wzorów  koń cowych.  Z  tego  też powodu  w  niniejszej  pracy  wszelkie  zależ noś ci  geometrycznie  nieliniowej  teorii  powł ok wyprowadzane  są  najpierw  ś ciś le,  bez  nał oż enia  ograniczeń  na  odkształ cenia. U prosz- czenia  wynikają ce  z  zał oż enia mał ych  odkształ ceń wprowadzane  są  dopiero  do zależ noś ci wynikowych. W  p . 2 i  3 przedstawiono  niektóre  dodatkowe w  stosunku  do  [1] zależ noś ci  nieliniowej teorii  powł ok  cienkich. U zyskano  je,  nakł adając  wię zy  Kirchhoffa- Love'a  na  deformację powł oki.  Zmianę  gruboś ci  powł oki  podczas  deformacji  uwzglę dniono  dopiero  w  rów- naniach  konstytutywnych  powł ok  sprę ż ystych.  Taki  uproszczony  opis  deformacji  jest uzasadniony  w  ramach  geometrycznie  nieliniowej  teorii  pierwszego  przybliż enia  dla cienkich  powł ok  sprę ż ystych  dyskutowanej  w  p.  4,  która  jest  zasadniczym  celem  po- przednich  zależ noś ci.  D alsze  uproszczenia  równań  podstawowych,  wynikają ce  z  kon- sekwentnie  ograniczanych  parametrów  obrotu  skoń czonego,  przedyskutowano  w  p.  5. W  p .  6  podan o  zasadnicze  zależ noś ci  ogólnej  teorii  obrotów  skoń czonych  w powł okach, a  w  p .  7  przedyskutowano  moż liwoś ci  uś ciś lenia  modelu  geometrycznie  nieliniowego obliczania  powł ok  sprę ż ystych.  N a  zakoń czenie  w  p.  8 podano niektóre problemy teore- tyczne  wymagają ce  dalszych  badań. PROBLEMY  TEORII  POWŁ OK  171 2.  Obroty  skoń czone  w  teorii  powł ok  typu  Kirchhoffa- Love'a W  niniejszej  pracy  stosujemy  ukł ad  oznaczeń  uż ywany  w  [1,  5,  7].  N iech  r(&a)  = =   xk(&a)i k   oraz  F (# a) =   xk(;&a)i k ,  k  =   1, 2,  3,  bę dą  wektorami  wodzą cymi  pun któw powierzchni  ś rodkowej  powł oki  w  konfiguracji  odniesienia  i  aktualnej,  T  — %(/ ),  gdzie • &*,  a  =  1, 2,  są  współ rzę dnymi  konwekcyjnymi  na  powierzchni,  n atom iast  % oznacza funkcję  deformacji.  W  konfiguracji  odniesienia  geometrię  powierzchni  Jt  opisują  ko- wariantne wektory  bazy  a a   =   r, a ,  kowariantne  skł adowe  a a p  =   a a - a p   ten sora  metrycznego powierzchni  z  wyznacznikiem  a  =   \ a afi \ ,  wektor  jednostkowy  n  =—eapa a xa / }   prosto- padł y  do  powierzchni  oraz  kowariantne  skł adowe  b a p  =  a Uifr n  tensora  krzywizny  b powierzchni.  Tutaj  (  ) , a  oznacza  pochodną  czą stkową  wzglę dem  ft a ,  e afs  są  skł adowymi tensora  permutacji,  a  przez  (  ) l a  bę dziemy  oznaczać  powierzchniową  poch odn ą  kowar- iantną  n a Jt.  Analogiczne  wielkoś ci  geometryczne  zwią zane  z  powierzchnią  odkształ coną ~jf  =   %{JM) wyróż niać  bę dziemy  kreską,  n p .:  a a ,  n,  a a/ ! ,  a,  b ap ,  £ a / ) ,  (  ) I | K . Podczas  deformacji  powierzchni  ś rodkowej  powł oki  wektory  bazy  a a ,n  wyraż ane są  przez  wektor  przemieszczenia  u  =  H—r =  u a a a +wn  zależ noś ciami a a   — h a a x +tp a n,  n  = (2.1)  h a   =   a ia +u Ma - b Aa w, 

  oznaczono  operację  iloczynu  tensorowego. Stosując  twierdzenie  o  rozkł adzie  polarnym  [38]  d o  tensora  nieosobliwego  G  przed- stawimy  go  w  postaci (2.3)  G  =  RU=VR,  G 1  =   U'1!?  =   RTV~ V, gdzie  U i  V są  lewym i prawym  tensorami rozcią gnię cia,  natom iast R jest  tensorem  obrotu skoń czonego. Tensory  Ui  F są  dodatn io okreś lone i symetryczne, n atom iast R jest tensorem ortogonalnym  takim,  że  deti?  =   + 1 . Przy  pomocy  zależ noś ci  u  =  f—r  oraz  (2.3)  deformacja  otoczenia  powierzchni  ś rod- kowej  powł oki  został a  rozł oż ona  analitycznie  n a  trzy  stany  elem en tarn e:  czystą  tran s- lację,  czyste  rozcią gnię cie  wzdł uż  gł ównych  kierunków  odkształ cenia  oraz  obrót  skoń- czony  kierunków  gł ównych.  Rozkł ad  (2.3)  poprzez  U,  spójny  z  opisem  Lagran ge'a,  oraz rozkł ad  (2.3)  poprzez  V,  spójny  z "opisem  Eulera,  róż nią  się  tylko  kolejnoś cią  nał oż enia t ych  trzech  stanów  elementarnych.  .  •   . 172  W.  PlETRASZKIEWICZ Z  (2.2) i  (2.3) wynika, że (2 . 4 ) aa  -   Raa  -   Ffla,  n  - *a«  =  Ua a ,  a=  Ra a . Tutaj  wprowadzone  został y  dwie  powierzchniowe  bazy  poś rednie:  Lagrange'owska a a ,  powstają ca  z  bazy  a a   przy  czystym  jej  rozcią gnię ciu  wzdł uż  gł ównych  kierunków odkształ cenia,  oraz  Eulerowska  a a ,  powstają ca  z  bazy  a a   przez jej  obrót  skoń czony. W  dalszych  rozważ aniach  wygodnym  jest  wprowadzenie  symetrycznych  tensorów odkształ cenia  współ osiowych  z  U: (2.5)  .  y a/ i   =  - ^ - (a a 0- a a p)  =- ^ {^ (2.6) gdzie  1 =   a „ ® a a + n ® n  jest  tensorem  metrycznym  trójwymiarowej  przestrzeni  Eukli- desowej,  obliczonym  n a M.  Podkreś lmy, że ya/ 3 są   wielomianami  drugiego  stopnia wzglę - dem  przemieszczeń,  lecz  zależ noś ci  geometryczne  zawierają ce  1 /  —  są   funkcjami nie- wymiernymi  wzglę dem  y a p.  Z drugiej  strony  y a p są   funkcjami  niewymiernymi  przemiesz- czeń,  lecz  1/   —  staje  się  wielomianem  kwadratowym  y aB .  Przy  mał ych odkształ ceniach 7a/s  i  y,  pro st o pad ł ą   d o  Jt  i  okreś loną   wektorem  p(s,  C) =   T (s)  + Cn(s). P o - wierzch n ię   d0>  m o ż na  zad ać  jedn ozn aczn ie  przez  zadan ie  n a  ^  przemieszczeń  u  oraz funkcji  /9„ & ^—?f- ^   .  W  [7,  8]  wykazan o,  że  powierzchn ię   80>  m o ż na  równ ież i+2y tt  I okreś lić  w  sp o só b  uwikł an y  poprzez  odpowiedn ie  ukł ady  ró wn ań  róż n iczkowych  [44], zadają c  n a #   a lbo  fl t ,  y tt   lub k t>   y tt .  Z adają c  wartoś ci  Q t   oraz  y„  powierzchn ię   brzegową PROBLEMY  TEORII  POWŁOK  175 d&  okreś lamy  z  dokł adnoś cią   do  sztywnego  przesunię cia  w  przestrzeni,  a  zadają c  war- toś ci k, oraz y tt   okreś lamy ją   z dokł adnoś cią  do sztywnego ruchu w przestrzeni.  W ramach teorii  K- L mamy wię c nastę pują ce  trzy  warianty  geometrycznych  warunków  brzegowych: a)  przemieszczeniowe,  u(s)  =   A(s),  /? (s)  =   b(s), (2.20)  b)  kinematyczne,  Q t (s)  =   m(s),  y tt (s)  =  / (/ ), c)  deformacyjne,  k t (s)  -   q(s),  y n (s)  =   l(s). Wię kszość  zadań  z  nieliniowej  teorii  powł ok  rozwią zuje  się   w  przemieszczeniach, co  wymaga  stosowania  przemieszczeniowych  warunków  brzegowych.  Warunki  kinema- tyczne  (2.20)2  odpowiednie-  są   przy  rozwią zywaniu  zadań  poprzez  wektor  obrotu  skoń- czonego  [42,1 43].  Szczególnie  interesują cymi  są   jednak  deformacyjne  warunki  brzegowe (2.20)3, gdyż wyraż one  są   one  cał kowicie poprzez  miary  odkształ ceń na  brzegu  powł oki. Umoż liwia  to  formuł owanie  i  rozwią zywanie  zadań  nieliniowej  teorii  powł ok  cał kowicie poprzez  miary  odkształ cenia jako  zmienne  niezależ ne  [9]. G dy  wartoś ci  u  oraz p r   są   znane na  cg >  wartoś ci  Q t ,  k, oraz y tt   ł atwo jest  okreś lić  sto- sują c  odpowiednie  wzory  róż niczkowe.  Jeś li  jednak  tylko  wartoś ci  k t   oraz  y n   są   znane na  ^ ,  do  okreś lenia  Q t   trzeba  rozwią zać  równanie  róż niczkowe  (2.17).  Równaniem  o po- dobnej  strukturze  opisywany jest  ruch  ciał a  sztywnego  dookoł a  punktu  stał ego  [39] i me- tody  rozwią zania  rozwinię te  w mechanice analitycznej  mogą   być pomocne przy  okreś laniu il t   poprzez  znany  k t . 3.  D odatkowe  zależ noś ci  teorii  typu  K- L Równania  podstawowe  teorii  powł ok typu  K- L, zarówno  w  opisie  Eulera jak  i  opisie Lagrange'a,  został y  szczegół owo  omówione  w  przeglą dzie  autora  [1].  Podajmy  tutaj niektóre  dodatkowe  przedstawienia,  dotyczą ce  równań  równowagi  oraz  statycznych warunków  brzegowych,  uzyskane  w  [7 -  9]. Rozważ my  powł okę   o  jednospójnej  powierzchni  ś rodkowej  w  stanie  równowagi. N iech na powł okę   dział a  obcią ż enie powierzchniowe p,  dane na jednostkę   powierzchni  Jł , oraz  siły  F  i  momenty  K  brzegowe,  dane  na  jednostkę   dł ugoś ci  krzywej  brzegowej  (€. Dla  każ dego  pola  przemieszczeń  wirtualnych  du  istnieją   symetryczne  Lagrange'owskie tensory  sił  wewnę trznych  i  momentów  N   =  N ^ a^ a^   i  M  =  M apa„,®a p   takie,  że zasada pracy  wirtualnej  w  opisie  Lagrange'a  ma  postać (3.1)  fj  (N aPdy a p+M^ 8x afi )dA  = Jj  p-  6udA 4•   /   (F-   du+KSQ t )ds Po  dokonaniu  odpowiednich  przekształ ceń łewą   stronę   (3.1)  przedstawimy  w  postaci / /   (N ^ óy^  + M^ dn^ dA =   - / /   (GN %dA+J c ,/ /   / ( 3 . 2 )  • *   .   • * J c   =  J  (P„-  óu+M„a t   •   dQ t )ds+M tv n  • 176  W.  PlETRASZKIEWICZ g d z i e  •   •   i oraz  Af„, «  ==  1, 2,  ... JV są   wierzchoł kami zał omów krzywej  # , okreś lonymi  przez ^ =  s„. Z  (3.1)  oraz  (3.2)  wynikają   znane  wektorowe  równania  równowagi (3.4)  (GN %+ V   =  0 oraz  odpowiednie  naturalne  warunki  brzegowe. Przedstawiają c  (3.4)  poprzez  skł adowe  w  róż nych  bazach  uzyskuje  się   pię ć  róż nych postaci  równań  równowagi.  W  [1]  podano  postacie  równań  wynikają ce  z  rozł oż enia analogicznego  do  (3.4)  równania  w  bazach  a a ,  n  lub  a a ,n.  W  [7]  uzyskano  jeszcze  inną postać  rozkł adu  (3.4)  w  bazie  a a ,  n: K(Q% + rfy^ Q^  - W )  + n"(Q% + h^ )+p a  =   0, gdzie Cechą   ukł adu  (3.5) jest  to, że  parametry  1%,  na,  ę ^  n> bę dą ce  skł adowymi  tensora  G, nie są   tutaj  róż niczkowane,  co może mieć pewne znaczenie przy  rozwią zywaniu  niektórych zadań. Wprowadzają c  wektor  Ń p  =  UN 13 **  Q^ aa+Q^ n równanie  (3.4)  moż na  przedstawić w  postaci {RŃ %+p_ -  0, ( 3- 7)  v  v  v  i - Qx(QxN ls ). 2cos2co/ 2 Przedstawiają c  (3.7)  róż nymi  drogami  w skł adowych  wzglę dem  bazy  poś redniej  «„, n w  [7]  uzyskano  dwie  równoważ ne  postacie  równań  równowagi,  które  mogą   stanowić wygodną   podstawę   do  dalszych  uproszczeń.  W  podobny  sposób  moż na  wyprowadzić równanie  równowagi  w  skł adowych"  bazy  poś redniej  a a ,  n,  definiują c  N ^  / i  odpowiednio  modyfikują c  równanie  (3.4).  Taką   postać  równań  podano  w  [42]. Ponieważ  <5/?„   =   (dft,Xh)- v  — 3Q t - t,  gdzie  t jest  wersorem  stycznym  a  v jest  wer- sorem  zewnę trznej  normali  do    i/ l+2y tt M„, (3.10) - yi+2y tt B r , i  • + • iytt Zakł adają c  na  brzegu  <€  wartoś ci  odpowiednich  parametrów  statycznych  ż  (3.10) otrzymamy  trzy  warianty  statycznych  warunków  brzegowych  nieliniowej  teorii  powł ok typu  K- L.  Te  statyczne  warunki  brzegowe  są   energetycznie  spójnymi  z  odpowiednimi wariantami  geometrycznych  warunków  brzegowych.  Czł ony  pozacał kowe,  pojawiają ce się   w  (3.2)2  oraz  (3.9),  okreś lają   dodatkowe  warunki  które  muszą   być  speł nione w  za- ł omach  krzywej  brzegowej  lub  w  miejscach  niecią gł oś ci  obcią ż enia  brzegowego. 4 .  Geometrycznie  nieliniowa  teoria  cienkich  powł ok  sprę ż ystych Zał óż my,  że  ekstremalne  odkształ cenia w  powł oce są   małe*.  Ś cisłe  oszacowanie  stanu naprę ż enia i  odkształ cenia w  izotropowej  powł oce sprę ż ystej,  obcią ż onej  tylko  na  brzegu, podał   John  [49].  Prowadzi  to  w  sposób  ś cisły  do  nastę pują cej  funkcji  energii' sprę ż ystej teorii  pierwszego  przybliż enia  [50,  11]  , (4.1)  ^   =\ H gdzie  $ jest  mał ym parametrem zdefiniowanym  w  [69,  1] a  zmodyfikowany  tensor  sprę - 1 7 8  W.  PlETRASZKIEWICZ ż ystoś ci,  w  przypadku  izotropii  materiał u, przyjmuje  postać (4.2) =   - j- ^ laa+aa  +  ^ 2(1 + v)  \   \ - v Wyraż enie  (4.1)  ujmuje  energię   sprę ż ystą   od  rozcią gania  (ś ciskania)  i  od  zginania powierzchni  ś rodkowej  powł oki,  a  także  energię   sprę ż ystą   od  zmiany  gruboś ci  powł oki podczas  deformacji,  która  jest  uję ta  w  zmodyfikowanym  tensorze  sprę ż ystoś ci  H. Z  (4.1) wynika,  że w  ramach bł ę du  teorii  pierwszego  przybliż enia  y aP   mogą   być  okreś- lone  z  dokł adnoś cią   do  czł onów  O(t]$2)  natomiast  x aji   —  z  dokł adnoś cią   do  czł onów I.  Przy  mał ych odkształ ceniach wyraż enie  niewymierne  (2.13)  dla  tensora  zmiany krzywizny  moż na  wię c  uproś cić  do  wielomianu  pią tego  stopnia,  upraszczają c  n  oraz  n fl do  postaci  [7] ( 4 3 )  n  - n„  = gdzie (4.4) i  i  i & a p  -   y  ("«I/ J +  * W  -   b*ts w>  co«/3 =  y  (w,s|a -   ««i/»)»  , ani  przemieszczenia  lub  ich gradienty jako  takie  nie opisują   obrotu  skoń czonego wł ókien materialnych  powł oki. W  literaturze pojawiają   się   też prace, w  których warianty  uproszczone wg  powyż szych zasad  nazywane  są   równaniami przy  „mał ych,  ś rednich, duż ych  etc. obrotach". Jednakże takie  nazwy  nadawane  są   intuicyjnie,  bez  zdefiniowania  poję cia  „ obrotu" który  ma  być w  jakimś  sensie  ograniczony.  Może  to  prowadzić  do nieporozumień. Poprzez  rozkł ad polarny  gradientu  deformacji  (2.3)  odkształ cenia i  obroty  elementów materialnych  powł oki  został y  cał kowicie  rozdzielone.  W  p.  4  zał oż yliś my,  że  odkształ - cenia  są   mał e.  Jest  wię c  rzeczą   naturalną   ograniczyć  teraz  parametry  wektora  obrotu skoń czonego  J2,  tzn.  ką t  obrotu  co  oraz  kierunek  osi  obrotu  okreś lony  przez  e. W  ramach  geometrycznie  nieliniowej  teorii  cienkich  powł ok  sprę ż ystych  moż na  uż yć mał ego  parametru  • &  do  nastę pują cej  klasyfikacji  obrotów  [5, 7]: 1) w  <  O(&2)  —  mał e  obroty 2)  w• =  O{&)  —um iarkowan e  obroty 3)  co  =    0(1)  —skuń czone  obroty Przypadek  mał ych  obrotów  prowadzi  do  klasycznej  liniowej  teorii  powł ok. Przy  zał oż eniu  umiarkowanych  obrotów  otrzymamy | fl|   =   0 (0 ),   Si •   aa•   =   0 ( 0 ) ,   Q •  n =   0 ( 0 ) . a + —  j Powierzchniowe  miary  odkształ cenia,  w  ramach  bł ę du  energii  odkształ cenia  (4.1), przyjmują   postać (5. 2)  y«s =   ^ - - y ^ + ^ J +  ̂ + PROBLEMY  TEORII  POWŁOK  181 ~ Wprowadzają c  (5.2)  do zasady  pracy  wirtualnej  (3.1)  otrzymamy  wektorowe  równania równowagi  (3.4),  gdzie (5.3)  GN P 2 Odpowiednie  zależ noś ci  w skł adowych  w bazie  a a , n podano w  [8]. W  wielu  technicznie  waż nych  przypadkach  tylko  obroty  dookoł a  stycznych  do Jt mogą   być umiarkowane, podczas  gdy  obroty  dookoł a normali do Ji  są  mał e, gdyż powł oki są   na  ogół   znacznie  sztywniejsze  na  odkształ cenia w swej  powierzchni,  niż  na  odkształ - cenia  z powierzchni.  W takim  przypadku  również  ę  =  O(# 2) w  (5.1)  i w ramach  tych samych  oszacowań  zależ noś ci  (5.1) -  (5.3)  moż na uproś cić  odrzucają c  czł ony podkreś lone. Zauważ my,  że dopiero w tym  przypadku  Q — d> +  0(?7# ), czyli  obrót  skoń czony  pokrywa się , z  obrotem  zlinearyzowanym,  stosowanym  w liniowej  teorii  powł ok. Przy  zał oż eniu  duż ych  obrotów  otrzymamy la)  + Wprowadzają c  (2.5)  oraz  (5.5)  do  (3.1)  otrzymamy  wektorowe  równania  równowagi (3.4),  gdzie (5.6) -  + - IM [   aa+ 3  Mech.  Teoret.  i  Stos.  2/80 182  W.  PlETRASZKIEWICZ [f 1  ~ Jeż eli  dookoł a  normali  dopuszczone  są   umiarkowane  obroty,  to  w  (5.4)2  95 =   (# ) i  w  zależ noś ciach  (5.5)  oraz  (5.6)  moż na  opuś cić  czł ony  podkreś lone  linią   cią gł ą.  G dy dookoł a  normali  dopuszcza  się   tylko  mał e  obroty  to  ę   — O (# 2)  i  (2.5)  upraszcza  się do  postaci (5.7)  j y j  j natomiast  w  (5.4)3  i  (5.5)  moż na  jeszcze  dodatkowo  opuś cić  czł ony  podkreś lone  linią falistą .  Wprowadzają c  tak  uproszczone miary  odkształ cenia powł oki  do  (3.1)  otrzymamy (3.4),  gdzie (5.8)  GN "  ^ J Postać  równań  równowagi  w  skł adowych  w  bazie  a a ,  n jest  oczywista. 6.  Ogólna  teoria  obrotów  skoń czonych  w powł okach Przy  formuł owaniu  udokł adnionych  zależ noś ci  nieliniowej  teorii  powł ok  nie  wolno już  stosować  wię zów  K.- L, ponieważ  nawet  w  opisie  deformacji  mogł oby to  doprowadzić do  zauważ alnych  bł ę dów. Podczas  deformacji  powł oki jako  ciał a  trójwymiarowego  wektory  bazy  przestrzennej n a  powierzchni  ś rodkowej  Jl  powł oki  w  konfiguracji  odniesienia  a a   =  (a a ,  n),  a  — =   1, 2, 3,  deformują   się   w  wektory  bazy  przestrzennej  u a   na  powierzchni  odkształ conej Jl  =   %{M).  W  szczególnoś ci,  wektor  a 3   s  n  po  deformacji  przechodzi  w  wektor  a 3 , który  nie jest  n a  ogół   ani  jednostkowym  ani  prostopadł ym  do  Jt,  a 3   #   n.  Wektory  a a oraz  a a   okreś lają   skł adowe przestrzennych  tensorów  metrycznych  a ab   — a a -   a b   oraz a ab   = =   a a a b . Wektor  przemieszczenia  v  dowolnej  czą stki  powł oki  ma  postać  szeregu (6.1)  v  =   u+CP+...,  p  =  «3 - «  =  ySaa a+ / 3«, gdzie,  w  ramach  liniowego  przybliż enia,  wystę pują   dwa  niezależ ne  parametry  przemiesz- czenia  «  i  p. Teorię   deformacji  powł oki,  przy  zał oż eniu  liniowoś ci  przemieszczeń,  szczegół owo podan o  w  [5].  Tutaj  przedstawimy  niektóre  zależ noś ci  dotyczą ce  gł ównie  obrotowej PROBLEMY  TEORII  POWŁ OK  183 czę ś ci  deformacji  [10],  które  uzyskuje  się an alogiczn ie ja k w p . 2, jedyn ie  zależ n oś ci wy- n ikowe  są  bardziej  skom plikowan e. N a  powierzchni  ś rodkowej  okreś lony  jest  ś cisły  t en so r  gradien t u  deform acji (6.2)  G  =  a a ®a",  G' 1  =  «0 ® a a ,  ' poprzez  który  zdefiniowane  są  m iary  odkształ cen ia  powł oki (6.3) f i  =  ±- (GTI TkG- b2),  I  =   - fl3ifl W  ram ach liniowego  przybliż en ia  (6.1)Ł   m iary  odkształ cen ia (6.3) są fun kcjam i  kwadra- towym i  u i P oraz  ich  gradien tów.  Jedn akże  tylko  skł adowe  y ab   oraz  n iaPi   =  - y O^ +  71^ wystę pują  jako  niezależ ne,  n at o m iast  fi jest  wyraż alne  przez  y i  n  oraz  T C 3 / 3 l =   y 3 3 i / 3 . Stosując  do (6.2)  twierdzen ie  o rozkł adzie  p o larn ym  (3.1)  m o ż na  okreś lić  Lagran ge'- owską  przestrzenną  bazę  poś redn ią  a a  =  Ua a   i  zm odyfikowan y  t en so r  odkształ cen ia y  =  U—l, poprzez  kt ó re  wyraż amy  ten sor  o br o t u  skoń czon ego  R  oraz  wekt o r  o br o t u skoń czonego  ii  gł ównych  kierun ków  odkształ cen ia  wedł ug  n astę pują cych  wzo ró w: (6.4)  R =  a a ®a a   = (6.5)  2*2 =   eabc(d a   •  a b )a c   = a a Z ależ noś ci  te są  niewym iernym i  funkcjami  u i  /?. Róż niczkując  Q  otrzym am y  (2.11),  gdzie  teraz ( 6- 6)  kp^ e^ iy^ .^ - A^ Yaf,  A eaf)   =  ^ a Bh y eg y ah .p, n atom iast  ( ).fl  jest  przestrzen n ą  poch odn ą  kowarian t n ą,  obliczon ą  n a Jt  p rzy  po m o cy a ab .  W  szczególnoś ci  y afi;3   — n^ ^   + b^ y^ Ą - b^ y^ ,  co pozwala  rozwią zać  zależ n ość (6.6) wzglę dem  7rtB/9>  otrzym ując (6.7)  jr( o ( J )  =- j(e3a!ik ll  + emk a)- a k - ~(b^ y  ̂ + b K py >,  która  nie jest  na  ogół   ani  prostokreś lna ani prostopadł a do  Jt wzdł uż  krzywej  #   =   %($).  W  otoczeniu  (6  dla  wektora  wodzą cego  p  =  x(p)  mamy roz- winię cie (6.8)  p(s,  0  =   F które  przybliża  di1  pewną   powierzchnię   prostokreś lna  okreś loną   przez  liniową   czę ść (6.8).  Ortonormalna  trójka  wektorów  *,  n,  v  deformuje  się   w  trójkę   ukoś noką tną  a t   = =   t + ——,  a 3  —  «+ / ?, «„   =   3 t x a 3  o  dł ugoś ciachas a t   =  \ a t \   =  |/ l+ 2 y„ ,  tf3  =   \ h\   =   |/ l + 2 y 3 3 , ( 6 9 ))  5,  -   \ a v \   - gdzie  yt t ł   y3 ( ,  y 3 3  są   fizycznymi  skł adowymi  odkształ cenia na  brzegu  powł oki.  Wprowa- dzają c  wektor (6.10)  a m   =a v xa t   = afi 3 - 2y 3t u t ,  a m   =  a„a t , moż na  pokazać,  że  deformacja  wersorów  t,  n,  v  w  «,,  a,„, a,, skł ada  się   z  ich  odpowied- niego  rozcią gnię cia  (6.9)  i  (6.10)  oraz  dwóch  kolejnych  obrotów  skoń czonych.  Obroty te  mogą   być  zastą pione  jednym  równoważ nym  obrotem  skoń czonym,  wykonywanym przy  pomocy  tensora  R t   lub  wektora  Q t ,  okreś lanych  poprzez  u  i  fS  zgodnie  z  zależ noś- ciami (6.11) Róż niczkowanie  Q t   prowadzi  do zależ noś ci  (2.17), gdzie dla skł adowych k t   otrzymano ś cisłe  wzory  poprzez  miary  odkształ cenia y ab   oraz t  -   - -̂ =-   l/ a v a m  L  r (6.12) 1 - knt  =   Ĵa v u t Yabc  =   ya Powierzchnię   prostokreś lna  okreś loną   przez  liniową   czę ść  (6.8)  moż na  zadać jedno- znacznie zadają c  wartoś ci  u oraz fi na <€.  W  [5] pokazano, że zadanie  Q t   oraz y tt ,  y 3i ,  y 3 z lub  k t   oraz  ye f,  y3 t ,  y 3 3  również  okreś la  tę   powierzchnię   w  sposób  uwikł any,  z  dokł ad- noś cią   do  sztywnego  przesunię cia  lub  sztywnego  ruchu w przestrzeni.  W  ten sposób  rów- nież  w  ogólnym  przypadku  deformacji  powł oki  został y  sformuł owane  kinematyczne PROBLEMY  TEORII  POWŁOK  185 i  deformacyjne  warun ki  brzegowe,  umoż liwiają ce  form uł owan ie  ogóln ych  zagadn ień nieliniowej  teorii  powł ok  w  odpowiedn io  zm odyfikowan ych  zm ien n ych  n iezależ n ych. P odan e  tutaj  zależ noś ci,  wynikają ce  z  obrotowej  czę ś ci  deformacji,  są   trój wym iar owo ś cisł ymi  n a  powierzchni  ś rodkowej  powł oki,  gdyż  uwzglę dn ien ie  wyż szych  wyrazów rozwinię ć  (6.1)j  oraz  (6.8)  n ie  zmieni  kierun ku  a 3  stycznej  do  zdeform owan ego  wł ó kn a m aterialn ego obliczonej n a ^ .  Stą d  też  odpowiedn ie  wzory  dla  róż n ych wa r ia n t ó w  uprosz- czonych  wynikają   z  tych  zależ noś ci  ja ko  przypadki  szczególne.  W  szczególnoś ci,  ł at wo zauważ yć,  że  n akł adają c  wię zy  K- L  (tzn.  przyjmują c  TC(a/5) =   %aP,  y3a  =   y 3 3  =   7r3a  =   0, a 3   -   it)  z  tych  ś cisł ych  zależ noś ci  otrzym am y  odpowiedn ie  wzory  p o d a n e  w  p .  2.  I n n e uproszczen ia  tych  zależ noś ci  dla  teorii  geometrycznie  nieliniowej,  dla  teorii  pierwszego przybliż enia  powł ok  sprę ż ystych  oraz  przejś cia  gran iczn e  d o  liniowej  teorii  p o wł o k  typu R eissn era  i  klasycznej  liniowej  teorii  powł ok  dyskutowan e  są   w  [5,  10]. 7.  U ś ciś lone  zależ noś ci  teorii  geometrycznie  nieliniowej  dla  powł ok  sprę ż ystych D wuwym iarowe  ró wn an ia  ruch u  w  opisie  Lagran ge'a  oraz  odpowiedn ie  warun ki brzegowe  i  począ tkowe,  spójne  z  (6.1)i,  m oż na  uzyskać  albo  drogą   bezpoś redn iego  cał - kowan ia  po gruboś ci  powł oki lokaln ych równ ań ru ch u o ś ro d ka cią gł ego w  opisie  Lagran ge'a [55],  lub  stosują c  zasadę   H am ilt o n a  [5].  W  rezultacie  otrzym am y  n astę pują cy  u kł ad równ ań  ruchu (GM p ) w - GN 3   + l  = gdzie GN "  =  Q ab a a ,  Qab  -   N ab  +  ( G ? A +   a ac y c3X )  , ( 7 - 2 )   GM"  =   JiaPa a ,  R"" =   M"? + (Gh  +  a'"y c3X )  K Kp . Tutaj  N ah,  M ah  i  Ka&  są   skł adowym i  Lagran ge'owskich  sił   wewn ę trzn ych  i  m o m en t ó w jgo  j  2s°  rzę du, / jest  wektorem  m om en tów powierzchn iowych,  Q o ,  Qi,  Q2  są   ch arakterysty- kam i  bezwł adnoś ciowymi  powł oki,  (  )  s  —-   oraz  G%n są   przestrzen n ym i  sym bolam i Christoffela  n a  Ji. R ozkł adają c  (7.1)  w  bazach  konfiguracji  odn iesien ia  a a ,  kon figuracji  akt u aln ej  a a lub też w  bazie  poś redniej  a a   uzyskan o  w  [5] pię ć róż n ych  postaci u kł ad ó w r ó wn a ń cał kowi- cie  wyraż on ych  poprzez  wielkoś ci  Lagran ge'owskie.  K a ż da  z  tych  postaci  p o siad a  cechy szczególne,  które  m ogą   m ieć znaczenie  przy  ich  wykorzystan iu.  W  szczególn oś ci  skł adowe równ ań  równowagi  (7.1)  w  bazie  a a   mają   p o st ać (7.3) ]/ '̂ P* -  0, 186  W.  PlETRASZKIEWICZ - = - / • - 0. (7. 3) Jest  t o  tzw.  m ieszan a  p o st ać  równ ań  równ owagi,  n ie  zawierają ca  w  sposób  jawny skł adowvych  gradien tu  deform acji,  co  predystynuje  tę   postać  d o  rozwią zywania  zagadnień fo rm u ł o wan ych  po przez  wielkoś ci  deformacyjne. P o d st awą   uś ciś lon ych  warian tów  geometrycznie  nieliniowej  teorii  powł ok  sprę ż ystych, wych odzą cych  poza  pierwsze  przybliż en ie  dyskutowan e  w  p .  4,  m usi  być  konsekwentnie uś ciś lona  p o st a ć  funkcji  energii  sprę ż ystej  powł oki. P o  rozwinię ciu  trójwym iarowej  funkcji en ergii  m at eriał u  sprę ż ystego  w  szereg  wzglę dem  t.  i  odpowiedn im  scał kowan iu  go  po gruboś ci  otrzym am y  ś cisłą   dwuwym iarową   funkcję   energii  sprę ż ystej  powł oki  w  postaci szeregu  n ieskoń czon ego  wzglę dem  pot ę g  (mał ej)  gruboś ci  powł oki.  Z akł adają c  m ał ość odkszt ał ceń  i  wykorzystują c  ś cisłe  oszacowan ia  skł adowych  stan u  n aprę ż en ia  podan e przez  J o h n a  [49],  m o ż na  oszacować  rzą d  wielkoś ci  wszystkich  czł onów  tego  szeregu n ieskoń czon ego.  W  wyn iku  otrzym an o  [5,1]  nastę pują cą   po st ać  uś ciś lonej  funkcji  energii sprę ż ystej  p o wł o ki \ ~ i  h  a,  I  "  h2 t  —J  J,  \   IZ gdzie  H  jest  ś rednią   krzywizną   powierzch n i'  Jt,  k 2  =   5/ 6,  I 2  — 7/ 10-   n at o m iast  tensory sprę ż ystoś ci,  w  p rzyp ad ku  m at eriał u izotropowego,  okreś lone  są   przez  (4.2)  oraz (7.5) ^ L i" 3 "  =  - jfĄ - r- d" 1 -1 —v  J  2( 1+ ^) Skł adowe  Tc(ajS)  m o ż na  wyrazić  przez  xap  otrzym ują c (7.6) Jeż eli  wprowadzim y  (7.6)  d o  (7.4)  ł at wo  zauważ yć,  że  w  ram ach  bł ę du  O(Eh7]2&2)  za- leż noś ć  t a  rzeczywiś cie  zredukuje  się   d o  energii  sprę ż ystej  (4.1)  teorii  pierwszego  przy- bliż en ia. Wyraż en ie  (7.4)  m o ż na  n azwać  kon sekwen tn ym  drugim  przybliż eniem  do  energii o d kszt ał c en ie  powł oki.  U ś ciś la  o n o .wyraż enie  (4.1),  zachowują c  w  sposób  konsekwentny równ ież  wszystkie  czł on y  drugorzę dn e, ujmują ce  dodatkową   en ergię   sprę ż ystą   od  ś cinania, od  zm ian y  krzywizn y  wynikają cej  ze  ś cinania  oraz  dodatkową   energię   sprę ż ystą   od  róż- n ych  sprzę ż eń  m ię dzy  odkształ cen iam i bł on owym i, gię tnym i, ś cinają cymi  a  także  poprzecz- n ym i,  uję tymi  w  zm odyfikowan ych  ten sorach  sprę ż ystoś ci  H i H , . PROBLEMY  TEORII  POWŁ OK  187 W  wielu  pracach  oraz  monografiach  proponuje  się  uś ciś loną  teorię  opartą  o  trzy pierwsze  czł ony w  wyraż eniu  (7.4).  Jest jednak  oczywiste,  że  dla  powł ok  o  sł abej  anizo- tropii  uwzglę dnienie  tylko  jednego  spoś ród  pię ciu  czł onów  dodatkowych  nie  może  pro- wadzić  do  wyników  globalnie  dokł adniejszych  od  uzyskiwanych  z  teorii  pierwszego  przy- bliż enia,  aczkolwiek  dla  wybranych  zadań  i  w  niektórych  obszarach  powł oki  wyniki  te mogą  rzeczywiś cie  okazać  się  bliż sze rozwią zaniu  trójwymiarowemu.  Jednakże  dla innych zadań lub w innych obszarach taka „ uś ciś lona" teoria może prowadzić nawet  do wyników gorszych  od  uzyskiwanych  z  teorii  pierwszego  przybliż enia. Róż niczkując  wyraż enie  (5.7)  wzglę dem  odpowiednich  powł okowych  miar  odkształ - cenia  otrzymamy  uś ciś lone  równania  konstytutywne  wraz  z  oszacowaniem  ich  bł ę du [U ],  np. (7.7)  N#   £ £ * " " [ +   f ( 2 f f ) ]   + Równania  konstytutywne  mogą  być  wykorzystane  do  sformuł owania  uś ciś lonej  geo- metrycznie nieliniowej  teorii powł ok w miarach odkształ cenia y„ 6oraz  K(a/ )).  Rzeczywiś cie, podstawiając  je  do  (7.3), oraz dokonując  odpowiednich  oszacowań  i uproszczeń  [5] otrzy- mamy  sześć  równań  wzglę dem  y ab   i  7T(a/3),  które  uzupeł nione  o  trzy  warunki  cią gł oś ci odkształ ceń  wynikają ce  z  uproszczenia  (2.14)  i (6.6) okreś lają  dziewięć  równań  wzglę dem dziewię ciu  niewiadomych  skł adowych  miar  odkształ cenia.  Odpowiednie  deformacyjne warunki  brzegowe  wynikają  z  uproszczenia  zależ noś ci  (6.12),  natomiast  uś ciś lone  natu- ralne  warunki  statyczne,  energetycznie  spójne  z  deformacyjnymi,  nie  został y  jeszcze  dla tego  ogólnego  przypadku  skonstruowane. 8.  N iektóre problemy  teoretyczne  wymagają ce  dalszych  badań Wyniki  referowane  w  niniejszej  pracy  wył aniają  szereg  dalszych  problemów  o  cha- rakterze  podstawowym,  dokł adniejsze  zbadanie  których  może  doprowadzić  do  interesu- ją cych  poznawczo  i  waż nych  praktycznie  wyników.  Wskaż my  tutaj  na  niektóre  z  tych problemów  do  rozwią zania  w  przyszł oś ci. Przy  znanych  wartoś ciach  parametrów  przemieszczenia  wyznaczanie  miar  odkształ - cenia,  parametrów  obrotu  skoń czonego,  wektora  zmiany  krzywizny  oraz  parametrów deformacyjnych  brzegu  sprowadza  się  do  operacji  róż niczkowania.  Znacznie trudniejszym jest  zadanie  odwrotne — wyznaczenie  skł adowych  przemieszczenia  gdy  znane  są  skł a- dowe  miar  odkształ cenia lub  nawet  wyznaczenie  parametrów  obrotu skoń czonego.  W  za- gadnieniach  nieliniowej  teorii  powł ok  problemy  te  sprowadzają  się  do  rozwią zania ukł adu  równań  róż niczkowych.  Struktura  równań  (2.11)  jest  analogiczna  do  równań ruchu ciał a sztywnego  dookoł a punktu stał ego i na drodze wykorzystania  wyników  uzyska- nych  w  mechanice  analitycznej  [71]  moż na  spodziewać  się  rozwią zania  tego  zadania również  dla  powł ok. W  ramach  geometrycznie  nieliniowej  teorii  powł ok  nie  został y  dotychczas  podję te problemy  wydzielenia  osobliwoś ci  rozwią zań  zwią zane  z  obcią ż eniem  skupionym  lub osobliwoś cią  geometrii  powł oki, jak  też  zwią zane  z tym  zagadnienia  rozwią zań  powł ok o  obszarach  wielospójnych. 188  W.  PlETRASZKIEWICZ W  zagadnieniach  liniowej  teorii  powł ok  rozwią zania  takie  są   konstruowane  [56,  57] poprzez  cał ki  krzywoliniowe,  zawierają ce,  pochodne  przemieszczenia  i  zlinearyzowanego wektora  obrotu.  Wydaje  się   wię c,  że  korzystają c  z zależ noś ci  teorii  obrotów  skoń czonych na  brzegu  powł oki  moż naby  uzyskać  podstawowe  zależ noś ci  niezbę dne  do  poprawnego formuł owania  i  rozwią zywania  tego  typu  zagadnień  również  w  ramach  nieliniowej  teorii powł ok. U zyskanie  rozwią zania  numerycznego  podanych  tu  zależ noś ci  geometrycznie  nie- liniowej  teorii  powł ok  na  ogół   wymaga  zastosowania  metod  numerycznych  opartych 0  wariacyjne  sformuł owanie  zagadnienia.  W literaturze jest  wiele rozwią zań  analitycznych 1  numerycznych,  opartych  o  zasady  wariacyjne,  uzyskanych  gł ównie  w  ramach  najprost- szego  wariantu  teorii  powł ok  typu  D onnella- Musztari- Wł asowa,  np.  [58 -  61].  Celowym jest  jedn ak  opracowanie  róż nych  zasad  wariacyjnych  w  ramach  mniej  ograniczają cych zał oż eń  geometrycznie  nieliniowej  teorii  powł ok  przy  umiarkowanych,  duż ych  oraz  skoń- czonych  obrotach. Chodził oby tu  nie tylko  o skonstruowanie  zasad  wariacyjnych  okreś la- ją cych  stacjonarność  funkcjonał u  [70,  72], lecz  gł ównie  o  skonstruowanie  ekstremalnych zasad  dualnych  i  podanie  zakresu  ich  stosowalnoś ci.  Mogą   tu  być  pomocne  niektóre wyniki  uzyskane  ostatnio  w  nieliniowej  teorii  sprę ż ystoś ci  [62 -  65]. D otychczas  znane  rozwią zania  zadań  nieliniowej  teorii  powł ok  sprę ż ystych  oparte są   o  warianty  równań,  w  których  czę ść  obrotowa  deformacji  został a z  góry  ograniczona. Przykł ad  nieliniowej  deformacji  wycinka  kuli  podany w  [66] wskazuje,  że uzyskane  w ten sposób  rozwią zanie  może  okazać  się   niespójnym  z  przyję tymi  zał oż eniami wyjś ciowymi. Celowe  jest  wię c  wykonanie  szeregu  testowych  przykł adów  numerycznych  dla  prostych geometrii  powł ok  (np.  czasza  kulista,  cylinder,  stoż ek  etc.)  opartych  o  peł ne  równania teorii  geometrycznie  nieliniowej  oraz  o  równania  przy  ograniczonych  obrotach.  D la najprostszych  zadań  jednowymiarowych  celowe  był oby  również  wykonanie  obliczeń, przyjmują c  kolejno  w,  albo  Q  i  y a?   lub  też  yK|3  i  %^  jako  zmienne  niezależ ne oraz prze- dyskutowanie  zalet  i  wad  rozwią zania  przy  róż nych  ukł adach  zmiennych  oraz  powią zań mię dzy  nimi. W  dotychczasowej  literaturze  warunki  ograniczają ce  parametry  zwią zane  z  obrotem elementów  materialnych  zawsze  był y  stosowane jedynie  w  ramach teorii  mał ych odkształ - ceń.  Poprzez  rozkł ad  polarny  (2.3)i  odkształ cenie  i  obrót  został y  ś ciś le  rozdzielone. Istnieje  wię c  moż liwość  zbudowania  również  konsekwentnie  uproszczonej  teorii  umiar- kowanych  lub  duż ych  odkształ ceń  przy  ograniczonych  obrotach. W  ramach  teorii  drugiego  przybliż enia  interesują ce  był oby  okreś lenie  warunków dodatkowych,  przy  których  tylko jeden  spoś ród  pię ciu  czł onów drugorzę dnych  wystarcza do  uzyskania  wyników  uś ciś lonych  w stosunku  do teorii pierwszego  przybliż enia.  Dotyczy to  w  szczególnoś ci  warunków,  przy  których  wystarcza  uwzglę dnienie  tylko  dodatkowej energii  sprę ż ystej  od  ś cinania,  gdyż  takie  wł aś nie  uś ciś lone  warianty  są   najczę ś ciej  sto- sowane. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  W.  P IETRASZ KIEWICZ ;  N ieliniowe  teorie  cienkich  powł ok  sprę ż ystych,  w:  „ Konstrukcje  powł okowe, teoria  i zastosowan ie",  pod  redakcją   J. Orkisza  i  Z . Waszczyszyna,  tom  1, M at. Symp., Kraków,  25- 27.IV.1974;  P WN   Warszawa  1978,  27- 50. PROBLEMY  TEORII  POWŁOK  189 2.  W.  PIETRASZKIEWICZ ;  L inear  compatibility  conditions for  the  nonlinear  theory  of  shells,  Biuletyn IM P P AN   N r  155  (843),  G dań sk  1976,  1 - 17. 3.  W.  PIETRASZKIEWICZ;  Some  exact  reduction  of  the  nonlinear  shell  compatibility  conditions,  Z AM M , vol.  57, N o  5,  1977, T133 - T 134. 4.  W.  PIETRASZKIEWICZ;  Simplified  equations for  the  geometrically  non- linear thin  elastic  shells,  P race I M P  P AN , z.  75,  1978,  165  -  173. 5.  W.  PIETRASZKIEWICZ;  Obroty  skoń czone  i  opis  L agrange'a  w  nieliniowej  teorii  powł ok,  Biuletyn IM P P AN   N r  172  (880),  G dań sk  1976,  1- 191  wyd.  w  ję z.  angielskim :  Finite  rotations  and  L agrangean discriptions  in  the  non- linear theory  off  shells,  Polish  Scientific  P ublishers, Warszawa -  P ozn ań  1979, 6. B .  nETPAiuKEBiw,  HeKomopbie  coomnauieHUH HeAumuHoU meopuu  OSOJIOHBK  Peuccmpa,  BecTHHK J l e - HHHrpaflcKoro  YH- Ta  1,  1979,  115- 124. 7.  W.  PIETRASZKIEWICZ;  Introduction  to  the  non- linear  theory  of  shells,  R u h r  — U n iversitat  Bo ch u m , M itt.  I n st.  fur  M ech.  N r  10,  M ai  1977,  1- 154. 8.  W.  PIETRASZKIEWICZ;  Finite  rotations  in  the  non- linear theory  of  thin  shells,  Lecture  n otes  for  C I SM course  „ Th in  Shells",  U din e,  October  17- 26,  1977  (w  dru ku  w  Springer- Verlag  Wien ). 9.  W. PIETRASZKIEWICZ;  T hree forms  of geometrically non- linear bending shell  equations, VI I I  I n t .  C ongress on  Appl.  of  M ath ,  in  E n gn g, Weimar, Jun e  26 -  July  2,  1978  (w  druku  w  m at.  p o ko n f.) . 10.  W.  PIETRASZKIEWICZ;  Finite  rotations  in shells.  T heory of  shells,  W. T .  K oiter,  G . K .  M ikhailov, E ds., P roc.  Third  I U T AM   Symp.,  Tbilisi,  1978;  N orth- H olland  P .  C o., Am sterdam  1980, 4 4 5 - 4 71. 11.  W.  PIETRASZKIEWICZ;  Consistent  second  approximation  to  the  elastic  strain  energy  of  a shell,  Z AM M , vol.  59,  5,  T  206 -  T  208. 12.  IC.  3 .  FAJTHMOB,  OcHoeu  HeAumuHoii  meopuu mouKux  OSOAOHCK,  H 3fl.  Ka3aHci i X - H   Bcec.  KOH (J).  n o  Teopras  O6oxt. u  I L u . ",  T .  1 ,\  M eqim epe6a,  T SH JI H C H   1975,  129 -   134. 190  W.  PlETRASZKIEWICZ 30.  M . E .  G U K T I N , A. I . M U R D O C K ;  A  continuum  theory of  elastic material surfaces,  AR M A  vol. 57, 1975, N o  4,  291  - 323. 31.  P . A.  Z H I L I N ; Mechanics ofdeformable  directed surfaces,  I n t.  J . Sol.  Str . vol. 12,1976,  N o  9/ 10,  635 -  648. 32.  C . WO Ź N I AK; N on- linear mechanics of constrained material continua, I and  I I ,  Arch. M ech. Stos., vol. 26, 1974,, N o  1,  105 -  118;  vol.  28,  1976,  N o 2,  155 - 170. 33.  H . IT.  CEMEH IOK;  OS ypamieuunx  eeoMempuuecKux  nejiuHciiHou  meopuu  OGOJIOW K  muna  T iuiouieuKo, npH KJi.  M ex.,  T .  14,  1978,  Ms 2,  128 -  132. 34.  W. B.  K K XT Z I G ;  Heń eitung  und  Struktur  konsistenter  nichtlinearer  und  linearer  Shalentheorien,  TU H an n over,  Bericht N r  S.  77/ 1, 1977,  13.1- 13.30. 35.  B.  J I .  E E P ^I M E BC KH H ;  BapuauuouHO- acuMnmomuHCcmiu  Memod,  c6.:  „HeicoTOpwe  Bonp.  Mex. can. cpeflbi",  pefl.  C .  C.  rpuropH ir,  H3A-   M T Y,  M o c raa  1978,  271  -  289. 36.  E .  ST E I N ;  Variational functionals  in  the  geometrical  non- linear  theory  of  thin shells  and FE  discretiza- tion  with application to stability  problems  T heory of shells,  W. T. Koiter,  G . K.  M ikhailov, Eds.,  Proc. Third  IU TAM  Symp., Tbilisi  1978;  N orth- H olland  P.  C o., Amsterdam  1980, 509- 535. 37.  W. WU N D ERLICH  ; On  a consistent shell theory im mixed tensor formulation, T heory of Shells,  W.  T.  Koiter G .  K.  M ikhailov, Eds., P roc.  Third  IU TAM  Symp., Tbilisi  1978;  N orth- H olland  P.  C o., Amsterdam 1980,  607  -  633. 38.  C. TKU ESD ELL  W.  N O L L ;  T he  non- linear field  theory, in : „ H an dbuch  der  P hysik", vol,  H I / 3,  Springer- Verlag  Berlin - H eid elberg- N ew  York  1965. 39.  A.  H .  JI YP Ł E ;  AnaMimtmeamx  Mexanwca,  H ayn a,  MocKBa  1961. 40.  B. B.  H O BO K H J I O B;  OCHOBU  neAuueuHou  meopuuynpyeocmu, rocTexn3flai, MocKBa- JIeHUHrpafl  1948. 4 1 .  B. A.  IIIAM H H A;  O6  ynpotą enuu  o6tą ux  m/ iuHewiux coonmoiueHuu  meopuu  defiopMaifuu  cn/ ioitmou cpedu,  c6.  „ AK T .  npo6jieMbi Heji.  MexamrKH   a m .  cpeflbi.",  Bbin.  1,  H3A.  JlenyH- Ta,  JleHHHrpaA 1977,  132 -   147. 42.  J. G .  SIMMON D S,  D . A.  D AN IELSON ;  N onlinear shell theory  with a finite  rotation  vector,  I  and  I I ,  P roc. Kon in kl.  N ed. Ak.  Wet.  ser.,  B,  vol.  73,  1970,  N o  5, 460- 478. 43.  J. G .  SIM M ON D S,  D .  A.  D AN IELSON ;  N on- linear shell  theory  with finite  rotation  and  stress- function vectors,  J .  of  Appl.  M ech.,  Tran s.  ASM E, Ser.  E,  1972,  N o 4,  1085 -   1090. 44.  B.  B.  HoBcOTtHJioB,  B.  A.  IIIAM H H A;  O  KiiHeMamunecKux  Kpaeeux ycAoeunx e  mmmeuHUX  3adanax meopuu ynpyzocmu,  H 3B. AH   C C C P 3  M ex.  T B .  T en a,  1975, Ms 5,  63 -  74. 45.  T eopun odojioueK  c ynemoM  nonepenuoio  cdeuia, c6., H3fl.  Ka3aHCKoro yn- Ta,  Ka3aHb  1977. 46.  R . T .  SH I E L D ;  T he rotation  associated  with large strains, SIAM  J .  Appl.  M ath.,  vol. 25,  1973, N o 3, 483- 491. 47.  B. A.  IIIAM H H A;  O6  onpedejteuuu  eeKmopa  nepeMeią enun  no  KOMnoueHmaM  T emopa  decfiopMaifmt  sue- AUHettHou  Mexmuice cnAOW HOii  cpedu,  H 3B. AH   C C C P ,  M ex.  T B .  Tejia,  1974,  Ms  1,  14-  22. 48.  K.  .  M E P H LI X,  B. A.  IIIAIWHHA;  HeKomophie  aonpocu  nejiuneunou KAaccuuecKou  meopuu  momux cmepwcHeu u  O6OJIOW K:,  „ Tpyflbi  I X - H   Bcec.  KOHTCJ). no TeopHH  O6on.  H  I I J I . " ,  Cyflocrp., JleHHHrpafl 1975,  99  -  103. 49.  F .  J O H N ;  Estimates for  the  derivatives of  the  stresses in a thin shell and interior shell equations,  Comm. P ure  an d  Appl.  M ath.,  vol.  18,  1965, 235- 267. 50.  W. T. K O I T E R ;  A  consistent first  approximation in the general theory of  thin elastic shells,  P roc. IU TAM Sym p.  "T h eo ry  of  Thin  Shells", D elft  1959;  N orth- H olland  P.  C o, Amsterdam 1960, 12- 33. 51.  X.  M .  MyuiTAPH, K.  3 .  FAJIH MOB;  HenumuHan meopun ynpyzux  o6ojioneK,  TaTKHHron3flaT, Ka3aHB 1957.' 52.  W. T.  K O I T E R ;  On  the  nonlinear thiory  of  thin  elastic  shells,  P roc.  Koninkl.  N ed. Ak.  Wet., Ser. B, vol.  69,  1966,  N o  1,  1- 54. 53.  W. Z . C H I E N ;  T he intrinsic  theory of  thin shells  and  plates, Quart.  Appl.  M ath., vol.  1, 1944, 297  -  327. 54.  M . K.  D U SZ E K ; A  systematic study of  kinematics of shells at large strains  and  displacements, Bull. Acad. P olon .  Sci., Ser.  sci.  techn .,  vol.  24,  1978,  N o  1,  39- 47, 55.  W.  P IETRASZ KIEWICZ ;  Material  equations of  motion for  the  nonlinear theory of  thin shells, Bull.  Acad. P olon .  Sci., Serie  sci.  techn.,  vol.  19,  1971,  N o 6,  261 - 266. 56.  B.  B.  H OBO>KH JIOB,  K.  .  ^IEP H WXJ  K  pacnemy  oSojioueK  na  cocpebomoueHHue  eosbeucmeun,  H CCJI. n o  yn p .  u  rai.,  Ms 2,  JleHVH- T,  1,963. PROBLEMY  TEORII  POWŁOK  191 57.  W.  PIETRASZKIEWICZ;  Multivalued stress functions  in  the  linear theory  of  shells, Arch.  M ech.  Stos., vol.  20,  1968,  N o  1,  37- 45. 58.  B. # .  K AH T O P ;  Henuneunue  3adanu  meopuu  ueodHopodmix  nonozux  o6ojioneK,'H ayi  M e H EKOTOP BIE  IIP OEJIEM BI  H E JI H H E H H O H   T E O P H H   O BO JI O ^E K B  paG oTe  flaH   o 63o p  H eKOToptix flocTH >KeH H H  B HeuKHeftHoft  TeopH H   o6ojioyeK  n o n yqeH H bix  B  n e - pn ofl  1975—1978,  c  OCO6OH   C C M JI KOH   Ha  pesyjitTaTbi  n ojiytien H bie  aBTopoM .  B  pam it ax  HejiHHeftHoii TeopHH   TOH KH X  o6ojio*ieK  paccMOTpeH bi  cjieayiom H e  n p o 6jieM bi:  TeopHH  K O H e^st ix  noBopoTOB,  pa3H bie reoirteTpntiecKH X  KpaeBbix  ycn o Bin i  a  SH eprem ^ecK H   c o raac c o BaH H t ix  cTaTK^ecioix  rpaH H xrH bix pa3H bie  npeflCTaBjieHHH   ocHOBHbix  ypaBHeHHH   B  Jlarpan weBOM ,  on ucaiiH H   H  H X  yn p o m e H n e B  cjiyqae  Majioii  yn p yro ft  fledpopM aiiH H ,  a  TaioKe  B  c n y i a e  flonojiH H TejiBH oro  orpaH H ^ieH H H   noBopoTOB. C(popM yjinpoBaH bi  ocuoBH bie  3aBHCHMOCTH   oSmeft  T eoproi  KOHe*lHbix  n osopoTOB  B  oSojiotlK ax.  r i p H - Be^eH a  yio^nieH H aH   (popiwyna  BToporo  npn6jiH > KeH na  K  yn p yr o i i  an eprH H   fledoopM aiiH H   o6ojiotiK n H   cooTBeTCTBeiiHLie  yTOTmeHHbie  flByxM epH bie  ypaBHeHHH  paBHOBecHH   H   on peflejiJiiom H e B  saKJnotieHHH   o6cyH