Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z4.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4. 18 (1980) SPRĘ Ż AN IE  TERMICZN E NA  PRZYKŁADZIE  ZAG ADN IEN IA KOŁOWO- SYMETRYCZNEG O1, JAN   H O L N I C K I - - S Z U LC  (WARSZAWA) 1.  Wstę p Celem pracy jest  sformuł owanie i  analiza  zagadnienia  sprę ż ania  termicznego na  przy- kł adzie  koł owosymetrycznej  tarczy  wirują cej. Przez  sprę ż anie  rozumiemy  sterowanie  wymuszanym  polem  dystorsji  pierwotnych  s, w  celu  uzyskania  (samozrównoważ onych)  stanów  naprę ż eń  wstę pnych  a  oraz  (nieroz- dzielnych)  stanów  odkształ ceń  wstę pnych  e  takich, które korzystnie  regulują   stany  koń- cowe  a — a + ce,  E =   8 +  B gdzie pola  a  i  g są   znane  i  zwią zane  z  danym  obcią ż eniem zewnę trznym  (por.  [1,  4,  6]). Prezentowane  w  pracy  „sprę ż anie termiczne" stanowi  szczególny  przypadek  opisanej wyż ej  idei  „sprę ż ania  wewnę trznego".  Wprowadzanie  do  ustroju  dystorsji  za  poś rednic- twem wymuszania  pola temperatury  ogranicza moż liwoś ci  regulacji  stanów.  Ograniczenia te  wpływają   na  fakt,  że  pewne  rozwią zania  wyznaczane  dla  sprę ż ania  termicznego' mają bardziej  zł oż oną  postać niż rozwią zania  uzyskiwane w  przypadku  ogólnym  [6]. Przykł adem  innej  technicznej  realizacji  sprę ż ania  wewnę trznego  może  być  wymusza- nie pól  dystorsji  w  ustrojach  kratowych  poprzez  generowanie  odpowiednich  stanów  dys- lokacji  (wydł uż eń i  skróceń  prę tów). [7]. Zajmijmy  się   przypadkiem  ciał a  izotropowego  i  ustalonego  procesu  przepł ywu  tem- peratury.  Dystorsje  termiczne  dział ają ce  na  ciał o  przyjmują   postać: (1)  a =   u.95, gdzie  0  — pole  temperatury  w  stosunku  do  stał ej  temperatury  otoczenia,  a  — współ - czynnik  rozszerzalnoś ci  termicznej  materiał u,  6 — tensor  jednostkowy. Pole temperatury musi przy tym  speł niać równanie przewodnictwa  cieplnego. (2)  V ć > = - ^ -, gdzie  A —  współ czynnik  przewodnictwa  cieplnego  w  materiale  zaś  W  —  pole  skalarne ź ródeł  ciepł a. Cechą   charakterystyczną   sprę ż ania  termicznego jest  fakt,  że  nie  istnieje  moż liwość wymuszania beznaprę ż eniowo  odkształ ceń wstę pnych  (poza  przypadkiem  liniowo  zmien- nych pól  s)  oraz bezodkształ ceniowo naprę ż eń wstę pnych  [6]. *' Praca wykonana został a w ramach współ pracy polsko- amerykań skiej (fundusz  M arii Skł odowskiej- Curie N O I N T  75- 08722)  na tem at „Optymalizacja elementów i  systemów konstrukcyjnych". 9 Mech. Teoret. i Stos, 4/ 80 650 J .  HOLNICKI —  SZULC Z atem, poza przypadkiem liniowo zmiennego pola 0,  każ dy  inny rozkł ad temperatury wywoł uje  jednocześ nie  stany  naprę ż eń  i  odkształ ceń  wstę pnych. 2.  Sformuł owanie  zagadnienia  sprę ż ania  termicznego  tarczy  wirują cej Omówimy  przykł ad tarczy  z  otworem wirują cej  ze  stał ą   prę dkoś cią   ką tową   w  (rys. 1). Obcią ż enie  zewnę trzne  opisane jest  w  tym  przypadku  (pomijają c  cię ż ar  wł asny) przez pole  masowych  sił   odś rodkowych gdzie  Q —  masa  wł aś ciwa  materiał u. (3)  R.m  Q°>2r> Rys.  l U wzglę dniając  wpł yw  pola  dystorsji  na  stany  naprę ż eń  i  odkształ ceń  koń cowych przez  przyję cie  zmodyfikowanych  zwią zków  konstytutywnych  [2,  6], otrzymujemy  ukł ad zwią zków  zapisanych  dla  naszego  koł owosymetrycznego  przypadku  w  ukł adzie współ- rzę dnych  biegunowych: —  równania  równowagi (4 ) ov = 0 dla dla warunki  nierozdzielnoś ci (5) s0 — r  = b, r  =  a, SPRĘ Ż AN IE  TERMICZNE  651 —  zwią zki  konstytutywne 1  . s,  =   —- (o r a.  = T gdzie (8)  e =   &0,  a  =  —  a.0. Wprowadź my  ograniczenia  nierównoś ciowe  narzucone  n a  koń cowy  stan  naprę ż eń w postaci: O —   ̂ 0*-    ̂ 0*. a—  <    0. Jeś li  naprę ż enia a r   i  a @ , wywoł ane przez  obcią ż enie zewnę trzne polem sił  masowych  i i ograniczeń  tych  nie  speł niają ,  interesują cy  z  inż ynierskiego  punktu  widzenia  staje  się problem poszukiwania  pól dystorsji  e, które minimalizują c  koszt  sprę ż enia mierzony cał - ką   (globalna  energia  stanu  dystorsji): (10)  min  f eadv wywołują   stany  wstę pne  a ri a 0   dostosowują ce  naprę ż enia  koń cowe  a r   =   a r  + a,,o e   = =   (T0 +  aQ  do  ograniczeń (9). Dysponują c  techniczną   moż liwoś cią   wprowadzania  dowolnie  rozł oż onych  ź ródeł ciepł a  w,  zwią zki  (3) + (10)  formuł ują   zagadnienie  optymalnego  sprę ż ania  termicznego. Otrzymane  zadanie  minimalizacji  funkcjonał u  (10)  przy  ograniczeniach  nierównoś cio- wych  (9), wię zach w postaci czterech równań:  (4)1, (5) i (6) lub  (7) oraz dwóch warunków brzegowych  (4)2  i  (4)3  opisuje  pię ć  poszukiwanych  funkcji  0,  a r ,  a B ,  s r ,  e & . Zwią zek  (2)  opisuje  rozkł ad  ź ródeł   ciepł a w,  jaki  należy  • wymusić w  celu  wygenero- wania pola temperatur  0. 3.  Przypadek  ź ródeł   ciepł a  rozł oż onych na  brzegu  tarczy Stan  naprę ż eń uż ytkowych  rozpatrywanej  (niesprę ż onej) tarczy  wirują cej  opisany jest zwią zkami [5]: L  .  3+ v  a . 9* 652  J .  HOLKICKI —  SZULC (11)  t gdzie:  | » ^ Omówmy  przypadek  ł agodzenia koncentracji  naprę ż eń  w  ś rodkowym  obszarze  tarczy (por.  rys.  1)  przez  zastosowanie  sprę ż ania  termicznego. Wartość  ć r wystę pują cą   w  ograniczeniach  (9) —  mniejszą   od  maksymalnych  wartoś ci „ + ~ 0 f  =  O, z  warunkiem  na  brzegu  r  =   b; (13)  0  =  0, Z  powyż szych  zwią zków  wynika  postać  rozkł adu  temperatur: (14)  0 - Mi z  dokł adnoś cią   do  parametru  C,  zależ nego  od  intensywnoś ci  ź ródła  ciepł a rozł oż onego n a  obwodzie  r  =  a. Znają c  pole dystorsji  termicznych  (14)  moż na  okreś lić  pole  naprę ż eń wstę pnych przez nie  wywoł ywanych  (z  dokł adnoś cią   do  stał ej  C). Podstawiają c  w  tym celu  (14) do  (6) a nastę pnie wyraż ając  warunek  nterozdzielnoś ci (5)  przez  naprę ż enia  otrzymujemy  wraz  z  równaniem  równowagi  (pomijają c  obcią ż enia zewnę trzne  ii)  ukł ad  dwu  równań  róż niczkowych  zwyczajnych  ze  wzglę du  n a  dwie nie- wiadome  funkcje  opisują ce  naprę ż enia  wstę pne:  S r (r),  >- Z nając  rozkł ad  n aprę ż eń  prom ien iowych,  m o ż na  wyznaczyć  z  ( 4) 1  n aprę ż en ia  obwo- dowe: (18) cr0  =   —z _L Z nając  n aprę ż en ia  wstę pne  wywoł ywane  przez  pole  t em p erat u r  (14),  zad an ie  t erm o - sprę ż ania  ze  wzglę du  n a  speł nienie  ograniczeń  (9)  m in im aln ym  kosztem  wpro wadzan ych dystorsji  sprowadza  się  do  minimalizacji  p a r a m et r u : (19)  it iin z 2 , przy  ogran iczen iach (2 0 ) a,  Cs(i)+zt(C)  >  - a, £  ff,  Cu(i)+zw(£)  ź  - ff. Jeś li  wartość  a  ograniczają ca  n aprę ż en ia dopuszczaln e jest  okreś lon a, t o  przy  fun kcjach i ( | ) ,  i(f),  t(g),  W (C)  zdefin iowan ych  wyraż en iami  (11),  (17),  (18),  zwią zki  (20)  opisują zespół  warun ków  okreś lają cych  obszar  dopuszczaln y  n a  osi  liczbowej  z, kt ó ry jest  zgodn y dla  każ dego  f  z  waru n kam i  (20). P o  znalezieniu  tego  obszaru,  oraz  okreś leniu  m in im aln ej wartoś ci  z, m o ż na  wyzn aczyć poszukiwany  param et r  C  (17)  okreś lają cy  (por.  14)  in ten sywn ość  ź ródła  ciepł a (21) e, c  i  l a = Tln\ T jakie  n ależy  wprowadzić  n a  obwodzie  otworu  wewn ę trzn ego  tarczy  wirują cej  w  celu  opty- m alnego term osprę ż an ia. Om awian e  zadan ie  rozwią zano  num erycznie  przyjmując  d a n e : « = - ! , *>  =  !,  , - J L .,  5  =  0,3941^. Wartość  a  ograniczają cą  n aprę ż en ia  dobran o  t ak,  aby  efekt  sprę ż en ia  był   n ajwię kszy. Om awiany  przykł ad  reprezen tuje  zatem  zadanie  m aksym aln ego  ł agodzen ia  kon cen t racji n aprę ż eń.  M o ż na  go  wykorzystać  do  m aksym aln ego  zwię kszan ia  n oś n oś ci  u st roju  p o - przez  sprę ż anie. 654  J.  H OLN ICKI —  SZU LC P arametr  z  przybiera  w  omawianym  przykł adzie  optymalną   wartość (22)  •   z  =   - 1,4151  f, ską d  wynika,  obliczają c  parametr  C, że  poszukiwane  pole  temperatury  (14) ma  rozkł ad- i  może  być  wywoł ane  przez  ogrzewanie  brzegu  otworu  wewnę trznego  tarczy  ź ródł ami ciepł a  (21)  o  intensywnoś ci  (podstawiają c  dane przykł adu) (24)  6> o = 0 , 3 9 8 5 ^ - . Rozkł ady  naprę ż eń radialnych i obwodowych w  stanach uż ytkowym,  wstę pnym i koń- cowym  pokazano n a  rys.  (1). Widać,  że w  wyniku  termosprę ż ania uzyskano  ponad pię - ciokrotne  zmniejszenie  ekstremalnych  wartoś ci  naprę ż eń. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  Z .  M R Ó Z ,  J. E .  TAYLOR  Prestress for  maximum strength,  I n t. J.  Solid.  Struct.  9, (1973)  1535- 1541. 2.  W.  NowACKt,  T eoria sprę ż ystoś ci,  §§ 4, 8 PWN  Warszawa  1970. 3.  A.  STOD OŁA, Dampf—  und Gas  T urbinen, wyd.  G   str.  312  i 889- 1924. 4.  J . E.  TAYLOR  Optimal prestress against buckling.  An  energy  approach,  I n t. J.  Solid.  S.truct.  2, 7  (1971). 5.  S.  TIMOSH EN KO,  J. N .  G OOD IER,  T eoria sprę ż ystoś ci.  §  14. Arkady  Warszawa  1962. 6.  J.  H OLN ICKI- SZ U LC,  T heory ofprestressingl,  II, Bull  Acad. Pol.  Sci. Techn. 1, 24  (1976). 7.  J.  H OLM C KI - SZ U LC, Prestress  of truss and frame structures,  J. Struct. D iv.  ASCE vol.  105 N o ST 3. March 1979. P  e  3  K>  M   e OBP A3OBAH H E  ITPEflBAPH TEJIBH &IX  TEP M KtffiC KH X  H AITPiD KEH H ft H A  U P H M E P E  OCECH M ETP H - qECKOfi  3A,nA*ffl B  paSoT e  paccM aipH BaeicH   n p o 6n em a  npeflBapH TejiBH tix  TepM iraeciaix  H anpH weH H H .  3apsma 3aKjno*iaeTCH   B  yn paBJiem iH   TepMEraecKHM  n ojiew  c  u/ zm>io rnxnyreH H H  Tpe6yeM oro  n epepacn peflejieH n a H anpH H KeHHH. IIofl;po6H O  o6cy>K,naiOTCH   pe3yjibTaTW  n o jiy^ em ibie  B  ciry^ae  sp a m a io m e r o c H   flnci