Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  18 (1980) RÓWN AN IA  BILAN SU   I  ZASAD Y  ZACH OWAN IA  W  P OROWATYCH   C IAŁAC H WIELOSKŁAD N IKOWYCH M A Ł G O R Z A T A  W  O Ź N  I A. K  ( W A R S Z A W A ) Wstę p Kontynualne teorie mieszanin  [1, 2] oraz zarówno liniowe  [3, 4] jak i  nieliniowe  [5,  6] sformuł owania  teorii  oś rodków  porowatych  i  konsolidacji  postulują ,  że  w  danej  chwili w jednym  i  tym samym  miejscu  przestrzeni  mogą   się   znajdować  róż ne  czą stki  oś rodka oraz, że porowatość  oś rodka  opisują   wprowadzone  a priori  pola.  Przeglą d  i  omówienie literatury  problemu  moż na  znaleź ć  np. w  [6].  W  monografii  [7] przedstawiono  bardziej fizyczne  podejś cie  do teorii  oś rodków  porowatych  nasyconych  cieczą ,  biorą c jako  punkt wyjś cia  skokowo- niejednorodną   i  niecią głą   (zawierają cą   inkluzję   i  pustki)  „ mikro"- struk- turę   ciał a. Podstawowe  równania  pola  otrzymano w  [7] przez przeprowadzenie  uś rednień po  pewnych  „makro"- powierzchniach i  „makro"- obję toś ciach. W  tej  pracy  przedstawiono  formalizację   podejś cia  zastosowanego  w  [7] i  dokonano jego  uogólnienia  na przypadek  N - skł adnikowego  ciał a  o  dowolnej  strukturze  niejedno- rodnej  i  porowatej.  Celem  pracy  jest  podanie  ogólnego  schematu  konstrukcji  równań bilansu  dla  pól  opisują cych  pewne  globalne  (uś rednione)  wł asnoś ci  porowatych  ciał wieloskł adnikowych.  Pokazano  również  zastosowania  tego  schematu  do  budowy  praw zachowania i niektórych równań  transportu  dla pól uś rednionych. Wyniki  pracy  umoż li- wiają   także  gł ę bszą   interpretację   fizyczną   pól, których  istnienie  postuluje  się   w  konty- nualnych  teoriach  mieszanin  i  oś rodków  porowatych. 1.  Podstawowe  poję cia  1 oznaczenia Rozważ ania  dotyczą   oś rodka  cią gł ego  M   zajmują cego  w  dowolnej  chwili  t  sumę M,  rozł ą cznych  obszarów  w  R 3  (tj. w  przestrzeni  fizycznej  z  ustalonym  ortogonalnym ukł adem kartezjań skim  0xJx2x3). Celem uproszczenia formalnej  strony rozważ ań zał oż ymy, że oś rodek jest nieograniczony w tym sensie, że istnieje  liczba  r, r >  0, taka, że dla każ dego x, x e R 3, kula  K(x, r) o promieniu r i o ś rodku x zawiera  punkty należ ą ce do M ,, t e R 3 . Oś rodek  M  może wię c  mieć  strukturę   porowatą   (gdy R 3 \ M t  ^  0 ) i  skokowo- niejedno- rodną   (gdy  5M t n M t  #  0 ) . Zakł adamy, że w oś rodku M  moż na wyróż nić  skoń czoną   liczbę  N  skł adników  Bc< 0, ... ...,  B w .  Przez B,(a), B,(fl)  c=  M r , oznaczymy  sumę   obszarów  przestrzeni  R 3  zaję tych  przez skł adnik  B ( a )  oś rodka  w  dowolnej  chwili  t,  M, =  uBfa).  Ż ą damy,  by  istniał a  liczba  r, r  > 0, taka  by K(x,  r)n B, ( o )  ^  0 ,  a, =   1, ..., N , był o dla każ dego  x, x  6 R 3 ,  skoń czoną 248 M .  WOŹ NIAK sum ą  regu larn ych  rozł ą cznych,  obszarów  w  R 3 ,  przy  czym  wszystkie  p o la  charaktery- zują ce  wł asn oś ci  lub stan  dowoln ego  skł adn ika B< 0 ) był y  dostatecznie  regularn e  w  każ dym z  t ych  obszarów.  Z akł ad amy  p o n ad t o ,  że w jedn ym  pun kcie  przestrzeni  R 3  w  dowolnej lecz  ustalon ej  chwili  t  m oże  się  znajdować  najwyż ej  jeden  skł adn ik,  tj.  B, ( a )n Bt ( fc )  =   0 dla  każ d ego  a  ^  b. Wszystkie  rozważ an ia  aż do koń ca  p . 4  dotyczą  dowoln ego  lecz  usta- lo n ego  skł ad n ika  B =   B ( B ) ; faktu  tego  n ie bę dziemy  zazn aczać  przy  uż yciu  wskaź n ika  a, wyróż n iają cego  skł adn ik.  N ależy  jed n ak  pam ię tać,  że  wprowadzon e  w  p .  1- 4  obiekty n ależy  t r a kt o wa ć  ja ko  dotyczą ce  jedn ego  wybranego  skł adn ika  B =  B ( a ) . P rzyporzą dkujmy  każ demu  x,  x  e  R 3 ,  bazę  wektorową  Ax k   =   (d^ Ax1,  6 k2 Ax 2 , d k3 Ax 3 ),  k  =   1 , 2 , 3 ,  t j.  wprowadź my  n a  razie  dowolną  funkcję  Ax k   — Ax k (xY\   okreś- lon ą  w  R 3 .  F un kcję  t ę przyjmujemy  niezależ nie dla każ dego  skł adn ika. Symbolem  Axk  — =   \ Ax k \   ozn aczym y  dł ugość  yfc- tego  wektora  bazy,  Ax k   =   Ax k (x),  k  — 1 , 2 , 3 .  Przez P ( x)  ozn aczym y  prost opadł oś cian  o  ś rodku  w  dowoln ym  pun kcie  x,  x e R 3 ,  rozpię ty n a  wekt o rac h  bazy  Ax 1 ,  Ax 2 ,  Ax 3 ,  przyporzą dkowan ej  tem u  pun ktowi,  po r.  rys.  1. Rys. 1 Obję tość  AxxAx2Ax3  tego  prostopadł oś cianu oznaczymy  przez  AV.  Ponadto przez  S'(x) oznaczymy  prostokąt  o  ś rodku  w  dowolnym  punkcie x,  x  e R 3,  rozpię ty  n a  wektorach bazy  Ax m ,Ax„,  l^   m  =£  n  i=  I,  przyporzą dkowanej  temu  punktowi,  por.  rys.  2.  Pole prostoką ta  S'(x)  oznaczymy  przez    0,  które jest  polem  gę stoś ci  obję toś ciowej  w  dowolnym równaniu bilansu  wyróż- nionego  skł adnika  B  =   B ( w.  Zakł adamy, że  dla  każ dej  chwili  t  pole  ?(;  t)  jest  cią głe w  B£ a) a  pon adto  !P(x,  • ) jest róż niczkowalne podł ug czasu  dla każ dego x  s  R 3.  Poł óż my , t)  s  0  dla  każ dego  x  e R 3 \ B f \   rozszerzając  dziedzinę  funkcji  V(;  t)  na  R 3. 1 }  T u i dalej  wskaź niki i,J, k, I,  tn, n przebiegają  ciąg  1, 2, 3. Konwencja  sumacyjna  obowią zuje  tylko wzglę dem  wskaź nika  powtarzają cego  się dwukrotnie  na  róż nych  poziomach. RÓWN AN IA  BILANSU   I  ZASAD Y  ' 249 Zdefiniujmy  dla  każ dego  x  e R 3,  t e R  nastę pują ce  uś rednienia  pól  T (x,  t)  po  obję - toś ciach (1.1) ,t)dv;  xeR 3 ,  teR, ( x, 0=  J Pn Kł adą c  ^  =  Sg,  gdzie  Q =   g(x,  / ) jest gę stoś cią   masy  wybranego  skł adnika,  zdefiniujemy także  nastę pują ce  uś rednienia  pola  S(x,  t)  podł ug masy  tego  skł adnika 2(x,  0  = ,  t)dv (1.2) ,  t)dv. 250  M .  WOŹ N IAK N iech  # ( x , t),  x  e  R 3 ,  /  e  R,  oznacza  pole  tensorowe  o  walencji  K + l ,  K  ^  0,  takie, ż e # ( - ,0  jest  polem  gę stoś ci  n a  powierzchni  zorientowanej  wektorem  n,  wystę pują cej w  dowoln ym  globalnym  równaniu  bilansu  skł adnika B  =   B( fl ) .  Z akł adamy,  że  $ (  • ,  t)  jest cią głe  w  B£ fl)  oraz  róż niczkowalne  w  każ dym  z  rozł ą cznych  obszarów,  z  których  skł ada się  B,(fl),  teR.  Rozszerzymy  dziedzinę  funkcji  # ( • ,  t)  na  R 3  kł adą c,  jak  poprzednio, # ( x ,  O  ss  0  dla  każ dego  x  e  R 3 \ B {f l ) .  D la  każ dego  x  s  R 3,  teR,  oraz  dla  każ dego wersora  e m   =   (< 3m ls  ó,„ 3, <5„l3)  zdefiniujmy  nastę pują ce  uś rednienia  po  powierzchniach S m (x,  t)  =  - £=-  j  $(y,  t)e m ds;  x e R 3,  teR, (1.3) -   df  i  r Zł  O»i  - ^ S"'(x) Wartoś ci pól uś redn ion ych  T (  • ,  t),  §(  • ,  t), «£'"( • ,  t),  teR,  zależą  oczywiś cie  od  funkcji Ax K .  Przyjmiemy  dalej,  że  pola  te  są  co  najmniej  cią głe  w  R 3  dla  każ dej  chwili  ( E R . 2.  Ogólna  postać  równaniu  bilansu N iech  P  bę dzie  dowolnym  regularnym  obszarem  w  R 3 .  Rozpatrując  jeden  wybrany skł adn ik  B ( o ) ,  oznaczmy  B,  =   B( ( a).  Oznaczmy  pon adto  przez  n  =   n (x, t),  x  e 3( B( n P ) , jedn ostkowy  wektor  zewnę trznie  n orm aln y  do  gł adkich  pł atów  powierzchni  9( B( n P ) . N iech iff,  n,  a  bę dą  polami  okreś lonymi w B „   teR,  które wraz  z polem prę dkoś ci  Y  skł ad- n ika  B ( a )  są  powią zane  poniż szym  ogólnym  równaniem  bilansu  dla  tego  skł adn ika2) (2.1)  - j£  J  if(x,  t)dv  =  J  [n(x, t)- xjf{x,  0® v(x, t)] •   n(x,  0 * + +  I  a(x,t)dv+  I  it(x,t)''n(x,t)ds. Pr^ Bt  Pr^ SBt Z e  zwią zku  (2.1)  wynika,  że ifr jest  polem  okreś lają cym  gę stość  obję toś ciową  tej  wielkoś ci fizycznej,  którą  bilansujemy;  jest  t o  pole  tensorowe  o  walencji  K,  K  >  0. P ole  tensorowe a,  o  tej  samej  walencji  K  jest  gę stoś cią  obję toś ciową  ź ródeł   wewnę trznych  wielkoś ci  bi- lan sowan ej.  Iloczyn  7t •   n  charakteryzuje  przepł yw  wielkoś ci  bilansowanej  przez jednostkę powierzchn i  zorientowanej  wektorem  normalnym  n.  Samo  pole  tensorowe  % o  walencji K + l ,  K  >  0,  charakteryzuje  więc  gę stość  ź ródeł   powierzchniowych  wielkoś ci  bilanso- wanej,  niezależ nej  od  tran sportu  masy;  v  jest  polem  wektorowym  prę dkoś ci  materiał u skł adn ika  B(< 1). Wszystkie  powyż sze  pola są  okreś lone w  każ dej  chwili  t  w  B,(fl),  Bt (a)  c  M ,, a  równ an ie  (2.1)  m a  być  speł nione  dla  każ dego  regularnego  obszaru  P , P c  R 3 .  v Celem  n apisan ia  ogólnego  równania  bilansu  dla  dowolnego  regularnego,  niezależ nego o d czasu, obszaru  P ,  P  <=  R 3,  rozszerzmy  pola  ijr, ..., v,  dotychczas  okreś lone  w  B,  dla każ dego  t, n a  cał ą  przestrzeń R 3 ,  kł adąc  f(x,  t)  m  0, rc(x, t)  a  0, ,  n,  a  nie  nadajemy wyraź nego  sensu  fizycznego,  por.  [8],  str.  141.  Wyprowadzenie  zwią zku  (2.1)  ze  znanej  ogólnej  zasady bilan su,  [8],  podan o  w  D odatku  n a  koń cu  pracy. RÓWNANIA  BILANSU   I  ZASADY  2 5 1 dla każ dego x e R 3 \ B ,  i każ dego  t eR.  Oznaczmy tu przez £,(P) sumę  brzegów  rozł ą cz- nych  obszarów,  z  których  skł ada  się  ć >Bt,  zawartych  w  obszarze  P,  2t(P)  =   P n d B , . Ogólne  równanie  bilansu  ma  wtedy  postać —-   vi(x,t)dv  =   f  [n(x,  r) — w(x,  n ® v( x,  n ] •   n a s+ +   /   - '   t)- ^ - ^ (x,  t),  y e  P ( x) , jest  oscylacją   wielkoś ci  i(/  w  dowolnym  punkcie prostopadł oś cianu  P (x); wielkość  oscyla- cyjna ty jest  okreś lona  niezależ nie  dla  każ dego  prostopadł oś cianu P(x), x 6 R 3.  Prawą stronę   równoś ci  (3.2)  moż na  teraz  doprowadzić  do  postaci (3.8)  ^ j ^ ś W 1 =  1  ' _  j  ^ fc l . . . iK |, w  której ijk,..W ( Xy   t)  =J—  f q*f..*«/ (y,  t)ds;  y e ^ ( x) , (3.9)  A s i  sh ij**™*rf(y,  t)  =   ( V f c - f t K ( y,  t)vl(y,  t)+^ - )̂   r ) f (y,  ?))• Korzystają c  z  (3.1)  oraz  (3.8), równość  (3.2)  przedstawimy  w  postaci Oznaczmy  ponadto .  0   s Wykorzystują c  powyż sze  przekształ cenia oraz wprowadzone  oznaczenia, ogólne równanie bilansu  (2.2)  doprowadzimy  do  postaci (3- 11)  - J ^ - **( x, / ) = ^ r R ' - t " ' ( x !  0- «'(x, 0Ą fcl­fcK(x, 0 ­ ^  0 ­ * « ( x ,  / ) ;  x e R3,  teR. Zwią zek  (3.11)  nazwiemy  funkcyjnym  róż nicowym  równaniem  bilansu  dla  dowplnego RÓWN AN IA  BILANSU   I  ZASADY  2 5 3 lecz ustalonego  skł adnika B  =   B(fl>.  Przy  wyprowadzaniu  równania  (3.11)  nie  korzystano z ż adnych zał oż eń  upraszczają cych,  opis  oś rodka.  Równanie (3.11)  stanowi  pun kt  wyjś cia do  otrzymania  róż niczkowych  zasad  bilansu  dla  pól  uś rednionych  (1.1) -   (1.3). 4.  Róż niczkowe  zasady  bilansu  dla  pól  uś rednionych Oznaczmy  przez  )  jest  zaniedbywalnie  mał e,  a  tym  samym  za- niedbywalnie  mał e  są  wartoś ci  formalnie  wprowadzonej  gę stoś ci  obję toś ciowej  £ 0  w  za- sadzie  bilansu  (4.3). Zakł adając  tu i  dalej, że  (5,(   t)dv  = ^   f  ^ -   J rj Ax 1   J  ,  ''  '  ~   Ax- 254  M.  WOŹ N IAK czyli ij(x, t)  £   ij(x,  OJ  xel?, t j.  u ś redn ien ie  p o  powierzchn i  S'(x).  funkcji  77*1- **'  zastą pimy  dalej  uś rednieniem  tej funkcji  p o  obszarze  P ( x) .  R ówn ość  przybliż ona  powyż szej  postaci  dotyczy  także  dowol- n ego  pola  # ( • , / ) ,  t e  R .  Oznaczając  6 =   <50 — div(ł / - / / ),  róż niczkową  zasadę  bilansu (4.3)  n apiszem y  w  postaci  alternatywnej 8  — dt (4.4)  5f t i- AK ( x. t)  =   (nk*- kKl{x,  t) — 5 4 i- f t K ( X )  / )ó'(x, 0 - ^ * ; of  • k *(x,  t);  x  e  R 3 ,  -  / e R 2 , w  której  wkł ad  „ ź r ó d e ł"  o  gę stoś ci  dk'- - -kK(x,  t)  przyjmujemy  ja ko  pomijalnie  m ał y. W  dalszym  cią gu  bę dziemy  korzystać  z  róż niczkowej  zasady  bilansu  dla  pól  uś red- n ion ych w postaci  (4.4). Wystę pują ce  w tej zasadzie  uś redn ione pola  (zgodnie z  definicjami (1.1),  (1.2),  (1.3))  są  okreś lone  przez 1  r f)  =  _  J y^ POO 1  r S'(x) (4.5) jj*l...*ltfx  ?)  =   wkt...kK^ '   s   AV  J   r - 1  i  rJ xe R 3 ,  /  e R, JSrW n at o m iast  pole  <5(x, f)  bę dziemy  in terpretować  ja ko  zaniedbywalnie  mał ą  wydajność (form aln ie  wprowadzon ych )  dodatkowych  ź ródeł   wielkoś ci  bilan sowan ej. N ależy  pam ię t ać, że  wprowadzon e  ogóln e  zasady  bilansu  oraz  wystę pują ce  tam pola, .dotyczą  do wo ln ego  lecz  ustalon ego  skł adn ika  B ( a ) .  U zyskan e  powyż ej  funkcyjna  róż ni- cowa  lo kaln a  po st ać  zasad  bilan su  (3.11),  oraz  ogóln a  postać  róż n iczkowa  (4.4) umoż li- wiają  pewien  uś redn iony  opis wieloskł adnikowego  ciał a  porowatego  (jego homogenizację ). Opis  ten jest  szczególnie  przydatn y  n p . w  ciał ach  kapilarn o- porowatych,  grun tach , niektó- rych  ko m p o zyt ach ,  oraz  tam , gdzie dysponujemy  tylko  statystycznymi  informacjami  o roz- kł adzie  skł ad n ików  lu b ,o  porowatoś ci.  W  tych  sytuacjach  dysponujemy  równ an iam i kon stytutywn ym i  bezpoś redn io  dla pól uś redn ion ych  (4.5).  N iektóre  zastosowan ia  zasad (4.4)  p o d a m y  w  p u n kt ac h 4 - 7. RÓWN AN IA  BILANSU   I  ZASADY  2 5 5 W  zasadach  bilan su  (3.11)  i  (4.4), wszystkie  pola  uś redn ione zależą   od  post aci  funkcji wektorowych  Ax k   =  Ax k a) (x),  x  e  R 3 ,  a  =   1 , . . . ,  N   bowiem  dowoln ie  o br a n e  p ro st o - padł oś ciany  P (x)  oraz  prostoką ty  S'(x)  wystę pują ce  w  równ an iach  (4.5),  są   rozpię te  n a wektorach  Ax^ x),  Ax 2 (x),  Ax 3 (x)  oraz  odpowiedn io  Ax m (x),  Ax„(x),  Wart o ś ci  funkcji Ax[ a) {x),  k  =  1, 2,  3  dla  każ dego  x,  x  e  R 3  wyznaczają   wię c  pewien  rodzaj  u ś redn ien ia, który  dla  każ dego  skł adn ika  B< fl)  może  być  in n y.  W  funkcyjnych  róż n icowych  zasad ach bilansu  (3.11)  rodzaj  uś redn ien ia  jest  dowolny  w  przeciwień stwie  do  róż n iczkowych zasad  bilansu  (4.4),  w  których  dodatkowo  ż ą dam y,  by  wkł ad  pola  <5  do  bilan su  był   p o - mijalnie  mał y.  Wybór  rodzaju  uś redn ien ia  (tj. przyję cie  funkcji  zlxŁ( • )  lub  P ( • )) zapewn ia- ją cy  zaniedbywalność  (wielkoś ci  d  w  róż niczkowej  zasadzie  bilan su  (4.4)  zależy  o d  struk- tury  oś rodka  i  zachodzą cych  w  n im  procesów.  Kryteria  tego  wyboru  mają   wię c  c h a r a kt e r fizyczny,  por.  n p .  [7], i  dla  róż n ych  zjawisk  fizycznych  m ogą   być  zupeł nie ró ż n e.  W  szcze- gólnoś ci  ż ą dam y,  by  wszystkie  przekroje  przez  oś rodek  pro st o ką t ami  S'(x),  x  e  R 3 ,  /   = =   1, 2, 3  był y  przekrojam i  statystycznym i,  [6]. R óż n iczkowej  zasady  bilan su  n ie  m oż emy wię c  stosować  do  ciał   n p .  o  regularn ym  rozkł adzie  inkluzji,  pustek,  warstw,  wł ókien  it p . Z auważ m y,  że  w  ogóln ych  zasadach  bilansu  dan ych  przez  (3.11),  (4.4)  i  (4.5),  t ylko pole  prę dkoś ci  v  jest  w  ś cisł ym  tego  sł owa  zn aczen iu  polem  fizycznym.  Wszystkim  p o - został ym  polom , tj.  \ fr,  n,  a,  sens  fizyczny  n adam y  w  dalszej  czę ś ci  pracy,  w  której  p o d am y przykł ady  zastosowań  ogólnej  zasady  bilan su  (4.4)  d o  budowy  n iektórych  r ó wn a ń  m ech a- niki  porowatych  ciał   wieloskł adn ikowych. N ieco  in n e  sposoby  kon strukcji  róż niczkowych  ogólnych  zasad  bilan su  p o d a n o  w  [9], gdzie  zasady  te n ie  zawierają   pól  S(x,  t)  n atom iast pola  o  podobn ym  zn aczen iu  pojawiają się   w  definicjach  wielkoś ci  uś redn ion ych. 5.  Zasady  zachowania  dla  pól  uś rednionych Korzystają c  ze  wzorów  (4.4)  i  (4.5)  przedstawim y  zasady  zach owan ia  dla  p ó l  uś red- nionych  w  wieloskł adnikowych  ciał ach  porowatych .  Ogran iczym y  się   wył ą czn ie  d o  zja- wisk  m echanicznych. 5.1.  Zasada  zachowania masy  skł adnika. M am y  t u t a j:  \ ji =   Qw,  m  =   0,  . dt  dx P rzy  zał oż eniu,  że  pole  <5(a) jest  pomijalnie  m ał e,  wzór  (5.1)  przedstawia  róż n iczkową zasadę   zachowan ia  m asy  dla  pól  uś redn ion ych.  P om ijają c  w  (5.1),  pole  <5*g«0)  =   _ gd z ie • ( 5 A )  ^ " ^ Równanie  (5.3),  po  pominię ciu  wielkoś ci  <5(a)\   jest  uproszczoną  róż niczkową  postacią zasady  zachowania  pę du.  Jeż eli  prę dkoś ci  oscylacyjne  v<0)  są  niewielkie  wobec  wartoś ci prę dkoś ci  ś rednich  v( o ),  moż na  pominąć  czł on  zawierają cy  kwadraty  prę dkoś ci  v(a>.  Po wprowadzeniu  pochodnej  cał kowitej  i  wykorzystaniu  równania  (5.2),  oraz  po pominię ciu ó(fl))c,  otrzymamy  ostatecznie (5.5)  £ < a ) " RÓWN AN IA  BILANSU   I  ZASADY  2 5 7 gdzie Wzór  (5.5)  przedstawia  uproszczon ą  róż niczkową  p o st ać  zasady  bilan su  p ę d u. 5.3.  Zasada  zachowania momentu pę du. Wielkoś cią  bilan sowan ą  jest  w  t ym  p r zyp a d ku m om en t  pę du,  kt ó rego  gę stość  dla  ustalon ego  skł adn ika  B ( o )  wyraż amy  przy  p o m o c y ten sora  an tysym etryczn ego:  yiJ  =   Q(aW )lix.JJ.  P o d o bn ie  przyjmiemy  a13  =   £>I/ x- ':') 7t'V =   x  =  yg< a Va ł *v£ a ) + g< B ) 6 l < 0 ,  7rfc  =   TkIv + 0  =   g( 0 ) b( fl) Ł v^ a ) +  q ( a ) ,  c o  po  podstawien iu  do  (4.5)  i  (4.4)  daje 1 dt ) 1  /"  / 1 ń V  J  \ 2 1  C  ,  s  1  f _L Wykorzystując  zwią zek  (3.4)  oraz  definicje  (1.1)-   (1.3)  marny gdzie  ozn aczon o •  J,  df  1s ( o )  = a  W ( a )  zawiera  wszystkie  czł ony  z  oscylacjami  prę dkoś ci  v( a ) .  Wykorzystajmy  zasadę zachowania  pę du  (5.5),  definicję  (5.6)  oraz  zasadę  zachowania  masy  (5.2).  Równość powyż sza  sprowadzi  się  wtedy  d o  postaci (5.9)  ę W i ^ l  J «o  =  f M HJg g +nw* ,* +q < f l> +s< f l> +W^ +  d ^ , R ówn an ie  (5.9), w  którym  pominiemy wielkość  óm,  jest przybliż oną  róż niczkową  postacią zasady  zachowania  energii. 6.  Równania  koncentracji  dla  pól  uś rednionych. O zn aczm y przez  C ( a ) kon cen trację  skł adn ika tran sportowan ego  przez  oś rodek  o  gę stoś ci Q, czyli  gę stość  o ś ro d ka  tran sportowan ego  jest  równ a  QW  =   § C ( a ) .  Wprowadź my  po n adt o współ czyn n ik  dyfuzji  D .  Wielkoś ci  podcał kowe w  zwią zkach  (4.5)  mają  postać  ip =  g< 0)  = =   cCia\   a  =   0,  TTft =   D<">CJfc ). P odstawiając  powyż sze  zależ noś ci  do  (4.5) i  wykorzystując (4.4),  o t rzym am y RÓWN AN IA  BILANSU   I  ZASADY  2 5 9 Przedstawmy  D'">  zgodnie  z  (3.6) wobec  powyż szego S'(x) Podstawiają c  powyż sze  zwią zki  do  (6.1)  mamy 'lt^ W  =   ^ -   ( D ' a ) Ć c »J t ^ ' +   a(°" - B C " ' ^ ""  - D gdzie df  1 Jeż eli  C ( a ) , in f  n a  powierzchni  wewnę trznej  JS t(x)  jest  równ a  zeru,  t o  po  pom inię ciu otrzymamy  uproszczone  równanie  koncentracji  skł adn ika  Bw dt e  ~  dxl  '* w  którym 1  / '  * (6.3)  p ( a )  =   gCw+- r 77   C^ pdv, •   AV  J oraz  C  s  Ć ( a )  (por.  pun kt  4). 7.  Zwią zki  z  teorią   konsolidacji Wprowadź my  funkcję   losową ,  por.  [8]  s.  11,  X < 0 ) ( x5 1 ,  %),  taką ,  że  , [1  gdy  x e B > \ |0  gdy  x  ~  e B«a i 260  M .  W O Ź NI  AK Symbol  realizacji  %  bę dzie  dalej  pomijany,  kł adąc  i]m(x,  0  =  Xc"'(x,  t,  %). Oznaczmy przez  zlF C a )  czę ść  obję toś ci  prostopadł oś cianu P(x), zaję tą  przez  skł adnik  B( o ) (7.2)  AV^ (X, 0  =   / ponadto  oznaczmy oraz  ś rednią  gę stość  skł adnika  B( fl) (7.4)  g w ^. Ponieważ  zgodnie  z  (1.1) s - ar  1  f przeto  z  uwzglę dnieniem  (7.3)  i  (7.4), mamy (7.5)  e< a>(x, 0  =  n< e>(x»  0 e ( a ) ( x , 0 - Wielkość  g( o ) ( x,  t) jest  nazywana  gę stoś cią  obję toś ciową. Korzystając  z  (7.5)  napiszmy  zasadę  zachowania  masy  (5.2)  w postaci (7.6)  JL(n«o£«o) +  ^ . ( n w ^ « i )  •   0;  fl  =  1, ..., N. Jeż eli B< a ) jest materiał em wypeł niają cym  pory  oś rodka, to h < a )(x, t) moż na nazwać ś rednią porowatoś cią  obszaru  P(x)  w chwili  /. W  teorii konsolidacji  zamiast  ś redniej porowatoś ci wystę puje  porowatość  w  „ pun kcie".  Równanie  (7.6)  jest  formalnie  identyczne  z  jego odpowiednikiem  w  teorii  konsolidacji,  [6],  jednakże  wystę pują  róż nice w  sposobie inter- pretacji  wyraż enia. Tensorem  naprę ż eń  czą stkowych  nazywamy  wielkość (7.7)  f«o*< (x,  o  L f  _ L  [ T W (y,t)ds. 1  S'(x) Okreś lmy  czę ść  powierzchni  S'(x)  zaję tą  przez  skł adnik  BCfl)  jako (7.8)  ,  4Sf«>(x,0  lf  JV> (y, 0«fe. S'Cx) Wprowadź my (7- 9)  TW«(x,  t)  t  - ^   f  T W '(y,  t)ds, oraz , , „i,   df (7- 10) RÓWN AN IA  BILANSU   I  ZASADY  2 6 1 Jeż eli (7.11)  AVW (x, t)  a  Ax'AS<°\ x, t), tj.,  gdy zlS,(a)  jest  przekrojem  statystycznym,  to z  uwagi  na (7.3)  mamy (7.12)  n(x, 0  s  A!(x, t),  I =   1, 2, 3. Ponieważ  zgodnie  z  (7.9)  i  (7.10)  tensor  naprę ż eń  czą stkowych  m a postać (7.13)  ,  f  < a> *'(x, t) =  A«fl>'(x,  r ) f  <"> fc!(x, 0 , moż emy  teraz  napisać  zasadę   zachowania  pę du  (5.5): (7.14)  n «ogw   dia ^ W   = - A- ( A( «) !f( ' I > k t "W< a ) k I )  +  n < °) e w b w l t + r fa > l c . Powyż szą   zasadę ,  po  wykorzystaniu  (7.12)  i  pominię ciu  czł onów  oscylacyjnych  W 0 0 *' gdy  są   mał e  wobec  T< o)*',  napiszemy  w  uproszczonej  postaci (7.15)  nWg(fl> d<- a)f)  =   ^ - ( n w f i f l ^ + n W f l W b ^ ' + r W* at  ox N iezależ nie  od podobień stwa  formalnego  równania  róż niczkowego  ruchu  w  teorii  kon - solidacji,  [6], i zasady  (7.15),  róż nica  polega  n a  interpretacji  wystę pują cych  w  (4.15)  pól, jako  pól uś rednionych,  a  nie  jako  postulowanych  a  priori  wielkoś ci  lokalnych. Rozpatrują c  zasadę   zachowania  momentu  pę du  (5.8),  zał oż ymy,  że m oż na  pom in ą ć w niej  czł ony oscylacyjne  U . Zał óż my, że moż na także  pom in ą ć wielkoś ci  (i,  M , H .  Wtedy (7.16)  'fwW y+wHm  - . o. Oznaczają c (7.17)  fwf e I ( x,  0  =  ^ T « " > u ( x , O i 0 = 1 N mamy  wobec  2 ' R ( ' ) [ y 3  =  0. (7.18)  fwW l  «  o, co  oznacza,  że przy  stosowalnoś ci  (7.16)  zał oż eń ,  do zwią zku  ten sor  n aprę ż eń  T ' J jest symetryczny. F unkcje  n < fl)(x,  / ),  A( fl) !(x,  ?)  oraz  e ( a ) ( x .  0  opisują   cechy  topologiczne  ciał a,  podobn ie jak  w  teorii  konsolidacji  [6].  Jednakże  funkcje  te interpretujemy  ja ko  wielkoś ci  ś rednie. Wielkoś ciom  Xwl  odpowiada  w teorii  konsolidacji  jedn a  funkcja  Aw  dla  każ dego  a,  [6]. D odatek Postać  cał kowej  zasady  bilansu  (2.1)  dotyczy  obszaru  P n B , dla którego  czę ść  brzegu P n 3 B r jest powierzchnią   materialną   (zmienną  w czasie), a druga  czę ść  5P n B r jest  powierz- chnią   ustaloną   (niezmienną   w czasie).  Ponieważ  ogólna  postać  zasady  bilansu  dla takich obszarów  nie jest na ogół  spotykana  w literaturze, podan o poniż ej  wyprowadzenie  zwią zku (2.1). 4 8  M ech.  Teoret.  i  Stos. 2/ 80 262  M .  WOŹ N IAK Punktem  wyjś cia  rozważ ań  jest  równanie  bilansu,  por. n p. [8] str. 141, w postaci (1)  fe&v=  j> n- nds+  f   a dv, P^B,  d(PrsBt)  Pr^Bt gdzie Przyjmując  ponadto  oznaczenie  i/ f = # £,  podobne jak  w  punkcie  1,  oraz  korzystając z  lokalnej  zasady  zachowania  masy,  mamy ( 2)  Qk =  e  ̂ ^  ̂ ^ Scalkujmy  .równość  (2) po  obszarze  P n B t .  Stosując  twierdzenie  o  dywergencji,  otrzy- mamy (3)  j  e$do -   f PB  PB j PnBt  ( Zgodnie  z  definicją  pochodnej  po czasie,  moż na  ł atwo  wykazać, że (4)  JL.Jj,dv=   f'• ?£ - *> +  f Pr^B,  Pr\ Bt  .  Po8 Odejmując  stronami  równanie  (4) od (3) otrzymujemy (5)  ot dv  — - =-   ilrdv+ J  ot  J Pr^Bt  Pi~,Bt  8Pr.Bt Wykorzystując  zwią zek  (5), podstawiając  go do równania  (1), otrzymamy  ostatecznie - j-  I  tydv=  I  (n — rjr®v) •  nds+  I  adv+  I  n- nds, to  jest  zasadę  bilansu  (2.1). Literatura  cytowana  w  tekś cie U  C .  TRU ESD ELL;  Sulle Basi  Delia T ermodinamica Delia Miscele, Acc. N az. Lincei, VIII, vol.  XLIV,  1968. 2.  A. E.  G R E E N ,  Quart.  P . M .  N AG H D I ;  On Sasie  Equations  for  Mixtures,  Journ.  Mech,  Appl.  Math. XXH , 1969. 3.  M . A.  B I O T ;  General T heory  of  T hree- Dimensional  Consolidation,  J. Appl.  Phys.  12, 1941. 4.  M . A. B I O T ;  T heory of Propagation  of Elastic  W aves in a Fluid- Saturated Porous Solid,  J. Acoust.  Soc. Am .  28,  1956. 5.  E , H .  D AVI S,  G . P.  RAYM ON D ;  A  N on- L inear  T heory of  Consolidation,  G eotechnique 2, 15,  1965. 6.  G .  SZ EF ER ;  N onlinear Problems of Consolidation  T heory, Problć mes de  Reologie,  M ater. Konf.  Polsko- F ran cuskiej,  Kraków 1977. 7.  W.  N .  N IKOLAEVSKI,  K .  S.  BASN EV,  A. T.  G ORBU N OV,  G .  A.  Z OTOV;  Mechanics  of  saturated porous media,  M oskwa  1970. RÓWNANIA  BILANSU   I  ZASADY  263 8.  C.  TKUESDELL;  A first  course  in rational continuum  mechanics,  Johns  H opkins  U niv.  Baltimore,  M ary- land,  1972. 9.  C z.  WOŹ KIAK,  M.  WOŹ N I AK; Effective Balance Equations for  Multiconstituent; Porous Media  and  Com- posities, Bull.  Acad.  Polon.  Sci.  Techn.  (w  przygotowaniu). P  e 3  IO  M e yP ABH E H U a  BAJIAHCA  H   n P H H U H I I K I  COXP AH EH H H n O P H C T WX  M H O rO K O M I I O H E H T H LI X CPEJi; B  pa6oTe  BbraefleH o  oSm yio  cbopiviy  ypaBHeHHJi  6ajiaH ca  AJI H   pa3po6jieH H bix  H  pa3pbiBH bix  cpefl 3aBH cnmyio  OT H eKOTopbix  r u a sK n x  n ojieii.  Xlojiyqeim bie  ypaBtieH H fi  6ajiaH ca  flnn  MHoroKOMiioHeHTHbix nopH C ibrx  cpefl  npHMeHeHO  flJifi  nojiyqeH H H   npH H U nnoB  c o xp a ir eH M .  flaH O  npH 6jiH 3H TeJiŁH Łie  C B S 3 H MOKfly  BBefleHKblMH   H  pa3pb!BH bIMH   nOUHMH,  KOTOpbK  OHHCLIBaiOT pO3flpo6jleH H ble  CpeflM . HeKOTopŁie  npiiMeHeHHH  K  TeopH H S u m m a r y TH E  BALAN CE  EQU ATION S  AN D   CON SERVATION   LAWS  F O R M U LTICON STITU EN T  P OROU S  M ED IA The aim of the  paper is to express the general form  of  the  balance equation for  media with  disintegrated and  discontinuous  structure  in  terms  of  certain  smooth  fields.  Th e  obtained  form  of  the  balance  equation for  these  fields  was  applied  to  the  function  of  the  conservation  laws  for  multiconstituent  porous  media. The  interrelation  between  the  introduced  smooth  fields  and  th e  discontinuous  fields  describing  th e  dis- integrated  medium  is  given  by  a  form  of  certain  approximation.  Some  applications  to  t h e  foundation of  the  non- linear  consolidation  theory  were  also  mentioned. > SG G W —AK AD E M I A  R O L N I C Z A WARSZAWA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 13  listopada  1979  roku