Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z4.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 18 (1980) NUMERYCZNA ANALIZA  OPŁYWU   PŁASKIEJ PODSTAWY WALCA KOŁOWEG O NADDZWIĘ KOWYM   STRU MIEN IEM  LEPKIEG O  G AZ U 1' ANDRZEJ  T O P O L I Ń S KI  (BYDGOSZCZ) 1.  Wstę p Zagadnienia  wyznaczania  naddź wię kowych  opł ywów  ciał   przez  gazy  nabrał y  szcze- gólnie waż nego  aspektu  praktycznego wraz z rozwojem  lotnictwa i  kosmonautyki. N a du- ż ych  wysokoś ciach  lotu  wartoś ci  charakterystyczne  liczb  Reynoldsa  są   już  na  tyle  mał e, że  opracowania  teoretyczne  opł ywów  muszą   opierać  się   na rozwią zaniu  peł nych równań N aviera -  Stokesa.  Kształ ty  współ czesnych  aparatów  latają cych  a  zwł aszcza  statków kosmicznych,  odpowiadają   czę sto  modelowi  ciał a  z  silnie  zatę pionym  czoł em  i  z  zał a- maniami  tworzą cych jego  konturów. Zatę pienie ciał   podyktowane  jest  przede  wszystkim potrzebą   minimalizacji  pochł anianego  ciepł a,  zaś  zał amanie  konturów  tworzą cych wynika m. in.  z  koniecznoś ci  zapewnienia  stał oś ci  form  ciał a  w  procesie  unoszenia jego materiał u  konstrukcyjnego  spowodowanego  nagrzewaniem  aerodynamicznym  [8]. N addź wię kowe  opł ywy  gazem  lepkim  ciał   z  silnie  zatę pioną   czę ś cią   czoł ową   i  z  zał a- maniem  ich tworzą cych  doczekał y  się   stosunkowo  nielicznych  teoretycznych  opracowań.  t THOMMEM  [1] wyznaczył   niestacjonarny  opływ  czoł owej  czę ś ci  prostoką tnej  pł ytki  gazem lepkim  i  przewodzą cym  ciepł o.  Krył ow  i  Pawł ów  [5]  wykonali  serię   eksperymentów numerycznych  stacjonarnych  opł ywów  czoł owych  czę ś ci  pł yty  prostoką tnej  oraz  walca koł owego.  Autorzy  obu  wymienionych  prac  stawiają   sobie  za  cel  wypróbowanie  nowych numerycznych,  stą d  przytoczone  przez nich opisy  opł ywów są   fragmentaryczne  i niepeł ne. Celem  niniejszej  pracy  jest  zbadanie  osiowosymetrycznego  opł ywu  walca  koł owego 0  pł askiej podstawie  gazem  lepkim i przewodzą cym  ciepł o. 2.  Sformuł owanie  zagadnienia W  pracy  przyję to,  że  gaz  opł ywają cy  ciał o  jest  ś ciś liwy,  lepki,  przewodzą cy  ciepł o oraz doskonał y w sensie termodynamicznym (c p   =   const., c„  —  const.). Brak w nim ź ródeł 1 upustów  ciepł a i  masy,  pominię te też  został y  sił y  masowe. Rozpatrywany  bę dzie osiowosymetryczny,  niestacjonarny przepł yw w pobliżu  podstawy walca  koł owego  o stał ej temperaturze ś cianek.  Ograniczaną   czę ść  pł aszczyzny  przepł ywu, przyję tą   jako  obszar cał kowania Q, przedstawiono na rys.  1. Oś x jest tutaj  osią  symetrii —• jej  zwrot  zgodny  jest  z  kierunkiem  napł ywają cego  strumienia  gazu. x )  Praca zawiera wyniki rozprawy doktorskiej Autora, której prom otorem był  doc. dr h ab.  inż. E dward Walicki. 4 Mech. Teoret. i S tos. 4/ 80 566 A.  TOPOLIŃ SKI W  bezwym iarowym  ukł adzie  ró wn ań  (2.1 - 2.3)  rzą dzą cych  ruch em  pł yn u, wszystkie dł ugoś ci  został y  odn iesion e  d o  ś rednicy  walca  L ,  skł adowe  prę dkoś ci  u,  v  —  do  F r a ! gę stość  Q  d o  £>«,, jed n o st ko wa  energia  wewnę trzna  e  d o  V%, ciś nienie  p  do  Q X V%,  czas t  d o  L [V m ,  przewodn ość  ciepln a  %  i  lepkość  fi  odpowiedn io  d o  ź lro  i  nm.  U kł ad  ten  ma n astę pują cą  p o st a ć : (2.1) (2.2) (2.3) p  =   {H- \ )Qe, —v r- |= 0,5 r, U a =1,0  X2= 1,7  V / / _/ / Rys. 1 gd zie: n 1 « v uv V 2 +- A- - Q c = 0 v 2 QV r Q- N U M ERYC Z N A  AN ALIZA  OPŁYWU 567 D  = Re n d lx du  dv dx  dr 0 du /   dr  \  or  dx  /   r  \ [i  ( du 8r du  dv 2  d du_ dx 4 3 1  dv 3  dx 2  v  djj, 3  T  ~8x |  dv dr 2  v  <3[z )  .  de  8  de  X  de Pr  \  8x  dx  dr  dr  r  dr 3  17 4  du  2 dv ix M [\ Jlx~~J~dT ~ I  du  dv  \   8  [14 \   dr  dx  I  dr  ]_ \  3 8 dx dv dr 2  du  2  v\ ou  a. dr  dx dv  2  du  2  '. J~8r~~3!)x~JT '' du  dv dr  dx H . Macierzowe równanie (2. ł ) wynika  z zasady zachowania masy, pę du oraz energii: równanie (2.2) jest  równaniem  stanu,  a  (2.3)  zależ noś cią   wią ż ą cą   przewodność  cieplną   i  lepkość dynamiczną   z jednostkową   energią   wewnę trzną   gazu. Warunki  brzegowe  zagadnienia  są  nastę pują ce  (rys. 1): 1. N a brzegach x  — 0, 0 < r  =S  r 2   oraz r  — r 2 ,  0 < x  < x 2 ,  dostatecznie oddalonych od  ciał a,  przyję to  warunki  odpowiadają ce  strumieniowi  jednorodnemu: (2.4) u(x, r, t) =  1,  v(x, r,  t) =  0, e(x,r, 0  =  1,  e{x,r,t)  =  e a> 2.  N a  osi symetrii  r =   0: (2.5) du  do  de ny  3=   = s  *~  —  = =   I) 9r  dr  dr 3. N a powierzchni walca x  — 3Cl8- 0 < r < ra  oraz /•  =  r l a (2.6)  M  «•  » =  0,  e =  a e ^ . X 2 Znana  stał a  a(a > 0)  okreś la  stosunek  temperatury  powierzchni  ciał a  do temperatury niezakł óconego strumienia  gazu. 4.  N a  granicy  prawostronnej  x  = x 2 ,  r x   < r < r 2 ,  wartoś ci  Q, U,  V, e  wyznaczono z  wnę trza  obszaru  Q  za  pomocą   kwadratowej  ekstrapolacji  —  co  odpowiada  uż yciu przybliż onych, „ mię kkich" warunków  brzegowych: (2.7) Ł dx 3 = 0 , gdzie/ —  dowolna z funkcji  Q, U, V, e. 568  A.  TOPOLIŃ SKI Jako  warunki  począ tkowe  przyję to  speł nienie  w  obszarze  Q  zależ noś ci  (2.4) — za wyją tkiem  powierzchni  walca  na  której  prę dkość  i  temperatura  speł nia  (2.6)  a  Q =   1. Warunki  te  są  równoznaczne z  nagł ym umieszczeniem  walca  w jednorodnym strumieniu gazu. 3.  Schemat  róż nicowy N umeryczne rozwią zanie  ukł adu  (2.1 -  2.3) opiera się n a zastą pieniu  cią gł ego rozkł adu funkcji  i  argumentów  ich  wartoś ciami  w  wę zł ach  siatki  róż nicowej.  Jeś li  przez  m,  I, n oznaczymy  numery  wę zł ów,  przez  h u   fh>  * — odległ ość  mię dzy  wę zł ami  siatki  w  kie- runkach x,  r, t, t o przez/ m,r rozumieć bę dziemy wartoś ć /w  punkcie mh t ,  lh 2 ,  nr. D o  obliczeń  przyję to  dwustopniowy,  jawny  schemat  róż nicowy  typu  Laxa  -  Wen- droffa  [1]. Pierwszy  krok  umoż liwia  obliczenie  - f£± *,z  oraz  P m ^ lł   (2.1)— przykł adowo  na kierunku  osi  x: (3.1)  Ftti%  ±{F»+F?  +  [± Z  powyż szego wyznacza  się X± *, ? ,  Bnt&i  oraz  Cmf/|*  i  C"„ ± |,;.  D rugi  krok  pozwala n a  obliczenie  wartoś ci  F^ (: (3.2)  Fi+f -   Ą ;, +  T[(A x ):tf  + &$tf  + C r 4 + D" m , J +   0(A3). Stabilność  uż ytego  schematu  róż nicowego  zbadana  został a  dla- równań  modelowych uzyskanych  z  linearyzacji  ukł adu  (2.1) 2.3).  Ograniczenie  nakł adane  na  krok  czasowy  r ma  lokalny  charakter  i jest  nastę pują ce:  ' •   . (3.3)  T <  mm gdzie: =   maxl c  —  lokalna  prę dkość  dź wię ku. Obserwowany  w  trakcie  obliczeń  niemonotoniczny  przebieg  procesu  zbież noś ci  — szczególnie  silny w obszarach formowania  się duż ych gradientów —  spowodował  koniecz- ność  uż ycia  filtru  numerycznego  tł umią cego tę  niedogodnoś ć.  Zastosowano  tutaj  auto- matyczny  filtr  Shumana  [2,  6, 7], którego  współ czynniki  został y tak  dobrane, aby  pozo- stał y  speł nione:  warunek  liniowej  stabilnoś ci  schematu  róż nicowego  [6]  oraz  warunek zapewniają cy  odpowiednią  relację  mię dzy  wpł ywem  filtracji  i  rzeczywistą  lepkoś cią gazu  [9]. N U M ERYCZN A  AN ALIZA  OPŁYWU 569 4.  Obliczenia  numeryczne Obliczenia  wykonane  był y  dla  czterech  zestawów  param etrów: 1.  M x   =   1.1;  a  =   0.5;  2.  M„  -   2.5;  a  -   1.5; 3.  M ^  =   3.0;  a  =   1.5;  4.  Afro  -   4.0;  a  =   3.0. D la  każ dego  wariantu  przyję to:  a  ~  1.4;  Pr  =  0.74,  R e M  =  50;  hx  =   h2  =   0.066666667. Przedstawione  w  niniejszej  pracy  wykresy  warstwicowe  pochodzą   z  drukarki  wierszowej ODRY- 1305,  na  której  był y  wykonywane  obliczenia.  Wykresy  przedstawiają   proces formowania  się   stacjonarnych  pól  oplywów  w  obszarze  Q  (rys.  1). Przyję to,  że  przepł yw bę dzie  uważ any  jako  stacjonarny,  jeś li  speł niona  bę dzie  nierównoś ć: i  \ enntł - enm,i\ m m W mKm Rys.  2 0,A 0,6 x Rys. 3 Rys. 4 [570] 0,2 0,4 " 0,6 0,8 1,0 X Hsn i . Rys. 6 [571] glgffi^B • r j '  "  '  • • • liilp^il|ilil  HiiiiitiBi1 -- 1 i|g | • I  I iiaii! Hi Rys. 8 N U M ERYCZN A  AN ALIZA  OPŁYWU 573 Warunek  powyż szy  nie został  osią gnię ty  dla  pierwszego  wariantu  obliczeń  M n   =   1.1 z  przyczyn  natury  technicznej;  przy  przyję tych  parametrach  obliczeniowych,  czoł o  fali uderzeniowej  stacjonarnego  opł ywu  musiał oby  znaleźć  się   poza  moż liwym  d o  przyję cia obszarem  cał kowania.  Ilustracją   tego  wariantu  jest  rys.  2,  przedstawiają cy  formowanie się   w  polu  przepł ywu  jednostkowej  energii  wewnę trznej  dla  bezwymiarowych  czasów  — odpowiednio  t  — 0.228;  0.888;  1.186  i  1.524. W  celu  zorientowania  się   w  wartoś ciach odpowiadają cych  symbolom  wykresu  (nie  naniesionym  dla  przejrzystoś ci  odczytu  n a rys.  2) —  sł uży rys.  3, pokazują cy  rozkł ad energii  wewnę trznej  na  osi  symetrii  przepł ywu dla tychże chwil. Rysunek  4  pokazuje  kształ towanie  się   ciś nienia  (dla  M m   — 2.5)  w  obszarze  oblicze- niowym.  Wykresy  otrzymane są   odpowiednio dla:  t  =   0.240;  0.960;  2.141; 2.774 i  4.493. Uzupeł nieniem powyż szych  wykresów jest rys.  5 przedstawiają cy  rozkł ad ciś nienia  n a  osi symetrii.  Interesują cym  szczegół em  rysunku  4  są   oznaczone  strzał ką   zamknię te  obszary obniż onego  ciś nienia  (poniż ej  ciś nienia  strumienia  jednorodnego). N a  rysunku  6  ukazane  są   obrazy  skł adowej  prę dkoś ci  v  (M m   = 4)  dla  t  =   0.224; 0.858;  1.640; 2.422 i  4.004.  W  okreś leniu  wartoś ci  odpowiadają cych  poszczególnym  sym- bolom  tworzą cym  wykresy,  pomocnym jest  rys.  7,  obrazują cy  odpowiednie  rozkł ady  n a prostej x  m Xi,  r  >  r^ . ~j- a- symbol ; • # 0 8 1 M wartość 0,1133 0,7168 1,3202 1,9237 2,5271 3,1306 3,7340 4,3375 4,9409 5,5443 6,1478 Rys. 9 Wykresy  rozkł adów lokalnych liczb  Macha dla  wariantu  z M„  -   3(t  ~  0.240;  .0.974; 2.083; 2.599;  4.291)  pokazuje  rys.  8. N a wszystkich  pokazano zmiany i  ostateczne ustale- nie się  poł oż enia linii dź wię kowej  (oznaczonej linią   cią głą  na rys. 8). Jak wykazał y  doś wiad- czenia numeryczne, przybliża  się  ona do czoł a i ku powierzchni bocznej ciał a wraz  ze wzro- stem liczby  Macha niezakł óconego strumienia  gazu,  ale  oddala  przy  wzrastają cej  tempe- raturze ś cianek walca. :574  A.  TOPOLIŃ SKI N a  rysunku  9 przedstawiony  został   rozkł ad gę stoś ci  ustalonego  (t  — 4.291) opł ywu • czołowej  czę ś ci  walca  dla  M„  =   2.5. Tuż za  naroż em, na  powierzchni bocznej  ciał a  wy- stę puje  obszar  silnego  rozrzedzenia gazu  oraz  obniż ona jego gę stość  (w stosunku  do Q X ) wzdł uż  tworzą cej  walca  z tendencją   do  wolnego  wzrostu  w  kierunku  przepł ywu. N ie za- obserwowano  wyraź nego  zwią zku  rozkł adu gę stoś ci  z parametrami przepł ywu  na wspc~- mnianym  wyż ej  kierunku. Program,  którym  się   posł uż ono  umoż liwiał  ś ledzenie  zbież noś ci  procesów obliczenio- wych.  Stwierdzono, że  70% czasu, przy  którym nastą piło  umowne ustalenie, jest  zuż ywa- ne  n a  uformowanie  się   przybliż onego  obrazu przepł ywu  (1- 2 cyfry  znaczą ce), a pozostał e 30%  na  „ udokł adnianie"  wyników.  Proporcje  te  nie  są   zachowane  w  cał ym  badanym obszarze.  N ajszybciej  nastę puje  zgrubne  uformowanie  rozkł adów funkcji  przy  czoł owej czę ś ci  ciał a.  Proces  „zwię kszania  dokł adnoś ci"  wyników  dł uż ej  trwa  w  obszarach wystę - powania  najwyż szych  gradientów — tj.  na  fali  uderzeniowej  i  w  okolicy  naroża  ciał a. Powyż sze  spostrzeż enia  posł uż yły  d o  podję cia  prób  skrócenia  czasu  otrzymywania stacjonarnych  rozwią zań.  D okonano tego  na  drodze  zastosowania  uproszczeń  równań (2.1)  w  począ tkowym  czasie  zgrubnego  formowania  się   rozkł adów  funkcji  oraz  „wyłą - czan ia"  czę ś ci obszaru  cał kowania Q  w póź niejszej  fazie  obliczeń. Oszczę dność czasu przy zastosowaniu  tych  zabiegów  się gała  30%. Przedstawione tutaj wyniki  obliczeń uzyskane na drodze eksperymentów realizowanych przez  maszynę   cyfrową ,  wskazują   na  realne  moż liwoś ci  prowadzenia  ich  na  krajowych komputerach  ś redniej  mocy. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  H . U . TH OM M EN , N umerical Integration  of the N avier- Stokes Equations.  ZAM P,  17, N o 5,1966. 2.  A.  C.  VLIEOEN TH ART,  T he Shuman Filtering Operator  and the N umerical  Computation  of  Shock  W aves. J .  E n g.  M ath .,  vol.  4,  N o 4,  1970. 3.  W.  PROSN AK,  Mechanika pł ynów, T.  2, WN T, Warszawa  1971. 4.  P . J.  ROAC H E,  Computational Fluid Dynamics. Albuqurque,  N . M ., H armosa Press  1972. 5.  B.  B. KpbiJioB, B. M .  ITABJIOB, npuMemmie  pamocntHou  cxeMu  K pactemy  oBtneKauun  mopifa  ceepX3ey- KoeuM nomoKOM enwozo ea3a.  Bt ra.  M eT.  H  ITporp. XI X,  H3/ ?.  M OC K.  YH H B. ,  MocKBa 1972. 6.  A.  H AR TE N ,  G .  Z WAS,  Switched N umerical  Shman  Filters for  Shock  Calculations.  J.  Eng.  M ath.,  vol. 6,  N o  2,  1972. 7.  K .  SRIN IWAS,  J.  G U RU RAJA,  K .  K.  PRASAD ,  An  Assessment of  the  Quality of  Selected Finite  Difference Schemes for  T ime Dependent  Compressible Flow. J. Comp. Phys.\  20, 1976. 8.  B.  r .  BOPOH H H , B. B.  JlyHEB, A.  H .  HaKyjiHH, O  cmaifuonapHou  $opMe  men npu  ux  pa3pyuiemu 3a cnem aspoduHaMunecKoio  naipeea.  H 3B. AH   CCCP  MMT ,  N ° 2,  1978. • 9.  A.  TOP OLIŃ SKI, Analiza numeryczna pewnych przepł ywów gazu lepkiego. Rozprawa doktorska, Politechnika Warszawska  1978  (niepublikowane). P  e 3  K)  M  e ^H CJIEH H Łlflf  AH AJIH 3  OBTEKAH ł M   IIJIOCKOrO  OCH OBAH H S K P yrO BO r/ 0  m O H H J I P A  CBEPX3ByKOBBIM   IIOTOKOM   BH 3KOrO  TA3A B  p a S o i e  npH BefleH Bi  MHCJieHHtie pe3yjitTaTbi  ocecH iweipKU H oro  o6TeiH oro • c miocKU M  TopijoM .  3aflatia  peniaeTCH   c  noMomBM   HBHoń # ByxniaroBOH   pa3H ocrH oft  cxeiw>i T un a  JlaKca- ?*}53*  annpoKCH M yromeft flH cbcJiepeimH OH ajibH yio cucTeifly  co  BTOP OM   nopHflKOM   TOTOOCTU  [ 1] . N G MERYCZN A  AN ALIZA  OPŁYWU   575 C  qejiBio  Bbirjiyn ieum n  ocmiJiH irH OU H oro MOMeHia Bt rracjieH u ii.,  npniweH eH bi  n p o ije flyp w ociTOBaHHŁie n a  cbmnvrpe  IIIyMaH a [2,  6,  7 ] . cflCJiaHW  fljia  le T bip e x  BapiiaHTOB  n apaiwerpoB.  Bo  Bcex  oflHEcaKOBbi  6bt jio  *I H C JI O —  R e T O  =   5 0 . ópym