Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 18 (19S0) P O WŁ O K I P N E U M AT YC Z N E 1, JAN U SZ O R K I S Z (KRAKÓW) 1. Wstę p 1.1. Problematyka teorii wiotkich powłok i jej zastosowań. P od poję ciem powł ok pneuma- tycznych rozumiemy wiotkie powł oki, które utrzymują swoją formę dzię ki istnieniu pewnego choć by niewielkiego ciś nienia wewnę trznego. Powł oki te nie przenoszą zginania ani ś ciskania a jedynie rozcią ganie i mogą znajdować się bą dź to w stanie bł onowym, gdy oba naprę ż enia gł ówne są dodatnie ( 0, 0), bą dź też w jednoosiowym stanie naprę ż enia w przypadku powstania fał dów (a x > 0, a 2 = 0). . H istoria powł ok pneumatycznych liczy już kilkadziesią t lat, a pierwszą zrealizowaną konstrukcję o charakterze uż ytkowym zawdzię czamy BAIRD OWI [12]. D zię ki licznym zaletom jak lekkoś ć, taniość i szybkość wznoszenia, powł oki pneumatyczne znalazł y zastosowanie w budownictwie wielu krajów [12, 125, 126] m.in. w Polsce [149]. Stanowią one przekrycia magazynów, basenów i hal sportowych a nawet sezonowych wystaw lub teatrów. Stosuje się je również jako zbiorniki cieczy, gazów i materiał ów sypkich oraz elementy wielu aparatów i konstrukcji przemysł owych. Stan fizyczny takich struktur pneumatycznych, a wię c geometrię odkształ cenia i na- prę ż enia opisuje teoria powł ok wiotkich. Teoria ta znajduje również zastosowanie w in- nych dziedzinach, jak np. obróbka plastyczna metali, a nawet medycyna, gdzie może sł uż yć np. do opisu mechanicznego modelu serca i naczyń krwionoś nych. Wspólną cechą struktur pneumatycznych jest — znaczna zmienność geometrii pod wpł ywem zmiany ciś nienia wewnę trznego, przy- ł oż onych obcią ż eń i temperatury; — moż liwość powstawania i zanikania fał dów; — na ogół nieliniowa charakterystyka materiał u, który zależ nie od przeznaczenia powł oki pneumatycznej stanowią najczę ś ciej tworzywa sztuczne, zazwyczaj zbrojone, guma i materiał y gumopodobne oraz metale; — moż liwość utraty statecznoś ci przez rozcią ganie. W zastosowaniach praktycznych powł oki pneumatyczne czę sto znajdują się pod obcią ż eniem strumienia gazu (np. wiatru) ską d wynika potrzeba analizy zjawiska flatteru zwł aszcza ze wzglę du na sł abą odporność materiał u powł oki na rozdarcie. W pracy konstrukcji pneumatycznej moż na na ogół wyróż nić trzy fazy [80]: I —'począ tkową bez ż adnych obcią ż eń; Ł ) Artykuł wygł oszony jako referat problemowy n a I I konferencji „ Konstrukcje powł okowe, teoria i zastosowania". 194 J- OR KI SZ I I — poś rednią scharakteryzowaną przez stan jaki osią ga powł oka po przył oż eniu ciś nie- nia wewnę trznego utrzymują cego jej formę ; I I I — uż ytkową, otrzymaną po przył oż eniu obcią ż eń do powł oki znajdują cej się już we fazie I I . P oprawna teoria powł ok pneumatycznych, prócz wymienionego na wstę pie warunku nieujemnoś ci naprę ż eń gł ównych wyraż onego przez jednostronne wię zy a x > 0, a 2 > 0, powinna wię c uwzglę dniać: — nieliniowość geometryczną , n a którą skł adają się = z reguł y duże przemieszczenia a czę sto i skoń czone odkształ cenia powł oki;- = moż liwość powstawania i zanikania strefy fał dów (cr l > 0, a 2 = 0); — zmianę gruboś ci powł oki w miarę jej odkształ cania się ; jest to niezbę dne dla analizy zjawiska utraty statecznoś ci; — anizotropię i róż norodną nieliniowość fizyczną materiał u pozwalają cą na opisanie takich cech jak wysoka elastycznoś ć, peł zanie, starzenie się , plastycznoś ć; — wpł yw temperatury. W zakresie analizy statycznej konkretne zastosowania stawiają nas najczę ś ciej przed jednym z nastę pują cych zadań: — znany jest wyjś ciowy stan powł oki i jej obcią ż enie (czas), szukamy stanu koń cowego; —• znamy formę koń cową powł oki i jej obcią ż enie (czas), szukamy formy wyjś ciowej oraz naprę ż eń w stanie koń cowym. Poza rozwią zaniem zagadnień statyki, teoria ta powinna umoż liwiać analizę statecz- noś ci oraz badanie róż nych efektów dynamicznych w powł oce pneumatycznej. Zagadnienie statecznoś ci powł ok pneumatycznych ma charakter nieklasyczny, gdyż nie wią że się ze ś ciskaniem lecz z rozcią ganiem powł oki, a ponadto już sama moż liwość utraty statecznoś ci zależy od charakteru obcią ż enia (por. [120]). Zadanie formuł uje się nastę pują co: znany jest stan wyjś ciowy powł oki i rodzaj obcią ż enia, poszukiwana zaś wartość tego obcią ż enia (czasu) oraz odpowiadają cy jej stan koń cowy,'powyż ej którego nie jest moż liwy stan równowagi w powł oce. Poprawne rozwią zanie tego zadania jest moż liwe tylko na gruncie teorii odkształ ceń skoń czonych. Zagadnienia dynamiki to przede wszystkim opis ruchu powł oki o znanym stanie wyjś ciowym znajdują cej się w opł ywie strumienia gazu. Zadanie to bywa analizowane nawet przy uproszczonym zał oż eniu o nierozcią gliwoś ci materiał u powł oki (por. [22]). 1.2. Cel i zakres pracy. Obecna praca ma charakter problemowy co pozwala skupić się na kilku wybranych zagadnieniach. Zasadniczym jej zadaniem jest nie tyle dokonanie peł nego przeglą du co przedstawienie aktualnego „ state of a r t " w dziedzinie teorii i metod obliczania powł ok pneumatycznych. W szczególnoś ci jej cele t o : —- zestawienie literatury zagadnienia za ostatnie dziesię ciolecie; — wyróż nienie n a tej podstawie róż nych szkół i ich zwię zła charakterystyka; — szkicowa prezentacja teorii wiotkich powł ok w uję ciu metpdy elementów skoń czo- n ych; — wskazanie kierunków rozwojowych mechaniki powł ok pneumatycznych. POWŁOKI PNEUMATYCZNE 195 Ponadto praca zawiera krótką charakterystykę problemu przeprowadzoną z punktu widzenia mechaniki i metod obliczeniowych oraz reprezentatywne przykł ady rozwią zań uzyskanych metodą elementów skoń czonych. 2. Krótkie omówienie literatury Zestawienie literatury podanej w niniejszej pracy dotyczy problematyki wiotkich powł ok w aspekcie powł ok pneumatycznych i obejmuje w zasadzie ostatnie dziesię ciolecie. W wyją tkowych przypadkach znalazł y się tu pozycje wcześ niejsze, te mianowicie, które nie był y zamieszczone w bibliografii poprzedniej pracy autora [120] obejmują cej okres do roku 1967. Zgodnie z przyję tym na wstę pie zał oż eniem nie bę dziemy tu omawiać wszystkich prac ograniczają c się jedynie do tych, które bą dź to mają decydują ce znaczenie dla aktualnego stanu wiedzy w dziedzinie powł ok pneumatycznych, bą dź też są charak- terystyczne dla rozpatrywanego zagadnienia. Omówienie literatury moż na znaleźć w roz- maitych pracach przeglą dowych [12, 23, 45], monografiach [42, 115, 120, 125, 126], ma- teriał ach specjalistycznych konferencji [133, 134, 136] lub w niektórych pracach szczegó- ł owych [34, 77, 128]. Podstawy ogólnej teorii wiotkich membran, ś cisł ej n a gruncie skoń czonych odkształ ceń ciał hipersprę ż ystych został y podane jeszcze przez G REEN A i AD KIN SA [42]. Obecnie sto- sowane są zarówno globalne (por. np. [8, 80]) jak i lokalne (por. n p. [166, 179]) sformu- ł owania tej teorii. W uję ciu lokalnym teoria ta prowadzi do silnie nieliniowego problemu brzegowego dla ukł adu'równań róż niczkowych o pochodnych czą stkowych. U kł ad ten daje się ś ciś le rozwią zać jedynie w nielicznych przypadkach powł ok o specjalnym kształ cie i obcią ż eniu. D o czasu pojawienia się metody elementów skoń czonych, która w radykalny sposób zmienił a sytuację , stosowan o—jak wynika to z literatury — nastę pują ce sposoby postę - powania : — znaczne uproszczenie modelu teoretycznego, a nastę pnie wykorzystanie rozmaitych metod analitycznych, ś cisł ych lub przybliż onych, czę sto zwią zanych z konkretnym kształ tem powł oki, sposobem obcią ż enia, czy też rodzajem uż ytego materiał u; — ograniczenie rozważ ań do klasy zadań obrotowo- symetrycznych a wię c jednowymia- rowych i zastosowanie efektywnych metod numerycznych; — ograniczenie rozważ ań do prostych przypadków specjalnych, które moż na rozwią zać ś ciś le jak np. powł oka kulista lub nieskoń czenie dł uga powł oka cylindryczna obcią ż one ciś nieniem wewnę trznym. U proszczenia modelu teoretycznego przyjmowane przez róż nych autorów sprowa- dzał y się do jednego z poniż szych wariantów: — zał oż enie mał ych odkształ ceń i liniowego prawa fizycznego; — dokonanie peł nej linearyzacji koń cowych równań powł oki (mał e przemieszczenia!); — zał oż enie, że materiał powł oki jest nierozcią gliwy, co ogranicza analizę jedynie do równań równowagi (ruchu). Zasadniczą wadą takich uproszczeń jest z jednej strony zbyt daleko idą ca ideał izacja rzeczywistej wiotkiej powł oki, z drugiej zaś wą skość zał oż eń i czą stkowość rozwią zań 196 J . OR KI SZ (por. n p. [84- 105]). N awet niewielka zmiana obcią ż eń, kształ tu powł oki lub wł asnoś ci materiał u, z którego został a wykonana — stwarza zazwyczaj ogromne trudnoś ci obli- czeniowe. W przypadku obrotowej symetrii powł oki i obcią ż enia ś ciś le sformuł owane zagadnie- nie moż na sprowadzić (por. [120]) do problemu brzegowego dla ukł adu nieliniowego, zwyczajnych równań róż niczkowych. U kł ad ten na ogół daje się efektywnie rozwią zać metodami bezpoś redniego cał kowania numerycznego (N C) takimi jak metody Rungego- Kutty, Adamsa lub róż nego typu metody predyktor- korektor. Takie podejś cie zastosowano w znakomitej wię kszoś ci prac dotyczą cych wiotkich- powł ok obrotowo- symetrycznych. Zaletą metod N C jest ich prostota i mał e obcią ż enie pamię ci operacyjnej maszyny. Z drugiej strony jednak ich efektywność w znacznej mierze zależy od gł ę bokoś ci propagacji efektu brzegowego we wnę trze powł oki oraz od niezbę dnej liczby kroków cał kowania. M etody te są stabilne dla powł ok krótkich, sł abo stabilne w przypadku powł ok ś rednich, a niestabilne dla powł ok dł ugich. M etody N C wykorzystywano w znakomitej wię kszoś ci prac dotyczą cych wiotkich powł ok obrotowo- symetrycznych. P onadto stosowano też inne metody jak np. róż nic skoń czonych (por. [158, 180]), a po linearyzacji równań także metodę pragonki (por. [159, 160]). W pracach [25, 26, 154] zaprezentowano podejś cie energetyczne i minimali- zację metodą Fletchera- Powella. Interesują ce poł ą czenie iteracyjnej metody Picarda z techniką analogową pokazano w pracy [14]. Były również próby przybliż onych roz- wią zań graficzno- analitycznych (por. [106, 171]). Wszystkie wspomniane wyż ej metody trudno uznać za w peł ni zadowalają ce, zarówno gdy idzie o ogólność ich zastosowania jak i otrzymane rezultaty. D opiero pojawienie się metody elementów skoń czonych pozwolił o na dokonanie odpowiedniej dyskretyzacji zagadnienia wzglę dem dwóch zmiennych, niezbę dnej do numerycznego rozwią zania nieuproszczonego zadania ogólnego. Powstał a przy tym moż liwość jednakowego po- traktowania powł ok o najzupeł niej róż nych kształ tach i warunkach podparcia, rozmaicie obcią ż onych i wykonanych z materiał ów o róż norodnych wł asnoś ciach (np. izotropowe, anizotropowe). Choć potencjalne moż liwoś ci jakie kryje w sobie metoda elementów skoń czonych nie został y jeszcze — jak n a to wskazuje analiza dotychczasowych prac — w peł ni wykorzystane, to już obecnie wachlarz rozwią zywanych zagadnień jest znacznie szerszy, a uzyskane wyniki bardziej zbliż one do rzeczywistoś ci niż te, które moż na by osią gnąć innymi, dotą d stosowanymi metodami. D latego też w dalszych rozważ aniach gł ówną uwagę poś wię cimy tym pracom, które stanowią dziś teoretyczną podstawę obliczania powł ok pneumatycznych metodą elementów skoń czonych. Jeś li chodzi o pozostał e prace, mają ce aktualnie mniejszy cię ż ar gatunkowy, o ograniczymy się - do wyróż nienia i krótkiej charakterystyki zasadniczych szkół . ' Stosunkowo liczne są tu prace radzieckie. I tak warto wymienić w pierwszym rzę dzie prace S. A. ALEKSIEJEWA i jego współ pracowników. Ponieważ w znacznej wię kszoś ci po- chodzą one z przeł omu lat pię ć dziesią tych i sześ ć dziesią tych a jedynie ich wpł yw się ga czasów póź niejszych cytujemy tu tylko ostatnie pozycje [2, 3]. Dotyczą one fizycznie liniowej teorii powł ok pneumatycznych podlegają cych duż ym przemieszczeniom przy mał ych odkształ ceniach. N astę pna grupa to prace A. S. G RIG ORIEWA (wymieniamy jedynie przeglą dową pracę POWŁOKI PNEUMATYCZNE 197 [45] i kilka ostatnich [43, 44, 36, 47]) oraz rozlicznych jego współ pracowników i konty- nuatorów [34, 35, 120 - 124, 131, 138 - 141, 146 - 148, 155 - 157]. Wszystkie one dotyczą teorii wiotkich powł ok obrotowo symetrycznych, ś cisł ej n a gruncie teorii skoń czonych odkształ ceń oś rodka cią gł ego. Ze wzglę du n a obrotową sy- metrię i wynikają cą stą d stał ość kierunków gł ównych posł ugiwano się najczę ś ciej loga- rytmiczną miarą odkształ ceń i prawami fizycznymi N adai- D avisa dla rzeczywistych naprę ż eń. Przypadki innych zwią zków konstytutywnych, odpowiadają cych ciał om hiper- sprę ż ystym, lepkosprę ż ystym i lepkoplastycznym rozważ one został y przez J. ORKISZA w serii prac [121 - 124], z których pierwsza najpeł niej przedstawia osią gnię cia i moż li- woś ci omawianej teorii. W przypadku zadań stacjonarnych teoria ta prowadził a do za- gadnienia brzegowego dla ukł adu czterech zwyczajnych, nieliniowych równań róż niczko- wych, zaś przy procesach niestacjonarnych do zagadnienia począ tkowo- brzegowego dla ukł adu sześ ciu quasiliniowych równań róż niczkowych pierwszego rzę du (por. [120]). Rozwią zanie otrzymano metodami N C . W pracach tej grupy specjalną uwagę poś wię cono problemowi statecznoś ci powł oki przy rozcią ganiu oraz zagadnieniu strefy fał dów {a 1 > 0, a 2 = 0). Wś ród publikacji radzieckich wyróż niają się swą liczebnoś cią prace oś rodka we Wł a- dywostoku (por. [136]), w których inicjatorem i inspiratorem jest W. F . M AG U I A [84 - 101] a obok niego B. I. D R U Z [20, 21] i B. N . MARTYN IEC [102 - 105] (por. też [22, 38, 63, 108, 130]). Prace te charakteryzują się zarówno daleko idą cymi uproszczeniami (np. przy- ję cie nierozcią gfiwoś ci materiał u) jak i uż ytkowym celem, który najczę ś ciej stanowił o projektowanie wiotkich zbiorników na ciecze i materiał y sypkie. Warto tu też podkreś lić zainteresowanie strefą fał dów (por. [64, 90, 92- 94, 169, 170]). Stosunkowo znaczna liczebność prac tej grupy jest jednak rezultatem wariantowania wą skich zał oż eń teore- tycznych i braku efektywnego kontaktu z innymi oś rodkami pracują cymi n ad teorią powł ok wiotkich. W ostatnich latach ukazał a się seria prać [25 - 29, 154, 166 - 168] W. W. F EN G A i W. H . YAN G A oraz ich współ pracowników jak również tematycznie pokrewne im prace Y. S. SU - NĄ i C. E. UEN G A [145, 158]. Dotyczą one wiotkich powł ok tak o dowolnych obrotowo- symetrycznych, jak i innych kształ tach. N awią zując do sformuł owania podanego przez G REE A i AD KIN SA [42] opierają się one na teorii ś cisł ej dla materiał ów hipersprę ż ystych. Specyfiką tych prac jest m.in. poś wię cenie uwagi problemom kontaktowym (por. [26, 28, 29] oraz także [129]). Rozwią zania konkretnych zadań uzyskiwano numerycznie metodami N C [29, 166], metodą róż nic skoń czonych [158, 168] lub FLETCHERA- POWELLA [25, 26, 154]. Poza wyszczególnieniem i krótką charakterystyką „ szkół " warto jeszcze wymienić prace poś wię cone róż nym tematom specjalnym, takim jak: —- statecznoś ć: stateczność rozumiana jest (za wyją tkiem pracy [17]) w sensie podanym w punkcie 1.1. niniejszej pracy;, rozważ any był zarówno przypadek dowolnej powł oki obrotowo- symetrycznej [15, 34, 43, 44, 120] jak i pewne kształ ty specjalne [31] n p. cy- lindryczny [33, 156], toroidalny [18]; w pracach [120, 165] rozpatrywano stateczność powł oki kulistej przy peł zaniu; — dynamika: problemy dynamiki powł ok pneumatycznych rozważ ano dotą d w sposób bardzo uproszczony. Najczę ś ciej ograniczano się do rozpatrywania statycznego parcia 4 Mech. Teóret. i Stos. 2/80 198 J, ORKISZ wiatru [21, 22, 36, 40, 41]; jedynie w nielicznych przypadkach po wstę pnej linearyzacji ukł adu równań analizowano zagadnienie drgań wł asnych [53, 70, 175] lub zjawisko flatteru [20, 65, 132]. Znacznie uproszczone podejś cie nieliniowe prezentuje praca [101], Bogata natomiast jest literatura dotyczą ca pokrewnych problemów w przekry- ciach wiszą cych [177]; — peł zanie: peł zanie dowolnych obrotowo- symetrycznych wiotkich powł ok przy róż nych prawach fizycznych był o przedmiotem prac [50, 120, 123]; rozważ ono też pewne szczególne przypadki jak membrana koł owa [16, 83], pierś cieniowa [163] lub powł oka kulista [165]; — optymalizacja: podejmowane [62, 139, 140] był y pierwsze, uproszczone próby for- muł owania zadań optymalnych; — problemy róż n e: analiza wiotkich powł ok toroidalnych [60, 67, 68, 107, 109, 110], problem obcią ż eń lokalnych [127] oraz struktury pneumatyczne wzmacniane kablami [106, 151]; — doś wiadczenia: osobną grupę , niestety niezbyt liczną , stanowią prace eksperymentalne. W zakresie statyki dotyczą one doś wiadczeń prowadzonych na membranach koł owych [48, 118] w celu weryfikacji równolegle otrzymywanych rozwią zań teoretycznych. Podobnie był o w przypadku badań nad utratą statecznoś ci przez wiotkie powł oki [14, 18]. Stosunkowo najwię cej prac [4, 11, 70, 136, 178] poś wię cono problemowi zachowania się powł ok pneumatycznych w warunkach opł ywu strumieniem gazu. 3. Powł oki pneumatyczne w uję ciu metody elementów skoń czonych 3.1. Uwagi wstę pne. M etoda elementów skoń czonych stwarza realną szansę wykorzysta- nia ś cisł ej teorii skoń czonych odkształ ceń oś rodka cią gł ego do obliczania powł ok pneuma- tycznych o dowolnym kształ cie. W tym celu moż na zaadoptować ogólny sposób postę - powania opracowany dla rozwią zywania zagadnień geometrycznie nieliniowych (por. [10, 51, 52, 58, 112, 115]). Aby rozróż nić konfiguracje począ tkową i aktualną stosuje się opis Rys. 1. Rozróż nianie sformuł owań TL i U L POWŁOKI PNEUMATYCZNE 199 Eulera, opis Lagrange'a (TL — total Lagrangian), bą dź też jego modyfikację tzw. uaktu- alniony opis Lagrange'a (U L — updated Lagrangian) ś ciś le zwią zanym z numeryczną techniką rozwią zywania problemu. W opisie Eulera rozważ ane wielkoś ci są odniesione do konfiguracji aktualnej. Takie sformuł owanie jest wygodne w tych problemach, gdzie znany jest aktualny kształ t powł oki, a poszukiwana jej forma wyjś ciowa. Znajomość tej formy jest natomiast warunkiem zastosowania opisu Lagrange'a. Konfiguracja odniesienia stanowi wówczas (por, rys. 1) bą dź to stał y ukł ad począ tkowy (TL), bą dź też ukł ad konwekcyjny zwią zany z kształ tem powł oki, ustalony każ dorazowo dla przedostatniego kroku postę powania przyrostowego (U L). W praktycznych obliczeniach moż na spotkać (por. [10]) oba te sformuł owania z tym, że w opisie U L struktura odpowiednich macierzy jest prostsza niż w TL, lecz istnieje wię ksze niebezpieczeń stwo kumulacji bł ę du obliczeń. Równania metody elementów skoń czonych zastosowanej do teorii .wiotkich powł ok otrzymywano dotychczas wychodzą c z zasady prac wirtualnych. Jednakż e, podobnie jak ma to miejsce w rozmaitych innych zagadnieniach nieliniowych, moż na by również wykorzystać inne zasady wariacyjne podane w postaci przyrostowej (por. [52]). Obecnie przedstawimy pokrótce sposób wyprowadzenia tych równań posł ugują c się dla przejrzystoś ci zapisem macierzowym. Rozważ my w tym celu element powł oki przedstawiony na rys. 2 i opisany w globalnym, kartezjań skim ukł adzie współ rzę dnych inst/ °ei konfiguracja począ tkowa konfiguracja przed ostatnim • przyrostem konfiguracja aktualna Rys. 2. Przemieszczenia elementu skoń czonego. x — globalny ukł ad przestrzennych współ rzę dnych kar- tezjań skich, vi t v z ,v 3 — lokalny ukł ad materialnych współ rzę dnych krzywoliniowych przestrzennych x y , x 2 , x 3 . Wielkoś ci oznaczone indeksem „ o " odnoszą się do konfigu- racji pierwotnej, „ 1 " do konfiguracji przed ostatnim przyrostem, zaś „ 2 " lub bez indeksu do konfiguracji aktualnej. Wprowadź my ponadto lokalny, konwekcyjny ukł ad współ - rzę dnych • & 1 , # 2 , # 3 zwią zany z wersorami et oraz e2 stycznymi do powierzchni ś rodkowej powł oki i normalnym n. Oznaczmy indeksem „ e " wielkoś ci wę zł owe w elemencie, zaś przez N macierz zł oż oną z funkcji kształ tu. W przypadku powszechnie stosowanych 200 J. OR KI SZ elementów izoparametrycznych, geometrię powł oki opisuje równanie (1) * • N xe , zaś przemieszczenia (2) u = x- °x = N 0- V) s N tt ai skąd znając kon kretn ą postać wektora odkształ ceń e moż emy już znaleźć • przyrostową relację (3) ÓB = Bdu e . Wektor odkształ ceń s najwygodniej jest zdefiniować w lokalnym ukł adzie współ rzę d- n ych # i , & 2 » # 3 jako (4) s = {e n , £22,812}= pomijają c, zgodnie z teorią wiotkich membran (por. [42, 115]), e 1 3 = e23 = 0 a ponadto skł adową e 3 3 , która choć jest róż na od zera to jedn ak — wobec zał oż onego pł askiego stan u n aprę ż en ia w powł oce — nie wystę puje w wyraż eniu na pracę wirtualną. W przy- padku m ateriał ów nieś ciś liwych wykorzystuje się ją do okreś lenia aktualnej gruboś ci powł oki h. P odobn ie wektor naprę ż eń odpowiadają cy wektorowi odkształ ceń e przyjmuje się w postaci (5) a m {°Q°h + °q)d°S. °'s We wzorach tych wskaź n ik G ozn acza m iarę odkształ ceń G reen a- Lagran ge'a, zaś a p wektor n aprę ż eń P ioli- Kitchhoffa drugiego rodzaju. 3.4. Uaktualnione sformułowanie Lagrange'a. W u akt u aln io n ym opisie L agran ge'a stosuje się podejs'cie przyrostowe, w którym kon figuracja odn iesien ia zm ien ia się n a każ dym kro ku . Wią że się ją z reguł y z formą jaką przyjmuje po wł o ka przed ostatn im przyrost em odkształ ceń (por. rys. 1). Aby wyprowadzić odpowiedn ią zasadę wariacyjną rozważa się (por. rys. 2) pewną , kon figurację „ 1 " odn iesien ia o raz kon figurację przyrostową „ 2 " . Z akł ada się , że wariacje przemieszczeń wokół st an u równ owagi 1 są m ał e. M o ż na wówczas n apisać (13) / Vp d e e ^ K - f 1 2 Qb t dud 1 V+ } lq'dud l S, ly ly iS oraz (M) J"—— Rys. 3. Interpretacja graficzna metody: a) Newtona- Raphsona, b) przyrostowej, c) mieszanej, d) samo- korygują cej, I- f(UJ = J?*, / / - K T A V+- AR* — metodą przyrostową wykorzystują c jedynie zlinearyzowane równania (25); — kombinację obu tych metod ewentualnie poł ą czoną z techniką nadrelaksacji (np. me- tody samokorygują ce). Istotnym problemem numerycznym jest znalezienie wyjś ciowej (nie trywialnej) formy powł oki bę dą cej w równowadze. Tylko taka forma bowiem może stanowić wł aś ciwą konfigurację odniesienia w podanych uprzednio zasadach wariacyjnych T L i U L. D latego też w konkretnych obliczeniach prowadzonych metodą elementów skoń czonych roz- 204 J. ORKIS Z wią zywano n a ogół takie zadania, w których począ tkowa forma był a z góry znana n p. pł as- ka, walcowa, kulista. Interesują cy sposób poszukiwania formy wyjs'ciowej, choć zastosowany nie do powł ok pn eum atyczn ych, lecz d o siatkowych konstrukcji cię gnowych, zaproponowano w pracy [1]. U m oż liwia o n rozpoczę cie obliczeń od pewnej pł askiej pomocniczej formy równowagi, której poprzez kolejne przyrosty przemieszczeń nadaje się nastę pnie poż ą dany kształ t drogą odpowiedniej zmiany warunków brzegowych i sztucznego, chwilowego zwię kszenia cię ż aru wł asnego powł oki. Tablica 1. Wykaz elementów wg pracy [ 128] T yp elementu A TRIM 3g TRIMC6 V TRJMC U 1 \ - —»̂ .6 , \ —J- -4 QUAC 6 dUAC 9 i «^ 0 O 7 ' » 1 a 3 4 QUAC 16 liczba HSZł ati 3 < 10 4 8 9 16 letinamianij interpo- lawinę n ukiadzie lokalnym 1 U >2 A >-, J1T2 7 z 1 1 , 1 £ * f'Z 2 2 tÓH cał kowa- nia numerqa. 1 7 J x j POWŁOKI PNEUMATYCZNE 205 N atomiast przy znanej formie koń cowej, pierwotną formę powł oki m oż na znaleźć stosują c sformuł owanie Eulera. W pracy [80] zaproponowano, ilustrują c to przykł adem , aby przyją ć, że kształ t powł oki pod dział aniem jedynie ciś nienia wewnę trznego (i cię ż aru wł asnego) o ustalonej roboczej wartoś ci jest znany. Stanowi on kolejn o: — formę koń cową powł oki przy poszukiwaniu jej formy pierwotnej (sformuł owanie E ) ; — formę począ tkową powł oki przy poszukiwaniu jej kształ tu odpowiadają cego róż nym obcią ż eniom uż ytkowym (sformuł owanie U L lub TL). 3.7. Elementy. W dotychczasowych pracach najczę ś ciej posł ugiwano się najprostszymi elementami trójką tnymi T R I M 3 o trzech wę zł ach. Elementy te, jak wiadom o, mają stał e pole odkształ ceń oraz naprę ż eń, stą d przy ich stosowaniu nie jest konieczne ucią ż liwe cał kowanie numeryczne. Z drugiej strony jedn ak ich dokł adność jest m ał o zadowalają ca. Elementom wyż szego rzę du poś wię cono jak dotą d jedynie nieliczne prace i t o stosują c w każ dej z nich inne podejś cie. N ajpeł niejszy zestaw elementów zarówno trójką tnych typu T R I M C jak i czworo- ką tnych typu QU AC pokazany w tablicy 1 otrzymano w pracy [128] drogą bezpoś redniego wykorzystania formuł (11), (17), (23). W pracy [8] przedstawiono rodzinę elementów typu TR I M C otrzymaną na drodze tzw. „ n aturaln ego" podejś cia. Polega on o na posł u- giwaniu się stopniami swobody elementu eliminują cymi te przemieszczenia, które są zwią zane z jego ruchem jako brył y sztywnej. Wreszcie w pracach [80, 81] wprowadzono jeden element czworoką tny (por. [76]), w którym zastosowano sześ cienne funkcje kształ tu skonstruowane t.zw. techniką „ patch test". 3.8. Przeglą d literatury. Wszystkie prace dotyczą ce obliczania powł ok pneumatycznych metodą elementów skoń czonych oparte są n a teorii duż ych odkształ ceń m em bran . M oż na je podzielić na trzy grupy. Pierwsza z nich wią że się gł ównie z nazwiskiem J. T. OD EN A [111 - 119]. Z aliczyć do niej trzeba przede wszystkim pionierskie prace [11, 118, 119], w których podan e został y teoretyczne podstawy dyskretyzacji wiotkich powł ok metodą elementów skoń czonych oraz monografię [115]. Autorzy pracy [118] wychodzą c z równań term odynam iki zarówno dyskutują problematykę fizycznie nieliniową jak i dynamikę membran (por. też [117]). Warto również wspomnieć o pracy [113] poś wię conej obliczaniu sił niekonserwatywnych w M ES (np. ciś nienie w powł oce pneumatycznej). D o tej grupy, z uwagi na sposób po- traktowania tematu, trzeba także zaliczyć prace J. E. KEY'A [57] oraz H . PARISCH A [128]. Ta ostatnia jako jedyna z wymienionych wprowadza elementy wyż szych rzę dów. D ruga grupa jest dzieł em spół ki autorskiej J. W. LEON ARD , C. T. L oraz ich współ - pracowników [76- 81, 161]. Prócz ś cisł oś ci teoretycznej [77, 80] cechuje ją troska o inż y- nierskie realia dotyczą ce warunków pracy powł ok pneumatycznych takich ja k : kolejne fazy obcią ż ania [72, 73], praktyczne zastosowania [74, 45], czy też fakt wzmocnienia konstrukcji linami [81, 161]. M ateriał powł oki przyjmowano jako liniowo- sprę ż ysty a wyją tkowo [77] jako hiperelastyczny. Rozważ ano również [79] problem drgań powł oki. Trzecia grupa to prace [5 - 8, 59] charakteryzują ce się tzw. podejś ciem n aturaln ym sformuł owanym przez J. H . ARG YRISA i jego współ pracowników. D zię ki oddzieleniu prze- mieszczeń elementu zwią zanych z czystym odkształ ceniem od przemieszczeń wynikają cych z ruchu sztywnego uzyskuje się lepszą stabilność numeryczną rozwią zań. W pracach tej grupy materiał powł oki traktowano jako liniowo- sprę ż ysty [7], hipersprę ż ysty [8] 206 J. ORKISZ bą dź też sprę ż ysto- plastyczny [6, 7, 59], choć w tym ostatnim przypadku konkretne roz- wią zania nie dotyczył y bezpoś rednio powł ok pneumatycznych. Prócz trzech wymienionych grup warto tu też wspomnieć o programie N ON SAP [10] przeznaczonym do dynamicznej i statycznej analizy róż nych konstrukcji w zakresie geo- metrycznie i fizycznie nieliniowym, w tym także pł askich membran. P orównanie dyskutowanych tu grup przeprowadzono na przykł adzie kilku prac re- prezentują cych aktualnie najbardziej zaawansowany stan wiedzy w dziedzinie teorii obliczania wiotkich powł ok metodą elementów skoń czonych. Analiza tablicy 2, w której zestawiono dane porównawcze ukazuje równocześ nie perspektywę dalszych prac ba- dawczych co zaznaczono znakiem 0 na przykł adzie pracy [8]. 3.9. .Przykłady rozwią zań. D la zilustrowania aktualnych moż liwoś ci rozwią zywania proble- mów praktycznych metodą elementów skoń czonych podano niż ej kilka reprezentatywnych przykł adów zaczerpnię tych z literatury. Aby ł atwiej moż na był o porównać skalę poszcze- gólnych zadań korzystano tylko z dwóch ź ródeł [128, 80]. W pierwszej z tych prac obli- czenia wykonywano n a EMC CD C 6600; czas obliczeń podawany jest w sekundach a) promień R= i0 c m grubość począ tkowa °h=0.01cm state materiałowe Mooney a Ci=80k(yć m2 C 2= 20kG / cm 2 dyskretyzacja iQUAC 9,1TRIMC 6 liczba stopni swobody 61 czos obliczeń 79 sek CPU CDC 6600 C) R ys. 4. M em bran a koł owa obcią ż ona równomiernym parciem gazu [128]: a) dane, b) dyskretyzacja, c) forma odkształ cona POWŁOKI PNEUMATYCZNE 207 CPU . W czterech ostatnich przykł adach wykorzystano prawo H ooke'a, zaś w dwóch pierwszych zwią zek fizyczny (por. [42]) opisują cy ciał o hipersprę ż yste Moone'a- Rivlina. G ę stość energii odkształ cenia wyraża a) b) dł ugość boku a = 20 cm grubość począ tkowa . °h=0,1cm stale materiałowe Mooney'a C,=50 kG/ cm2, C2=0 dyskretyzacja 15QUAC 9 , 2 TRIMC 6 liczba stopni swobody 176 czas obliczeń 184 sek CPU CDC 6600 ky z c) 0,38 Rys. 5. M embrana kwadratowa obcią ż ona parciem gazu [128]: a) dan e, b) dyskretyzacja, c) form a odkształ - cona, d) grubość wzglę dna h/ °h po odkształ ceniu a) b) dfugość boku grubść moduf Younga wsp. Poissona dyskretyzacja liczba stopni swobody czas obliczeń c) a =10 cm °h=0.0icm E=300 kG/ cm2 0* 0.2 18 TRIMC 6 129 45 sek Rys. 6. M embrana sześ cioką tna obcią ż ona cię ż arem wł asnym [128]: a) dane, b) dyskretyzacja, c) forma po obcią ż eniu POWŁOKI PNEUMATYCZNE 209 się tu poprzez niezmienniki stanu odkształ cenia I x , I 2 i zależy również od stał ych ma- teriał owych C y oraz C 2 . Rozwią zane został y nastę pują ce zadania szczegół owe: — membrana koł owa obcią ż ona równomiernym parciem gazu ([128] — rys. 4); membrana kwadratowa obcią ż ona parciem gazu ([128] — rys. 5); — membrana sześ cioką tna obcią ż ona cię ż arem wł asnym ([128] — rys. 6); — membrana pię cioką tna obcią ż ona parciem hydrostatycznym ([128] —r ys. 7); — kulista powł oka pneumatyczna obcią ż ona parciem wiatru ([80, 81] — rys. 8); powł oka pneumatyczna obcią ż ona ś niegiem ([80] — rys. 9). ho psi W t t f - 2 0 ' - 27'- • Qi i r n - 2 7- 10 p si b) U 5' - 2 0 '- forma po obcią ż eniu ciś n.wgwn Rys, 9. Powł oka pneumatyczna obcią ż ona ś niegiem [80]: a) obcią ż enie, b) dyskretyzacja, c) forma powł oki , odkształ conej 210 J. OR KI SZ 4. U wagi koń cowe W pracy zebrano i krótko scharakteryzowano literaturę dotyczą cą powł ok pneuma- tycznych, która ukazał a się w ostatnim dziesię cioleciu. Wyodrę bniono w niej gł ówne n urty (szkoł y) zwią zane z kilkoma wiodą cymi oś rodkami i szkicowo przedstawiono metody obliczeniowe stosowane w teorii wiotkich powł ok, ze szczególnym uwzglę dnieniem metody elementów skoń czonych. T ablica 2. Z estawien ie porównawcze reprezentatywnych prac poś wię conych analizie wiotkich powł ok metodą elementów skoń czonych Grupa praca Opis Metoda roiMą tama Material (równania konstytutyw- nej Elementy strefa struktura N ieznana forma • Eulera f L agrange'a T L uaktualniony L agranqe'a UL iteraufjna pr/ i/ rostowa UnloMO sprę ż ysty hlpersprciysty sprę ż ysta - plastyczny lepkospreiystij lepko plastyczny izotropia anizotropia efekty termiczne najprostszy trójką tny wyż szego nedu s, >o G 2 y- o 6,7 0. 6 z = 0 (fatdy) prosta: membrana zł oż ona: membrana +kable koń coHa począ tkom statyka statecznoś ć dynamika analiza optymalizacja ODBN 118 + + + + + + + - r 128 + + + + + 4- + 4- + + L EON ARD - L i 80 + + + (E) + («) + + + + + + (e) 4 + 81 + + + + + 4- + + + 77 + + + + + + + + + • + - f ARGYRIS 8 + + o • + + + + 0 0 0 + + 0 + + - 4- 0 (+) + 0 + 0 0 • +• 0 S3 + + + + + + 4- 4- 4- 4- 4- + 4- POWŁOKI PNEUMATYCZNE 211 Analiza przeprowadzona w niniejszej pracy pozwala na sformuł owanie nastę pują cych ogólnych wniosków. , — Podstawowy zarys teorii wiotkich membran jest opracowany w przypadku materiał ów hipersprę ż ystych (por. [42, 115]). Dalszego rozwoju tej teorii moż na i oczekiwać przede wszystkim przy zastosowaniu nowych materiał ów (nowe prawa konstytutywne). — W ś wietle tej teorii poprawnie sformuł owane zagadnienia dla powł ok pneumatycz- nych są z reguł y nieliniowe (geometrycznie) nawet w przypadku liniowych zwią zków fizycznych. — Efektywne rozwią zania dla powł ok pneumatycznych moż na aktualnie uzyskać jedynie poprzez odpowiednią dyskretyzację problemu i stosowanie metod numerycznych W zagadnieniach obrotowo- symetrycznych mogą to być róż ne metody bezpoś redniego cał kowania, natomiast w ogólnym przypadku zdecydowanie najbardziej skuteczna okazał a się metoda elementów skoń czonych, która obecnie stanowi jedyne efektywne narzę dzie rozwią zywania praktycznie dowolnych problemów teorii wiotkich powł ok, chociaż jej potencjalne moż liwoś ci cią głe jeszcze nie został y w peł ni wykorzystane (por. tablica 2). — Pomimo opracowania podstaw teoretycznych oraz pojawienia się skutecznej metody analizy problematyka wiotkich powł ok cią gle jeszcze stanowi pole badań naukowych. Ś wiadczą o tym choć by liczne prace naukowe jakie się ostatnio ukazują . Wś ród nich w samych tylko latach siedemdziesią tych znaleźć moż na siedem rozpraw doktorskich [19, 34, 79, 124, 128, 145, 161]. Trzeba jednak nadmienić, że w ś wietle bezspornych sukcesów metody elementów skoń czonych w rozwią zywaniu róż nych problemów dotyczą cych powł ok pneumatycznych o dowolnym kształ cie wiele z tych prac stracił o rację bytu i w ogóle nie powinno się ukazać. Perspektywy dalszych prac nad problematyką wiotkich powł ok to przede wszystkim — uwzglę dnienie nowych praw konstytutywnych w szczególnoś ci dla materiał ów o wł as- noś ciach Teologicznych oraz wpływów termicznych; — opracowanie ś cisł ej teorii strefy fał dów (a t > 0, ą 2 = 0); — dalszy postę p w dziedzinie teoretycznego sformuł owania problemów statecznoś ci i dynamiki; — rozwią zywanie zagadnień specjalnych, np. kontaktowych (wię zy jednostronne); — obliczanie zł oż onych struktur powł okowo- linowych; — optymalizacja konstrukcji pneumatycznych; — dalszy rozwój metod obliczeniowych, w tym gł ównie: = metody elementów skoń czonych (por. tablica 2) tak, aby moż na był o przy jej po- mocy efektywnie rozwią zywać wszystkie problemy wymienione wyż ej; = podję cie szerszej próby wykorzystania na równi z metodą elementów także metody róż nic skoń czonych, zwł aszcza w jej wersji opracowanej dla nieregularnych siatek wę zł ów; pierwsze prace w tym kierunku [56, 82] są nader zachę cają ce; = peł niejsze opracowanie zagadnienia poszukiwania pierwotnej' formy powł oki (por. [1. 80]); — prowadzenie róż norodnych prac doś wiadczalnych; Realizacja takiego programu prac jest w peł ni realna, a jego wykonanie umoż liwił oby 212 J. O R K I SZ efektywne rozwią zywanie rozmaitych skomplikowanych problemów inż ynierskich, które ze swej strony zapewne stawiać bę dą przed teorią i metodami obliczeniowymi coraz to nowe zadan ia. Literatura cytowana w tekś cie 1. T S . AN G E L O P U L O S; Zur Formfindung und Dynamik von Vorgespannten N etzwerkkonstruktionen, P h . D . th esis, U n iv. of Stuttgart, 1977. 2. C . A. AJI E KC E E B; Ocuoeu oóią eu meopuu MMIKUX o6ojioneK, Pac*KT npocrpaHCTBeHHŁK KoircTpyKiwił , G rpoH n3flaT..i MocKBa, I I , 1966. 3 C . A. AJI E KC E E B; 3ada.Hu cmamuKU u duHMtuxu MHZKUX OSOJIOHBK, TBK TOI T VI , 1966. 4. C . A. AJI E KC E E B, I O. A. M AXAJIOB; 3j; KoAeBauun MHSKOU OSOAOHKU e nomoke za3a, G rponT. M ex. , 3, 1969, 47 - 49. 2 1 . E . H . Jlp y3b; O cfiopMe nonepeuHoeo ceueuun eo3dyxoonopnod tfu/ iUHÓputecKoń O6OAOHKU, GrpoHT. M e x. , 4, 1973, 16 - 19. 22. B. B. E P M O JI O B; $e(fiopMai(uu uu/ iuHdpuuecKoU nmeMamuuecKoii o6o/ iowu nod deucmeueM eempoeoQ HaipysKu, C i p o m . M e x. , 6, 1969, 4 - 7. 23. B . B. E P M O JI O B; CuMno3uyM no nueeMamu'tecKUM oooAomcaM^ G rpoirr. M ex., 6, 1973, 74 - 76. P OWŁ OKI PN EUMATYCZN E 213 24. J I . A. AJIEBCKAJI, J I . A. M ATBE E BA; K oifeiiKe decpopMupoeahuoeo cocmomiun cocmamtux nueeMatnu- uecKux KOHcmpyKifuu, C 6. 5- fi iJ C M O , 1976, 59 - 66. 25. W. W. F E N G , P . H U AN G ; On the Inflation of Plane N onlinear Membrane, T ran s. ASM E , AM , Ser E , 41 (1974), 767- 771. 26. W. W. F E N G , "P. H U AN G ; On the General Contact Problem of an Inflated N onlinear Plane Membrane, ISS 4, 11 (1975), 437- 449. 27. W. W. F E N G , J. T . T I E L K I N G ; L arge Plane Deformations of Rectangular Elastic Sheets, Z AM P , 6, 27 (1976), 781- 789. . 28. W. W. F E N G , J. T. T I E LK I N G , P . H U AN G ; T he Inflation and Contact Constraint of Rectangular Metnbrane, Tran s. ASM E, AM (w druku). 29. W. W. F E N G , W. H . YAN G ; On the Contact Problem of an Inflated Spherical N onlinear Membrane, Tran s. ASM E, AM , Ser. E , 40 (1973), 209- 214. 30. B. H . EOAOCBEBJ O (fiopMax paenoeecuH cifiepwiecKou OSOAOHKU npu enympenuoM dasAenuu, F IpH KJi. M a t . M ex., 32 (1968). 31. I O . • $>. OKHH; ycmoUmieocnib Hexomopux 6e3MOMeH?mwx o6ojiouei< npu Bojibtuux decfiopMatjUHX, I I p o 6 . n e M H yCTOIWHBOCTEC B CTpOHTejIBKOH M eXaH H Ke, C T p O H H 3flaT . 3 1 9 6 5 . 32. H . O. F OSTER; Very L arge Deformations of Axially Symmetrical Membranes Made of N eo- Hooken Materials, I J. E S, 1, 5 (1967). 33. S. F U CH IZAWA, H . TAKEYAN A; Study on T he Bulge Forming of T hin- W alled Cylinder, J. Jap . Soc. P rec. Eng., 8, 37 (1971). 34. F . F AC H K ; Eonbuiue decfiopMaijuu moHKUx oSoAoueK HanajihuoU, yiiAundpuHecKoU (jiopMbi, KaiiAH flai- ci K . C T P O H . H H C . J KyiiSfeimeBa, MocKBa, 1977. 35. r . F AC H K ; Hecyufan cnocoBuocmb Se3M0MeHmHoS O6OAOHKU iiana/ ibnoU ifUJiuudpuuecKOń (popMbi npu 6oMbtuux decfiopMaifiMx, H 3B . By3OB3 M aiU H H OCipoeH iie, 7 , 1977. , 36. F . A. F E H E B; Pacuem tfUAUHdpuuecKux nmeMooóojioueK na deucmsue eempoeux ua:py3OK c yuemoM 6o/ ibiuux nepeMeufeuuit, ripcfflHOCTB K fleijjopM aTH BH OCTb KOHCTpyiopMnpyeMbix Teji u KOHCTpyKu.HH, M auiH H OCTpoeuH e, M ocK Ba, 1975; 48. L. J. H AR T- SM I TH, J. D . C . C R I SP ; L arge Elastic Deformations of T hin Rubber Membranes, I J. E S, 1, 5 (1967), 1- 24. 49. E. H AU G , G . H . P O WE LL; Finite Element Analysis of N onlinear Membrane Structures, SE SM R p t . N o 72- 7, D ept . of Civ. E n gn g, U n iv. od California, Berkeley, 1972. 5 Mech. Teoret. i Stos. 2/80 214 J. O R K I SZ 50. H E LLAN K AR E ; Finite Creep of Closed Membranes of Revolution, Acta Polytechn. Scand. M ech. E n g., Ser. A, 57, 1971. 51. H . D . H I BBI T , P . V. M AR C AL, J. R. R I C E ; A Finite Element Formulation for Problems of L arge Strain and L arge Displacement, ISS, 6 (1970), 1069 - 1086. 52. G . H OR R I G M OE , P . G . BE R G AN ; Incremental Variational Principles and Finite Element Models for N onlinear Problems, C M . AM E , 7, 12 (1976), 201 - 217. 53. B. A. H B O B U H ; CoScmeemue Kojiedanun MMKOU nneeMamwieawii OSOAOHKU ifUJiundptmecKou (fiopMu, C T P O H T . M e x. , 2, 1976; 50 - 54. 54. M . VAN JAETH EAN Jr.; W iderstandsfahigkeit biegeweicher Schalen, Z . Bauplanung und Bautechnik, 9, 1969. 55. SL . . K A I O K ; Ocuoenue cooniHOtueHUH leoMempunecKU HOAimeuHOu tneopuu MMKUX o6ojioneK epaufeuun, floKji. AH y C C P , 8, 1976A, 715 - 719. 56. R . K AO , N . P ER R ON E; L arge Deflections of Flat Arbitrary Membranes, C and S, 4, 2 (1972), 535 - 546, 57. J . E . K E Y; On the N umerical Solution of Certain Problems in Finite Element Method, IT. N M E , 2, 9 (1975), 483- 487. 58. M . KXE I BE R ; L agrangean and Eulerian Finite Element Formulation for L arge Strain Elasto- Plasticity, Bull. Acad. P olon . Sci., Sś r. sci. tech n ., 23 (1975), 117- 126. 59. M . K L E I BE R ; Duż e deformacje dal sprę ż ysto- plastycznych, teoria i numeryczna analiza konstrukcji, P race I P P T P AN , Warszawa, 1978. 60. I O . H . KOP OE AH OB; MtuKiiii mop nod KacameJiuwii uatpymou u enympemiui dae/ ienueM., T p . H K H , BBin. 106, 1975, 3 5 - 4 1. 61. I O . M . KOPOBAH OBJ OcecMUiempunnan 3adana MMKOU OBOAOHKU epaiaenuH a ifiu3wiecKtt u leoMempu- HecKU iienuHeiiHou nocmanoene, T BK T O I I X , 1975, 456 - 464. 62. C . N . KLOSTEM; Optimum Shaped Pneumatic Roofs, Symposium IASS, Kielce, 18 - 23 Jun e 1973, 77 - 87. 63. B. JX- KyjiAWiH; HeKomopue eonpocu oSufeii meopuu OÓHOOCHO uanpnoiceHHUx MMKUX odoAonex, OrpoiiT. M e x. , 3, 1970, 16 - 18. 64. B. JX- KyjiATHH, B. 3 . MAryjiA; Kpacnemy MHZKUX odoAoueic e 3oae CKJiaduamocmu, C 6. iwaTepnajioB 15 H 14 KOKKypcoB, JX&nhnzpjN ., 1968. 65. H . K U N I E D A; Flutter og Hanging Roofs and Curved Membrane Roofs, ISS, 4, 11 (1975), 477 - 492. 66. H . H . K u o ; N umerical Approach to L arge Elastic Deformation of Axi- Symmetrkal Membrane Problems, P h . D . thesis U n iv. of M ichigan, An n Arbor, 1969. 67. A. D . K YD O N I E F S; T he Finite Inflation of an Elastical T oroidal Membrane, I J, ES'., 6, 5 (1967). 68. A. D . KYD ON I E P S, A. T . SP EN CER; T he Finite Inflation of an Elastic T orus, I J. E S., 2, 3 (1965). 69. B. B. JlEBAHHfloBj. JJe^ opMaą uH MMKQU ctfiepimecKou OSOAOHKU msomoeMHHoti U3 opmomponuou. nMiHKU, C 6 . 5- H flCM O, 1976, .80 - 87. 70. 3 . J I . JlErJiEP, Pacnenmoe u 3KcnepUMeHmauibnoe uccjiedoeanue coBcmeemmx KOMe6aHuU MUZKOU ifu- jiUHdpuHecKoii O6OJIOUKU. SKcnepuMenma/ iwoe uccjiedoeanue aemoKOJieóamiii MHZKOU ą uAunbpuuecKOU o6oaoHicu e nomoKe io3dyxa, T p . H AT H , Bbin. 1253, 1970. 71. J. W. L E O N AR D ; Behaviour on Pressure Stabilized Inflatable Shells of Revolution, P h . D . thesis U niv. of I llin ois, U rban a, i n , (1966). . 72. J . W. L E O N AR D ; Inflatable Shells: Pressurization Phase, P roc. ASCE, E M 2, P aper 5212, 93 (1967), 207 - 227. 73. J . W. L E O N AR D ; Inflatable Shells: In- Service Phase, P roc. ASC E, E M 6, P aper 5642,93 (1967), 67 - 85. 74. J . W. L E O N AR D ; Inflatable Shells for Underwater Use, P roc. Third An n ular Offshore Technology Conf., H u o st o n , Texas, Apr. 1971. 75. J . W. L E O N AR D ; Use of Pressurized Membranes as a L ow- Cost Erection Scheme for Concrete Structures> P r o c . Secon d I n t . Sym p. on Lower C ost H ousing Problems Related to U rban Renewal and D evelop- m en t , U n iv. of M issouri, R olla, M o . , Apr. 1972. 76. J . W. LE O N AR D ; C . T . L I ; Strongly Curved Finite Element far Shell Analysis, P roc. ASC E, E M 3, 99 (1973), 515- 535. 77. J . W. LE O N AR D , V. K. VE R M A; Double- curved Element for Mooney- Rivlin Membranes, P roc. ASC E, E M 4, 102 (1976), 625- 641. P O WŁ O K I P N E U M ATYC Z N E 215 78. C . T . L i ; Analysis of Inflatable Shell by Finite Element Method, P h . D . d isse r t a t io n , S t a t e U n i v. o f N ew York at Buffalo, 1973. 79. C. T. Li, J. W. LEON ARD ; N on- linear Response of a General Inflatable Shell to In- service L oads, IASS Conference, Calgary, 1972. 80. C. T. Li, J. W. LEON ARD ; Finite Element Analysis of Inflatable Shells, P roc. ASCE, E M 3, 99 (1973), 495 - 514. 81. C. T. Li, N . K. SRIVASTAVA; Analysis of Pneumatic Shell with or without Cable N et; General Finite Element Formulation, Geometrical N onlinear Behaviour of Cable- reinforced Inflatable Shells, C and S, 4 (1974), 813 - 828. 82. T . LISZKA, J. O R K I SZ ; Finite Difference Method at Arbitrary Irregular Meshes in N on- linear Problems of Applied Mechanics, Trans, of th e 4th I n t. Conf. on Structural M echanics in R eactor Technology, San F rancisco, Aug. 1977. 83. A. M . JIoKomEHKO, C . A. I I I E C T E P H K O BJ KpytJian en3Ko- ynpysan MeMSpand nod deiicmeueM paeuo- MepHoso daejienuH, M T T , 5, 1967. 84. B . 3 . MAryjiA H flp.; Cyboeue MJttxue eMKOcmu, C yflocTpoeH n e, 1966. 85. B . 3 . M AryjiA] K meopuii MMKUX unAUHdpuuecimx oóononeK, oS/ iadawufux mmduou oicecniKocmbio, Coo6meH KH jia6opaTopH H M JH TOIX odojiotJeK JXEBHMY, B B H I . 3, BnaflnBocTOK, 1968. 86. B . 3 . M AryjiA; Ceodna ocuoenux 3aeucuMoaneU meopuu MMKUX uuAuiidpu'teacux OSOAOHSK nod zudpo- cmamuuecKou nazpyBKou, H a ym ib ie T p. , H , BBH M y, Bbin . 5, BjiaflHBocTOK, 1968. 87. 3 . B. M AryjiA; Ea3oeue (popuyjiu ÓAH paciemd MHZKUX oGojioueK epauieuuA e OÓHOOCHOM cocntOHtiuu, CooSmenH H jiaSopaToproi M OTKH X o6ojio'tieK flBBH M Y, Bfcin: 2 5 BnaflH B0CT0K3 1970. 88. 3 . B . M AryjiA; Cs/ i3b OĆ HOOCHOSO cocmonnun c pacxpoeM MMKOU O6OJIOHKU 3 T B K T O I T V I I , 1970, 582 - 587. 89. B . 3 . M AryjiA; 06o6ią eHmie (jiapMyjiu cmamuKu ueKomopux MMKUX oSojzoneK^ d p o n T . M e x . , 6, 1972, 33 - 3 5 . 90. B . 3 . .MAryjiAj O6ufue 3aKOHOMepuocmu cKjiadKooSpasoeanuH MHZKUX O6OAOHCK, T p . H K H , B t i n . 6 3 , 1972. 9 1 . B . 3 . M AryjiA; K pacuemy IUBKOU aummdpunecKOu OSOJIOHKU, G rpo H T . M e x. , 2 , 1 9 7 3 , 2 6 - 2 9. 92. B. 3 . M AryjiAj K meopuu MHIKUX oSojioneK njioawio pacKpon, T p . H K H , BŁin. 9 2 3 1974. 93. B . 3 . M AryjiA; Cbeuz HaipyoiceHitoii daeJiemeM MMKOU O6OAOHKU ruiocKoto pacKpon, T p . H K H , Bbirt. 92, 1974. 94. B . 3 . M AryjiAi Cdeui cenmamou ofjojionKu, Hazpyoicenuou HopMajihHUM daejiemieM, C oo6iqeH H H flBBH M y n o cyfloBbwt M OTKH M o6onOTKaM, Bbin . 2 8 , BjiaflH BocTOK, 1974. 95. B . 3 . M AryjtA; O npomueopenuu nopooicdaeMOM iunome3HOit mpacnifioicuMOcmu MUZKUX OBOJIOHSK; T p . H K H , BBm. 106, 1975, 3 - 13. 96. B . 3 . M AryjiA; Ilpumfunbt pacuema MMKUX o6oAonei< nnocKOio pacKpon, T B K T O I I X , T . I , 1975, 465 - 469. 97. B . 3 . M AryjiAi MemodwiecKue cooGpaotceHUH o npouedype nepexoda om BU6KOU K afco/ nomw SU6KOU oSosiOHKe, T p . H K H , Bbin . 116, 1976, 8 6 - 8 8 . 98. B . 3 . M AryjiA, B . H . flpysb, B . JI,. KyjiATKH, E . n . MnnocjiABCKAfi, M . B. H O B O C E J I O B , Cydoeue MHiKm eMiwcmu, C yflocT poem ie, 1966. 99. B . 3 . M AryjiA, B. H . M AP T B I H E I ; ; K pacnemy MHIKOU, uuMmbpunecKou O6OJIOHKU C nonepewbuiu dua$pa.maMu, T p . H K H , Bbin . 106, 1975, 44 - 4 8 . 100. B . 3 . M AryjiA, A. fl. M O C K AJ I E H K O ; CmamuKa euSicux cmeHOK nod dasnemeM Hecefi3HOti cbinyteii cpedbi, G r p o H T . M e x . , 4 , 1 9 7 0 , 5 - 9. 1 0 1 . B . 3 . M AryjiA, . n . I I I AB K H H ; Oco6emiocmu W AUHemux KOAeSanuu nmsMamunccKux o6oAov.eK c 2py3OM, OrpoH T. M e x. , 2, 1971, 4 9 - 52. 102. B . H . M AP I M H E H ; ; L IummdpunecKan MMKOH o6ojiom. H . COJIOAH JIOB; Pacnem onmuMajibuux napaMempoe nneeMamunecKoH c$epunecKou OBOAOHKU no Kpumepuw necyufeu cnocoGuocmu, T BK T O I I VI I , 1970, 562 - 567. 141. I O . H . COJIOAH JIOB; Opacieme mesMamuHecKux jiuH3oo6pa3Hbix oSoAoueK npu Sonbutux decfiopMaifUHX, OrpoHT. M ex., 3j 1971, 64 - 66. 142. H . I I . CTPEKO3OB; Pamoeecue MHZKOU ctfepwtecKOu OÓOAOHKU npu ocectiMMempimmix Haipy3Kax, M T T , 2, 1969. 143. H . I I . CTPEKO3OB; Henomopbte eonpocu ocecuuMempiiHHux (p~opMou3MeHenuu MHZKUX oBostoneK, T B K T O n VI I I , 1971, 342 - 344. 144. H . H . CTPEKO30B, B. H . XAPMEH KO; Paeuosecue MHZKOU ccfiepuuecxou OSOJIOHKU npu e03deucnieuu eo3dyumoeo nomoKa, T BK T O I I VI I , 1970, 565 - 000. 145. Y. S. SU N ; L arge Elastic Deformations of an Anisotropic Inflatable Membrane of Revolution, P h . D . thesis, G eorgia I nst. Techn., Atlanta, 1972. 146. J I . M . UlAPniyKOBA; Kpumepuu npowocmu deyxcAoimux MeMdpawmx oGononeK epautenun, CooSme- HUH uaSopaiopHH MOTTOX oGojicraeK IJ,BHHMM C C C P , Bu n . 5, BjiaflKBocTOK, 1969. 147. JI . M . IH APIU YKOBA; Pacuem HenuHeuHoynpyeux moHKOcmemux oBo/ ioueK epaiaemui npu decfiopMauunx u nepeMeiaemiMX, KaHflnflaTCKan AHCcepi., MocKBa, 1969. 148. J I . M . iIlAPinyKóBA; K pacuemy beyxc/ iounux oSonoueK epaxaeuun npu 6onbiuux T B K T O n VI I , 1970, 691 - 694. 149. A. TARCZEWSKI; Konstrukcje pneumatyczne, Wyd. N O T , Warszawa, 1965. 150. B. A. TEPEmEtiKo; Ajizopumu HucAeumso peuieuun- 3adan cmamuKU MHZKUX oSojtoneK, T p . M O C K , BŁICU I. Texii. yi- ma H . 3 . EayiwaHa, 241, 1977. , 151. JI . H . T E P - M K P T H ^ Ł H H; Pasuoeecue aBcoAiomno eu6xoU OBOAOHKU; oKaumoeamioU no Kpanu IUBKUMU HumxMu, T B K T O n I X, 1973, 296 - 299. 152. J I . . H . TE P - M KP TH H BH H; K pacnemy IUBKUX ocecuMMempUHHUX OBO/ IOW K npu Bojibiuux nepeMeufeHunx, OrpoiiT. M ex., 5, 1976, 9 - 11. 153. JI . H . T E P - M K P T H ^BJI H; ypaeuenue cocmonmin MHIKUX oSojioneK c ynemoM BeoMempuuecKOu u $u3ti- • necKou HeAUHeuHocmu, Go. Bon p. pe3aH na Hafle>KHOcm H .H OJITOBMH . flepesopen. HHCTpyMeHTOB H ManiHH, Bbin. 4, 1977, 8 0 - 85. 154. J. T. TIELKIN G , W. W. F E N G ; T he Application of the Minimum Potential Energy Principle to N on- linear Axisymmetric Membrane Problems, Trans. ASM E, AM , Ser. E, 2, 41 (1974), 491 - 497. 155. B. M . TpyiUHHAj Eojibume deipopMaą uu npyinou MejuBpauu U3 njiacmimecKOBO HeodHopoduozo jia- mepuajta, T BK T O I I VI I I , 1971. 156. B. M . TpyuiHHA; Eo/ ibtuue deffiopMaifuu u mcyufaa cnocoBmcmb O6OJIOHKU Hanajibnou ijUAUHdpUHecKoA tfopjuu, M T T , 5, 1971. 157 B. M . TpyuiHHA; O meopuu Bojibuiux de^ opMauuii oduopodHux u Heodnopobubix o6oAoneK epaiaeuun u ee npujiooiceHun K HeKomopbw sabanaa npouuocmu u mexHOJiozuu, KaHflimaTCKaH flaccepi., MocKBa 1971. 218 ' J- ORKISZ 158. C . E. S. U E N G , Y. S. S U N ; L arge Elastic Deformation of an Inflatable Membrane of Revolution, AIAA J., 6, 12 (1974), 761 - 766. 159. B. Et. yci- oKHH; Pacvem AW MSpaHHUX oSono'ieK npu MOAOM napa.uempe ?iaspy3jcu MemodoM npoiowai, T BK T O n VI I , 1970, 582- 587. ' " 160. B . H . ycKDKHH; ^ L iicneHHuii aucuuta MMKUX OSOAOHCK epaufenun c npoii300Abuou eeoMetnpueU Mepuduana npu uecuMMempumioii decjJopMauuu, T B K T O I I I X , 1973, 9 2 - 9 3. 161. V. K. VERM A; Finite Element Analysis of N onlinear Cable Reinforced Membrane, P h. D . thesis, Illinois I n st. Techn ., Chicago, 1974. 162. T. VISKWAN ATH , P. G . G LOCKN ER; On the N onlinear Membrane Displacement Problem, D pt CE R pt , U n iv. of Calgary, Alberta, C anada, F eb. 1971. 163. A. S. WI N E M AN ; L arge Axisymmetric Deformation of a N onlinear Viscoelastic Membrane Due to Spinning, T ran s. ASM E, AM , 39 (1972), 848- 851. 164. A. S. WI N E M AN ; L arge Axially Symmetric Stretching of a N onlinear Viscoelastic Membrane, ISS, 8 (1972), 775- 780. 165. A. S. WI N E M AN ; Bifurcation of Response of a N onlinear Viscoelastic Spherical Membrane, ISS, 3, 14 (1978), 197- 212. 166. L. S. YAN G , W. W. F E N G ; On Axisymmetrical Deformations of N on- linear Membranes, Tran s. ASM E, AM , D ec. 1970, 1102- 1011. 167. W. H . YAN G , K . H . H S U ; Indentation of a Circular Membrane, Trans. ASM E, AM , Ser. E, 38 (1971), 227 - 230. 168. W. H . YAN G , C . H . L U ; General Deformations of N eo- Hookean Membranes, Trans. ASM E, AM , Ser . E , 40 (1973), 9 - 1 2. 169. B . B . 3 A H H E B ; Pacnem ifu/ iundpimecKoU MSKKOU O6OAOHKU na npoboAbuue uacameMHue naipymu, T p . H K H , Bfcin. 92, 1974. 170. B. B. 3Ań ił EBj Metnodu pacuema nuAUHdpunecKux MHSKUX OÓOAOHCK na npodoAbttbie KacamejibHbie naipysKU, T BK T O I I X, T . I , 1975, 414 - 423. 171. O. P . SATBOPH H IJKH H ; K pacnemy M/ UKUX naAueubix oSoAouetc, GrpoHT. M ex., 1., 1970, 1 8 - 2 0. 172. I I . A. 3H H OBBE B, B. A. TEPEII;EH KOJ Mnertue paeHonanpnoiceuHbie O6OAOHKU, C 6. 5- ii flCM O, 1976, 74 - 79. • ' 173. A. M . BI N N I E ; Air- generated W aves on a Moving Membrane, J. M ech. Eng. Sci., 3, 12 (1970). 174. J . BU JAK, A. Ż ÓRAWSKI; Problemy dynamiczne pł askiego przekrycia wiszą cego, Arch. I N Ż . Lą d., 17, 4, 1971. 175. H . M . I R VI N E ; T he L inear T heory of Free Vibrations of Suspended Membranes, Proc. R. Soc. Lond. A. 350, 1976. 176. V. J. M EYER S; Pneumatically Formed Sandwich Shell Roof Structures, P roc. ASCE, St. 3, 104 (1978), 381- 389. 177. R . SYG U LSKI; Problemy drgań niektórych typów przekryć cię gnowych w oplywie powietrza, Praca doktorska, Politechnika P oznań ska, Poznań 1978. 178. E . T I U N K L, B. P . SCH N ABEL; Olympiadacher in W indkanal, D ie Bautechnik 1, 1972. 179. B. H . yciOKHH; 06 ypaeueHunx meopuu SoAbumx deifiopMa- uuii MHZKUX oóoAo^ ieK, M T T , 1, 1976, 70 - 75. 180. B . H . VCSOKH H , B. A. TSP EWEH KO, A. H . CHOBHHKOB, C . B. I I AH O B, 7.T - BOPCOB; Pacnem nuee- MamtmecKUX cmpoumenbHux KoncmpyHtfuii c ucno/ ib3oeaHW M 9BM, KOH(b. H AC C , AjiMa- Aia, 1977, CTpOH3., M o craa, 1977, 14 6 - 15 1. Wykaz waż niejszych skrótów uż ytych w spisie literatury AIAA J. — Journ al of the American Institute of Aeronautics and Astronautics. C an d S —C o m p u t e r and Structures. P roc. ASCE, ST —P r o c . of ASCE, Journal of Structural D ivision. P roc. ASCE, E M — P roc. of ASCE, Journal of Engineering Mechanics D ivision. POWŁOKI PNEUMATYCZNE 219 Trans. ASM E, AM — Trans, of ASM E, Journal of Applied M echanics. I J. N M E — International Journal for N umerical M ethods in Engineering. ISS — International Journal of Solids an d Structures. U . ES —I n tern ation al Journal of Engineering Science. CM . AM E — Computer M ethods in Applied Mechanics and Engineering. Proc. ICPS —• Proc. of International Colloquium on Pneumatic Structures. OrpoH T. M e x. — CTpoHTejitHaH MexaHHKa u p a c t e x coopyweH jift. T p . H K H —T p yffM H tiKonaeBCKoro KopaSjiecxpoKTejibH oro HHCTjrryTa. M T T —' MexaH H Ka xBepfloro Tena. I I paKJi. M aT. M e x. — IIpuKJiaflH aH MaieMaTHKa n MexaHHKa. C6. 5- ii ^ C M O — C 6 O P H H K 5- H JJajiMieBOCT ceiwiiH. n o MRT KHM o6oJio*iKaM. T B K T O n — T p yflw Bcecoio3H ofi KOHdrepemjHH n o TeopwH O S O J WK K H — VI Ban y, 1966, Btefl. H ayK a, M ocKBa 1966; VI I TlH errponeTpoBCK; 1969, H 3fl. H ayica, M ocKBa 1970; . VI I I P ocioB- H a- floH y, 1971, H 3fl. H ayKą , M ocKBa 1973; I X JleiiH H rpafl, 1973, Kl3fl. C yso c T p . , JleH H H rpafl 1975; X KyTamcii, 19753 H 3fl. M eqiiH epeSa, T Q H J I H C I J , 1975. P e 3 w M e n H E B M A T H ^ I E C K H E O B O J I O ^ K H B H acTonmeii pa6oTe cflenaH KpprraHecKufi 0630P paSoT n o pa3JinqH bifn Bonpocaivi (TeopHH, MeTOAbi p e m e m u i , perueHHH) Hane^iaTaHbix 3a nocjieRHHX pficaih jier . CnemjajiBH oe oSpameHO K dpopiviyjrapqBKe xeo pn n warKH x oSojio^- ieK c TOIKH 3peHHH M eiofla 3JieMeHTOB. H 3naraeTCH o6maH xapai