Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZN A I  STOSOWAN A 3, 18  (1980) WYMUSZONE  DRGANIA  GIĘ TNE  PODATNIE  PODPARTEGO  ASYMETRYCZNEGO  WAŁU JAN U SZ  K O L E N D A  ( G D AŃ SK) 1.  Wstę p Rozpatrywane  w  pracach  [1] i  [2] ukł ady  z asymetrycznymi  wał ami analizowano  przy zał oż eniu, że drgania gię tne w obu pł aszczyznach oraz drgania  podł uż ne i skrę tne poszcze- gólnych  odcinków  linii  wał ów  moż na  opisać  niesprzę ż onymi  równaniami  róż niczkowymi czą stkowymi.  U wzglę dniono  natomiast moż liwość  sprzę ż eń  pomię dzy  tymi  drganiami  na skutek  podatnoś ci  konstrukcji  podpierają cych  linie  wał ów.  W  szczególnoś ci  istotne  są sprzę ż enia  pomię dzy  drganiami  gię tnymi.  Zagadnienie  t o  zilustrowano  w  niniejszej  pracy na przykł adzie  drgań  dwupodporowego  wał u. Rozpatrzono również  zagadnienia  redukcji i  dokł adnoś ci  obliczeń. 2.  Opis  drgań  gię tnych  wału  przy  wymuszeniach  okresowych Obliczeniowy  schemat  analizowanego  ukł adu  przedstawiono  n a  rys.  1.  Przyję to,  że główna  centralna  oś  bezwł adnoś ci  wał u pokrywa  się   z  osią   obrotu.  Wał   podzielono  na dwa  odcinki  obliczeniowe  o  dł ugoś ciach  l x   i  l 2 ,  których  przekroje  poprzeczne  są   stał e i koł owo asymetryczne.  Lokalne ruchome ukł ady współ rzę dnych obu  odcinków  x ilf   x 12i *i3  i  x 2 1 )  ^22,^23  mają   począ tki  na  osi  obrotu  w  poł owie  dł ugoś ci pierwszego  ł oż yska i  w  przekroju  x lt   =   l t   oraz  osie  odpowiednio  równoległ e  w  chwili  t 0   =   Zkutjco, Rys.  1.  Schemat  obliczeniowy  analizowanego  ukł adu,  ^ - p o le  przekroju  poprzecznego  pierwszego  od- cinka  wał u;  gi  —  gę stość  materiał u pierwszego  odcinka;  Ą   —m o d u ł   Youn ga  dla  pierwszego  odcin ka; Ca)ii  (h)i—momenty  bezwł adnoś ci  przekroju  poprzecznego  pierwszego  odcin ka;  h  —  dł ugość  pierw- szego odcin ka;/ ^(a  =   2 , 3 , 5 , 6 ) —  skupione wymuszenia  zewnę trzne; / o j( O )  —  stał a  poosiowa  sił a ś ciska- ją ca; Xn,  x 12 ,  x 13   —  ortogonalny ruchomy ukł ad współ rzę dnych pierwszego odcin ka; X lt X 2 ,X 3   —  orto- gonalny  nieruchomy  ukł ad odniesienia  konstrukcji  podpierają cej;  co —  prę dkość  ką towa  wirowania  wał u; 1,2  —  podpory  ł oż yskowe 5  Mech.  Teoret.  i  Stoso. 3/80 4 1 4  J.  KOLENDA k  =   0,  1, 2,  ...  do  osi  nieruchomego ukł adu  odniesienia  fundamentu  X lt X 2 ,X 3 .  Osie Xi 2 ,  x i3 (i  =   1,2)  są  równolegle  do  gł ównych  centralnych, osi  bezwł adnoś ci  przekroju poprzecznego  wał u.  Zakł ada się,  że wymuszenia zewnę trzne f£  i  reakcje  ł oż ysk  f ix (jx  = —  2,  3, 5, 6)  są  sił ami skupionymi,  których, wektory  przechodzą  przez  oś  obrotu w prze- kroju  x tl   — l x   i  w  poł owie dł ugoś ci ł oż ysk. Okresowe  wymuszenia  przedstawiono w po- staci : (2- 1)  \ ^   / * =  • • • >  - » » , . . . ,  - 1 , 0 , 1 , . . . , * . . . P odobnie  wyrazić  moż na  przemieszczenia  i  sił y  wewnę trzne  wał u  w  przekrojach  x tl   = (2.2)  ««<* (2.3)  ?(** =  ]£pgL exp(jfuot),  1 =   1,2,  a  =   2, 3,  5, 6. W  wyniku  podstawienia  (2.2)  do  jednorodnych  równań  róż niczkowych  drgań  gię tnych i- tego  odcinka wał u oraz uwzglę dnienia  relacji  mię dzy  sił ami p ixa   i przemieszczeniami u iIX uzyskuje  się  dla  uś ciś lonego  modelu wał u 1 }  wyraż enia  [2]: (2.4)  u®  = (2.5)  pg> = gdzie: «S»- {t t ffi},  P ^ = { P ^ } ,  (̂  =   2 , 3 , 5 , 6 , af>=  {a%>},  ^ - 3 , 4, ..., 10,  i  =   1,2. Macierze  C g' , ^ 4 ^ tworzy  się z analogicznych macierzy wyznaczonych w  [2] przez odrzu- cenie kolum n :  1- ej,  2- ej,  11- ej,  12- ej  oraz wierszy:  1- go  i  4- go. Warunki  cią gł oś ci  przemieszczeń  i  równowagi  sił  w  przekroju  x lx   =» l x   prowadzą  do zależ noś ci  [2]: (2.6)  aSp  =   Bf>flif»+ F f/ W<». M acierze Bf\   Fp>  tworzy  się z macierzy Ąw ,  JF1/ "'  okreś lonych w  [2], natomiast fW   jest macierzą  kolumnową  amplitud  / j- tych  skł adowych wymuszeń  zewnę trznych: / • M ' -   {/ "W),  a  =  2, 3, 5, 6. Zgodnie  z  przyję tą  w  [1] konwencją  znaków,  warunki  brzegowe  analizowanego wał u mają  postać: (2- 7)  PlO2  =   —;/ l2)  Pl.03  =   ~/ l3»  P l05  = / l 5 )  PlO6  = / l6> fzi,  P213  =  / a jj  JP215 =   —/   / 1 5  Z  uwzglę dnieniem  wpł ywu  tł umienia  wewnę trznego, momentów sił  bezwł adnoś ci obrotu,  odkształ - ceń  postaciowych  od  sił  poprzecznych i stał ej sił y  poosiowej/ oi0' WYMUSZON E  DRG ANIA  G IĘ TNE  WAŁ U 415 Z uwzglę dnieniem  (2.3),  (2.5) i  (2.6)  warun ki  (2.7) i  (2.8)  prowadzą  d o  zależ n oś ci: (2.9)  j w  której  ozn aczon o: i  7=z  1  9 M acierz Aw  powstaje  z  macierzy  A x %  przez  podstawien ie  x  =   0  o raz  po m n o ż en ie  pierw- szego i  drugiego  wiersza  przez  (—1);  m acierz  Bm  powstaje  z  m acierzy  A(£> przez  p o d st a- wienie  x  =   1%  oraz  pom n oż en ie trzeciego  i  czwartego  wiersza  przez  (—1). Am plitudy  / t- tych  skł adowych  przemieszczeń  wał u  w  miejscach  p o d p ó r  ł oż yskowych zapisać  m oż na  w  postaci  m acierzy  kolum n owej która  zgodnie  z  (2.4) i  (2.6) wyraża  się  zależ n oś cią: (210)  M(iU)  =   Ć ^ u(ft^   +  c^ f*1^ 1 0  cm  _ Ogólna  zależ ność  pom ię dzy  am plitudam i  skł adowych  reakcji  i  przem ieszczeń  wał u w  miejscach  p o d p ó r  ł oż yskowych  jest  n astę pują ca  [1]: przy  czym  r  jest  liczbą  uwzglę dn ian ych  h arm on iczn ych ,  a  u ( O  i  f(I)  oznaczają  m acierze kolum n owe: D la  an alizowan ego  u kł adu  m acierze  U ( p ) i  R ( r )  mają  przy  pom in ię ciu  skł ad n ików  d o - tyczą cych  drgań  podł uż n ych  i  skrę tn ych  p o st ać : '  o  nr  o nr  o  ni 0 £><- r>II 0 n  n IF  0  nT nr  o 8 ( 8(2r+ ł ) n  =  rni,  n2j,  ń  =  rńu  ria  j , 416 J .  KOLEN D A n 1 =   n2  = 1  j  0  0 - j  1  0  0 0  0  1  J V  1 ii  -   ńa -   y i  - j o 0] j  i  o o o  . o  i - j o  o  j  iO  O - ; £)<">  =  0if],  i,j**  1,2,  ix =  ~r,  - r + l , . . . , 0 ,  . . . , r - l , r, ffii  3$,  dtfh d W  odróż n ien iu  o d  dffy(i  =£j) współ czynniki  podatn oś ci  dyn am iczaej ^if^ wpł yw  film u  olejowego  w  ł oż yskach  [1],  [2], Z ależ n oś ci  (2.9) i  (2.10)  m oż na  dla  wszystkich rozpatrywan ych  h arm on iczn ych  napisać w  p o st a c i: 4 ( 2 . 1 2 ) g d z i e : (r)  a f  w(r)  _  fyw(- r)  yw( - r  +  l)  ytv(O)  fw( r- l)  yw( f) | B < r )  -   r&- r\   S < - + 1 > ,  .- „.JBTO,  . ^ . . B ^ - ^ B W j K a r +n JS<- r)  0 B ( r )  = J8(2r+ i)xr4(2 +  l) c» = c ( r > WYMUSZON E  DRGANIA  G IĘ TNE  WAŁU   417 Z  równań  (2.11)  i  (2.12)  wyznaczyć  m oż na  n iezn an e  m acierze  ko lu m n o we: a  =   -   ( C " 0 ) " 1  {Ć ( l )  +  U < rW>  [E+B (213)  -   -   — (2.14)  f(r)  = (2.15)   u e>  =   - U ^ ^ , przy  czym  E  jest  m acierzą   jedn ostkową . Przemieszczenia  oraz  sił y  wewn ę trzne  w  przekroju  x  pierwszego  odcin ka  wał u  okreś lone są   zgodnie  z  (2.1)  d o  (2.5)  zależ n oś ciam i: "ii  = (2.16) P i * (2.17)  . Wielkoś ci  te  orsz  wym uszen ia  (2.1)  odnoszą   się   do  lokaln ych  u kł adów  współ rzę dn ych, wirują cych  wraz  z  wał em .  P o d o bn ie  wyznacza  się   przem ieszczen ia  oraz  sił y  wewn ę trzne w  drugim  odcin ku,  wyliczają c  uprzedn io  z  zależ noś ci  (2.6)  m acierze  ko lu m n o we  a(p  dla H** - r^ - r+i, ,.,,0, ..., r- l, r. 3.  Przykł ad  obliczeniowy D o  obliczeń  przyję to  uproszczon y  m odel  wał u,  pom ijają c  wpł yw  tł um ien ia  wewn ę trz- nego,  m om en tów  sił  bezwł adn oś ci  obrotu,  odkształ ceń  postaciowych  od  sił   poprzeczn ych i  stał ej  sił y poosiowej.  Konsekwencją   tego  uproszczen ia  jest  m n iej  zł oż ona p o st a ć  elem en - tów macierzy  C(;fp,  A( { ^ ,  B w ,  B m ,  < ?M ) i  Ćln.  W  szczególnoś ci  pom in ię cie  t ł u m ien ia  we- wnę trznego  wał u  prowadzi  do  identycznej  postaci  w/ w  m acierzy  ń \ a  / / ,  —  — v  i  fi  =  v (v =   1, 2,  ...,r)2\   Z ależ n oś ci  (2.4),  (2.5),  (2.6),  (2.9)  i  (2.10)  przyjmują   p o st a ć  [1]: af>  =(3.1) 2 )  Przy uwzglę dnieniu  tł umienia w konstrukcji  podpierają cej  wał  (linię  wał ów)  macierze  podatn oś ci  ł o- ż ysk dynamicznej  3l~ n  i  Dv"> są  zespolone sprzę ż one. Przy pominię ciu tł umienia w filmie  olejowym  ł oż ysk, podporach ł oż yskowych  i w fundamencie  macierze t e stają   się  rzeczywiste  i jedn akowe.  Z ał oż enie o  ideal- nie  sprę ż ystym  podparciu  linii  wał ów  prowadzi  do identycznej  postaci  macierzy  J D ( W  dla wszystkich  p. 418 J .  KOLEN D A Wystę pują ce  tu  m acierze  okreś lono  pon iż ej: O  0  0  0 0  0  0  0  x 3  x 2  x  1 0  0  0  0  - 3 x2  - 2x  - 1  0 3x2  2x  1  0  0  0  0  0 (C&»)2  = c o sA2 x 0 0 O cos X 3  x O - 6EI 2 O 0 0 0 0 sin A3x —A3cosA3x 0 0  0  0 0  0  0 0  0  0 - 6EI 2 x  ~2EI 2   0 O ch.X 2 x 0 0 O c h A3 x 0 0 - 6E /3 6£ / 3x 0 o o J(0 0 o 2EI 3 -  A3CI1/ I3 X 0 0  0 0  0 0  0 0  0  0 (O O 0 0 0 0 0 0 0 0 co D o  obliczeń przyję to,  że  o ba  odcin ki  obliczeniowe  są iden tyczn e: I  »= C J ( O (0 1, 2. M ac ierze o raz przyjmują  wówczas ( 0 , 1  = 1 3/ 3P P 0 0 0 0 0 1 2/ P 0 0 0 0 0 0 1 / 0 0 0 0 postać 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 31 3/ 2 Z3 0 0 0 0 0 1 2/ P 0 0 0 0 0 0 1 ; 0 0 0 0 0 0 0 J WYMUSZON E  DRG ANIA  G IĘ TNE  WAŁ U 419 cos A21 —sinA2Z  cosA2 ,1  0 0 0 ,Z  shA2Z0  0 0  0  shX 2 l 0  0  0  0 0  0  0  0 0  0  0  0 0  0  0  0 0 0 0 0 00 c o s  k 3 1 —sin A3Z  C0S/ I3Z 0  0 0  0 0 0 0 0 chA3Z  shA3Z 1/ 6£ I 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 G 0 1/ 2B/ 3 0 0 0 - 1/ 2£ J3 0 0 0 0 0 0 l/ 2£ J2Ai 0 0 0 0 0  0 0  0 0  0 0  0 0  - 1 / 2 £ I3 - l/ 2£ /3A 3 3  0 0  l/ 2£ / 3 ; l!  0 0 - 1I2EI 2 XI 0 0 0 0 0 Z ależ noś ci  (2.13) do  (2.15) zachowują  swą  postać, przy  czym  m acierze B< °, B ( r ) ,  C ( r )  i  Ć ( r > mają  n a  skutek  pom in ię cia  tł um ien ia  w  wale  jed n ako we  odpowiedn ie  b lo k i : B ( v )  = • -D 420 J .  KOLEN D A c c r ) C(0 ) v =   0 , 1 , 2 ,  ,..,r. M acierze ACr)  i  2?c>1) tworzy  się z  m acierzy  4̂̂ ° analogicznie ja k  wystę pują ce  w  (2.9) macie- rze  A™  i  BM  z  m acierzy  A<$ i  ^ . D o  obliczeń  przyję to: —  rząd  uwzglę dn ian ych  h arm on iczn ych  r  — 2, • —  pole  p rzekro ju  poprzeczn ego  wał u  A-   9  c m 2 , —  gę stość  m ateriał u  wał u  Q — 7,85-  10~ 3  kg/ cm 3, —  m o d u ł   Yo u n ga  E  =  2,1 •   10  N / c m 2 , —  gł ówne  cen traln e  m om en t y  bezwł adnoś ci  przekroju  poprzeczn ego  wał u  I 2   — 12 c m 4 73  =   - i  2, 25 3 c m 4, —  dł ugość  obliczeniowego  odcin ka  wał u  /  =   100 cm, —  p rę d ko ść  ką towa  wirowan ia  wał u  co =   75  rad/ s. Z go d n ie  z  twierdzen iem  o wzajemnoś ci  p rac  o bran o m acierze  podatn oś ci  dynamicznej kon strukcji  podpierają cej  w  postaci  symetrycznej,  przy  czym  pom in ię to wpł yw  tł um ien ia. D la an alizo wan ego  u kł adu  przyję to: jrx- 2)  =   £c2>  m  d2b<°\   £><- » =   I> (1> =  d t I>V\   5 < 0 ) -   kD. Współ czyn n iki  d 1;   d 2 i  k  zm ien ian o w trakcie  obliczeń,  ograniczając  się do dwóch  warian- t ó w  m acierzy  D: —  z  uwzglę dn ien iem  sprzę ż eń  pom ię dzy  po dpo ram i  ł oż yskowymi  poprzez  fun dam en t: D al 2\ ' n —  u22  — 3 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0,06 0 0 0 0 0,03 ,  u 12   —  u 21   — '2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0,04 0 0 0 0 0,02 - —  z  pom in ię ciem  sprzę ż eń  pom ię dzy  po d po ram i  ł oż yskowymi  poprzez  fun dam en t:1 WYMUSZON E  DRG ANIA  G IĘ TNE  WAŁ U 421' Z  uwagi  na  symetrię  analizowanego  ukł adu  wyznaczano  drgania  jedynie  pierwszego  od- cinka  z  zależ noś ci: (3- 2) w^   = ?> =   {*$},  *  -   1, 2,  cc  =   2,  3, 5,  6, w  - 4 ; ( ) Przykł adowe wyniki  obliczeń  wartoś ci  amplitud poszczególnych  harmonicznych drgań «i*a  i  «i*s  przedstawiono  na  rys.  2  do  rys.  6.  Amplitudy  harmonicznych  wyznaczano z  zależ noś ci  (3.2),  po  uprzednim  wyliczeniu  wartoś ci  elementów  macierzy  kolumnowej 42>  zgodnie  z  (2.13).  W wyniku  obliczeń  stwierdzono,  że niezerowe  macierze  kolumnowe dp  i fli~ v) są zespolone sprzę ż one, a macierz kolumnowa  o^" jest rzeczywista. D la  przypadku  istnienia  sprzę ż eń  pomię dzy  podporami  ł oż yskowymi  poprzez  funda» ment wykonano  obliczenia przy wymuszeniach  momentem gną cym / £= =   103cosl50?[N cm] (rys. 2) oraz sił ą poprzeczną / 2"  =   i03cosl50ć [N]  (rys.  3). Jak  wynika z  rys,  2 i  3, drgania. Rys.  2.  Amplitudy  drgań  wał u  w  przypadku sprzę ż eń  pomię dzy  podporam i  ł oż yskowymi  po- przez  fundament  przy  ff  — 103cos  150f  [N cm], k  =   10- 5,  di  =   0,25,  d z   =   0,15,  D  =  D A>   o il 5 , *SS!,  u><|' —  amplitudy  wedł ug  zależ noś ci  (3.2); whV — amplituda  drgań  gię tnych  pierwszego  od- cinka  wał u w  pł aszczyź nie  utworzonej  przez  osie *u > *i 3  w  przypadku  sztywnego  zamocowania koń ców  wał u. 100 Rys.  3.  Amplitudy  drgań  wał u  w  przypadku sprzę ż eń  pomię dzy  podporam i  ł oż yskowymi  po- przez  fundament  przy/ J"  =   103cos  150/   [N ],  k  = =  10- 4 ,  di  =•   0,25,  d 2   =   0,15,  D  =   DA.  W & wi%\ v ( x \ ^   amplitudy  wedł ug  zależ noś ci  (3.2); wi?' —  amplituda drgań  gię tnych  pierwszego  od- cinka  wał u w  pł aszczyź nie  utworzonej  przez  osier *n . X i 2  w  przypadku  sztywnego  zamocowania koń ców  wał u. gię tne wystę pują  nie  tylko  w  pł aszczyznach  dział ania wymuszeń,  lecz  także  w  pł aszczyz- nach do nich prostopadł ych (pomimo zał oż onego braku  sprzę ż eń  równań  róż niczkowych, opisują cych  drgania  gię tne  w pł aszczyznach x lx ,  x 12   oraz  x lu   x l3 ).  Przy  pominię ciu  t ł u- mienia w ukł adzie harmoniczne skł adowe drgań wał u o czę stoś ci równej czę stoś ci  wymuszeń są w pł aszczyź nie dział ania wymuszenia  zgodne w'fazie  z wymuszeniem,  a w  pł aszczyź nie prostopadł ej  do pł aszczyzny  dział ania wymuszenia  —  przesunię te w fazie  o n/ 2.  W  pł asz- 422 J .  KOLEN D A czyznach  dział ania  wymuszeń  pojawiają  się  ponadto  stał e  skł adowe  przemieszczeń  wału (w$? 3 y  i  w££). Wystę pują ce  przy  tym  sił y  odś rodkowe  są  zaniedbywalne  (w  analizowanych przypadkach  przyspieszenia  odś rodkowe  nie przekraczają  10% przyspieszenia  ziemskiego). Przyję te  wymuszenia riie wywoł ują  drgań gię tnych o czę stoś ci co  =   75 rad/ s  (a1^   =  a^- 1'  = =   0). Przy  zał oż eniu  braku  podatnoś ci  filmu  olejowego  w  ł oż yskach,  podpór  ł oż yskowych i  fundamentu  (D  =   0) drgania  gię tne  wystę pują jedynie  w pł aszczyznach  dział ania wymu- szeń, a ich czę stoś ci  są  równe  czę stoś ciom  wymuszeń.  Amplitudy  drgań  przy  D  =  0 przed- stawiono  n a  rys.  2  i  3 liniami  kreskowymi. W  celu  zilustrowania  wpł ywu  pominię cia  sprzę ż eń  pomię dzy  podporami  na  drgania wał u  zastą piono  przy  niezmienionych  wymuszeniach  macierz  D A   macierzą  blokowo  dia- gonalną  D B .  Wyniki  obliczeń  przedstawiono  na rys.  4 i  5. 4 3 2 1 "i* ĉ r  0 'o X J - 2 - 3 - 4 - 5 i - - -   \ \ I  i / / I /  j h® J \ 3 „—- ~̂ - - - - I  ! 20 60  80 x  [ c m ] 100 100 R ys.  4.  Amplitudy  drgań  wał u  w przypadku  bra- ku  sprzę ż eń  pomię dzy  podporami  ł oż yskowymi poprzez  fundament  przy/ s"1  =   103cos 150/ [N cm], k  =   10- 5 ,  d}. =   0,25,  d 2   =   0,15,  D  =  D B . Rys.  5.  Amplitudy  drgań  wał u  w  przypadku braku  sprzę ż eń  pomię dzy  podporami  ł oż ysko- wymi  poprzez  fundament  przy / 2 W  =   103cos 150/ [N ],  k  =  10- *,  di  m  0,25,  d 2   =   0,15,  D  =   Di, Transformacja  harmonicznych  wielkoś ci  z  ruchomego  ukł adu  współ rzę dnych  do nie- ruchomego  ukł adu  współ rzę dnych  odniesienia  fundamentu  (i  odwrotnie)  zmienia  przy czę stoś ci  wirowania  wał u  a  czę stoś ci  tych  harmonicznych  o  ±co.  Macierze  podatnoś ci WYMUSZONE  DRG AN IA  G IĘ TNE  WAŁ U 423 dynamicznej  fundamentu  D<- °\  D ( " 2 ) i  £><2)  nie  wpł ywają  zatem  na powyż sze  obliczenia (dotyczą ce  wymuszeń  z  czę stoś cią  2co) i  mogł y  być  zastą pione  blokami  zerowymi.  Przy wymuszeniach  zawierają cych  harmoniczne  nieparzystych  rzę dów  obliczenia  wymagają znajomoś ci  macierzy  i ) ( 0 )  i  Dw  dla  parzystych  wartoś ci  fx. W  kolejnym  wariancie  obliczeniowym  przyję to  wymuszenie  sił ą  poprzeczną  f%= =   103cosco^[N] (rys.  6).  Rząd  uwzglę dnianych  harmonicznych w  przykł adowych  oblicze- niach wynosi  r  =   2  i w tym  przypadku  wymuszenia  przyję to:  k  — 10"4",  d 2   — 0,25,  D  = =   D A .  W celu zilustrowania  wpł ywu  ograniczenia  analizy  do harmonicznych rzę du r  =  1 wykonano  również  obliczenia  przy  d 2   =  0  i  niezmienionych  pozostał ych parametrach. 20  40  60  80  100 Rys.  6.  Amplitudy  drgań  wał u w  przypadku  po- minię cia  harmonicznych  rzę du  wyż szego  od  r  = =   2(dz  =  0,25) i w przypadku  pominię cia harmo- nicznych  rzę du  wyż szego  od  r  -   1  (d 2   =   0)  przy / a" =   I 03cos 75r  [N ],  k  =   10- 4 ,  D~D A . Z  rys.  6  wynika,  że  pominię cie  wpł ywu  wyż szych  harmonicznych  może  być  przyczyną bł ę dnego  wyznaczenia  punktów  wę zł owych  i  zaniż enia  wartoś ci  amplitudy  analizowanej harmonicznej  drgań. 4.  Uwagi  koń cowe Przedstawiony  powyż ej  sposób  rozwią zania  może być również  stosowany,  gdy  drgania asymetrycznego  wał u opisują  się  sprzę ż onymi  równaniami  róż niczkowymi.  Przykł adowo, gdy  wał   posiada  jedną  pł aszczyznę  symetrii,  drgania  gię tne  w  pł aszczyź nie  prostopadł ej do  pł aszczyzny  symetrii  i  drgania  skrę tne  opisują  się  dwoma  sprzę ż onymi  równaniami róż niczkowymi  czą stkowymi  czwartego  rzę du  [3]. Prowadzi  to  m.in.  do  odpowiedniego zwię kszenia  wymiarów  macierzy  w  zależ noś ciach  obliczeniowych. W  szeregu  przypadkach  wymiary  macierzy  mogą  być  zmniejszone.  N iech  punktem wyjś cia  do  rozpatrzenia  tego  problemu  bę dzie  linia  wał ów  z  asymetrycznymi  odcinkami wykonują cymi  drgania  gię tne,  skrę tne  i  podł uż ne  opisane  niesprzę ż onymi  równaniami 424 J .  KOLEN D A róż niczkowymi  czą stkowymi,  podparta  konstrukcją  charakteryzują cą  się macierzami po- datnoś ci  dynamicznej  D^ fji  =  — r, — r + 1, ...,  0,  ..., r) z elementami sprzę gają cymi  w/w drgania.  M acierze Dm  są wówczas  stopnia 6n(n — liczba  ł oż ysk), a macierze  kwadratowe w  zależ noś ci  analogicznej  do  (2.11) (4.1)  u},  a =  1, 2, ..., 6, n,T ft,-  nr n/   ft,  iV o  n r ilf J 6(2r+ l) -   6(2r+ l) WYMUSZONE  DRG/VN:A  G IĘ TNE  WAŁ U 42 5 n,- rnifnjj. *ł   o  o 0  0   0 0  0   0 n' -iii  — -  ra, ftj- 0  0   0 o  i  j 0  - /   1 o  o o exp(;<5, Wielkość  di  jest  ką tem  o bro t u  lokaln ego  ruch om ego  u kł adu  współ rzę dn ych,  w  kt ó r ym opisywane  są drgan ia  wał u  u t  w miejscu  i- tego  ł oż yska,  m ierzon ym  wzglę dem  u kł a du Xi,  X 2 , X 3  w kierun ku  wirowan ia  wał u w chwili  t 0   =  2 fcrc/ co, k = 0,1,2,  ... Jeś li w przekroju  ł ą czą cym  odcin ki  i- ty  oraz  ( r + l ) - y  dział ają  sił y/;  =   {/• «} i  osie  lo kal- nych  ukł adów  współ rzę dn ych  tych  odcin ków  są d o siebie  odpowiedn io  równ oległ e, t o współ czynniki  rozwią zań  dla  tych  odcin ków  zwią zane  są relacją  [2]: a  am plitudy  ^u- tych skł adowych  przemieszczeń  wał u w miejscu  / - tego  ł oż yska  wyraż ają się zależ noś cią [2]: (4.6)  M^ł   =   C'- na^ . i  • N a  podstawie  (4.4)  d o  (4.6)  m o ż na  n ap isać : (4.7).  aj+ x  =   P f r ) a P , gdzie Pfr)  m oże  być  t rakt o wan a  ja ko  m acierz  przejś cia,  wią ż ą ca  współ czyn n iki  rozwią zań poszukiwanych  h arm on iczn ych  dla dwóch  odcin ków  są siadują cych  z  p o d a t n ym  ł oż ys- kiem w przypadku  braku  sprzę ż eń  pom ię dzy  p o d p o ram i ł oż yskowymi  poprzez  fu n d a m e n t : (4.8)  P £ r )  = Poszczególne  m acierze  mają  p o st a ć : Ff  = i i - r+ l) Jfjr- U cfc- r > Cg>_ 6(2r+ l)Xl2(2r+ l) 426  J.  KOLEN D A N a  podstawie  zależ noś ci  (4.7)  i  wyznaczonych  w  [1] i  [2] macierzy  przejś cia  (wią ż ą cych współ czynniki rozwią zań  dla są siednich odcinków w przypadku wymuszeń skupionych, mas dyskretnych  i  skokowych,  zmian  stał ych materiał owych) moż na wyrazić  macierze kolum- nowe  współ czynników  rozwią zań  dla  poszczególnych  odcinków  w  funkcji  jednej  niewia- domej  macierzy  kolumnowej  współ czynników  rozwią zań  dla  wybranego  j- tego  odcinka a jr ) ,  którą  moż na  wyznaczyć  z  warunków  brzegowych  linii  wał ów.  Zatem  w  tym  przy- padku  macierze wystę pują ce  w  zależ noś ciach  obliczeniowych  mają  w  porównaniu z ukł a- dem  wyjś ciowym  n- krotnie zmniejszone  wymiary.  Jeś li  ponadto macierze  Dffi  są  diago- nalne (4.9)  J?ff >  .-   rdtfh,  d® 2 ,...,  d\ tle J ,  D\ f -   0  (i *« j) i  speł nione  są  warunki (4.10)  d< til2  =  Ą fh,  Ą th  =  Ą th,  ij  -   1, . . . , n,  i* =  - r, to  drgania  podł uż ne, skrę tne i  gię tne  (w obu pł aszczyznach) oraz ich harmoniczne ulegają rozprzę gnię ciu  i mogą  być liczone oddzielnie w oparciu o zależ noś ć: (4.11)  /4"> =   - ( < *&) - M £\   « -   1, . . . .  6. Przy  pominię ciu  inercyjnych  oraz  dysypatywnych  wł asnoś ci  konstrukcji  podpierają cej, współ czynniki podatnoś ci nie zależą  od czę stoś ci i w tym przypadku zależ noś ci  (4.9) -  (4.11) przyjmują  postać: D u   =  rdtni,  - ..,  =   0,  / t=  - r,  - sprowadza  zagadnienie  d o  drgań  belek  dwustronnie utwierdzonych. W  przypadku,  gdy  macierze l) C f 0  nie zawierają  elementów  sprzę gają cych  drgania pod- ł uż ne  i  skrę tne z  drganiami  gię tnymi,  t.j. gdy U  %  %  g^  =  0,  i  +j, (4.14)  dffit  =   2g&. =  Mfi -   ^  -  0= *,/ «=   ł , . . . , »,  a,/ ?  =   2 , 3 , 5 , 6 ,  fi  =   - r,  - r + l , . . . , r - l , r, drgania  te  mogą  być  liczone  oddzielnie,  przy  czym  wzajemnie  sprzę ż one  drgania  gię tne w  obu  pł aszczyznach mogą  być  wyznaczane jak  powyż ej  w p . 2 i  3 przy  pomocy równań macierzowych  o odpowiednio mniejszych  wymiarach  (w zależ noś ci  (4.1) wystą pią  macierze WYMUSZONE  DRG AN IA  G IĘ TNE  WAŁU 4 2 7 stopnia  4w( 2r+ l) ) . Ł atwo  stwierdzić  na podstawie  przykł adu obliczeniowego  i zależ noś ci (2.11), że  w tym przypadku  istnieje  dalsza  moż liwość  zmniejszenia  wym iarów  macierzy, gdyż w ruchomych ukł adach  współ rzę dnych am plitudy harmonicznych parzystych  rzę dów nie są  sprzę ż one z am plitudam i harmonicznych rzę dów nieparzystych. M oż na zatem  (2.11) rozdzielić  n a dwie  zależ noś ci: u ( r2)  _  _J w  których  ozn aczon o: u ( r l >  = u< - r+ 2> U ( r l ) = A IF 1  —  V  >J  > • • • >J  j . (T A  V ,  U < ' 2 > = .A  V t lT _4fl(r- f- l)x4nr A  V 4nrx4n(r+ly - " n _  4rt(r+l)x4«r n = Jeś li  wymuszenia  dział ają ce  n a ukł ad  nie  zawierają   skł adowych  starych i h arm on iczn ych parzystych  rzę dów,  to wystarczy  ograniczyć się  do analizy  drgań  o nieparzystych  rzę dach harmonicznych  (i odwrotnie),  korzystają c  z jednej  z zależ noś ci  (4.15). J a k  u kazan o w p . 3, do  analizy  drgań  przy  wymuszeniach  stał ych oraz  przy  wymuszeniach  zawierają cych  h a r - 428  J.  KOLEN D A moniczne  parzystych  rzę dów  (w ruchomych  ukł adach  współ rzę dnych)  wystarcza  znajo- mość  macierzy  D ( f 0 dla nieparzystych  wartoś ci  p  (i  odwrotnie). N a  wymiary  macierzy  w zależ noś ciach, obliczeniowych  wpł ywa  również liczba  uwzglę d- nianych, harmonicznych r. Liczba  ta zależy  od najwyż szego  rzę du  uwzglę dnianej  harmo- nicznej  wymuszeń,  od  wartoś ci  amplitud  harmonicznych  wymuszeń,  od  intensywnoś ci .tł umienia  w  ukł adzie  oraz  od poż ą danej  dokł adnoś ci  obliczeń.  Jeś li  najwyż sza  uwzglę d- n ian a  harmoniczna wymuszeń  jest  rzę du  k, to wyznaczenie  liczby  r =  r m   wymaga  wyko- nania  obliczeń  drgań  dla  jednego  z  odcinków  linii  wał ów  w oparciu  o zależ noś ci  (2.13) i  (2.16) kolejno  przy t\   = k, r 2   =  k+2, r 3   =  k+4 itd., aż róż nice pomię dzy  wartoś ciami amplitud r m   harmonicznych przy  obliczeniach z liczbą   r = r m  i wartoś ciami  amplitud tych • samych  harmonicznych  przy  obliczeniach  z liczbą   /•   =  / - ra+ 1  (a także  wartoś ci  amplitud harmonicznych  rzę dów  wyż szych od ;• „,)  staną   się  mniejsze  od przyję tych  dopuszczalnych wartoś ci. Odcinek linii wał ów wybrany  do tych obliczeń winien charakteryzować się  moż li- wie  najmniejszym  tł umieniem fal gię tnych  w pę tli:  odcinek — podpora ł oż yskowa — fun- dament — podpora  ł oż yskowa — odcinek  (np. o najmniejszej  odległ oś ci  pomię dzy  pod- porami) lub najwyż szą   wartoś cią   amplitud  dział ają cych  nań  wymuszeń. D la uzyskania należ ytej  dokł adnoś ci obliczeń celowe jest (zwł aszcza przy  dł ugich liniach wał ów) prowadzić  obliczenia  z moż liwie  dużą   liczbą   cyfr  znaczą cych  oraz  wł aś ciwie wy- brać  macierz kolumnową   ajr>,  w funkcji  której  wyraża  się   pozostał e macierze kolumnowe współ czynników  rozwią zań.  W przypadku,  gdy linia  wał ów  skł ada  się  z N   obliczenio- wych  odcinków  o jednakowych  stał ych  materiał owych  i nie wystę pują   masy  dyskretne, macierz  kolumnowa  współ czynników  rozwią zań  dla  jM- tej  skł adowej  drgań  ostatniego odcinka  wał u wyraża  się  w funkcji  macierzy  kolumnowej  współ czynników  rozwią zań  dla pierwszego  odcinka  wał u  zależ noś cią   [1]: (4.16)  < >  p Wielkoś ci f^   mogą   tu reprezentować zarówno  reakcje  ł oż ysk, jak  i skupione  wymuszenia zewnę trzne.  Macierze  B^ l t ,  tworzy  się  z diagonalnych macierzy przejś cia  BtflŁ)j  [2]  przez zsumowanie  dł ugoś ci  kolejnych  odcinków  o numerach od i  do (N —l)  w wykł adnikach funkcji  eksponencjalnych,  wystę pują cych  w tych  macierzach.  Amplituda  jM- tej  składowej drgań  gię tnych  n a  koń cu  ostatniego  odcinka linii  wał ów w pł aszczyź nie utworzonej  przez osie ;%! ', x N 2   lokalnego  ukł adu współ rzę dnych tego  odcinka wynosi  [2]: (4.17)  um  =  4'3exp[ ( ^+ , / ^)y+ a^exp[ + afó exp [(A$ - Jffl)  W+ afó exp[ -  ( przy  czym l N   oznacza dł ugość ostatniego  odcinka  obliczeniowego  linii wał ów.  Z  uwzglę d- nieniem  postaci  macierzy Ą w  i F / w  (okreś lonych zależ noś ciami  (2.23) i (2.24) w pracy [2]) otrzymuje  się  na podstawie  (4.16)  i  (4.17): gdzie L  jest dł ugoś cią  linii  wał ów, a rw  reprezentuje czł ony, w których wykł adniki  funkcji eksponencjalnych  zawierają   sumy  dł ugoś ci  (N —l)  odcinków,  (N —2) odcinków itd. Ozna- cza  to,  że jeś li  górny  kres  bł ę du, z jakim  wyznaczona jest  macierz  dp,  wynosi  df\   to WYMUSZONE  DRGANIA  G IĘ TNE  WAŁ U   429 wówczas  górny  kres  bł ę du,  z  jakim  okreś lane  są  poszczególne  czł ony  zależ n oś ci  (4.18), nie  przekracza  wartoś ci (4.19)  Af  -   <5f  e x p W D , gdzie  X\ l?  jest  wię kszą  liczbą  spoś ród  wartoś ci  m oduł ów (4.20)  X& =  wu{\ Uft+JW l\ ,  \ W - im)' W  ogólnym  przypadku  stał e Xw.  w  zależ noś ci  (4.18)  równ ież  obarczon e  są  bł ę dem, n a ja ki skł adają  się  gł ównie  n iedokł adn oś ci w  ustalan iu  wartoś ci  współ czyn n ików  t ł u m ien ia m a - teriał owego,  m om en tów  bezwł adnoś ci  przekroju  poprzeczn ego  wał u  etc.  Jeś li  górn y  kres bł ę du,  z jakim  okreś lone  są  stał e  Aw ,  wynosi  óf\   t o (4.21)  ń f>  -   d f> M p [ ( Aff> + ^ ) J L ] . Z najomość  5j£°  i  uwzglę dnienie  takiej  spoś ród  wszystkich  wystę pują cych  w  obliczen iach danej  linii  wał ów  wielkoś ci  AJJ0,  której  wartość  jest  m aksym aln a,  um oż liwia  oszacowan ie wartoś ci  <5(/°  zapewniają cej  n ie  przekroczen ie  wartoś ci  A^   uzn an ej  za  dopuszczaln ą.  Z a- leca  się  przy  tym  wyzn aczać  z  warun ków  brzegowych  linii  wał ów  m acierz  ko lu m n o wą współ czynników  rozwią zań  dla  ś rodkowego  odcin ka  lin ii  wał ów  i  w  funkcji  tej  m acierzy wyraż ać  m acierze  kolum n owe  współ czynników  rozwią zań  dla  pozostał ych  o dcin kó w, gdyż  wówczas  wartoś ci  (4.19),  (4.21)  ulegają  zmniejszeniu  w  wyn iku  zastą pien ia  L   przez, L/ 2. Literatura  cytowaną  w  tekś cie ).  KOLSN D A,  Drgania  wymuszone linii  wał ów z  uwzglę dnieniem  asyiMtfli  sztywnoś ci  gię tnej  i podatnoś ci fundamentów.  Metoda identyfikacji podatnoś ci dynamicznej linii wał ów,  M ech. Teor. i  Stos., 4, 16 (1978). 2.  J.  KOLEN D A,  Uś ciś lony  opis drgań wymuszonych  linii wał ów  z  uwzglę dnieniem  asymetrii sztywnoś ci gię t- nej  i podatnoś ci fundamentów,  M ech. Teor. i Stos., 1,17(1979). 3.  S.  KALISKI  (red.), Drgania  i fale  w ciał ach  stał ych, P WN ,  Warszawa 1966. 3? e 3  IO  M e BŁ I H yjKflE H H Ł IE  H 3 r H E H Ł IE  K O JI E E AH I M   AC H M M E T P l M E C K O r O  BAJIA H A  n O J AT J I H B O M   *y H f l A M E H T E PaccMaTpH Baercff  H 3rn6H Bie  Kons6mm.fi  Bpam arom erocjr  Bajia  iip n  nepiiofltwecKH X  B03AtymeH H six. AHansi3iipyeMBiH   acH MMeTpMecKH ił  Ban ycraH OBneH   H a  flBe  no«aTJiH BBie  o n o p t i ,  npncoeflH H eH ffi>ie K  no^aumBOM y  c^yHflaiweirry.  JXjrn  on «caH H a  n o Be^ eH u a  STOH   CH CTCMM  H cnojitayeTCH onpe/ tejieiiH Bie  B  n peflbiflym n x  daTBH x  aBTopa.  ECpeACTaBirneTca  pe3yjn>TaTBi  *IH CJTCH H :BIX a  TaioKe paccM aTpH Baeicn  npo6jieM Bi  peflyKî K(H   K TotiHOCTH  p ac^eT o B. S u m m a r y  .  •   • F ORCED   F LEXU RAL  VIBRATION S  O F   F LEXIBLE  SU P P OR TED   ASYM M E TR I C AL  SH AF T Periodically  excited  flexural  vibrations  of  a rotatin g  shaft  are considered.  The  analysed  asymmetrical shaft  is supported  on  two flexible pedestals  which  are  mounted  o n a flexible foundation.  F o r  the  descrip- tion  of  behaviour  of  this  system  the  relations  determined  in previous  auth or's  papers  are used.  T h e  re- sults  of  numerical  calculations  are given  an d problems  of  a  reduction  and accuracy  of  calculation s are considered. P OLI TE C H N I KA  G D AŃ SKA I N STYTU T  O K R Ę T O WY Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 9  kwietnia  1979  roku 6  M ech .  Teoret.  i  Stoso.  3/ 80  \