Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z4.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYC Z N A
I  STOSOWAN A

4,  18  (1980)

P O WŁ O K I  P R OSTOK R E Ś LNE  OP AR TE  N A  OKRĘ GU   P R AC U JĄ CE  W  STAN I E
Z G I Ę C I OWYM

STANISŁAW  B I E L A K ,  AN D RZEJ  D U D A  (OPOLE)

1.  Wstę p

W  pracy  przedstawiono  rozwią zanie  powł ok  prostokreś lnych  'opartych  n a  okrę gu
pracują cych  w  zgię ciowym  stanie  naprę ż enia.  Przyję ty  model  matematyczny,  opisują cy
stan naprę ż enia w powł oce,  oparto na liniowej  teorii izotropowych jednorodnych powł ok
sprę ż ystych.  W  pracy  rozpatruje  się  tylko  powł oki  cienkie, tj. takie, w  których  odległ oś ci
pomię dzy powierzchniami granicznymi  są   wielokrotnie  mniejsze  od  wymiarów  i promieni
krzywizn  tych  powierzchni.

Obecne  rozwią zania  stosowane  w  praktyce  dla  powł ok  hiperboloidalnych  (chł odnie
kominowe) bazują   w zasadzie  na pracy w stanie bł onowym. N atomiast próby  rozwią zania
stanu  zgię ciowego  za  pomocą   innych  metod  nie  uwzglę dniają   rzeczywistych  warunków
brzegowych,  co prowadzi  do znacznych odchyleń w porównaniu ze stanem  rzeczywistym.

Najwię ksze  odchylenia uwiadaczniają   się  w przemieszczeniach. W prezentowanej-  pracy
rozwią zanie  stanu  zgię ciowego  bazuje  na  szeregach  hipertrygonometrycznych  pozwalają -
cych uwzglę dniać  dowolny  sposób  obcią ż enia  i  podparcia.

Wprowadzona  parametryzacja  opisuje  wspólnym  równaniem  wektorowym  hiper-
boloidę  jednopowł okową ,  stoż ek  i  walec  a  to pozwolił o na podanie algorytmu  rozwią zu-
ją cego  trzy  typy  powł ok. Takie  uję cie  umoż liwi  obliczanie  tych  powł ok  na  EM C za  po-
mocą   jednego  programu.

Rozwią zanie  ogólne ukł adu równań oparto na  pracach  [1, 2] i  polega  ono  na  wpro-
wadzeniu  dwóch  wymuszonych  stanów,  bł onowego  i  zgię ciowego  sprowadzają cego  od-
powiednie ukł ady  do  kwadratur.  Postę powanie  takie  dał o  w  rozwią zaniu  uogólnione sił y
przekrojowe  napię cia i momenty, które są   sumami zł oż onymi z  wpł ywów  pracy  bł onowej
i  zgię ciowej.  Podane rozwią zania  ogólne  zawierają   dowolne  funkcje  niewiadome,  zależ ne
od  sposobu  zamocowania  powł oki.

Funkcje  te  mogą   być  wyznaczone  z  warunków  brzegowych,  ponieważ  rozwią zanie
zawiera  szeregi  trygonometryczne pozwalają ce  uwzglę dnić  dowolny  sposób podparcia.

2.  Ogólny  układ  równań

2.1.  Opis geometryczny. Równanie  wektorowe  powierzchni  ś rodkowej  powł ok  prosto-
kreś lnych  opartych na  okrę gu  opisuje  wzór:
(2.1)  7  =  a  7



624  S T .  BIELAK,  A.  D U D A

Zmienne niezależ ne u1,  u2  są   współ rzę dnymi krzywoliniowymi  na powierzchni  (rys. 1)
przy  czym  u1  okreś la  poł oż enie punktu  na  tworzą cej,  u2  wskazuje  tworzą cą,  na  której
leży  pun kt.

Zmienna  u1  należy  do  przedział u  0 <  u1  ^  /, gdzie  /  jest  dł ugoś cią   tworzą cej,  nato-
miast  u2  jest  zawarta  w  przedziale  0  <  ń2  <  2n.

Ką t  a jest  zawarty  mię dzy  rzutem  tworzą cym  na pł aszczyznę  xy,  a  promieniem pod-
stawy  a

x
,  N achylenie tworzą cej  do pł aszczyzny  xy  okreś la  ką t /?.

Jeż eli w równaniu  (2.1) przyjmiemy  a  =   0 i /5  =   it\ 2 otrzymamy walec, a  =   0 i /?  gt jt/2
stoż ek,  a  ^  0  i  /? ̂   rc/ 2  hiperboloidę   jednopowł okową .

Współ czynniki pierwszej  i drugiej  formy  róż niczkowej, ich wyróż niki  oraz  krzywizny—
gaussowska  i  ś rednia  wynoszą   [1];

gn  =   1,

Sn  =   S2x  m  i ^

g
22
  =   ( u 1 ) 2 c o

btl  =  0,

fc12  =   b21  -
7
=

—

K  =   -   I —
\   o

H
  =  S~gn

Symbole  Christoffela  drugiego  rodzaju:

rit  = o,  r 2 !  -  o,
.  ni  ni  Sl2  SS

(2 . 3 )

12  -   ^  21  ~  "
  2 g  d u

i  .

ł  ' 1  n  JL  "I"  I  1

gl2

2 2

T12  _  _  7- 11
J  22  ~  • »  1 2  •

2.2. Zwią zki  geometryczne  powłoki.  Z wią zek  skł adowych  przemieszczenia  ze  skł adowymi
t en so r a  o dkszt ał cen ia  bł on owego  przyjmuje  p o st a ć :



POWŁOKI  PROSTOKREŚ LNE  OPARTE  N A OKRĘ GU 625

(2 . 4 )

w

Rys.  1

gW?t- 2bi2W
s  »

2  • •'

Przecinek uż yty  w wyraż eniach  (2.4) oznacza odpowiednią  pochodną  wzglę dem  zmien-
nej  u1.

2.3. Zwią zki fizyczne. Zwią zki  fizyczne  wią ż ą ce  naprę ż enia  z  odkształ ceniam i dla wersji
uproszczonej  mają   p o st ać:

(2.5)  N iJ  = N iJ+6HM ij,  M ij  r

gdzie: |  oznacza param etr stał y, a N iJ i M ij  są   zwią zkam i:

(2.6)

N iezmienniki  A  i B wystę pują ce  w  (2.6) są  sum am i:

(2- 7)  •   A  =  gU
YlJ

,  B =   gH
eu
,



626  ST. BIELAK,  A.  D U D A

przy  czym tensor odkształ cenia bł onowo — zgię ciowego  Qy moż na  zastą pić  zależ noś cią:

(2.8)  Qu=

U ż yta w (2.8) kreska pionowa oznacza pochodną kowariantną. Zwią zki  (2.6)  napiszemy
w innym uję ciu,  dostosowanym do bezpoś redniego wykorzystania.  Z pierwszego  wyraż enia
(2.6)  wyznaczamy  skł adowe  tensora  bł onowego y^ :

(2.9)  >  ytj = - g£  1(1- v

Wielkoś ci  M iJ  opisane  drugim  wyraż eniem  (2.6) po podstawieniu  (2.8)  przyjmą  postać:

(2.10)

Skł adowe tensora sił  tną cych Q 'napiszemy w oparciu o pracę  [1]:

N iezmiennik  W  wystę pują cy  w (2.10) i  (2.11) jest  sumą:

(2.12)  W - &W *\
U
.

Przejś cie do współ rzę dnych fizycznych,  odniesionych do bazy jednostkowej dokonujemy
za  pomocą  wzorów:

" V- F  < *•
22

- 1  /  gg11  •  ,  - *i  I  gg2

(2.i3)  ^ v y i F ^ 1  M 3 = ] / VT
wP  =  i/ 'iu"  î Ś  w? = w3,

P?  =  j/ iiTp'.  P 3 =   P
3 ,

(po  y nie sumować ).
Symbol  „ 1 "  oznacza współ rzę dną fizyczną.

3 .  Rozwią zanie  równania  róż niczkowego  powł ok  prostokreś lnych  opartych  na  okrę gu

Równanie  róż niczkowe  rozwią zują ce  dowolne  powł oki prostokreś lne  dowolnie obcią-
ż one i podparte posiada  kształ t — patrz  praca [1]:

(3- 1)  gVW^^^+ ^W'J V^U  ̂ - R,

gdzie:

g



POWŁOKI  PROSTOKREŚ LNE OPARTE  N A OKRĘ GU   627

oraz

o

R
2
  = \ r

(3.2)  S

Kb
iJ
  =

Rozwią zanie  równ an ia  (3.1)  m oż na  przedstawić  ja ko  su m ę :

(3.3)  N 22=Ń 22+Ń 22

zł oż oną  z cał ki JV22, nazwanej  cał ką   ogólną   i  cał ki N 22  nazwanej  cał ką   szczególną .
Cał ka szczególna  N f2  jest rozwią zaniem  stan u bezm om entowego  i może być  wyzn aczon a

przez cał kowanie bezpoś rednie.
Cał ka  ogólna  N 22  rozwią zują ca  stan  zgię ciowy,  m oże  być  przedstawion a  ja ko  sum a

odpowiednio  dobran ego  szeregu  hipertrygonometrycznego,  zapisanego  w  uję ciu  ten so-
rowym.  Zapis  tensorowy  bę dzie  szczególnie  korzystny  dla przeprowadzen ia  wszystkich.
operacji  matematycznych  zwią zanych  z  obliczeniami.

Wprowadź my  nastę pują ce  wielkoś ci  mają ce  ch arakter  ten sorowy  ze wzglę du  n a  su-
mowanie.

Argumenty  funkcji  trygonometrycznych

hiperbolicznej:

C\  A\   7 *  — flmfc- u'

koł owej:

(3.5)

Funkcje  trygonometryczne

H iperboliczne:

(3.6)

pochodna  funkcji  Hl:

(3.60

koł owe:

(3.7)

pochodna  funkcji  KJ:

(3.70

Ą   =   fin

Hl -  1sh
jch

K
j  _  I s i n

(cos

w  =   ( c o s
, I sin

dla  i =  1,
dla  i  =   2,

dla  i  -   1,
dla  i -   2,

dla  i  =  1,
dla  j  =   2,

dla  ;  =  1,
dla  i =  2,



628

Wielkoś ci  trygonometryczne

hiperboliczne:

(3.8)

koł owe

S T .  BI E L AK ,

Allln  =

Jlk  _
A
mn  ~

A.  D U D A

=   HlZ
B
,

- - H'Z
k

H
,

'  ^  w'  —  rJ7i

P o  wprowadzeniu  tych wielkoś ci  cał ce  ogólnej N %2  moż na nadać kształ t:

(3.10)
m,n- l

Wskaź niki  i, j , k, I mają  charakter  tensorowy  i przyjmują  wartoś ci  1, 2, natomiast m, n
są  liczbami  naturalnymi. Wielkoś ci  C^aj wyznacza  się z warunków  brzegowych.

W  wyraż eniu  (3.10)  nie znamy  wielkoś ci  m\ ,  n). Moż emy je  wyznaczyć  rozwią zując
równanie algebraiczne  ósmego  stopnia, uzyskane ze speł nienia toż samoś ciowego  równania
(3.1),  które  przyjmuje  postać:

(3.11)  ghkYn8rsm\
smnW i

+^ K^ b
kl
Ń i\

Uj
  m 0.

P o  wykonaniu  dział ań  polegają cych  n a róż niczkowaniu  szeregów otrzymamy  nastę pują cy
ukł ad  równ ań :

- £ ? )] =  0,

Równanie róż niczkowe  (3, 11) jest równaniem o pochodnych kowariantnych (oznaczonych
pionową  kreską  „ |") ze zmiennymi współ czynnikami zależ nymi  tylko  od współ czynników
pierwszej  formy  róż niczkowej  g

u
.  Również poszukiwane  wielkoś ci  m], n)  bę dą  funkcjami

współ czynników gy .  D zię ki temu w  procesie  róż niczkowania  kowariantnego  bę dą  się  one
zachowywał y  tak jak  wielkoś ci  stał e.  Zilustrujemy  to prostym  przykł adem  rozwią zania
nastę pują cego  równania  róż niczkowego,  o pochodnych  kowariantnych:

gdzie  « jest funkcją  g
iS
.

Przyjmując  rozwią zanie  ilustrują ce  postaci

JV =

w  którym  n abę dą  funkcjami  współ czynników  pierwszej  formy  róż niczkowej  g
tJ
,  otrzy-

mamy  po zróż niczkowaniu  kowariantnym i speł nieniu równania wyjś ciowego  nastę pują ce
równ an ie:

[g'^ nj- aiN  =  0,

dają ce  algebraiczne  równanie  rozwią zują ce  postaci

g'
J
n

t
nj- ai,  =  0.



POWŁOKI  PROSTOKREŚ LNE  OPARTE  NA OKRĘ GU   629

U waga:  Rozwijają c  funkcję   sin n ^ '  w szereg  otrzymamy:

Po  zróż niczkowaniu  kowariantnym  wzglę dem  zmiennej uk bę dzie

bo n
k
 jest funkcją   g

ih
  czyli;

N \
k
  —

Ponowne  zróż niczkowanie  wzglę dem  zmiennej  w' daje

Rozwią zanie  ogólne  równania  (3.11)  uzyskamy  tworzą c  odpowiednią   sum ę   szeregu
hipertrygonometrycznego  postaci  (3.10).

(3.12)  ^ [ADEiD^ E^ +l^ gD.E,]  =  0,

gdzie:

D  =  SgiJD
tJ
,  E m  gg'JEtj,

(3.13)
I  1  dla i  =   j ,

- 1  dla i  * ) ,

Z  ukł adu  (3.12)  moż emy  wyznaczyć  niewiadome  wielkoś ci  w?, «j. Przyjmują c  D =   0
=   e dochodzimy  do ukł adu dwóch  równań z czterema  niewiadom ym i:

^ j- nln})  = 0,

gdzie:  e  =   ± sin/ ?  •   '

D wie  z  tych  niewiadomych  mogą   być  dowolnie  przyję te,  a  wtedy  pozostał e  dwie
wyznaczymy  z równań  (3.14). Rozwią zanie  ukł adu równ ań  (3.14) m oż na po dać w p o st aci:

»i- ?eui. +̂ vi/ .L
" 2  =   B 3 ,

gdzie:

( 3 - 1 6 )
  k

 _  I  1  d la fc =   1
" 1 - 1  d l a fc =   2

8  Mech.  Teoret.  i  S tos.  4/ 80



630  S T. BIELAK,  A.  D U D A

4.  Rozwią zanie  stanu  zgię ciowego

Wszystkie  wielkoś ci  opisują ce  stan  zgię ciowy,  zarówno  sił y jak i  przemieszczenia, są
sumami  odpowiednich  szeregów  hipertrygonometrycznych.  Szeregów  tych  są  cztery
rodzaje,  a  rozwią zania  są ich  kombinacjami, i

Oznaczając  wystę pują ce  w  równaniach  sumy  odpowiednimi  symbolami,  uzyskamy
moż liwość  wprowadzenia  do opisu  konwencji  sumowania  tensorowego.

N iech symbole  S l i S 1 okreś lają  sumy:

\ .''*- /  ~&2  r m n  Ą ik  jyjl  O2  __.  fmn  Aik  jyjl

Wówczas  sił y N )j  bę dą  opisane  wyraż eniem:

(4.2)  M  -  2ł   FkJSk

Wielkoś ci  F'
k

J uzyskamy  z odpowiednich równań  równowagi  [1]. Moż emy je podać w po-
staci :

F?  -
F

12
  =

p l 2  m
  n'

k
m

2
- m\ n

2

(4.3)  •   jp i i  _  (F[2)2—(F
2

2
)

2

~  [Fi
1  =   2F\ 2F\ 2

y

{
F

22  =   1

F\
2  = 0 .

P o  wykorzystaniu  zwią zku  przemieszczenia  W 3 z  sił ami N 'J  postaci:

( 4 . 4 )  l ^ 3 =   -
A  1  .

m o ż e my  m o m e n t y  MlJ  o k r e ś l o ne  r ó w n a n i a m i  ( 2 . 1 0 )  o p i s a ć  n a s t ę p u ją c y mi  wy ra ż e n i a-

m i :  •   : - . - , : - ' ! . .•   •  . •   . .  • ..'•   • • ••   .• • • ;.•   • "  • '• •'  ,   •  '

(4.5)  M i}  = jjjj—  [<1 - v)  (SJtG^ +efU^ +ysĝ e^ S 1

gdzie:  G"i  L T S są okreś lone  wzorami:

(4.5)  G"  ^   gg"ĝ {mkmk- nW r)>  L"  m  ^V^ni+ nJ mJ ),
oraz

„  .  .  [  1  dla i -   1  ...
dla  1= j  >  I

  n
  ,.  .  ,-.  .

,  .  e, =  \   0  dla  1  —j
d l a i 9 Ć J  ( - I  d la i  =   2

Sił y  tną ce  opisane  równaniami  (2.11),  dla stanu  zgię ciowego  po odpowiednim  zróż nicz-
kowaniu  kowariantnym  wyraż enia  (4.4)  wynoszą:

(4.6)  &«~£



POWŁOKI  PROSTOKREŚ LNE  OPARTE  N A  OKRĘ GU   631

gdzie:
(4.7)  Pk =   b,jFl

k
l

Przemieszczenia  W 1  wyznaczymy  z  równ ań  (2.4):

(4.8)  t'
m,n

2Ehs

Wielkoś ci  .4,, J?f wystę pują ce  w  (4.8) są   równ e:  .

M
1
m

1
+M

2
n

1

(4.9)  ^ ~
M P  =   ilyF f/   - ^ ( 3* m |  +  e\  n

l

2
)  B

k
,

2gH
A

u
  =   (l- v)g

tJ
  - j—

5.  Zestawienie  wzorów  obliczeniowych

Wyraż enia  opisują ce  pracę   powł oki  są   sum am i  zł oż onymi z  cał ek  szczególnych  o d-
powiadają cych  stan owi  bł on owem u i  cał ek ogólnych  dają cych  pracę   zgię ciową.

5.1.  Stan  bł onowy

(5.1)

Przemieszczenia

(4.3)  |T 2 =  —  [ f  yndu1 - W1]
Sl2  LJ  J

Odkształ cenia  y
i}
  wystę pują ce  w  (5.2)  wyznaczymy  ze  wzorów  (2.9).

8 *  . • . ; • •

•



632  ST. BIELAK,  A.  D U D A

5.2.  Stan  zgię ciowy

Sił y

(5.3)

M omenty  zginają ce

(5.4)  M ij  =  - ^ 2-   [(1 - v) (Ą *Grs +   Ą W

Przemieszczenia

( 5 - 5 )  ^ -

Wielkoś ci  pomocnicze  JF#, (7S, Vs,  F
k
,  A

k
,  B

k
  okreś lają   wzory:  (4.3),  (4.5'),  (4.7),

(4.9).

S.3.  Stan  ł ą czny

Wielkoś ci  tensorowe

Sił y

M om en ty

(5.7)  M iJ  =
Przemieszczenia

(5.8)  W * =  W l  + W ',  W 3  = . W 3 +  W 3

Wielkoś ci  fizyczne  uzyskamy  ze wzorów  (2.13).

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  St.  BIELAK,  Powł oki  prostokreś lne,  Zeszyty  N aukowe  WSI  Opole,  Budownictwo  3  (1976).

2.  St.  BIELAK,  Ogólna teoria powł ok prostokreslnych pracują cych w  stanie zgię ciowym, Zeszyty  N aukowe

P olitechniki  Ś lą skiej,  Budownictwo,  33  (1973).

P e a i o i c

H 3 F H B  J I H H E H ^ A U I B I X  O E O JI O ^E K  O I I E P T LI X  H A  OKPYJKH OCTH

B  paSoT e  HaHO  pem eH Ke  n po6n eM bi  jiHHeft^aTMK  oSojio^eK  onnpaK3Hj,Hxcff  Ha 0Kpy>KH0CTH,  pa6o-

B  H 3rH 6aiomeM   H anpnweH H OM   COCTOH H KH .  IlpKH H Ta  MaieiwaTH^ecKaJi  MOflenb,  onH CbiBaiomaa

cocTOHHHe  HanpjiwceHHH. B  o6ojio^Ke  ocHOBeHa  Ha jiHHeHHOft  TeopHH   H3OTponHWX  oflH opoflH tix  yn py-

r n x  oBojio^eK.  BseAeH a  napaM eTpn3an,nH   o n u c wBa e i  o6um i«  BeKTopiaiM   ypaBHeHHeM   oflHonojiocTHbift

r m ie p So jio H H ,  KOHyc  H   BI T O I H H H P ,  a  a r o  no3BojiH no  onpeflexcHTb  ajiropH TM   p en ia io r ą mł   3aflaiH   Tpex

THJIOB OSOJIOICK.

B  H acT o am eii  p a S o i e  p e iu e H a e  H 3rH 6aiom ero  COCTOH H H H   oimpaeTCJi Ha

cnoco6  Harpy3Kn  H   noflnopw.



POWŁOKI  PROSTOKREŚ LNE OPARTE  NA  OKRĘ GU   633

S u m m a r y

BEN D IN G   STATE  O F   R U LED   SU RF ACE  SH ELLS  BASED   ON   A  C I R C LE

We discuss  the bending theory of  the ruled surface  shells  such as cylinder, cone and one sheet  hyperbola
based  ona circle. The mathematical model  is  based  on the assumption  that the shells  material  is  isotropic
and  linear.

Praca  zastał a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  3  lipca  1978  roku.