Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z3.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

3, 18  (1980)

PRZYBLIŻ ONA  TEORIA  SKRĘ CANIA SWOBODNEGO  ORTOTROPOWYCH   PRĘ TÓW
PRYZMATYCZNYCH

AN D R Z E J  G A W Ę C K I ,  AN D R Z E J  B O R U S Z A K  ( P O Z N AŃ )

1.  Wprowadzenie

Punktem wyjś cia jest teoria anizotropowych, niejednorodnych  pł yt  Reissnera  o zmien-
nej  gruboś ci  [1]3).  Praca niniejsza  jest uogólnieniem  podejś cia  E.  REISSNERA ([2],  [3],  [4]),
który  obmyś loną   przez  siebie teorię  pł yt  grubych  zastosował   do  obliczania  skrę cania  izo-
tropowych,  jednorodnych  prę tów  o  przekroju  prostoką tnym.  Wyniki  uzyskane  przez
E. Reissnera  w pracy  [2] zachę ciły F . ESSENBURGA i P.  M .  N AG H DJEG O  [5] do rozszerzenia
teorii  i  uwzglę dnienia  zginania  i  skrę cania  pł yt  izotropowych  o  zmiennej  gruboś ci.  Oka-
zał o się , że rozwią zania  zagadnienia skrę cania prę tów o przekroju  eliptycznym  i  przekroju
trójką ta  równobocznego uzyskane  na gruncie  teorii pł yt  grubych  pokrywają   się   z rozwią -
zaniami  ś cisł ymi,  a  róż nice  w  wartoś ciach  naprę ż eń  stycznych  dla  przekrojów  trapezo-
wych w porównaniu z teorią   de  Saint- Venanta  nie przekraczają   5%.  Bł ę dy w  wartoś ciach
ką tów  skrę cania  są   okoł o  10 razy  mniejsze  od bł ę dów w  wartoś ciach naprę ż eń.

Rezultaty  powyż sze wskazują ,  że  teoria  Reissnera  zastosowana  do  obliczania  sztyw-
noś ci  skrę tnej  daje — praktycznie  biorą c •— wyniki  ś cisł e.

Zasadniczą   zaletą   omawianej  metody  przybliż onej  jest  moż liwość  uzyskania  wzorów
na  naprę ż enia i  przemieszczenia  w  postaci  zamknię tej  dla  skrę cania  przekrojów  o  jednej
osi  symetrii. Poza tym nakł ad pracy  rachunkowej jest dużo mniejszy  w porównaniu z me-
todami  ś cisł ymi.  Wymienione  wyż ej  zalety  stanowią   o  duż ej  wartoś ci  metody  w  proble-
mach  projektowania  i  optymalizacji  konstrukcji.

W pracy  niniejszej  podję to próbę   dalszego  uogólnienia przybliż onej  metody  obliczania
skrę cania  swobodnego,  na  pryzmatyczne  prę ty  anizotropowe.  Wyniki  liczbowe  dla  prę -
tów  o przekroju  prostoką tnym  i  trójką tnym  porównano z rozwią zaniami  ś cisł ymi.

2.  Sformuł owanie  problemu

Równania podstawowe  teorii ortotropowych, niejednorodnych pł yt Reissnera  o zmien-
nej  gruboś ci  zgodnie  z pracą   [1] mają   postać (rys.  1):

1 )  Teoria Reissnera  uwzglę dnia  wpł yw  sił  poprzecznych na ugię cie pł yty

6*



432 A.  G AWĘ C KI,  A.  BORU SZAK

Rys.  1.

—•  równ an ia  ró wn o wagi:

dM
r
  dM,

dx
•  + •

8y
- fix  =  0 ,

(2,1)
dM

yx
  dM

y

dx_
  +

  dy
  2y  "  '

1

ć bc

—  ró wn an ia  „ przem ieszczen ia  —  sił y  wewn ę trzn e"

]<p
x
  dA

(2.2)

-   o,

8A
dy  8x

d<p
y
  8A

dy  dW
y

=   0 ,

=   0 ,

dw  dA
dx  dQ

x

Sw  dA
=  0 ,

W  ró wn an iac h  (2.1)  i  (2.2)  wprowadzon o  nastę pują ce  ozn aczen ia:
M

x
,  M

y
  —  m o m en t y  zginają ce  n a  jedn ostkę   szerokoś ci  pł yty,

M
xy
  =   M

yx
  —  m o m e n t  skrę cają cy  n a  jedn ostkę   szerokoś ci  pł yty,

Qx>Qy —  sił y  poprzeczn e  n a  jedn ostkę   szerokoś ci,  pł yty,
h  —  grubość  pł yty,  •

P  = l  +  —\ l—Y  + l~)
2
]  -   obcią ż enie  zastę pcze,

Pd>P
a
 —  obcią ż en ia  dolnej  i  górnej  powierzchn i  pł yty,



PRZYBLIŻ ONA  TEOMA  SKRĘ CANIA PRĘ TÓW 433

A  =  A(M
x
,M

y
,M

xy
,  Q

x
,Qy)~  energia  sprę ż ysta  pł yty  odniesiona  do  jednostki  pola

pł aszczyzny  ś rodkowej,
~  q,

y
 — ką ty  obrotu  elementu  normalnego  dopowierzchni  ś rodkowej  odpowiednio
wzglę dem  osi  y  i  osi  x.

w — przemieszczenie  (ugię cie)  pł yty  w  kierunku  osi  z.
D odatnie wartoś ci  sił  wewnę trznych  M

x
,  M

y
,  Q

x
  i  Q

y
  oraz przemieszczeń  q>

x
,  ę

y
  i  w  uwi-

doczniono  na  rys.  1  b),  lc).  Równania  podstawowe  wyprowadzono  przy  zał oż eniu,  że
kierunki  gł ówne ortotropii materiał u pł yty pokrywają   się   z kierunkami  osi  ukł adu współ -
rzę dnych  x,  y,  z.

Rozważ my  problem  czystego  skrę cania  prę ta  pryzmatycznego  przedstawionego  na
rys.  2.  Prę t ten  moż na  traktować  jako  pł ytę  o  zmiennej  gruboś ci  h  = h(x).  Pł aszczyzna

Rys.  2.

ś rodkowa  tej  pł yty pokrywa  się   z  pł aszczyzną  x, y.  Obcią ż enie  pł yty jest  przył oż one tylko
na krawę dziach y  =  ±1.   Wypadkowa  tego  obcią ż enia  równa  się  cał kowitemu momentowi
skrę cają cemu  9JI dział ają cemu  n a  prę t:

(2. 3)

SOI =   J  (r
yx
,  •  z — r

yz
  •   x)dA,

A

f  t
yx
dA  =   0,

f  z
yx
dA  -   0,

Zależ noś ci  (2.3) obowią zują   również  dla  każ dego  przekroju  prostopadł ego do  osi  y.
Pozostał e powierzchnie ograniczają ce  pł ytę  są  wolne od naprę ż eń. Oznacza "to, ż e]5  =   0.

Przyjmiemy  dalej,  że  współ czynniki  sprę ż ystoś ci  materiał u  (moduł y ś cinania)  mogą   być
funkcjami  zależ nymi  jedynie  od  współ rzę dnej  x.  Podstawowym  zał oż eniem  kinematycz-
nym stosowanym  w omawianej  teorii jest hipoteza de Saint- Venanta, wedł ug której kształ t
rzutu przekroju  prę ta na  pł aszczyznę   (x, z)  nie  ulega  zmianie, a  rzut  ten  doznaje  jedynie
obrotu wokół  ś rodka  skrę cania  o współ rzę dnej  x  =   S.



434 A.  G AWĘ C KI,  A.  BORU SZAK

K in em at yc zn e  warun ki  brzegowe  dla y =   ±1   prowadzą   wię c  d o nastę pują cych za-

leż n o ś ci:

w =   ±0- (x- s)- l,

(2.4)  _dw_
dx

gdzie  © jest  jedn ostkowym  ką tem  skrę can ia.
Z  n aprę ż en iowych  warun ków  brzegowych  m am y

(2.5)
dla  y =   ±1,

d la  35 -   &i

M
y
  =   0,

x  =   J a =   M .v, =  Q* =   0.

P rzy  czystym  skrę can iu  swobodn ym  zakł adam y  oczywiś cie,  że  stan  n aprę ż en ia nie
m o że  zależ eć  od  współ rzę dn ej y.  U wzglę dnienie  tego  faktu  w równ an iach równ owagi  (2.1)
przy  speł n ien iu  warun ków  brzegowych  (2.5)  prowadzi  d o stwierdzenia,  że w  cał ym  ob-
szarze  pł yt y  znikają   m o m en t y zginają ce  i  sił a  poprzeczn a Q

x
, t o  znaczy,  ż e:

(2.6) M x'= =   M y m Qx  = 0.

T a k  wię c jedyn ym i  róż nymi  od  zera sił ami wewnę trznymi  są  m om en t skrę cają cy  M
yx
 =

=   M  o raz  sił a  poprzeczn a Q
y
  =  Q. Stosown ie  do  wyników  p rac  [5] i  [1].  wywoł ują   one

n ap rę ż en ia  styczne  r
yx
  i  r

yz
:

(2. 7)
f'vx:  —

6M
h

2  / t / 2'

Z  powyż szych  zależ n oś ci  widać,  że rozkł ad n aprę ż eń  stycznych  r
yx
  n a gruboś ci  pł yty

jest  zawsze  liniowy,  c o stanowi  zasadn icze  ź ródło  bł ę dów  prezen towan ej  teorii  skrę cania.
W  o m awian ym  problem ie  skrę can ia  p rę ta  ortotropowego  wyraż enie  n a  energię   sprę ż ystą
A  u praszcza  się  do post aci

(2. 8)
A =  A(M,Q)^~ J

GM
2  3

G
vx
h

3  +
JOGlh

t  2  QM  dh  |  3 )T  '
gdzie  G

yx
  i G

yz
  oznaczają   odpowiedn io  m oduł y  ś cinania w pł aszczyznach y, x i y, z.

Z  zależ n oś ci  (2.8)  otrzym ujem y:

(2.9)

dA
dM

dA

8Q

-   c
n
M+c

12
Q,

=   c
21

M+c
22

Q,



PRZYBLIŻ ONA  TEORIA  SKRĘ CANIA  PRĘ TÓW 435

przy  czym :

(2.10)

Cli  -
12

5G
v
Ji

3

ldhV
\ dx)'

3  dh

5G
yz
h

Biorąc  pod uwagę  wzory  (2.9) i  (2.10)  równ an ia  podstawowe  (2.1),  (2.2) m odyfikują  się
do  postaci:

{U l)
dx

(2.12)

8<p
x

dx

8cp
x

= 0,

8y
=  0 ,

dw
<P

X
+ - j£-  =   0,

W $
:
fi  dw

= 0-

Przyjmując  funkcję  w(x,y)  w  postaci:

(2.13)  w =  - 0(x~s)y,

speł niamy  kin em atyczn y  warun ek  brzegowy  (2.4) oraz  ró wn an ia  (2.12)4  i  ( 2. 12) x.  Wa r t o
zwrócić  uwagę,  że z  ró wn ań  (2.12)  i  (2.13)  wyn ika  zależ n oś ć:

8q>
x
  8

2
w

(2.14) =   0  = const.
8y  8x 8y

Jeś li  w  równ an iach  (2.12) 3  i  (2.12)5  uwzglę dnimy  obecnie  zależ n oś ci  (2.11),  (2.13)
i  (2.14),  to  otrzym am y  u kł ad  dwóch  równ ań  róż n iczkowych  zwyczajnych  o  dwóch  n ie-
wiadomych  <p

y
  i  M:

3<P.  .  '  dM

(2.15)
dx dx

dM

= 0 ,

=  0.c
y
  — 0(x—s)  — c

21
  M—c

22
-

Róż niczkując  drugie  z  równań  (2.15)  wzglę dem  x  oraz  odejmując  je  od  pierwszego

uzyskamy  równanie  róż niczkowe  zwyczajne  na  funkcję  M(x):

d
2
M  .  dc

22(2.16)
dx

2
dx  dx



436 A.  G AWĘ C KI,  A.  BORUSZAK

Równanie  (2.16) jest  równaniem  podstawowym  przybliż onej  teorii  skrę cania  swobod-
nego  niejednorodnych  ortotropowych  prę tów  pryzmatycznych  o  przekroju  monosyme-
trycznym.

Zgodnie  z  warunkami  brzegowymi  (2.5)2  funkcja  M(x)  musi  speł niać  zależ noś ci:

(2.17)  M(b
t
)  = M(b

2
)  =  0.

Jednostkowy  ką t  skrę cenia  €>,  wystę pują cy  w  równaniu  (2.16),  moż na  wyrazić  przez
cał kowity  moment  skrę cają cy  wykorzystują c  równanie  (2.3)t  oraz  równania  definicyjne

A  A
2   2

sił   wewnę trznych  M  i  Q  (Jtf  =   f  r
yx
zdz

t
  Q  =   /   x

yz
dz):

A  A
h_

As  T

(2.18)
b, h

~ 2

M d x .

Z  równania  (2.12)3  wnioskujemy,  że  <py  =   c?j,(x).  Oznacza  to, że funkcja  deplanacji  &
jest  niezależ na  od  współ rzę dnej  y  i  wynosi:

(2.19)  & = &(x,z) =  z^ ix).

Jak  widać  funkcja  deplanacji  (spaczenia)  w  omawianej  teorii  jest  zawsze  powierzchnią
prostokreś lną.

W  dalszym  cią gu  niniejszej  pracy  podamy  kilka  przykł adów  zastosowań  przedstawio-
nej  teorii  oraz  porównanie  wyników  z  rozwią zaniami  ś cisł ymi.

3.  Skrę canie  jednorodnego  prę ta  o  przekroju  trapezowym

W  przypadku,  gdy  materiał  prę ta jest jednorodny i ortotropowy, a wysokość  przekroju
A jest funkcją   współ rzę dnej  x, równanie  (2.16) moż na zapisać  nastę pują co:

dx
2

dx  dx
gdzie:

(3.2) \ G  =  G
ys
,  g

2
^ < r„

b 2 = l- b2

Rys.  3.



PRZYBLIŻ ONA  TEORIA  SKRĘ CANIA  PRĘ TÓW 437.

Dla h  =  mx, gdzie  m jest stał ą wię kszą  od zera, równanie  (3.1) modyfikuje  się  d o postaci:.

nVi  £
2
M"  ~£M'

gdzie:

x

(3. 4)
-   __ 5mb\

Funkcja  M  (f)  musi  speł niać warunki  graniczne:

(3.5)  M ( ^ )  =  M{\ )  =  0,  h~~i

Rozwią zanie  ogólne  równania  (3.3) jest  nastę pują ce:

(3.6)

gdzie:

Af(f)  jest cał ką szczególną,  a  c2  i  c2  są  stał ymi cał kowania.
Cał kę  szczególną  wyznaczono  metodą  uzmiennienia  stał ych. W  rezultacie  otrzym an o:

(3. 7)
A- y

2 \   y+2

A- y
2

Po  uwzglę dnieniu  warunków  brzegowych  (3.5)  i  wyraż eń  (3.7),  rozwią zanie  równania
(3.3)  ma  postać:

(3. 8)

gdzie:

(3.9)  a  =   -

Sił a  poprzeczna  wynosi:

(3.10)  G<0 =  x- M '(
On

46



4  38 A.  G AWĘ C KI,  A.  BORUSZAK

Wyznaczenie  funkcji  M(C) i  Q(£) pozwala  obliczyć  sztywność  skrę cania, rozkł ad  naprę ż eń
i  funkcję  deplanacji.

Przedstawimy  obecnie szczegół owe obliczenia dla prę ta o przekroju  trójką tnym  (rys. 4).
T T

W  zadaniu  tym  b
x
  =  0  (tj. £ x  =  0) i b2  =   B  (tj. f2  =   1) oraz m =   - j,

Rys.  4.

D la  uproszczenia  pominiemy  przypadek,  gdy  y  =  2, Oznacza  to,  że  w  dalszych  roz-

( H  \t j.  —• -   i=  2) .
oS  I

Wobec  powyż szego  a  =   1, b  =  0,  a  wyraż enia  na  sił y  wewnę trzne  są  nastę pują ce:

(3.1.1)  {i (4- y2)B
Cał kowity  moment  skrę cają cy  wynosi:

i  .

m  = 2BjM(i)di  = 2   '

Skąd

(3.12) 0  = m
Sztywność  skrę cania  D

s
  wystę puje  w  mianowniku  prawej  strony(3.12c.)  Podstawiając

wyraż enie  n a  /? ze  wzoru  (3.4)3  otrzymujemy

(313)  D  -   m  -   5GHB3
y  }

  "  B  6( 2+ y) 2 "
Wzory  (3.11)  po wykorzystaniu  (3.12) moż na zapisać jeszcze  inaczej:

(3.14)

- y

(3.15)

P oziome  naprę ż enia  styczne  stosownie  do wzoru  (2.7)! wynoszą:

h
2  ft/ 2  "  JSIT3  "  2 - 7

1
N a  brzegu  z  =  - z- h{£)  otrzymamy:



(3.16)

PRZYBLIŻ ONA  TEORIA  SKRĘ CANIA  PRĘ TÓW

12(2+   y)  1 + y
~  2 - y  ^

439

Pionowe  n aprę ż en ia  styczne  r
yz
(<tj,  z)  obliczyć  m oż na  ze  wzoru  ( 2. 7) 2 .  N a  brzegu  Z  =

=   - v^(£)  otrzymujemy:

2

(3.17)  z
y:

N a t o m ia st  d la  z  —  0 :

(3.18)  T ,

6(2 +   y)
^2 - y

2 - y
N ap rę ż en ie  Ty<!"W  p u n kc ie  (1, 0)  wyn o si:

(3.19)  Ti  =   T M ( 1 ,  0)  =   — ^ ^ - 3 ( 2 + y ),

n atom iast  w  pun kcie  ( | 3 , 0 )  n aprę ż en ie  Tj,z  =   0,  przy  czym

W  koń cu  n a  brzegu  §  =  1  m a m y:

(3- 21)  r O T ( l , z )  =

Analizując  wzory  (3.16)  i  (3.17)  ł atwo  przekon ać  się,  że

m
2  '

1
Ozn acza  t o , że  n a  brzegu  z  =   - ^ - h{Ę )  wyp a d ko wy  we kt o r  n a p r ę ż eń ~r  =   'iyz+'^ yx  '•

ru n ek  styczn y  d o  k o n t u r u  p r zekr o ju .  M o d u ł   t ego  we kt o r a  wyn o si:

(3- 22)  r  m  ] / ~ ^ T d

kie-

h  = "
i BH2 2 - y

N ajwię ksze  wypadkowe  n aprę ż en ie  styczne  n a  brzegu  z  =   ~= - A(£)  ró wn a  się :



440 A.  G AWĘ C KI,  A.  BORUSZAK

"tinai  **2

gdzie

(3.23)  h-

N ietrudno  stwierdzić,  że  dla  izotropowego  trójką ta  równobocznego  (g  — 1,  m  =
TT  ^

s=  - — aa —y=r)  rozwią zanie  podane  wyż ej  pokrywa  się   z  dobrze  znanym  rozwią zaniem
-o  ]/ 3

ś cisł ym  (por.  np.  [8]  str.  238,  239).
Rezultaty  obliczeń dla wybranych  przypadków  skrę cania prę tów  ortotropowych o prze-

kroju  trójką tnym  oraz  porównanie-  ich  z wynikami  ś cisł ymi  uzyskanymi  na  gruncie teorii
sprę ż ystoś ci  zamieszczono  w  punkcie  6.

4.  Skrę canie  jednorodnego  prę ta  ortotropowego  o  przekroju  prostoką tnym

Zależ ność  (3.1),  podana  w  poprzednim  rozdziale,  przedstawia  ogólne  równanie  skrę -
cania jednorodnego  prę ta  ortotropowego  o  przekroju  monosymetrycznym.  Jeś li  w  rów-
naniu  tym  przyjmiemy,  że h{x)  — H  — const.,  to  otrzymamy  (rys.  6):

(4.1)
d

2
M

dx
2

T~
XI IN

11
XI OJ

Z

1- 1
- —>  _ • —

71

Rys.  6

Wprowadzają c  oznaczenia:

(4.2)

równanie  (4.1)  moż na  zapisać  nastę pują co:

(4.3)  M " - 52 M = -

Warunki  brzegowe  wymagają ,  by:

(4.4)

- G&a?



PRZYBLIŻ ONA  TEORIA  SKRĘ CANIA  PRĘ TÓW  441

Rozwią zanie równania  (4.3) speł niają ce warunki  brzegowe  (4.4) ma postać

( , 5,  '  «»_.*<»(,_**).

Wobec  powyż szego  sił a  poprzeczna  wynosi:

(4.6)  e ( 0  =   Ą M ( | ) = ­ ­ 1 ­ — « _ ­ .

Wychodzą c z równania  (2.18)  obliczymy  sztywność  skrę cania  D
s
:

=   B

ską d

(4.7)

gdzie / s jest  tzw. momentem bezwł adnoś ci na skrę canie:

Dla przypadku izotropii (g  =  1) i gdy 5 >  H, wzór  (4.8) daje  wartoś ci  równie dokł ad-
ne, jak  ogólnie znany wzór  C. Webera,  cytowany  przez W.  NOWACKIEGO [7]:

N aprę ż enia  styczne  obliczone  ze  wzorów  (2.7)  przy  wykorzystaniu  rozwią zań  (4.5)
(4.6)  okreś lają   nastę pują ce  zależ noś ci:

(4.10)

lub  po  uwzglę dnieniu  wzoru  (4.7):

( 4 - n ) m  3

2n | 1 — ^ - t ha



442  A.  G AWĘ C KI,  A.  BORU SZAK

Wartoś ci  ekstrem alnych  naprę ż eń stycznych  r
±
  i r

2
  wynoszą  (rys.  7):

,™  311  —

r,  =  T..I0.  ,  H3
c h a ,

n fl- ^th a)'
(4.12)

9JI  3  }/ W g  t h «
r  - r  (

4 "

N a  podstawie  równań  (2.15)  nietrudno  przekonać  się,  że  ś rodek  skrę cania  (punkt
w  którym  ę

s
  =  0)  wypada  w  ś rodku  cię ż koś ci  przekroju,  tzn.  s  =   0.  F unkcję  deplanacji

obliczymy  n a  podstawie  zależ noś ci  (2.19)  wykorzystując  drugie  z równań  (2.15):

(4.13)  « , - • £ ,)  - z - , , .©  = < ^

P o  wykorzystaniu  zależ noś ci  (4.7)  równanie  (4.13)  moż na  zapisać  nastę pują co:

|- _ _2  s h S |

(4.14)  v(i,z)  =

1- ithS

5.  Rozwią zania  ś cisłe  teorii  sprę ż ystoś ci

5.1.  Sformuł owanie problemu. Podstawowe  równanie róż niczkowe funkcji  naprę ż eń tp(x, z)
przy  skrę caniu  swobodnym  sprę ż ystych,  ortotropowych prę tów pryzmatycznych ma postać:

( 5 - 1 }  " C ^ ^ 5 "  +   ""G , 7"5?"=   ~ 2 0 5

przy  czym  funkcja  naprę ż eń  speł nia nastę pują ce  zależ noś ci:

.„
  dz

  ,  - y, -
  8x

  ,

(5.3)  y)
c
  =  con st,

(5.4)  3Jł  =   2 fj  tpdxdz  =  D
s
@,

gdzie  f
y
  ozn acza  wartoś ci  funkcji  naprę ż eń n a  konturze prę ta.

R ówn an ie  (5.1)  ł atwo  doprowadzimy  do  równania  P oissona  podstawiają c,  że

(5.5)
  Xl

  «  xg,  Zi  =   z.

Otrzym am y  wówczas:

(5.6)



PRZYBLIŻ ONA  TEORIA  SKRĘ CANIA  PRĘ TÓW 443

P roblem  skrę can ia  prę ta  ortotropowego  sprowadza  się   obecn ie  do  rozwią zan ia  skrę -

cania  zastę pczego  p rę ta  izotropowego  o  g- krotn ie  zwię kszon ych  wym iarach  w  kieru n ku

osi  x[lll  [U].
5.2.  Skrę canie prę ta o przekroju  trójką tnym.  W  celu  uproszczen ia  oblicztó  ogran iczym y  się

do  rozwią zan ia  problem u  skrę can ia  prę ta  ortotropowego  o  przekroju  t ró jką ta  ró wn o -
ramiennego,  przy  czym  wym iary  przekroju  dobieram y  tak,  by  w  ukł adzie  osi  x

t
,  z

x
  za-

stę pczy  przekrój  izotropowy  odpowiadał   trójką towi  równ oboczn em u  ( p o r.  17s.  7a  i  7b).

b)

Rys.  7

W  przypadku  trójką ta  równ oboczn ego  funkcję   n aprę ż eń  yi( xx, zx)  bu du je  się   ja ko
iloczyn  równ ań  boków  trójką ta  (por.  [8]). M am y  wię c:

(5.7)  i/ )(x1, z1)  =

Stał ą   A  wyznacza  się   podstawiają c  wyraż enie  (5.7)  do  ró wn an ia  (5.6).
Ostatecznie  uzyskujem y:

(5- 8)
  V

(
X
„

P o  uwzglę dnieniu  tran sform acji  współ rzę dn ych  (5.5)  funkcja  n aprę ż eń  f  w  ukł adzie
osi  x,  z  przyjmuje  p o st a ć :

(5.9) y>(x,z)  =   -

Ł atwo  się   przekon ać,  że  funkcja  y>  n a  ko n t u rze  prę t a,  zgodn ie  z  wa r u n kiem  brzego-
wym  (5.3),  przyjmuje  wartos'6  stał ą   równą   zeru.

Stosownie  d o  zależ noś ci  (5.2)  skł adowe  n aprę ż en ia  styczne  wyn oszą :  ;

dip  G (

(5.10)

T v z  —  —

Jedn ostkowy  ka t  skrę cen ia  obliczon o  n a  podstawie  zależ noś ci  (5.4):

GC
A

D.'
(5.11) gdzie



444  A.  G AWĘ C KI,  A.  BORUSZAK

i  ost at eczn ie  skł adowe  n aprę ż en ia  przyjmą   p o st ać:

(5.12)

Tv*  =   -

5.3.  Skrę cenie  prę ta  o przekroju  prostoką tnym.  Rozwią zanie  zadan ia  brzegowego  dla prę ta
p ro st o ką t n ego  przedstawion ego  n a rys.  6  zbudujemy  za pom ocą   szeregów  F ouriera. Po-
n ieważ  zadan ie  jest  symetryczne  wzglę dem  osi  x

x
. =   x •  g  zarówn o  funkcję   naprę ż eń

<?>(*i. Zi) ja k i prawą   st ron ę   równ an ia  (5.6)  przedstawimy  w postaci  pojedynczego  szeregu
cosin usowego :

(5.13)

(5.14)

2 '
:  =   1,3,5

2
fc  =   1

gdzie  C
k
  ozn aczają   n iewiadom e  współ czynniki  rozwinię cia  funkcji  tp, B

L
  =  B •  g.

P o  wykon an iu  róż n iczkowan ia  i  podstawien iu  zależ noś ci  (5.13)  do lewej  strony  rów-
n an ia  (5.6)  o raz  podstawien iu  zależ noś ci  (5.14)  w miejsce  prawej  stron y  zależ noś ci  (5.6)
dla  poszczególn ych  wartoś ci  k  otrzymujemy  równ an ie  róż niczkowe  zwyczajne  n a nie-
wiadom ą   funkcję   Z

k
(z

L
):

| 2  •  A  * - l

(5.15)
d

2
Z

k

dz\
kn

Z
k
  =   - 2G

VX
&-

knC,
(- 1)"

R o zwią zan ie  tego  równ an ia  jest  n astę pują ce:

(5.16)  ZJz
t
)  = A

k- \

-   P  -   p  k   T IC

gdzie.  A
t
  i  A

 2
  oznaczają   stał e  cał kowan ia.

Z  sym etrii  zadan ia  wyn ika, że A
x
  — 0. Stał a A

2
  zgodnje  z  (5.3)  wyznaczam y  z warun-

Jcu  Z
k
\

Zi  = ±
jj

u
^  = 0.

P o  obliczen iu  stał ej  A
2
  równ an ie  (5.16)  przyjmuje  p o st ać :

ch
(5.17) 1 -

Cli  = r

O stateczn ie p o podstawien iu  do (5.13) i p o uporzą dkowan iu  otrzym am y:

(5.18)

fe-   1,3,5 hnHl

25,

knx
t(



PRZYBLIŻ ONA  TEORIA  SKRĘ CANA  PRĘ TÓW 445

Funkcja  naprę ż eń wyraż ona  przez zmienne x, z przyjmie  postać:

, k%z

1 , 3 . 5

1 -

Naprę ż enia  styczne  wyraż ają   zależ noś ć:

dy>  8G0B

(5.20)

. knH
c h —= -

2gB  .

knz

— = — ) .

v\ iv

1 . 3 , 5 .  knHch — = ^

8 G 0 B

1 , 3 , 5

i  knz
c h | —= -

1 -

Moment skrę cają cy  9W obliczony  z równania  (5.4)  wynosi:

(5.21)  2R =

,  knH
cni  = -

2gB

sli
lknx\

6.  Porównanie  rezultatów  teorii  przybliż onej  z  rozwią zaniami  ś cisł ymi

Porównanie  przeprowadzimy  dla trzech  przypadków:  izotropii,  ortotropii  ,,A" oraz
ortotropii „ B"-   Wartoś ci  moduł ów ś cinania materiał u ortotropowego odpowiadają   drewnu
ś wierkowemu,  dla  którego  wedł ug  E. K.  Aszkenaziego  [9] mamy  (rys. 8):

—  Ortotropia  A  G
yz
  = 4210  kG / cm 2

G
yx
  =  3540  kG / cm 2 < G„,  g  -

—  Ortotropia  B  G„z =  3540  kG / cm
2

G
yx
  -   4210  kG / cm 2 <   G ,ZJ  ^  =

ortotropiaA  ( G y z > G y x l

ort ot ropia  B( G y z < 6j,

P-   ==   1,0905

0,9170

Rys.  8.

7  Mech. Teoret.  i  S toso.  3/ 80



446 A.  G AWĘ C KI,  A.  BORU SZAK

P rzypadki  ortotropii  A i  B róż nią  się jedynie  sposobem  wycię cia  prę ta z  pnia drew-
nianego.

P rzypadek  izotropii  rozważ ano  przyjmują c,  że  moduł   ś cinania  jest  równy  ś redniej

arytmetycznej  moduł ów dla przypadku  ortotropii, tj. G
o
  =  — (G

yz
 + G

yx
) =  3875kG / cm2.

W tablicy  1 przedstawiono  wartoś ci  naprę ż eń x
x
  i T 2 oraz sztywnoś ci  skrę tnej Ds dla prę ta

o  przekroju  trójką ta  równoramiennego  (rys. 7a). W  przypadku  rozwią zywania  takiego
zadania, niezależ nie  od wartoś ci  moduł ów G

yx
  i G

yz
  współ rzę dne £ 3 i  f 4  mają  stał ą war-

2  1
tość  (por. rys. 9). £ 3 =   - «-  i £ 4 =  - ^ .  Rozwią zanie przybliż one jest w tym przypadku roz-

wią zaniem  ś cisł ym. W  tablicy  2-  zestawiono  wartoś ci  sztywnoś ci  skrę tnej  Ds oraz naprę-

ż eń  x
t
  i  T 2 (por.  rys.  10) dla prę ta  o przekroju  prostoką tnym  przy  róż nych  stosunkach

boków  n =   B:H.

Rys.  9

I X 1

Rys.  10

Przedstawione  rezultaty  pozwalają  stwierdzić,  że  sztywnoś ci  na skrę canie  dla prę tów
ortotropowych  obliczone  w  sposób  przybliż ony  wedł ug  teorii  pł yt  Reissnera  są niemal
identyczne z wartoś ciami  uzyskanymi  z metody  ś cisł ej.  Podobne stwierdzenia  dla  prę tów
izotropowych  został y  przedstawione  w  pracy  [5]. W  pewnych  przypadkach  przekroju

Tablica 1

Pręt o

P rzypadek

Ortotropia  A
G

rz
  >  G

rx

Ortotropia  B
Gyz <  GXy

przekroju  trójką tnym.

D s

0,0322  c 4 G 0

0,0456 c*G 0

Wyniki  dla  metody  przybliż onej

arc
- 15, 448  —

c
3

—10,923
c 3

i  ś cisł ej

m
14,497  —

c 3

SR
11,673

c 3

trójką tnego  wyniki  uzyskane  z metody  przybliż onej  są  ś cisł e. Odnosi  się to zarówno  do
sztywnoś ci  jak  i  do skł adowych  naprę ż eń  stycznych.  W przekrojach  prostoką tnych war-
toś ci  naprę ż eń  róż nią  się, a najwię kszą  róż nicę  (do 10%) otrzymuje  się dla  przypadków
gdy  stosunek  boków  prostoką ta  wynosi  1:1.



PRZYBLIŻ ONA  TEORIA  SKRĘ CANIA  PRĘ TÓW 447

Tablica  2

Stos.
dł ug.
bok.

n  =   a.H

1

2

4

8

Przypadek

izotropia

ortotropia  A

ortotropia  B

izotropia

ortotropia  A

ortotropia  B

izotropia

ortotropia  A

ortotropia  B

izotropia

ortotropia  A

ortotropia  B

P rę t <> przekroju

D s:  G 0 H *

rozwią zanie

przybliż one

0,1396

0,1388

0,1384

0,4566

0,4328

0,4760

1,1220

1,0415

1,1989

2,4561

2,2600

2,6472

ś cisłe

0,1406

0,1396

0,1396

0,4580

0,4334

0,4770

1,1240

1,0420

1,1997

2,4546

2,2601

2,6483

prostoką tnym

A
2

rozwią zanie

przybliż one

4,3340

4,3070

4,3580

2,0050

1,9680

2,0320

0,8877

0,8754

0,9008

0,4072

0,4043

0,4104

ś cisłe

4,8080

4,5970

4,7777

2,0320

1,9639

2,0293

0,8865

0,8625

0,8895

0,3979

0,3979

0,4050

A
3

rozwią zanie

przybliż one

5,2020

5,3250

5,0960

1,7250

1,8160

1,6440

0,7043

0,7563

0,6570

0,3219

0,3486

0,2975

ś cisłe

4,8080

4,9331

4,6633

1,6133

1,7010

1,5390

0,6596

0,7093

0,6162

0,3027

0,3270

0,2791

7.  Uwagi  koń cowe

N a  podstawie  przeprowadzonych przykł adowych obliczeń moż na stwierdzić, że przed-
stawiony  w pracy przybliż ony  sposób  wyznaczania sztywnoś ci,  naprę ż eń i  deplanacji prze-
krojów  w  ortotropowych  prę tach  skrę canych  jest  szczególnie  przydatny  do  obliczania
sztywnoś ci  skrę tnej  dla  dowolnych  przekrojów,  o jednej  osi  symetrii.  Przybliż ony  sposób
stosować  moż na również  do  obliczania  naprę ż eń, przy  czym  należy  się   liczyć  z bł ę dami,
które  dla  przekrojów  kwadratowych  wynoszą   niemal  10%.

Ocenę   bł ę dów  dla  przypadków  gdy  nieznane jest  rozwią zanie  ś cisłe uzyskać  moż na,
przy rozwią zywaniu  zagadnienia na drodze teoretycznej, w  zasadzie tylko n a  gruncie teorii
oś rodków  z  wię zami  [10].

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  A.  G AWĘ CKI,  Statyka  podł uż nie  niejednorodnej pł yty  Reissnera o  zmiennej  gruboś ci, Rozprawy  I nż y-
nierskie,  20,  4,  555 -  576,  (1972).

2.  E.  REISSN ER, On the theory of bending of elastic plates, Journal of M athematics an d Physics, 23, 184  -  191,
(1944).



448  A.  G AWĘ C KI,  A.  EORU SZAK

3.  E .  REISSN ER,  T he effect  of  transverse  shear  deformation on  the  bending of  elastic plates,  Journal  of
Applied  M echanics,  12,  A69  -  A77,  (1945).

4.  E .  REISSN ER, On  bending of elastic plates, Quarterly  of Applied  M athematics, 5, 55 -  68, (1947).
5.  F .  ESSEN BU RG , P . M.  N AG H ALI ,  On  elastic plates  of  variable  thichkness, Proceedings  of  3- rd  U . S.  Nat

C on gr.  Appl.  M ech.,  313- 319,  (1958).
6.  Z .  KĄ C Z KOWSKI,  Pł yty.  Obliczania statyczne,  Arkady  1968.
7.  W.  N OWAC KI ,  Mechanika  budowli. P WN   (1974).
8.  S.  TIM OSH EN KO, J. N .  G OOD IER,  T eoria sprę ż ystoś ci,  Arkady  (1962).
9.  E . K.  AszKENAzr,  Anizotropia  maszinostroitjelnych materiał ów.  Izdatielstwo  Maszinostrojenije.  Le-

n in grad  (1969).
10.  C.  WOŻ N I AK,  Elastic bodies with constraints imposed on  deformations, stresses and momenta, Bull. Acad.

P olon ,  Sci.  Sci.  techn.,  XII  (1974).
11.  W.  S.  SARKISJAN ,  N iekotoryje  zadaczi  teorii  uprugósti anizotropnogo tiela.  Izdatelstwo  Erevvanskogo

U niwersiteta.  Erewan —  (1970)
12.  S. O.  LEC H N IC KU ,  T eoria  uprugósti  anizotropnogo  tiela. G osizdat  techniko —  teoreticzeskoj  literatury,

1957.

P  e 3  IO  M  e

nPHEOTDKEHHAfl  TEOP IM  CBOEOflHOrO KPY^EHMH
nPH 3MATH - qECKHX  CTEPJJKHEfl

B  p a Q o ie  npeflcraBJieH O  npH6jin>KSHHWH   MeTOfl  BbrracjieH H H   HanpH>KeHHii  B
3MaTH iecKH X3  aHK30TporiHBBC  CTepHOTHX.  MeTOfl  HBjiHeTCH   o6o6meH Keiw  TeopHH   3 .  PaiiccH epa

aH H 3OTponH Bix,  H eoflH opofftiŁis  nnacruH OK  u  nepeMeHHOśł   TOJH U (H H OH .
T lonyHeHbie  npnSjiH >KeH H Łre  p em em iH   H M C M T 3aMKHyroft  BHP,. HpeppraBazuhi  npmviepBi  u  cpaBHe-

HHe  n o n yqeH L ix  pe3yju>TaTOB  c  pe3yni.TaTaMH   BBMHCjieHbuvua  T O ^H BI M  iweioflOM.
IIpeflJio>KeH biH   MeToa  MOJKCCT  6 M T Ł  acnóJiB3OBaH   n p n  BBî mcjieHHH;  opTOTpomiBix  CTepH<Heft

c  npon3BojibH Biivi  n on epeiiH biM   c eiem ieM   u  ai<cnaji&HOH

S u m m a r y

AN   AP P R OXI M ATE  SOLU TION   OF   TORSION   O F   AN ISOTROPIC  P RISM ATIC BARS »

An  application  of  Reissner's  plate  theory  to  torsion  problem  of  monosymmetric  anisotropic  bars
is  presented.  The  solution  obtained  by  means  of  the  method  has  a  simple  exact  form.  The  torsion  of
th e  rectangular  and  triangular  cross- section  bars  are  discussed.  A  good  agreement  (esspecially  in  case of
displacements)" with  exact  solution  of  th e theory  of  elasticity  is  shown.  The  approximate  method presented
here  is  useful  in  design  an d  optimization  problems1.

POLITECH N IKA  POZNAŃ SKA

Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  31  stycznia  1979  roku