Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  18 (1980) ZAG AD N IEN IA  KON C EN TRAC JI  N AP RĘ Ż EŃ   W  P O BLI Ż U   OTWOR ÓW  W  O Ś R O D KU N I E JE D N OR OD N YM .  C Z Ę ŚĆ  I .  P R Z E G LĄ D. W.  I.  A N D R E J E W  (M OSKWA) W  zagadnieniach  mechaniki  niejednorodnego  oś rodka  cią gł ego  rozpatruje  się   trzy podstawowe  typy  niejednorodnoś ci:  niecią gł ą,  dyskretną   i  stochastyczną .  D la  każ dego ż  przedstawionych  typów,  równania  oraz  metody  rozwią zania  są   zupeł nie róż ne,  dlatego moż na  rozpatrywać  trzy  samodzielne  klasy  zagadnień  mechaniki  niejednorodnego  oś rod- ka  cią gł ego. Zadania  z  pierwszym  typem  niejednorodnoś ci  sprowadzają   się   do  równań  róż nicz- kowych  ze  zmiennymi  współ czynnikami,  w  drugim  przypadku  rozwią zanie  polega  na „zszyciu"  rozwią zali  na  granicy  obszarów  z  wł asnoś ciami  jednorodnymi,  w  ostatnim przypadku  należy  posł ugiwać  się   aparatem  statystyki  matematycznej. W  tej  pracy  rozpatrzymy  niejednorodnoś ci  pierwszego  typu,  kiedy  mechaniczne  cha- rakterystyki  materiał u są   cią gł ymi  funkcjami  współ rzę dnych, przy  tym w  każ dym  punkcie ciał a  speł nione  są   ogólne  prawa  teorii  sprę ż ystoś ci  lub  plastycznoś ci. N iejednorodność  o  konkretnej  postaci  powstaje  przy  róż nych,  sposobach,  obróbki czę ś ci,  w  procesie  produkcji  (dział anie  wybuchowe,  prowadzą ce  do  lokalnego  zagę sz- czenia  lub  spulchnienia  materiał u,  twardnienie  betonu  itp.),  przy  napromieniowaniu, istnieniu pola temperatury itd. W  ostatnim przypadku,  w  zależ noś ci  od materiał u, gradient temperatury  powodują cy  niejednorodność  może  być  istotnie  róż ny,  od  kilkuset  stopni (metale) do kilku  stopni  (zamarznię ty  grunt). I tak  w zamarznię tym  gruncie  przy  zmianie temperatury  o  5:—7  stopni  moduł   Younga  może  zmienić  się   dwukrotnie  i  wię cej.  Zależ- ność  charakterystyk  mechanicznych  od  współ rzę dnych  wyznacza  się   doś wiadczalnie w  każ dym  konkretnym  przypadku,  a  potem  aprokś ymuje  się   funkcje  E(x, y, z), v(x, y, z), cr r (x, y, z)  itd.  Tutaj  E, v  i  a r   są   odpowiednio  moduł em  Younga,  współ czynnikiem  Pois- sona,  granicą   pł ynię cia  materiał u. Czę sto  otrzymanie  odpowiednich  danych  doś wiadczal- nych jest  bardzo  trudne,  dlatego  funkcje  te  mogą   być  wzię te  w  przybliż eniu,  aby  tylko pokazywał y  tendencję   zmieniania  się   wł asnoś ci,  a  w  rezultacie  rozwią zania  konkretnego zadania  mechanicznego  otrzymamy jakoś ciową   ocenę   wpł ywu  tego  czy  innego  czynnika. D alej  bę dziemy  zakł adać, że  wszystkie  charakterystyki  mechaniczne  oś rodka  są   znanymi i  zadanymi  funkcjami. Jedne  z  pierwszych  prac  poś wię conych  teorii  sprę ż ystoś ci  oś rodka  niejednorodnego napisał   S. G .  M IC H LIN   [1,  2], wyprowadził   w  nich  równania  pł askiego  zagadnienia  dla cią gł ej  i  dyskretnej  niejednorodnoś ci. "Póź niej  podobne  równania  dla  bardziej  zł oż onych przypadków  został y  podane  w  pracach  [3,  4  i  innych].  Jedną   z  podstawowych  prac  n a temat  teorii  plastycznoś ci  oś rodka  niejednorodnego  jest  praca  W.  OLSZAKA,  J.  RYCH LE- WSKIEGO  i  W.  URBANOWSKIEGO  [5],  W  ostatnich  latach  prace  poś wię cone  mechanice 520 W.  I .  AN D R H E W oś rodka  niejednorodnego  opublikowali  G . P.  KOŁCZIN  [6, 7], W. A.  ŁOMAKIN   [8], N . A. ROSTOCEW  [9]  i  inni  autorzy  [10- 12].  Jest  także  duża  ilość  prac  poś wię conych  konkret- nym zagadnieniom mechaniki, w  których niejednorodność odgrywa  istotną  rolę . W  pierw- szej  kolejnoś ci,  oczywiś cie,  rozwią zano  klasyczne  zagadnienia  mechaniki  ciał a  stał ego  — zagadnienie  Lamego  dla  walca  i  kuli  [13- 15  i  inne],  zadanie  o  klinie  [16],  zadanie Fla- manta- Boussinesqa  [17,  18]. Porównanie otrzymanych rozwią zań  ze znanymi  klasycznymi, pokazuje,  że  niejednorodność  oś rodka  może istotnie  zmienić obraz  stanu  naprę ż eń  i  od- kształ ceń. N iniejszy  przeglą d  poś wię cony  jest  przede  wszystkim  pracom, w  których  rozwią zane są   zadania  o  rozkł adzie  naprę ż eń  w  pobliżu  otworów.  Wś ród  wielu  zastosowań  takich zadań  w  technice, szczególna  uwaga  bę dzie zwrócona  na zagadnienie  koncentracji naprę - ż eń  w  pobliżu  podziemnych  pustek  (jam,  wydrą ż eń ),  mają cych  prostą   postać:  pustka kulista  i usytuowany  poziomo, dostatecznie dł ugi otwór walcowy. W pierwszym  przypadku zadanie jest  osiowosymetryczne  wzglę dem  osi  Y  (Rys.  2.),  a  w  drugim  zadanie moż na rozpatrywać  jako  zadanie o pł askim stanie odkształ cenia (Rys.  l.j.  Jedynym  obcią ż eniem, R ys.  1 Rys.  2 które  powoduje  powstanie  pola  naprę ż eń jest  cię ż ar  wł asny  oś rodka.  Przy  tym  cię ż ar wł asny  jako  obcią ż enie  zewnę trzne  wystę puje  dwojako.  Jeś li  z  masywu  wycią ć  pewną obję tość zawierają cą   pustkę , t o przechodzą c do zadania brzegowego  i zewnę trznego  brzegu danej  obję toś ci,  należy  przył oż yć obcią ż enie normalne p  i  styczne  q. =  - ^ ( # - 1 * 00  COS < (1) - sin20+ cos2< 9), 4- ^sin26>, gdzie  y  —  cię ż ar  wł aś ciwy  materiał u, R x   — promień  wycię tej  obję toś ci,  & —  ką t  bie- gunowy.  Oprócz tego,  cię ż ar  wł asny wywoł uje  sił y  obję toś ciowe,  które we współ rzę dnych kartezjań skich  mają   postać  Y=  —y,  X~  Z  =   0,  a  we  współ rzę dnych  biegunowych i  kulistych  • , trzecia  skł adowa jest  równa  zeru. R  =   - yc o s®, 0  =   ysin&, ZAG AD N IEN IA  KONCENTRACJI  N APRĘ Ż EŃ   521 Okreś lenie  naprę ż eń  nawet  w  przypadku  jednorodnym  nie jest  zadaniem  elementar- nym, jest  kilka  prac  [19- 22], w  których  rozpatruje  się  pł askie zagadnienie  z  otworem  wal- cowym. N a przykł ad, zgodnie z  [20], naprę ż enie a 0   w pobliżu  szczeliny  okreś la  się   wzorem 2  L I — 1  r  \ - 2v  a  v IL a]  .  _ r 3  J4  a  4(1 —v)  7-   4( 1  —v)  r3 f l  r  la3  a 5 l  .  _  J •   +   - .-   T —*-   +  —  sm36>>, L 4  a  4  r 3  r 5  J  J gdzie  r —  promień poprowadzony  ze  ś rodka  pustki,  a —  promień  otworu.  W  przytoczo- nych  wyraż eniach  ostatnie  skł adowe  odpowiadają   stanowi  naprę ż enia  w  nieskoń czonej pł aszczyź nie  z  otworem,  a  pierwsze  dwie  wystę pują   przy  przejś ciu  do  pół pł aszczyzny. Poza  tym,  druga  skł adowa  odpowiada  rozwią zaniu  zadania  Kirscha,  jeś li  w  kierunku v pionowym  wystę puje  obcią ż enie  yH,  a  w  poziomym  yH.  W  ten  sposób,  wpł yw cię ż aru  wł asnego  wycię tej  obję toś ci  okreś la  się ,  w  przytoczonym  wyraż eniu,  pierwszą i  trzecią   skł adową .  Jeś liby  ocenić  rzą d  poprawki, jaką   wprowadza  uwzglę dnienie  cię ż aru wł asnego,  to  okazuje  się ,  że  na  brzegu  otworu  wzdł uż promienia poziomego  (©  —  0,  n) poprawka  zeruje  się ,  a  przy  innych  wartoś ciach  & zależy  ona  od  v  i  osią ga  najwię kszą wartość  dla v = 0 w  punkcie  r  =   a, ©  =  - r- , - ^-.  Wartość  poprawki  równa jest  ya,  na- tomiast  rzą d  naprę ż eń,  okreś lony  drugą   skł adową ,  równy  jest  yH.  M oż na  wycią gnąć dwa  wnioski: 1, Wzdł uż  poziomego  promienia,  tam  gdzie  wystę puje  najwię ksza  koncentracja  na- prę ż eń, uwzglę dnienie  wpł ywu  cię ż aru  wł asnego  oś rodka  nie zwię ksza  dokł adnoś ci w po- równaniu  ze  znacznie  prostszym  zadaniem  Kirscha. 2. Uwzglę dnienie  wpł ywu  cię ż aru  wł asnego  oś rodka  daje  istotną   poprawkę   w  rozwią - zaniu,  gdy  promień  otworu  jest  porównywalny  z  gł ę bokoś cią   poł oż enia  szczeliny  H. W  przeciwnym  przypadku  poprawkę   moż na  pominą ć. Oczywiś cie,  podobne  wnioski  bę dą   prawdziwe  również  w  przypadku  pustki  kulistej. W ten sposób, dla oceny stanu naprę ż enia przy speł nieniu warunku H  >  a w przypadku jednorodnym  moż na wykorzystać  rozwią zanie  Kirscha  w  zadaniu  z  otworem  walcowym, a  przy  pustce kulistej  —  zadanie  o ś ciskaniu  oś rodka w trzech kierunkach z takim  samym otworem.  Ostatnie  rozwią zanie  otrzymuje  ,się   bardzo  ł atwo  drogą   superpozycji  trzech rozwią zań  dotyczą cych  rozcią gania  (ś ciskania)  prę ta  z  pustką   kulistą   [23].  Przytoczymy wzory  na  naprę ż enia  wystę pują ce  przy  ś ciskaniu  oś rodka  w  trzech  kierunkach.  N iech w  pewnej  odległ oś ci  od  pustki  n a  oś rodek  oddział ywują   obcią ż enia  ś ciskają ce cf y   • =  - yH,  a x . =  a z   =   - jL 522 W.  I .  AN D R E J E W Wówczas  w  pobliżu  pustki  naprę ż enie  a r   — 0,  a  dwa  pozostał e  naprę ż enia  normalne w  pun ktach  charakterystycznych  oblicza  się   ze  wzorów  (Rys.  2). - ,  3  ( 1 + » ) ( S F - 1) 2 y  (7 (4 ) (2 )  (3 1 n(2)  _ _  (3)  _ (9- Uv+5v 2 ) N a  Rys.  3  pokazaliś my  zależ noś ci  tych  trzech naprę ż eń  (zauważ my,  że  przy  zmianie ką ta  0  przyjmują   one wartoś ci  ekstremalne)  od współ czynnika  Poissona. Poza tym, przy- toczyliś my  wykres  róż nicy  naprę ż eń  gł ównych  a( 0 2) — tzn. w  rzeczywistoś ci  samo naprę ż enie ffj, 2)(ov =   0) jest mak- symalne i zmienia się  nieznacznie przy zmianach v. Ostatni fakt  pozwala  stosować  do oceny naprę ż eń  jeszcze  prostsze  rozwią zanie  —  zadanie  Lamego  dla  gruboś ciennej  powł oki kulistej.  Zauważ my,  że  rozwią zanie  (4)  dla  v  =   0.5  (przypadek  równomiernego  wszech- 2,5 2 . 0 - 1 , 5 - I 0 . 5 - - 0,5 1 i ——— i 5< i _ 0,1 0,2  0,3 R ys.  3 0,4 0 5 stronnego  ś ciskania)  jest  rozwią zaniem  zadania  Lamego.  Jeś li  z  tego  punktu  widzenia rozpatrzymy  powyż ej wspomniane  rozwią zanie  zadania  Kirscha dla pł askiego zagadnienia z  otworem  walcowym,  t o  okaże  się ,  że  współ czynnik  koncentracji  naprę ż eń  K e   = yH w  zależ noś ci  od  współ czynnika  Poissona  zmienia  się   w  granicach  od  2  (v =   0.5)  do  3 (y =   0), co  pozwala  stosują c  rozwią zanie  zadania  Lamego  dla  rury  gruboś ciennej,  wpro- wadzić  poprawkę   dla  dowolnej  wartoś ci  v. 524  W.  I .  AN D REJEW Wś ród  róż nych  metod  rozwią zań  pł askiego  zagadnienia  niejednorodnej  teorii  sprę - ż ystoś ci,  w  wię kszoś ci  stosuje  się   tradycyjnie:  metodę   zmiennej  zespolonej  [24],  funkcje specjalne  [18], metodę  mał ego parametru, rozwią zania  przy  pomocy szeregów  [4, 25] itd. Interesują ca  jest  ogólna  metoda  rozwią zania  równania  (5),  przedstawiona  przez  G.  B. KOŁ C Z I N A  [26] metoda kolejnych  przybliż eń.  W  metodzie tej  poszukuje  się  funkcji  o =   - PH - P °5 (9)  V*®!  -   - LŚ >o, Jeś li  przyjmiemy,  że  szereg  (8) jest  maleją cy  i poczynają c  od  pewnego  N   odrzucimy jego czł ony przyjmują c,  że ostatni zatrzymany jest dostatecznie mał y, to otrzymamy  L 0„_ x   ~  0. Wówczas  moż emy  przejść  do  skoń czonego  ukł adu  równań  (9),  w  którym  pierwsze równanie  daje  rozwią zanie  zadania jednorodnego,  a  wszystkie nastę pne są   pewnymi  po- prawkami  wynikają cymi  z niejednorodnoś ci. Przy korzystaniu  z tej metody warunki brze- gowe  musimy  speł nić jedynie  pr^y  cał kowaniu  pierwszego  równania,  tzn.  rozwią zując zadanie  jednorodne.  We  wszystkich  nastę pnych  etapach  cał kowania  warunki  brzegowe są  jedn orodn e. Jeś li w pierwszym  etapie nie udaje  się   dokł adnie speł nić warunków  na gra- nicy,  t o  moż na to  osią gnąć  przy  obliczeniu  nastę pnych przybliż eń.  Metoda ta  był a zasto- sowana  przez  G . B.  KOŁCZIN A  W rozwią zaniu  pewnych zagadnień  [6], a także przez W. N . TORLIN A  [25]. N ależy  zauważ yć,  że jak  przyznaje  sam  autor tej  metody, zbież ność jej  nie jest  udowodniona  i  może  być  jedynie  przeanalizowana  drogą   porównania  kolejnych przybliż eń. Poniż ej,  n a  przykł adzie  zadania  Lamego  rozpatruje  się   dwa  przypadki  posł ugiwania się   tą   metodą .  Rozpatrzymy  rurę  gruboś cienną,  której  promień wewnę trzny  równy jest a, a  zewnę trzny  b  =   2a, obcią ż oną   zewnę trznym  równomiernym  ciś nieniem p.  Przypuś ć my, 2e  v  — 0.5,  a  zależ noś ć" moduł u  Younga  od  promienia  ma  postać (10)  ;  E  m E or". Takie zadanie ma rozwią zanie  ś cisł e, przy  czym nie potrzeba posł ugiwać się  równaniem (5),  lecz  moż na  rozwią zać  zadanie, przyjmują c  jako  funkcję   rozwią zują cą   naprę ż enie  a r . W  danym  przypadku  zadanie  sprowadza  się   do  rozwią zania  równania  drugiego  rzę du [27,  28]. N ie  zatrzymują c  się   nad  szczegół ami wyprowadzenia  tego  równania  i  metodzie , rozwią zania  (co pokaż emy  w  drugiej  czę ś ci  pracy), przytoczymy  tu  postać równania  dla danego  przypadku  oraz  wzory  na  naprę ż enie otrzymane ze  ś cisł ego  rozwią zania  zadania (11)  ra ZAG AD N IEN IA  KONCENTRACJI  N APRĘ Ż EŃ   525 Tutaj  prim  oznacza  róż niczkowanie  wzglę dem  promienia (12) 1- 2 n- 2 D ane  rozwią zanie jest  prawdziwe  dla  każ dego  n, za  wyją tkiem  n  =   2. W  tym  przypadku w  wyniku  cał kowania otrzymuje  się   logarytniy.  Zadanie to moż na rozwią zać  metodą   ko- lejnych  przybliż eń,  która może być  zastosowana  do  równania  (11). Jeś li  wydzielić  w  tym równaniu  czę ść  odpowiadają cą   zadaniu jednorodnemu,  to  moż na  zapisać  je  w  postaci ( l l a ) '  ra' r '+3   ^ o i  —  ^ o i  - D o i T"  TT ' Ś cisłe rozwią zanie  równania  (17) otrzymano w  [29], pokrywa  się  ono z rozwią zaniem  (22). Rozpatrzmy  warunek  zbież noś ci  szeregu  (21)—[/ 3|  <  1,  który  nakł ada  okreś lone  ogra- niczenia  na  parametry  m,  n  i  promień  b.  Tak  n p.  dla  m  =  0.75,  n  =  —1,6  =   2,  /? =   1 szereg jest rozbież ny.  D la funkcji  (16) asymptotycznie  zbiegają cych  do  wartoś ci  granicznej przy  zwię kszeniu  się  Q,  n jest  zawsze dodatnie, a r a < l  (jeś li  m  >  1, to dla  Q =  1, E  mu- siał oby  być  ujemne).  Rozpatrując  przypadek  b  -> oo  (a  =   1)  moż na  okreś lić  obszar zbież noś ci  szeregu  (21)  w  danym  przypadku.  Ponieważ  teraz  8  =  = - , to  warunkiem n+2 koniecznym  zbież noś ci  szeregu  jest, by  stał e m.in  był y zwią zane  zależ noś cią n +  2  n+2 Prawa  nierówność  przy  przedstawionych  powyż ej  ograniczeniach  (m ^  1,  n  >  0)  speł - niona jest zawsze,  a lewa może nie być speł niona, wówczas  szereg bę dzie rozbież ny.  W tych przypadkach,  kiedy  szereg jest zbież ny,  szybkość jego  zbież noś ci  w  duż ym  stopniu  zależy od  wielkoś ci  8.  D la  mał ych  (3  w  celu  otrzymania  dostatecznej  dokł adnoś ci konieczne  są '2- 3  przybliż enia.  Jeś li  /? jest  bliskie  1, to  dla  otrzymania  dokł adnych wyników  może  być niezbę dna  duża  liczba  iteracji.  F akt ten jest potwierdzony  także  przez  rozpatrzony  powy- ż ej przykł ad. Zanim  przejdziemy  do  omówienia  poszczególnych  prac, dotyczą cych  rozwią zań  zadań zwią zanych  z koncentracją  naprę ż eń w oś rodku niejednorodnym, przedyskutujemy  bardziej szczegół owo  wpł yw  niejednorodnoś ci  na  mechaniczne  wł asnoś ci  materiał ów.  Jako  pod- stawowe  ź ródła rozpatrzymy  prace  [5, 29]. W pracy  [5] gł ówną uwagę zwrócono  n a zmianę sprę ż ysto- plastycznych  wł asnoś ci  metali  pod  wpł ywem  dwóch  podstawowych  przyczyn: napromieniowanie  strumieniami  neutronowymi  i  pole  temperatury.  Przytoczone  są  dane doś wiadczalne  dotyczą ce  wpł ywu  wymienionych  czynników  n a  wykres  rozcią gania,  gra- nicę  pł ynię cia  oraz  wytrzymał ość  pewnych  metali.  Zauważ my,  że  zwię kszenie  strumienia neutronów  prowadzi  do  zwię kszenia  się  dwóch  ostatnich  charakterystyk,  a  zwię kszenie temperatury  obniża  granicę  wytrzymał oś ci  i  plastycznoś ci.  Pokazane  zależ noś ci  doś wiad- czalne  mają  naogół  skomplikowany  charakter,  róż ny  dla  róż nych  materiał ów  i  ich  ana- lityczne  przybliż enie  jest  bardzo  trudnym  zadaniem. W pracy  [29] na podstawie  wł asnych badań  doś wiadczalnych  oraz n a  podstawie  wyni- ków  prac  [30- 34]  przytoczono  dane  na  temat  wł asnoś ci  mechanicznych  minerał ów  i  ich zmian, powstają cych  pod  wpł ywem  wybuchów  i procesów  cementacji. Przy  wybuchowym 528 W.  I .  AN D REJEW wierceniu  tuneli  oraz  przy  tworzeniu  pustek  za  pomocą  zamaskowanego  wytmchu  mogą zachodzić  róż ne  zjawiska,  w  zależ noś ci  od typu  skał y. W pewnych  przypadkach może na- stą pić  zgę szczenie  materiał u,  prowadzą ce  do  zwię kszenia  moduł u  odkształ cenia (analo- logiczne  zjawisko  zachodzi  w  minerał ach  zgę szczonych  przez  cementację ),  a  w  kruchych skał ach  może  powstać  obszar  zarysować,  w  którym  moduł   odkształ cenia jest  mniejszy niż  w  niezniszczonym  masywie.  N a Rys. 4 przedstawiony  jest  charakter  zależ noś ci  dwóch omówionych  typów.  W  miarę  oddalania  się  od  pustki,  moduł   dą ży  asymptotycznie  do wartoś ci  wyjś ciowej.  D la  takich  zależ noś ci  zakł ada  się  analityczną  formę  zapisu  (tutaj zastosowano  in n e oznaczenie niż  w  pracy  [29]) (23) E  = Rys.  4 gdzie  £ r o —  moduł   Younga  w  nienaruszonym  masywie,  k 1 Ex  —  wartość  moduł u  na brzegu  pustki,  a —  promień  pustki,  n —  parametr.  Funkcja  (23)  dobrze  opisuje  rzeczy- wiste zależ noś ci,  dla k x   <  1 jest to typ niż szej krzywej na Rys. 4., a dla k t   >  1 —  wyż szej. D la  funkcji  asymptotycznie  zbiegają cych  do  wartoś ci  granicznej,  oczywiś cie  n  >  0.  Za- uważ my,  że  podobna  zależ ność  wystę powała  już  wcześ niej  (16). Poza  zmianą  wł asnoś ci  odkształ ceniowych,  przy  pojawieniu  się  niejednorodnoś ci  po wybuchu  zachodzi  także  zmiana  wytrzymał oś ciowych  wł asnoś ci  materiał u.  W  [29]  przy- toczone  są  pewne  zależ noś ci  granicy  wytrzymał oś ci  w  miarę  oddalania  się  od  brzegu pustki.  W  celu  analitycznego  zapisania  tej  zależ noś ci" oraz  zależ noś ci  granicy  pł ynię cia od  prom ienia  moż na  też  wykorzystać  funkcje  typu  (23).  Zatrzymajmy  się  jeszcze  nad pewnymi  postaciami  aproksymacji  wł asnoś ci  mechanicznych.  W  niektórych  pracach [5,14, 38 i innych] dla moduł u Younga stosuje  się funkcje  typu E  =  E o  Q", E  -   E 0 (A  + BQ)", E  ~  E o   c"e"  i  inne.  Pierwsza  z  przytoczonych  funkcji  jest  najprostsza  przy  cał kowaniu równania  róż niczkowego,  jednak  może  ona  dość  efektywnie  aproksymować  rzeczywistą zależ ność  jedynie  w  ciał ach  ograniczonych,  ponieważ  dla  g  - *•   oo, E  również  roś nie nie- ograniczenie,  co  przeczy  rzeczywistoś ci.  Zatrzymajmy  się  jeszcze  krótko  na  drugiej  cha- rakterystyce  sprę ż ystej  —  współ czynniku  Poissona v. W  pracach  [35, 37 i innych] dla  tego param etru  stosuje  się  także  róż ne zależ noś ci  funkcjonalne,  jednak  niedostateczność i nie- wiarygodność  danych  doś wiadczalnych  dotyczą cych  wpł ywu  niejednorodnoś ci  n a  ten współ czynnik  nie  pozwala  okreś lić  tej  zależ noś ci.  Oprócz tego,  w  pracy  [37] wskazuje  się ZAG AD N IEN IA  KON CEN TRACJI  N APRĘ Ż EŃ   529 na  stosunkowo  niewielki  wpł yw  tej  charakterystyki  na  stan  naprę ż enia,  a  na  podstawie wszystkich  powyż szych  rozważ ań  należy  w  obliczeniaph  przyjmować  stał y  współ czynnik Poissona. Wracają c  do  problemu  koncentracji  naprę ż eń w  pobliżu  pustki  w  masywie  skalnym, Tozpatrzmy zagadnienie o podstawowym  stanie naprę ż eń w nim.  Korzystają c  z pracy  [29] i pomijają c  anizotropię  masywu, w znacznej odległ oś ci od pustki naprę ż enia moż emy przed- stawić  w  nastę pują cej  postaci: a y   =   - yH, (24)  v  __ o r , - * , - - —-   yH. D la  dostatecznie duż ych  wartoś ci  v  (bliskich  0.5),  ciś nienie n a  gł ę bokoś ci  H  moż na roz- patrywać  jako  hydrostatyczne,  n a  co  w  szczególnoś ci  wskazuje  praca  [38].  Zauważ my, że z  (24) wynikają   przytoczone wyż ej .równania (1). N a  podstawie  powyż szych  rozważ ań  moż na pokazać,  że dla  oceny  wpł ywu  niejedno- rodnoś ci na stan naprę ż enia w pobliżu otworów, wygodnie jest rozpatrzyć jednowymiarowe zadania  z  osiową   i  ś rodkową   symetrią .  Podobne podejś cie jest  dostatecznie  usprawiedli- wione z punktu widzenia stosunkowo nieduż ych róż nić w jakoś ciowej  ocenie koncentracji naprę ż eń w rzeczywistych  warunkach i pozwala  poglą dowo  prześ ledzić jakoś ciowy  wpł yw poszczególnych  czynników.  Wł aś nie  tak  postę puje  wię kszość  autorów  [24,  39,  43,  44] nie  mówią c  o pracach poś wię conych  bezpoś rednio jednowymiarowym  zadaniom  [38, 40, 41,  45, 46 i inne]. W niektórych z wymienionych prac  [24, 39] podstawiono znacznie ogól- niejszy  problem,  przy  dowolnych  zależ noś ciach  charakterystyk  sprę ż ystych  od  dwóch współ rzę dnych,  wyprowadza  się   peł ne  równania  dla  pł askiego  zagadnienia.  Jednak  kon- kretne  rozwią zania  otrzymano dla  przypadków  uproszczonych, przechodzą c od  ogólnych równań  do  zadania  jednowymiarowego. W  sposób  najbardziej  peł ny  w  literaturze  rozpatrzono  sprę ż yste  osiowosymetryczne zagadnienie walca  gruboś ciennego  [25, 36, 37, 39]. W tym przypadku  zadanie  sprowadza się   do  zwyczajnego  równania  róż niczkowego  drugiego  rzę du  ze  zmiennymi współ czynni- kami.  Jako  funkcję   rozwią zują cą   stosuje  się   albo  funkcję   naprę ż eń  Airy'ego  —  albo znacznie  prostsze  funkcje  (patrz  n p.  (17)).  Jeś li  obie  charakterystyki  sprę ż yste  E  i  v  są funkcjami  promienia, to przy  braku  sił  obję toś ciowych  i  temperatury, równanie  rozwią zu- ją ce  dla  0  zgodnie  z  [25], bę dzie  miał o postać -   0. (25)  / lVV02/ i/ ; Tutaj  / t (r)  i  f 2 if)  — funkcjonalne  czę ś ci  charakterystyk  sprę ż ystych E  =  EoA(r), v =   v 0 f 2 (r), 1  d  .  ,  d2  _  d2  ,  1  d 530 W.  I .  AN D REJEW Oczywiś cie  rzą d  tego  równania  moż na  od  razu  obniż yć  przez  wprowadzenie  funkcji. Jeszcze  bardziej  upraszcza  się  równanie, jeś li  jedynie  moduł   Younga  jest  wielkoś cią zmienną .  Wówczas,  posł ugują c  się   funkcją   rozwią zują cą   F (17),  otrzymamy  równanie drugiego  rzę du [39] c\ 2 F  dF  \  E(f)  1 (26)  B(r)r- rr-  +  t E 0") ~rE (r)]- j  —— -   vE'(r) \ F =  0. dr*  dr  y  r  J P odobn e  do wyż ej  otrzymanych  równania  uzyskano  też -w  innych  rozpatrywanych pra- cach.  Z ł oż on ość  rozwią zania  równania  (26), przede  wszystkim  zależy  od postaci  funkcji E(r).  Jak  wyż ej  wspomniano,  najprostsza  funkcja  ma  postać  E(r) =  E o r",  jednak nie zawsze  opisuje  ona w  zadowalają cy  sposób  rzeczywiste  zależ noś ci.  D la takiej  funkcji otrzym an o  rozwią zania  w  [25, 36,  41].  Bardziej  zł oż ony przypadek  rozpatrzony jest  rów- nież  w  [36],  gdzie  otrzym ano rozwią zanie  z  pomocą   szeregu  dla  funkcji (2 7 ) E(r)  =   E o- (b- a)" a i  b  oznaczają   odpowiednio wewnę trzny  i zewnę trzny  promień rury  lub pierś cienia.' N ie  analizują c  szczegół owo  wszystkich  moż liwych  postaci  funkcji  E(r), przytoczymy jeszcze  wyniki  pracy  [39], w  której  otrzymano rozwią zanie  dla funkcji  postaci  (16) przy warun kach  brzegowych r  =  a  a r   =   0, ( 2 8 )  u r  =  b  - >  co  a r   =   — yH. Warun ki  t e  odpowiadają   zadaniu  o zagł ę bionej pustce w masywie  skalnym  przy  oddzia- ł ywaniu  ciś nienia  hydrostatycznego.  Przytoczymy  tu  wzór  okreś lają cy  naprę ż enia cre (29) 1 + n+2- 2m(n L.- Ll n+2- 2m Oczywiś cie  dla m  =  0, co odpowiada przypadkowi jednorodnem u, rozwią zanie przechodzi w  zn an e  rozwią zanie  zadan ia  Łaniego.  Wraz  ze zwię kszaniem  się  m,  tzn. przy  zmniej- szaniu  się   m oduł u  Younga  w m iarę   przybliż ania  się  do brzegu  otworu  naprę ż enia zani- kają ,  a  obszar  najwię kszej  koncentracji  naprę ż eń przenosi  się  w gł ą b  masywu  (Rys.  5.)- ZAG AD N IEN IA  KON CEN TRACJI  N APRĘ Ż EŃ   531 N ie  zwracają c  uwagi  n a  to,  że  współ czynnik  koncentracji  w  danym  przypadku  jest mniejszy  niż w przypadku jednorodnym,  ale uwzglę dniając  także zmianę  we  wł asnoś ciach wytrzymał oś ciowych,  nie moż na być pewnym,  że niejednorodność  takiej  postaci  gwaran- tuje  stabilność pustki. F akt zmniejszania  się  naprę ż eń jest dostatecznie oczywisty, ponieważ rozmię kczenie materiał u w pobliżu  otworu  prowadzi  do zwię kszenia  przemieszczeń i  czę ś- ciowego  odcią ż enia  strefy  otaczają cej  otwór.  Przy  istnieniu  obszaru  zagę szczenia  mate- riał u,  gdzie  moduł   Younga  jest  wię kszy, niż  przy  nienaruszonym  masywie  sytuacja  jest odwrotna. N ależy  powiedzieć  kilka  sł ów  o  drugiej  stał ej  sprę ż ystej  — v.  Jak  pokazują   prace  M . M.  PŁOTNIKOWA  [31, 37 i  inne],  wpł yw  tego  parametru n a  stan naprę ż enia jest  niewielki. Jednak  trzeba  tu  zauważ yć,  że  w  zadaniu  o  masywie  skalnym,  przy  zał oż eniu  ciś nienia hydrostatycznego,  zagadnienie  wpł ywu  v  na  stan  naprę ż enia jest  postawione  niepopraw- nie, ponieważ  zakł ada się ,  że  v  =   0.5  n a  zewną trz  wycię tej  obję toś ci  i był oby  nielogiczne przyją ć  inną   wartość  wewną trz  obję toś ci.  Równocześ nie  zagadnienie  wpł ywu  n a  koncen- trację   naprę ż eń  jest  interesują ce  w  zadaniach  nie  zwią zanych  z  zał oż eniami mechaniki górotworu. Wś ród  prac  poś wię conych  zagadnieniu  sprę ż ystemu  dla  gruboś ciennej  powł oki  ku- listej,  rozpatrzymy  [35,  39,  42],  przy  czym  w  [42]  rozwią zanie  zadania  sprę ż ystego  jest czę ś cią   zagadnienia  sprę ż ysto- plastycznego.  W  pracy  [35] przytoczono  równania  rozwią - zują ce  dla  funkcji  d 2 K.  c/ x  HH- Ta",  1968S  35,  390- 393. 14.  R . L. H U STON , Zeilschrift  fiir  angew. M ath .  M ech., 1964, Bd. 44, H 12,  s. 573. 15.  B. n . CTYKAJIOB,  Heodnopodubie ypaeuemin ocecUMMempUHHQli  3admu  meopuu ynpy?.0(mu }   K H .  C o n p , MaT.  u Teop. coop.,  MeH (Be«. pecn . H aywi.  c6. 3 Bbin.  8, V~vs.es,  1969, 3- 8. 16.  C . F .  JIEXHIIL(KHHJ  PaduajibHoe  pacnpebemnue uanpHoiceHuii  a KAUHB  U nonynnocKocmu  c  nepeMeHiiblM Modyjie.w ynpyeocntu, r i M M ,  26,  1962, B.  I . 17.  H . E.  XPAHEBCKAH,  Peumtue  zadanu ByccuuecKa  d/ ijt  nojiynpocmpaHcmaa, Modyjiu ynpyeocmu Komopoeo neAHcmcn  cmenemtou  ^ yuuiiueu e/ iySunu, „ M aTep.  7 MaT.  H   7 <|>H3. Me>KBy3.  KOH CJ.  JXajiBH.  B o e r ", Xa6ap.,  1968,  87. 18.  B. n .  IIJIED AKO,  JJ,e$opMai{UR  Heodnopodnoio  nojiynpocmpmcmea  nob deucmeueu  noBepxHOcmriou naipysKiiy  n pifloi.  Mex., 1973, 9, Ka 6, 16- 23. 19.  A.  H .  Jtm- niKK, A.  B.  MpprAEBCKHH, Y. H .  C ABH H ,  Pacnpedejiemie  uatipnoicenuu  eoKpya  nodseMHbix zopuux  ebipa6omoK s   C 6.  Tpyzrbi  coBemaH^H   no ynpaBWHHio  ropHbuw flaBjieH H eM , M - J I,  1938, AH C C C P ,  7- 56. 20.  I \   H .  CABH H ,  Pacnpedejiemte  uanpnoicemiu  OKOAO  omeepemuu, Htefl.  H aywosa flyM Ka, KweB,  1968. 21.  C . H .  OP JI OB,  JĘ aejienue  eecoMou  ynpyeou  cpedbi  na  • ifUJiundpimecnyio  mpy6y,  C 6. H ccjieflOBamw  n o TeopnH   coopy>KeiinH,  yiU j  M .  1959, 473. 22.  I I . A.  JKyPABjiEB, A.  .  3AXAPEBHq, O pacnpedcjiemiu  HanpnoiceHuu s Maccuse  sopnux  nopob c  zopu- 3omnanbHQu  eupaftomKou  Kpysjioso  cenenun, 3a n ,  Jlem iH rp.  ro p o .  HH- Ta  KM.  T , B.  ITjiexaHOBa, T . XXXVI ,  3, J l.  1958,  101- 105. 23.  A.  H .  JlypbE,  T eopuM ynpysocmu,  „ H ayK a",  M . ,  1970, 24.  M . MniUHi(jhaiueHtna  IIyaccona  na  nojie  naripn^ tcenuu  iieodnopobuoio  am- 3omponnoeo  ifununópa,  H 3B.  By3OB.  M auim iocT poeH H e,  1968,  Na  3. 3 8 .  B .  M e i m e jlb ,  B .  I U p eiiH ep ,  3aKoH0MeppHocmu  MexanuuecKozo noeedeuun  KaMemux  coAeii e jia6opamop- HUX  u  namypHUX  ycjioeunx,  C 6 .  M e xa H n u a  r o p n b ix  n o p o fl,  H ayi< a,  K a 3 .  C C P , An M a- Aia,  1975, 64- 78. 3 9 .  H .  B .  BAK J I AI I I O B,  B .  A.  K AP T O 3K H ,  yvem  mexnoAoimtecKou  HeodHopoduocmu u  aumomponuu  nopod- HOIO Maccuea  e peuieuuu  eonpocoe  sopnoso  daa/ ieuuH, „ U laxT n o e  CTpoH TejitCTBo",  1971 5  12,  10- 14. 4 0 .  H .  B .  BAK J I AI I I O B,  B .  A.  K AP T O 3 H H ,  BAumue  mpeią mioeamocmu  e3puewio  nponcxooicdeHun  na  eemi- HUiiy  naepy3iiu  na  Kpem  supaBomoK,  K H .  ropH OCTpOH TenbH we  H  B3pWBHMe paG oT ti,  T yn a ,  nap, TOH ,  B.  I ,  1973,  136. 41.  W.  OLSZ AK,  W.  U RBAN OWSKI,  Sprę ż ysto- plastyczny gntboś ciemry walec niejednorodny  pod  dział aniem parcia  wewnę trznego i  sił y podł uż nej, Arch. mech. stos., VI I ,  3,  1955,  315- 336. 42.  W.  OLSZ AK,  W.  U RBAN OWSKI,  Sprę ż ysto- plastyczna gruboś cienna powł oka kulista z  materiał u  niejedno- rodnego, poddana dział aniu wewnę trznego  i  zewnę trznego ciś nienia,  R ozpr.  inż .,  IV,  1,  1956,  23. P  e  3  IO  M e B O n P O C Ł I  K O H I J E H T P AI J H H   H AI I P iD KE H H H   BBJI H 3H   O T BE P C T BH ft B  H E O flH O P O flH O H   C P E flE .  ^ AC T L  I .  OB3OP B  p a 6o T e npH BefleH   o 63o p paBoT p eu iem abix 3&JXB.H Korfla  MexaHHHecKHe xapaKTepHCTHKH   MaTepnajia JJBJI H I O T C H  H enpepBiBH BiMH   (J>yHKi(naMH  KoopflmiaT.  O6cy>KflaioicH   safla^m  TeopiiH  yn pyrocTH   H  njiacTiw- H OCTH . S u m m a r y STRESS  CON CEN TRATION   IN   TH E  N EIG H BOU RH OOD   OF   CAVITIES  I N N ON H OM OG EN EOU S  M ED IA.  PART  I- REVIEW A  review is  given of  th e  papers concerning the  solved problems. When the mechanical  properties of  the m aterial  are  the  continuous  functions  of  the  coordinates.  The  problems  of  the  theory  of  elasticity  and plasticity  are  discussed. MOSKWA Praca został a zł oż ona w Redakcji  dnia 29  czerwca  1979 roku.  T ł umaczył  mgr  inż .  J. Olszewski.