Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  18  (1980) OP TYM ALN E  KSZ TAŁTOWAN IE P R Ę T ÓW  Ś C ISKAN YCH  SIŁ Ą   SKIEROWAN Ą D O  BIEG U N A,  P R Z Y  P OTĘ G OWYM   P RAWIE  F I Z YC Z N YM 1 1, AN TON I  G A J E W S K I  (KRAKÓW) 1.  Uwagi  wstę pne N iniejsza  praca  poś wię cona  jest  problem owi  optym aln ego  kształ towan ia  osiowo- ś ciskanych  prę tów  wsporn ikowych,  wykon an ych  z  m ateriał u  n ielin iowo- sprę ż ystego  lub sprę ż ysto- plastycznego  z  n ieogran iczon ą   granicą   plastycznoś ci,  który  m oże  być  opisan y potę gowym  prawem  fizycznym.  P rę t  wsporn ikowy  jest  ś ciskany  sił ą   skupion ą   dział ają cą n a  jego  swobodn ym  koń cu,  skierowaną   podczas  wyboczenia  d o  ustalon ego  p u n kt u . P odobn y  problem ,  w  przypadku  m ateriał u  liniowo- sprę ż ystego,  zost ał   rozwią zany w  pracy  A.  G AJEWSKIEG O  i  M .  Ż YCZ KOWSKIEGO  [1],  gdzie p o d an o również  szerszy  przeglą d literatury  dotyczą cej  tego  t em at u . N iefiniowo- sprę ż yste  lub  sprę ż ysto- plastyczne  wł asnoś ci  m at eriał u mają   je d n a k  istotn y wpł yw  n a  optym aln y  kształ t  p rę t a;  szereg  szczególnych  rozwią zań  otrzym an o  w  pracach W.  KR Z YSI A  [2],  [3],  A.  G AJEWSKI EG O  [4],  A.  G AJE WSKI EG O  i  M .  Ż YC Z K O WSK I E GO  [5], przy  zał oż eniu, że sprę ż ysto- plastyczne  wł asnoś ci m ateriał u są   opisan e za po m o cą   specjalnie dobran ych  praw  fizycznych,  .zapropon owan ych  w  pracy  [3]. W  wym ienionych  pracach  zwrócon o  równ ież  uwagę   n a  wpł yw'  zach o wan ia  się   sił y po  utracie statecznoś ci  n a jej  wartość  krytyczną   i  n a  odpowiadają cy  jej  kszt ał t  optym aln y prę ta. Wpł yw  ten m oże  być  bardzo  istotny,  szczególnie  w  przypadkach ,  w  kt ó rych  zach o- wanie  się   sił y jest  n iekon serwatywn e.  Jak  wykazan o  w  pracy  A.  G AJE WSKI E G O  i  M .  Ż YC Z- KOWSKIEG O  [6], oraz  M .  F AR SH AD A  i  I .  TAD JBAKH SH A  [7], kon serwatywn ość  u kł ad u  m a  tu podstawowe  znaczenie,  bowiem  pozwala  n a  stosowan ie  statyczn ego  kryt eriu m  statecz- noś ci  oraz  powoduje  wzglę dne  uproszczenie  odpowiedn ich  warun ków  optym aln oś ci. W  dalszym  cią gu  ograniczym y  się   do  przypadku  dział an ia  sił y  skierowan ej  d o  biegun a, tzn .  do  zagadn ien ia  kon serwatywn ego. Optym aln e  kształ ty  ś ciskanych  prę tów  liniowo- sprę ż ystych  oraz  p rę t ów  sprę ż ysto- plastycznych  z  n ieogran iczon ą   granicą   plastycznoś ci  charakteryzują   się   wystę powan iem zerowych  przekrojów.  P rowadzi  t o  do  nieskoń czonego  wzrostu  n aprę ż eń  i  wym aga  przy- ję cia  dodatkowego  waru n ku  wytrzymał oś ciowego,  ograniczają cego  n aprę ż en ia.  Waru n ek ten  uwzglę dniono  w  pracy  S. H .  RASMU SSEN A  [8], w  przypadku  optym aln ego kszt ał t o wan ia prę ta przegubowo  zam ocowan ego, ś ciskanego  sił ą  eulerowską   (o stał ym kieru n ku  i p u n kcie przył oż enia),  wykon an ego  z  m ateriał u  sprę ż ysto- plastycznego,  opisan ego  n ielin iowym 1 }  Praca wykonana  został a w ramach  problemu  wę zł owego  05.12 pt. „ Wytrzymał ość  i  optymalizacja konstrukcji  maszynowych  i  budowlanych" — koordynowanego  przez  I P P T  P AN . 306 A.  G AJEWSKI prawem  Ramberga- Osgooda.  Odpowiedni  warunek  optymalnoś ci  otrzymano  w  oparciu o  klasyczny  rachunek  wariacyjny,  a  zagadnienie  rozwią zano  na  drodze  numerycznej metodą  kolejnych  przybliż eń. Okazuje  się  jednak,  że  istnieje  również  moż liwość  otrzymania  rozwią zań  ś cisł ych w  przypadku  optymalnego  kształ towania  prę tów  wspornikowych,  ś ciskanych  sił ą  skiero- waną  do  bieguna, jeż eli  ograniczymy  się  do potę gowego  prawa  fizycznego.  Przedstawione niż ej  rozwią zania  ś cisł e,  z  uwzglę dnieniem  warunków  ograniczają cych  pole  powierzchni przekroju  poprzecznego,  mogą  stanowić  bardzo  dobre  kryterium  oceny  zbież noś ci  róż- nych  metod  przybliż onych,  które,  z  koniecznoś ci,  muszą  być  stosowane  w  podobnych zagadnieniach  przy  innych  prawach  fizycznych. 2.  Sformuł owanie  zagadnienia ,   r Przedmiotem  rozważ ań  jest  jednostronnie,  sprę ż yś cie  utwierdzony  prę t,  o  dł ugoś ci /, ś ciskany  stał ą  sił ą P, dział ają cą  na jego  swobodnym  koń cu  (rys.  1). Sił a  ta jest  stale  skie- rowana  do  bieguna  poł oż onego  w  odległ oś ci  „a"  od  utwierdzenia  (a  =   a/ l).  Kształ t przekroju  poprzecznego  prę ta  i  jego  zwią zek  z  momentem bezwł adnoś ci  przekroju  jest scharakteryzowany  zależ noś cią: (2. 1 ) J o   =   Ą Rys.  1 w  której:  g(£)  oznacza  bezwymiarowy  moment  bezwł adnoś ci,  &(£)—pole  powierzchni przekroju,  F o   i  J o   oznaczają  odpowiednio  pole  powierzchni  i  moment  bezwł adnoś ci w  pewnym,  n a  ogół   dowolnie  wybranym  punkcie  f  =   £ 0  a  wykł adnik  «  okreś la  sposób wyboczenia  prę ta  («  =   1 —  pręt  pł askozbież ny,  podlegają cy  wyboczeniu  z  pł aszczyzny OPTYMALNE  KSZTAŁ TOWANIE  PRĘ TÓW  307 zbież noś ci, K =   1/2 —  pręt wszechstronnie równomiernie zbież ny,  «  =   1/3 —  pręt pł asko- zbież ny,  podlegają cy  wyboczeniu  w  pł aszczyź nie  zbież noś ci).  Bę dziemy  w  dalszym  cią gu stosowali  teorię  moduł u  stycznego  wg.  koncepcji  F . R.  SHAN LEYA  [9],  która  sprowadza się  w  praktyce  do  zastą pienia  moduł u  Younga  E  w  równaniu  linii  ugię cia  dla  zakresu sprę ż ystego,  przez  moduł   styczny  E  =   da/ de  wykresu  ś ciskania  a  — a(e).  W  dalszym cią gu  ograniczymy  się  do  potę gowego  prawa  fizycznego,  które  zapiszemy  w  post aci: (2.2)  e  =   \ al v \ n sgna, gdzie  7}  i  n  oznaczają  pewne  znane  stał e materiał owe. W  niniejszej  pracy  uwzglę dnimy  również  warunek  wytrzymał oś ciowy: (2.3)  P / F <  a*, w  którym  a*  oznacza  maksymalne  naprę ż enie  dopuszczalne.  Warunek  (2.3)  zapiszemy dalej  w  postaci: (2.4)  F  >  F*  lub  0  ź  *. G dy  parametr  a  =   a/ l, okreś lają cy  poł oż enie centrum  sił y jest  zawarty  w  gran icach : 0  ^  a  <  oo  i  — oo  <  a  <  —1 , wówczas  wyboczenie  prę ta  nastę puje  w  postaci  jednej pół fali,  co  ogranicza  wystę powanie  minimalnych przekrojów  0*  do  przedział ów  leż ą cych w  pobliżu  obu  koń ców  prę ta.  Ograniczymy  się  do  powyż szych  wartoś ci  param etru  a 1  przyjmiemy,  że  czę ść  prę ta  od  utwierdzenia  do,  chwilowo  nieokreś lonego,  pun ktu  £ ly oraz od nieokreś lonego jeszcze  pun ktu £ 2  do swobodnego  koń ca £  =   /  mają  stał y  przekrój 0*.  Zarówno  czę ść  ś rodkowa  (zawarta  mię dzy  | t  i  £ 2)-  o  poszukiwanym  kształ cie opty- malnym,  jak  i  czę ś ci  o  stał ym  przekroju  znajdują  się  w  stanie  nieliniowo- sprę ż ystym, opisanym  zależ noś cią  (2.2). Równanie  linii  ugię cia  prę ta  obcią ż onego  w  sposób  przedstawiony  n a  rys.  1 są  nastę- pują ce: (E/ *M >i')"+ PH 'l'  =   0  d la:  0  <  f  ^  fx (2.5)  (BJw")"+ Pw"  =  0  dla:  &< . £ < & gdzie:  w t   i  w 2   oznaczają  ugię cie  w  punkcie  £  dla  czę ś ci  o  stał ym przekroju,  w —  ugię cie dla  czę ś ci  o  przekroju  zmiennym,  w'  — dw/ di,  E  =   m oduł   styczny,  / * —  m om en t  bez- wł adnoś ci  przekrojów  stał ych. Jeś li  w  dalszym  cią gu  wprowadzimy  bezwymiarowe  oznaczenia: y*. -   »i/ / ,  y*  =   w2/ / ,_  y  -   W' ,  *  =   ii},  # * (2 6)   / ( x )  =   E ( * ) / E '  / *  =   E / E  =   c o n s t - Pp H  E/o  ' to  równania  (2.5)  moż emy  zapisać  w  postaci: ( / W i ' ) " + M '  =   0  dla:  0  <  X  < x t (2.7)  [/ (*)£ C !< :)y]"+ # J;"  =  O  dla:  Xx <  x  <  x- 2 ( / V J 2 ' ) " + M   =   0  dla:  x2  <  x  <  1. 308  A.  G AJEWSKI D o równań tych należy doł ą czyć warunki brzegowe, które zgodnie z przyję tym  charakterem sił y  ś ciskają cej,  mają   nastę pują cą   postać: *y'i)^ o  -   0 (2.8)  (f*g*y'l)x- i  -   0 w  której  y  charakteryzuje  sprę ż ystość  utwierdzenia  (gdy  %p  =  0 — prę t  jest  sztywnie utwierdzony,  a  gdy  y>  - > oo — prę t  jest  zamocowany  przegubowo).  W  dalszym  cią gu bę dziemy  rozważ ali  tylko  prę ty  sztywnie  zamocowane. Cał kują c  dwukrotnie  równania  (2.7) i  wprowadzają c  nowe  zmienne  zależ ne: (2.9)  .  «,(*) =   ; , ( • * ) —j -y B  C  — — w  - K~X  (Bj, C; — stale  cał kowania) otrzymujemy: (2.10)  G ( ^ ) + ^ 7  =  0,  x t   Ś X %  =   0, gdzie:  G * i  G  są   zdefiniowane  nastę pują co: G(0)  =  ± - (2.11) G*  =   - L F unkcja  G(&) jest zależ na od zmiennej x za poś rednictwem funkcji  0(x),  natomiast wartość G* jest  stał a;  w przypadku  potę gowego  prawa  fizycznego  (2.2)  ze wzorów  (2.11)  otrzy- mujemy: G(0) = (2.12)  G *  " G Korzystają c  z  warunków  cią gł oś ci  momentu zginają cego,  sił y poprzecznej,  funkcji_ugię cia i  jej  pierwszej  pochodnej  w  punktach  x t   i  x 2   otrzymujemy  równoś ci:  B t   = B 2   =   B, OPTYMALN E  KSZTAŁ TOWANIE  PRĘ TÓW  309 =   C 2  =   C  oraz,  z  równań  (2.8),  warunki  brzegowe  (przy  y>  =   0): t> Ł (0)- (wI(0)  •   0, 2 1 3 > 3.  Optymalizacja  kształ tu  prę ta.  Rozwią zanie  ogólne Zasadniczy  problem  pracy  polega  na  znalezieniu  takiego  kształ tu . Problem  polega  na  minimalizacji  funkcjonał u  (3.1), przy  czym  nie wszystkie  wartoś ci brzegowe  są  niezależ ne  i  ustalone;  nie  są  również  okreś lone  wartoś ci  współ rzę dnych x t   i  x 2 .  Jest  to  więc  problem  z  koń cami  ruchomymi;  obok  równań  Eulera- Lagrange'a należy  wykorzystać  podstawowy  warunek  konieczny  istnienia  ekstremum  funkcjonał u dV=0. Warunek  transwersalnoś ci  (podany  w  pracy  [6]) prowadzi  do  dwóch  równań  okreś la- ją cych  skoki  w  wartoś ciach  drugich  pochodnych  przy  z  góry  zał oż onych  skokach  pola powierzchni  przekrojów  w  punktach  x ±   i  x 2 . W  dalszym  cią gu  zał oż ymy  cią gł ość  naprę ż eń  w  punktach  x t   i  x 2 ,  a  więc  również pola  powierzchni  przekrojów;  z  warunku  transwersalnoś ci  wynika  wówczas  cią gł ość drugich  pochodnych  ugię cia  w  tych  punktach: v"( Xl )  =   < ( * , ) , V"(X 2 )  = W pracy  [6] wykazano  również, że przy  obcią ż eniu konserwatywnym,  równanie Eulera- Lagrange'a  dla  funkcjonał u  (3.1)  przybiera  prostą  postać: (3.3)  B » » - CA  gdzie:  ?  dF W  przypadku  prawa  potę gowego  (2.2): ( 3 . 4 )  ^ = ^ ^ i  równanie  (3.3)  moż na  sprowadzić  do  prostej  postaci  nieliniowego  równania  róż niczko- wego  trzeciego  rzę du: (3.5)   v " v ii- "(2- ^ - int+xn- )  _.  Q  Q  _  C o n s t . Równanie  to  może  być  scał kowane  na  drodze  analitycznej;  podstawiając  bowiem: ci  A\   t  \   u  \   ut  \   dp (.J.OJ  P\ V)  ==  ^  \ X),  V  (X)  SBB  p~  , d.V U   Mech.  Teoret.  i  Stos.  2/80 310  A.  G AJEWSKI po  prostych  przekształ ceniach  otrzymujemy: (3.7)  vp{v)  =   ± ( A ^ 2 ^ 1 + K " ) + A 0 1 / 2 ,  A; , A2  —  stał e  cał kowania a  stą d: (3.8)  ,  x  =   ± D okonują c  podstawienia: (3.9)  -   ^i- u2«/ <1+ "») =   sin 2,  B x ,  B 2 ,  Q ,  C 2  oraz  punkty  zszycia xi  i  x2  należy  wyznaczyć  na pod- stawie  warunków  brzegowych  (2.13)  i  warunków  zszycia: wi.(*i.)  =  v(xt),  v{x 2 )  =   v 2 (x 2 ), (3.15)  vi(x t )  =   c ' ^ J , P onadto  musimy  wyznaczyć  sił ę   krytyczną   P ;  obliczymy  ją   podają c  pole  powierzchni przekroju  w  pewnym,  na  ogół   dowolnie  wybranym  punkcie  x 0 : (3.16)  .  0( xo )  =  o. Przyjmiemy  w  dalszym  cią gu,  że  współ rzę dnej  xt  odpowiada  wartość  parametru 2,  a  współ rzę dnej  x0  —  wartość  cp0. Ponieważ  linia  ugię cia  prę ta  po  wyboczeniu  jest  okreś lona  z  dokł adnoś cią   do stał ego mnoż nika,  wię c  jedna  ze  stał ych jest  dowolna;  dla  uproszczenia  obliczeń  przyjmiemy: (3.17)  Ax  =   1. OPTYMALN E  KSZTAŁTOWANIE  PRĘ TÓW  311 Wprowadzim y  p o n a d t o p a r a m et r : (3.18)  0  =   0*106,  0 < < 9 <  1, okreś lają cy  stosunek  powierzchni  przekroju  w  pun kcie  x t  (lub x2)  d o  powierzch n i  prze- kroju  w  pun kcie  x Q ,  oraz  wyrazimy  stał ą   G  za  pom ocą   p aram et ru  co ze  wzo ru  (3.13). P rzy  powyż szych  oznaczeniach  otrzymujemy  ostatecznie  12  ró wn ań  algebraiczn ych , pozwalają cych  n a  obliczenie  poszukiwan ych  stał ych : Bz- a c o Bj  =   0  .  (1) =   0  (2) - ,. =   (sin co 1) 1/ K + n  (3) a> A2(BŁcoscox1 —B2sin cox1)  =   (ll%+ń )cos(pi  (4) ai 2 Al(sm

x  2   — C 2sin co x2)  =   ( 1/ JC + 7I ) C O S9) 2  0) 1 l 2  (8) Xl   .  Aa  /   I si n y] 1 ^ *"- 1 ^  (10) V x 2   =  A2  /   jsm yl 1'*"1- "-1^  (11) Po x0  =  A2  /   IsiiKpI 1/ *- 1- "-1^  (12) Znajomość  parametru  co pozwala  wyznaczyć  również  sił ę   krytyczną ,  którą   obliczamy z  równania  (2.12): l̂ '  /   2( 2 gdzie: (3.21)  c  =   i y/ S - Wzór  (3.20) sł uży praktycznie  do  okreś lenia  przekroju podstawowego  F,> dla  danej  sił y  P o - Po  prostych  przekształ ceniach z  ukł adu  równań  (3.19)  obliczamy  stał e;* IC -̂ F  OtCO COS COXx Ci  =   - ^ 7 sin[ (3.22) cosco(sin 9?2)/ 1  sin[co(l - x2 ) ]  '   2 71 U* 312  A. G AJEWSKI P ozostał e  p a r a m e t r y: co, x t , x 2t   cp 0 , p m usim y  wyznaczyć  z ukł adu  równ ań przestę pn ych: (3.23)  -   cos^Csin^+ ^cos^)  = c o s 

x 1   — otco s m c o x ) (3.24)  tg

 < 0,  a lbo : o  o  • " (3.35)  /   ( s i n y ) 1 ^ - 1 ^  =  °̂ - ,  gd y:  ^ ̂  0. v P o  obliczen iu  st ał ych :   znajdujemy  funkcje  okreś lają ce  linie ugię cia  p r ę ta  o p t ym aln ego : (3.36)  v l (x)  = ̂ ±^ - s in[d- a>(x 1 - x)]  dla: OPTYMALNE  KSZTAŁTOWANIE PRĘ TÓW 313 (3.37) (3.38) v(2 f  Isin^ dla: o =   w/ 2. 3.1.  Ogólne  równ an ia  (3.25) -  (3.38)  ulegają   zmianie,  gdy  rozważ amy  przypad ek takiego  obcią ż enia  prę ta, który  wym aga  ograniczenia powierzchn i przekroju  tylko  w  górn ej czę ś ci  prę ta  (rys.  2).  Wykorzystują c  rozwią zania  (3.10)  i  (3.14),  warun ki  brzegowe  (2.13) w oraz  warun ki  zszycia  w  pun kcie  x 2   otrzym ujem y: AJL  =   1 , A . -

=  - a,   = 314 A.  G AJEWSKI Stał e  C x   i  C 2   okreś lone  są   wzorami  (3.22),  linię   ugię cia  prę ta  opisują   wyraż enia: (3.41) Xlt =   0.785398,  cp 2   =  2.356194,  H  =  8.944272,    ±  oo).  Z  równ ań  (3.40) -  (3.43)  dostajem y  t u  proste ro zwią zan ie: 2  =   Tr^ +  a r c c o s O ^ 2 ) , (4.5) (4.5) [cd.] O P T YM ALN E  KSZ TAŁ TOWAN I E  P R Ę T ÓW 11/ 2 317 x 2   = 2(1 - < - .1/2  | +  arct g{ 1/ 2 0 1.  G dy  0  -> 0  rozwią zanie jest  waż ne  dla  kształ tu  optymalnego  bez  ograniczeń  na  prze- krój: E/ n co ( 2 / 0 ) 1 / 2 ,  a  - > oo, =   1,  P  =   2- 7 2 — • 2.  G dy  0 = 1  otrzymujemy  sił ę  krytyczną   dla  liniowo- sprę ż ystego  prę ta  p ryzm at yczn ego : 5co  = o o ,   x 2 =   O, W  innych  przypadkach  poł oż en ia  bieguna,  oraz  dla  dowoln ych  wartoś ci  p a r a m et r ó w n,  x  i  0,  m oż na  wykon ać  tablice  przedstawiają ce  zależ noś ci  param et ró w  ,  a,  x2 od  stał ej  q>. N a  rys.  5  przedstawion o  optym aln y  kształ t  prę ta  d la  nastę pują cych  d a n yc h : » - I ,  » - l,  0  =   1/ 2,  a  =   0.4236,  ^ = 1 ,  ^ 2  =   2.5043, w  =  3.6767,  x 2   =   0.8688, =   6.7591 -   x2=O,8688 0,5 1  2  3 R ys.  5 R ówn an ia  linii  ugię cia  oraz  kształ t  optymalny  są   tu  n astę pują ce: x(), v(iKeT 6B I T B  onpeflejieH H faiii  CTeneH H tiM   (pH3irKeH H a  H U H   Ha n jiom aflb  n o n e p e ^ m o r o S u m m a r y OP TIM AL  D E SI G N  OF   T H E  BARS^  COMPRESSED  BY  A  POLAR  F ORCE, SU BJECT  TO  T H E  POWER  PH YSICAL  LAW I n  this paper, the exact  analytical  solution  to the problem of  optimal  design  of a cantilever  compressed by  a  polar  force  is  presented. I t  is assumed  that the material of  the bar is  nonlinearly elastic or elasto- plastic  and it may be  described by  the  power  physical  law. The  inequality  constraints  on  the  critical  stress  or  cross- sectional  area  have  been  taken  into account. POLITECHN IKA  KRAKOWSKA  ' IN STYTUT  FIZYKI Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 22  grudnia 1978 roku