Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZN A I  STOSOWAN A ł ,  18  (1980) D RG AN IA  U KŁAD U  P R Ę TOWEGO Z  TARCIEM   COU LOM BA  N A  P O WI E R Z C H N I E N I E C I Ą G Ł OŚ C I1' ALFRED   Z M I T R O W I C Z  (G D AŃ SK) 1. Wstę p Liczne  urzą dzenia  mechaniczne posiadają   konstrukcyjne  niecią gł oś ci  w  postaci  poł ą - czeń, miejsc  podparcia,  powierzchni  rozdziaiu.  Wś ród  nich  wyróż nia  się   te  niecią gł oś ci, które charakteryzują   się   wyraź nym  ruchem wzglę dnym  stykają cych  się   powierzchni,  zwa- nym  poś lizgiem  lub makropoś lizgiem.  W tych przypadkach  zazwyczaj  pomija  się  odkształ - calność  stykają cych  się   powierzchni  i  traktuje  je  jako  idealnie  sztywne.  Osobną   grupę stanowią   poł ą czenia  w  których  zachodzą   t.zw.  mikropoś lizgi,  wskutek  sprę ż ystoś ci  po- wierzchniowej  styku  lub  obecnoś ci  dodatkowych  elementów  sprę ż ystych  (nity,  ś ruby, sworznie). Towarzyszą ce  poś lizgowi  i mikropoś lizgowi  sił y tarcia suchego  powodują   rozpraszanie energii ruchu, przemieszczają cych  się  wzglę dem  siebie  elementów. Przez zjawisko  dysypacji energii 'drgają cego  ukł adu mechanicznego,  tarcie suche przyczynia  się  do redukcji  odkształ - ceń  i  naprę ż eń  dynamicznych  a  tym  samym  do  zwię kszenia  niezawodnoś ci  i  ż ywotnoś ci urzą dzenia.  Tł umienie  drgań  n a  skutek  tarciowego  oddział ywania  stykają cych  się   po- wierzchni  jest  szczególnie  poż ą dane  tam  gdzie  wymiary,  cię ż ar,  stopień  zł oż onoś ci  lub koszt  urzą dzenia  odgrywają   decydują cą   rolę .  Ponadto tarcie powierzchniowe  stykają cych się  elementów jest n a ogół  wię ksze od tarcia materiał owego i w wielu maszynach jest gł ów- nym  mechanizmem  tł umienia  [1, 2, 3]. Stosowany  opis  sił  oporu w  konstrukcyjnych  niecią gł oś ciach  nie zawsze jest  zwią zany z okreś lonym  sposobem  dysypacji  energii.  Zazwyczaj  tł umienie to jest  przedstawiane  w  3 znanych  postaciach  (lepkie,  histerezowe,  tarciowe)  lub  ich  kombinacji.  Tarcie  suche  ge- nerowane podczas  ruchu najczę ś ciej  okreś la  się   znanym wzorem  Amontonsa  i  Coulomba. Przyję cie  liniowej  zależ noś ci  sił y  tarcia od wersora  prę dkoś ci  poś lizgu  i  wielkoś ci  wzajem- nego  docisku,  wprowadza  nieliniowoś ci  do  równań ruchu. D rgania  zł oż onych  ukł adów  konstrukcyjnych  z  tarciem  suchym  n a  powierzchniach niecią gł oś ci  zazwyczaj  opisuje  się   zastę pczym  ukł adem  o  1 stopniu  swobody.  Taki  model dynamiczny  przyjmowano  dla  belek  warstwowych  [1, 4,  5]  oraz  belek  wspornikowych z niewielkim  obszarem  styku  [1,4].  Podobnie  postę powano  w  przypadku  prę tów  z  tar- ciem  suchym  w  obszarze  zamocowania  [1, 4, 6,1].  W  [8] modelem dynamicznym  ł opatki maszyny  wirnikowej  z  tarciem  konstrukcyjnym  w  zamocowaniu  jest  ukł ad  o  zmiennej Praca  wykonana  w  ram ach  planu  badań  M R  I/ 26,  tem at  09.3. • 476  A.  ZMITROWICZ liczbie  stopni  swobody  (1  lub  2).  Stan  sztywnego  i  przesuwnego  zamocowania  a  tym samym  liczbę   stopni  swobody  ukł adu  okreś la  zależ ność  ujmują ca  wszystkie  parametry ukł adu.  Przemieszczenia  ł opatki  sprę ż arki  z tarciem suchym  w  styku  t.zw.  pół ek opisano w  [9]  dynamicznymi  liczbami  wpł ywowymi.  Przy  tym  zał oż ono  zlinearyzowaną   postać sił y  tarcia  suchego.  Cią głe  ukł ady  belkowe  z  tarciem  suchym  na  powierzchni  rozdziału i  w  zamocowaniu  rozważ ano  w  [10, 11, 12] Prosty  ukł ad  o  1 stopniu  swobody  z  tł umieniem tarciowym  jest  przedmiotem analizy zamieszczonej  w  podrę cznikach teorii  drgań  n p:.  [13,14,  15, 16].  Jego  ruch  opisuje nie- liniowe  równanie  róż niczkowe.  Równanie  to  moż na  przedstawić  w  postaci  2  równań li- niowych  których  rozwią zania  „zszywa  się "  ze  sobą   w  chwilach  zmiany  znaku  prę dkoś ci. Wiele  prac  poś wię cono  analizie  rozwią zań  bardziej  zł oż onych  równań  róż niczkowych zwyczajnych  ze  skł adnikiem  uwzglę dniają cym  wpływy  tarciowe  n p:.  [17, 18] Trudnoś ci  zwią zane  z opisem  sił  oporu w miejscach  niecią gł oś ci  oraz z poszukiwaniem rozwią zań  nawet  najprostszych  równań  ruchu sprawił y, że w cytowanych powyż ej pracach rozpatrywano  jedynie  wybrane  zagadnienia  dynamiki.  Moż na  stwierdzić,  że  przyję cie zł oż onego  ukł adu dynamicznego  z  reguł y  pocią gało  za  sobą   uproszczenie  modelu tarcia suchego  (np. jego  linearyzację )  i  na  odwrót.  Mię dzy  innymi teoria  ukł adów o przeliczal- nej  iloś ci  stopni  swobody  z  udział em sił   tarcia  suchego jest jeszcze  w  trakcie  opracowy- wania. W  niniejszej  pracy  podję to  próbę   sformuł owania  metody  analizy  drgań  ukł adu prę to- wego z  tarciem  suchym  w miejscu  konstrukcyjnej  niecią gł oś ci. W  odróż nieniu od znanych rozważ ań  [ 1 , 4 , 9 ] modelem dynamicznym jest  ukł ad o wielu  stopniach swobody. Ogólny opis  sił  tarcia suchego  n a powierzchni  styku  otrzymano przy  wykorzystaniu  tensora tarcia Coulomba.  N a przykł adzie drgań  pakietu ł opatek turbinowych  wskazano  na efekty  wzbu- • dzeń  drgań  przez  tarcie  oraz  sprzę ż eń  poprzez  sprę ż ystość  i  anizotropię   tarcia  suchego. 2.  Sposób  dyskretyzacji Rozważ my  pokazany  na  rys.  1 ukł ad ramowy  z  powierzchnią   niecią gł oś ci  i  sztywnym podparciem.  Zał óż my  pewien  inercjalny  ukł ad współ rzę dnych  OXYZ,  rys.  1.  Postę pując zgodnie  z  formalizmem  metody  elementów  skoń czonych  i  korzystają c  z  jednowymiaro- wych  elementów  prę towych  o  12  stopniach  swobody  [19,  20],  moż na dokonać dyskret- nego  opisu  ukł adu. Przyję to,  że  deformację   prę towych  elementów  skoń czonych  okreś la- ją   równania  technicznej  teorii zginania  (z pominię ciem deplanacji  przekroju)  oraz równa- nia  teorii  skrę cania  swobodnego.  Zał oż enie o  pł askich przekrojach  dotyczy  również po- wierzchni  kontaktu.  Ś rodki  ś cinania  pokrywają   się   ze  ś rodkami  cię ż koś ci  przekrojów prę ta. Z  rozwią zania  równania  róż niczkowego  prę ta  ś ciskanego  (rozcią ganego),  zginanego I  skrę canego  okreś la  się   elementy  macierzy  funkcji  kształ tu. Te  same  funkcje  interpolują przemieszczenia  statyczne  i  dynamiczne  na  dł ugoś ci  elementu  prę towego.  Wyznaczone zgodnie  z  powyż szymi  zał oż eniami lokalne  macierze  mas  i  sztywnoś ci  podane  są   w lite- raturze  przedmiotu  [19, 20].  Przy  tym  w  konsystentnej  macierzy  mas  uwzglę dniono  wy- razy  odpowiadają ce  bezwł adnoś ci  obrotowej  i  skrę tnej. D RG AN IA  UKŁADU   PRĘ TOWEGO 477 Rys.  1.  Schemat  ukł adu  dynamicznego.  N umeracja  wę zł ów  i  elementów. Podział  ukł adu ramowego  na elementy skoń czone przeprowadza  się  tak  aby  w  miejscu niecią głoś ci  wystą pił   wę zeł.  W  wę ź le  tym  dopuszcza  się   wzglę dny  ruch  translacyjny  n a płaszczyź nie  Oyz  oraz  wzglę dny  ruch  wirowy  wokół   osi  Ox,  rys.  2.  Stanem  zespolenia nazywa, się   przypadek  gdy  stykają ce  się   powierzchnie  nie  przemieszczają   się   wzglę dem Rys.  2. Przemieszczenia  wę zła  niecią gł oś ci  w  stanie cał - kowitego  poś lizgu. siebie  zaś  stanem poś lizgu  gdy  powierzchnie  ś lizgają   się   po sobie.  W  niniejszej  pracy  wy- róż nia  się   4  róż ne  stany  współ pracy  kontaktują cych  się   powierzchni:  stan  cał kowitego zespolenia, stan  zespolenia  w  ruchu translacyjnym  i  poś lizgu  w  ruchu wirowym,  poś lizgu w ruchu translacyjnym  i zespolenia na wzglę dny  obrót oraz stan cał kowitego  poś lizgu. N iech każ dy  z  elementów  skoń czonych mają cy  jeden  wę zeł  w  miejscu  niecią gł oś ci  de- formuje  się   pod  wpływem  obcią ż eń  i  ruchu jak  belka  wspornikowa  o  swobodnym  koń cu w wę ź le niecią gł oś ci. Ponadto w zależ noś ci od stanu współ pracy stykają cych  się  powierzchni nakłada  się   warunki  zgodnoś ci  przemieszczeń  wę zł owych  kontaktują cych  się   elementów na ustalonych kierunkach. I tak w  stanie cał kowitego zespolenia przyjmuje  się  wię zy  zgod- 9  Mech.  Teoret,  i  S toso.  3/ 80 478 A.  ZMITROWICZ n oś ci  wszystkich  przemieszczeń i  obrotów  wę zł a. Wówczas  przemieszczenia i odpowiednie sił y  wę zł owe w miejscu  niecią gł oś ci  opisują   wektory, (2.1)  Xw  =  [X, Y, Z,  Vx ,  y y ,  y, z] T , (2.2)  Fw[F x ,F r ,F z ,  W x , W y ,  W z f. P odczas  cał kowitego  poś lizgu  w wę ź le  niecią gł oś ci  n akł ada  się  wię zy  zgodnoś ci  przemie- szczeń Xi  obrotów ip r  i y> z  z lewej i prawej  strony wę zł a, rys. 2. W stanie tym przemieszcze- n ia  i  sił y  okreś lają   wektory, (2.3)  Xw  =  [X, Y\  Y>, Z\  Z", y>l x ,   W x ,   Vl ,  y, z f, (2.4)  Fv  -   [F x>   Ą ,F§,Ą ,  F z ,  W X ,W $,  W Y ,  W Z ] T . Wskaź n iki  lip  oznaczają   wielkoś ci  zwią zane  odpowiednio z lewą   i prawą   stroną  wę zł a. W  zależ noś ci  od iloś ci  moż liwych  poś lizgów  w wę ź le  niecią gł oś ci  należy  odpowiednio zbudować  wektory  przemieszczeń,  sił  wę zł owych,  lokalne  macierze  mas i  sztywnoś ci  ele- m en tów  z  wę zł em  niecią gł oś ci.  W celu  zachowania  ogólnej  reguł y  agregacji  globalnych m acierzy  m as i  sztywnoś ci  oraz  uwzglę dnienia  niezależ nego  opisu  translacji  i  wirowania d la  obu powierzchni  styku,  wektory  stan u  elementów  z wę zł ami  niecią gł oś ci  mają   wy- razy  zerowe  a  macierze  zerowe  wiersze  i  kolum ny.  N iech  wektorami  stanu  elementów z  wę zł em  niecią gł oś ci,  podczas  cał kowitego  zespolenia,  bę dą (2.5)  Ul=[U[,U 2 ,...,U[ 2 ] T , (2.6)  U'  =  [VI, Ul,  ...,U' 12 ] T . W  przypadku  cał kowitego  poś lizgu  wektory  te przyjmą   postać (2. 7) U'  - , 0, V l B , 0, U[ o , 0, U\ u   V[ 2 ] T , (2.8)  U'  *  [Ul, 0, Ul, 0, C/f, 0, Ul, ...,  U{ 2 ]. Szkic  lokaln ych  macierzy  elementów  z wę zł em  niecią gł oś ci  pokazan o  n a rys. 3, gdzie li- n iam i  cią gł ymi  oznaczono  cią gi  wyrazów  zerowych  dla stopni  swobody  których  dany elem en t  n ie  okreś la.  Tak zmodyfikowane  macierze  m as i  sztywność  zachowują   symetrię u kł ad u . Transform acji  u kł adu  inercjalnego  OXYZ  w ukł ad  lokalny  <9;:x: (4.1)  V<  Q"V  = \ vt\ (O  = gdzie  V t   jest  skł adową  styczną  prę dkoś ci  translacji. Wzglę dnym  ruchom  w  obszarze  styku  przy  zapewnionym  docisku  towarzyszą  sił y tarcia  suchego.  Przyjmijmy  model tarcia wg  Amontonsa i Coulomba. W  styku  o  obszarze  S  zał óż my ukł ad współ rzę dnych  O£fy  o  bazie  (k L , k 2 ,  »),  rys. 4. Rys.  4.  D yskretny  element  tarciowy. Wektor  sił  tarcia  Coulomba w  dowolnym  punkcie A  styku  s, podczas  poś lizgu,  zgodnie z  opisem  zaproponowanym  w  [23], okreś la  równanie. (4.2)  T A   =  ~N A Qv  =   - N A Q%k t ,  i,j  =  1, 2 gdzie  QIJ  są  elementami  reprezentacji  tensora tarcia  Coulomba  Q,  Vj są  skł adowymi ko- wariantnymi  wersora  prę dkoś ci  poś lizgu  v, N A   jest wielkoś cią  docisku  w  punkcie A. Re- prezentację  tensora tarcia  Q wyznaczono  przy zał oż eniu analogii  rozkł adu sił  tarcia z roz- kł adem  naprę ż eń  w  pł askim  stanie  napię cia  oraz  przy  zał oż eniu reguł y  skł adania tenso- rów  [23, 24]. Opis  skł adowych tensora  Q,  uwzglę dnia  kierunkowość  chropowatoś ci  każ dej z  powierzchni  oraz  chwilową  konfigurację  styku. Podczas  wzglę dnego  ruchu wirowego  wokół  normalnej z  wersorem  n do  styku,  tarcie w punkcie A  styku  S, odniesione do ś rodka wirowania,  okreś la wektor sił y tarcia  T A i wek- tor  momentu  tarcia  W A > (4- 3)  T A =  - N A R l xmku  7 - . 1 ,2 (4.4)  ,'  ;  W A ~  - N A R A a>n, D R C AN I A  UKŁ ADU   PRĘ TOWEGO  ,  481 gdzie  co jest skł adową  wersora  prę dkoś ci  wirowania  na  osi  n, Rk A (k  =   1, 2,  3) są  charakte- rystykami  tarciowymi  styku  [24].  Charakterystyki  R\   zależ ą od  kształ tu  obszaru  styku oraz  od jego zmiennoś ci w  czasie. Pole  sił   tarcia  w  styku  S,  podczas  ruchu  moż na  opisać  wypadkowym  wektorem  sił tarcia  T ~  Pk t   (i =  1,2)  oraz  wypadkowym  wektorem  momentu  sił   tarcia  W  =  W n , rys.  4.  Zgodnie  z  przyję tymi  zał oż eniami  [23, 24]  istnieje  liniowe  odwzorowanie  [L ] wypadkowego  wektora  sił  tarcia  i  wersora  pola  prę dkoś ci  wzglę dnych, (4.5) W Wyrazy  odwzorowania  [L]  zwanego  charakterystyką  dyskretnego  elementu  tarciowego tworzy  się przez redukcję  pola sił  tarcia opisanego wzorami  (4.2), (4.3) i (4.4), do  ś rodka  0, \ Q iJ   [N A dS\   1  A c z S (4.6)  [L ] -   - 1  £   \ J  N A R k A dS  i>J  =   ! > 2 '"I s  I  k  =  1, 2, 3.O1 Opis  sił  tarcia za pomocą  (4.5) i  (4.6) uwzglę dnia  anizotropię każ dej  z kontaktują cych  się powierzchni,  kształ t  styku,  chwilowe  pole  prę dkoś ci  wzglę dnych,  chwilową  konfigurację stykają cych  się  powierzchni  oraz  dowolny  rozkł ad  docisku. Definicja:  D yskretnym  elementem tarciowym  nazwano  taki  model chropowatego  styku ciał , który  ustalonemu punktowi  styku  S przyporzą dkowuje  wł asnoś ci  bieguna  pola  prę d- koś ci  wzglę dnych  w  tym  styku  oraz wł asnoś ci  ś rodka  redukcji,  powstał ego  podczas  ruchu pola  sił   tarcia. 5.< Wektor  sil  tarcia  Coulomba Podczas  drgań  analizowanego  ukł adu  prę towego  (rys.  1),  sił y  tarcia  suchego  są  gene- rowane tylko  na powierzchniach  konstrukcyjnej  niecią gł oś ci. Wobec  tego  globalny  wektor tarcia zawiera  wyrazy zerowe  i wektor  tarcia  T w  w wę ź le niecią gł oś ci, (5.1)  T   m  ipljT lOf. W przypadku  cał kowitego  poś lizgu  T w  może  mieć  6 niezerowych  skł adowych  n a  kierun- kach  ruchu  wzglę dnego, (5.2)  r  -   [Jj,  T Ę . T l>  T i,  W \   W ]T. Zgodnie  z  zasadą  o  wzajemnym  oddział ywaniu (5.3)  T l =  - T * s   Xi =   - 2 7,  W ł  =  - W . liczba  skł adowych  wektora  T "  wynika  z  chwilowego  stanu  współ pracy  kontaktują cych się  powierzchni. Każ da  z  powierzchni  styku  może  mieć  wł asną  anizotropową  chropowatość  opisaną współ czynnikami  tarcia  lĄ f(i,j—  1,2;  s = l,p)  n p.  dla  kierunków  pokrywają cych  się z gł ównymi  osiami bezwł adnoś ci kontaktują cych  się powierzchni prę ta. Powierzchnie  styku 482 A.  ZM ITROWICZ zł oż ono  ze sobą  w chwili  począ tkowej  tak, że kierunki pomiarowe  tarcia  (gł ówne osie bez- wł adnoś ci  przekrojów)  pokrywają  się.  Kąt  wirowania  okreś lają cy  wzajemny  obrót  ukł a- dów  odniesienia  na  powierzchniach  styku  w  tym  przypadku  równy  jest  róż nicy  ką tów obrotu  lewej  i  prawej  powierzchni  niecią gł oś ci, (5.4)  ?> - vi- Vl- Kąt  wirowania  w  miejscu  styku  praktycznie  w  każ dej  deformacji  (rys.  1) jest  wielkoś- cią  pomijalnie  mał ą  (95 £   0).  Stąd  przyję to,  że  podczas  wirowania  styk  zachowuje  swój pierwotny  prostoką tny  kształ t. P onadto w  styku  panuje  stał y  i  równomierny  docisk  a  N jest wielkoś cią  wypadkowej  sił  docisku  z  cał ej powierzchni kontaktu. Zgodnie  z  opisem  dyskretnego  elementu  tarciowego  i  powyż szymi  zał oż eniami skł a- dowe  sił y  tarcia  w miejsce  niecią gł oś ci  (odniesione  do lewej  strony  wę zł a) opisują  nastę- pują ce  równania, (5.5) T y ' T\ W 1 =   - JV Q 1 1 Q 2 1 0 e 1 2O27 0 0 0 co 1 (5.6) Elementami  macierzowej  reprezentacji  tensora tarcia  Q  w  tym  przypadku  są, a "  =  *Q# L +fffl),  Q12  = * G 2 1  =  K O S + / 4 1 ? ) ,  O22  =   «C gdzie  x  jest  t.zw.  współ czynnikiem  zł oż enia  [24].  Ponieważ  ś rodkiem  wirowania  styku prostoką tnego  o  wymiarach  {a x b) jest  ś rodek  symetrii,  więc  charakterystyką  tarciową styku  [24] jest (5.7)  i?3 gdzie (5.8) Skł adowe  wersora  prę dkoś ci  poś lizgu  w  miejscu  niecią gł oś ci  okreś lają  wzory (5.9)  <&  =   / _ 7 _ J ^ Z l P = = ^ ^ ,  vi = gdzie  Yl,  Yp,  Z1,  Żp,  y>l x ,  ip%  są  skł adowymi  wektora  prę dkoś ci  lewej  i prawej  strony wę zła niecią gł oś ci,  rys.  2. 6.  D rgania  tł umione  sił ami  tarcia  Coulomba Zał óż my,  że  drgania ukł adu odbywają  się  wokół  pewnego  stanu odkształ conego wsku- tek  dział ania  obcią ż eń  statycznych  okreś lonych  wektorem  G.  Stan  deformacji  statycznej *s t  opisuje  równanie (6.1)  Kx st   =  G. D RG AN IA  U KŁAD U   PRĘ TOWEGO  483 W  zamieszczonych  w  pracy  obliczeniach  numerycznych  rozwią zan ia  równ an ia  (6.1)  p o - szukiwano  m etodą   eliminacji  G aussa  [21, 22]. R uch  ukł adu  dyskretn ego  z  tarciem ,  dla ustalon ego  st an u  współ pracy  w  miejscu n ie- cią gł oś ci,  we  współ rzę dn ych  uogóln ion ych  okreś la  równ an ie (6.2)  Mx+Kx  =   F+T (x), gdzie F i T (x) są  globaln ym i  wektoram i  sił  zewnę trznych  i  sił  tarcia  C o u lo m ba. Wiadom o,  że  w  przypadku  drgań  nieliniowych  z  udział em  t arcia  C o u lo m ba,  okres drgań  tł um ion ych jest  równ y  okresowi  drgań  u kł ad u zachowawczego  — przy  tych  sam ych charakterystykach  sprę ż ystych  i  bezwł adnoś ciowych,  [ 1, 4, 13,  14, 15,  16]. W  ustalon ym  stan ie  współ pracy  stykają cych  się   powierzchni  rozwią zan ie  r ó wn a n ia ruchu  (6.2) może  być  przedstawion e  jako  liniowe  rozwinię cie  wedł ug  form  d rgań  wł asn ych (6.3)  x  =  y 1 (t)$ a) +y 2 (t)$ lm   +  ...  + j>„(0#<„)  =  ®y, y jest  wektorem  a  $  macierzą   zbudowan ą   z postaci  drgań , (6.4)  *  =   [ * ( D » * ( I O .  •  • • • *(.)]• N ależy  zaznaczyć,  że liczba  stopn i  swobody  n  zależy  od przyję tego  podział u n a elem en ty skoń czone  oraz  od iloś ci  moż liwych,  w  danej  chwili,  ruch ów  wzglę dnych  w  miejscu  sty- ku.  R ówn an ie  (6.3)  okreś la  tran sform ację   współ rzę dn ych  uogóln ion ych  x  d o  współ rzę d- nych  y  zwanych  n orm aln ym i  lub  gł ównymi.  Wprowadzają c  operacje  tran sform acji  m a - cierzy  i wektorów  równ an ie  (6.2)  przyjmuje  postać, (6.5)  ( *T M $ ) ( # - 1 J Ć ) +  (< 5rir< P )(*- 1a;) = R ówn an ie  (6.5) m oż na  zapisać  w  prostej  formie (6.6)  my + ky  =  / +   t(x), przy  nastę pują cych  ozn aczen iach (6.7)  y  =  &~ vx,  y  = W  ogólnym  przypadku  nie m o ż na  sformuł ować  wektora  tarcia  t poprzez  współ rzę dne  n o r - m aln e.  F akt  ten zm usza  do powrotu  do współ rzę dnych  uogóln ion ych  n a każ d ym  etapie w  którym  okreś la  się  sił y  tarcia. Z warun ku  u n orm owan ia  wektorów  .wł asnych  (3.7)  i  (3.8) wynika,  że m jest  macierzą   jedn ostkową   a k  macierzą   diagon aln ą   z  elem en tam i  vf. M a - cierz  odwrotn ą   ^ ~ 1  m oż na  okreś lić  korzystają c  z  wł asnoś ci  opisan ej  r ó wn a n iem  (3.7). M n oż ąc  (3.7) prawostron n ie  przez  <&~ i  otrzymuje  się (6.8)  I&- 1  =•   flF M tPŚ *-1, stą d (6.9)  ,  &- 1  =   &TM. Przy  tak  okreś lonej  m acierzy  ^ ~ l  współ rzę dne  n o rm aln e  wyraż ają   się   p o p r zez  współ - rzę dne  uogóln ion e  n astę pują cym  wzorem (6.10)  .  y  =   $TMx. 484  A.  ZMITROWICZ U wzglę dnienie  w  rozwinię ciu  (6.3)  tylko  k- tej  (k  <  n)  liczby  niż szych  form  drgań wł asnych  sprowadza  opis  ukł adu  do  k  pierwszych  równań  typu  (6.6).  Wtedy  macierz transform acji  jest  niepeł ną   macierzą   ),  * P =   • ' !?«. Równanie  (6.17) rozwią zuje  się   z tak  oszacowanym  wektorem  tarcia. Z  otrzymanych roz- wią zań  (6.18)  okreś la  się   odpowiadają cy  im wektor tarcia, (6.23)  T l2)  m  T (xj1}),  'P> =   ®TT ł 2\   ,  : z którym  ponownie rozwią zuje  się  równania  (6.17). W  analogiczny  sposób,  s —  tym  przy- bliż eniem  wektora  tarcia jest (6.24)  T/ s>  m  T i&l*- 1?). Kryterium  zakoń czenia  procesu  iteracyjnego  stanowi  zbież ność  wektora  tarcia  z  dwóch kolejnych  iteracji,  do wartoś ci  ustalonej (6.25)  ir^- rr î  ^  8, gdzie  d jest nał oż oną   dokł adnoś cią  iteracji.  N a  ogół ,  korzystają c  z  wzoru  (6.21)  uzyskuje się  zbież noś ci  iteracji  z bł ę dem nie przekraczają cym  1% już  w  1 -  2 kroku. Trudnoś ci z za- pewnieniem  zbież noś ci  wystę pują   tam  gdzie  kierunek  sił y  tarcia,  co  prawda  w  sposób cią gły lecz gwał towny, zmienia się  o ką t bliski n.  W tych przypadkach moż na konstruować inne procedury  trafniejszego  wyboru  wektora  tarcia speł niają cego  chwilowe  warunki  rów- nowagi dynamicznej ukł adu. N ajprostszym  (lecz czasochł onnym) sposobem poprawy  zbież- noś ci jest zmniejszenie  wielkoś ci  kroku  cał kowania równań ruchu. Korzystają c, z lokalnej macierzy sztywnoś ci  elementu prę towego oraz jego przemieszczeń wę złowych  przetransformowanych  do  ukł adu  lokalnego,  moż na  okreś lić  chwilowe  sił y przywę zł owe  w  danym  elemencie  prę towym. N iech N 1 i N p  są   chwilowymi  sił ami normalnymi n a lewej i prawej  powierzchni  miejsca • 486  A.  Z M I T R O WI C Z  • niecią gł oś ci.  Brane  są   pod  uwagę   tylko  te  przypadki  ruchu  podczas  których  N l  i  N p  są sił ami ś ciskają cymi.  Warunek ten gwarantuje  wprowadzany do ukł adu,  odpowiednio duż y, niezależ ny  od  czasu, docisk  technologiczny okreś lony  sił ami N o ,  rys.  1, Za miarę  docisku w  styku  przyjmuje  się (6.26)  iV =   0, 5|tf'- iVp|. Podczas  procesu  iterowania  chwilowego  wektora  tarcia,  przemieszczenia  podlegają   nie- wielkim  zmianom. Stą d moż na zał oż yć, że w cyklu iteracyjnym  docisk jest stał y i równy np. dociskowi  obliczonemu  w  chwili  poprzedniej.  W  zamieszczonych  w  pracy  przykł adach wielkość  docisku  N  praktycznie  nie  róż niła  się   od  |iV0|.  Wynika  to  stą d,  że dopuszczalne deformacje  sprę ż yste  ukł adu, przy  nieobcią ż onym  sił ami  normalnymi wę ź le niecią gł oś ci, dają   niewielkie  sił y  normalne w  tym  wę ź le. Istnieje  klasa  zadań  w  których  wektor  tarcia  ma  stał y  w  czasie  kierunek dział ania. Wtedy  również  w  pewnych chwilach  czasu  prę dkość wzglę dna  w  styku  przyjmuje  wartość zero.  W  chwilach  tych wektor  tarcia jest  nieokreś lony, zaś  funkcje  przyspieszeń  mają  nie- cią gł oś ć.  D la  tych  zadań  formuł uje  się   dodatkową   procedurę  znajdowania  miejsca  zero- wego  funkcji  prę dkoś ci  poś lizgu  i  sposobu  przejś cia  przez  miejsce  niecią gł oś ci  funkcji przyspieszeń.  Oszacowaną   prę dkość  wzglę dną   w  kroku  i — tym  w  oparciu  o parametry ruchu w kroku'(/ —I ) wedł ug wzoru  (6.21) porównuje  się  z prę dkoś cią   kroku  (/ - 1). W ten sposób  okreś la  się   przedział  czasowy  <  ti^ x ,  t t   >  w  którym  może nastą pić  zmiana kie- runku  prę dkoś ci  poś lizgu.  Znaleziony  przedział  dzieli  się   n a  mniejsze  o wielkoś ci  0.  Na- stę pnie  porównują c  rozwią zania  równań  (6.17) —(6.19)  w  tak  okreś lonych podprzedzia- ł ach  czasu,  lokalizuje  się   miejsce  zerowe  prę dkoś ci  poś lizgu  z  dokł adnoś cią  0.  Róż nicę wartoś ci  przyspieszeń  obliczonych  dla  najbliż szego  otoczenia miejsca  zerowego  prę dkoś ci poś lizgu,  przyjmuje  się   za  skok  funkcji  przyspieszeń. D odatkowej  procedury  wyznaczania  wektora  tarcia  w  chwili  bliskiej  t 0   wymagają   te zadania w  których prę dkość począ tkowa jest równa zeru. Wówczas  po wyznaczeniu przys- pieszeń w  chwili  t 0   (bez  udział u tarcia) szacuje  się  wielkość  prę dkoś ci  w chwili  bliskiej  t 0 , z  wzoru (6.27)  x(tp + s)  =  BX 0 ,  e  <  h. D la  tak  okreś lonej  prę dkoś ci  wyznacza  się  wektor  sił  tarcia (6.28)  T (t 0 )  ^   T (x(t„+s)) N astę pnie  z  równania  (6.13)  okreś la  się   przyspieszenie  y 0   które jest  wielkoś cią   startową do  analizy  ruchu  w  kroku  pierwszym.  Powyż sza  procedura okazał a się   wystarczają cą   je- dynie  w przypadku  ruchu ukł adu opisanego jedną   formą   drgań wł asnych. Waż nym jest  okreś lenie  momentu w  którym nastą pi przejś cie  ze stanu poś lizgu  w stan zespolenia  i  odwrotnie. N ajogólniej  moż na stwierdzić, że poś lizg rozpocznie się  wtedy gdy zostaną   zerwane wię zy tarcia statycznego w styku. N atomiast zakoń czenie poś lizgu  (zwane zespoleniem)  nastą pi  gdy  ustanie  ruch  wzglę dny  w  miejscu  konstrukcyjnej  niecią gł oś ci i  zostaną   nawią zane  wię zy  tarcia  statycznego.  W  zamieszczonych  w  pracy przykł adach obliczeń  pokazano tylko  przypadek  ruchu z cał kowitym poś lizgiem.  W  tym  celu  tak do- bran o warunki począ tkowe ruchu aby stan ten panował  już w chwili  t 0 .  Moment zakoń cze- nia  poś lizgu  moż na  okreś lić  badają c  parametry  ruchu ukł adu.  W  pracy  przyję to,  że na- D RG AN IA  UKŁADU   PRĘ TOWEGO  487 stą pi  t o  w  chwili  gdy  prę dkość  wzglę dna  ma  miejsce  zerowe  a  przyspieszenie  wzglę dne liczone  dla  sił  t arcia  dyn am iczn ego  zm ieniał oby  zn ak. 7.  Przykł ad  zastosowań  do  analizy  ukł adów  ł opatkowych  turbin.  Opis  problemu. Ł opatki  turbin owe  zakoń czone  fragm en tem  ban daża  mogą   być  zestawian e  ze  sobą w pakiety.  Wzajemne  usytuowan ie  odcin ków  ban daża  wpł ywa  n a  ch arakter  pracy  ł o p at ek. Przy  tym  moż liwe  jest  zachowan ie  luzu,  m on olityczn e  zł ą czenie lu b  ko n t a kt  z  zapewn io- nym  dociskiem .  Jedn ym  ze  sposobów  zagwaran towan ia  docisku  jest  t akie  wykon ywan ie ł opatek  aby  pł aszczyzn a  koń ca  ban daża  był a  przesun ię ta  wzglę dem  pł aszczyzny  stopy ł o - patki.  P o  zestawieniu  ze  sobą   2 - 4  ł opatek  osią ga  się   znaczny  docisk  n a  powierzch n i  n ie- cią gł oś ci  ban daż a. N ajczę ś ciej  powierzchn ia  niecią gł oś ci jest  prostopadł a lu b  u ko ś na  wzglę - dem  brzegu  ban daż a.  Z n an e  są   również  poł ą czen ia z  uskokiem  w  ś rodku  szerokoś ci  ban - daż a.  P odczas  ru ch u  n a  powierzchn iach  styku  ba n d a ża  gen erowan e  są   sił y  t arcia  suchego [28] Z asadniczym  zadan iem  m echan izm ów  tarciowych  maszyn  wirn ikowych  jest  ro zpra- szanie  energii  dostarczan ej  d o  ukł adu  n a  skutek  oddział ywań  zaburzon ego  przepł ywu czynnika  lub  drgają cego  wirn ika.  W  szczególnoś ci  wym uszen ia  mogą   poch odzić  od  ź le wykon anego  kan ał u  przepł ywowego  w  tarczy  kierowniczej  lub  od  nieszczelnoś ci  n a  p o - wierzchni  podział u  tarczy.  T ru d n o  ocenić jakiej  wielkoś ci  są   t o  oddział ywan ia.  N ie  m a jedn ozn aczn ych  opisów  wartoś ci  sił   i  ruchów  wymuszają cych  drgan ia  elem en tów  turbin y [28] Rozważ my  parę   cylindrycznych  ł opatek  turbin owych  z  odcin kiem  ba n d a ż a.  P owierzch- n ia  styku,  fragm entów  ban d aża  jest  prostopadł a  do  jego  osi.  Z ał óż m y,  że  sił y  docisku technologicznego  zapewniają   cią gły  ko n t akt  a przem ieszczenia  wzglę dne  w  styku  ba n d a ża są   m akropoś ł izgam i.  P akiet  znajduje  się   w  stacjon arn ym  polu  sił   m asowych.  K szt ał t  ka- n ał u  przepł ywowego  wym aga  ukoś n ego  usytuowan ia  ł o p at ek  wzglę dem  pł aszczyzny  tarczy wirnikowej.  Stą d  gł ówne  osie  bezwł adnoś ci  przekrojów  ł opatek  i  ban d aża  n ie  są   wzajem nie równoległ e.  Z ał óż m y, że  inercjalny  ukł ad  współ rzę dn ych  OXYZ  jest  zwią zany  z  wień cem tarczy  wirnikowej.  P ł aszczyzna  OXZ  pokrywa  się   z  pł aszczyzną   tarczy.  N iech  m odelem dynam icznym  pakietu  bę dzie  u kł ad  prę towy  przedstawion y  n a  rys.  1.  W  zam ieszczon ych w  pracy  przykł adach  liczono  pakiet  zł oż ony  z  ł o p at ek  o  szerokoś ci  0,03  [m]  i  wysokoś ci 0,172  [m].  Obliczenia  przeprowadzon o  n a  E M C  O D R A  1204. W  niewielu  publikacjach  zajmowano  się   t a k  postawion ym  problem em  teoretyczn ym . W  [29]  an alizowan o  drgan ia  wł asne  2  ł opatek  z  m on olityczn ym  ban d aż em  korzystają c z m odelu ram y  pł askiej. Wyniki  badań eksperym en taln ych  n a d  wpł ywem  docisku  w  m iejscu niecią gł oś ci  podczas  drgań  rezonansowych  pary  ł o p at ek  zaprezen towan o  w  [30]. 8.  Wyniki  obliczeń  drgań  wł asnych  pakietu  ł opatek R ezultaty  obliczeń  pierwszych  czę stoś ci  drgań  wł asn ych  u kł adu ,  d la  p o d ział u  n a  4, 6  i  8  elementów,  przedstawion o  w  tabl.  1.  Z a  każ dym  razem  ba n d a ż  dzielon o  n a  2  ele- m en ty.  W  wę ź le  niecią gł oś ci,  moż liwy  jest  cał kowity  poś lizg.  Ł o p a t ki  o sad zo n o  u ko ś n ie 488 A.  ZM ITROWICZ wzglę dem  pł aszczyzny  tarczy  wirnikowej  (y  =   10°).  U zyskane  wyniki  wskazują   na  dobrą zbież noś ć,  pierwszych  czę stoś ci  drgań ukł adu dyskretyzowanego.  Wedł ug  J.  THOMASA  [29] optymalny  podział  pakietu  ze  wzglę du  n a  pierwsze  czę stoś ci  to  3  elementy  na  ł opatce Tablica  1 Czę stoś ci  drgań  wł asnych dla  róż nych podział ów n a  elementy skoń czone (p —  ilość elementów) w stanie  cał - kowitego  poś lizgu  i  dla  y  =   10°  (w[l/ s]). p 4 6 8 1907,55 1904,33 1904,03 3591,11 3584,72 3584,14 3629,77 3623,73 3623,18 17535,64 12249,47 12140,28 "(V) 19044,12 12676,71 12610,20 19442,59 19135,14 19087,96 33331,27 23886,06 23757,04 »"(VI1I) 33814,39 24280,37 24154,22 i  2 n a  bandaż u.  N iniejsza  analiza  potwierdza  ten  wniosek  również  w  przypadku  pakietu z niecią gł ym  bandaż em. D alsze wyniki  uzyskano  dla  takiego  podział u ukł adu na elementy skoń czone. D opuszczenie  wzglę dnych  ruchów  na  kierunkach  poś lizgów  w wę ź le niecią gł oś ci,  daje znacznie niż sze  wartoś ci  niektórych  czę stoś ci  drgań wł asnych w porównaniu z  tym samym pakietem  o  monolitycznym  bandaż u.  W  tabl.  2  zestawiono  czę stoś ci  drgań  wł asnych pa- kietu  (y  =   10°)  gdy  przemieszczenia  wę zła  niecią gł oś ci  bandaża  opisuje  6  skł adowych Tablica  2 Czę stoś ci  drgań  wł asnych w  róż nych stanach współ pracy stykają cych  się   powierzchni  (m  —  ilość stopni swobody  w  miejscu  niecią gł oś ci) gdy  y  =   10°  (w  [l/ s]) w 6 7 8 •9 "o 2907,48 2901,35 1938,71 1904,03 "(U) 3584,14 3584,14 3584,14 3584,14 »C1II> 10708,54 10672,29 4584,45 3623,18 "(IV) 12140,28 12140,28 12140,28 12140,28 15683,14 15625,53 12730,03 12610,20 ''(VI) 23757,04 23757,04 19126,27 19087,96 l'(VII) 26238,42 24074,72 23757,04 23757,04 VtVlII) 35800,52 35800,52 26471,07 24154,22 (cał kowite zespolenie), 7  (wzglę dne  wirowanie),  8 (wzglę dny  ruch translacyjny)  i 9  (cał ko- wity poś lizg).  N p.  pierwsza  czę stość  drgań  wł asnych jest mniejsza o  34,5%  a trzecia o  66,2%, n a  skutek  odsztywnienia  ukł adu. Czę stoś ci  I I i  IV  charakteryzują ce  drgania  bez wzglę d- nych  przemieszczeń  w  styku  we  wszystkich  stanach  współ pracy  są   jednakowe.  Czę stoś ci w  przypadku  dopuszczonego  wzglę dnego  wirowania  (7 skł adowych) są   nieznacznie mniej- sze  od  czę stoś ci  drgań  w  stanie  cał kowitego  zespolenia  (6  skł adowych).  Oczywiś cie  są identyczne  w  przypadku  form  bez  wzglę dnego  wirowania  (II,  IV, VI). Z miana  ką ta  (y)  ukoś nego  usytuowania  ł opatek wzglę dem  pł aszczyzny  tarczy  wirni- kowej,  powoduje  mał e  zmiany  czę stoś ci  drgań ukł adu  co pokazano w tabl. 3. Szkic  pierwszych  8  form  drgań  w  przypadku  y  =   0°  przedstawiono  na  rys.  5.  Linią D R G AN I A  U KŁ ADU   PRĘ TOWEGO 489 Tablica  3 Czę stoś ci drgań wł asnych dla róż nych ką tów  ukoś nego usytuowania ł opatek pakietu (y) w stanie  cał kowitego poś lizgu  (w[l/ s]) y 0° 10° 20° 30° 1904,01 1904,03 1904,09 1904,17 "(ID 3623,18 3584,14 3465,36 3276,20 ''(UD 3624,62 3623,18 3623,16 3623,14 V (IV) 12118,32 12140,28 12202,55 12294,86 "(V) 12609,54 12610,20 12612,90 12614.96 V(VI) 19079,16 19087,96 19113,55 19153,46 "(VII) 23844,87 23757,04 23503,74 23113,96 ''(VIII) 24167,49 24154,22 24115,88 24056,71 • ),,,  =1904,01 h / s 1,9030,, 1,904  • ), 10,021«,, 6 , 3 6 5  • ?,„ Rys.  5.  Szkic  form  drgań  wł asnych w  stanie  cał kowitego  poś lizgu  gdy  y  =   0° cienką  oznaczono niezdeformowany  stan  pakietu.  W  dalszej  czę ś ci  pracy  postacie  defor- macji  bę dą  bliż ej  okreś lane  poprzez  wyróż nienie  pł aszczyzn  i  kierunków  dominują cego ruchu,  odniesionych  wzglę dem  ukł adu OXYZ. Sił a tarcia jest  generowana  podczas drgań  tylko  z tymi  formami, które mają  wzglę dne przemieszczenie  lub  wzglę dny  obrót  w  miejscu  konstrukcyjnej  niecią gł oś ci.  Z  pierwszych 8 form  drgań wł asnych, pokazanych na rys.  5, dysypacja  energii wystę puje  podczas  drgań z  5 postaciami  (I ,  I I ,  V,  VI, VIII) zaś  drgania  z  3 pozostał ymi  są  zachowawcze. U koś ne  usytuowanie  ł opatek  w  wień cu  tarczy  wirnikowej  (y  =£ 0°)  wywoł uje  efekt sprzę ż enia  drgań.  G dy kąt  y jest  zerem to formy  drgań  wł asnych wystę pują  w  czystej  po- staci, (bez wzajemnych  sprzę ż eń ). I tak, gdy  y  ^   0°  drgania z I postacią  są  gł ównie  drga- niami w pł aszczyź nie tarczy w kierunku  OX.  N akł adają  się n a nie drgania  w kierunku  OY z I I formą.  Z analizy  I formy  (tabl. 4) wynika,  że  ze wzrostem  ką ta  y  zwię ksza  się udział w drganiach I I formy,  poprzez  wzrost  wartoś ci  skł adowych  Y, y> x   i  y>z>  pokazanych  dla 490 A.  ZM ITROWICZ wę zła  4  i  5. Jednocześ nie zmniejsza  się   wkł ad  I formy,  odpowiada  temu  spadek  wartoś ci X, Z  i  f r Tablica  4 Sprzę ż enia  drgań  w  pł aszczyź nie tarczy  ( * ( D ,  y  =  0°)  i  z  pł aszczyzny  tarczy  (z * d ) ,  y  =  o° 19,2996210 - 0, 0000005 - 0, 0002645 0,0000000 1,5782049 0,0000000 19,2998088 - 0, 0000005 0,0000056 - 1, 9100269 1,9100268 0,0000000 - 0, 0000004 1,5783579 0,0000000 * < „ > , / =   0° - 0,0000035 - 19,2361931 0,0000000 1,5730921 - 0,0000003 - 0,1412941 - 0,0000035 - 19,4073922 19,4427800 0,0000005 - 0,0000006 1,5732363 - 1,5761300 - 0,0000004 - 0,1415520 *a > ,  V =  10° 19,0066846 3,3504032 - 0,0002604 - 0,2739447 1,5542374 0,0066147 19,0068697 3,3584179 - 3,3584344 - 1,8810203 1,8810204 - 0,2739516 0,2739531 1,5543882 0,0066268 *( i ) , y  =   20° 18,1366670 6,5993992 '  - 0,0002485 - 0,5395851 1,4830578 0,0130297 J8.1368436 6,6151867 - 6,6151723 - 1,7948750 1,7948752 - 0,5395987 0,5395976 1,4832018 0,0130536 *( D ,  V =  30° 16,7158496 9,6482273 - 0,0002291 - 0,7888365 1,3668255 0,0190500 16,7160124 9,6713095 - 9,6713155 - 1,6542044 1,6542042 - 0,7888565 0,7888569 1,3669579 0,0190850 D rgania  z  I I postacią   (gdy  y  ^  0°)  są   drganiami  z  pł aszczyzny  tarczy, wzdł uż osi OY z  I I I formą   (dla  y  =  0°).  Są   one  sprzę ż one  z  drganiami  w  pł aszczyź nie na  kierunku OZ z  IV  formą .  Z analizy  I I postać  drgań wł asnych  (tabl.  5) wynika,  że wzrost  wartoś ci  ką ta ukoś nego  usytuowania.ł opatek w zasadzie nie ma wpł ywu  na zmianę  tej formy  drgań. D rgania  z I I I postacią   (gdy  y  ^  0°)  są   drganiami  z pł aszczyzny tarczy w  kierunku OY (z  I I  formą   dla  y  =   0°).  Towarzyszą   im  drgania  w  pł aszczyź nie tarczy  na  kierunku OX z  I  postacią   (dla  y  =  0°)  w  przypadku  wzglę dnego  ruchu  translacyjnego  i  cał kowitego poś lizgu  w  wę ź le  niecią gł oś ci. W  przypadku  stanu cał kowitego zespolenia  lub  wzglę dnego ruchu  wirowego  w  miejscu  styku  są   one  sprzę ż one  z  odpowiednią   V  formą   drgań  (dla y  =   0°). P odobną   analizę  efektów  sprzę ż eń drgań poprzez sprę ż ystość  moż na przeprowadzić dla dalszych  form  drgań. D RG AN IA  UKŁADU   PRĘ TOWEGO 491 Tablica  S Sprzę ż enia  drgań  z  pł aszczyzny tarczy  (#  y  =   0°)  i  w  pł aszczyź nie  tarczy  ( * U V ) ,  y=  0°)  na  skutek ukoś nego usytuowania  ł opatek, okreś lonego ką tem y.  N a przykł adzie przemieszczeń wę zła 4 i 5  w stanie cał kowitego  poś lizgu 4 X Y Z y>x yv >/>z X Y L Y r Z L z r vi Vz ťdii). V = 0° - 0,0000027 19,2869399 0,0000000 - 1,5771722 —0,0000002 - 0,0006294 —0,0000027 19,2874754 19,2517460 0,0000003 —0,0000003 —1,5773168 —1,5744205 —0,0000003 0,0001302 0,0547074 - 0,0000005 0,0132329 0,0000000 - 2,7013994 0,0000001 - 0,0000019 - 0,0000003 0,0000008 1,6493734 1,6493713 0,0000000 —0,0000001 —0,0000009 0,0000001 * ( „„y = 10° 0,0011286 19,2600057 0,0000084 —1,5721831 - 0,0211946 0,0004834 0,0001002 19,2603696 19,2614216 0,0128274 0,0128474 —1,5723241 —1,5724093 0,0000083 —0,0000047 * ( l 0 . y = 20° 0,0019027 19,2387286 0,0000142 —1,5631514 - 0,0381756 0,0004559 - 0,0000168 19,2390738 19,2390239 0,0231134  ' 0,0231100 —1,5632824 —1,5632782 —0,0000014 —0,0000001 *..),?= 30° 0,0025771 19,2146241 0,0000159 —1,5522302 - 0,0478345 0,0004063 0,0000170 19,2149314 19,2149796 0,0289573 0,0289604 —1,5523465 —1,5523504 0,0000013 —0,0000006 9.  Wyniki  obliczeń  drgań  tł umionych  pakietu  ł opatek Tł umią cą  rolę  tarcia suchego  oraz wpływ anizotropii tarcia na  drgania  pakietu ł opatek rozpatrzono  n a  przykł adzie  „czystych  drgań ".  U kł ad  mechaniczny  wykonuje  „czyste drgania"  o jednej  tylko  czę stoś ci  drgań  wł asnych  gdy  jest  wprawiony  w  ruch. z  konfigu- racji  lub  z prę dkoś cią   o rozkł adzie zgodnym z wybraną   formą   drgań wł asnych. P odobnie, drgania rezonansowe z daną  czę stoś cią   realizuje  harmoniczna sił a wymuszają ca  o czę stoś ci rezonansowej  i  rozkł adzie amplitudy  z  odpowiadają cą   danej  czę stoś ci  formą   drgań.  Przy tym korzysta  się  z wł asnoś ci ukł adów z tarciem suchym, że czę stość drgań  ukł adu tł um io- nego  i  nietł umionego jest  jednakowa  [4], Wymuszają c  „czyste  drgania" z wybraną   formą   drgań wł asnych jednocześ nie  wzbudza się   drgania  z innymi czę stoś ciami. Liczba wzbudzanych  form  zależy  od  warunków  ruchu, typu  tarcia  oraz  od  tego,  czy  uwzglę dnia  się   sprzę ż enia  poprzez  sprę ż ystość  ukł adu. Bu- dują c  macierz  transformacji  4> z  wybranych  wektorów  wł asnych  moż na  ograniczyć  roz- waż ania  efektu  wzbudzenia  drgań  do  kilku  form.  W  ten  sposób  otrzyma  się   przybliż ony 492  A.  Z M I TR OWI C Z obraz  drgań.  O  stopniu  przybliż enia  decyduje  liczba  wzię tych  do analizy  wektorów  włas- nych.  Krok  cał kowania numerycznego dobiera  się  ze wzglę du na formę   z najwyż szą   czę s- toś cią   drgań. Rozważ my  przypadek  gdy  macierz  transformacji  *  zawiera  tylko  jedną   formę   drgań z wzglę dnymi  przemieszczeniami w  miejscu  niecią gł oś ci. N iech sił y wymuszają ce  i warunki począ tkowe  mają   rozkł ad  zgodny  z  tą   formą .  U zyskany  obraz  drgań  bę dzie  pierwszym przybliż eniem  rzeczywistych  drgań ukł adu. N a rysunkach  6 przedstawiono przemieszczenia (rys.  6.1),  prę dkoś ci  (rys. 6.2) i przyspieszenia  (rys. 6.3), drgań swobodnych  wę zła 4 w kie- runku  OX, wywoł ane deformacją   począ tkową   ukł adu zgodną  z I formą   drgań (gdy y  =   10°). N a  wykresach  umieszczono  przebiegi  drgań  nietł umionych i  drgań  tł umionych  sił ami tar- cia  izotropowego,  dla  róż nych  wielkoś ci  tarcia  przy  stał ym  docisku  technologicznym (JVo =   700  [N ]). Ekstremalne naprę ż enia normalne od  zginania  w  stopie  ł opatki,  na  sku- tek  tł umienia  (/ j,  =   0,1)  zmniejszał y  się   okoł o  10- krotnie,  z  34,3  [mP]  do  3,38 [mP] N a  rysunkach  7  pokazano  przemieszczenia  (rys.  7.1),  prę dkoś ci  (rys.  7.2)  i przyspie- szenia  (rys.  7.3)  drgań  swobodnych  wę zła  4  w  kierunku  OY,  wywoł ane  prę dkoś cią począ tkową   o  rozkł adzie zgodnym  z  I I I formą   drgań  wł asnych  (gdy  y  =   10°).  Wykresy ilustrują   przebiegi  drgań  nietł umionych  (A^  =   0)  oraz  drgań  tł umionych  sił ami  tarcia izotropowego  (JJ,  =  0,1)  gdy  docisk  technologiczny  N o   przyjmuje  róż ne  wartoś ci.  Pod wpł ywem  tł umienia (N o   =   150  [N]) ekstremalne naprę ż enia normalne od zginania w stopie ł opatki  z  33,35 [mP] został y zredukowane  do 4,32  [mP ]. N a rys.  8.1, 8.2,  8.3  umieszczono przemieszczenia,  prę dkoś ci  i  przyspieszenia  drgań  z  I  czę stoś cią   rezonansową .  Pakie- towi  ł opatek  nadano  również  deformację   wstę pną   zgodną   z  I  formą   (gdy  y  =   10°). N a  rysunkach  pokazano  drgania  wę zła  4  w  kierunku  OX.  Wykresy  zawierają   przebiegi drgań  nietł umionych  (ju =  0)  i  drgań  tł umionych  sił ami  tarcia  izotropowego  o  róż nych współ czynnikach  tarcia, przy  tym  samym  docisku  N o . Przebiegi  „czystych  drgań"  uzyskane  dla  macierzy  transformacji  zbudowanej  tylko z jednego wektora  wł asnego mają   znane wł asnoś ci dynamiczne ukł adu  o 1 stopniu swobody z  tarciem  suchym  [13, 14, 15, 16].  Są   to  takie  cechy  jak: a)  wystę puje  przesunię cie  ś rodka  drgań  o  ±   A, b)  amplituda  drgań  maleje  wg  postę pu  arytmetycznego, • c) funkcja  przyspieszeń  jest  niecią gła  (ze  stał ym  skokiem  2Av1 i) )  w  miejscu  zerowym prę dkoś ci  i.t.d. D la  rozpatrywanych  ukł adów  o  wielu  stopniach  swobody (9.1)  ,  A  = :  "( O gdzie # (j) jest postacią   analizowanych drgań, v it)   odpowiadają cą   jej  czę stoś cią, T  wektorem generowanych  podczas  ruchu  sił   tarcia.  Cechą   charakterystyczną ,  tych  zagadnień  jest stał y  w  czasie  kierunek  dział ania wektora  tarcia  n a  powierzchni  styku  (bez  wzglę du na typ  tarcia).  • Wpł yw  iloś ci  form  drgań  wł asnych wzię tych  dp  budowy  macierzy  transformacji  $  na obraz  drgań,  pokazano  na  przykł adzie  drgań  swobodnych  wę zła  5  (lewej  strony)  w  kie- run ku  OY,  wywoł anych  prę dkoś cią   zgodną   z I I formą   drgań  (gdy  y  =   0°). N a rysunkach 9  przedstawiono  przemieszczenia,  prę dkoś ci  i  przyspieszenia  w  przypadku  tarcia izotro- tl*10"3s] Rys.  6.  Przemieszczenia,  prę dkoś ci  i  przyspieszenia  wę zła  4  w  kierunku  OX  podczas  drgań  swobodnych z  I  formą   (gdy  y  -   10°). ]493] 10  Mech.  Teoret.  i  Stoso. 3/80 t  [ * 10" Js] R ys.  7.  Przemieszczenia,  prę dkoś ci  i  przyspieszenia  wę zła  4  w  kierunku  OY  podczas  drgań  swobodnych z  I I I  formą   (gdy  y  =  10°). [494] S.ys.  8, Przemieszczenia, prę dkoś ci  i przyspieszenia  wę zła 4 w kierunku  OX  podczas  drgań  rezonansowych z  I  czę stoś cią   wł asną   (gdy  y  — 10°) 10* [495] 496 A.  ZMITROWICZ __E - 2 KT  4 V  0 1   Y 0,5   1,0   1,5 Rys,  9.  Przemieszczenia  wę zła  5  (lewej  strony)  w  kierunku  O Y  przy  róż nych  opisach  transformacji. powego,  gdy  macierz #   skł ada się  tylko z drugiej  formy  drgań  i  gdy jest zbudowana  z pie- rwszych sześ ciu postaci  drgań  wł asnych. D la tak  sformuł owanego  zagadnienia izotropowe tarcie  suche  wzbudza  dodatkowo  te  formy  drgań,  które  mają   wzglę dne  translacje  w  kie- run ku  OY  oraz wzglę dny  obrót. Z pierwszych  sześ ciu wektorów  wł asnych tarcie  wzbudza VI  formę   drgań  wł asnych.  Ogólnie,  wzbudzane  są   te  formy  drgań  na  których  tarcie  wy- konuje  pracę ,  czyli (9- 2)  # (?, 1  ±  0. W  nastę pnych zadaniach przyję to  opis  ukł adu  sześ cioma  pierwszymi  formami  drgań. E "°  0 0,5 1,0 1,5 2,0 A Rys.  10, Przemieszczenia, prę dkoś ci  i przyspieszenia  wę zła 5  (lewej  strony)  w  kierunku  OY  podczas  drgań swobodnych  ze  sprzę ż eniami  poprzez  anizotropię   tarcia. ] 497] 498 A.  ZMITROWICZ Rys.  11.  Przemieszczenia,  prę dkoś ci  i  przyspieszenia  wę zła  5  (lewej  strony)  w  kierunku  OX  wywoł ane sprzę ż eniami  poprzez  anizotropię   tarcia. W  przypadku  drgań  z formami  bez  sprzę ż eń  sprę ż ystych  (y  —  0°)  tarcie anizotropowe generowane  podczas  ruchu  z  wybraną   formą ,  wzbudza  jednocześ nie  wszystkie  formy z wzglę dnymi  przemieszczeniami.  Wynika  to  z  wł asnoś ci  wektora  tarcia  anizotropowego, który  zbacza  z  kierunku  wymuszonego  ruchu  wzglę dnego  o  ką t  /?.  Mówimy  wówczas o  sprzę ż eniu  drgań poprzez  anizotropię  tarcia suchego. Wł asność tę  zilustrowano przykł a- D RG AN IA  UKŁ ADU   PRĘ TOWEGO 499 0,25 t[x10"3s] 0,50 0,75 Rys.  12. Przemieszczenia,  prę dkoś ci i przyspieszenia  wę zfa  5 (lewej  strony) w kierunku  O Z podczas  drgań swobodnych  z  róż nymi  sprzę ż eniami  poprzez  sprę ż ystość  ukł adu  (y =£  0°) dem  „ czystych  d r ga ń "  z  pł aszczyzny  tarczy,  wywoł anych  prę dkoś cią  począ tkową  o roz- kł adzie  zgodn ym  z I I formą  drgań  (gdy y  =   0°). N a rysun kach  10 i  11 znajdują  się prze- biegi  drgań  tł um ion ych  tarciem  izotropowym  (/ J.  =   0,11)  oraz  dwa  przypadki  t arcia an i- zotropowego:  fjt lt   =   / J, 22  =   0,07,  fi 12   =   - 0 , 0 3 5,  p 2L   =  0,17,  x  =  0,55  (ft,  ==  67°40') i i " n  =   f*2i  -   0,04, f* l2   -   - 0 , 1 1,  fi 21   =  0,14, x  -   0,45 (fi 0   =   74°10'),  przyję to  J B J » - t[x1C T 3s] 0,50 0,75 R ys.  13. Przemieszczenia,  prę dkoś ci  i  przyspieszenia  wę zła  5  (lewej  strony)  w  kierunku  OY  dla  róż nych sprzę ż eń  sprę ż ystych  (y  ^  0°) [500] oo  < x>   in  tN T - I  O\   t—  O ||  Tf"  O  O a  7  ' «  »„   00  M £   a  s  g  J[  7  7  ®" fl  2  o  d  •   s  ' E  |  '  1 .  ...  o  5  g  „ ,  r n  irT  *~"i s  a  a  s  "  i  7  ? II  TJ-"  O  o  S  '  ' R  7  i  i CO  _ '  ,  ON   " ^  r*i  r n ii  ^  *£>"  *""!, II  ">.  O «  -   - "7  '  •   ? ^  ,  - 3.  »  «  »  5 c i ^ g a N   M   l!  |  S3 ;  o* Z  n  '  3  S-   S   s  '  ' a*  «  7  i  s §  ?  r-   g.  H  5 u  "  II  o«  m  <= S"1  5  II  • *  o  o"  o  a s  "  ..  K  i  '  ir  ""o  M  "> II  ""o  ,  i  « 1  -   g-    ̂ 1 • 8  «  u  *"  rf  o-   w  8  ' o  B  7  |  of  o*  ' I f  V  I  »  -   ®  8.  3 " «  rt!  y - O O i o M  M   . „   l l | _ ls  5 *  1 . |  3 1  ,  "3  f  B  ' -   r  *  T  '  •   t  i  o  s  ~ b  >-<  • §  x  u  o "  2  1 a x " " m o < s  J s  '  1  7 g ^ K ^ - i T  5 - *  • S   m  'fl  II  "> u  i  co  '  „ .  m  en  ^—i - a  II  _  ̂ sb  o  ">   o  vo  pf |  41  T  S  S  S  *  ||  cf  • *  | a  «  -<   i  g 1  1? 8  JS 8  1  •? &  5  ' 3 B. •   K  3  ~  °*  S 1  ^  i 1  *  *  ~   ?  1  1  •>"  S" ? • 3  rt  r-   3f  cj  • §  -   - S  1,  * ,  * ,  °.  a  en  • • S  II   ̂ O  ©   S   o  JO  p;  - <, =a  c  '  =a  ||  t- -   00  f 1  ?  8  P. 8  1  S %  B  ~  |  * »  3  •?  r- 3  «°  g  g  Ł 1 1  J  g  g  1  |  J  i  . rt1 rf fc 1 1  il  t? hH &  1 1 11  Mech.  Teoret.  i  S toso.  3/ 80  [501]   ; .  '  '  1  • 502  A.  ZM ITROWICZ =   / Ą *K  Rys.  10  przedstawia  przemieszczenia, prę dkoś ci i przyspieszenia  drgań swobodnych wę zła  5 (lewej strony) w kierunku  OY.  Wzbudzane  drgania  tego wę zła w pł aszczyź nie tar- czy  wskutek  dział ania  sił   tarcia anizotropowego  przedstawia  rys.  11.  Tarcie  izotropowe nie  wymusza  drgań  w pł aczyź zsnie  OXZ. W  przypadku  drgań  ze  sprzę ż onymi  sprę ż yś cie  formami  (y  ^  0°)  tarcie  (niezależ nie od  typu)  generowane  podczas  drgań  z  wybraną   formą ,  wzbudza  wszystkie  postacie  ze wzglę dnymi  przemieszczeniami.  Zilustrowano  to  przykł adami  drgań  swobodnych  tł umio- nych  tarciem  izotropowym  / i =   0,11  a  wywoł anych  prę dkoś cią   począ tkową   o rozkł adzie zgodnym  z  I  formą   drgań  dla  y  =   10°  i y  =   30°.  N a rys.  12  przedstawiono  obraz  drgań swobodnych  wę zła  5 (lewa  strona) w  kierunku  OZ  a na rys.  13 drgania  tego  wę zła  w  kie- runku  OY.  W  zdaniu  tym  nie  uzyskano  zbież noś ci  interacji  wektora  tarcia  w  chwili bliskiej  momentowi  wygaś nię cia  ruchu  wzglę dnego. Wektor  sił   tarcia jest  funkcją   cią głą   wzglę dem  czasu  wtedy,  gdy  drgania  są   sprzę ż one poprzez  sprę ż ystość  (y  ^  0°)  lub  poprzez  anizotropię  tarcia. Wynika  to  stą d, że skł adowe wektora prę dkoś ci translacji  mają   miejsca zerowe w róż nych chwilach czasu. Jednak w wielu przypadkach  zmiana kierunku wektora  sił y tarcia nastę puje w bardzo krótkim czasie (mniej- szym od przyję tego  kroku cał kowania równań ruchu). Pokazuje to przykł ad (tabl. 6) zmiany kierunku  wektora  tarcia izotropowego  (/ J,  =   0,1; N o   =   150  [N]) podczas drgań z III formą drgań  wł asnych  (gdy  y  — 10°).  Przypadek  zmiany  kierunku  tarcia  anizotropowego  (dla j80  =   74°10') podczas drgań wedł ug I I formy  (gdy y  — 0°), przedstawiono w tabl. 7. W obu przykł adach  skł adowe  wektora  tarcia  iterowano  z  dokł adnoś cią   (5 =  2  [%].  Z  cią gł oś ci wektorowej  funkcji  siły tarcia wynika  cią gł ość funkcji  przyspieszeń.  Jednak  ze wzglę du na bardzo  krótki  czas  w  którym  zmienia  się   kierunek  sił y  tarcia,  otrzymany  obraz  funkcji jest  zbliż ony  do  przebiegu  typu  przeskok.  Funkcja  prę dkoś ci  w  tym  przypadku  może mieć  gwał towne  ekstremum.  W  celu  zachowania  przejrzystego  obrazu  drgań  na  rys.  10 i  11  w  przypadkach  anizotropii  nie  naniesiono  przebiegów  funkcji  prę dkoś ci  i  przyspie- szeń  w  przedział ach czasowych  zmiany  kierunku  wektora  tarcia. We  wszystkich  pokazanych  przykł adach tak  dobrano warunki  począ tkowe  drgań  aby sił y tarcia  dynamicznego  był y generowane już  od chwili  t 0 .  Opis  drgań  koń czono z chwilą ustania  jednego  (rys.  10, 11, 12, 13)  lub  wszystkich  (rys.  6, 7, 9)  ruchów  wzglę dnych w  miejscu  niecią gł oś ci.  M oment ten  oznaczono na  wykresach  literą   E. 10.  Wnioski Zasadnicze  wł asnoś ci  dynamiczne pary  ł opatek  turbinowych  z  tarciem suchym  na po- wierzchni  niecią gł oś ci  bandaża  moż na  sformuł ować  nastę pują co: a)  P akiet ł opatek  z niecią gł ym  bandaż em ma dodatkowe stopnie swobody a jego czę stoś ci drgań  wł asnych,  odpowiadają ce  formom  z  wzglę dnymi  przemieszczeniami,  są   niż sze od  czę stoś ci  drgań  ukł adu  z  monolitycznym  bandaż em. b)  U koś ne  usytuowanie  ł opatek  w  wień cu  tarczy  wirnikowej  (y  #   0°)  wywołuje  efekty sprzę ż eń drgań z róż nych pł aszczyzn ruchu (jest to sprzę ż enie drgań poprzez sprę ż ystoś ć ). c)  D rgania  z  postaciami  bez  wzglę dnych  przemieszczeń  w  miejscu  niecią gł oś ci  nie  bę dą generował y  sił   tarcia. d)  Przez  odpowiedni  dobór  parametrów  tarcia  moż na uzyskać 'powolny  wzrost amplitud rezonansowych,  dopuszczalny  w  okreś lonym  czasie  eksploatacji. D RG AN IA  UKŁADU   PRĘ TOWEGO  503 e)  D rgania  pakietu  z udział em  tarcia  suchego  są   superpozycją   ruchów  z tymi  formami wł asnymi  na których  generowana  podczas  ruchu  sił a tarcia  wykonuje  pracę . W zależ- noś ci  od  warunków  ruchu,  typu  tarcia  oraz  sprę ż ystych  sprzę ż eń  form  drgań,  sił y tarcia  pracują   n a niektórych  lub wszystkich  formach  z wzglę dnymi  przemieszczeniami w miejscu  styku.  We wszystkich  rozważ anych  przykł adach ruch form  rozpraszają cych energię   ustaje  jednocześ nie. f)  W przypadku  sprę ż yś cie  sprzę ż onych  form  drgań  (y  =ć 0°) tarcie  izotropowe  i anizo- tropowe  generowane  podczas  „czystych  drgań "  z  wybraną   formą ,  wzbudza  wszystkie formy  z  wzglę dnymi  przemieszczeniami,  niezależ nie  od  tego  czy  wywoł ano  drgania o  dominują cych  przemieszczeniach w pł aszczyź nie tarczy  wirnikowej  czy z pł aszczyzny. g)  Siły  tarcia  izotropowego  podczas  „czystych  drgań "  z  niesprzę ż oną   sprę ż yś cie  formą (y  =  0°) wzbudzają   tylko  te postacie  w których  wzglę dne  przemieszczenia  wystę pują na  kierunkach  przemieszczeń  wymuszonej  formy. h)  Siły  tarcia  anizotropowego  generowane  podczas  „czystych  drgań "  z  niesprzę ż onymi formami  (y =  0°)  zbaczają   z  kierunku  wymuszonego  ruchu  i  wzbudzają   wszystkie formy  z wzglę dnymi  przemieszczeniami w miejscu  niecią gł oś ci  (jest  to sprzę ż enie  drgań poprzez  anizotropię  tarcia). Przedstawiona w pracy metoda analizy dynamicznej umoż liwia liczenie ukł adów o wielu stopniach  swobody  z  udział em  sił  tarcia  na powierzchniach  rozdział u.  U wzglę dnia ona typowe  dla opisu  tarcia  suchego  nieliniowoś ci  i  niecią gł oś ci. N a  zakoń czenie  autor  pragnie  podzię kować  Panu  mgr  M ..  LID KĘ   za  liczne  uwagi i  sugestie  wykorzystane  przy  ukł adaniu programów  obliczeniowych  na EM C . Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  J.  G IERG IEL, Problemy tarcia  konstrukcyjnego  w  dynamice  maszyn,  Zeszyty  N aukowe  AG H ,  z. 44, 1971  r. 2.  Z .  OSIŃ SKI,  Rozpraszania energii w  nieliniowych  ukł adach mechanicznych,  Zag.  D rgań  N ielin.,  nr  9, 1968 r. s. 85  -  95 3.  Z.  OSIŃ SKI, Kierunki  rozwojowe  badań tł umienia drgań  w procesach dynamicznych,  Z ag.  D rgań N ielin., n r  12, 1971 r., s.  87- 99 4  H . F .  K AJ I H H H H H fl p , ,  KoucmpyKi{uouł ioedeAincfiupoeaHne  enenodsuoicHbixcoedwetiunx,H 3R.  A H J I C C P , P ara  1960 5.  J.  M U R I N , Comments on the  dynamie and damping properties of  a layered system  with dry friction, Z ag. •   D rgań  N ielin., nr  14, 1973 r., s.  531 -  545 6.  W.  BOG U SZ,  J.  G IERG IEL, Drgania przypadkowe wymuszone ukł adu mechanicznego  z  tarciem  suchym, Zag.  D rgań  N ielin.  nr  12,  1971 r., s.  169- 176 7.  Z .  OSIŃ SKI, K.  WI K LI K , T he excited nonlinear vibrations of a system damped by the viscous and structural, damping,  Z ag. D rgań  N ielin., n r  15, 1974 r.,  s.  381- 391. 8.  A.  MU SZYŃ SKA,  W pł yw efektu  poś lizgu  w zamkach  na tł umienie  drgań  ł opatek  maszyn  wirnikowych Prace  IP P T,  n r 55, 1977 r. 9.  S. W.  EARLES,  E. J.  WILLIAM S,  A  linearized analysis for frictionally  damped systems,  Jo u r, of  Sound and  Vibr.,  24  (4), 1972 r.,  s.  445- 458 10.  J.  WIĘ CKOWSKI, Dynamika  belki  warstwowej z tarciem suchym,  Biuletyn  I n st. M aszyn  P rzepł .,  21  (698) •   1971 r. 11.  J.  WIĘ CKOWSKI,  Sygnatury  i  analiza  numeryczna  drgań  swobodnych ł opatki  pryzmatycznej  z  drutami tł umią cymi,  Biuletyn  Inst. Maszyn  Przepł yw., 97 (763)  1974 r. 504  A.  ZMITROWICZ 12.  J.  WIĘ C KOWSKI,  T ł umienie drgań gię tnych  w prę cie pryzmatycznym  z  profilem  odcjnka  zamocowania typu  gwintowego, P race  I n st. Maszyn Przepł .,  z. 49, 1970 r., s.  97 -  119 13.  I. P .  D E N   H AR T O G ,  Drgania  mechaniczne,  PW N , Warszawa  1971 r. 14.  S.  ZIEM BA,  Analiza  drgań ,  P WN , Warszawa  1957  r. 15.  S.  KALI SKI ,  Drgania i fale,  PW N ,  Warszawa  1966  r. 16.  Z .  OSI Ń SKI,  T eoria drgań , P WN , Warszawa  1978  r. 17  A .  . U JmnoB, JJu^ epeutfau/ ibHueypaeueuuH  cpa3puenoU  npaeoii  Hacmio,  M a T .  C 6 O P H H K ,  T 5 1  ( 93) , H p.  1,  I 960, c.  99—128 18.  K.  TAU BERT,  Differenzverfahrenfur Schwingungen mit trockener und  zaher Reibung und fiir Regelungssy- steme,  N um er  M ath.,  n r  26,  1976  r.,  s.  379- 395 19.  J. S.  PRZEM IEN IECKI, T heory of matrix structural analysis,  M c G raw- H ill,  1968 r. 20.  J.  SZMELTER i inni,  Programy metody elementów skoń czonych,  Arkady, Warszawa, 1973 r.  . 21.  R. E . D .  BISH OP i  inni, Macierzowa analiza drgań ,  Wyd. N auk.- Techn., Warszawa  1972 r, 22.  J. H .  WILKIN SON ,  C.  REIN SCH ,  L inear  Algebra.  H andbook  for  Automatic  Computation,  Springer- - Verlag,  1971  r. 23.  A.  Z M ITROWIC Z ,  T ensor tarcia Coulomba,  M ech. Teor. i Stosów., nr 4,1977 r., s. 517 -  527 24.  A.  Z M ITROWICZ , Sił y tarcia Coulomba podczas wirowania, M ech. Teor. i Stosów., n r 4,1972 r. s. 583  -   600 25.  K. J.  BATH E,  E. L.  WILSON ,  N umerical methods in finite  element analysis,  Prentice — H ill  Inc.,  1976 r. 26.  K.  MosZYŃ SKt,  Rozwią zywanie  równań róż niczkowych zwyczajnych  na  maszynach cyfrowych,  Wyd. N auk.- Techn.,  Warszawa  1971 r. 27.  N . M .  N E WM AR K,  A  method  of  computation for  structural dynamics, P roc.  ASCE, Jour.  Eng. Mech. D iv.,  vol.  85,  nr  3.  1959  r.,  s.  67- 97 28.  A.  Z M ITROWIC Z ,  Mechanizmy tarciowe  w ukł adach ł opatkowych maszyn wirnikowych, Zeszyty N aukowe in st.  M aszyn  Przepł .,  45  (919)  1978  r. 29.  J.  TH OM AS,  H .  BELEK,  Free vibration  of  blade packets, Jour.  M ech. Eng! Scien., vol.  19, n r 1, 1977 r., s.  13- 21 30.  B. B.  M ATBEEB  H  # p . j  Hcc/ iedoeanue  deMncfiupymufeu cnoco6Hocmu nonapuo  BandaMupoiiaHHux mypóuH- Hux  AonamoK  e  3aeucuM0cmu  om ycjtoeuii  conpnoicenuM ux  BaudaotcHbix  no/ ioK,  ITpo6jieM Łi  n p c m o c T H , H p.  8,  1978, c.  93—97 P  e  3  IO  M e KOJI EEAH H H   CTEPaCH BBOfł   C H C TE M BI  C  T P E H H E M KYJIOH A  H A ITOBEP XH OCTH   riP E P BI BH OC TH B  pa6o T e  n peflcraBJieH   MCTOH;  p a c ^ e i a  KOJieSaHHH   CTep>KHeBoft  CH CTCMBI  c  cyxain  TpeHeM  B  K O H - CTpyKIJHOHHOH  npepbIBH OCTH , PU C.  1. I l p u  nOMOIHH  MeTOfla  KOHetfflbIX  3JieMeHTOB  CTepWHeBVK) CHCTeiHy c u d eM o ft  c  KOiie^Hfeim  H H C H OM  c ie n e H e ń  CBo6oflbi.  O 6m e e  on ucaH H e  C KJI  c yxo r o  TpeHKH  Ha K o m aK xa  flaH O  rrpn  n oM Oiqa  TeH aopa  TpeHHS  Kyxion a  [ 23,  24] .  npHHHTO BO  BHHiwaHHe noBepxHOCTHBiH  xapai< rep  KoirraKi- a  u  aH H 30Tponino  c yxo ro  T peH iw. HHHaMizraecKHe  cBoftctBa  c rep wH eBo ił   CH CTCMŁI  accjieflOBaH o  Ha  n paiwepe  pacmeTa  „ ^ H C T L I X  KOJie- 6aH H ft "  n a K eia ,  TypBH H H wx  nonaTOK.  I I oKa3aH o  94> ih e K ™  BO36y>KfleHHH H   cnopH H ceH itii Kone6aH «H   H epe3  yn p io r o c T b  cucTeiww  H   aHH3OTponHoe S u m m a r y VIBRATION   O F  A  ROD  SYSTEM  WITH  COU LOMB F RICTION  AT D ISCON TIN U ITY SU RF ACE  i The  paper presents a method of  vibration analysis  of  a rod  system  with  dry friction at the construc- tion  discontinuity place, fig.  1; The rod  system  was  described  as a system of finite  degrees  of freedom by means of tche method of finite  elements. G eneral  description of  dry  friction  forces  at the contact  surface D RG AN IA  UKŁADU   PRĘ TOWEGO  505 was  made  by  means  of  Coulomb  friction  tensor  [23, 24],  F riction  anisotropy  and  a  real  character  of contact  was  taken  into  consideration. The  motion  properties  of  the  rods  system  were  investigated  by  numerical  studying  of  an  example of  turbine  blades  packet  „ pu re vibration ".  The effects  of  friction  excited  vibration  an d  of  vibration coup- ling  resulting  from  elasticity  of  the system  and/ or anisotropic friction,  were  showed. PAN INS TYTUT  M AS ZYN  PRZEPŁYWOWYCH GDAŃ SK Praca  został a  zł oż ona  w  Jtedakcji  dnia  24  lipca 1979  roku