Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  18 (1980) DYN AMIKA  P RĘ TA  OBCIĄ Ż ON EGO  D WIEM A  SIŁAM I  Ś LED Z Ą C YMI KOSTA  A.  M L A D E N O V  (SOF IA) 1. Wstę p D ynamiczne  zachowanie  się   ukł adu  sprę ż ystego  znajdują cego  się   . p o d  dział aniem sił   ś ledzą cych  lub  obwodowych  posiada  pewne  szczególne  wł asnoś ci  spowodowane  tym , że  sił y  te  nie  są   potencjalne. Równania  róż niczkowe  opisują ce  ruch  tych  ukł adów  w  pobliżu  konfiguracji  równ o- wagi  zwykle  nie  są   samo  sprzę ż one  wzglę dem  warunków  brzegowych.  Odpowiadają ce wartoś ci  wł asne  są   rzeczywiste  i  róż ne  tylko  w  przypadku  wartoś ci  krytycznej  param etru obcią ż enia.  Poza  tym,  wartoś ci  wł asne są   zespolone  i  okreś lają   niestabilność  typu  dywer- gencji  lub  flatteru.  Bardziej  szczegół ową   dyskusję  n a  tem at tych  wł asnoś ci  m oż na  znaleźć w  szeroko  znanej  monografii  BOŁOTIN A  [1], podczas  gdy  praca  przeglą dowa  H ERRM AKN A [2]  daje  zwarty  przeglą d  problemów  dotyczą cych  zagadnień  niezachowawczej  stabilnoś ci, stosunkowo  niedawno  sformuł owanej  statecznoś ci  sprę ż ystej.  N ależy  zauważ yć,  że  ba- dania  dają ce  dokł adne  rozwią zania  ukł adów  niezachowawczych  dotyczą   przeważ nie zwykł ego,  jednorodnego  prę ta  ze  zmiennymi  warunkam i  brzegowymi  znajdują cego,  się pod  niezachowawczym  obcią ż eniem.  D obrze  wiadomo,  że  ukł ad  niezachowawczy  m oże być  typu  flatteru  lub  dywergencji  w  zależ noś ci  od  warunków  brzegowych.  W  poprzedniej pracy  autora  [3]  pokazan o,  że  parametry  okreś lają ce  sztywność  zginania,  masę   oraz dł ugość  wpł ywają   n a  zachowanie  się   ukł adu  niezachowawczego  w  punkcie  krytycznym. W  niniejszej  pracy  skoncentrowano  się   n a  relatywnie  bardziej  skomplikowanym  m o - delu  skł adają cym  się   z  począ tkowo  zwykł ego  prę ta  podpartego  swobodnie  n a  gł adkiej rolce  i  obcią ż onego  dwiema  sił ami  ś ledzą cymi.  P okazano,  że  oba  typy  niestabilnoś ci typu  flatteru  i  dywergencji  mogą   wystą pić  nie  tylko  wtedy  gdy  zmieniają   się   poprzedn io wspomniane  parametry,  ale  również  mię dzy  wartoś ciami  dwóch  sił   obwodowych. 2.  Rozwią zanie  równań podstawowych Rozważ amy  począ tkowo  prosty,  jednorodny  prę t  posiadają cy  stał y  m om en t  bez- wł adnoś ci  I  (rys.  1).  P rę t  ten jest  obcią ż ony  dwiema  sił ami ś ledzą cymi,  o  stał ej  wielkoś ci lecz  przeciwnych  zwrotach. Zaniedbują c  bezwł adność  obrotową ,  równania  róż niczkowe  opisują ce  mał e  drgania prę ta  wyprowadzaliś my  z  zasady  d'Alamberta- Lagrange'a. Ponieważ jest  t o  powszechnie  znany  sposób,  podamy  wię c  jedynie  wyniki O) y 288  K. A.  MLADEN OV T u  ja k i w pozostał ej  czę ś ci  pracy j  —  1, 2,  3. P o n a d t o  celem  sprowadzen ia  równ ań  (1)  do  postaci  bezwymiarowej  wykorzystam y  nastę- pują cy  zapis (2) Rys. 1 T u t aj  w(x, T ) i  T są  odpowiedn io  obcią ż eniem  poprzeczn ym ,  m ierzon ym  wzdł uż  osi  x (0 ^ x sg 1) o raz  czasem . Bezwym iarowe  p aram et ry  t  i  £  są w nastę pują cy  sposób  zwią zane  z  wielkoś ciami fizyczn ym i  x  i  T. (3)  |  -   */ / ;  t2  =   T 2E I / ( w/ 4) , przy  czym  E l  ozn acza  sztywność  zginania,  podczas  gdy m oznacza  m asę  jedn ostki  dł u- goś ci  p rę t a.  P o zo st ał e  ozn aczen ia  wystę pują ce  w  ukł adzie  równ ań  czą stkowych  (1)  są defin iowan e  n astę pują co k 2 n   = P t P  I (e„EI),  M - 1 , 2 , ( 4 )   k\  =  P 2 / 2 / ( f i 3 E I ) 5  vj =   mj/ iejm), przy  czym mj ozn acza  m asę jedn ostki  dł ugoś ci ./ - tej  czę ś ci  prę tu, podczas  gdy  Bj są danymi stał ym i. Z a kł a da  się,  że n ietrywialn e  rozwią zanie  ukł adu  (1)  m a nastę pują cą  postać (5) yj = x ĵ) \̂ gdzie  / =   ( - 1 )1 ' 2 . Bezwym iarowy  param et r  czę stotliwoś ci  m jest  zwią zany  z  wielkoś cią  fizyczną  Q nastę- pują cą  zależ n oś cią (6)  w2  =Q2mt*l(EI). P odstawiając  (5)  do  u kł a du równ ań  (1) i wykorzystując  fakt,  że e t o t  nie  zeruje  się,  otrzy- m a n o  n astę pują cy  u kł ad  ró wn ań  róż n iczkowych  zwyczajnych  n a funkcję  - X}(f/) (7)  •   Xr+kjXp- oj'vjXj  =  0, R ozwią zan iami  jego  są.  funkcje (8) Xj= CuchyjSj+ Cij&hyjCj+ CsjCosÓjij+ Cusmdjij, gdzie (9)  yj =  (zj- kjl2yi2,  ój -   (zj+kjl2y'\   zj =   (nf+kf/ 4), i (10)  «) =  w2vjlej,  0 < fj < ft. DYN AMIKA  PRĘ TA  OBCIĄ Ż ONEGO  289 R ozwią zania  te  muszą   speł niać  nastę pują ce  warun ki  brzegowe *?( 0)  =  *in ( 0) =  ̂ ( c O =  0,  Zlfa)  =   Xl(0), (11)  * 3 ( 0 ) = 0 ,  sLX?(«J  =  eaJrJ"(O),  X\ (^ )  -   Xk(0), m  0. P odstawiają c  (8)  d o  (1 l)\ otrzym uje  się -   0,  C a t yi - C«  ÓJ  -   0, h  1cos< 31a 1 +  C 4 l i si n 5 i a 1  =   0, — C 3 1 ój sin <5Ł « Ł + C 4 1  ^  cos d±  a1  = KJ —C 3 i  óf cos ^ a ^  - C 4 i  djsinóx  «a  = (12)  C 1 2 +  C 3 2  =   0,  C 1 3 +  C 3 3  =   0, =   0, C t2 y 2   shy   2   d 2   + C2 2   y 2   chy  2 a 2   - C   32   d 2  sin  d  2   a 2   + C4. 2  6 2   cos  S  2   a 2   — = Ci 2 yi c h y 2  a 2  +  C 2 2 y\  sh y2  a 2  -   C 3 2 b\  cos 5 2 «2  -   C 4 2 ó 2 sin <52 o!2  = == 0 , = 0 . D la  niezerowego  rozwią zan ia  wyznacznik  u kł ad u  (12)  musi  zn ikać.  Stą d  otrzym uje  się równ an ie  charakterystyczn e z 2 nx (z2  «3  sh y2  a 2 sin d2  ot2 —z3 n\  s302©3)/ st  — (13)  — H ?z 1 0 1 O 3 Z 3»3 !( 2t t 2 c h y2 «2 c o s< 5 2 a 2 - 2H2  + k 2 sh.y 2 u 2 smd 2 a. 2 )6 3 +z 2 x 3 0 2s   =  0, gdzie n t   =  yf+df'+nf(2nfchy t oi i cosd i a t   + k t sh.y i (x t smd i ix i ) >   i=  1 , 3 , (14) 0j  = P rzestę pne  równ an ie  (13)  otrzym an o  dla (15)  e 2  =   l . N iektóre  równ an ia  charakterystyczn e  w  zagadn ien iach  dotyczą cych  wartos'ci  wł asn ych prę ta,  zn an e  z  literatury,  mogą   być  wyprowadzon e  ja ko  szczególny  przypadek  z  ró wn ań (13).  N a  przykł ad,  niech  a 3  jest  bliskie  zeru,  wówczas (16)  0 3   =   0,  x,  =   4zl, oraz  równ an ia  (13)  redukują   się   do  nastę pują cej  post aci (17)  x 1 z 2 shy 2 u 2 sind 2 ct 2 —e t z 1 n 2 6 1 & 2   =   0. D la  Xx  =   0  m oż na  otrzym ać  z  (14) (18)  e t   =   0,  Ht  -   4zf, gdy  równ an ie  (13)  przyjmuje  postać (19)  z 2 «3 sh y 2 a 2 si n ( 3 2 a 2 - Z 3 «t e3 6 > 2 6 > 3  =   0. 290 K. A.  MLAD EN OV Podstawiają c (20)  «i  =  a 3  =  0,  a2  =  1  ' oraz  przekształ cają c  wyraż enia  (16) i  (18), po transformacji  dochodzi  się  do równania (21)  .  shy2sin<52  =  1. D la  P = 1  jego  pierwiastki  odpowiadają   czę stotliwoś ci  drgań  swobodnych  swobodnie podpartego  prę ta,  gdy  n 2   ~  0  prowadzi  do nieskoń czonego  zbioru  pierwiastków  rów- nania  (21), które  odpowiadają   dobrze  znanej  eulerowskiej  sile  krytycznej  dla  takiego samego  prę ta. Równania  charakterystyczne  (17) i  (19) dają   wartoś ci  wł asne  krzywych  dla dwóch niezachowawczych  zagadnień  zbadanych  przez  autora [3]. 3.  Wyniki  numeryczne.  Wnioski  koń cowe i Pierwiastki  równania  charakterystycznego  (13)  otrzymane został y  przy  pomocy kom- putera.  Przedstawiają   one zależ ność  pomię dzy  czę stotliwoś cią   a parametrami  obcią ż enia. Wszystkie  wyniki  otrzymano  przy  zał oż eniu (22) =   s 2   =  e 3 , «2  =  1. D la  wygody  obliczeń (23) wprowadzono 0  = V 10 8 b f6 e •   i 2 i T -  w wielkoś ci - P2IP1,  .  1?. -   *». \ \ • - (latter  ^ — divergencja  - >H  flatter I I  i 0 2  3  4  5  6 e Rys.  2 Wyniki  rozwią zań  numerycznych  dane są   na rys. 2, 3, 4, 5. Pokazują   one że  jeden z  parametrów  krytycznych  rj zawsze  zbiega  do Tca tzn., że odpowiada  on najmniejszemu eulerowskiemu  obcią ż eniu  krytycznemu  swobodnie  podpartego  prę ta  okreś lają cemu niestabilność  typu  dywergencji.  Jest  to albo  najmniejsza  wartość  krytyczna,  albo  wartość o  wyż szym  stopniu  w  zależ noś ci  od parametrów  rozważ anego  ukł adu. P on adto  n a rys, 2  pokazaliś my  zależ ność  pomię dzy  najmniejszą   krytyczną   wartoś cią parametru  obcią ż enia  57 oraz  stosunkiem  0  dla a x  =  «3  =  1. D YN AMIKA  PRĘ TA  OBCIĄ Ż ONEGO 291 Z auważ m y,  że  ??cr.w  duż ym  stopn iu  zależy  od  0.  D la  9  <  0.5  i  9  >  1.0  najm niejsza t\ „  odpowiada  niestabilnoś ci  typu  flatteru,  podczas  gdy  dla  0.5  <  6  ^  1.0  jest  n iezależ ne od  0  i  odpowiada  niestabilnoś ci  typu  dywergencji. N a  rys.  3  pokazaliś my  jakie  otrzymuje  się   krzywe  wartoś ci  wł asnych  gdy  H3MaTrHr3  M o c r a a 19 6 1. 2.  G .  H E R R M AN N ;  Stability  of  equilibrium  of  elastic systems  subjected to  nonconservative  forces,  AMR 20  (1967),  103- 108. 3.  K . A.  M LAD EN OV;  Uber das  dynamische Verhalten eines Druckstabes  mit  tangententreuer  Endbelastung, to  appear  in  Z AM M . P  e 3  K>  M  e J I H H AM H ^ E C K O E  n O BE flE H H E  CTEPJKH JI  T IOJX CH J1 flH H aM iraecKoe  noBefleH ne flByxKOH COJiBH oro oflH orrpojieTH oro  C TepH aia,  H arpyjKen- H o r o  B  KOHî ax  flByM H   cneflamH M H   curtaM n.  XapaKTepH CTiwecKoe  ypaBH eH ne  3aaa- nn  peraeH o  n p n  n o - M o m a  3 B M .  Pe3yji6TaTi>i  noKa3H BaM T  "rro  ciep>KeHB  TepneT  ycToirroBocTB  JI H SO  B B J I H 6O  B BHfle  flH sepreH qaa  B 3aBHCHM0cin  OT rtapaM eipoB  CHCTeMbi H  cooTH om em ia  MOKfly C«JI. S u m m a r y D YN AM ICS  OF   A  BAR  U N D ER  TWO  F OLLOWER F ORCES The  purpose  of  the paper is  to investigate  the dynamical behaviour  of  a bar  subjected  to two  follower forces.  N umerical solutions  of  the characteristic equation show  that both flutter  and  divergence  instability may  occur  depending  on  the parameters  of  th e  system  and  the ratio  between  the  magnitudes  of  the two forces. WYŻ SZA  SZKOŁA  BUDOWNICTWA  I ARCHITEKTURY SOF IA ,  Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  11  kwietnia  1979  r.