Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z3.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZN A
I  STOSOWAN A

3,  18  (1980)

ANALIZA  PŁYTY  K O Ł O WE J  G RU BEJ  O OR TOTR OP I I  CYLIN D RYCZN EJ  SP OC Z YWAJĄ C EJ
NA  SPRĘ Ż YSTYM   POD ŁOŻU

WACŁAW  Z W O L I Ń S KI  (Ł ÓD Ź )

1.  Zał oż enia  podstawowe

Obliczanie  koł owej  pł yty  grubej  izotropowej  spoczywają cej  n a  sprę ż ystym  podł ożu
przedstawił  w pracy  [1] D .  F R E D E R I C K  W  oparciu  o t eorię   E. R eissn era.  W wielu  kon st ru k-
cjach  pł yty  tego  typu  wykon an e  są  z  m ateriał u o  wł asn oś ciach  ortotropowych .  P ł yta  per-
forowana  otworam i  tworzą cymi  siatkę   trójką tną   m oże  być przykł adem  pł yty  o  o rt o t ro -
pii  konstrukcyjnej  [2].

Przyję to  do obliczeń  n astę pują ce  stał e  m ateriał owe  p ł yt y:  .<

E
x
,  G

x
, v

x — m oduł y  sprę ż ystoś ci  i  liczbę   P oisson a  w pł aszczyź nie  pł yty.
E", C z,  vl  — m oduł y  sprę ż ystoś ci  i  liczbę   P oisson a  w  kierun ku  prost opadł ym  d o  pł asz-

czyzny  pł yty.

P on adto  za ł o ż o n o:

a)  m ateriał   pł yty  podlega  uogóln ion em u  prawu  H o o ke'a,
b)  grubość  elem en tu  m ierzon a  wzdł uż  n orm aln ej  do  powierzchn i  ś rodkowej  n ie  ulega

zmianie  podczas  odkształ cen ia  pł yty [3],

Rys. 1.



450  W.  ZWOLIŃ SKI

c)  n aprę ż en ia styczne  r
rz
  i  T t e  (lub  odpowiadają ce  im  odkształ cenia yr„  i  y^ z)  zmieniają

się   wzdł uż gruboś ci  pł yty wedł ug  okreś lonej  funkcji  [1, 3, 4, 5].
N a  rysun ku  1 przedstawiono  przyję ty  walcowy  ukł ad  osi  współ rzę dnych  oraz  obcią -

ż enie  elementu pł yty.  Ciś nienia p
t
,  p

2
  dział ają   na powierzchnię   pł yty, zaś p  =   kw oznacza

oddział ywanie  podł oża sprę ż ystego  (k —  stał a  sprę ż ystego  podł oż a, w —  ugię cie  ś rodko-
wej  powierzchni  pł yty). Z ał oż ono,  że  obcią ż enie  pł yty jest  symetryczne  i  wywoł uje  syme-
tryczne  odkształ cenia  i  przemieszczenia  u,  w,  (v  =  0)  poszczególnych  elementów  płyty.
T ak  wię c  przemieszczenia,  odkształ cenia  i  naprę ż enia  bę dą   funkcjami  współ rzę dnych:
r,  z  (rys.  1) [4].

2.  Odkształ cenia  i  naprę ż enia

N aprę ż enie  styczne  x
rz
  wystę pują ce  w  rozpatrywanej  pł ycie  okreś lono  na  podstawie

prac  [1, 3, 4,  5]  w  postaci:

(2. 1 )

gdzie:

h —  grubość  pł yty
<p —  nieznana  funkcja  współ rzę dnej  , , r"

Odkształ cenia  na  podstawie  prawa  H ooke'a  [1, 5, 6]  mają   postać:

1  vz

(2.2)  eP  =  —  (ar - v
x
a

&
)  ~- ^ o

z
,

(2.3) e J L j L

P o wstawieniu  wyraż eń  (2.4) do odpowiednich równań geometrycznej  hipotezy W. Wła-
sowa dotyczą cej  ogólnej  teorii powł ok  [7] (jak podano w  pracy  [3]), przemieszczenie n(r, z)
dowolnego  pun ktu  pł yty  jest  okreś lone  funkcją :

(2- 5)  u(r,z)  =   « ( r ) - z -_

gdzie:

u(r)  =   u — przemieszczenie  punktów  ś rodkowej  powierzchni  pł yty
Odkształ cenia  dowolnego  elementu pł yty wyraż one  w  przemieszczeniach  moż na przed-

stawić  w  postaci  [3].

(2.8)  r  _



AN ALIZ A  PŁYTY  KOŁOWEJ  GRUBEJ  451

N aprę ż enia  wyraż one  odpowiednio  w  funkcji  przemieszczeń,  po  wykorzystaniu  za-
leż noś ci  (2.2)  (2.8),  okreś lone  są   wyraż eniami:

E
x
  \ du

  x
u  _  ld*w  y*  dw\   zh2

(2.9)

dr
2  +

~F~~

4 z 2  \ ldq>
  x

q>\ \   v
z
  E

x

du  u  I  , d2w  I  dw\  zh2
+   Z K  +   +

dw\

—  - ±-  +dr  r  \   dr2  r  dr  I  &GZ

(2.10)  " 1 1 - 3 ^ 1 ^  +  ^ 1  +   ^

?x - Pa  - few)

1  3 z /   4 z 2

(2.11)  (T2 =   - ^  ( p x  + p 2 +  /CW) +  y  —  | l

(2.12)

3.  Sił y  przekrojowe

Siły i momenty przekrojowe  dział ają ce w pł ycie  (rys.  1) wyraż one w  funkcji  przemiesz-
czeń po  uwzglę dnieniu  wyraż eń  (2.9)- ł-  (2.12) przyjmują   postać  [3]:

(3.,,  ,, =  7• *  - T^r^f)- ^^^*- '-

E
x
h  I ,du  u\   v

x
h  E(3.2)  JV9=   J y z . . ^ ^ U -   +   _ ^ _ ^ ( p . + p . +  fcw),

l- (y*)
a
  \

  dr  r
l  2( 1- **)  E*

~2

h

(3.3)  Q
r
 -   J  r „ d z -

~  2



452  •   W .  Z WO L I Ń S KI

A

2

/   .  E*hz  \
  x
d

2
w  1  dw  h2

(3.5)  M
o
=  J  (TflzJz  =   -   . - „   _ A - ,2 1  y  - zr+  — - ir- ^ Kń T [v  r

E
x

4 .  R ówn an ia  równ owagi

Równania  równowagi  elementu  rozpatrywanej  pł yty  (rys.  1)  w  tym  przypadku  mają
. postać  [7]:

(4.1)  _i_ (riVr)- jVa.  =  O,  •

(4- 2)  ~  (rQ
r
) +  r  fo  - p2  -  few) -   0,

(4.3)  - | _( r M r ) - Ma - ra  =  0

Wstawiają c  do  tych  równań  sił y  i  momenty  okreś lone  zależ noś ciami  (3.1)4- (3.5)  otrzy-
m am y:

,.  .,  d2u  1  du  u  dw
K

'
}
  dx

2  +
  x  dx  ~  x

2  "  V  dx  '

(4- 5)  • •  - ±

gdzie:

^  ~  ';  ^  P 5 " " 1  P  ~  Dx

(4 7)  c-   l\   6k  vZ(PVz  EX]   3k  f  1

2  [S^/ iG 1  10(1 - yx)  Ez  J  5yS2/i  [ G 1

Tak  wię c  otrzymano  ukł ad  trzech  równań  róż niczkowych  (4.4) - r (4.6)  w  którym  niewia-
domymi  są   funkcje,  u,  w,  <j>.



AN ALIZ A  PŁYTY  KOŁOWEJ  G RU BEJ  453;

5.  Rozwią zanie  równań  róż niczkowych  równowagi  pł yty

W  celu  rozwią zan ia  równ an ia  róż niczkowego  (4.6)  wp ro wad zo n o  p a r a m e t r  a  [ 1, 8]
okreś lony  równ oś cią:

(5.1)  •   C  =  - c o s 2a  =   - y ( e2 ' a  +  e - 2 f a ) .

Ponieważ p aram et r  a  zależy  bezpoś redn io  od  stał ej  C,  kt ó ra  m oże przyjm ować  ró ż ne  wa r -
toś ci, zatem  należy  zbadać  pierwiastki  równ an ia  otrzym an ego  z  (5.1):

(5.2)  r 2 + 2 a + l  =   0,

gdzie:

t  =   e 2 / K .  .

Pierwiastki  tego  równ an ia  wynoszą :

(5.3)  .  « i , a -   - C ± l / C
2 - 1

i  iloczyn  tych  pierwiastków  równ y  jest  jedn oś ci  (t
t
  •   t

2
  =   1).  T ak  wię c  dla  wyzn aczen ia

wartoś ci  param etru  a  otrzym ujem y  równ an ia:  ,

(5.4)  e a f c f - f i;  e2ta»  =   * 2 =   — ,
h

z których  wynikają   zależ noś ci  (przy  uwzglę dnieniu  tylko  gł ówn ych  wartoś ci  argu m en t u

(- OT  <  argt
t
  <  31)

2ia
t
  -

P o  podzieleniu  powyż szych  równ ań  przez  /   o t rzym am y:

2ai
( 5 > 5 )  2 a 2 =   -

Aby  nie  ogran iczać  rozwią zan ia  równ an ia  róż n iczkowego  (4.6)  zał oż on o,  że  wystę pu-
ją ca  w  n im  stał a  C  m oże  przyjm ować  dowoln e  wartoś ci  rzeczywiste.  W  zwią zku  z  tym
wyróż niono  trzy  przedział y wartoś ci  i  dwa  przypadki  n a  gran icy  przedział ów,  kt ó r e  m oże
przyjmować  stał a  C.

a.  P rzedział   I :  —1  <  C  <  + 1 . P ierwiastki  (5.3)  przyjmują   w  tym  p rzyp ad ku  war-
toś ci  zespolone.  Ł atwo  zauważ yć  [9],  że  t

x
  \  —  1  i  l n ] ^ |  =   0,  a  wię c  z  wyraż en ia  (5.5)

otrzymamy:

2<xŁ  =   + a r gfi  =   a r c c o sC —n ,

2 a 2  =   — axgtx  =   -   ( arccos C- - 31).

Jak  widać  param etry  a
x
  i  «

2
  przyjmują   wartoś ci  rzeczywiste  o przeciwn ych  zn a ka c h .  Z a-

tem  param etr  a  wystę pują cy  w  równ an iu  (5.1)  w  p rzyp ad ku  (—1  <  C  <  1)  m o że  być
okreś lony  zależ n oś cią:

te  n\   ?t  _.  /   „
i 5 ' ' )  a  CB —-  - a r c c o s C;  10  <  ot <  -



454  W.  ZWOLIŃ SKI

W  celu  rozwią zania  równania  róż niczkowego  (4.6) wprowadzimy  zmienną :

i  otrzym am y  równ an ie:

Rozwią zaniem  tego  równania  jest  funkcja:

(5.10)  y  =   ^ ~r~-   +  C{J
0
(x

gdzie:
J

0
(xe

ia
)  — funkcja  Bessela  (funkcja  walcowa  pierwszego  rodzaju)  rzę du  zerowego

H^ (xe'
a
)  — funkcja  H ankela  (funkcją   walcową   trzeciego  rodzaju)  rzę du  zerowego.

Wstawiają c  wyraż enie  (5.10)  d o  równania  (5.8)  otrzymamy:

C ał ka  ogólna  tego  równania jest  również  cał ką   ogólną   równania  (4.6) i m a  ona postać:

k  '  2  3 0  4 0

gdzie:  (
Ci  — Cj. —  stał e  cał kowania  zespolone

Aby  wyrazić  funkcję   ugię cia  w  postaci  rzeczywistej,  funkcje  walcowe  rozł oż ono na
czę ś ci  rzeczywiste  i  urojone  w  postaci  [8]:

J
0
(xe

±ia
)  =   Ber(xe''a) +  iBei(xe'a),

*™)  =   H er( xe' a ) ± iH ei( xe / a ) .

Wykorzystują c  zależ ność  (5.13)  i  przekształ cają c  odpowiednio  stał e  cał kowania zespolone
C{~  CĄ  moż emy  przekształ cić funkcje  ugię cia  (5.12), do  postaci  nie  zawierają cej  elemen-
tów  urojonych.  W  ten  sposób  otrzymamy:

(5.14)  w  =   P l  , Pz  + CiBer(xeiK) +  c 2Bei( xe
i a) +  c 3H er(xe

ic t) +  c- 4H ei(xe'
a)

/   /
gdzie:

Ci  +  Q  —  stał e  cał kowania  rzeczywiste
Z  rozwią zania  równania róż niczkowego  (4.5) po wykorzystaniu  funkcji  (5.14) otrzymamy:

<p  =   —

+  C [H er'( e' a) co s2a+ H ei'( xe i a) sin 2«] +

B
+   C 4 [ - H e r ' ( xe ) '

a si n 2 a + H e i ' ( xe ' a ) c o s2 a ] + —



AN ALIZA  PŁYTY  KOŁOWEJ  G RUBEJ  455

gdzie:
B —  stał a  cał kowania

rgj-   [Ber(xe'<*)]  =   Ber'(xe"9;  —  [Bei(xe<«)]  =   Bei'(xs'«)

4~  [H er(xe'»)]  -   H er(xe'«);  —  [H ei(xe'a)]  =   H ei'(xe'«)
ctx  uje

Wstawiają c  pochodną   wzglę dem  x  funkcji  ugię cia  (5.14)  do  równania  róż n iczkowego
(4.4) ł atwo  otrzymamy  cał kę  ogólną   tego  równania  w postaci :

u  =  —r]  lc 1[Ber'( ; ce'
a ) co s2a+ Bei'( xe i a ) sin 2a] +

+  C
2
  [ - Ber '( xe( a ) sin 2a  +  Bei(xe'a)cos2a]  +

(5.16)
+   C 3[H er

l(xe''a)cos2a +  H ei'(;x;e'a)sin2a] +

+   C 4 [ -   H er'( xe
fa) sin 2a  +  H ei'(xefa)cos 2a] +  A

x
  x  - \—~\ ,

gdzie:
A

x
,  A

2
  —  stał e  cał kowania.

b.  Przedział   I I :  C  >  1.  Pierwiastki  t
ua

  (5.3)  są   liczbami  rzeczywistymi  ujemnymi,
zatem  a r g^  =   n  i  z  równ ań  (5,5)  otrzymamy:

(5.17)
2 a 2  =   - [ j r-

ponieważ  \ t^ \  —  —t
x

Wyznaczone  tu  param etry  «
1
  i  a 2  są   zespolonymi  liczbami  przeciwnymi.

W  dalszych  obliczeniach  uwzglę dnimy  nastę pują cą   zależ n oś ć:
i i  L i

xe ' a i  =   x e 2  - e2  n y '  =   iy
y
x,

(5.18)  _ ^  _ ± i n  x
xe'"2  — xe~   2  •   e  2  n y '  =   —i  ,

n
gdzie:

N astę pnie  pamię tają c,  że  istnieją   mię dzy  funkcjami  walcowymi  zależ noś ci  [10]:

(5.19)

gdzie:
h(?i.x)  —  zmodyfikowana  funkcja  Bessela  rzę du  zerowego

^ oiYix)  —  zmodyfikowai^a  funkcja  M ac  D ó n ald a  rzę du  zerowego



456  W.  ZWOLIŃ SKI

zatem  dla  rozpatrywanego  tu  przypadku  funkcja  ugię cia  „ w"  (5.14)  bę dą ca  cał ką  ogólną

równ an ia  róż niczkowego  (4.6),  po  odpowiednim  doborze  stał ych  cał kowania,  przyjmie

p o st ać :

(5.20)  w  = ^ ^

F un kcja  <p,  bę dą ca  cał ką   równania  róż niczkowego  (4.5)  ma  postać:

(5.21)  cp  -

P o  rozwią zaniu  równania  róż niczkowego  (4.4)  w  tym  przypadku  otrzymano:

u -  - 2- [c^Cy, x) + C
2
y\ h (—)  - CMy.x)-

(5  22)  7 l  *•   ^   '

+  ~~2   +  ~ ^ ~ '

c.  P rzedział   I I I :  C  <  — 1.  Pierwiastki  flia  (5.3)  w  tym  przypadku  są   liczbami  rze-
czywistymi  dodatn im i, zatem  arg?i  =   0 i  z równania  (5.5)  otrzymamy:

i
(5.23)  , _

2a 2  =   i\ n(- C- \ 'c
2
- !).  ,  '

Otrzymane  wię c  parametry  a 2 ,  a 2  są   liczbami  zespolonymi  przeciwnymi.  W  dalszych
obliczeniach  uwzglę dnimy  nastę pują cą   zależ noś ć:

(5- 24)
xe'«»

gdzie:

W  rozpatrywanym  tu  przedziale wartoś ci  stał ej  C, rozwią zaniem  równania róż niczko-
wego  (4.6)  bę dzie  funkcja:

(5.25)  w
  1 0

(
Y 2

)
2 0

lc
  \ Yi

gdzie:

Joiyi*),  Y
0
(y

2
x)  — funkcja  Bessela  rzę du  zerowego.

F unkcję   <p  otrzym an o tu  z  równania róż niczkowego  (4.5) w postaci:

(5- 26)  9  =

Z  rozwią zania  równ an ia  róż niczkowego  (4.4)  dla  tego  przypadku,  otrzymano  funkcje
przemieszczeń  „u"  w  postaci:

(5.27)  Y

. )- —L- ±   Y-



AN ALIZ A  PŁYTY  KOŁOWEJ  G RUBEJ  457

N ależy  tu  jeszcze  przedstawić  rozwią zania  równ an ia  róż niczkowego  (4.6)  dla  dwóch
szczególnych  wartoś ci  C;  t . j.  Ć  =   1,  i  C  =   — 1.

d.  P rzypadek:  C  =   1.  Ł atwo  moż na  sprawdzić,  przez  bezpoś rednie  podstawien ie  do
równania  róż niczkowego  (4.6), że  rozwią zaniem  ogólnym  tego  równ an ia jest  fun kcja:

(5.28)  w  =   Pt~ Pl  +C
1
I

0
(x)  + C

2
xI

l
(x)  + C

3
K

0
(x)  +  CixK

1
(x).

Z rozwią zań  zaś  równań róż niczkowych  (4.5) i  (4.4) w  tym  przypadku  otrzym am y:

\ CJ(x)  + C[xI(x)2I(x)]CK()C4K()  + 2K())  +(5.29)  <p  =   j ^ \ J
i

( )  [
0

( )
L

( ) ]
3 0

( ) 4
0

( )
  1

( ) )

u  = Ą c
i
I

1
(x)  + C

2
[xI

o
(x)- 2I

L
(x)]- C

3
K

i
(x)- C

4
[xK

o
(x)+2K

l
(x)]  +

A
lx
  A

2

e.  P rzypadek:  C  =  — 1.  D la  tego  przypadku  rozwią zaniem  ogólnym  równ an ia  róż-
niczkowego  (4.6)  jest  funkcja:

(5.31)  w  =   ^ ^

N astę pnie  z  rozwią zania  równania  róż niczkowego  (4.5)  i  (4.4)  odpowiedn io  otrzy-
mamy:  .

(5.32)  <p  =  - j ^ r j C ah  (x)  -   C
2
  [xJ

0
(x)  - 2J

t
(x)]  +   C 3  7%(x) - C 4 •

u  =

(5- 33)

6.  Stale  cał kowania

D la  wyznaczenia  stanu  naprę ż eń i  odkształ ceń  obcią ż onej  pł yty  należy  okreś lić  stał e
cał kowania  z  warunków  zamocowania  brzegu  wewnę trznego  i  zewnę trznego.  .

D la  pł yty  peł nej  (bez  otworu  w  ś rodku)  stał a  cał kowania  C
3
  =  C

A
  — A

2
  =   B  =  0,

ponieważ  dla  x  ==  /S r  =   0  funkcja  „ w"  (5.14), „c>" (5.15)  i  „ w"  (5.16)  mogą   tylko  w  tym
przypadku przyjmować  wartoś ci  skoń czone. N atom iast stał e cał kowania C x ,  C2,  Ax  m oż na
wyznaczyć  z  warunków  obcią ż enia  brzegu  zewnę trznego,  wię c:

(6- l)  M r ( x = / f a )  =   M a;  iVr(x= / 3<1)  =   N a;  Qr(x=^ a)  ==   Qa
gdzie:

a — prom ień  zewnę trzny  pł yty.  *



458  W.  ZWOLIŃ SKI

W  techn iczn ych  zagadnieniach  najczę ś ciej  stał a  C(5.1)  przyjmuje  wartość  mniejszą  od
jed n o ś ci.  Z atem  wstawiając  funkcję  „ w"  (5.14),  „<p" (5.15)  i  „ w"  (5.16)  odpowiednio  do
wyraż en ia  (3.1),  (3.2)  i  (3.4)  p o  uwzglę dnieniu  warunków  brzegowych  otrzymamy  rów-
n a n ia  d la  okreś lenia  stał ych cał kowania  C

x
,  C

2
,  A

x
  w  postaci:

— ~  =   C 1|- Ber( / Sae''
a) co s2a- Bei( / 9aefa) sin 2a  +

op- new-  L\   o/c  /

Ber(pW°9sin 2< x - B e i( p flef g ) c o s2 o t -   y  7 •

F   , «  .v  .  /   582hGz  \   .,,„   .  J l
•   Ber  ( p ae' a ) sm 2a—  co s2# - |—L - -i  Bei  (pae'

a)  >,
\   6k  I  JJ

— =   C 1[Ber'(^ae
fa)cos2a+ Bei'(/ 5ae'I I)sin2oc] +

(6.3)  +C
2
[  - B er (/ 3ae/a) sin 2a +  Bei'(/ ?ae'a) cos 2a ]+

• @Y-   =   -   C i [Ber'(/ 9ae'a) c o s2a+ Bei'( ^ ae fa ) sin 2a]+

+  C 2[Ber'(i9ae
(a)sin2o(;+ Bei'(/ Sae(a)cos2o£].

D alej  m oż na  traktować  stał e cał kowania jako  wielkoś ci  znane. Przemieszczenia  punk-
tów  leż ą cych  n a brzegu  powierzchni  ś rodkowej  pł yty oraz kąt  obrotu elementów  liniowych
m ierzon ych  wzdł uż  gruboś ci  pł yty, w  otoczeniu  ś rodkowej  powierzchni  pł yty  (dla  x  =  §a
i  z  =   0)  w  tym  przypadku  w  oparciu  o  zależ noś ci  (5.14),  (2,6)  m oż na  przedstawić  w po-
staci :

(6.5)  ,  wa  =   £ Ł - g£ Ł + Ct Ber^ae'"*) +   C2

u
a
  =   - r/ {C1[Ber'(/ ?ae'«)cos2a  +  Bei'(i3ae''

a)sin2a]+
(6.6)

+  C
2
  [ -   Ber '(/ 3ae/ a) sin2a+ Bei'(/ Sfle'a) cos  2a]+ fiaA

t
},

3  ̂ f  r/
®a  —  —n m  ™  i ^ i  c o s2a -

(6.7)

+  C 2  Ber'(/ Sae'"
a)sin2a  +   I

gdzie:

du  \ ~,z

dz



AN ALIZ A  PŁYTY  KOŁOWEJ  G RUBEJ  459

D la  weryfikacji  podanych  zależ noś ci  przeprowadzono  obliczenia  dla  pł yty  wykonanej
z materiał u o  ortotropii  cylindrycznej  takiej  jak  dla  pł yt  perforowanych  w  zależ noś ci  od
współ czynnika  perforacji  okreś lonego  w  pracy  T.  SŁOTA  [2]. N astę pn ie zał oż ono, że  wł as-
noś ci materiał u w  kierunku  prostopadł ym do powierzchni  pł yty  są   takie  same jak  w  pł asz-
czyź nie  pł yty  przy  danym  współ czynniku  perforacji  (materiał   izotropowy).  Otrzym an o
mniejsze  naprę ż enia  dla  pł yty  ortotropowej  w  porównaniu  z  naprę ż eniami  dla  takiej  sa-
mej  pł yty  izotropowej

a)  dla  współ czynnika  perforacji  0,2  naprę ż enia  otrzymano  mniejsze  o  17%
b)  dla  współ czynnika  perforacji  0,4  naprę ż enia  otrzymano  mniejsze  o  10%
c)  dla  współ czynnika  perforacji  0,6  naprę ż enia  otrzymano  mniejsze  o  3%
Podane  zestawienie  ś wiadczy  o  celowoś ci  przeprowadzonej  analizy  i  prawidł owoś ci

przyję tych  zał oż eń.

D odatek

Zastosowana  w  pracy  postać  niektórych  funkcji  walcowych  nie jest  na  ogół   podawan a
w  takiej  formie  w  ogólnie  dostę pnej  literaturze.  Zatem  dla  uł atwienia  przeprowadzen ia
obliczeń  podano  niż ej  postać  tych  funkcji  (wystę pują cych  pod  nazwą   funkcji  D in n ika)
oraz  podstawowe  ich  zależ noś ci:

(1)  J
n
(xe

±la
)  =  Ber„(xe'«)± JBein(xe<"),

(2)  H^ (xQ± ia)  =   H erB(:>ce
te)± ł H ei«(xe'«)

(3)  - Berofre'*)  -   B e r ^ )  •   Jj

k= a

H ero(xe'«)  =   H er( xe
la)  =   n -

( 5 )  00  k

2  V  ( - l) V*sin 2fc«
n  ZJ  22k(k\ ) 2  ZJ  m

fc= l  N  m = lm = l

H eio(xe'
a)  -   H ei(xe'"a)  =  —- H n - |-  +   cJBer( xe' a )

(6)
2  Vi  (- l)Ł x2ł [cos2fca  \TT  1

(7)  Ber^xe'"")  =   cos a

2
2k

(k\ )
2
  ZJ  m

k=l
  v  J

  m- l



460  W.  ZWOLIŃ SKI

0 0

. . . .  .  V<   (- - l)*:e2ft + 1cos2fca  Vi  (~l)kx2k+1sin2kx
(8)  Be

h
 (xc'«) =  sin a ^   +  °°S a  2

2"- "fc l( fc + l)l

l -  —  ( Be r ^ xe ™) - —lln ^
n  j  n \   2

co  r  k+l  k

2  /   x  \   I  2a\
xc'

a
)  =  —  l n ^ r - +C  Ber 1( xe'

0 l) +   1  }Bei1(xe
la) +

n  \   2  I  \   n  I

1  /  2cosc(  xcostx\

1  V'(- l)'[^2fc+ 1cos(2fc+ l)a:  [ y  1  V—1
~!̂ 2J~  ^25S+ T/ c!(fc+ l)!  \ 2j~in +  2j~m\

gd zie:  k = 0, 1, 2, 3  ...
m  =  1, 2 . . .
C  = 0, 57721566 —s t a ł a  E ulera

(11)  —j— [Ber(xe ™)] =  — cos a Be r 1( xe
f a ) +  sin a Bei1( xe'

a ) ,

(12)  - j—[Bei(xe'a)]  =   — sin tfBer^xe'11)— c o sa Be i Ł ( xe '
a ) ,  ,

d
2
  . . . , .

]

(13)  •   - j—j-  [Ber(xe")] =   —cos2aBer( xe'a) +  sin 2aBei(xe"I ) +

+ —  [cos a Ber 1( xe'
a ) -   sin a Beii ( xe i a ) ] ,

J  ,   x

d
z

(14)  - 7-y [Bei(xe'a)] =   -   sin 2« Ber( xeI a) -   cos 2a Bei(xe'a) +

+  —-  [sin a Ber i (xe'a) +  co s a Beii  ( xe' a) ].

N ależy  zwrócić  uwagę ,  że dla x  =  0  m am y:

Ber( xe' a )  =  1;  Bei(xe'a)  =  0;  Ber^xe'01)  =   0;

Bei1( xe
t e)  =   0

, .  •   [ l  _  ,  ,„ .1  c o sa  ,.  [ 1 „   .  ,  . .1  sin a
h m  —  Ber L ( xe'

a )  =  — T - ;  h m —  Beli (xe'
a)  =   —- ^ -~

a  fun kcje  H er(jce'a),  H ei( xe' a ) ,  H er 1( xe'
o c ) ,  H e r ^ xe ' ") w tym  przypadku  przyjmują   wartoś ci

n ieo kreś lo n e.



AN ALIZA  PŁYTY  KOŁOWEJ  GRUBEJ  461

Aby  obliczyć  poch odn e  funkcji  H er(xe'H )  i  H ei( ^ e / a )  należy  we  wzorach  (ll)- r- (14)

zastą pić  odpowiedn io  funkcję   Ber(xe'a)  funkcją   H er( > e i a ) ,  a  funkcję   Be\ (xeia)  funkcją

P ozostał e  funkcje  walcowe  są   n a  ogół   zn an e  i  wystę pują   w  ogólnie  dostę pn ej  litera-

turze.

Literatura  cytowana  yt  tekś cie

1,  D .  FREDERICK, On some problems in  bending  of  thick  circular plates  on an  eloastic fondation.  Journ al
of  Applied  M echanics.  June  1956.

2.  T.  SLOT, Ortotropic analysis ofthick  perforated plate with pressure on one side.  I n :  Second  I n tern ation al
Conference  on  Structural  M echanics  in  Reaktor  Technology.  Berlin  10- 14.09.1973  vol.  F 6/ 8.

3.  S. A.  AMBARCUMJAN. D . W.  PIESTMALAŻ JAN,  K tieorii ortotropnych obolocek iplastinok.  Izwiestia  A. N .
Arm.  SSR  (Fiz- mat, nauk)  T —X I I  N r  1  1959  r.

4.  S. A.  AMBARCUMJAN,  K  tieorii izgiba  anizotropnych plastinok,  Izwiestija  AN  —  SSSR OTN   N r 5  1958.
5.  S.  TIMOSZENKO, S. WOIN OWSKU  —  KRIEG IRE, T eoria pł yt  i powł ok.  Wyd.  AR KAD Y  1962  r.
6.  Sprawocznik  Procnost—Ustojciwost — Koliebanija,  Tom  1 I zd.  M asinostroienie,  M oskwa  1968  r.
7.  W. Z.  WŁASOW, Obsć aja  tieoń a  obolocek  Izd.  Tiechn —  Tieoriet  liter.  Moskwa  —  Leningrad  1949  r.
8.  W.  U RBAN OWSKI,  N iektóre  przypadki  zginania  pł yt  okrą gł ych  poł ą czonych  z  podł oż em  sprę ż ystym

o  wł asnoś ciach  uogólnionych.  Zeszyty  N aukowe  Politechniki  Warszawskiej,  M echanika  N r .  3  War-
szawa  1956

9.  A. J.  MARKU SIEWICZ,  T ieoria  analiticzeskich funkcji,  G ostiechizdat, M oskwa  — Leningrad  1950
10, J .  M.  RYZYK,  J. S.  G RADSZTEJM. :  T ablice  cał ek, sum,  szeregów i  iloczynów Wyd.  P WN   Warszawa

1964  r.

P  e  3  M   M e

TOJIC TAH  K P yrJI Afl  LJH JIH H .rCPiraECKH H  O P T O T P O n H Afl  I U I H T A

HA ynpyroM   OCH OBAH H H
B  ciaTBe  npeflcraBiieH O  aH am n OTecKoe  p e m e im e  fljia  n ep t bo p u p o Bam io ft  TOJICTOH   K pyruoK  I I J I H T M

jie>«ameii  n a yn pyro M   OC H OBSH U H   H  H arpyweH H oii  naBjieH H eiw.  ,Dtwpc$>epeHiwajii.Hbie  yp a B H e n n a  p a Biio -
peineH O  fljist  o Sm e r o  c jiyq a a .  I I ojiytieH H we  (|)VH KIJ,H H   n epeM em eH n ft  cpefln eS  n o Bep xH o crH
flaiOT  B03M O>KCH OCTB  onpeflejieH H H   CH JIJ  MOMeHTOB H  H an pawceH trii  B  nioflOM   e e  cenemm.  T la-

H H TerpH poBaanfl  onpefleJieH o  pjw  ujannH Api- wecitK  opTOTporrHofi  miH Tbi  H arpyjKceH H Oft
H   MOMeHTOM   Ha KOHType.  B J I H   o Sjiern eH H i  npHMeHeHHii T eo p n u  n epeiiiicjieH bi  CBOHCTBa

S u m m a r y

A  TH I C K  ORTH OTROP IC  CIRCU LAR  PLATE  ON   AN   ELASTIC  F U N D AT I O N

In  the  paper  the analytical  solution  for  a  thick  orthotropic circular  plate on an elastic fundation  sub-
jected  to  pressure  load  is  presented. A  general  solution  of  a  differential  equation  of  a  plate  has  been  car-
ried  out.  D isplacement functions  of mid  surface  elements have been obtained permitting t o describe  internal
forces,  moments  and  stresses.  I n  the  case  of  the plate  loaded  by  edge  forces  and  moments  th e  integral
constants  were  defined.

To  facilitate  the applications we have  listed  in Appendix  the properties 'of  cylindrical  functions.

Ł ÓD Ż

'  Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  12  stycznia  1979  roku

8  M ech .  T eoret . i  Stoso. 3/ 80