Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  18 (1980) WG ŁĘ BIAN IE  N ARZĘ D ZIA Z  P ERIOD YCZ N YM  ZARYSEM   KLIN OWYM W  OŚ ROD EK PLASTYCZN Y STANISŁAW  O  K O Ń S KI  (KRAKÓW) 1. Wprowadzenie Potrzeba  rozwią zania  zagadnienia  wgł ę biania  narzę dzia  z  periodycznym  zarysem klinowym w oś rodek plastyczny wynikł a z braku modelu teoretycznego, mogą cego posł uż yć do  analizy  plastycznego  kształ towania  gwintów  wewnę trznych,  wygniatania  trójką tnych rowków  poł oż onych blisko  siebie  i  tym  podobnych  przypadków. W  dotychczasowych  pracach  [1]  stosowano  model  wgł ę biania  pojedynczego  klina, dla  którego  rozwią zanie  został o opracowane przez  R.  H ILLA, E. H .  LEE i  S. J.  TU PPERA [2,  3,  4].  W  przypadku  periodycznego  zarysu  klinowego  rozwią zanie  to  traci  waż ność z  chwilą   poł ą czenia  się   stref  plastycznych  wokół   są siednich  wierzchoł ków,  dla  pewnej wielkoś ci  zagł ę bienia  h 0 .  Siatkę   linii  poś lizgu  dla  tego  przypadku  podano  n a  rys.  lb. —  '—'  p  "-< Rys.  1.  Siatki  linii  poś lizgu:  a —  dla  począ tkowego  stadium wgł ę biania, b —  dla  granicznego  przypadku S  waż noś ci  rozwią zania  R.  H I I L A 320  S.  OKOŃ SKI Obowią zują   nastę pują ce  zależ noś ci: (1.1)  d =  '&- y, (1.2)  c o s( # - y)  =   tg(yr/ 4- y/ 2). Korzystają c  z rys. l b  oraz  zależ noś ci  (1.1) i  (1.2) moż na dla dowolnego  ką ta  wierzchoł ka klina  obliczyć  graniczną   wartość  zagł ę bienia  h 0 .  Wynosi  o n a: c o s$ - sin ( # —y )  P (   >  °  ~   sm # + c o s( # - - y)  " 2  ' Analiza  zagadnienia  dla  zagł ę bienia  wię kszego  niż  h 0   wymaga  nowego  opracowania 2.  Rozwią zanie  metodą   charakterystyk Z agadnienie  rozwią zano  przyjmują c  warunki  pł askiego  stanu  odkształ cenia,  przy pominię ciu  tarcia  i  wzmocnienia  materiał u.  Przyję to  warunek  plastycznoś ci  HUBERA- M ISESA.  D odatkowo  zał oż ono,  że  krawę dź  powierzchni  swobodnej  materiał u  pomię dzy są siednimi  wierzchoł kami  klinów  skł ada  się   z  dwóch  prostoliniowych  odcinków,  które w  trakcie  wgł ę biania  przemieszczają   się   równolegle  do  swego  począ tkowego  poł oż enia pokazan ego  n a rys.  1. Analizowany  proces jest  niestacjonarny  i jego  rozwią zanie  wymaga rozważ enia  pewnej  liczby  kolejno  po sobie  nastę pują cych  etapów.  Ponieważ  zarys  wciska- nego  narzę dzia  jest  periodyczny,  wystarczy  rozważ yć  obszar  pomię dzy  są siednimi  wierz- choł kam i  klinów,  a  wł aś ciwie — ze  wzglę du  na  symetrię  — tylko  jedną   jego  poł owę . Analiza  konkretnych  zagadnień  w  pł askim  stanie  odkształ cenia  polega  [5] na roz- wią zywaniu  zagadnień  brzegowych  do  równań  charakterystyk: dy  (  n\   ., ~y—  =   t g  09 +  —r- l,  X +   9>   =   c o n st ,  d la  lin ii  a, ax  \   4  / ( 2- 1), dy  I  n\   ..  ' - j-   =   tglę j  — —  j ,  X~?  — const,  dla  hnn p, gdzie  , gdzie  k jest  granicą   plastycznoś ci  przy  czystym  ś cinaniu, a  =  0,  wzdł uż  linii  a , dvp—v a d(p  =  0,  wzdł uż  linii  ft. Rozwią zanie  rozpoczn iem y  od  okreś lenia  poł oż en ia i  wym iarów  krawę dzi  powierzch n i swobodnej  dla dowolnej  wielkoś ci  zagł ę bienia.  Jeż eli  wierzchoł ek  klin a  zagł ę bi  się  w m a- (2.6) Rys.  2. Poł oż enie  krawę dzi  powierzchni  swobodnej  A\  Ci  dla  wielkoś ci  zagł ę bienia  wię kszej  od  h a teriale na gł ę bokość h o +Ay  (rys. 2), to  poł oż enie krawę dzi  AiC x  powierzchni  swobodnej moż na  okreś lić  podają c  odległ ość pionową   pomię dzy  punktami  O!  i  C , : Ah (2.7)  H  =   i* cos o Z  warunku  nieś ciś liwoś ci  wynika  równość  pól  czworoką tów  OOŁBA  i daje  zwią zek: P (2.8)  . sin$+ cos<5 .  .  sin # 2zl v  - ł- cosy - ł- cosy  sin# + cos<5 *   - f- s<5 co =  0. 322 D ł ugość  odcinka  A 1   Ci  wynosi : (2.9)  A X C X   =  a = S.  OKOŃ SKI —zl/ 2(sin d + sin y)  — Ay 2(sin # + cos< 5)  -   co sy K orzyst ają c  z  zależ n oś ci  (2.8)  należy  w  zwią zkach  (2.7) i  (2.9) wyrugować  Ah  i  w  ten sp o só b  okreś lić  poł oż en ie  i  wymiary  powierzchn i  swobodn ej  w  funkcji  wielkoś ci  zagł ę - bien ia  k 0   + Ay.  Obliczenia  najł atwiej  jest  przeprowadzić  dla kon kretn ej  wartoś ci  ką ta # , p o  u p r zed n im  wyzn aczen iu  ką tów  d i  y  z  równ ań  (1.1) i  (1.2). Sch em at  siatki  lin ii  poś lizgu  dla zaawan sowan ego  etapu  procesu  przedstawia  rys. 3. O bszar  AB C E K  o d p o wiad a  rozwią zan iu  R.  H I L L A.  Współ rzę dne  pu n kt ów  wę zł owych Rys.  3. Schemat  siatki  linii  poś lizgu  dla zaawansowanego  stadium  wgł ę biania Tablica  1. Wartoś ci  funkcji  B D G D ' L M J F P Q N R SR 'H WTU X VZ Y 9 n\ 2~S nj2~& B/ 2 ń j2~y nl2—d- Jt/ 2 nj2~d njl—fr X - 0,5 - 0, 5 ŷ - 0,5- 6 - 0,5- y- d - 0, 5- y- 2ó - O,5- 2y- <5 - Q,$~2y- 25 - 0, 5- 3y- 25 +) Wartoś ci  znane z rozwią zania  R.  HILLA WG Ł Ę BI AN IE  N AR Z Ę D Z IA 323 siatki linii poś lizgu  oraz  wartoś ci  funkcji  %  i    dla  tych  obsza- rów  podan o  w  tabl.  1.  P o  okreś leniu  % i  q>  n aprę ż en ia  wyznacza  się   z  zależ n oś ci  (2.3) bą dź  też  (2.2)  i  (2.5). Rys.  4.  Schemat  postę powania  przy  konstruowaniu  siatki  linii  poś lizgu Omówimy  teraz  bardziej  szczegół owo  kon strukcję   siatek  linii  poś lizgu  d la  poszcze- gólnych  etapów  procesu.  W  ukł adzie  współ rzę dnych  Oxy  (rys.  4)  przyjmujemy  prostą o  równ an iu : 71 obrazują cą   boczną   powierzchn ię  klin a.  N a tej  prostej  obieram y  dowoln ie  p u n kt  A(x A ,  y A ), z  którego  prowadzim y  odcinek  AB  o  dowolnie  przyję tej  dł ugoś ci, n ach ylon y  d o  poziom u pod  ką tem  <5. P rzez jego  kon iec  B  prowadzimy  prostą   pion ową   o  ró wn an iu  x  =   x B ,  kt ó rą przyjmujemy  za  oś  symetrii  obszaru  uplastyczn ion ego.  Z n am y  wię c  współ rzę dne  x A ,  y A , *B,  yB oraz  dł ugość  odcin ka  AB  =   a.  W  dalszym  cią gu  przystę pujemy  d o  wyzn aczan ia współ rzę dnych pu n kt ów wę zł owych  siatki  linii  poś lizgu  oraz  okreś lan ia  n aprę ż eń w  sposób podan y  uprzedn io, przy  czym  poł oż enie wierzchoł ka klin a  a  tym  sam ym  wart o ść  skoku  P (odległ ość pom ię dzy  są siednimi  wierzchoł kami) jest  n a  razie  n iezn an a. D o wo ln a c h arakt e- rystyka  rodziny  /? przecinają ca  ko n t u r  n arzę dzia  m oże  być  doln ą   granicą   obszaru  uplas- tycznionego.  Przyjmijmy  dla  przykł adu,  że  wyznaczyliś my  przebieg  ch arakt eryst yki 1- 2  (rys.  4).  Stanowi  o n a  dolną   granicę   obszaru  uplastyczn ion ego,  jeż eli  wierzch oł ek klin a  znajduje  się   w  pun kcie  1.  Wartość  skoku  wynosi  wię c  P  =  x B —x t .  Wa r t o ść  xt jest  zn an a  z  przebiegu  charakterystyki  1 -  2,  a  wartość  x B   wyznaczyliś my  uprzedn io^ 324 S.  OKOŃ SKI przyjmują c  dł ugość odcinka  AB  i  poł oż enie punktu A.  Teraz na  podstawie  równań  (1.3), (2.8) i  (2.9) podstawiają c  znane wartoś ci  a i P okreś la  się  wartość  h o +Ay.  Jest to  wielkość zagł ę bienia  dla  etapu,  przy  którym  charakterystyka  1 -  2  stanowi  dolną   granicę   obszaru uplastycznionego.  N astę pnie należy  dokonać przekształ cenia współ rzę dnych  polegają cego na  przesunię ciu  począ tku  ukł adu  do  punktu  1 i  obliczyć  bezwymiarowe  wielkoś ci  x/ P, y/ P,  h o / P  i  Ay/ P.  W  ten  sam  sposób  kontynuuje  się   rozwią zanie  dla  dalszych  etapów wgł ę biania,  wyznaczonych  przez  przebieg  kolejnych  charakterystyk  rodziny /?. Jeż eli nie jest konieczna duża dokł adność  obliczeń, siatki  linii  poś lizgu  moż na, otrzymać wykreś lnie,  na  przykł ad  sposobem  opisanym  w  monografii  [5].  Punktem  wyjś cia  jest obliczenie  dł ugoś ci  odcinka  a  dla  danej  wielkoś ci  zagł ę bienia Ay  z zależ noś ci  (2.8) i (2.9). Jak  widać  z  rys.  4, przy  znanych  wartoś ciach  P  i • &  wystarczy  to  do  okreś lenia poł oż enia punktu  1. Analiza  prę dkoś ci  pł ynię cia prowadzi  do wniosku,  że  istnieją   pewne zakresy  wielkoś ci zagł ę bienia  uzależ nione  od  Jcą ta  2$,  dla  których  nie  moż na  otrzymać  poprawnego  roz- wią zania  dla  prę dkoś ci  (wystę puje  kinematycznie  niedopuszczalny  typ  niecią gł oś ci). W  pozostał ych  zakresach  rozwią zanie  jest  kinematycznie  , dopuszczalne.  Zagadnienie to  jest  omówione  w  dalszym  cią gu  na  konkretnym  przykł adzie. 3.  Wyniki  obliczeń Obliczenia  przeprowadzono  dla  szczególnego  przypadku,  gdy  2- &  =   1,047  rad.  (60°). Z  równań  (1.1),  (1.2)  i  (1.3)  wynikają   wartoś ci:  y  -   0,303  rad.  (17°20'),  <5  =   0,221  rad. (12°40')  oraz  h 0   =  0,219/ *.  Przeanalizowano  przebieg  procesu  dla  wielkoś ci  zagł ę bienia h w  zakresie  0,219  < hjP  ^  0,403.  W  obliczeniach  numerycznych  przyję to  przyrosty  ką tów w  wycinkach  biegunowych  EAC  i  CBD   (rys.  3)  równe  odpowiednio:  Ay  —  0,038  rad. (2°10')  oraz  Ad  =  0,028  rad.  (1°35').  Rozważ ono  10  etapów  wgł ę biania  wyznaczonych Tablica  2.  Wyniki  obliczeń  przykł adu E tap 0+> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zagł ę bienie Ay P 0 0,018 0,035 0,051 0,066 0,125 0,141 0,153 0,165 0,174 0,184 h+Ay P 0,219 0,237 0,254 0,270 0,285 0,344 0,360 0,372 0,384 0,393 0,403 D ł ugość  styku  bocznej powierzchni  narzę dzia z  materiał em  IJP 0,339 0,367  , 0,395 0,422 0,449 0,570 0,609 0,645 0,679 0,709 0,747 Ś redni  nacisk  jed- nostkowy ptrl'k 2,61 2,62 2,66 2,71 2,78 3,06 3,14 3,26 3,39 3,55 3,68 +  » E t ap  zerowy  obejmuje  począ tkowy  okres  procesu,  h  ^  hol  P&  — con st., p  =  con st. b) Rys.  5.  Siatka  linii  poś lizgu  (a)  i  hodograf  (b)  dla  zagł ę bienia  AyjP  =   0,125;  Qi 0 Ą - Ay)jP  =   0,344,  p jr -   3,06  k,  ijP  =   0,570,  2& =   60° b) Rys.  6.  Siatka linii  poś lizgu  (a)  i  hodograf  (b) dla  zagł ę bienia  Ay/ P  =   0,174;  (h o +ń )i)IP  =   0,393,  pt, =   3,55Jt,  IIP =   0,709,  2#   =   60° 12  M ech .  T eoret.  i  Stos.  2/ 80 [325] 326 S.  OKOŃ SKI przez  przebieg  odpowiednich  charakterystyk  rodziny  /?.  D la  każ dego  etapu  okreś lono zagł ę bienie Ay  oraz h  =   h Q +Ay.  N astę pnie obliczono  dł ugość styku  bocznej  powierzchni materiał u  z  klinem  /  z  oczywistej  (z  rys.  2)  zależ noś ci: P/ 2  =  Isinfi+acosó, gdzie  a wyraża  się   poprzez  Ay  wzorem  (2.9), w którym  należy  wyrugować Ah  za pomocą zwią zku  (2.8).  Okreś lono  rozkł ady  nacisków  jednostkowych,  oraz  wartoś ci  ś rednie  na- cisków  p ś r .  Wyniki  obliczeń  przedstawiono  w  tabl.  2, a  przykł adowe  siatki  linii  poś lizgu R ys.  7.  Siatka  linii  poś lizga  (a)  i  hodograf  (b)  dla  zagł ę bienia  AyjP  =   0,184;  (Ji o +Ay))P  =   0,403, pś r  = =   3.68A:,  l\ P  m  0,747,  2#   =   60" 4,0 "O  0, 22  0,26  . 0 , 3 0  0,34  0, 38  0, 42 Rys.  8.  Zależ ność  ś redniego  nacisku  jednostkowego  od  wielkoś ci  zagł ę bienia WG ŁĘ BIAN IE  N ARZĘ D ZIA 327 i  hodografy  prę dkoś ci  na rys.  5, 6 i 7. N a rysunkach  dla  przejrzystoś ci  przyję to  dwa  razy wię ksze przyrosty  Ay  i Ad  niż w  obliczeniach numerycznych. Zależ ność ś redniego  nacisku jednostkowego  od  wielkoś ci  zagł ę bienia  przedstawiono  n a  rys.  8.. Cał kowitą   sił ę   potrzebną   do  wgł ę biania  (na  jednostkę   dł ugoś ci  narzę dzia)  oblicza się   z  zależ noś ci: (3.1) gdy  h  >  h 0)   lub  też (3.2) P = cos??— sin ( #  —y)  ' p  = 4khn(l+y)sin'& cos# —s —y) ' gdy h  ^  h 0 .  Zależ ność (3.2) wynika z rozwią zania  R.  H I LLA; n jest liczbą   klinowych  wierz- choł ków.  W  zakresie  h  >  h 0   nie  moż na  podać  analitycznej  zależ noś ci  sił y  od  wielkoś ci zagł ę bienia,  gdyż p ir   okreś la  się   numerycznie. D rugi  czł on  w  równaniu  (3.1)  uwzglę dnia dwie  boczne  powierzchnie  skrajnych  wierzchoł ków  narzę dzia. Okreś lenie  prę dkoś ci  pł ynię cia  przedstawimy  na  przykł adzie  siatki  z  rys.  6.  Wzdł uż linii  VH   dana jest  skł adowa  normalna  prę dkoś ci,  równa  skł adowej  normalnej  prę dkoś ci sztywnej  czę ś ci  materiał u. Zatem  na  linii  VH  v x   — 0.  N a  odcinku  VP  nie  bę dą cym  cha- rakterystyką ,  a  także  na  cał ej  dł ugoś ci  linii  styku  materiał u z  narzę dziem  VA  dana jest również  skł adowa  normalna,  równa  skł adowej  normalnej  prę dkoś ci  przemieszczania  się narzę dzia.  Skł adowa ta wynosi  v„ =  a o sin # , gdzie v0  jest  pionową   prę dkoś cią   narzę dzia. W  celu  otrzymania  zwią zku  pomię dzy  v x   i  v p   n a  odcinku  VP  (a  także  n a  cał ym  brzegu VA)  rzutujemy  te  skł adowe  na  kierunek  normalny  do  powierzchni  narzę dzia  (rys.  9). Rys.  9.  Schemat warunku  brzegowego  dla  skł adowych wa  i vp  na  linii  styku  klina  z materiał em Otrzymuje  się   zwią zek: Wykorzystują c  te  dane  moż na  rozwią zać  w  polu  PWV  zagadnienie  brzegowe  typu  mie- szanego  dla równań  (2.6). Daje  to ł ą cznie z warunkiem  n a linii VH   punkt wyjś cia  dla  dal- szych  obliczeń.  Przeprowadza  się   je  numerycznie  sposobem  podanym  w  monografii  [5]. 12* 328  S.  OKOŃ SKI Charakterystyki  VWTRH   i  H JF EA  są   liniami  niecią gł oś ci  prę dkoś ci.  Koń czą   się   one w  naroż ach  wycinków  biegunowych,  co  jest  kinematycznie  dopuszczalne1*.  Podobnie wyznacza  się   prę dkoś ci  pł ynię cia  dla  innych  wielkoś ci  zagł ę bienia. W  przedstawionym  rozwią zaniu  dla  2&  =» 60°  wystą piły  dwa  zakresy  wielkoś ci  zagł ę - bienia,  dla  których  pojawił   się   kinematycznie  niedopuszczalny  typ  niecią gł oś ci  prę dkoś ci (linia  niecią gł oś ci  przecina  prostoliniowy  odcinek  krawę dzi  powierzchni  materiał u). Zakresy  te  są   nastę pują ce:  0,066  <  Ay/ P  <  0,125  oraz  0,174  <  AyjP  <  0,184.  D la  po- został ych  wielkoś ci  zagł ę bienia  rozwią zanie  jest  kinematycznie  dopuszczalne. 4.  Uwagi  koń cowe Przedstawione  rozwią zanie  umoż liwia  wyznaczenie  rozkł adu nacisków  jednostkowych na  powierzchni  narzę dzia  oraz  cał kowitej  sił y  potrzebnej  do  wgł ę biania.  W  odróż nieniu od  przypadku  pojedynczego  klina  nacisk  jednostkowy  nie  jest  stał y,  lecz  zmienia  się wzdł uż linii  styku  osią gając  najwię kszą   wartość przy  wierzchoł ku. Ś rednia wartość nacisku roś nie  wraz  z  zagł ę bieniem. D la  pewnych  zakresów  wielkoś ci  zagł ę bienia  zależ nych  od  ką ta  2& wystę puje  linia niecią gł oś ci  prę dkoś ci  przecinają ca  swobodny  brzeg  materiał u.  Jest  to  kinematycznie niedopuszczalne i ś wiadczy  o tym, że zał oż enie o prostoliniowych krawę dziach powierzchni swobodnej  nie  daje  się   w  tych  zakresach  utrzymać.  Rozwią zanie  dla  dalszych  zakresów odpowiada  przypadkowi  wgł ę biania narzę dzia w materiał  o odpowiednio ukształ towanym brzegu,  a  nie w  materiał  o  brzegu  począ tkowo  pł askim, co nie jest w  peł ni  zgodne z cha- rakterem  procesu.  W  zwią zku  z  tym  uzyskane  wyniki  winny  być  traktowane jako  przy- bliż one.  Zaletą   przedstawionego  rozwią zania  jest jego  prostota.  Siatki  linii  poś lizgu  dla poszczególnych  etapów  zagł ę bienia moż ną   otrzymać w ł atwy  sposób,  zarówno numerycz- nie  jak  i  wykreś lnie,  dla  róż nych  ką tów  wierzchoł kowych  2$.  N atomiast  uwzglę dnienie rzeczywistego  kształ tu  powierzchni  swobodnej  napotyka  na  znaczne trudnoś ci. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  W. E.  H EN D ERER,  B. F .  TU R KOWI C H ;  T heory  of  the  cold forming  tap,  C IRP  Ann.  vol.  23/ 1  (1974). 2.  R .  H I L L ,  S. J.  LEE, S. J .  TU P P E R ;  T heory of  wedge  indentation  of  ductile  materials,  P roc.  R oy.  Soc.  of Lon don  A,  vol.  188  (1945). 3.  J .  G R U N Z WE I G ,  J.  M .  LOG MAN ,  N .  J.  P BTC H ;  Calculation  and  measurements on  wedge- indentation,  J. M ech.  P hys.  Solid,  vol.  2  (1954). 4.  D . S.  D U G D AL E ;  W edge  indentation experiments  with coldworked metals.  J.  M ech. Phys.  Solid,  vol.  2 (1953). 5.  W.  SZ C Z EP I Ń SKJ;  T eoria obróbki plastycznej  metali, P WN   Warszawa  (1964). Ł >  R ys.  6a  przedstawia  poł owę  siatki,  stą d  linie VWTRH   i H JF E A mają   dalszy  cią g  po  prawej  stronie osi  symetrii. WG Ł Ę BI AN IE  N AR Z Ę D Z IA  3 2 9 P  e  3  10  M e  . BHEflPEHHE  H H CTPYMEH TA C KJIHHEBLIM   IlPOcpH JIEM   B  IU IACTH ^ECRYIO B  paSoTe  rrpeH CTaBjieno  p e in e im e  safla^iH   o  BH eflpemni  H H crpymeH Taj  KOTopfcrił   H Meer B  BHfle  pafla  KjntH eBŁK Bep m n H , B ruiacTipiecKyio  cpefly,  n p n  H JIOCKOH   fle^opM auH at,  6 e 3 H   ynpovtnswm  M aTepn an a; npmiflTO  ycnoBH e  njiacTH^HOCTH  r y6 e p a - M n 3 e c a.  H cnojn.3OBaH   Aieiofl  xa - K.  Pa3pa6oTaH O  qacTH Liii  cjry^aiij  n pH   KOTOP OM  yr o ji  BepuiH H bi  Kjnma  6 t u i  paBeH   60°» CCTKH   JU TH H H   ci- tojitweH H H,  roH orpaibw  CKOP OCTH   H  pe3yji&iaTBi  BLF E KC JI C H KH   AJI H   H e - 3H aieKnfi  raySH H Bi  Biiesp em ifl. S u m m a r y IN D EN TATION   OF   A  PERIOD ICALLY  WED G E- SH APED   TOOL  IN TO  P LASTI C M ATERIAL The  title problem  has  been  discussed  in the case of plane strain  and  H uber- Mises  yield criterion  with- out  friction  or material  hardening  taken  into account. The  solution  has  been  obtained  by the  m ethod of characteristics.  1 As  an example  we consider  a particular  case for the wedge angle  60°.  The slip- lines  networks,  selected indentations  have  been  presented. P OLI TE C H N I K A  KRAKOWSKA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  16 stycznia  1979  roku