Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z4.pdf


M E CH AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

4,  18 (1980)

Z AG AD N IEN IA  O D WR O T N E  P Ó L  TEM P ER ATU R —  P R Z E G LĄ D   LI TE R ATU R Y

KRZYSZTOF   G R Y S A ,  M ICH AŁ  JACEK  C I A Ł K O W S K I  (P OZ N AŃ )

1.  Wstę p

W  wię kszoś ci  zagadnień  praktycznych  rozwią zanie  równania  przewodnictwa  ciepł a
nie  przedstawia  wię kszych  trudnoś ci  o  ile  tylko  warunki  brzegowe  dadzą   się   okreś lić
z  wystarczają cą   dokł adnoś cią.  Pomiarów  przebiegów  temperatury  na  brzegach  rozważ a-
nego  ciał a  dokonuje  się   w  takich  przypadkach  przy  pomocy  termopar  lub  innych  przy-
rzą dów pomiarowych, a nastę pnie rachunkowo wyznacza  się  przebiegi  temperatur w punk-
tach  wewnę trznych  (tzw.  wewnę trzne  odpowiedzi  temperaturowe).

Zdarzają   się   jednakże  sytuacje,  gdy  umieszczenie  n a  powierzchni  ciał a  instrumentów
pomiarowych  jest  niemoż liwe  bą dź  niewskazane.  Z  tego  typu  sytuacją   spotykamy  się
rozważ ając  pole  temperatury  cylindra,  w  którego  komorze  spalania  porusza  się   tł ok,
silnika  odrzutowego  —•  z uwagi na szybki  przepł yw gazów, czy  turbiny  cieplnej.  W takich
przypadkach dużo ł atwiej jest rejestrować  przebiegi  temperatur w punktach wewnę trznych
rozpatrywanych  ciał ,  zaś  zagadnieniem  podstawowym  jest  okreś lenie  warunków  termicz-
nych  powierzchniowych,  które  powodują   owe  wewnę trzne  odpowiedzi  temperaturowe.
Tego  typu  podejś cie  d o zagadnienia jest istotnie  róż ne  od zwykł ego  problemu  brzegowo-
począ tkowego.  Chodzi  tu  bowiem  nie  tyle  o wyznaczenie  rozwią zania  wewną trz  obszaru
ograniczonego  brzegiem,  na  którym  zadane  są   wartoś ci  poszukiwanej  funkcji  lub  jej  po-
chodnych,  co  o  ekstrapolację   tego  rozwią zania  poza  ten  obszar.  W  literaturze  przyję ło
się   nazywać  tego  typu  zagadnienia  problemami  odwrotnymi  w  odróż nieniu  od  konwen-
cjonalnych  zagadnień  brzegowo- począ tkowych,  nazywanych  problemami  prostymi  lub
bezpoś rednimi.

Ogólnie  problemy  odwrotne  w  technice to  zagadnienia,  które  wią żą   pomiary,  metody
matematyczne  oraz  inż ynierskie  wyczucie.  Pomiarów  zwykle  dokonuje  się   w  miejscach
ł atwo  dostę pnych. Poszukiwane  wielkoś ci  czę sto  mogą   zostać  zmierzone tylko  poś rednio.
N a  przykł ad  w  celu  okreś lenia  przebiegu  strumienia  ciepł a  po  stronie  wewnę trznej  na-
czynia ciś nieniowego dokonuje się  pomiaru przebiegu temperatury n a jego brzegu  zewnę trz-
nym. W konstrukcjach  czasami wyznacza  się  nieznane przebiegi  ciś nień czy przemieszczeń,
dokonują c  w kilku  punktach pomiarów prę dkoś ci.  Jest  oczywiste,  że poprawne  rozwią za-
nia  tego typu  problemów  w  istotny  sposób  zależą   od prawidł owego  wyboru  punktów po-
miarowych,  wielkoś ci,  które  się   mierzy  oraz  wyczucia  inż ynierskiego.

D odatkowym  utrudnieniem  przy  praktycznym  zastosowaniu  rozwią zań  zagadnień
odwrotnych jest wpł yw  instrumentu pomiarowego na przebieg  pomiaru. Z tego  też wzglę -
du  nie jest  wskazane  wprowadzanie  do wnę trza  ciał a  wię kszej  iloś ci  czujników.  N iemniej
nawet  jedna  czy  dwie  termopary  zakł ócają   pole  temperatury  i  powodują   niewielkie  za-
fał szowanie  wyników.  Stą d jednym  z  podstawowych  problemów  dotyczą cych  zastosowań
rozwią zań  zagadnień  odwrotnych jest  problem  pomiarów  mał o  zakł ócają cych  przebieg

2 *  .



536  K.  G RYSA,  M.  J.  CIAŁKOWSKI  .

wielkoś ci  mierzonych. Wydaje  się , ż elo we,  kompleksowe  podejś cie  do zagadnień  odwrot-
nych  pól  temperatur, jakie jest rozwijane  w  ostatnich latach tak  w Polsce jak  i za  granicą ,
może  przynieść  pozytywne  rozwią zanie  i  tych  problemów.

Rozwój  tej  gał ę zi  teorii  przewodnictwa  ciepł a, jaką   jest  problematyka  odwrotnych
zagadnień  pól temperatur, rozpoczą ł  się  stosunkowo  niedawno. Autorzy  najwcześ niejszych
prac,  opublikowanych  n a  przeł omie lat pię ć dziesią tych  i sześ ć dziesią tych  (moż na tu wspo-
mnieć prace N . V.  SZUMAKOWA [33] czy  G . J.  STOLZA  [35]) powoł ują   się  przede wszystkim
n a znaną  monografię   CARSLAWA  i  JAEGERA  [8], w  której  wprawdzie  autorzy  nie  wprowa-
dzają   nawet poję cia  zagadnień  odwrotnych, ale gdzie podane są  liczne przykł ady  sposobów
rozwią zywania  zagadnień  bezpoś rednich,  ł atwych  do  zastosowania,  (choć  dosyć  mał o
efektywnych)  przy  rozwią zywaniu  zagadnień  odwrotnych.  W  latach  sześ ć dziesią tych  te-
m atyka  ta  był a  rozwijana  gł ównie  dla  zagadnień  liniowych.  Rozważ ano  tylko  problemy
jednowymiarowe,  przyjmują c  jako  punkt  wyjś cia  znaną   odpowiedź  temperaturową   jed-
nego  pun ktu  wewnę trznego  oraz  warunki  począ tkowe,  a  poszukują c  temperatury  brzegu
przy  zał oż eniu tzw.  warunków  symetrii  w  ś rodku  ciał a  (gdy  rozważ ano  walec  lub  kulę )
lub izolacji  drugiego  brzegu  (gdy  brano pod uwagę  nieskoń czoną   pł ytę ). Wiele  prac z tego
okresu  to  prace  teoretyczne, rozwijają ce  wprawdzie  metody  rozwią zań  tego  typu  proble-
mów,  ale  oferują ce  wyniki  w  postaci  skomplikowanych  wielokrotnych  szeregów  bą dź
cał ek,  zupeł nie nieprzydatne  dla  celów  praktycznych.  Autorzy  tych prac, w  których prze-
liczane  był y  przykł ady  liczbowe,  wykorzystywali  zwykle  metodę   róż nic  skoń czonych
i  w  zasadzie  przede  wszystkim  sygnalizowali,  n a  jakiego  rodzaju  trudnoś ci  i  niebezpie-
czeń stwa  pomył ek  naraż eni  mogą   być  eksperymentatorzy,  próbują cy  wykorzystywać
wyniki  ich  prac.  N iemniej  kilka  pomysł ów  dotyczą cych  rozwią zywania  problemów  od-
wrotnych  doczekał o się ,  po  niewielkich  modyfikacjach,  pozytywnych  realizacji  w  latach
siedemdziesią tych.  D o  takich  pomysł ów  należy  n p.  metoda  dopasowywania  funkcji,
o  której  bę dzie  mowa  w  dalszej  czę ś ci  pracy.  W  latach  siedemdziesią tych  rozpoczą ł  się
burzliwy  rozwój  metod  rozwią zywania  zagadnień  odwrotnych i to już  nie tylko  jednowy-
miarowych  i  liniowych,  ale  także  dwu-  i trójwymiarowych  (dla tych  ostatnich nakreś lono
tylko,  co  prawda,  sposób  postę powania)  oraz  nieliniowych.  Wyznaczono  rozwią zania
dla pł yty, rury gruboś ciennej i powł oki kulistej, gdzie przy zał oż eniu znajomoś ci  odpowiedzi
temperaturowych  z  dwóch  punktów  wewnę trznych  okreś lono  przebiegi  temperatur  na
obu  brzegach.  N astą pił   gwał towny  rozwój  metod numerycznych. Wreszcie  w  okresie  tym
pojawił y  się   pierwsze  prace traktują ce  o  zagadnieniach  odwrotnych  termosprę ż ystoś ci  —
czyli  o  problemach wyznaczania  warunków  termicznych n a  powierzchni  ciał a  gdy  znane
są   w  punkcie  wewnę trznym  odpowiedzi  naprę ż eniowa  bą dź  przemieszczeniowa.

N iektórzy  autorzy  pod  hasł em  „zagadnienia  odwrotne"  pól  temperatury  rozumieją
treś ci  odmienne  od  przytoczonych  wyż ej.  W  zwią zku  z  tym  warto  wyszczególnić  jakie
zagadnienia  są   obję te  tym  okreś leniem.  Są   to  mianowicie:

1°  Zagadnienia  wyznaczania  temperatury  lub  strumienia  ciepł a .na  powierzchni  ciał a
przy  znanym  przebiegu  temperatury  lub  strumienia  ciepł a w jednym  lub  kilku  punktach
wewnę trznych  ciał a;

2°  Zagadnienia  wyznaczania  temperatury  lub  strumienia  ciepł a n a  powierzchni  ciał a
przy  znanym  przebiegu  naprę ż eń  termicznych  bą dź  przemieszczeń  w  jednym  lub  kilku
pun ktach  wewnę trznych  ciał a;



ZAG AD N IEN IA  ODWROTNE  P ÓL  TEMPERATUR  .  537

3°  Zagadnienia  wyznaczania  zależ noś ci  funkcji  f(r,  t),  opisują cej  ź ródło  ciepł a,  od
zmiennych  przestrzennych  przy  zał oż eniu, ż e/ (Y,  t)  = / i ( r )  'f

2
(t),  gdzie f

2
{t)  jest  znaną

funkcją ,  oraz  przy  komplecie  warunków  brzegowych  i  począ tkowych;
4°  Zagadnienia wyznaczania'stał ych  lub zmiennych z  temperaturą  lub  z  czasem współ -

czynników  dotyczą cych  przewodnictwa  cieplnego  przy  okreś lonych  warunkach  .brzego-
wych  i  począ tkowym  oraz  znanym  bą dź  ł atwym  do  wyznaczenia  polu  temperatury  we-
wną trz  ciał a.

Spoś ród  prac  traktują cych  o  zagadnieniach  odwrotnych w  sensie  okreś lonym  w punk-
cie 3°  warto  wymienić  monografię   [27], w której  podany jest m.in. spis literatury  dotyczą -
cej  tego  typu  odwrotnych  problemów  przewodnictwa  ciepł a  i  nie  tylko.  Zagadnienia  od-
wrotne w  sensie  okreś lonym  w  punkcie 4°  był y  m.in.  rozważ ane  w  pracach  [2, 4,  11, 26,
30 i  in].

W  niniejszym  przeglą dzie  zajmiemy  się   wył ą cznie zagadnieniami odwrotnymi w  sensie
punktów  1° i  2°.

2.  Liniowe  zagadnienia  odwrotne  przewodnictwa  cieplnego

Metody rozwią zywania  liniowych  zagadnień  odwrotnych  przewodnictwa  ciepł a moż na
podzielić  nastę pują co:

2.1.  przewidywanie  rozwią zania  w  postaci  szeregu.
2.2.  analiza  transformat  Laplace'a
2.3.  podejś cia  oparte  na  metodzie  róż nic  skoń czonych
2.4.  rozkł ad  na  szereg  problemów  prostych.
Każ dą   z  tych  metod  omówimy  oddzielnie.
2.1. Przewidywanie rozwią zania w postaci szeregu.  W  rozdziale  I I  monografii  H . S.  CARSLA-

WA i  J. C.  JAEGERA  [8]  omówione  są   proste  (bezpoś rednie)  rozwią zania  liniowego  rów-
nania  przewodnictwa  ciepł a.  Przedstawiają c  moż liwe  postaci  rozwią zań  autorzy  dali
póź niejszym  badaczom zagadnień  odwrotnych  przewodnictwa  ciepł a  moż liwość  predykcji
temperatury  brzegu  obszaru,  gdy  znana  jest  wewnę trzna  odpowiedź  temperaturowa.
Jedna  z  postaci  rozwią zań  przedstawionych  w  [8]  był a  szczególnie  czę sto  wykorzy-
stywana.  Był a  to  funkcja  [8,  str.  52]

(2.1)  T(x, i)  —  / 1  II  —
Ł -   o

gdzie  $  i  y  są   dowolnymi  funkcjami  czasu,  speł niają cymi  jednowymiarowe  równanie
przewodnictwa  ciepł a

1  dT
(2.2)  v2r- ~ • •  —  =   0,  V — operator nabla,

rC  '  Ot  • '• • '.-  '

zaś  « jest  dyfuzyjnoś cią   temperaturową .  D la  funkcji  T (x, t)  zachodzą   zwią zki

(2.3)  T ( 0, 0  =   ^(O  oraz  - x—



538  •   K .  G RYSA,  M .  J.  CIAŁKOWSKI

Przyję cie  rozwią zania  zagadnienia  odwrotnego w postaci  (2.1) przy  zastą pieniu  poda-
nych  tu  współ czynników funkcyjnych  przez pewne nieznane funkcje  pozwalał o  efektywnie
rozwią zywać  te zagadnienia  w przypadkach  gdy znana  był a  odpowiedź  temperaturowa
w jednym  punkcie wewnę trznym  ciał a.  Bazują c  na tym podejś ciu  BURG G RAF  [7] wyznaczył
ś cisłe  rozwią zanie  dla  przebiegów  powierzchniowej  temperatury i powierzchniowego  stru-
mienia  ciepł a dla. danych  cią gł ych  przebiegów  temperatury i strumienia  ciepł a w jednym
punkcie  wewnę trznym.  Wykorzystał   on wynikają ce  z równania  (2.1) i z prawa  Fouriera
zwią zki

(2.4)  - ^  =  *»V2»r/   oraz  ^ | -  =  «•  V2"q,

gdzie  q =   ~XVT —  strumień  ciepł a,  X — współ czynnik  przewodnictwa  cieplnego.
Zadają c  nastę pnie  przebiegi  T (x

0
,  t) =   T

0
(t) oraz  q(x

0
,  t) =  q

o
(t)  wyznaczył   dla pł yty,

kuli  i  walca  pole  temperatury  w  postaci

(2. 5)
H =   0

gdzie  funkcje  f„(x)  i  g„(x)  speł niają   zwią zki  nastę pują ce:

d
fn\   _  A  „  _  A  ,

JoW  =  i,/ ,W  =   0,
dx x= x0

g„ (x0)  =   0;

- 1,

Ciekawy  jest  fakt,  że d o wyznaczenia  rozwią zania  nie jest tu potrzebny  warunek  począ t-
kowy.  Wynika  t o z zał oż enia, że funkcje  T

Q
(t)  i q

o
{t)  są   okreś lone  dla te<0; oo).

D AVIES  [13] i  KOVERYANOV  [25] również  wykorzystali  metodę   przewidywania  rozwią -
zania  w postaci szeregu  nieskoń czonego, przy  czym o ile podejś cie  Koveryanova  był o ana-
logiczne  do  metody Burggrafa,  o tyle  D avies zaproponował  nieco bardziej  zł oż oną  postać
rozwią zania,  zawierają cą   funkcje  bł ę du.

Zupeł nie  nowy  sposób  atakowania  jednowymiarowych  zagadnień  odwrotnych  jest
zaprezentowany  w pracy  IMBERA i  KH AN A  [18]. Przede wszystkim, w odróż nieniu od prac
poprzednich,  zakł adają   autorzy  znajomość  przebiegów  temperatury  w  dwóch  punktach
wewnę trznych.  Jest  to  znaczne utrudnienie, gdyż nie ma wtedy  moż liwoś ci  zastosowania
metod  podanych  wyż ej.  Trzeba  najpierw  rozwią zać  zagadnienie  brzegowo- począ tkowe,
aby  móc  okreś lić  postać  rozwią zania  dla obszaru  zawartego  pomię dzy  wspomnianymi
pun ktam i  wewnę trznymi,  a  nastę pnie  ekstrapolować  to  rozwią zanie  poza  ten obszar.
W  pracy  [18] wyznaczono, w ten sposób  rozwią zania  dla pł yty i dla grubej  powł oki kulis-
tej,  zaś w  pracach  [19,  24] również  dla rury  gruboś ciennej.  W niniejszym  opracowaniu
omówimy  tę  metodę  n a przykł adzie  rozwią zania  dla  pł yty.

Zagadnienie  do rozwią zania  t o równanie  przewodnictwa  ciepł a  (2.2) z jednorodnym
warunkiem  począ tkowym  oraz z dwoma  warunkami  wewnę trznymi

(2.6)  T(xl5 0 = ^ ( 0  i  T (x2,t)=T 2(t),



ZAG AD N IEN IA  ODWROTNE  PÓL  TEMPERATUR  '  539

gdzie  x
t
  <  Xi  <  x

2
  <  x

e
;  x

t
  oraz  x

e
  są  współ rzę dnymi dolnej  i  górnej  powierzchni  pł yty

nieskoń czonej,  która jest  równoległ a  do  pł aszczyzny  Oxy.
Rozwią zanie  tego  problemu  dla  x  e (x

lt
  x2>  nie  przedstawia  trudnoś ci  i  w  transfor-

matach  Laplace'a  może  być  zapisane  w  postaci

T
{2.1)  l(x,p)  -   1 _ e _ 2 p . A

  - L e  e  J  +

rp 2

gdzie  nadkreś lenie  oznacza  transformatę  Laplace'a,  A  =   x
2
- x

u
  p  =   l /   — ,  zaś  j  jest

parametrem  transformacji.
N a  zewną trz  przedział u  < x1 ; x2>  transformata  T(x, 73)  nie  może  zostać  odwrócona

z  uwagi  na  pojawienie  się  wtedy  w  wykł adnikach  dodatnich  argumentów.  Okazuje  się
jednak,  że przyję cie  funkcji  T

x
(t)  i  T

2
(ł )  w  odpowiednich  postaciach  umoż liwia  obejś cie

tej  trudnoś ci.  Autorzy  stosują  dwa,  róż nią ce  się  nieco  w  szczegół ach  podejś cia:  jedno
w  celu  dokonania  ekstrapolacji  „ do  tył u",  dla  xs< Xi,  x

L
},  i  drugie  w  celu  ekstrapolo-

wania  rozwią zania  „ do  przodu",  dla  x  e  <.x
2
,  x

e
)>.

Warto  tu  zaznaczyć,  że  wobec  faktu  iż  7\ (f)  i  T
z
(t)  są  sprowadzonymi  do  postaci

funkcyjnej  odczytami z dwóch termopar, tego rodzaju  manewr jest niegroź ny  dla wyników
koń cowych,  o  ile  tylko  przyję te  postaci  7\   i  T

2
  dobrze  pasują  do  wyników  pomiarów.

D okonując  ekstrapolacji  do  tył u  przy  zał oż eniu, że  A  5=  x
x
—  x

t
,  przyjmuje  się,  że

(2.8)  7i(p)  =   T
2
 2J  A

m
e~

m
"  oraz  T

2
(t) =

gdzie  współ czynniki  4̂,,, i  Z>„  należy  wyznaczyć  na podstawie  odpowiedzi  temperaturowych
zanotowanych w punktach x

x
  i  x

2
.  Po wprowadzeniu  funkcji  T\  i  T

2
  okreś lonych  zwią z-

kami  (2.8)  do  (2.7), transformata  temperatury  daje  się  odwrócić  i  wynik  koń cowy,  fun-
kcjonują cy  dla  x  e  <JC(, *!> , wyraż ony  jest  przez  potrójną  sumę, zawierają cą  potę gi  czasu
i  funkcje  erfc  od  stosunkowo  nieskomplikowanego  argumentu.

Ekstrapolacja  do  przodu  wymaga  zał oż enia,  że  x  e{.x
2
,*2A  + x

1
y.  Tak  więc  jeś li

x
e
  >  2A + x

1}
  to  osią gnię cie  brzegu  x

e
  w jednym  kroku jest  niemoż liwe.  Trzeba  wówczas

przyjąć  punkt  x  =  2A+x
t
  jako  x

3
,  temperaturę  wyliczoną  w  tym  punkcie  jako  T

3
(t)

i  ponownie  stosować  ekstrapolację  do przodu, tym  razem  dla  danych  T i  i  T
3
.  Co  do od-

czytów  z  termopar  przyjmuje  się  wówczas,  że
CO  00

(2.9)  T2(p)  ==  fx  J \ , e -
r a - *-A  .  oraz  71(0  =  ]£  a"- ^-,

gdzie  B,„ i  a
n
  wyznacza  się  analogicznie, jak  poprzednio  A,„  i  b„.  Rozwią zanie  dla  ekstra-

polacji  do przodu ma postać zbliż oną  do rozwią zania  otrzymanego  przy  ekstrapolowaniu
temperatury  do tył u.

Wykorzystując  tę  metodę  wyznaczono  w  pracy  [18]  także  rozwią zanie  zagadnienia
odwrotnego  dla pł yty dwuwarstwowej,  jak  również  nakreś lono  sposób  postę powania  przy



540  K.  G RYSA,  M.  J.  CIALKOWSKI

rozwią zywaniu  tego  typu  problemów  dla  pł yt wielowarstwowych.  Okazuje  się ,  że  do roz
wią zania  zagadnienia  odwrotnego  dla  pfyty  wielowarstwowej  o  iloś ci  warstw  równej  5
lub  wię cej  wystarczą   odczyty  z  czterech  termopar, z  których  po  dwie  muszą   znajdować
się   w  dwóch  warstwach  zewnę trznych z każ dej  strony. Tcrmopary nie mogą   być rozmiesz-
czone  dowolnie,  lecz  ograniczenia  narzucone  na  ich  rozmieszczenie  nie  stwarzają   pro-
blemów  przy  wykorzystaniu  praktycznym  tej  metody.

Bazują c  n a  metodzie podanej w  pracy  [18],  CHEN  i  THOMSEN   [9] rozwią zali  odwrotne
zagadnienie  dla  rury  gruboś ciennej  dla  mał ych czasów.  Zał oż enie krótkotrwał oś ci rozwa-
ż anego  procesu  pozwolił o  uwzglę dnić  dane  tylko  z jednej  termopary.  Zamiast  drugiego
czujnika  przyję to  zał oż enie,  że  dla  bardzo  krótko  trwają cych  procesów  nagrzewania
powierzchnia zewnę trzna rury nie zdą ży się  nagrzać, w zwią zku  z czym moż na zamiast grubej
rury  rozważ ać  przestrzeń  z  pustką   walcową .

M etody  szeregowe  typu  zaprezentowanego  przez  Imbera  i  Khana  wydają   się   mieć
przed  sobą   liczne  zastosowania  w  zagadnieniach  odwrotnych  termosprę ż ystoś ci.  Cechuje
je  bowiem  nie  tylko  — jak  wykazano  w pracy  [18] —  bardzo  duża  dokł adność przy  sto-
sunkowo  niewielkim  nakł adzie pracy  ze strony  maszyny  cyfrowej,  ale  również  precyzyjne
okreś lenie  obszarów,  dla  których  dokonane ekstrapolacje  są   wiarygodne.

2.2 Analiza transformat Laplace'a.  M etoda  analizy  rozwią zania  równania  przewodnictwa
W transformatach  Laplace'a jest  metodą   badawczą   narzucają cą   się , jeś li  chodzi  o  zagad-
nienia  odwrotne. Jest to wszakże — jak  się   okazuje  —  metoda nieefektywna,  jeś li trzymać
się   jej  ś ciś le.  W  przecią gu  ok.  20  lat  jej  stosowania  dla  potrzeb  zagadnień  odwrotnych
przewodnictwa  ciepł a —  tzn. począ wszy  od  pracy  MASKETA i  VASTANO  [28] z  roku  1962,
a  skoń czywszy  n a artykule  CIAŁKOWSKIEG O  i  GRYSY  [12] —  udawał o  się   tylko  przedsta-
wiać  rozwią zania  tych  zagadnień  w  transformatach,  przy  czym  był y  to  transformaty  nie
do  odwrócenia  ś cisł ymi  metodami. Tak  wię c  prace ś ciś le stosują ce  metodę  analizy trans-
format  miał y  raczej  wartość  tylko  poznawczą ,  zaś  rozwią zania  w  postaci jawnej  moż liwie
był y tylko  do uzyskania  dla punktów brzegowych,  dla tzw. brzegowych  zagadnień odwrot-
nych  [10]. D opiero  IMBER  [22], kombinują c  analizę  transformat  z metodą   dopasowywania
funkcji,  podał   przybliż ony  sposób  rozwią zywania  wewnę trznych  zagadnień  odwrotnych.

M ASKET  i  VASTANO  [28]  jak  również  i  SABHERWAL  [32]  przedstawili  transformaty
temperatury  i strumienia ciepł a na powierzchni przy pomocy wyraż eń  zawierają cych  trans-
formatę   odpowiedzi  termperaturowej  jednego  punktu  wewnę trznego.  W  zagadnieniach
przez  nich  rozważ anych  zakł adano  zerową   temperaturę   począ tkową   oraz  warunek  sy-
metrii  (w przypadku  pł yty warunek  izolacji)  dla  x  =  0.  W  obu pracach  autorzy  twierdzą ,
że  transformaty  rozwią zań  moż na  odwrócić,  lecz  w  pracy  [28]  nie  podano  oryginał ów,
zaś  w  pracy  [32]  podane  oryginał y  wzię te  są   „ z  powietrza",  bez  najmniejszej  wzmianki
o  metodzie  ich  uzyskania.

Wyniki  ciekawsze  z  punktu  widzenia  metodyki  rozwią zania,  choć  też  nieefektywne
jeś li  chodzi  o  procedurę   odwracania  transformat  rozwią zań,  zaprezentowano  w pracach
[34]  i  [14].  SPARROW,  H AJI- SH EIKH   i  LUN DG REN   W pracy  [34] dopuszczają   niejednorodny
warunek  począ tkowy  dla  temperatury.  Rozważ ając  zagadnienie  odwrotne  dla  kuli  otrzy-
mali"  transformatę   temperatury  powierzchniowej  w  postaci



ZAG AD N IEN IA  ODWROTNE  P ÓL  TEMPERATUR  541

gdzie  f(t)  — T (x*, t)  jest  znanym  przebiegiem  temperatury  w  punkcie  wewnę trznym
x*  e< 0, 1),  zaś  s  jest  parametrem  transformacji.  D la  transformaty  danej  wzorem  (2.10)
oryginał   nie  istnieje  i  z  tego  powodu  autorzy  próbowali  obejść  problem,  specyfikują c
funkcję   fit).  D okonali tego  w  dwóch  etapach. N ajpierw  zapisali  transformatę  J(s)  w po-
staci  ;

(2.11)  f(s)

N astę pnie, podstawiają c  (2.11) do (2.10), otrzymali  taką   postać transformaty  temperatury,
dla  której  próbowali  okreś lić  oryginał  metodami przybliż onymi  najpierw  dla  mał ych  cza-
sów,  a  nastę pnie  dla  czasów  dowolnych.  Rozwią zanie  dla  mał ych  czasów  uzyskuje  się

przez przybliż enie  uł amka  —- ,  wystę pują cego  w  iloczynie  z  g(s)  po  prawej  stro-
1 — e  ' s

nie  przekształ conego  wzoru  (2.10), przez szereg potę gowy  wzglę dem  Q- IX*VS  .  Otrzymuje
się   w  ten  sposób  rozwią zanie  w  postaci  cał kowej, przy  czym  funkcja  g(t)  okreś lona  jest
przez  równanie  cał kowe  wynikają ce  ze  wzoru  (2.11).,

Rozwią zanie  dla  czasów  dowolnych  uzyskuje  się   metodą   dopasowywania  funkcji
[31].  M etoda ta —  ogólnie  rzecz  biorą c —  polega  na  przybliż eniu  transformaty  funkcji,
która  jest  nieodwracalna,  przez  zbliż oną   do  niej  transformatę ,  dla  której  oryginał   jest
znany.  Sprawdzanie,  czy  funkcja,  przy  pomocy  której  zastę puje  się   niewygodną   transfor-
matę , jest  do tej  ostatniej  dobrze  „ dopasowana",  odbywa  się  przez ustalenie  dla niej  war-
toś ci  w  zerze  i  w  nieskoń czonoś ci,  a  nastę pnie  poprzez  graficzne  [29]  lub  numeryczne
sprawdzenie,  czy  dopasowywana  funkcja  ma wykres  (oczywiś cie  dla  argumentu  s  rzeczy-
wistego)  zbliż ony  do  wykresu  tej  transformaty.  Z  punktu  widzenia  matematyki  metoda
ta  jest  nieś cisł a,  jednakże  z  punktu  widzenia  inż ynierskiego  jest  ona  poż yteczna,  gdyż
daje  stosunkowo  dokł adne  wyniki  w  cał ym  zakresie  zmiennoś ci  t.

W  pracy  [34]  zalety  metody  dopasowania  funkcji  nie  został y  dostatecznie  wykorzy-
stane.  Metodą  tą   przybliż ano  przebieg  temperatury powierzchniowej  przy  znanej  funkcji
f(t),  ale  ponieważ  po  drodze  trzeba  był o rozwią zać  równanie  cał kowe  okreś lają ce  g(t),
liczba  kolejnych  aproksymacji  był a dosyć  duża i stą d  moż liwość  dokł adnego oszacowania
numerycznego  temperatury jest  raczej  wą tpliwa.  U ż yta  metoda rozwią zywania  równania
cał kowego1  okreś lają cego  funkcję   g(t),  polegają ca  na  podziale  przedział u  czasu  n a  pod-
przedział y,  musi  być  stosowana  ostroż nie,  gdyż  przy  zbyt  mał ych  podprzedział ach bł ą d
aproksymacji  gwał townie  wzrasta  i  mogą   się   pojawić  oscylacje.  Autorzy  przestrzegają
przed  tą   ewentualnoś cią   i  próbują   ustalić  najmniejszą   wielkość  podprzedział ów.  D o mi-
nusów  pracy  należy  zbytnie  zaufanie,  jakie  autorzy  pokł adają   w  moż liwoś ciach  rekon-
strukcji  temperatury  brzegu.  Wydaje  się ,  iż  ich  stwierdzenie,  że  znajomość  odpowiedzi
temperaturowej  w  ś rodku  kuli  pozwala  wyznaczyć  temperaturę  brzegu, jest  przesadzone.
Wiadomo  bowiem, że wpł yw  warunków  brzegowych  jest we wnę trzu  ciał a tł umiony  i  dla-
tego  ekstrapolacja  temperatury  jest  zawsze  obarczona  pewnym  bł ę dem.  .

Metodę   uż ytą   w  pracy  [34] próbowali  usprawnić  DEVERALL  i  CHAN N APRAG ADA  [14].
Jednakże również  i  oni  otrzymali  wyniki  w postaci  skomplikowanych  cał ek.

Klasyczną   metodą   analizy  transformat  Laplace'a  próbowano  także  atakować  zagad-
nienia  odwrotne  w  pracach  [10]  i  [12].  Równanie  przewodnictwa  był o  tam  rozważ ane
wraz  z  zerowym  warunkiem  począ tkowym,  warunkiem  symetrii  (izolacji  w  przypadku



542  K.  G RYSA,  M.  J.  CIAŁKOWSKI

pł yty)  dla  x  — 0 i  przy  znanej  odpowiedzi  temperaturowej jednego  punktu wewnę trznego.
W  odróż nieniu od wszystkich wyż ej omówionych  prac, zakł adano tak w  [10] jak  i  w [12],
że  n a  brzegu  panują   warunki  I I I rodzaju  (swobodna  wymiana),  przez  co  rozważ ane  za-
gadnienie  odwrotne  mogł o  prowadzić  bą dź  do  wyznaczenia  temperatury  powierzchni,
bą dź  strumienia cieplnego, bą dź  też liczby  Biota. W  pracy  [12] podano rozwią zanie  w po-
staci  splotowej,  przy  czym jest ono zł oż one z trzech wyraż eń,  opisują cych  kolejno  —  tran-
sformatę   odpowiedzi  temperaturowej,  transformatę   rozwią zania  problemu  brzegowo-
począ tkowego  dla  warunku  I  rodzaju,  oraz  transformatę   tzw.  funkcji  intensywnoś ci
grzania. W  pracy tej podano również ograniczenia, jakie muszą  być  speł nione w przypadku
funkcji  T (x*,  t), jeś li  m a  ona  opisywać  wewnę trzną   odpowiedź  temperaturową .  Okazuje
się ,  że  dla  transformaty  T (x*, s)  musi  być  speł niona nierówność

(2.12) s T (x*, s)  -
x*"I_

fi
{x*]/ s)

<  M,  x* e  < 0,

jjdzie  M  —•   dowolna stał a  dodatnia, I- p(u) — zmodyfikowana  funkcja  Bessela  I  rodzaju,
rzę du  ,, — / ?".  /? jest tzw.  parametrem kształ tu. Rozwią zanie  zagadnienia  odwrotnego  staje

się   rozwią zaniem  dla  kuli,  gdy  /S  =   —= - ,  dla  walca  gdy  /S =  0  i  dla nieskoń czonej pł yty

.gdy  /? =   - = -.  Idea  wprowadzenia  parametru  kształ tu  nie  jest  nowa;  uż ywali  go  także

m.in.  IMBER  i  KH AN   W  pracy  [18].
Autorzy  pracy  [12],nie  próbowali  szukać  retransformat  rozwią zania  dla  x* e< 0,  1>.

Wyznaczyli  natomiast  rozwią zanie  tak  postawionego  zagadnienia  dla  x  =  1  (brzegowe
zagadnienie  odwrotne).  Oczywiś cie  dla  warunku  I  rodzaju  tego  typu  rozwią zanie  jest
nieciekawe,  lecz  dla  warunków  I I rodzaju  pozwala  ono ustalić  relację   pomię dzy tempera-
turą   czynnika  grzeją cego,  strumieniem  ciepł a  na  brzegu  i  liczbą   Biota  (bezwymiarowym
współ czynnikiem  przejmowania  ciepł a.)

P ostać  splotową   rozwią zania  równania  przewodnictwa  cieplnego  dla  walca,  kuli  i pł y-
ty  [10,  12]  wykorzystano  do  zdefiniowania  miary  odległ oś ci  procesu  nagrzewania  (chł o-
dzenia) z  liczbą   Biota  y>

1
  od procesu  nagrzewania  (chł odzenia) tego samego  ciał a  (i w tej

samej  temperaturze  otoczenia) z liczbą   Biota ip
2
  (w szczególnoś ci  0  <  y>i  <  co, ip

2
  ~* °°).

M iara  ta  jest  zdefiniowana  wzorem

(2.13)  x(F
0
,

  Vl
,  y>

2
, P)  =   J  [F^ Fo, fp». P)- Fi(h,  Vx>J

o

f2  •

gdzie  liczby  2.,
ljh

  f =   1,2,  są   pierwiastkami  równania  przestę pnego

J
V
(X)  —  funkcja  Bessela  I  rodzaju  rzę du  v,  Bi —  liczba  Biota,  F

o
  —  liczba  F ouriera

(bezwymiarowy  czas).  Wielkoś ć,  wprowadzona  przy  pomocy  wzoru  (2.13),  znakomicie



ZAG AD H IEN IA  ODWROTNE  P ÓL  TEMPERATUR  543

nadaje  się   do odnoszenia procesu nagrzewania  z dowolną   liczbą   Biota do procesu  nagrze-
wania  z  warunkiem  brzegowym  I  rodzaju,  a  co  za  tym  idzie,  do  decydowania,  w  jakim
stopniu  proces  nagrzewania  może  zostać  przybliż ony  procesem  z  warunkiem  I  lub  I I
rodzaju.  Również w pracy  [10] podano rozwią zania  zretransformowane  tylko  dla  x*  =  1.

D o  prac  [10]  i  [12]  powrócimy  jeszcze  w  rozdziale  5  z  uwagi  n a  inne  ciekawe  idee
w nich zawarte.

N a  zakoń czenie  rozważ ań  dotyczą cych  analizy  transformat  omówimy  jeszcze  pracę
IMBERA  [22].  W  pracy  tej  rozważ ano  zagadnienie  odwrotne  dla  walca.  Autor  bardzo
szybko  uzyskuje  rozwią zanie  w  transformatach.  N astę pnie  dokonuje  aproksymacji  re-
transformaty  dla  mał ych  czasów  przy  pomocy  odpowiedniego  przybliż enia  wewnę trznej
odpowiedzi  temperaturowej  (szereg  quasipotegowy  zawierają cy  funkcje  erfc)  oraz  zastą -

/   / ~\   I  I  / ~T\
pienia  uł amka I o  I * ! /   —  / M o l** 1/   —)  P

rzezrozwinię cieasym ptotyczne(x*—punkt,
•   \   r  %  li  \   w  K  i

w  którym  zarejestrowano  wewnę trzną   odpowiedź  temperaturową ).  Ta  czę ść  pracy  jest
podobna  do  wcześ niej  omówionych  (np.  [34]).  Ale  nastę pnie  autor  dokonuje  przybli-
ż enia rozwią zania  dla  cał ego zakresu  zmiennoś ci  t.  Wykorzystuje  w  tym  celu  metodę  do-
pasowania  funkcji  [31, 34].  Poszukuje  funkcji  F(s),  posiadają cej  ł atwą   do  znalezienia
retransformatę ,  a  bę dą cą   dobrym  przybliż eniem  uł amka

(2.14)

Funkcja  ta  dla  x*  >  0,5x  odbiega  od  wartoś ci  wspomnianego  uł amka,  liczonych  dla  s
rzeczywistego,  nie wię cej  niż  o  1,1%.  Autor  zakł ada począ tkowo,  że  F(s) ma  postać

• i/F-
gdzie  nieznane współ czynniki  a

2
,  a

3
,  a 4  i  a6  są   funkcjami  zmiennej  x.  D opasowują c  F(s)

do  funkcji  (2.14)  dla  mał ych  i  duż ych  czasów  ustala  postaci  tych  współ czynników,  a  na-
stę pnie,  opierają c  się   n a  numerycznym  porównaniu  zwią zków  (2.14)  i  (2.15)  dla  argu-
mentu  rzeczywistego,  znajduje  poprawkę ,  decydują cą   o  dobrym  przybliż eniu  uł amka
(2.14).  Ostatecznie  F(s)  przyjmuje  się   w  postaci

-   a  nx*  n  I  x*  \ laS

(2.16)  F(s)  =   - T T ^ - ^ - i  +  - .  4  • „  - 0, 46379px*  •   1  x
l+a

3
px*  l+a

6
- p- x*  \   xf

[
-

Zastę pując  tą   funkcją   uł amek  (2.14)  otrzymuje  się   takie  przybliż one  wyraż enie  n a  trans-
formatę  temperatury, które  daje  się  w prosty  sposób  odwrócić.  Otrzymana funkcja  T (x,  t)
przybliża  wartoś ci  temperatury w  obszarze  xe(x*,  x),  gdzie  lx jest  wartoś cią   graniczną ,
dla  której  jeszcze  funkcjonuje  odwracanie  funkcji  T (x, s)  przybliż onej  poprzez  zastą -
pienie  uł amka  (2.14)  przez  F(s)>  Bł ą d,  z  jakim  Imber  przybliż ył   wartoś ci  temperatury
we  wspomnianym  obszarze,  był   nie  wię kszy  niż  0,3%.



544  K.  G RYSA,  M .  J.  CIAŁKOWSKI

M etoda  dopasowywania  funkcji  w  uję ciu  Imbera  jest  metodą   efektywną   i  dają cą
w  okreś lonym  obszarze  wyniki  bardzo  obiecują ce.  Wadą   tej  metody jest  może zbyt  duża
przewaga  intuicji  nad  matematyką   w  doborze  funkcji  „ zastę pczej".

2.3. Podejś cia oparte na metodzie róż nic skoń czonych.  Tego  typu  podejś cia  był y  stosowane
w  wielu pracach. Był o on o bą dź  wykorzystane  do wyliczenia  wartoś ci  liczbowych  rozwią -
zania  danego w postaci  bardzo skomplikowanej, jak  n p. w  [16], bą dź w  celu  ekstrapolacji
tem peratury  poza  obszar  wyznaczony  przez  punkty  o  danych  odpowiedziach temperatu-
rowych  [1, 15,  17], przy  czym  w pracy  [17] zastosowana jest  metoda elementów skoń czo-
nych.  Ż adna ze  wspomnianych  prac  nie  wnosi  nic nowego  do  metodyki  rozwią zań.  N a-
tom iast  interesują ca  wł aś nie  z  punktu  widzenia  sposobu,  w  jaki  wykorzystano  metodę
róż nic  skoń czonych, jest  praca  TRU JILLO  [37].

Trujillo  rozważa  równanie  macierzowe  postaci

(2:17)  x  -   K'  x+1-   g,  gdzie  •  •   i  =   °
dt  '

z warunkiem  począ tkowym  x(G) =   C  •  x(t)  jest wektorem  ( «xl) ,  reprezentują cym  zmien-
n e  stanu,  K—pewną   macierzą   (  «x«)  reprezentują cą   wł asnoś ci  rozważ anego  ciał a,
T   jest  pewną   macierzą   (reXm), zaś  g  jest  wektorem  ( m xi )  reprezentują cym  wymuszenie.

Problem  odwrotny  w  uję ciu  Trujillo  jest  to tego typu  zagadnienie, w  którym  znane są
macierze K  i  T  oraz  wszystkie lub  niektóre ze skł adowych  wektora  x  (zmiennych stanu),
podczas gdy  nieznane są   wielkoś ci  wymuszają ce  proces. Równanie (2.17) autor  rozwią zuje
metodą   róż nic skoń czonych, przy  czym minimalizacja  bł ę du odbywa  się  przy uż yciu w pe-
wien  szczególny  sposób  metody  najmniejszych  kwadratów.  Autor  podaje  przykł ady  roz-
wią zania  równania  (2.17)  dla  przypadku  odwrotnego  zagadnienia  przewodnictwa  ciepł a
jak  i  dla  odwrotnego  problemu  dynamiki  konstrukcji.  W  bardziej  dla  nas  interesują cym
pierwszym  przypadku  wektor  x(t)  to  temperatury  punktów  reprezentują cych  plastry,
n a  jakie  podzielono  pytę   (jest  to  wię c  metoda  dyskretyzacji  zmiennych przestrzennych),
macierz K  wią że  się  z dokonanym podział em i jest  oczywiś cie  macierzą   pasmową ,  macierz
T   zawiera  róż ne  od zera  elementy  tylko  dla  tych  warstw,  w  których  dane  są   przebiegi
temperatur  bą dź  strumieni  ciepł a,  zaś  wektor  g  jest  wektorem  zł oż onym ze  znanych od-
powiedzi  temperaturowych.  W  ten  sposób  zagadnienie  odwrotne  zostaje  sprowadzone
do ukł adu zwyczajnych  równań róż niczkowych, które daje się  stosunkowo prosto rozwią zać
numerycznie.

2.4. Rozkład na szereg problemów prostych.  M etoda ta  został a  po  raz  pierwszy  uż yta  przez
G .  STOLZA  [35]. Istotą  metody jest wykorzystanie  rozwią zania  zagadnienia  bezpoś redniego
dla  stał ego wymuszenia  danego  poprzez  jednostkowy  strumień  ciepł a,  przy  jednoczesnej
dyskretyzacji  zmiennej  czasowej.  Autor  wykorzystuje  zatem  znajomość  funkcji  F(x,  t)jZ
( Z —  pewna  stał a), bę dą cej  rozwią zaniem  problemu brzegowo- począ tkowego  postaci

d&  „   30
(2.18)  %V2G- - —  =   0,

dt  '  dx
=   0,  @(x, 0)  =   0,  k-

x= 0 dx
— 1.

X- R

D la  warunku  brzegowego  II rodzaju  z prawą   stroną   dowolnej  postaci, np. równą  —  0(ł ),
oraz  dla  niezerowego  (równego  pewnej  stał ej  &

t
)  warunku  począ tkowego,  moż na  teraz

ł atwo  uzyskać  rozwią zanie,  wykorzystują c  twierdzenie  o  splocie:



ZAG AD N IEN IA  ODWROTNE  P ÓL  TEMPERATUR  545

t

N astę pnym  krokiem  jest  przybliż enie  funkcji  &(t)  funkcją   schodkową ,  która  przyjmuje
wartoś ci  stał e w przedział ach  czasowych  o dł ugoś ci At  — X.  Poszczególne skł adniki sumy
przybliż ają cej  0{t)  róż nią  się  o d&(j X) =   d&j r){t—j X), gdzie  7](x) — funkcja  H eaviside'a,
o r a z/   =  0,  1,  2  ...  n.  Po  tym  kroku  otrzymuje  się   rozwią zanie  (2.19) w  postaci  przy-
bliż onej

n

(2.20)  >  6
i
- &{x,  n X)  =   ~  •  ^ ?  30(j  X)F(x,  (n- j)  X).

z
Przechodzą c  teraz  do  zagadnienia  odwrotnego,  zakł adamy  że  6(x*,  t)  =  / ( ; )  jest

znane,  a  wyznaczyć  należy  przebieg  strumienia  ciepł a  n a  brzegu.  Oznacza  to  potrzebę
wyznaczenia  wyzstkich  wartoś ci  d<P(j •   X). Wykorzystują c  fakt,  iż  F(x,  0)  =   0,  otrzymuje
się .  v  '

B- 2

(2.21)  80[(n- l)  X]  =   -   J?  {Ó0Q  X)F(x*>  ( n - j)  X] + Z  [9
t
- 0(x*,  n  X)]} x

1

Ponieważ każ da wartość S0(n  •   X) zależy  od wszystkich  poprzednich przyrostów strumienia
ciepł a, wię c  rozwią zanie  może być teraz generowane  krok  po  kroku  począ wszy  od  /  =   0.
.D la  przyrostu  d&(0) dostaje  się   stą d

(2.22)  80(0)  =
  p

  f  l&t- Oix*,  X)],

a  nastę pnie na  podstawie  (2.21)  ł atwo wyznacza  się   pozostał e przyrosty  strumienia  cie-
pł a.

Autor  ostrzega,  że  krok  czasowy  nie  może  być  zbyt  mał y,  gdyż  wystę puje  wówczas
moż liwość oscylacji  rozwią zania  (por. także uwagi zawarte w pracy  [34]).

Podobną   metodę  stosuje  także w swoich pracach J. V.  Beck. Rozważ ał  on w  [5] także
problem  wyznaczania  powierzchniowego  strumienia ciepł a.  Jednakże  o ile „ wygł adzanie"
rozwią zania  Stolz  przeprowadza  wykorzystują c  równowagę   cieplną ,  o  tyle  Beck  robi
uż ytek  z metody najmniejszych  kwadratów  przy  wykorzystaniu  idei  tzw. współ czynników
wraż liwoś ci  [4].  O  podejś ciu  Becka  bę dziemy  mówić  dalej  przy  omawianiu  problemów
nielini owych.

3.  N ieliniowe  zagadnienia  odwrotne  przewodnictwa  cieplnego

Zagadnienia nieliniowe nastrę czają   wiele trudnoś ci już  przy rozwią zywaniu  problemów
bezpoś rednich. Problemy  odwrotne potę gują   te trudnoś ci,  gdyż nie tylko  chodzi  wówczas
o  rozwią zanie  nieł atwego zagadnienia brzegowo- począ tkowego,  lecz  także  o  ekstrapolację



546  K .  G RYSA,  M .  J.  CIAŁKOWSKI

otrzym an ego  rozwią zania  poza  obszar  wyznaczony  przez  punkty  wewnę trzne  ze  znanymi
odpowiedziam i  temperaturowymi,  i  to  w  taki  sposób,  aby  uwzglę dnić  nieliniowoś ć.  Z  tej
przyczyny  prac  traktują cych  o  zagadnieniach  nieliniowych  jest  stosunkowo  niewiele.
Tym  niemniej wś ród  n ich daje  się  wyróż nić  dwie m etody:

3.1. podejś cia  oparte n a metodzie róż nic skoń czonych, oraz

3.2. rozkł ad problemu nieliniowego na szereg problemów liniowych (metoda cał kowa).

C o  do  pierwszej  metody  istnieje  pewna  liczba  prac,  w  których  stosuje  się   ją   z  po-
wodzeniem  i  przy  wykorzystaniu  interesują cych  modyfikacji.  M etoda druga jest prezento-
wan a  n a  przykł adzie jednej  pracy,  [23], z roku  1979. Podejś cie  zaproponowane w  tej  pracy
dotychczas  nie był o stosowane  w  rozważ aniach  dotyczą cych zagadnień  odwrotnych.

3.1. Podejś cie oparte na metodzie róż nic skoń czonych. Podejś cie  to stosowane  był o ni. in. w pra-
cach  [3,  6,  10,  l i i  in ., ].  Prace  [3,  10 i  11] to  wykorzystanie  klasycznego  aparatu metody
róż n ic  skoń czonych, przy  czym w  pracy  [3] zarysowana  jest, wykorzystana  w  [6],  a omó-
wion a  dokł adniej  w  [4], m etoda  tzw.  współ czynników  wraż liwoś ci.  Prace  [10]  i  [11]  za-
wierają ,  m.  in.,  przybliż one  rozwią zania  nieliniowych  zagadnień  odwrotnych  w  sensie
p.  4°  ze  wstę pu.

Pracą ,  którą   warto  tu nieco szerzej  omówić, jest praca  BECKA  [6]. Modyfikacja  metody
róż n ic  skoń czonych,  którą ,  się   on  posł uguje,  opiera  się   n a  koncepcji  tzw.  nieliniowej  esty-
macji.  M etoda t a jest  przedstawiona  n a  przykł adzie pł yty nieskoń czonej. Autor  formuł uje
problem  n astę pują co:

oraz  T (x, 0)  =

=   0,
x =  xt

gdzie  Y(t)  oraz  T i(x)  są   znanymi  funkcjami,  x*  e  {x
e
,  x()  przy  czym  autor  przyjmuje

x
e
  =   0,  Xi  —,  L ,  x*  =   E  <  L .  O  2.1 c

p
  zakł ada  się ,  że  mogą   być  funkcjami  temperatury

i  zmiennych  przestrzennych.
Wielkoś ciami  poszukiwanymi  są   powierzchniowy  strumień  ciepł a  i  powierzchniowa

em peratura.
Rozwią zanie  tego  problemu  może  zostać  wyznaczone  przez  zastosowanie  kilku  przy-

bliż eń  przy  pomocy  róż nic  skoń czonych, jak  zrobiono  n p.  w  [3],  Jednakże  z  pracy  [7]
wynika  m .  in.,  że jeś li  zmniejszać  kroki  czasowe,  t o  coraz  wyż sze  pochodne  po  czasie
funkcji  Y(t)  i strumienia w pun kcie x*  =   E stają   się  nie do pominię cia. Przy  uż yciu  forma-
lizmu  róż n ic  skoń czonych  oznaczał oby  to  konieczność  uwzglę dnienia  róż nic  wyż szych
rzę dów.  Z  drugiej  strony  wiadomo  [6, 34,  35], że zmniejszanie  kroku  czasowego  prowadzi
do  utraty  stabilnoś ci  procedury  numerycznej.

I dea  nieliniowych  estymacji  pozwala  po czę ś ci ominą ć te trudnoś ci, aczkolwiek  kosztem
pojawienia  się   nowych,  o  których  mowa  poniż ej.

Jako  zerowe  przybliż enie  dla  q  tzn. jako  q°  przyjmuje  się   rozwią zanie  problem u linio-
wego.  N astę pn ie  wyznacza  się ,  rozwią zując  nieliniowe  zagadnienie  brzegowo- począ tkowe
( 3. 1) l 5  (3.1) 3 (3.1)4przy  wykorzystaniu  wyznaczonego  q°, przebieg  temperatury T stanowią -
cej  odpowiedź  temperaturową   pun ktu  E  na wymuszenie  q°.  P rocedura wyznaczania  stru-
m ien ia  q  polega  n a minimalizowaniu  funkcjonał u



ZAG AD N IEN IA  ODWROTNE  P ÓL TEMPERATUR  54?

( 3 . 2 ) ,  ..

gdzie  q=  [q
t
,  q

2
, ..- , c w]  jest  wektorem,  którego  współ rzę dne  okreś lone  są   n astę pu-

ją c o:
q(0, t)  =   q„  dla  ©

n
.

1
  < t <  &„,

Y
n+

1 jest wartoś cią   zmierzonej w punkcie E temperatury w  chwili  t
rj+1

,  T
nĄ

.  ;  jest tem peraturą
wyliczoną   dla  chwili  t

v+i
  przy  zał oż eniu, że wartość  ;  umienia  ciepł a  n a  powierzchni

wynosi  q.  (Zatem dla q° otrzymuje  się   temperaturę  T °).
Krok  czasowy  dla  wyznaczenia  Y

v+i
 czy  T

n+l
  może  się  róż n ić  od kroku  czasowego

dla wyznaczenia q
n
. Zachodzi mię dzy nimi relacja  A©  =   m-   At,  gdzie m —  liczba n aturaln a,

AQ  —  krok  czasowy  przy  dyskretyzacji  strumienia,  zaś  At dotyczą   Y i  T .  Oznacza  t o ,  że
<9M  i  /„ są  tą  samą   chwilą   czasu  gdy  m M—  r\ .

Liczba  / ,  do  której  nastę puje  sumowanie  po  prawej  stronie  (3.2), jest  równ a  /  =  mr,
gdzie r — 1, 2, 3 lub  4;  rzadko  trzeba przyjmować  r wię ksze  od  czterech.  D zię ki temu  dla
r  >  1 przy  wyznaczaniu  strumienia wykorzystuje  się   „ przyszł e" tem peratury. Jeś li  bowiem
wyznaczana jest  wartość  <7M+ I> to  sumowanie  obejmuje  wskaź niki  od  r\  =  m  •  M poprzez
rj + m  =  m(M+l)  aż do rj + r m  = y\  +  J.  D zię ki  temu  autor  uzyskuje  bardziej  precy-
zyjne  wyniki;  chwyt  dotyczą cy  moż liwoś ci  wprowadzenia  do  (3.2)  tem peratur  T

tl+i

gdzie  /  >  m, polega  n a zał oż eniu  (tylko  na  uż ytek  chwilowo  wykonywanych  rach un ków),

ż e  # M + I  =   1M+2  —  • • •  c/ M+r-

Aby  zilustrować  sposób,  w jaki  funkcjonuje  m etoda,  zał óż my  że  wyznaczone  jest
CA7+ I> tzn  f—l  przybliż enie  strumienia ciepł a w  chwili  (Af+ 1) A0.  Oznacza to, że znam y
również  Tfejj.  Rozkł adamy teraz  T ^

+1
  w szereg  Taylora:

(3.3)  T l,
1+i

  zł  T ^ l + 0'uXi  VVM
+
I,

gdzie  Vq{,
+1

  — gif+ i — qluXx  za- ś  ^A7,^7, »jest  tzw.  współ czyn n ikiem  wraż liwoś ci  [4],  o kre-
ś lon ym  n astę pują co:

0  +

Z a  e przyjmuje  autor  wartość  0,001.
Jak  wię c  widać,  przyjmuje  się   zależ ność  funkcyjną   pomię dzy  T

v+i
  oraz  q

M
+i-   Wyko-

rzystują c  nastę pnie  fakt,  że F(q)  ma  osią gnąć  m inim um ,  oraz  zwią zek  (3.3),  otrzymuje,
się   wzór  n a zmianę  wartoś ci  strumienia po / - tym  przybliż eniu:

/   J

(3.4)  [  ̂ ]'1

Kolejne  przybliż enia  prowadzi  się   aż do  chwili,  gdy  zm iana  Vql
M+1

  bę dzie  zn ikom a, np..
bę dzie  równa  0, 005C M + I -

M etoda  daje  zadowalają ce  wyniki  dla r — 3 lub 4 n awet  przy  m =   !.•  D la r =  2 roz-
wią zanie  silnie  oscyluje  wokół  rozwią zania  ś cisł ego, zaś  dla r =  1 procedura n um eryczn a
jest niestabilna. M etodę  tę  moż na także stosować  w celu rozwią zania  liniowego  problem ów
odwrotnych.  W  tych  przypadkach  funkcjonuje  on a  na  zasadach  zbliż onych  do  procedury
opisanej  w  pracy  [35],



• 548  K.  G RYSA,  M .  J.  CIAŁ KOWSKI

3.2. Metody cał kowe.  Zasadnicza róż nica pomię dzy  metodą  cał kową, uż ytą  przez IMBERA
[23],  a  metodą  omówioną  wyż ej,  polega  na  tym,  że  Imber  wyznacza  rozwią zanie  zagad-
nienia  odwrotnego jako  funkcję  cią gł ą, podczas gdy  BECK  [6]  wyznacza  tylko ciąg wartoś ci
dyskretnych.

Rozwią zanie  Imbera skł ada się  z dwóch  czę ś ci.  W  czę ś ci  pierwszej  rozważa  on bezpo-
ś rednie nieliniowe zagadnienie wyznaczenia pola temperatury dla pół przestrzeni. Dokonuje
tego  metodą  kolejnych,  przybliż eń.  Jako  przybliż enie  zerowe  T

o
  rozwią zania  równania

(3.1)!  z  warunkiem  począ tkowym  (3.1)4 przyjmuje  rozwią zanie  dla  problemu  liniowego.
Znając  rozwią zatiie^bę dą ce  w- tym  przybliż eniem  (n =   0,  1,  2,  ...) ,  uzyskuje  się n + l - ~
przybliż enie  nastę pują co.  Konstruuje  się  funkcjonał   .

00   /   «  ,

C r  I  d  1  8T \   •   d2T   VI  82T   I

,(3.3)  r( a . c 0 . c l f . . . . «- IJ  { u
  A"to  - d l ^ - 2c * - a -̂   •0   0

który  nastę pnie należy  zminimalizować,  przy  czym  współ czynnik  a musi  być równy  czę ś ci
stał ej  współ czynnika przewodnictwa  cieplnego  ź t, oznaczonej  / t£. Funkcja  T (x, t) wchodząc
w  skł ad  prawej  strony  zwią zku  (3.5) jest  rozwią zaniem  równania

dT  8
2
T   V<  „   82%

(3.6)  g c - r - =   (

stał e  Ci dla  k  =  \ ,2,  ...,n  wyznacza  się na podstawie warunków  koniecznych  osią gnię cia
minimum przez funkcjonał   I .  Zatem aby  otrzymać T „

+1
(x,  t), trzeba wyznaczyć współ czyn-

n iki  C
o
,  Ć

x
i  ... j  C„  z  równań

(3.7)  i r  =   0>  i S - * 0 .  k  =   l,2,...,n,
o a  oC

k

przy jednoczesnym  podstawieniu  a  —  X
t
.

Jak  więc  widać,  rozwią zanie  zagadnienia  bezpoś redniego  otrzymane  jest  metodą
rozkł adu  problemu  nieliniowego  n a  ciąg  problemów  liniowych.

N atom iast nieliniowe zagadnienie odwrotne autor rozwią zuje  w oparciu o  zreferowaną
już metodę rozwią zywania  odwrotnych zagadnień liniowych  [18].  N a podstawie  rozwią zania
zagadnienia-  bezpoś redniego  stwierdza  ón, iż  krzywa  opisują ca  przebieg  odpowiedzi tem-
peraturowej  w punkcie  wewnę trznym  dla  zagadnienia nieliniowego  daje  się  lokalnie przy-
bliż yć  odpowiednimi  krzywymi  otrzymanymi  dla  zagadnień  liniowych.  W zwią zku  z tym
przy  nieliniowym  zagadnieniu odwrotnym traktuje  się współ czynnik przewodnictwa  żl jako
odcinkowo  stał y  i  otrzymuje  się  rozwią zanie  jako  sklejenie  rozwią zań  dla  poszczególnych
zagadnień liniowych.  D la stwierdzenia, czy otrzymane przybliż enie, na podstawie  odczytów
z  dwóch  term opar, jest  w  poszczególnych. przedział ach  czasu  wystarczają co  ś cisł e, pro-
ponuje  Imber,  aby  umieś cić  pomię dzy  tymi  termoparami  trzeci,  kontrolny  czujnik.

4.  Z agadnienia  odwrotne  wielowymiarowe  przewodnictwa  cieplnego

P o  raz  pierwszy  dwu-   i  trójwymiariowe  zagadnienia  odwrotne  przewodnictwa  ciepł a
rozważ ał   IMBER  [20]  w  1974  roku.  Rozważ ał   on  zagadnienie  dwuwymiarowe  dla  ciał a



ZAG AD N IEN IA  ODWROTN E  PÓL  TEMPERATUR  549

o  dowolnych  kształ tach, natomiast dla zagadnień trójwymiarowych  okreś lił  sposób  otrzy-
mania  rozwią zania.

Aby  rozważ ać  zagadnienie  odwrotne  wielowymiarowe,  trzeba  znać  a  priori  tempera-
turę  w  zamknię tym  obszarze  wewną trz  ciał a.  Z  tego  powodu  termopary  winny  być  usy-
tuowane  na  brzegu  tego  obszaru,  tzn.  na  krzywych  w  przypadku  dwuwymiarowym  lub
na  powierzchniach  w  przypadku  trójwymiarowym.  Staje  się  jasne,  że  w  przypadkach
wielowymiarowych  dokł adność predykcji  temperatury  w  dowolnym  punkcie  na  zewną trz
obszaru  ograniczonego  przez  krzywe  (powierzchnie)-  na  których  przebiegi  tem peratur
są  znane, w  istotny  sposób  zależy  od  iloś ci  termopar  uż ytych  d o  wyznaczenia  tych prze-
biegów.

Ograniczając  się  w rozważ aniach  do zagadnienia  dwuwymiarowego,  konstruuje  Imber
rozwią zanie  w  sposób  analogiczny  jak  dla  problemu  jednowymiarowego  [18,  19].  Roz-
wią zuje  on  zatem  równanie

(4.0  '  ;  T - T TP

z  jednorodnym  warunkiem  począ tkowym  oraz  z  warunkami  opisują cymi  temperaturę
w rogach pewnego prostoką ta

N

(4.2)  T (x
t
,

  yj
,  t)  =  £  b'„J  t",  i, j  •==  1, 2,

oraz  na  bokach  tegoż  prostoką ta  •

(4.3)!  T (x, yj,t)=  fj(t)  p rzy  czym  x &  (x
t
,  x

2
),

( 4.3) 2  T (xt,  y,  t)  =  gt(0  przy  czym  ye(ylt  y2).

W  celu  otrzymania  rozwią zania  we  wnę trzu  prostoką ta,  wykorzystuje  transformację
Laplace'a.  Specjalnych  metod  trzeba  uż yć  dopiero  przy  eksploatacji  rozwią zania  poza
ten  obszar. Istota metody ekstrapolacji temperatury w przypadku wielowymiarowym  polega
n a  sprowadzeniu  zagadnienia  do  jednowymiarowego.  D okonuje  się  tego,  dobierając
odpowiednie  drogi,  na  których  przeprowadza  ś ię  operację  ekstrapolacji.  W  rozważ anym,
dwuwymiarowym  przypadku  autor  wybiera  przedł uż enia  boków  prostoką ta.  U zyskuje
w ten Sposób do predykcji  temperatury na zewną trz  obszaru  te same dane, które posł uż yły
mix  do wyznaczenia rozwią zania  wewną trz prostoką ta. Postę pując teraz zgodnie z omówioną
w rozdziale 2,1.  pracy metodą,  [18], otrzymuje  w ten sposób  po jednym  lub  kilku  krokach
przebiegi  temperatur  w  oś miu; punktach  na  brzegu  rozważ anego  ciał a.  Aby  wyznaczyć
przebiegi  temperatur w  punktach wewnę trznych  bą dź  brzegowych  nie  leż ą cych  n a  wspo-
mnianych  wyż ej  drogach,  należy  obrać jako  nowe  drogi  ekstrapolacji  bą dź  proste  prze-
chodzą ce przez  prostokąt  (równoległ e do  poprzednich), bą dź  przecinają ce  obszar  wyzna-
czony  przez  te  proste.  W  ten  sposób  moż na  wyznaczyć  przebiegi  temperatur  w  każ dym
punkcie dwuwymiarowego  ciał a o dowolnych kształ tach, tyle tylko, że czę ść wyznaczonych
przebiegów  bę dą  t o  wyniki niejako  drugiej  generacji  (w  oparciu  o dane — wyniki  ekstra-
polacji  na  drogach  przechodzą cych  przez  obszar  prostoką ta).

Metoda  Imbera jest  dosyć  ucią ż liwa  w  zastosowaniu  do  problemów  wię cej  niż jedno-
wymiarowych.  Potrzeba  wykorzystania  jako  danych  wyznaczonych  uprzednio  poza

3  M ech .  T eoret .  i  Stos.  4/ 80



550  K .  G RYSA,  M.  J.  CIAŁKOWSKI

obszarem  przebiegów  temperatury  znacznie  zwię ksza  moż liwość  bł ę dnej  aproksymacji.
P onadto  minusem  metody  jest  konieczność  wprowadzenia  do  badanego  obiektu  duż ej
iloś ci  termopar.  Imber  podaje,  że  przy  oś miu  czujnikach,  (w  każ dym  narożu  i  w  ś rodku
każ dego  boku  prostoką ta)  otrzymane wyniki  są   obarczone blisko  10% bł ę dem. Wspomina
on także  o  „wą skim  gardle"  metody, jakim jest — przy duż ej liczbie termopar —  wielkość
ukł adu  równań  na wyznaczenie  stał ych w  zwią zkach  typu  (2.8). Przy  dwunastu termopa-
rach  (po dwie termopary pomię dzy naroż ami) i przy uwzglę dnieniu  tylko pię ciu  pierwszych
wyrazów  szeregów  typu  (2.8)2  (zawierają   one — z uwagi na dwuwymiarowość  zagadnie-
nia —  wyrazy  o  dwóch  wskaź nikach,  podobnie jak  po  prawej  stronie  zwią zku  (4.2)) —
liczba  niewiadomych,  wynosi  40  [21], tzn.  do  wyliczenia  są   wyznaczniki  o  rozmiarach
40x40  i  t o jeszcze  n a  etapie  przygotowywania  danych  do  wyznaczenia  ekstrapolowanej
tem peratury!  Z  tej  przyczyny  Tmber  proponuje  [21], aby  termopary  umieszczać  blisko
interesują cego  nas  obszaru,  a  wymiar  prostoką ta  i  liczba  termopar powinny  być jak  naj-
mniejsze.

Wydaje  się ,  że  stosowanie  metody  Imbera  nie  może  dać wyników  bliskich  rzeczywi-
stoś ci, gdyż wprowadzenie  duż ej  liczby  czujników  spowoduje  niewą tpliwie  zmiany w polu
temperatury.

5.  Odwrotne  zagadnienia  temperaturowe  w  termosprę ż ystoś cl

Zupeł nie  nowe  moż liwoś ci,  szczególnie  jeś li  chodzi  o  wyznaczanie  pola  temperatury
na  zewną trz  obszaru  o znanych warunkach brzegowych,  wprowadzają   idee zawarte  w pra-
cach  [10] i  [12]. W pracach tych omówione są  metody wyznaczania temperatury i strumienia
ciepł a  na  powierzchni  ciał , gdy  uwzglę dnia  się   efekt  sprzę ż enia  pola temperatury z polem
przemieszczeń.  D okonana analiza  dotyczył a jednowymiarowych  zagadnień teorii naprę ż eń
cieplnych  (a wię c  bez  uwzglę dnienia  tzw.  efektów  krzyż owych).  Sformuł owanie problemu
zawierał o  równanie  przewodnictwa  cieplnego  (2.1)  z jednorodnym warunkiem  począ tko-
wym,  warunkiem  symetrii  (izolacji  w  przypadku  pł yty)  dla  x  =   0  oraz  równanie  ruchu
w  przemieszczeniach.

L
  +

l r 2 Ł
  8  l z ^  l  d2]

dx
2  +

  x  ~Sx  x
2

z  warunkami  brzegowymi  i  począ tkowymi

8u(x, f)
(5.2)  u(x, 0 ). =

dt =   0,   t * ( 0 , 0 = 0 ;

gdzie  c 2  =   —r- —- —j~  ,  G — moduł   ś cinania,  v — liczba  Poissona,  p —  gę stoś ć,
Q[l— (1 — 2p)v]

§ —  współ czynnik kształ tu, omówiony w rozdziale 2.2, u(x, t) — przemieszczenie w kierun-

l+v
ku osi x, k

e
  =   - —- ^—a t )  a, —  rozszerzalność  cieplnej.  W  rozpatrywanym  zagadnieniu

/S 5̂  0,5. a
xx
  jest  współ rzę dną   tensora naprę ż enia, okreś loną   nastę pują co:



ZAG AD N IEN IA  ODWROTNE P ÓL  TEMPERATUR  551

W  celu  otrzymania rozwią zania  zagadnienia  odwrotnego  pola  temperatury  stosuje  się
tu, podobnie jak  i w wielu poprzednio omówionych pracach, analizę  transformat  Laplace'a.
Pozwala  ona wyrazić temperaturę  powierzchniową   lub  strumień ciepł a n a brzegu,  gdy  np.
znany jest przebieg  przemieszczenia  w punkcie x*, tzn.  u(x*, t)  =  u

x
{t).  D la  transformaty

temperatury  oraz  strumienia  ciepł a  na  powierzchni  ciał a  zachodzą   wówczas  zwią zki
[10]

(5.4)

* j/ s )  Lt(s,  fi- l-p+ l\ x*- jj  L2(s,

gdzie

( )  - (1 - 2/ 3) [1  - (1 - 2/ J) 3̂ - j-

Podobne  zwią zki  moż na  podać  dla  przypadku,  gdy  znany  jest  w  punkcie  wewnę trznym
przebieg  naprę ż eń cieplnych  [10,  12]. Aby  transformaty  zwią zków  (5.4)  był y  odwracalne,
funkcja  u

x
(t)  musi  być  odpowiednio  regularna  tak,  że  bę dą   speł nione dla  niej  warunki

analogiczne  do  warunku  (2.12)  [10,  12]. Przy  zastosowaniu  pomiaru  przemieszczeń  me-
todą n p. znaczonych atomów (umieszczenie w odlewie  n p . cylindra silnika  ś ladowych  iloś ci
izotopu pierwiastka  promieniotwórczego) uzyskuje  się   moż liwość  dokonywania  poś rednio
pomiarów temperatury n a tej powierzchni cylindra, która współ pracuje z tł okiem.

6.  Podsumowanie

N iniejsza  praca  zawiera  przeglą d  waż niejszych  metod  rozwią zywania  zagadnień  od-
wrotnych  przewodnictwa  ciepł a. Jednakże  oczywistym jest,  że  nie  wszystkie  prace  dadzą
się   jednoznacznie  „zaszufladkować ".  D o  takich  należy  n p.  praca  TU LI SZ KI  [38],  gdzie
nie  tylko  rozwią zano  zł oż ony  problem  pól  temperatury  i  naprę ż eń,  ale  także  podan o
sposób  wyznaczania  temperatury powierzchniowej, którego nie da  się  porównać z ż adnym
z omówionych. N ależy jednak  przy  tym zaznaczyć, iż  z uwagi  n a  zł oż oność rozważ anego
zagadnienia metoda podana w pracy  [38] nie jest tak prosta i elegancka jak  metoda  IMBERA
[18, 22] czy BECKA  [6]. N iniejszy  przeglą d  nie zawiera  również wszystkich prac napisanych
n a  temat  zagadnień  odwrotnych  przewodnictwa  ciepł a.  Pominię to  n p .  prace  cytowane
w  monografii  TIEMKIN A  [36], jak  również  samą   monografię ,  która —  choć  traktuje  o  za-
gadnieniach odwrotnych —jest  stosunkowo  mał o czytelna i nie zawiera  treś ci przydatnych
dla  eksperymentatora. N iewą tpliwie  niektóre z  podejść  zaprezentowanych w  tej  monogra-
fii,  jak  np. rozwijanie  splotu  w szereg, może jeszcze znaleźć zastosowanie,  lecz wydaje  się ,

3 *



552  K .  G RYSA,  M .  J.  CIAŁKOWSKI

że  metody  omówione  w  rozdział ach 2.1, 2.4.  czy  3.1. naszego  opracowania  są   znacznie
prostsze i bardziej  eleganckie.

D alsze  kierunki  badań  dotyczą cych  zagadnień  odwrotnych,  to  rozważ ania  dotyczą ce
problemów  nieliniowych  jak  również  rozwijanie  metod  predykcji  temperatury  przy  zna-
nych  odpowiedziach  przemieszczeniowych  czy  naprę ż eniowych  w  punkcie  (punktach)
wewnę trznym.  Te drugie  problemy  stanowią   przedmiot  badań  autorów  tego  przeglą du.
Warto  podać, że  w  ogólnoś ci  zagadnienia  odwrotne  w  sensie  punktów  1°  i  2°  ze  wstę pu
moż na  podzielić  na

a)  zagadnienia  odwrotne jednorodne, tzn.  dane  i  poszukiwane  są   przebiegi  funkcji
tego  samego  rodzaju,  n p. temperatury,  oraz

b) zagadnienia  odwrotne niejednorodne, tzn.  dane i poszukiwane  są   przebiegi  funkcji
róż nych rodzajów  (por. rozdział  5 pracy).

Rozpatrują c zagadnienia odwrotne niejednorodne, gdy dane są  przebiegi  dwóch róż nych
wielkoś ci,  każ da  w innym punkcie wewnę trznym,  dochodzi się   do wniosku,  że ilość pro-
blemów  czekają cych  n a  rozwią zania  (zastosowania?)  jest  znaczna.  Zwrócimy  chociaż by
uwagę  na to, że  w punktach x

t
  i x

2
  mogą   być znane przebiegi,  odpowiednio,  temperatury

i  przemieszczeń,  temperatury  i  naprę ż eń, przemieszczeń  i  strumienia  ciepł a  itd., a  wobec
tego  zagadnienia  odwrotne mogą   dotyczyć  np.  w obszarze,, do tył u" temperatury, a w ob-
szarze  „ do  przodu"  przemieszczeń, jak  to jest  w  przypadku  pierwszej  ze  wspomnianych
par  znanych  przebiegów.  Jednocześ nie  proste  (bezpoś rednie)  zagadnienie  brzegowo-
począ tkowe  z  warunkami  typu  D irichleta bą dź  N eumanna  okazuje  się   być  szczególnym
przypadkiem  problemu  odwrotnego.  Są   to  wspomniane  w  rozdziale  2.2.  brzegowe  za-
gadnienia  odwrotne, wś ród  których  tylko jeden  rodzaj  problemów — z warunkami  brze-
gowymi  trzeciego  rodzaju  [10,  12] —  to  brzegowe zagadnienia  odwrotne  wł aś ciwe.

P onad poł owa prac omówionych w przeglą dzie  to  publikacje z dziesię ciolecia 1970 - 1980.
Wydaje się ,  że obecnie, przy burzliwym rozwoju  metod badań nieniszczą cych, problematyka
zagadnień  odwrotnych,  nie tylko  dotyczą cych  pól  temperatury, jest  szczególnie  aktualna
i  istotna.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  R .  G .  AR LE D OE ,  A.  H AJI - SH E I KH,  An  Iterative  Approach to  the  Solution  of  Inverse Heat Conduction
Problems,  ASM E  P aper  77 —  WA/ TM   —  2.

2.  E . A.  AP T I O XK H ,  Onpede/ ieuue  Koe$tf>uą ueuma  meMnepamyponpoeodHocmu  no  damuM  BKcnepuMeuma.
H r a t . - $ H 3.  XCypHSJi,  1, 29,  (1975).

3.  J .  V.  BE C K,  H .  WO LF ,  T he N onlinear  Inverse Heat  Conduction  Problem, ASM E  Paper  65 —  H T —  40
(1965).

4.  J .  V.  BE C K,  T ransient  Sensitivity  Coefficients for  the  T hermal Contact Conductance,  I n t. J.  H eat  M ass
Transfer,  10,  1615- 1617  (1967).

5.  J .  V.  BE C K,  Surface Heat  Flux Determination Using an Integral Method,  N ucl. Engng. D esign, 7,  170-
178  (1968).

6.  J . V.  BE C K, N onlinear Estimation Applied to the N onlinear Inverse Heat  Conduction Problem, I n t.  J. H eat
M ass  Transfer,  13, 703—716  (1970).

7.  O. R.  BU R OG R AF , An Exact  Solution of  the Inverse Problem in Heat  Conduction  T heory and Application
T ran s. ASM E, i .  C. J. H eat Transfer,  86, 373 -  382  (1964).

8.  H . S.  CARSLAW,  J . C. JAEG ER, Conduction of Heat  in Solids,  2nd ed., Oxford  U niversity  Press,  (1959).



ZAG AD N IEN IA  ODWROTN E  P Ó L  TEMPERATU R  553

9.  C. J.  C H E N , D . M . TH OM SEN ,  On  T ransient Cylindrical Surface  Heat  Flux  Predicted from  Interior  T em-

perature  Response,  AIAA  Journ al,  13,  697 -  699  (1975).

10.  M .  J.  CIAŁKOWSKI,  Metoda  wyznaczania pól  temperatury  iv  elementach  maszyn  cieplnych  w  dowolnych

warunkach nagrzewania, praca doktorska, P olit.  P ozn .,  P ozn ań  (1978).

11.  M . J.  CIAŁKOWSKI,  K.  TU STAN OWSKA,  N ieliniowe zagadnienie brzegowe  dls  jednowymiarowego  problemu

nagrzewania  {chł odzenia) kuli,  walca  i  pł yty  nieskoń czonej.  Zagadnienie  odwrotne  pola  temperatury;
Arch.  Bud. M aszyn, 2,  26, 291 -  305  (1979).

12.  M . J.  CIAŁKOWSKI,  K.  G R YSA,  On a  Certain Inverse Problem  of  T emperature and T hermal Stress  Fields,

Acta  M echanica,  36, 169—185(1980).

13.  J. M .  D AVIES,  Input Power  Determined from  T emperatures in a Simulated Skin  Protected  Against  T liermal

Radiation, Tran s.  ASM E , s.  C :  J.  H eat  Transfer, 88, 154 -   160 (1966).

14.  L.  I .  D EVERAIX,  R .  S.  CH AN N APRAG AD A,  A  N ew  Integral  Equation for  Heat Flux in Inverse Heat  Con-

duction, Tran s.  ASM E , s.  C :  J .  H eat  Transfer, 88,  327 -  328 (1966).

15.  N .  D'SOUZA, N umerical  Solution  of  One- Dimensional Inverse  T ransient  Heat  Condcution  by  Finite

Difference  Method,  ASM E P aper  75 -  WA/ H T — 81.

16.  I .  F R AN K,  An  Application  of  L east  Squares Method  to  the  Solution  if  the Inverse Problem  of  Heat  Con-

duction, Tran s. ASM E , s.  C :  J. H eat Transfer, 85, 378 (1963).

17.  P . S.  H O R E , G . W.  K R U T Z , R .  J.  SCH OEN H ALS, Application  of  the  Finite Element  Method  to  the  Inverse

Heat  Conduction  Problem,  ASM E  P aper  75- WA/ TM- 4.

18.  M .  IMBER,  J.  K H AN ,  Prediction  of  T ransient  T emperature Distributions  with Embedded  T hermocouples

AIAA  Journ al,  6,  10,  784 -  789  (1972).

19.  M .  IMBER,  A  T emperature Extrapolation  Method for  Hollow  Cylinder,  AIAA  Journ al,  1, 11, 117 - 118

(1973).

20.  M .  IMBER,  T emperature  Extrapolation  Mechanism  for  T wo- Dimensional Heat  Flow,  AI AA  Journ al,

8,  12,  1089- 1093  (1974).

21.  M .  IMBER,  T wo- Dimensional  Inverse  Conduction  Problem  —  Further  Observations,  AI AA  Journ al,

1,  13,  114- 115  (1975).

22.  M .  IMBER, Inverse Problem for  the Solid  Cylinders, AIAA  Journ al,  1,17,  91 -  94 (1979).

23.  M .  IMBER, N onlinear Heat  T ransfer  in Planar  Solids:  Direct  and  Inverse  Applications,  AI AA  Journ al,

2, 17, 204 -  212 (1979).

24.  J.  K H AN ,  A N ew Analytical  Solution  of  the Inverse Heat  Conduction Problem,  P h .  D .  Thesis, P olytechn ic

I n st.  of  Brooklyn, N ew York  (1972).

25.  V.  A.  KOVERYAN OW,  Inverse  Problem  of  N onsteady- State  T hermal  Conductivity,  Teplofizika  Vysokich

Tem peratur,  1,  5,  141 -  143  (1967).

26.  JI . A;  Ko3floBA, Pciueimn ueJiuneuHbix  3ą daH  menjionposodiiocmu.  H ayicosa Jlymua,  K I WB  (1976).

27.  M . M .  LAVREN TIEV,  V. G .  ROM AN OV,  V.  G .  VASILIEV, Multidimensional  Inverse Problems  for  Differential,

Equations, Lecture N otes  in  M at h .,  Springer- Verlag, Berlin- H eidelberg- N ew  York  (1970).

28.  A.  V.  M ASKET,  A.  C.  VASTAN O,  Interior  Problems  of  Mathematical  Physics,  Part  II  Heat  Conduction

Am .  J.  of  P hys.,  30, 796- 803  (1962).

29.  T. J.  M IRSEPASSI,  Heat- T ransfer  Charts for  T ime- Variable  Boundary  Conditions,  British  C h em . E n gn g.,

4,130- 136(1959).

30.  K. r .  OMEJib̂ iEHKO, B.  r .  I I ^ E J I K H H A,  Peuiemie oSpanmoil 3adauu'HeAuneimou  mcnjtonpoeodnocmu no

onpedejieuuw menjiocfimimecuux  xapawmpucmuu.  H H > K.- < I > H 3. 3KypHaji3  1, 29, (1975).

31.  M . L. ROSEN ZWEIG ,  T he  Response of  the L aminar Boundary L ayer to Impulse Motion,  P h .  D .  D issertation

in  Aeronautical Engng.  Cornell  U n iv.,  (1959).

32.  K.  C.  SABH ERWAL,  An  Inverse Problem  of  T ransient Heat  Conduction, I n dian  J .  P ure  an d Ap p l. P h ys.,
3,  397 -  398  (1965).  -

53.  H .  B.  UJyMAKOB, Metnod  sucnepiuiewnaMnoeo  u3yieHun  npoifecca uaipeea  msepdozo  niejia.  JKypH an

T C XH .  * H 3 . 5  4,  Xl,  844- 855, (1957).

34.  E. M . SPARROW,  A.  H AJI - SH E I K H, T . S. LU N D G R E N ,  T he  Inverse Problem  in T ransient Heat  Conductional,

Tran s.  ASM E, J. Appl.  M ech., 86, 369 -  375 (1964).

35.  G . STOLZ ,  Jr, N umerical Solutions  to  an Inverse Problem  of  Heat  Conduction for  Simple  Shapes,  T ran s.

ASM E,  s.  C :  J.H eat  Transfer, 82, 20 -  26 (1960).



554  K.  G RYSA,  M.  J.  CIAŁKOWSKI

36.  A.  F .  T E M K H H ,  OGpamnbie  msmobu  menjtonpoeodmcmu.  V1.3P,.  SH eprH H ,  M ocKBa,  (1963).
37.  D .  M.  TR U H LLO,  Application  of  Dynamic Programming  to  the General  Inverse Problem,  Int. J. N um .

M eth.  in  Engng., 12,  613  -  624  (1978).
38.  E . TU LISZKA, An Analysis of the Unsteady Fields of  T emperature and T hermal Stresses in a Rotating Disk

of  T hermal Axial- Flow  T urbines, Joint G as Turbine Congress, Paper N o 63, Tokyo  (1977).

P  e  3 jo  M e

OBP ATH Ł I E  3AJJJ^ iK  T E n J I O n P O BO flH O C T H   —  OE 3OP JI H T E P AT yP E I

B  p a 6 o i e  npoflMCKyTHpoBaHO  nyG nH Kainm., OTHOcmn;HeCH  K BonpocoM   oSpaTH Lix  n ojieii  TeM nepaTyp.
3 T O T  p afl  Bo n p o c o B,  KOTopwH   H H TepecoBaji  aBTopoB  o 63o pa  oco6en H o,  C BH 3H H H Ł I K  C npoSjieMaiHH
onpeAeJieH H H   pa3pein eH H n  Bon poca  KpaeBO-   H a^ajibH oro  BHe o6jiacTH 5  onpeflejieHHOH   ^iepe3  6 e p e r 5
Ha  KOTopoAi  3aASHŁi  ycjioBH H .  O r r a c a n o  3a ^ a n n  jiHHeftHŁie  H  H ennH eH H Bie3  OP;HO H   flByxmepH Lie, a  Taioite
oSpaTH bie  3afla^n  Ann  conpH >KeH H bix n o n e S . B  KOHne paSoTbi  flaH bi  aK- ryantH bie  H anpaBjieH ira  usy^ tmm
H   BO3MOHCHOCTH  npaKTH ^ecKfix  npHMeKeHHH   o6paTH Łix  3ap,an.

S u m m a r y

T H E  IN VERSE  H EAT  CON D U CTION   PROBLEMS — REVIEW

Th e  papers  dealing  with  the  inverse  heat  conduction  problems  are  being  reviewed.  The  concerns
the  following  problems:  to  find  a  solution  of an  initial- boundary value  problem  outside  the region  deter-
mined  by  t h e  boundary  with  prescribed  conditions.  The  linear  and  nonlinear as  well  as  one-   arid  two-
dimensional  problems are discussed. Also some inverse  problems of the coupled fields  are briefly  presented.
I n  t h e last  part  of  the review  some new  aspects  and approaches to the problems as  well as  the  possibilities
of  application  of  their solutions  are  given.

POLITECH N IKA  POZNAŃ SKA
INSTYTUT  MECHAN IKI TECH N ICZN EJ
POLITECH N IKA  POZNAŃ SKA
INSTYTUT  TECH N IKI CIEPLN EJ I  SILNIKÓW  SPALINOWYCH

s
Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 6  listopada  1979  roku