Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z3.pdf M ECH AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  18 (1980) P Ł ASKI E  F ALE  H AR M O N I C Z N E I  D YF U Z JA  W  C I E LE  STAŁ YM JAROSŁAW  STEFANIAK,  JANUSZ  JAN KOWSKI  (POZN AŃ ) 1.  Sform uł owan ie  zagadnienia Punktem  wyjś cia  rozważ ań  są  równania  róż niczkowe  dla  termodyfuzji  podan e  przez S.  PODSTRIG AĆA i W.  NOWACKIEG O  [1].  Przy  zaniedbaniu  wpł ywu  temperatury  moż na  je zapisać  w postaci •   QUj,tt+ycCj~X(x, t), gdzie j ,  1 =   1, 2,  3;  x e R3; te (0, oo) <«> K e>yc>D>k — stał e materiał owe c — koncentracja,  uj —  przemieszczenie a — ź ródło  dyfuzji,  Xj —  sił y  masowe. Przyję to  jednorodne  warunki  począ tkowe (1.2)  c(x, 0)  =  0;   Uj (x,0)  = 0;  M A , ( X , 0 ) « 0 , oraz  warunki  znikania  w nieskoń czonoś ci (1.3)  lim c(x, 0  =  0;  Hm u, (x, i)  ==   0. Zał oż ono,  że w chwili  /  =  0 zaczynają   dział ać w pł aszczyź nie x t   =  0: ź ródło  dyfuzji i  ź ródło  dylatacji [2] a  =  Dc 0   d(xj)i](t), gdzie  dji  —  symbol  Kroneckera,  <3(xj) — funkcja  D iraca, t](t) — funkcja  H eaviside'a. Zgodnie z  [3], tak postawione zagadnienie posiada dokł adnie jedno rozwią zanie w przes- trzeniach  Sobolewa:  H1A  dla koncentracji, H2 dla przemieszczenia. 2. Transformaty  Laplace'a  rozwią zań Stosują c  transformatę   Laplace'a  [4] do  ukł adu równań  (1.1)- (1.4)  otrzymano (2.1)  c ftt ~ć =ku JlM - ^ Kxt), 3 * 384 J.  STEFAN IAK,  J.  JAN KOWSKI (2,1) r  ,  ,  fJU,  ii[cd.] gdzie/ (s) oznacza transformatę  Laplace'a  dla funkcji/ (ż ),  sjest  parametrem  transformacji. Oznaczając ( 2 2 ) dla yk  ^  1 rozwią zanie  ukł adu (2.1) ma postać P = (2.3) gdzie (2.4) P/c 1  ff  Pfc   Ą   c o f  PA;  ,  c 0  /•  - •   s 2 \ ]  e ' «»l* ll [ S - KM  S  \   c f / J  ia;2  J sgn 2y p . "1P- 2  5 s~ ico xf- ł s — + ia> yc 0 s yco s e arg|/ s- s„   =  0,  gdy  Re(s- sB) > 0  i  Im.(s- sn) = 0, O s o b n o  n a l e ż y  ro zvvaż yć  p r z yp a d e k  yk, =  1 T )o 2   i  P£-   fi"Cv  ^ —  /   \   i- 'l'l  |  - Civ  U  \ ™IJi ) s + c 2  \ s — im 2i  0. Ł atwo  zauważ yć,  że przypadki  szczególne  y  — 0 lub /c =  0  dają  rozwią zania  ś cisł e, znane  w  teoriach  niesprzę ż onych. 3.  Przybliż one  rozwią zanie  zagadnienia Ponieważ  wartoś ci  współ czynników  y i k nie są  stablicowane  w dostę pnej  literaturze, należy  rozważ yć,  z uwagi na (2.4),  nastę pują ce  przypadki:  a) yk  >  1 b) yk =  0, c) yk < <  1, yk > 0 Wzory  (2.3)  oraz  (2.6)  dadzą  się przedstawić  w  nastę pują cej,  równoważ nej  postaci C 3  1 }  •   • r P A 2  (x t ,  ia)  1  „   . gdzie ( 3 . 2 )  i •   • 7  rv  ^  c i ( 5 u  P D  d'( l  s- to  s c\   a', 2  l\ ~ S 1 + D / e  l] l- ai(ż co)e'a ; !< / 'B> l*il x   j/ i c o —s 2 \ A   D /  C iw—s t   \ / io>—s 2 = Dc\ Pk , .  ..  y 2za(xa))(jft A 3 (x lt i + c f) 3 ic 2 s) =   — - 7^ S —S Co  17   2 s L\ 386  J .  STEFAN IAK,  J.  JAN KOWSKI s c i  r p f e s 2  2D l/ D   J  cf\ 5/2f M etodą   przybliż oną   (wg  KRYŁOWA  {5])  oblicza  się   oryginał y  transformat (3.4)  F,(s) -   - 7 = = L = = v I ( x 1 ,  s)-;  I -   1,2,  3, 4;  petf. Oryginał y  pozostał ych, skł adników  wzorów  (3.1),  (3.2)  moż na  obliczyć  w  sposób  ś cisły. Rozważ my  przypadek  yk  >  1.  Wówczas  j x  <  0,  a  wię c  funkcja  ^ ( J ) da  się   zapisać F̂ )  L  J(3.5) Zgodnie  z  monografią   [5]  transformatę   odwrotną   F^ t)  moż na  jednostajnie  przybliż ać sumami (3.6)  Fi(0» / to gdzie j l 5  /  =  0,  1,  ..., n,  są   miejscami  zerowymi  wielomianów  stopnia  (n +  1)  ortogonalnych n a  przedziale  ( —1, 1) oraz ( 3. 8).  ,  •   W- Ż Wartoś ci  a(j- , at  moż na znaleźć n p. w  [6] tablica  6 lub  tablica  7. N a  mocy  powyż szych  rozważ ań  moż na  przedstawić  oryginał y  transformat  wystę pu- ją cych  w  (3.1)  w  postaci (3.9) !• •   •   ; '  z = o  •   •   . ,  ; r  "  i Uj(x t , t) »  I - jM ^ i., ico)tirot+  2 "  B t (t)f 3   (x t ,  - s L   of«)  I V / = 0 P Ł ASK I E  F ALB  H AR M O N I C Z N E 387 Obierają c  dla przykł adu n — 3 dostaje  się  wzór na koncentrację e(x lf   t)  M   - P 7/ ^ eSL >  «ooVi ( 2  \ —• '••   /   2  2  2 aio + - j- a 11 t\ y)^ x i ,s i a 1 )  + \ a 20 +a 21 - ~t+- r —a 22 t z  x ( Rozważ ając  analogicznie przypadek yA: =  1, otrzymujemy 2  2 2 2 2 2 f + • Ł  / C ( . » • ' c o d(x l ) . - 4'  ,   ***>  ;,» Z J  IY/+5/2)  Z '(3.11) < 3LL±r r P-1   Ą—C1C0G r  1   1   - ^1 - T - T T -.  • • „*  a "e   D W przypadku 0 < yk  <  I wartość s k ,  dana wzorem  (2.4), jest liczbą   zespoloną  i wów- czas  wzory  typu  (3.6) - (3.8)  zawierają   funkcje  hipergeometryczne,  co komplikuje  algo- rytmy  obliczeniowe. Aby  tego  unikną ć, zastosowano  tutaj  rozwinię cie  nieznanych  orygi- nał ów  transformat  (3.1) w szereg wielomianów  ortogonalnych n a przedziale  (0,1). M oż li- 3  88  J .  STEFAN IAK,  J.  JAN KOWSKI wość  takiego  rozwinię cia  jest  umotywowana  twierdzeniem  o istnieniu rozwią zania  zagad- nienia  (1.1)-  (ł - 4) dowodzonym  w  [3].  Otrzymuje  się c(x lt   **) (3.12) 1= 0 gdzie  P  (x)  jest  wielomianem  Legendre'a (3.13) Wzory  typu  (3.12)  znaleść  moż na  w  monografii  [5].  Wielomiany  Legendre'a  zastą pić moż na  inną   rodziną   wielomianów  ortogonalnych n a  przedziale  (0,1), otrzymują c  wzory podobn e  do  (3.12). Otrzymane  wzory  (3.9),  (3.11)  i  (3.12)  pozwalają   wyznaczyć  w  sposób  efektywny, z  dowolnym  przybliż eniem,  koncentrację   c(x x ,  t)  i  przemieszczenie  z'i(x1;  t). Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  W.  N O WAC K I ,  T ermodyfuzja  w ciek  stał ym,  M TiS  13, 2,  1975. 2.  J.  STEF AN IAK,  Concentrated loads as body forces,  Rev. R oum . M ath . P ures et  Appl.,  XIV,  1,  1967. 3.  M .  D R YJA,  Difference  and finite- element  methods  for  the  dynamical problem  of  therinodiffusion  in  an elastic  solid, Archives  of  M echanics  29,  1,  1977. 4.  G .  D OE TSC H ,  Praktyka  przekształ cenia  L aplace'a,  P WN   1964. 5  B.  H .  KP Ł I JI OBJ H .  C .  CKOSJIH J Memodu  npudAuoiceuHoso npeo6pa3oeanun  &ypbe  u  oSpaufenun  npeofipa- 3oeaHun Jlaruiaca,  H ayica  1974. 6  B. H . KPbinoBj H . C .  C K O 6J W3  Cnpmonnan  miuea nonucnmnoMy npeo6pa3tfeaHuw Jlannaca, M R H C K 1968. PŁASKIE  FALE  HARMONICZNE  .  389 P  e  3  K>  M  e n J I O C K H E  rAP M OH H ^- I E C KHE  BOJIH BI H  JXHKcH H oro  o6pameH H H   npeo6pa3OBaH H H   J I a n jia c a . S u m m a r y PLAN E  H ARM ON IC  WAVES  AN D   D I F F U SI ON   I N   A  SOLID   BOD Y On  the  basis  of  equations  given  by  S.  Podstrigać  and  W.  N owacki  [1], the interaction  between  har- monic waves and diffusion  in solids  is  considered. To obtain the concentration and displacement  th e appro- ximate  method for  inverse  Laplace  transform  is  used. POLITECHNIKA  POZNAŃ SKA INSTYTUT  MECHANIKI  TECH N ICZN EJ f Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  30  czerwca 1978  roku