Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z4.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  18  (1980) KSZTAŁTY PRĘ TÓW SILNIE ZAKRZYWIONYCH  PODDANYCH  ZGINANIU  Z  ROZCIĄ G ANIEM I  Ś CINANIEM,  CAŁKOWICIE  UPLASTYCZNIONYCH  W  STADIUM   ZNISZCZENIA AN N A  D O L L A R ,  Z D Z ISŁAWA  K  O  B, D   A  S  ( K R AK Ó W) 1.  Wstę p Powszechnie  stosowanym  podejś ciem  przy  kształ towaniu elementów  konstrukcyjnych w  zakresie  sprę ż ystym  jest  zastosowanie  warunków  równomiernej  wytrzymał oś ci.  W  za- kresie  plastycznym,  pewnym  odpowiednikiem  tego  podejś cia  jest  poszukiwanie  kształ tów ciał ,  które  przy  osią gnię ciu  noś noś ci  granicznej  osią gną   stan  plastyczny  w  cał ej  swej obję toś ci.  N arzucenie warunku  cał kowitego  uplastycznienia  w  stadium  zniszczenia  przy projektowaniu  elementów  z  materiał u  idealnie  plastycznego  pozwala  na  wyeliminowanie z  konstrukcji  stref  sztywnych  bą dź  sprę ż ystych:  pozwala  zatem na  lepsze  wykorzystanie materiał u  w  pracach  [1],  [5]  stwierdzono,  bowiem,  że  w  optymalnych  konstrukcjach w stadium zniszczenia  uplastycznione  powinno  być  cał e  ciał o,  bą dź  moż liwie  wielki jego podobszar. Kształ ty, które uzyskuje  się   w  oparciu  o to  kryterium  wykazują   najczę ś ciej  cał kowitą niejednoznacznoś ć, zatem przy  doborze kształ tów optymalnych, należ ał oby przeprowadzić procedurę  optymalizacyjną   n p. w oparciu o warunek  minimum obję toś ci.  N iekiedy jednak pewne  wymagania  konstrukcyjne  narzucają   kształ ty  odbiegają ce  od  kształ tów  regular- nych,  powszechnie  stosowanych  w  praktyce.  Wtedy  też  moż na  dobrać  kształ ty,  które odpowiadają   cał kowitemu uplastycznieniu  w  stadium  zniszczenia,  bez  prowadzenia  pro- cedury  optymalizacyjnej.  N iekiedy  też kształ ty,  o których  mowa  speł niają   warunek  mini- mum obję toś ci,  zatem są   kształ tami optymalnymi w  sensie  powszechnie  przyję tym. Omawiane  podejś cie  przy  kształ towaniu  elementów  konstrukcyjnych  w  zakresie plastycznym  był o  stosowane  w  pracy  [3],  przy  kształ towaniu  niekoł owych  cylindrów gruboś ciennych,  nastę pnie w  pracy  [2] przy  projektowaniu  skrę canych  prę tów  rurowych. Szersze  omówienie  problematyki  wył aniają cej  się   w  trakcie  kształ towania  ciał   wykazują - cych  cał kowite  uplastycznienie  w  stadium  zniszczenia,  jak  również  przeglą d  publikacji z tego zakresu, moż na znaleźć w pracy [4]. W  niniejszym  opracowaniu  poszukuje  się   takich  kształ tów  prę ta z  materiał u  idealnie sprę ż ysto- plastycznego,  który  poddany  zginaniu z rozcią ganiem  i  ś cinaniem jak  n a  rys.  1, uległby  cał kowitemu uplastycznieniu  przy  osią gnię ciu  noś noś ci  granicznej.  P roblem  roz- wią ż emy  w  warunkach  pł askiego  stanu  odkształ cenia, w  p .  6  podamy  pon adto  wyniki analizy  problemu w  warunkach pł askiego stanu naprę ż enia. Z  uwagi  na  zastosowaną   metodę   mał ego  parametru  poszukuje  się   kształ tów  prę ta, odbiegają cego  od  koł owego  (od  ć wiartki  koł a),  bę dą cego  rozwią zaniem  trywialnym 604 A.  D OLLAR,  Z .  KORD AS postawionego  zagadnienia.  Problem  ten  jest  rozwinię ciem  i  uzupeł nieniem przykł adów analizowanych,  w  pracy  [4]  i  pozwala  n a  szersze  poznanie  analizowanej  tam problema- tyki. Rozwią zanie  ma  speł niać  warunki  równowagi  wewnę trznej,  warunek  plastycznoś ci ' H ubera- M isesa- H encky'ego  w  formie  równoś ci  oraz  naprę ż eniowe  warunki  brzegowe. M oż na wię c je  uzyskać  w  oparciu  o równania naprę ż eniowe bez analizy  równań odkształ - ceniowych.  Otrzymuje  się   szereg  rozwią zań  statycznie  dopuszczalnych,  a  odpowiadają ce tym  rozwią zaniom  kształ ty  są   kształ tami  bezpiecznymi.  W  omawianym  prę cie  moż na wyróż nić  strefę   obwodowego  ś ciskania  oraz  strefę   obwodowego  rozcią gania.  W  każ dej ze stref  uzyskano  dwa jakoś ciowo  róż ne rozwią zania, mianowicie cią g rozwią zań  odpowia- dają cy  niewielkim  odstę pstwom  od  kształ tu  bę dą cego  ć wiartką   pierś cienia  koł owego, o  ustalonym  stosunku  niezaburzonych  promieni  wewnę trznego  i  zewnę trznego  oraz rozwią zania  dla  dowolnych  stosunków  niezaburzonych promieni. 2.  Zał oż enia  i  równania  podstawowe Rozważ any  jest  prę t  o  przekroju  prostoką tnym  i  kształ cie  scharakteryzowanym  we współ rzę dnych  biegunowych  funkcjami  a(6) i  b(6), obcią ż ony  jak  na rysunku  1. Rys.  l W  prę cie  tym  wyróż nia  się   dwie  strefy  uszeregowania  naprę ż eń: —  strefę   I -— wewnę trzną,  ś ciskaną   naprę ż eniem  obwodowym  cr#I —  strefę   I I —  zewnę trzną,  rozcią ganą   naprę ż eniem  obwodowym  a» n . Przy zał oż eniu pł askiego stanu odkształ cenia i nieś ciś liwoś ci materiał u, stan naprę ż enia w  dowolnym  punkcie  prę ta jest  okreś lony  czwórką   skł adowych  o„  <%, x r6 ,  oraz  o l l M o , Z o(0):  0 =  0, £ „ ( 0 ) :  0  =   <*r0i\ r=g   - lll- 'rri W  zerowym  przybliż en iu  skł adowe  stan u  n aprę ż en ia  odpowiadają   zgin an iu  prę ta ko ł o wego o wym iarach a 0  i b 0  m o m en t u M o > w warun kach pł askiego  stan u odkształ cenia. Są   t o n astę pują ce  funkcje  prom ien ia  r : —  w  strefie  wewn ę trzn ej  (obwodowego  ś ciskan ia) 2  .  y (3.8) l&n   -   0. •  w  strefie  zewn ę trzn ej  (obwodowego  rozcią gan ia) 2  ,  r T O T T  irr- ]/ 3 (3.9) T r o e n  =  0. "F u n kc je  t e stan owią   rozwią zan ie  u kł ad u  ró wn ań  (3.2) i  (3.3) dla i =  0, przy zał oż eniu kolejn o  < rrOr  >   ffeox i  <>Von <   geo n )  z wykorzystan iem  pierwszego  i  trzeciego z warunków (3.5).  Z ero we  przybliż en ie  prom ien ia rozgraniczają cego  strefy  jest. ró wn e: (3.10)   g 0   .  y ^ ^ , KSZTAŁ TY  PRĘ TÓW  SILNIE  ZAKRZYWION YCH   609 a  moment,  który  powoduje  cał kowite uplastycznienie prę ta  wynosi: (3.11)  M o  =- A~  «o(b0- a0) 2 . 4.  Rozwią zanie  w kolejnych  szczeblach przybliż enia 4.1.  Przybliż enie pierwsze.  Z  warun ku  plastyczn oś ci  (3.3)  d la  i  =  1  wyn ika  r ó wn o ść pierwszych  poprawek  naprę ż eń  promieniowego  i  obwodowego  w  obu  strefach.  D wa równania ukł adu  (3.2), dla i  =   1, moż na sprowadzić  do równania róż niczkowego  czą stko- wego,  drugiego  rzę du n a pierwszą  poprawkę naprę ż enia stycznego  r rS1 .  Przyję cie: (4.1)  '  Ttfl  - *( / ")•  Z W , prowadzi  do  rozdzielenia  zmiennych,  a  tym  samym  do  dwóch  równań  róż niczkowych zwyczajnych  drugiego rzę du, okreś lają cych  funkcje  R(r) i T (6).  Są to nastę pują ce równ an ia: (4.2)  r2R"  +  3rR'  +  ?.2R  =  0, (4.3)  .  T "+X2T =0, Równanie  (4.3) ma  cał kę ogólną  dają cą  się  przedstawić  w  postaci: (4.4)  T = D - s in  W. Równanie  (4.2) ma nastę pują ce  cał ki  ogólne: —  dla  Af*.l (4.5) R  m lid  sin (|/ F = Tlny- ) +  C2cos L/ # n T in JL- Jj , (4.6)  R = C 1 l n r  \   b 0 Wobec  (4.4),  (4.5)  i  (4.6), pierwszą  poprawkę  naprę ż enia stycznego  okreś lają  wzory: (4.7)  r r e i  = —  dla  X =  1: (4.8)  r r d l -   —  taln- £ -  +B']sm&. r  \   b 0 ,  I Cał kowanie równań równowagi  dla pierwszego  przybliż enia  z uwzglę dnieniem  kolejno (4.7) i  (4.8), prowadzi  do  okreś lenia  pierwszych  poprawek  naprę ż eń obwodowego  i pro- mieniowego;  .  . —  dla  X #   1 -L \  L(4.9)  fffl  =  aQt  =  - L  \  L  -   ]/ J^ T B]  sin +  {B x   + 610 A.  D OLLAR ,  Z .  KORD AS —  dla  X =   1 (4.10) =   < f@l  = —  gdzie  stale  A\ ,  B' u   A u   B 1   należy  wyznaczyć  z  warunków  brzegowych.  Są   to A' n> S' u ,  A' u ,  B' n   — v/   strefie  wewnę trznej  A' m ,  B' m ,  A nit   B in   — w  strefie  zewnę trznej; stałe C x  i  C[  są   dowolnymi  starymi  cał kowania  odpowiadają cymi  nał oż eniu  dodatkowego ciś nienia  hydrostatycznego  i  w  dalszym  cią gu  przyję to:  C' n   —  C' 1U   =   C u  =   Cm  =   o- D la  wyznaczenia  stał ych  cał kowania  należy  w  warunkach  brzegowych  uwzglę dnić uzyskane  wyraż enia  na  pierwsze  poprawki  skł adowych  stanu  naprę ż enia przy  założ eniu kolejno  I  i-   1 wzory  (4.7)  (4.9)  oraz  I  =  1 wzory  (4.8) i  (4.10). Wyznaczenie  z  warunków  wp(l)  zp(l)  i  # p ( l)  pierwszych  poprawek  promieni  a^ fl), 6i(0)  i gi(# ) i porównanie z wyraż eniami na ai(# ), b[{- d) i g' t {&),  uzyskanymi  z warunków WO(1)J   zo ( l) i S"o(l) prowadzi  do ukł adu  równań na  stał e cał kowania. D la  X 5̂  1,  ukł ad  ten  ma  nastę pują cą   postać - lln - |5-M   - . 0, (4.11) U wzglę dnienie  wzoru  (3.10)  i  oznaczenie (4.12)  p  =   j/ F = T l ] upraszcza  ten  ukł ad  do  nastę pują cych  równań A^ cos  P —B n sin  P =  0, (4.13) = 0 . U kł ad  ten  ma  nastę pują ce  nietrywialne  rozwią zania: (4.14) >in  = (4.15) (4.16) =   0. u  =   0. KSZTAŁTY  PRĘ TÓW  SILNIE  ZAKRZYWION YCH 611 (4.17) gdzie  n  = 0,  1,  2 ... W  dalszym  cią gu  opracowania  omówione  zostanie jedynie  rozwią zanie  (4.17),  gdyż jak się  okazał o warunki brzegowe w drugim szczeblu przybliż enia sprowadzają   rozwią zanie (4.14),  (4.15), (4.16) bą dź  do  rozwią zania  (4.17) bą dź  do rozwią zania  trywialnego  A n   — -   B a   =   - Bin =  0. Pierwsze równanie z  (4.17) okreś la podwójny  cią g stosunków  wymiarów prę t a: (4.18)  - C- -0  W =l  . Wykorzystują c  zależ noś ci  (4.17) otrzymuje się  z wzorów  (4.7) i (4.9) wyraż enie na  pierwsze poprawki  skł adowych  stanu  naprę ż enia (4.19) r l l -   r r@UI   - "i i " i n X  ' z warunków brzegowych  pierwsze  poprawki promieni jako nastę pują ce  funkcje  ką ta (4.20) 2n  =   — ~ '  si n ^ , =   crd  - —  w  strefie  obwodowego  rozcią gania (4.22) o r .„  = B ' n l cos# . i612  A. D OLLAR ,  Z .  KORD AS Pierwsze  poprawki  promieni wyraż ają   się   nastę pują cymi  funkcjami  ką ta {4.23) Z (Tg N ależy  zauważ yć że wzory  (4.21) i (4.22) moż na uzyskać z wzorów  (4.19) przez podstawie- nie  X — 1  oraz  kolejno B t  =   B' n   lub  B 1   =   B[ n .  Moż na zatem  traktować wzory  (4.19) za  obowią zują ce  dla  X =   1, 2,  3 z dokł adnoś cią  do  stał ej. 4.2.  Przybliż enie drugie. Warunek  plastycznoś ci  (3.3), dla i =  2  daje  zależ noś ć: <4.24)  O.- 0- - - i^Ł- ; Róż nica  zerowych  przybliż eń  naprę ż eń promieniowego i  obwodowego jest z dokł adnoś cią do  znaku, jednakowa  w  obu  strefach.  Ogólnie, warunek  plastycznoś ci  (4.24) moż na wię c jzapisać wzorem: o- rj  -   o@2  =   ±  - i-L •  4± -  •   cos 2 ( ] / 5 ^(4.25) —  gdzie  znak  górny  odnosi  się   do  strefy  obwodowego  ś ciskania  a dolny  do  strefy obwodowego  rozcią gania. Równania równowagi, dla i  =   2 po uwzglę dnieniu (4.25) moż na sprowadzić do jednego • równania czą stkowego,  drugiego  rzę du, niejednorodnego, okreś lają cego  drugą   poprawkę naprę ż enia stycznego t r@x : ^Tln- -̂) Takie  samo  równanie z dokł adnoś cią   do  znaku  prawej  strony  otrzymano w  pracy [3] (wzór 3.26). Zatem jego rozwią zanie ze znakiem „ —" przy stał ej B t   dla strefy  obwodo- wego  ś ciskania,  a  ze  znakiem  „  +  "  dla  strefy  obwodowego  rozcią gania  stanowią   wzory (3.29),  (3.30) i (3.31)  pracy  [3]. Stał e A z  i B 2   należy  wyznaczyć  z  warunków  brzegowych  w  drugim  przybliż eniu  dla A # .  1 ja k o A 2l , B 21 ,  A 2U>   B 2ll ;  dla  %  =   1 ja ko  A' 2U   B' 2l ,  A' 21l ,  B' 2a . D la  X  #   1 wykorzystanie  warunków  brzegowych  w p {2), zp(2), gp(2),  vvo(2), zo(2), g„(2) prowadzi  do wniosku,  że dla ustalonego wzorem (4.18) stosunku promieni ̂ -   stał e  całko- ' On wania (4.27)  A 21   =  B 21   -  ^ M ,  =   B a I I -   0. KSZTAŁTY  PRĘ TÓW  SILNIE  ZAKRZYWION YCH 613 Mimo zerowania  się  stał ych cał kowania drugie poprawki  skł adowych  stanu naprę ż enia są   róż ne od  zera  i  moż na je  wyrazić  z  dokł adnoś cią   do  znaku  wzorami  (3.37)  pracy  [3] (dla  strefy  obwodowego  rozcią gania  z  tym  samym  znakiem  a  dla  strefy  obwodowego ś ciskania  ze  znakiem  przeciwnym). Drugie  poprawki  promieni  są   nastę pują cymi  funkcjami  ką ta  # : (4.28) - 3Bj  1  ... Dla  X =   1  wykorzystanie  warunków  brzegowych  prowadzi  do  nastę pują cego  ukł adu równań  na  stał e  cał kowania:  , (4.29) -   0, 3A' 2U   =   0, cos =  0. Układ  (4.29) jest speł niony dla  dowolnych  stosunków  - = -̂   gdy: b (4.30) A ' 2 I   =   A ' 2 U   =  B' 2l   - =  0. Zatem podstawienie we wzorach (3.29), (3.30) i (3.31) pracy  [3] kolejno J3 t   =   B' n   i B ±   = =  2?! =   JB^I ,  A  • =  1 oraz uwzglę dnienie  (4.30) daje  wyraż enia  na drugie  poprawki skł ado- wych stanu naprę ż enia. Drugie poprawki  promieni wyraż ają   się  nastę pują cymi  funkcjami  ką ta  ft: (4.31) So 7  Mech.  Teoret.  i  S tos.  4/ 80 614 A.  D OLLAR,  Z .  KORD AS 5.  Zestawienie  koń cowych  wzorów  i  przykł ady  liczbowe. Wykorzystując  wzory  (3.1)  oraz  wyniki  uzyskane  ną  poszczególnych  szczeblach  przy- bliż enia  moż na  wyrazić  koń cowe  wzory  okreś lają ce  promienie  kształ towanego  prę ta oraz  skł adowe  stanu  naprę ż enia. Analiza  problemu  doprowadził a  do  dwóch jakoś ciowo  róż nych  rozwią zań  dla  X jt  1, co  odpowiada  cał kowitemu  uplastycznieniu  prę ta  o  ustalonym  stosunku  niezaburzonych promieni  (wzór  (4.18)),  oraz  dla  X =   1, co odpowiada  cał kowitemu uplastycznieniu  prę ta d0 o  dowolnych  stosunkach  - j—. «o D la  X  =£  1  funkcje  okreś lają ce  promienie  kształ towanego  prę ta  z  dokł adnoś cią  do drugiego  przybliż enia  mają  postać: (5.1) a (4?)  =   a o ~u  / - u  -   c o sA# 2b 0 X 2 - l - gdzie  a  = ii. 2crn i 0   2g 0   2X 2 a,  jest  nowym  parametrem  charakteryzują cym  niekoł owość prę ta. Skł adowe  stanu  naprę ż enia  z  dokł adnoś cią  do  drugiego  przybliż enia  okreś lone  są nastę pują cymi  funkcjami  ką ta  & i  promienia  r: —  w strefie  obwodowego  ś ciskania  (wewnę trznej): (5.2) - c o s( |/ A2- lln - ^ -j  cosJtfl+   ."ar2  j\ (2X 2 - 1) ] / F ^ T sin  x - 2A2  | - cos (/ A^Tln- ^-J cos -   (X2 - l) c os -  I KSZTAŁTY  PRĘ TÓW  SILNIE ZAKRZYWION YCH 615 t  = 1 (5.2) [cd.] ( 2A2 - l) c o s|2 W strefie  obwodowego  rozcią gania  (zewnę trznej): (o-   -   — (2 i/ F ^ T ln y- J |sm2A^+  .... - cos ]/ lF^ T ln- ~\ I cos Ad- ^Tln- ^-J - 2X2 (5.3) c o s 2 ^ 2 - l)cos  p i / P ^ l n - ^ -j X 2 + yP ^Tsin (2 V X2 - 1  l n ~ s m ( 2 ] / A 2 - l l n -̂ \   v   b 0 2 - l l n - ^ -)  sin2A^+   ... 616 A.  D OLLAR ,  Z .  KORD AS Wyniki  otrzymane  w  strefie  zewnę trznej,  pokrywają  się  z  wynikami  otrzymanymi w  pracy  [3],  w  której  kształ towano  niekoł owe  cylindry  gruboś cienne  poddane dział aniu ciś nienia, z tym że zniszczeniu w sensie przyję tego  kryterium mogą ulec dodatkowo  cylindry niekoł owe o  stosun ku: bo _  J D la  A =   1  funkcje  okreś lają ce  kształ t prę ta  z  dokł adnoś cią  do  drugiego  przybliż enia mają  postać:  , (5.4) =  a 0 — 2g 0 cos2#  +   ..., +  .... Skł adowe  stanu  naprę ż enia  z  dokł adnoś cią  do  drugiego  przybliż enia  okreś lone  są nastę pują cymi  funkcjami  ką ta  #   i  promienia  r: —  w  strefie  wewnę trznej: (5.5) 2(7O  f  a  .  „   a 2 „  =   - ^ - | ^ s i n# — w  strefie  zewnę trznej (5.6) 20- 0 2cr0  [ a  .  .  a 2  ..  .  a  .  „ n I r7 Przyję cie  konkretnych  wartoś ci  liczbowych  za  a,  b 0 ,  X i  a 0   (poprzez  n  dla  k  =£  1) okreś la  jednoznacznie  poszukiwany  kształ t prę ta, który  ulegnie  cał kowitemu uplastycznie- n iu w stadium zniszczenia, jak  również naprę ż enia w każ dym jego punkcie. Sił y zewnę trzne odpowiadają ce  tak  przyję tym  danym,  należy  wyznaczyć  z  warunków  równowagi  w koń- cowych  przekrojach  prę ta  okreś lonych  ką tami  & =  0  i  #   =  —  (rys.  1).  Mianowicie w  przekoju  okreś lonym  ką tem  & =   0: KSZTAŁTY  PRĘ TÓW  SILNIE  ZAKRZYWION YCH 617 (5.7) 4(0) 2X0) =   /   r r *Mdr+  J  r rOn dr, a(0 ) tf(0 )  = "( 0 ) M ( 0 ) = 6(0) a in {0)rdr- "( O) N (0), OT oraz w  przekoju  #  =  - = -: (5.8) T '( f) r Ograniczymy  się   poniż ej  do  X cał kowitych. D la parzystych  X — 2k, wobec  zerowania się  naprę ż eń stycznych  w  przekrojach  & =  0;  #   =  —,  problem  sprowadza  się   do  poszu- kiwania niekolowych kształ tów prę ta obcią ż onego jedynie momentem M o   (wzór (3.11). D la  nieparzystych  X =   2k+l,  naprę ż enia  styczne  zerują   się   tylko  n a  brzegu  • &  =   0. Scalkowanie  naprę ż eń  T P 8 . ( ^ - J  daje  wzór  na  sił ę   styczną : •  dla  X  #   1 w  ^ - A- l —1 l n l a 0 — 2a c Rozwijają c  wyraż enie  (5.9) w  szereg  parametrów  a,  otrzymujemy (5.10)  r(f) =  ̂   i ^ j Ł kształ t  poszukiwany kształ t  kotowy kształ t poszukiwany kształ t  kotowy [618] KSZTAŁTY  PRĘ TÓW  SILN IE  Z AKRZ YWION YCH 619 W—I  =   - ^ - a ln '  /   a 3  \  /   a 2  \ \   2a Q   I \   2b 0   I go- _  dla  A  - 2b c P o  rozwinię ciu  wyraż enia  (5.11)  w  szereg  param etru  a,  otrzymujemy: (5.12)  r( - Jj  =   ^|__( 2aogo- ag- bg)-3+   ( ł Warunki  równowagi  prę ta  wymagają ; (5.13) N JV(O) = r ^ ) , N a  rysunkach  2,  3,  4  podan o  przykł adowo  znalezione  niekoł owe kształ ty  prę ta  oraz rozkł ad  naprę ż eń w  kilku- przekrojach  przy  przyję ciu  róż nych  danych  liczbowych. 6.  Analiza  problemu  w warunkach  pł askiego  stanu  naprę ż enia Zał oż enie  pł askiego  stanu  naprę ż enia  pocią ga  za  sobą   konieczność  skorzystania z  warunku  Tresci- G uesta, gdyż warunek  H —M —H   nie daje  n a szczeblu  zerowym  rozwią - - zania ś cisł ego.  W  strefie  obwodowego  ś ciskania  warunek  przedstawia  się   wzorem : (6.1) a  w  strefie  obwodowego  rozcią gania  wzorem < 6 - 2 )  tfo= l/ (*,. Identycznym  z  dokł adnoś cią   do  czynnika  —  z  wzorem  (2.2).  Równania  równowagi  we- wnę trznej  (2.1),  warunki  brzegowe  (2.3),  (2.4),  (2.5),a  tym  sam ym  ich  rozwinię cia  (3.4) pozostają   obowią zują ce. W  pierwszym  stopniu  przybliż enie  przy  zał oż eniu  X  =   1,  2,  3  ... cał kowanie równ ań podstawowych  z  wykorzystaniem  warunków  brzegowych  prowadzi  d o  nastę pują cych wzorów  n a  pierwsze  poprawki  skł adowych  stan u  naprę ż enia  i  prom ieni  fli(# )  i  (&i(# ) 620 A,  D OLLAR,  Z .  KORD AS —  w  strefie  obwodowego  ś ciskania: (6.3) (6.4) OV,i  =  —^- COS#, r 2 a  =  0, «!.<*)  - hW*- cos# , c o sA^ (To Warunki  brzegowe  w  drugim  szczeblu  przybliż enia  mogą   być  speł nione  jedynie  dla X — 1  zs  czego  wniosek,  że  nie  moż na  spowodować  cał kowitego  uplastycznienia prę ta którego  promień wewnę trzny  zmienia się   w funkcji  ką ta  • &  a  zewnę trzny w  funkcji  wielo- krotnoś ci  tego  ką ta.  Warunki  te  okreś lają   również  zwią zek  mię dzy  stał ymi cał kowania w  obu  strefach d  ==   - B x a 0 . Wykorzystują c  wyniki  uzyskane  n a  poszczególnych  szczeblach  przybliż enia  moż na wyrazić  wzory  okreś lają ce  promienie kształ towanego prę ta, z  dokł adnoś cią  do  drugiego przybliż enia  w  postaci  funkcji  ką ta  # : (6.5) 2 2 B' —  gdzie  a  =  —i- a Co Skł adowe stanu naprę ż enia okreś lone są  nastę pują cymi funkcjami  ką ta & i promienia r: —  w  strefie  wewnę trznej: (6.6) t r r i =   _ - ] • w  strefie  zewnę trznej: (6.7) [ .  r  a a 2  1 n~fc7+   + 7 C 0 S  ~ 2 ^ +   " T [ «  •   «  a 2  "I [_r  2r 2  J KSZTAŁTY  PRĘ TÓW  SILNIE  ZAKRZYWION YCH 621 Rys.  5 podaje  przykł adowo  kształ t  prę ta  i  rozkł ad naprę ż eń  znaleziony  w  oparciu o  powyż sze  wzory  przy  nastę pują cych  danych  liczbowych  X =  1, a 0   — 0,4503,  b 0   =  1, a  = 0,06. kształt poszukiwany kształ t kotowy Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  D . C.  D RU CKER, R, T,  SH IELD , Bounds on  minimum weight design, Quart.  Appl.  M ath .,  3, 15  (1957), 269- 281. 2.  M.  G ALOS,  Plastyczne  skrę canie  niejednorodnych  prę tów  o  zmiennej  ś rednicy,  Rozprawy  Inż ynierskie, 1,9(1971),  89—113. 3.  Z.  KORD AS,  M .  Ż YCZKOWSKI,  Kształ towanie niekolowych cylindrów gmboiciemiych  wykazują cych peł ne uplastycznienie w stadium  zniszczenia, Rozprawy  Inż ynierskie  3, 18  (1970),  371—390. 4.  Z .  KORD AS,  Problematyka  dział ania kształ tów  ciał   wykazują cych  cał kowite  uplastycznienie  w  stadium zniszczenia,  Zeszyty  N aukowe Politechniki  Krakowskiej,  15, 7  (1977). 5.  A.  ZAVELAN I- ROSSI,  Minimum—  weight design for  twodimensional  bodies,  M eccanica  4,  (1968- 1969), 1- 8. P  e  3  K>  M  e OPMBI C TE P aC H E fl  C H JI BH O  H C KP H BJI EH BI X  n C H BE P T H yT K I X  H 3 P H B Y C  P AC TJD KEH H EM   H   C U BOTOM   B  C T At fH H   I I O JI H O ft  n jI AC T H ^ t H O C T H   I I P H P A3P yiI I E H H H B  npeflcraBjieH OH   p a S o ie  aBTop  a m e r  tjjopjn  cxepH Oiw  n o ABep n iyT o ro  H 3r n 6y  c H   cflBuroiw,  KOToptie  B  npep;ejibHOM   COCTOH H H H   IIOJIH OCTBIO  p a 3p yin a io T c a . B  CBH3H  c  npHMeHHeM  MeTOAa  iwanoro  napaM eTpa  aBTop  ł i m e r  4>opiw  cxepH aiH ,  o win r a io iim xc H   O T Kpyra  (icT Bepb  K p yr a ) .  B  (J>opMnpoBaHHOM  C Tepam e  M OWH O  BbiflejiH Tt  ABe  3 O H Ł I :  30H y  cwaTH H   n o nepH M eipy  H   3OHy  n ep u M eT p it iecK o ro  pacTHHKeHHbix p a ^ n yc o B  ^lexBepTH   K p yra,  BiopaH   r p yn n a  SIBJUICT CH  penieH H eiw  jp ia  npOH 3Bom>H brx ycnoBH ił . P eiueH H aa  4ipo6jieM a  flonojnweT  H  pacn m pH eT  BO3M O>KH OCTH   p e i n e a a a  pH fla  n p o 6n e M pa6oTe [ 4] . €22  A.  DOLLAR,  Z.  KORDAS S u m m a r y THE  SHAPES  OF  THICK  CURVED  BARS  SUBJECTED  TO  BENDING,  TENSION  AND  SHEAR SHOWING  COMPLETE  YIELD  AT  THE  ETAGE  OF  COLLAPSE In  the  paper  we investigate  the  shapes  of  bars  subjected  to  bending,  tension  and  shear,  satisfying the  yield condition  at all points at the stage of  collapse. Applying  the  small  parameter  method  the  shapes  different  from  circular  (a  quarter  of  a  ring)  are investigated.  In  the  designed  bar  we  can  observe  two  zones:  a  zone  of  circumferential  compresion  and a  zone  of  circumferential  tension.  In  each  of  them  the  stress  state  is  determined  by three  components  ar, GQ,  i>e, satisfying  the  internal  equilibrium  conditions  and  the  yield  condition. Two  types  of solutions  are obtained:  the  first,  corresponding  to  goven  ratios  of  undisturbed  radii  of  a ring  quarter,  and  the  second corresponding  to  arbitrary  ratios. The  solved  problem  completes  and  broadens  variety  of  analyzed  in  [4]. POLITECHNIKA  KRAKOWSKA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 25 stycznia  1979 roku