Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z4.pdf M E CH AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  18 (1980) DRGANIA  SPRĘ Ż YSTO LEPKOPLASTYCZNEJ POWŁOKI  KULISTEJ WI E SŁ AW  W O J E W Ó D Z K I ,  JAN U SZ  S O K A L S K I  ( WAR Z AWA) 1.  Wprowadzenie U wzglę dnienie  efektów  lepkoś ci,  wzmocnienia  m ateriał u  i  zm ian  geom etrii  w  ko n - strukcjach  obcią ż onych  dyn am iczn ie  jest  kon ieczn e  d la  poprawn ej  oceny  ch arakt eru procesu  deformacji,  wielkoś ci  odkształ ceń  i  n aprę ż eń.  P roblem  t en  był   p rzed m io t em wielu  prac  teoretyczn ych  i  doś wiadczalnych.  Obszern e  prace  WI E R Z BI C K I E G O  [1] i  JON E SA [2]  zawierają   przeglą d  dotychczasowych  osią gnięć  w  tej  dziedzinie.  P ro blem  deform acji cienkiej  powł oki  kulistej  obcią ż onej  wybuchem  w  jej  wn ę trzu  był   rozpatrywan y  w  kilku pracach.  BAKER  [3] przedstawił  rozwią zanie  dla powł oki z m ateriał u  sprę ż ysto- plastyczn ego ze wzmocnieniem  bez  efektu  lepkoś ci.  Otrzym an e teoretyczn e wyniki  p o r ó wn a n o  z  ekspe- rymentalnymi  osią gając  dobrą   ich  zgodn oś ć.  W  pracy  SZ C Z E P I Ń SKI E GO  [4]  uwzglę dn iając duże  odkształ cen ia powł oki  zba d a n o  oddzielny  i ł ą czny wpł yw  efektu  wzm ocn ien ia  i  lep- koś ci  m ateriał u n a  wielkość  przemieszczeń.  Stwierdzon o,  że  uwzglę dnienie  obu  efektów daje  duże  zmniejszenie  koń cowych  odkształ ceń . Wyn iki  otrzym an e  przez  D U E F E Y  [5,  6] wskazują ,  że  również  w  zakresie  m ał ych deformacji  powł oki  wzm ocnienie odkształ cen iowe i  lepkość m ateriał u zmniejszają   znacznie  przemieszczenia.  Stwierdzon o, że  wpł yw  lepkoś ci materiał u  n a  wielkość  m aksym aln ych  przemieszczeń  wzrasta  gdy  wartość  im pu lsu  roś n ie. D la  ustalon ej  wartoś ci  im pulsu  ciś nienia  wpł yw  t en  maleje  ze  wzrostem  czasu  d ział an ia impulsu.  N ajwię ksze  przem ieszczenia  powstają   w  p rzyp ad ku  obcią ż en ia  idealn ym  im pul- sem  ciś nienia.  P odan e  rozwią zan ie  an alityczn e  odn osi  się   tylko  do  począ tkowego  okresu deformacji  n ie  dają c  inform acji  o szybkoś ci  tł um ien ia  drgań  w  dalszym  procesie odkształ - cenia. W  niniejszej  pracy  rozpatrywać  bę dziemy  cien ką   peł n ą   powł okę   kulistą   z  m at eriał u sprę ż ystolepkoplastycznego  obcią ż oną   pojedynczym  prost oką t n ym  im pulsem  ciś n ien ia bą dź też kilkom a prostoką tn ymi  im pulsam i.  I m puls jest  skierowan y  radialn ie  n a  zewn ą trz powł oki.  R ozpatrywan y  problem  cechuje  kulista  sym etria.  C elem pracy jest  an aliza  cał ego procesu  drgań  w  zakresie  m ał ych  odkształ ceń, okreś lenie  czasu  począ tkowego  uplastycz- nienia, zbadan ie wpł ywu  lepkoś ci  m ateriał u i wielkoś ci  im pulsu  n a podstawowe  p a r a m e t r y drgań.  Badany  bę dzie  równ ież  wpł yw  chwili  przył oż en ia powt órn ego  im pulsu  i  obcią ż en ia cyklicznego  n a  wielkość  przemieszczeń. 2.  Równanie  ruchu Przyjmujemy  równ an ia  kon stytutywn e  dla  m ateriał u  wraż liwego  n a  p r ę d ko ść  o d - kształ cenia,  wyprowadzon e  przez  P E R Z YN Ę   [7] w  nastę pują cej  p o st ac i: 636 W.  WOJEWÓD Z KI,  J.  SOKALSKI * «= t' kkk = (2.1) (&(F) dla  F  >  0 < * ( * ) > - {0k  *'  x " w /   10  d l a F < 0 , gdzie  stj,  ay  oznaczają   odpowiednio  skł adowe  tensora  odkształ cenia i  naprę ż enia,  en, Sij  są   dewiatorami  tych  tensorów,  fx,  K  oznaczają   odpowiednio  moduł y odkształ cenia postaciowego  i  obję toś ciowego,  k  =  a o jy3,  a 0   jest  statyczną   granicą   plastycznoś ci  ma- teriał u, y  współ czynnikiem  lepkoś ci, a.  J 2   = - ^ SuSij  oznacza drugi niezmiennik dewiatora naprę ż enia.  Kropką   oznaczono  róż niczkowanie  wzglę dem  czasu.  Równania  powyż sze opisują   liniowe efekty  sprę ż yste, statyczne uplastycznienie wedł ug warunku Hubera- Misesa, .izotropowe  wzmocnienie materiał u oraz liniowy  wpływ  prę dkoś ci  odkształ cenia. W przej- ś ciu  granicznym  dla  y  =  oo,  \ / j 2   =  k  otrzymuje  się   równania  dla  oś rodka  sprę ż ysto- idealnie- plastycznego.  W  rozpatrywanym  przypadku  kulistej  symetrii  (o1,, =   cre =  a, %  =   e 0   =   e) z  (2.1)  otrzymujemy ]/ 3y (2.2) (2.3) ś  =  —- — a +  "  -  {a+ma 0 )  dla dla — o f o , gdzie E jest moduł em Younga, v oznacza współ czynnik Poissona zaś m  =  + 1 dla ś ciskania i m =   - 1  dla  rozcią gania. Równanie  ruchu  elementu  powł oki, rys.  1, jest  nastę pują ce (2.4)  2N   =a(Qhw- q(t)), Rys.  1  Element  powł oki.  D odatn ie  kierunki  sił   i  przemieszczeń A/ 2 gdzie  Q jest gę stoś cią   materiał u,  h jest gruboś cią   powł oki, N   =   /   adz jest  sił ą   podł uż ną - A/2 na  jednostkę   dł ugoś ci,  pozostał e  wielkoś ci  są   okreś lone  na  rysunku.  Przyjmujemy,  że materiał  powł oki jest nieś ciś liwy.  Prę dkość odkształ cenia punktów powierzchni  ś rodkowej wynosi  e  =   —wja. U wzglę dniając  (2.2)  równanie  ruchu  (2.4)  dla  JiV|  >  N o   zapisujemy w  nastę pują cej  postaci (2.5) w- ł - 2a,w- \ - a>2w  = D RG AN IA  SPRĘ Ż YSTOLEPKOPLASTYCZNEJ  POWŁ OKI  637 gdzie ( 2 > 6 )  2 a  =   " ' co jest  czę stoś cią  sprę ż ystych  drgań  wł asnych  o  okresie  T =   27E/ O>,  zaś Q o =  2cr0A  je st noś noś cią  graniczną powł oki. W  fazie  sprę ż ystej  deform acji,  \ N \   <  A^  (N o  =   o- 0/j) r ó wn a n ie ruchu  m a postać (2.7)  w+co2w  =—~q(t). W  ogólnym  przypadku  deformacji  rozpatrywać  bę dziemy  n astę pują ce  cztery  fa zy: 1  i 4 sprę ż yste  gdy  \ N \  < N o   i  odpowiedn io  q  ^  0, q =  0, 2 i  3  sprę ż ystolepkoplastyczne gdy  |JV[ > N Q  i odpowiedn io #  #   0, #  =  0. Z akł adam y,  że jeś li  przekrój  powł oki  uplastycz- nia  się t o jedn ocześ n ie  cał y  w  czasie  odpowiadają cym  uplastyczn ien ie  p u n kt ó w  n a p o - wierzchni  ś rodkowej.  D la cienkich powł ok wpł yw  stopn iowego  uplastyczn ien ia  się  p r zekr o - ju  n a  zachowan ie  powł ok jest  zaniedbywalny,  D U F F E Y,  K R I E G   [8].  P rzy  przejś ciu  z  jed n ej fazy  do drugiej  muszą  być speł n ione warun ki  cią gł oś ci:  przemieszczenia,  p rę d ko ś ci  o raz sił   wewnę trznych. W  dalszej  czę ś ci  zajm ować  się bę dziemy  powł oką  obcią ż oną  p ro st o ką t n ym  im p u lsem ciś nienia  o  wielkoś ci  Q i  czasie  dział an ia ti, - 2  dlaO^K  ti, 0  dla  t>ti, Impuls  jest  rozł oż ony  równ om iern ie  n a  cał ej  wewnę trznej  powierzch n i  i  skiero wan y radialnie n a  zewną trz  powł oki.  W  zależ noś ci  od  wielkoś ci  im pulsu  /  =   Qti  deform acja powł oki  m oże  odbywać  się w  róż n ych  fazach.  R ozpatrywać  bę dziemy  ró ż ne  m oż liwoś ci. 3.  Fazy  sprę ż yste Zajmiemy  się  najpierw  sytuacją  gdy w  cał ym  procesie  deformacji  \ N \  < N o . R o z - wią zanie  równ an ia  (2.7)  w  przypadku  (2.8)  m a postać (2.9)  w =   Acoscot+Bsincot+C. Wyznaczając  stał e  z  warun ków  począ tkowych  w(0)  =  u>(0) =  0,  vv(O) =   ~Qlgh  o raz  z warunków  cią gł oś ci  dla  t = ti, otrzymujemy (2.10)  w = L (l- coscot),  £ =   r~?>  O«Ct  ti. Ze  wzoru  (2.10)  wynika,  że w  czasie  t =   (n+l/ 2)T ,  n = 0, 1, 2, 3, ..., przem ieszczen ia i  sił y wewnę trzne  są  najwię ksze  i  wynoszą w  =   —IQIghcn2,  N  =  Qa,  za ś w^ =  0,  W   m 638 W.  WOJE WÓD Z KI ,  J.  SOKALSKI 0   *   10   2 0   3 0   4 0   5 0   60   70 Te 71.6* R ys.  2.  Z m ian a  przemieszczenia  w  czasie  w  zakresie  sprę ż ystym.  Obcią ż enie  impulsem  ciś nienia:  krzywa 1 - Q  =   4,90  M P a  ti  =   100 / JS  krzywa  2 - Q  =   6,20  M P a, ti  =   100  fis, D la  f  =   nT , n «•   0,  1, 2, 3, ...,  obcią ż ona powł oka osią ga  najmniejsze  odkształ cenia i siły wewnę trzne,  w  =   0,  N   =  0  zaś  w =   0,  w =   —Q/ (>h,  rys.  2.  Analizują c  (2.11)  roz- patrzymy  dwa  skrajne  przypadki.  Przypadek  pierwszy  gdy  ti  — ( n + l/ 2) r ,  n  =   0,  1, 2, 3,  ... M amy wówczas  w  =  (2Q/ Qha>2)cos  \   Q I [ Qo  sincoti  I  1  - c os coti  _  [QoV  ] 2Q  l- coscoti  ~  \   2  \ 2QJ  J d la N ajwię ksza  wartość  przem ieszczenia  w  zakresie  sprę ż ystym  okreś lona  z  (2.10)  wynosi =   —2QlQka>2 i  wystę puje  p o  raz  pierwszy  w  czasie  TT/CO.  Z atem  najm niejszy  p o - w czą tkowy  im puls  uplastyczniają cy  powł okę   wynosi  I o   =   (Q 0 / 2)(nla))  -   (Q o j2)(T [2). Jeż eli  przył oż one obcią ż enie  m a  wartość  mniejszą   od  Q o / 2  to  dla  dowoln ie  dł ugiego  czasu jego  dział ania p o wł o ka  n ie  uplastyczni  się .  W  rozpatrywan ym  szczegół owym  p rzyp ad ku (tablica  1)  Q o   =  12,42  M P a.  Wykres  funkcji  (2.12)  przedstawion o  n a  rys.  3.  C zas  pier- wszego  uplastyczn ien ia  dla  im pulsów  I  >  I o   oblicza  się   ze  wzoru  (2.12)  bą dź  (2.13). W  przypadku  dział an ia wię kszych  obcią ż eń  gdy  pojawiają   się   wielokrotn ie  fazy  sprę - ż ystolepkoplastyczne  wówczas  aby  okreś lić  cał y  proces deform acji,  d o  opisu  faz  czwartych musimy korzystać z ró wn an ia w postaci  (2.9), a wystę pują ce  trzy  stał e okreś lać z  waru n kó w cią gł oś ci  n a  gran icach  faz. 0 1  2 3 4  5  6 7  8 9  10 Q/ Qo '  Rys.  3. Czas pierwszego  uplastycznienia powł oki w funkcji  obcią ż enia,  (wzór (2.12)). 4.  F azy  sprę ż ystolepkoplastyczne Z ajm ować  się   bę dziemy  drugą   i  trzecią   fazą   ruch u,  |N [  >  N o .  I stn ieją   trzy  rozwią za- n ia  (2.5)  w  zależ n oś ci  od  relacji  wielkoś ci  a  i  a>.  N iech  |  =   a/ co. 4.1. Przypadek słabego tłumienia, $ < 1,  D la  pro st o ką t n ego  im pulsu  ciś n ien ia  (2.8)  otrzy- mujemy (2.14) w  = gdzie  A, B,  C stał e cał kowan ia. J a k widać, przem ieszczen ie  (2.14) skł ada się   z  t rzech czę ś ci: cyklicznej,  liniowej  i  stał ej.  Czę ść  cykliczna  jest  wytł um ian a  w  czasie,  szczególn ie  siln ie dla  wię kszych  wartoś ci  współ czyn n ika  lepkoś ci  y. 640 W.  WOJEWÓD ZKI, J.  SOKALSKI Rozpatrzymy  teraz  sytuację   gdy  w drugiej  fazie  ruchu czę ść  cykliczna jest  prawie wy- tł umiona  a  przemieszczenie  (2.14)  moż na  aproksymować  czę ś cią   liniową ,  która  nie jest tł umiona  i  czę ś cią   stał ą   reprezentują cą   trwał e  przemieszczenie.  Czę ść  liniowa  znika  gdy obcią ż enie  Q  — Q o   i przy  dł ugim czasie jego  dział ania w - *•   C  tzn. powł oka dą ży  do sta- ł ego  poł oż enia równowagi.  G dy Q  >  Q o   czę ść  liniowa  powoduje  zwię kszenie  przemiesz- czeń  wraz  ze  wzrostem  współ czynnika  lepkoś ci.  D la  Q  <  Q o   czę ść  liniowa  zmniejsza przemieszczenia.  Kł adą c  Q  — 0  w  wyraż eniu  (2.14)  dla  drugiej  fazy  otrzymujemy  odpo- wiedni  opis  ruchu  fazy  trzeciej. N a  rys.  4  przedstawiono  przemieszczenia  w  przypadku  dział ania niewielkiego  obcią - ż enia.  Zał oż ono  współ czynnik  lepkoś ci  y  —  400  s~ ł .  Krzywa  1  odpowiada  impulsowi g  =   6,22  M Pa ti  -   36 n%  a  krzywa  2 impulsowi  Q  =   6,22  MPa, ti  =   100 / zs. Krzywa  2 jest  niemal identyczna z  krzywą   2 n a rys.  2. Róż nica polega  na mał ym przekroczeniu gra- nicy  plastycznoś ci  materiał u.  F aza  sprę ż ystolepkoplastyczna  pojawia  się   tylko  jedno- krotnie. Jest to wpł yw dł ugoś ci dział ania obcią ż enia n a wielkość  przemieszczenia. W przy- R ys.  4. Z m ian a przemieszczenia w czasie. Przypadek sł abego tł umienia, y  =   400 s"1 .  Krzywa  1 — Q  =   6,22 M P a,  ti  =   36 fis,  krzywa  2- Q  =  6,22  M Pai ti  =  100 (ts padku  krzywej  1  fazy  sprę ż ystolepkoplastyczne  pojawiają   się   wielokrotnie,  są   bardzo krótkie  i nie  wpł ywają   w  sposób  istotny,  dla  t  >  ti n a postać drgań. Liczby umieszczone przy  poziomych  kreskach  tuż nad  osią   odcię tych, wyznaczają   chwilowe  poł oż enia równo- wagi  wokół  których powł oka wykonuje  oscylacje.  Tym wartoś ciom odpowiada sił a N   = 0. W  powł oce powstają   niewielkie  odkształ cenie trwał e. N a  rysunku  podano również  war- toś ci  najwię kszych  przemieszczeń w fazie  sprę ż ystolepkoplastycznej  i czas trwania tych faz. Wartoś ci  te  maleją   z  upł ywem  czasu. N a  rys.  5  podano  typowy  wykres  przemieszczenia,  prę dkoś ci,  przyś pieszenia  i siły podł uż nej  dla  obcią ż enia  impulsem  Q  =   14,71  MPa  ti  =  20  ^s.  Przyję to  y  =  400  s"1. D R G AN I A  SP R Ę Ż YSTOLE P KOP LASTYC Z N EJ P O WŁ O K I 641 W  czasie  ts  =   16,12  / zs powł oka  uplastyczn ia  się   przech odzą c  z  fazy  sprę ż ystej  w  fazę sprę ż ystolepkoplastyczną.  Osią ga  on a  w  tym  czasie  m aksym aln e  przem ieszczen ia  sprę - ż yste  wynoszą ce  0,00703  cm .  Stanowią   one 0,023  gruboś ci  powł oki.  Sił a  p o d ł u ż na  osią ga wartość  N o  «•   6207,6  N / cm . P o  zdję ciu  w  20 / us  obcią ż en ia, przem ieszczen ia i  sił a  p o d ł u ż- n a  w  dalszym  cią gu  n arastają   ale  coraz wolniej.  P o  22  / J,S (W  2  fis  p o  zdję ciu  obcią ż en ia) sił a  podł uż na  osią ga  najwię kszą   wartość  N   =   8625,9  N / cm  p o  czym  st o p n io wo  m aleje do  wartoś ci  N o  w  chwili  35,4  /*s i  wówczas  n astę puje  czwarta  faza  ru ch u  (odcią ż en ie sprę - ż yste).  P o  fazie  czwartej  n astę puje  powtórn ie trzecia faza  ruch u  ale  przekroczen ie  gran icy plastycznoś ci  wystę puje  przy  ś ciskaniu.  F azy  trzecia i  czwarta  wielokrotn ie  się   powtarzają . W  m iarę   upł ywu  czasu  |JV|  dą ży  do  N o   i  t a k  w  chwili  t  =  2036  / us N   =  6208,2  N / cm . Przemieszczenie  osią ga  najwię kszą   wartość  0,013447  c m  w  chwili  30  ps.  P rę dkość  od- kształ cenia jest  najwię ksza  w  chwili  18.3  / xs i  wynosi  731,8  cm/ s. Wielkoś ci  przem ieszczeń (liczby  przy  poziom ych  kreskach)  okreś lają ce  chwilowe  poł oż enie  równ owagi  stopn iowo Q = U , 7 1 M P a  ti= 20  us - 1,227  - 1.213 10000 5000- 0 - 5 0 0 0- - 10000 20 0 4r\ rio - 6207  1- 6207 faza  sprę ż ysta  - 6737  faza  sprezystolepkoptastyczn a Rys. 5. Zmiana przemieszczenia, prę dkoś ci, przyś pieszenia  i sił y podiuż nej w czasie dla obcią ż enia  impulsem Q  =   14,71  M Pa ti  =   20 / ts  i  dla y  =  400  s"1 ulegają   stabilizacji  reprezen tują c  trwał e  odkształ cenia. I  tak  w  chwili  t  =  2018  ^ s  trwał e ugię cie  wynosi  0,00501422  cm .  R óż n ica  m ię dzy  m aksym aln ym i  odch ylen iam i  p o wł o ki od  poł oż en ia  równ owagi  powoli  maleje  do  wartoś ci  m aksym aln ej  am plitudy  drgań  sprę - ż ystych  wynoszą cej  0,007033 cm i n a przykł ad w  chwili  t  =   2036  ,MS  wynosi  0,0070341  cm . W  skutek  tł um ien ia  dł ugoś ci  faz  sprę ż ystolepkoplastyczn ych  maleją   i  okres  d rgań  dą ży do okresu drgań sprę ż ystych  T   =  71,64 / AS. N p . w czasie okoł o 2000 / j,s wynosi  on 71,6452 / j,s. N a  rys.  6  i  7  przedstawion o  wpł yw  lepkoś ci  m at eriał u  i  wielkoś ci  obcią ż en ia  n a  prze- bieg  drgań .  D la  współ czynnika  lepkoś ci  y  =   400  s"1  i  dan ych  w  tablicy  1,  w  chwili  t  = . =   20  ^s  e - '̂  =   1/ 5,15  a  w  chwili  t  =   800  ^s  e~^ '  =   1/ (2,95 •   10 2 8 ) .  Wid ać ,  że  czę ść cykliczna  rozwią zan ia  (2.14) jest już  w  począ tkowej  fazie  silnie  wyt ł u m ian a i  d la  duż ych 10  •   w  [ cmj Q=34,32MPa - faza  sprę ż ysta faza  sprę zystolepkoplastyczna R ys.  6.  Przemieszczenie  powł oki  w  funkcji  czasu  i  współ czynnika lepkoś ci.  Przypadek  sł abego  tł umienia. Obcią ż enie  impulsem  Q  =  34,32 M P a, ti  =   20/ is. 10  - w [ om} - 10 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 1 0 V 2 3 - 10,065 73,84 • +U^7*J- <- .V"33,02\ - »t*- 2C,07Hi2,71  | - -̂ 26^5- «- (-i- »- H- 29,77—* "8,307  4n  - 8315 H  H—  31, 25—»J' I* - 32, 16—M . K- W 1  - .055  3 ' 3 S / 'I 1328;  I..B  •  6,3T ^ —  76,76-17,32  • 25,35- ł^i- f—14*——oy^> 2177-; _  .'16.09  V  '' u,bb J 4 7 i  "* T,   ^ 25,27*L*- *u- 27/ ,8—«J  . ^ 2 8 , 9 5 - ^  '* ^ ^ 4- 73,84  • ą eo  t  [ JJS] 72,99 250 17,85 U'1 f c i a  '  «\   / spr.lepkoplasf?- .. / U- 2 2,15- J 12,77 !- *- 24,01—>| *^—25,49—!§- ^«*- 26,6S ®y- «0. °«"iTlQ- 7 a. 5 5 M IM (,2)  ( ) -   / U O - " (j_- i4,71M pa Rys.  7.  Przemieszczenie  powł oki  w  funkcji  czasu,  współ czynnika  lepkoś ci  i  impulsu.  Przypadek  sł abego tł umienia. [6421 D RG AN IA  SPRĘ Ż YSTOLEPKOPLASTYCZNEJ  POWŁ OKI 643 wartoś ci  czasu  praktyczn ie  n ie  m a  ż adn ego  wpł ywu  n a  po st ać  przem ieszczen ia.  D la  m a- ł ych  współ czyn n ików  lepkoś ci  przebieg  tł um ien ia  przebiega  bard zo  p o wo li.  N p .  dla y  =  10 s - 1  w  chwili  t  =  20  fis  e~ Ę""  =   1/ 1,04, a  więc  w  tym  przypadku  t ł u m ien ie  cyklicz- nej  czę ść  drgań jest  m in im aln e i  okres  drgań  sprę ż ystolepkoplastyczn ych  jest  ba r d zo  zbli- ż ony  do  okresu  drgań  sprę ż ystych.  Jedn ocześ n ie  czę ść  lin iowa  jest  40  razy  m n iejsza  n iż dla  y  — 400  s~ ł   i  m ał o  wpł ywa  n a  po st ać przem ieszczen ia.  D la  y  =   1 0 s ~ 1 i f  =   800  fis e- S«"  a  1/ 5,15,  a  więc  jest  t o  wartość  osią gana  dla  y  —  400  s" 1  ju ż  w  ch wili  t  ~  20  fis. W  czasie  okoł o  1950  fis  dł ugość  fazy  sprę ż ystolepkoplastycznej  d la  y  =   400  s " 1  wynosi 0,33  fis  n at om iast dla  y  =   10 s'1  wynosi  o n a  13,25  fis,  rys.  6.  R easum ują c,  wzrost  współ - czynnika  lepkoś ci  powoduje  wzrost  m aksym aln ych  przemieszczeń  i  czasu  ich  pojawien ia się,  wzrost  odkształ ceń  trwał ych,  szybkie  wytł um ien ie  faz  sprę ż ystolepkoplastyczn ych a  w  konsekwencji  szybsze  dą ż enie  procesu  do  drgań  sprę ż ystych,  zmniejszenie  wielkoś ci sił   wewnę trznych.  Wzrost  wielkoś ci  obcią ż enia  Q  powoduje  wzrost  ekstrem aln ych  prze- mieszczeń  i  czasu  ich  wystę powania,  wzrost  odkształ ceń  trwał ych  i  sił   wewn ę trzn ych. Wpł yw  wielkoś ci  obcią ż en ia  Q  n a  postać  drgań  a  zwł aszcza  n a  szybkość  wytł um ian ia faz  sprę ż ystolepkoplastyczn ych  jest  bardzo  m ał y, rys.  7. Wraz  ze  wzrostem  czasu  t rwan ia obcią ż enia  ti  szczególnie  dla  wię kszych  y  przem ieszczenia  (2.14)  dą żą  do  ró wn an ia  pro st ej i  dla  |6I  <  2o  maleją,  dla  ]Q\  =  Q o   są  stał e,  zaś  dla  \ Q\  >  Q o   rosn ą. 4.2. Przypadek granicznego tł umienia, {  =  1. D la  obcią ż en ia  im pulsowego  (2.8)  otrzym ujem y w  fazie  drugiej (2.15) w  . gdzie  A,  B,  C  stał e  okreś lone przez  warun ki  cią gł oś ci.  R u ch  n ie jest  oscylacyjny.  P ierwszy czł on  jest  silnie  wytł um iany  ju ż  w  począ tkowym  okresie  fazy  sprę ż ystolepkoplastyczn ej. Czł on  drugi  i trzeci jest iden tyczn y jak  w  przypadku  f  <  1. Opis  dla  fazy  trzeciej  otrzym u- jemy  podstawiając  d o  (2.15)  Q  =  0.  D la  dan ych  w  tablicy  1  wielkoś ci  f  =   1  o d p o wiad a współ czynnik  lepkoś ci  y  =   427,36  s"1 .  D rgan ia  powł oki  dla  tego  przypadku  przedsta- wion o  n a  rys.  8. - 7" _2 10  - w  [ cm] 61 53 - 7,041  ^ 2 0 0 0 0  5 ^- 6,338 Q = 34, 32 M Pa  ti= 47,5 .- i' / I /   «'3 .• • '• .'- 3932  - 1 - £> Ĵ  - £ ^3 S s v- 3,097 f aza - 2,255 s p r ę ż ys ta sp r ezyst o lep k . o p la s t y c zn a 0  ts=10  20 - f- 60 80 100 120 Rys. 8. Przemieszczenia powł oki w funkcji  czasu i współ czynnika lepkoś ci. Przypadek granicznego i silnego tł umienia.  Obcią ż enie impulsem  Q  =   34,32  M P a,  ti  =  20/ is 644 W.  WOJEWÓD Z KI,  J.  SOKALSKI, 4.3. Przypadek silnego tł umienia, f  >  1. D la  obcią ż enia  prostoką tn ym  impulsem  (2.8)  otrzy- m ujem y  w  fazie  drugiej (2.16)  w  =   ^ e ( - «+ ł / ^ ' Stał e  A,  B,  C  są   okreś lone  przez  waru n ki  cią gł oś ci.  Jest  t o  opis  ruch u  aperiodycznego. P ierwszy  czł o n  okreś lony  przez  funkcję   ekspon en cjaln e  jest  silne  wytł um ian y  w  począ t- ko wym  okresie  fazy  sprę ż ystolepkoplastyczn ej.  P ozostał e  czł ony  liniowy  i  stał y  są   iden- t yczn e  ja k  w  p rzyp ad ku  sł abego  tł um ien ia.  N a  rys.  8  przedstawion o  zm ian ę   przemiesz- czen ia  w  czasie  d la  kilku  współ czyn n ików  lepkoś ci  m ateriał u.  F azy  sprę ż ystolepkoplas- t yczn e  są   silniej  wytł um ian e  niż  w  poprzedn im  przypadku  sł abego  tł um ien ia.  D rga- n ia  kon strukcji  szybko  dą żą   d o  drgań  sprę ż ystych.  N p .  dla  współ czynnika  lepkoś ci y  =   20000  s""1  p o  począ tkowej  fazie  sprę ż ystej  faza  sprę ż ystolepkoplastyczna  wystę puje je d n o kr o t n ie  i  dalsza  odpowiedź  kon strukcji  jest  czę sto  sprę ż ysta,  a  przejś cie  z  fazy  sprę - ż ystolepkoplastyczn ej  d o  sprę ż ystej  (odcią ż enie)  wystę puje  przy  najwię kszej  wartoś ci przem ieszczen ia.  Wn ioski  dotyczą ce  wpł ywu  lepkoś ci  i  obcią ż enia  podan e  w  przypadku sł abego  t ł u m ien ia  stosują   się   i  w  tym  przypadku. 5.  Obcią ż enie  kilko m a  prostoką tnymi impulsami ciś nienia N a  rys.  9  przedstawion o  przem ieszczenia  powł oki  (y  =  400  s"1 )  obcią ż onej  dwoma jed n ako wym i  im pu lsam i  ciś nienia  Q  =  4,90  M P a  ti  =   36  / J.S. P od  wpł ywem  obcią ż enia Q  <  2o / 2  przył oż on ego  w  chwili  począ tkowej  powł oka  n ie  uplastyczn i  się .  C hwila  przy- ł oż en ia  drugiego  im pu lsu  został a  t a k  d o br a n a  aby  wektory  prę dkoś ci  i  przyś pieszenia impuls  1  Q=4,90MPa  ti=36us 0  20  30  '  40 Rys.  9.  Z m ian a  przemieszczenia  w  czasie.  Obcią ż enie  dwoma  jednakowymi  impulsami  Q  =   4,90  MPa ti=  36/ zs- y  =   400  s"1 . D RG AN IA  SPRĘ Ż YSTOLEPKOPLASTYCZNEJ  POWŁOKI 645 przemieszczenia  wywoł ane  pierwszym  impulsem  był y  zgodne  z  wektorami  prę dkoś ci i  przyś pieszenia  wywoł anymi  przez  drugi  impuls.  W  rezultacie  zostaje  przekroczony  wa- runek  plastycznoś ci  i  powł oką   przechodzi  w  fazę   sprę ż ystolepkoplastycznej  deformacji. W  dalszych  rozważ aniach  zbadano  wpływ  chwili  przył oż enia  powtórnego  obcią ż enia na  wielkość  przemieszczenia  powł oki. N a  rys.  10 krzywa  1  obrazuje  fragment  przebiegu drgań powł oki  (y =  400  s"1)  obcią ż onej  pierwotnie  w  chwili  począ tkowej  impulsem  Q  = =   9,81  MPa przez  okres  ti  =  20  ^s.  Powł oka ta  w chwili  t  =   100 ^s  osią ga  maksymalne lokalne przemieszczenia  w  stanie rozcią gania,  a  w  chwili  t  =   135,5  / J,S w  stanie  ś ciskania. N astę pnie  taki  sam  impuls  przykł adano  powtórnie  w  róż nych  chwilach  czasu  i  badano deformację   powł oki.  Stwierdzono,  że  zmniejszenie  przemieszczenia  wystę puje  gdy  obcią - 110  - / - 0.092  130/ - 0, 09 im puls— |Q= 9,81MPa  —impuls obcią ż en ie impulsem w chwili  0 =  9,81 MPa począ tkowej sprę zystolepkoplastyczna Rys.  10.  Wptyw  chwili  przył oż enia powtórnego  impulsu  n a  wielkość przemieszczenia.  Przypadek  sł abego • tł umienia,  y  =   400 s"1  . ż enię  jest  przykł adane w  chwilach  zawartych  w  przedziale  czasu  100—117,5  jus. W  tym przedziale  czasu  wektory  prę dkoś ci  i  przyś pieszenia  drgań  wł asnych  i  wymuszonych mają   przeciwne  zwroty.  W  rezultacie  drgania  zostają   w  znacznym  stopniu mechanicznie wytł umione.  Siły wewnę trzne  maleją   do wielkoś ci  \ N \  <  N o ,  a  wię c  w  powł oce bę dą   wy- stę pować jedynie  niewielkie  drgania  sprę ż yste.  Odkształ cenia trwał e pozostają   takie  same jak  przed  wtórnym  obcią ż eniem.  Najwię ksze  wytł umienie  drgań  wystą pi  gdy  powtórne obcią ż enie nastą pi  107,5 / ts  tzn. w 7,5  p& po czasie  osią gnię cia  przez powł okę   maksymal- nych  odkształ ceń  rozcią gają cych.  N atomiast zwię kszenie  przemieszczenia  wystę puje  gdy wektory  prę dkoś ci  i  przyś pieszenia  drgań  wł asnych i  wymuszonych  dział aniem wtórnego obcią ż enia  są   zgodne.  D la rozpatrywanej  powł oki przemieszczenie  zwię ksza  się   gdy  pow- tórny impuls jest przył oż ony w  chwili  czasu  pomię dzy  135,5  a 153,5 ,us.  N ajwię ksze  prze- mieszczenie  wystę puje  gdy  powtórny  impuls  jest  przył oż ony  w  chwili  t  —  144  /xs  tzn. w 8,5  (xs ( ~  T/ 9) po  czasie  odpowiadają cym  maksymalnym  odkształ ceniom  ś ciskają cym. Obserwuje  się   wtedy  znaczne  zwię kszenie  odkształ ceń trwał ych  i  faz  sprę ż ystolepkoplas- tycznych.  Również  n a  rys.  11  przedstawiono  wpływ  chwili  przył oż enia  powtórnego  ob- 646 W.  WOJEWÓD Z KI,  J .  SOKALSKI - 7 • i-B - 5 - 4 - 3 - 2 10  ?w[ć m| - 10,990 - 6,077 N = - 6296 - - 2£06  N- siła  podł uż na CN / crnl  i ^ 3 5 MS- D D /O  - faza  sprę ż ysta  faza  sprę ż ystolepkoplastyczna 60  90  100  110  120  130  140  150  160  170  180  190  200 Rys.  11.  Wpł yw  chwili  przył oż enia  powtórnego  impulsu  na wielkość  przemieszczenia  i  sił y  podł uipej P rzypadek  silnego  tł umienia, y =  500 i  1000 s"1 cią ż enia  n a  wielkość  przemieszczenia i dodatkowo na  wartość  sił y  podł uż nej.  Wyniki  do- tyczą  wię kszych  impulsów  i przypadku  materiał u o silnym  tł umieniu y =  500 i  1000 s"1. Przemieszczenia trwał e są  tu znacznie wię ksze niż przemieszczenia przedstawione na rys.  10. Stwierdzono,  że  wpł yw  czasu  przył oż enia  wtórnego  obcią ż enia  na wielkość  proporcji mię dzy  przyrostami  przemieszczeń  trwał ych  po  pierwszym  i  wtórnym  obcią ż eniu  szybko maleje ze wzrostem  obcią ż enia oraz bardzo mał o zależy  od współ czynnika lepkoś ci. Chwila najbardziej  niekorzystnego  (najbardziej  zwię kszają cego  przemieszczenia), lub  korzystnego przył oż enia  drugiego  impulsu  zależy  ogólnie  od przedział u czasowego  w którym  nastą pi, od  wielkoś ci  obcią ż enia  i  współ czynnika  lepkoś ci. Obcią ż enie  cykliczne.  N a ostatnim  rysunku  12 podano  zmianę  przemieszczenia  po- wł oki  w czasie,  obcią ż onej  pię cioma impulsami  ciś nienia.  Krzywe  1 (y =  400 s"1)  i 2 (y = =   1000  s"1)  odnoszą  się do przypadku  obcią ż enia  pię cioma  równymi  impulsami  (Q = =   14,71  M P a, ti — 20 fis) o jednakowej  dł ugoś ci  cykli  wynoszą cej  200  / j,s,  zaś  krzywa 3 (y  = 400 s"1) do przypadku  gdy  dł ugoś ci cykli nie są jednakowe.  W przypadku  impulsów o  jednakowej  dł ugoś ci  cykli  każ dy  z impulsów  rozpoczynał  swoje  dział anie przed  osią- gnię ciem  przez  powł okę  maksymalnych  odkształ ceń w  stanie  ś ciskania.  Powodował o  to um iarkowane  przyrosty  przemieszczenia  n a poszczególnych  cyklach.  N atomiast w dru- gim  przypadku  gdy dł ugoś ci  cykli  nie  był y jednakowe  każ dy  z impulsów  zaczynał  dzia- ł ać  w 9 / is p o osią gnię ciu  przez  powł okę maksymalnych  odkształ ceń w stanie  ś ciskania. Ten  niekorzystny  moment przył oż enia kolejnego  impulsu  został  wybrany  tak jak  dla po- wł oki  obcią ż onej  dwoma  impulsami. W rezultacie  powł oka  osią gnę ła  n a  poszczególnych cyklach  znacznie wię ksze  przemieszczenia  niż w pierwszym  przypadku. W wyniku  analizy obliczeń  numerycznych  dla  przypadku  dział ania kilku  równych  impulsów  b  jednakowej D R G AN I A  SPRĘ Ż YSTOLEPKOPLASTYCZNEJ POWŁOKI 647 1000 T)  ŷ AOOs  obcią ż enie  pię cioma  impulsami  o jednakowej  dł ugoś ci  cykli *  f10O0 (3)  f= f=10O0s - 1 " —  o niejed nakowej  —• • —  —• • — Q =14,71  M Po tl=20  HS Rys.  12.  Zmiana  przemieszczenia  w  czasie.  Obcią ż enie  pię cioma  jednakowymi  impulsami  o  równych i  nierównych  dł ugoś ciach  cykli. dł ugoś ci  cykli  stwierdzono,  że  na  cyklu  przyrosty  przemieszczeń  .maksymalnych,  przy- rosty  przemieszczeń  trwał ych,  czasy  osią gnię cia  granicy  plastycznoś ci  i  maksymalnego przemieszczenia na cyklu  liczone od chwili  przył oż enia kolejnego  impulsu  mają   tendencję do  stabilizacji.  Ta stabilizacja  został a osią gnię ta  dla  y  =  400 s"1  już  po  drugim  cyklu, natomiast  dla  y  — 1000 s"1  jest  ona mniej  wyraź na.  Podobne  efekty  wyraź nej  stabili- zacji  dla y  — 400 s"1  stwierdzono w przypadku  gdy dla jednakowych  impulsów  dł ugoś ci cykli  nie  był y  jednakowe. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  T.  WIERZ BICKI,  Dynamika  powł ok  lepkoplastycznych,  R ozpr.  Inż. 19, 4,  667—730, 1971. 2.  N .  JON ES,  Recent progress in the dynamic plastic behavior of structures, M assachusetts  I n stitute  of  Tech- nology,  R eport  N o . 78- 1. 3.  W. E . BAKER,  T he elastic- plastic response of thin spherical shells to internal blast loading, J . Appl.  M ech,. 27,  139- 144, 1960. 4.  W.  SZCZEPIŃ SKI,  Plastic  strain  of  a  spherical shell under dynamic  loading by  internal presure.  Arch. M ech.  Stos.  16,  1207- 1214,  1964. 5.  T . A.  D U F F EY,  Significance of strain hardening and strain rate effects  on the transient response of  elastic- plastic  spherical shells, I n t . J.  M ech.  Sciences,  12,  1970. 6.  T . A.  D U F F BY,  Influence of finite duration pressure pulse on the transient response of  elastic- plastic strain- rate- sensitive  cylindrical and spherical shells,  1st I n ter. Conf.  o n Struct.  M ech. in R eactor  Tech., Vol. 3 P art E,  G ermany, September 1971. 648  W.  WOJEWÓD ZKI,  J.  SOKALSKI 7.  P .  P ERZ YN A,  T he  constitutive equations for  rate sensitive plastic  materials, Quart.  Appl.  M ath.,  Vol. XX,  321- 322,  1963. 8.  T .  D U F F E Y, R .  K R I E G ,  T he  effects  of  strain hardening and strain rate sensitivity on the  transient response of  elastic- plastic  spherical shells, I n t . J.  M ech. S c ,  12,  811,  1970. P  e  3  K>  M  e K O JI E E AH H il  y n P y r O  —  BKSKOn JI AC TKraE C KOŚl CEPH*IECKOft , OBOJIO^IKH B  pa6o T e  n p e^ c raBH eH   a n a n a s  KOJieBaHHHj  B  n p en ejie  ManLix  fledpopM amm,  R JK I  nojiH oii  TOHKOH ynpyro- BK3KortjiacTKliecKoit  O6OJI OM KH .  OSojio^qKa  e e n . H arpyaceH a  eflHHOTH COM  flaBneH H Ji  H J I H   HecKOJiBKHMH   H MnyjitcaMH .  npo6Jieiw  xapaKTepn3yeTCH OnpeflejieH O  BenHMHHy n epBOH arajibn oro  ninnyJIBCH  flaBjieH iW  n n aciH tpH m ipyK im ero  o6onoM Ky.  H cc^e- floBaH o  BjiHHHHe  BS3KOCTH   M aTepnajia  Ha  ocH OBH tie  n apaM eipbi  Koxie6aH H S.  PaccMaTpeH o  TaKwe  BU H H - HHe  MOMeHTa  npnJiOH