Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z3.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZN A
I  STOSOWAN A

3,  18 (1980)

ROZWIĄ ZAN IE  U P R OSZ C Z ON YC H  RÓWN AŃ   STRU M IEN IA  SWOBOD N EG O  M E TOD Ą
ELEMENTÓW  SKOŃ CZONYCH

KRYSTYNA  T U S T A N O W S K A  —  K A M R O W S K A  (POZNAŃ)

1.  Wprowadzenie

W  pracy  przedstawiono  metodę   rozwią zywania  uproszczonych  równań  strumienia
swobodnego  opisują cych  wypływ  czynnika z rury  prostej  metoda elementów skoń czonych.
Obliczenia  przeprowadzono  dla  obszare  w  odległ oś ci  4~-  8 z/ d  od  wylotu  rury.  D o roz-
wią zywania  otrzymanego  z  dyskretyzacji  metody  elementów  skoń czonych  ukł adu  LN
równań  algebraicznych  nieliniowych  opracowano  zmodyfikowaną   metodę   iteracyjną .
Otrzymane za  pomocą   tej  metody wyniki  porównano z  doś wiadczalnymi.

Waż niejsze  oznaczenia:
Q  obszar,
G  brzeg  obszaru,

x, r, z  współ rzę dne,
u, v  funkcje  niewiadome,

R  równanie,
L   droga  mieszania,
E  element  skoń czony,
A  pole  trójką ta,
H  funkcja  kształ tu,
K  macierz  współ czynników,

2.  Postawienie  problemu  i  dyskretyzacja

Rozważ my  swobodny  wypł yw  czynnika  z  rury  prostej  (rys.  1),  opisany  w  obszarze
osiowosymetrycznym  Q,  uproszczonym  równaniem  ruchu  strumienia  swobodnego

(la)  JL(ru> )  +   JL(ntv  ̂ - J- (rL),

oraz  równaniem  cią gł oś ci  przepł ywu

gdzie funkcje  niewiadome  u(r, z) iv(r
3
  z) oznaczają   odpowiednio  prę dkoś ci  osiową   i pro-

s'



464 K.  TUSTANOWSKA- KAMROWSKA

mieniową   czynnika,  oraz n a brzegu  G obszaru  Q speł niają   warunek brzegowy I- go  rodzaju

(2)  u(r, z)  =  u
0
,  v(r, z)  =  v

0
,  (r, z) e  G,

zaś  L   =   L (r, - r-1  oznacza drogę   mieszania  czynnika  [1].

Rys.  1,

Ponieważ  celem  naszym  jest  rozwią zanie  problemu  numerycznie,  wię c  musimy  go
sprowadzić  do  postaci  dyskretnej.  Uczynimy  to  za  pomocą   metody  elementów  skoń czo-
nych  (M ES).

Dyskretyzacja  obszaru:  N ie  bę dziemy  rozpatrywać  cał ego  obszaru  okreś lonoś ci  funkcji
u  i  v  z  (1), lecz  pewien jego fragment  (w dalszym  cią gu  oznaczony jako  Q), którego  wy-
miary  podane są   na rysunku  2, gdzie jednostką  jest promień rury.

W  obszarze  Q  ustalamy  L W R, w naszym  przypadku  L W R  =   41, dowolnie  wybranych
punktów  (wę zł y).  Jako  elementy  skoń czone  przyjmujemy  trójką ty,  które  numerujemy
od  1 do  L ER  =   59., D la  każ dego  z  L ER  trójką tów  wypiszemy,  zachowują c  kierunek le-
woskrę tny,  odpowiadają ce  mu  wę zły  (L W E),  stanowią ce jego  wierzchoł ki  (tablica  W E).
Kolejność  numerowania  wę zł ów  obszaru  i  elementów  oraz  ustalenie  numeru pierwszego
wę zła dla  każ dego  elementu w tablicy  W E, zależą   od sposobu  uł oż enia programu.

Zbiór  wszystkich  utworzonych  wyż ej  trójką tów,  który  oznaczymy  przez  Q,  stanowi
model  dyskretny  obszaru  Q  (rys.  2).

Dyskretyzacja  funkcji:  Zbudowaliś my  model dyskretny  Q obszaru  Q  okreś lonoś ci  funkcji
u(r, z)  i  v(r,  z). Przystę pujemy  teraz do  budowy  funkcji  u(r, z) i  v(r,  z), dla  których ob-
szarem  okreś lonoś ci  bę dzie  Q.  Ponieważ, w naszym  przypadku,  dyskretyzacja  tak  funkcji
u(r, z) jak  i  v(r,  z) bę dzie  przebiegał a  analogicznie,  wię c w  celu  ograniczenia liczby  wzo-
rów  (podwójne)  przeprowadzimy  ją   tylko  dla funkcji  u(r, z).



ROZWIĄ ZAN IE  RÓWNAŃ   STRUMIENIA  SWOBODNEGO 465

W  wybranych  L W R  wę zł ach  obszaru  Q, wartoś ci  funkcji  u(r, z)  oznaczymy  przez  Uł ,
i  =   1,  ..., L  W R.  Rozpatrzmy teraz  dowolny  element skoń czony.  Bę dziemy  uważ ali  go  za
obszar  okreś lonoś ci  pewnej  funkcji  lokalnej,  oznaczonej  przez  wt< 0(r, z),  tego  typu  co

1.0 1,5

Rys.  2,

2.0 2,5 3,0

u(r, z).  F unkcję   lokalną   aproksymuje  się   n a  odpowiadają cym  jej  elemencie  funkcjami
cią gł ymi,  postaci
(3)  '  u™(r,  z)  =  Hi°\ r,  z)«ie> +   ...  +H'

L
%

E
(r,  z)u^

E
,

gd zie  H < 0 )  są   wa r t o ś c i a mi  fu n kcji  «< c ) ( r ,  z)  w  wę z ł a ch  e le m e n t u ,  za ś  fu n kc je  H^ (r,  z),n  =

=   1,  ...,L W E,  d la  e le m e n t u  t r ó jk ą t n e go  m a ją   p o st a ć  [2,  9]

(4)  Htf>(r,  z)  -   (a
n
+b„+c„z)j2A,  n  =   ij,  k.

Stał e  a, b, c  zależą   tylko  od  współ rzę dnych  wę zł ów  eł ementu  [9],  A  jest  polem  trójką ta
E

e
,  zaś  i,j,  k  oznaczają   kolejne  numery jego  wierzchoł ków.  W  tym  przypadku  funkcja

M(e)(/ - , z), zgodnie z  (3) i  (4), w  każ dym  elemencie E
e
,  bę dzie  nastę pują ca

(5)
1

a
t

b,
a j

bj

C]

a
k

b
k

Ck_

rU
1
'

W
U

k

Ostateczny model dyskretny  funkcji  u(r, z) w  obszarze  Q  otrzymamy  p o  zastosowan iu
typowego  dla  MES  zbierania  po  elementach  [2, 4, 9]

L ER  L ER

(6)  w(r,  z)  s  u(r, z)  =
e=l e=l



466  K.  TUSTAN OWSKA- KAMROWSKA

gdzie  H(r,  z)  oznacza  globalną  aproksymację £unkcji  u(r,  z)  w  Q,  a  {U}  jest  wektorem
wartoś ci  tej  funkcji  w  L W R  wę zł ach  obszaru  Q.

Dyskretyzacja  równań.  N iech, zgodnie  z  (5)

(7)  '«<• >(/- , z)  -   [H°]{U}e,  oW( r, z)  -   [Ha]{Ve}

' bę dzie  aproksymacją  dla  u  i  v  w  typowym  elemencie  trójką tnym  E
e
.  Ponieważ  (7) jest

tylko  przybliż eniem  funkcji  u(r,  z)  i  v(r,  z)  w  każ dym  elemencie skoń czonym, więc bł ę dy

( 8 )  o'  a
Ri'Kr, z) =  JL( r«W) +  - ^- (roW) =   0,

n ie  bę dą  toż samoś ci  owo  równe  zeru.  Moż emy je  zminimalizować  w  każ dym  elemencie
metodą  G alerkina  [2, 4, 8,  9], dla  której funkcje  wagowe są  równe Hie\   oraz

(9)  /   Hw(r,  z)Ri°\ r,  z)dE
e
  =   0 ,  i  =  1,2.

D la  naszych  równań  warunek  (9), po  uwzglę dnieniu  (8), przyjmie  postać

J
H< e> [ - A  ( ru( e ))  +  -  ̂(ro< e>)l i £ e  =   0 .

W  tym  miejscu  zazwyczaj  w  celu  obniż enia rzę du  równania, lub  wydzielenia  z równa-
n ia  tych jego  czę ś ci,  które  dział ają  tylko  na  brzegu  obszaru  (umoż liwia  t o  wprowadzenie
warun ków  brzegowych  II- go  i  III- go  rodzaju,  o  ile  takie  są  dane),  stosujemy  do  niego
wzór  G reen a  [2, 3].

W  naszym  przypadku  wzór  ten  zastosujemy  do  pierwszego  z  równań  (10).  W  tym
celu  musimy  je  przekształ cić do  odpowiedniej  postaci.  Wtedy,  zapisując  ukł ad  (10)  już
dla  cał ego  elementu  B

e
,  mamy

/   [H
z
]

T
r[H]{U}[H]{U}  + [H

r
]

T
r[H]{U}[H]{V}  +

+  [H
r
]

T
rL [H

r
]{U}[H

r
]{U}drdz  =

=   /   [H]Tr(u2cosg+luv+L iŁ u\2\   sing\   dS  =   0,

/   {[HYraH
z
}{U}- V{H

r
]{V})+[Hf[H]{V})drdz  =   0,

gdzie  H
r
  — dH/ dr,  H

s
  ~  dH/ dz,  G

e
  jest  brzegiem  elementu  E

e
,  zas  g  ką tem  normalnej

zewnę trznej  do  brzegu  trójką ta.
N ie  uż yliś my  w  (11) symbolu  (e), aby  nie zaciemniać zapisu.  N ależy jednak pamię tać,

że  wszystkie wystę pują ce  tam wielkoś ci  odnoszą  się  do elementu  E
e
.



ROZWIĄ ZAN IE  RÓWNAŃ   STRUMIENIA  SWOBODNEGO 467

C ał ka  po G
e
,  wystę pują ca  w  (11), jest  równ a  zeru  n a wszystkich,  brzegach  wewn ę t rz-

nych  obszaru  Q  [8], n at o m iast n a  brzegach  elem entów  pokrywają cych  się  z G, n ie  bę d zie-
my z niej  korzystać,  gdyż  m am y  dan y  warun ek  I- go  rodzaju.

Jeż eli  teraz  d o  r, z i L  zastosujemy  aproksym ację   tego  sam ego  t ypu  co  d la  fun kcji  n ie-
wiadomych,  okreś loną   wzoram i  (7), to wykorzystują c  wzór  [9]

r  a ' / 3' v!
/ ^9\   FT ?HP.Hy drd?  =  1A

bę dziemy  mogli  z ł atwoś cią   policzyć  cał ki  wystę pują ce  w  (11). 1  t ak

J  [H]T[H]drdz  =  4 "
2  1 1
1  2  1
1  1  2

A
T2 [B],

f  [H]{r}[H]{U}[H]drdz  = A  {U}

(13) J  [H]{r}[H]drdz  =  A

(622)  (221)  (212)
(221)  (262)  (122)
(212)  (122)  ( 226) ;

2 1 1 1  A
1  2  l

\ =l2
1 1 2

60

gdzie  (pqś )  ~ pri + qrj+sr
k
.  Oznaczają c

1

(14)

~  2 J [ C ] '

(15)

otrzymamy z  (11)  u kł ad  sześ ciu  równ ań  algebraicznych,  dla  każ dego  z L ER trójką tów  E
e
.

[c]
T
{U}

T
[A]{U}+[b]

T
{U}

T
[A]{V}+ib]

T
  {r}

T
[B]{L }lb]{U}[b]{U}  = 0,

[B]{r}icl{U}  + 2A[B]{V}+.[B]{r}[b]{V}  -   0,

który  zapisany  bardziej  przejrzyś cie  jest  postaci

c
t
 [A]uu + b

t
 [A~\ uv + b

  t
[k]nu

Mf\ u,v)  =
c

k
 [A] uu + b

k
 [A] uv + b

k
 [k] uu

~  [k3]{U}+[k4]{V},

M  =   [bF{ry{B]{L }[b],

= 0 ,

gdzie

(17)

M{
e
)  i  M^   są  m odelam i  dyskretn ym i  równ ań  (1) w  elem encie  E

o
,  a  zapis  sym boliczn y

[A]uv  należy  rozum ieć  ja ko  {U}T[A]{U},  oraz  wszystkie  wielkoś ci  wystę pują ce  w (16)

odnoszą   się  do E
E
.  M odel  globaln y  równ ań  ( ł )  otrzym am y  p o zł oż en iu  r ó wn a ń  (16)  d la

cał ego  obszaru  Q. P owstan ie w t en sposób  L W R  ró wn ań  typu

(18a)  [Kl]  UU+  [K2]  UV=0,



468 K .  TUSTANOWSKA- KAMROWSKA

oraz  L W R  równań  liniowych

(18b)  [K3]{U} + [K4]{V] = 0.

N iech  teraz  L N  =  L W R- L W D  bę dzie  ogólną  liczbą  wę zł ów  obszaru  Q, w  których
poszukujemy  wartoś ci  funkcji  u{r, z) i  v(r, z). L W D oznacza liczbę  tych wę zł ów  obszaru
Q, w których znamy wartoś ci  funkcji  u i v  (warunki  (2)).

Oczywiś cie,  liczba  punktów  brzegowych,  dla których znamy wartoś ci  funkcji  nie musi
być  taka  sama  dla w i  w. W  naszym  przypadku  przyjmiemy  jednak, .że one są  równe,  co
nie  zawę ża  dalszych  rozważ ań.

Po  wprowadzeniu  warunków  (2) do ukł adu  (18), otrzymamy 2 xL N  równań

[Kl)UU+[K2]UV=-   0,

=  {F}

Teraz  U =   [U1, ...,  UL N,  I ],  a  macierze  [£1] i  [# 2] są  rozmiaru  (L N +1) x (L N +1).
Wykorzystując  fakt,  że macierz  [K4] jest  nieosobliwa  ((17)), moż emy z  drugiej  czę ś ci

ukł adu  (19) wyznaczyć  wektor  {V}

(20)

czytaj  IER,LW?,LWD,  V.'E,WW,u0  ,V0,UgJ

LN=I- WR- LW.D

obiicz  macierze  K3  i  K4  dia równania
liniowego (19 b)

wprowadź  warunki  brzegowe  i  umieść
je  w  kolumnie  LN+1 macierzy K3

obiicz 3
o blicz  l<4 -  Kt  Kj'  ]

t= 1

oblicz  macierze  Ki  i  K2  dla  równania
nieliniowego  w  wę ź le  i  (19a)

T
wprowadź  warunki  brzegowe

oblicz

zapamię taj  macierz  wspótazynników
K  dia

Rys.  3  Schemat  blokowy.



ROZWIĄ ZAN IE  RÓWNAŃ   STRUMIENIA  SWOBODNEGO  469

a  wstawiają c  go  do  czę ś ci  pierwszej  ukł adu  (19),  otrzym am y  L N   równ ań  n ielin iowych ,
każ de  postaci

(21)  [K\ VU  =   0,

o  niewiadomych  U',  i  =   1,  ...,  L N .
Oczywiś cie  m acierz  [K] m oż na  zawsze  przedstawić  ja k o  m acierz  sym etryczną .
Schemat  blokowy  pro gram u  realizują cego  opisaną   dyskretyzację ,  kt ó rego  wyn ikiem

jest  ukł ad  równ ań  (21),  p o kazan o  n a  rysun ku  3.  Czas  jego  realizacji  n a  m c  O d r a  1204
wynosi,  dla  n aszego  zadan ia,  224  s.

3.  Rozwią zanie

U kł ad  równ ań  (21)  p ró bo wan o  rozwią zać  wielom a  m etodam i  ( N ewt o n a- R ap h so na
(N R)  [5],  gradien tów  sprzę ż onych  (G W)  [4],  linearyzacji  Steffensena  (ST)  [6],  iteracji
prostej  (IT)  [4],  i  in n e).  K aż da  z  tych  m etod  wym aga  jed n a k  dosyć  dobrej  zn ajom oś ci
przybliż onych  wartoś ci  rozwią zan ia,  co  nie  zawsze jest  ł atwe,  a  w  wię kszoś ci  przypadkó w
wrę cz  niemoż liwe.  P odję to  wię c  pró bę   opracowan ia  takiej  m etody  (lub  zm o d yfiko wan ia
jednej  ze  zn an ych .m etod),  kt ó r a  n ie  zależ ał aby  od  p u n kt u  startowego.

P onieważ  ukł ad  (21)  m oż na  z  ł atwoś cią   zapisać  w  postaci

(22)  a"UnU"  + 2b"Un+c"  =   0 ,  n  m  1,  ...,L N ,

gdzie

L N  + l

'  •)  L N +1  L N +  '•

wię c  niewiadom ą   U"  m o ż na  pro st o  wyznaczyć  z  n- tego  równ an ia

(24)  U" -   ~b"±Vby
r
^ L .

Pozostaje  tylko  problem ,  który  ze  zn aków  ( +   czy  —)  przyją ć  d la  każ dej  z  n iewiad o -
mych  U. Okazuje  się ,  że  zn ak  ten n ie jest  stał y w  każ dej  iteracji,  lecz  m oże  ulegać  zm ian ie.
Jego  d o bó r  m oż na  ustalić  autom atyczn ie  w  program ie,  p o  wprowadzen iu  pewn ych  wa-
runków  dodatkowych .

Bodaj  najważ niejszym  z  n ich jest  zał oż enie o zbież n oś ci  m etody.  O zn acza  t o ,  że  m ają c
dla  każ dej  z  n iewiadom ych,  w  każ dej  iteracji  p o  dwa  pierwiastki,  dobieram y  t en  z  n ic h ,
dla  którego  róż n ica  z  rozwią zan iem  dotychczasowym  jest  mniejsza.

W  ten  sposób  otrzym an e  wyniki  porówn an o  z  doś wiadczaln ym i.  Wyn ik  p o ka za n o  n a
rysunku  4  i  5,  gdzie  pu n kt y  oznaczają   wartoś ci  obliczon e.  R ysun ki  6 - 10  przedstawiają
zachowanie  się   rozwią zan ia  n aszego  zadan ia  w  dwudziestu  pierwszych  iteracjach  (it).
P unktem wyjś ciowym  był  p u n kt zerowy,  tzn . n a począ tku  wszystkie  U  ' =   0, i  • »  1». . . ,  L N .



470 K.  TUSTANOWSKA- KAMROWSKA

Rys.  4.

Rys.  5.

Rysunek  6  przedstawia  ś rednią   kwadratową   wartość  z  funkcji  ukł adu  (2\ ). Jeż eli  nasze
równanie  zapiszemy  w  postaci

f
t
(U)  =  0,  i=l,,..,L N ,

t o
T N



0,02

0,01

0,005 ­

RSSUz*(ZM)
0 22  k­0,18

Rys.  6.

0,6

0,4

0,2

­ 0 , 2

!

50

30

20

10

RSSUz2(ZM)
0 22  k=0,18

i  2 0  ii 20  u
Rys.7.

RSSUz2(NR!
o22,u=0,18

W19

w9

W1

<.w9

•  iw19

20  0

Rys.  8.



472 K.  TUSTANOWSKA- KAMROWSKA

0 . 6 -

0 . 4 -

0 . 2 -

RSSU
0 2 2 ,  l>

-

*  *

z 2 ( 6 w l
= 0,18

1

9

I
4

I

1

W1

w9  ~

w19

20

Rys.  9.  .

0.6

0,4

0,2

0

RSSUz2iZM )
0 22,  k=0,1B

.  •   *
•   •

•

•

•

•

•

•   •   •   •

•   •   •   #   '  *

•   •   *

i

•   •   •   •
W1

.  •   •   *
w 9  '

•   •   •   •
W19

!
7 n

• w1  _

>w9  "

-

>w19

Rys.  10.

N a  rysunku  7  pokazano  odpowiednio  bł ą d  ś redni

LN

kolejnych  przybliż eń  pierwiastków.  N atomiast rysunki  8, 9, 10  przedstawiają   zachowanie
się   trzech  dowolnie  wybrartych  pierwiastków  ukł adu  (21)  dla  trzech  metod  (N R, GW,
Z M ).

4.  Podsumowanie

Przedstawiona  wyż ej,  na  przykł adzie,  metoda  rozwią zywania  równań  róż niczkowych,
może być  wykorzystana  również  w wię kszoś ci  nieliniowych  problemów  pola.

Wybór  kształ tu elementu oraz funkcji  aproksymują cej  jest dowolny  i zależy  od potrzeb
i  wykonawcy.  Konkretna jego  postać jest  waż na  dopiero  po  przystą pieniu  do całkowa-
nia  równań  (11).



ROZWIĄ ZAN IE  RÓWNAŃ   STRUMIENIA  SWOBODNEGO  473

Kształ t  ukł adu  (21)  zależy  tylko  od  ch arakteru  równ ań  wyjś ciowych  (1),  a  ś ciś le  od

stopnia  wystę pują cych  w  n ich  funkcji  niewiadomych..

Wprowadzenie  waru n ków  brzegowych  Il- go  i  I I I - go  rodzaju  równ ież  n ie  n ast rę cza

formalnie  wię kszych  problem ów.  Bardziej  pracoch ł on n e  bę dzie  jedyn ie  wtedy  uł oż en ie

programu.

Z m odyfikowan a  m et oda  iteracyjna  (Z M )  m oże  sł uż yć  d o  rozwią zywan ia  n ie  t ylko

równań  kwadratowych,  lecz  ogólnie  d o  równ ań  typu  wielom ian owego.  N ajefektywn iej

jednak m oż na  ją   wykorzystać  w  celu ustalan ia  przybliż en ia  począ tkowego,  n a  tyle  d o kł ad -

nego,  aby  m oż na  był o  stosować  in n e  szybsze  m etody  rozwią zywania  ró wn ań  n ielin io-

wych,  n p.  m etodę   N ewton a- R aph son a.

Literatura  cytowana w tekś cie

1. L.  BOG USŁAWSKI,  C Z . O.  P OP IEL,  E.  D U BAN IEWICZ,  K.  TU STAN OWSKA,  Konwekcyjna  wymiana  ciepł a
i  masy  W przepł ywach  turbulentnych,  Opracowanie  wewnę trzne,  P ozn ań 1977.

2. J.  DESCOLOUX, Metoda elementów skoń czonych, M ir, M oskwa 1976.
3.  G.  M .  F ICH TEN H OLZ, Rachunek  róż niczkowy i cał kowy. P WN ,  Warszawa 1975.
4.  J. T.  OD EŃ , Koniecznyje elementy w nieliniejnoj mechanikie spiesznych sred, M ir, M oskwa 1976.
5. J. M .  ORTEOA,  W. G .  RH U MBOLAT,  Iteracjonnyje metody  rieszienia nieliniejnych sistem  urawnienij  so

mnogimi nieizwiestnymi, M oskwa 1975.
6. W.  PAN KIEWICZ,  Utocznienie  rieszienij sistiem  nieliniejnych  algiebraiczieskich i  transeiendientnych  uraw-

nienij  pbobszcziennym  metodom Steffensena, Algorytmy  i  Algoritmiczeskije Jazyki, 4/ 1969.
7. K.  TUSTANOWSKA,  M . CIAŁKOWSKI,  R. PIĄ TKOWSKI,  Metoda elementów skoń czonych dla liniowych prob-

lemów  pola,  I  Wydział owa Sesja  N aukowa,  Poznań  1977.
8.  B.  WOSIEWICZ, Model mieszany metody elementów skoń czonych  dla filtracji  ustalonej,  Archiwum H ydro-

techniki, 2/ 1975.
9.  O. C.  ZIEN KIEWICZ,  Metoda elementów skoń czonych,  Arkady, Warszawa 1972.

P  e 3  K)  jvs  e

PEUIEHHE  ynPOIH EH H LIX  yPABH EH H H   OC EC H M M ETP H ^H Oń
CBOBO^HOK  CTPYH   METOflOM   KOH E^H fclX  3JIEM EH TOB

B  craTbn  H pe^craBjieH O  MCTOA  peuieH H H  yn p o m eH H t rx  ypaBH eH uii  C BOSOAH OH   cT p yn  K3o6pa3aiomH X
noTOKa  c  npHMoft  T py6bi  MHeTOfloiw  KoiieH H bix  an eM em oB  ( M K 3 ) .  H ciH cn eH K H

oBjiacTH   B  paccroH H H H  4- 8̂  z/ d OT Bbixofla  T py6w.  Jljm  pen ien KH   n o n y^ e H o r o  H 3
MK3  CHCTCMBI  L H   ajireepaH ^iecKnx  H en H H et ebix  ypaBH eH H   pa3pa6oTaH O  MOflHd)HiWP0BaHHKH

iro n  noMoiHH  a i o r o  MeTOfla  pe3yjiBTaTBe  cpaBHeHO  c

S u m m a r y

THE N U M ERICAL  SOLU TION   OF   A  SIM PLIF IED  F R E E  R OU N D  JE T EQU ATION S  U SI N G  T H E
F IN ITE  ELEM EN T  M E TH OD

A  method  of  numerical  solution is  presented of  simplified  equations  of  free  round  jet  flowing  from
> straight  pipe using the finite element method  (F EM ). The solution is- given  for  the region  4- f-8  z/ d from
he  pipe  outlet.



474  K.  TUSTAN OWSKA- KAMROWSKA

A  modified  iteration method is  proposed to solve LN  algebraic  nonlinear equations system  obtained
from  F E M  discretization.

T h e  results  is  com pared  with  the  experimental  data.

POLITECHNIKA  POZNAŃ S KA
IN S TYTU T  TECHNIKI  CIEPLNEJ
I  S ILNIKÓW  S PALINOWYCH

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  11  kwietnia  1979 roku