Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z1.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1,  17  (1979)

OPTYM ALN E  KSZTAŁTOWAN IE  D YSKÓW  WIRU JĄ CYCH   Z  ZASTOSOWAN IEM   ZASADY
M AKSIM U M   PON TRIAG IN A

G WI D O N   S  Z E F r ? R ,  LESZEK  M I K U Ł S K I  (K R AK Ó W)

1.  Wstę p

Z agadn ien ie  kształ towan ia  dysków  wirują cych  należy  do  klasycznych  zadań mechaniki
i był o przedm iotem wielu prac mię dzy innymi  [2, 3, 9], a tarcze równomiernej  wytrzymał oś ci
n awet  wchodzą   w  zakres  opracowań  monograficznych  [4, 6, 7, 8],

Istnieją ce  do  tej  pory  rozwią zania  ignorują   jedn ak  istotny  z  technicznego  pun ktu  wi-
dzen ia  fakt  ogran iczen ia  (od  góry  i  od  doł u)  gruboś ci  dysku  co  czyni  konwencjonalne
rozwią zania  czę sto  n ieracjon aln ym i.

W  pracy  niniejszej  rozważ ymy  problem  kształ towan ia  optymalnego  wirują cych  tarcz
koł owych  i  pierś cieniowych  n a  m in im um  przemieszczenia  oraz  m in im um - n ormy  inten-
sywnoś ci  n aprę ż eń  w  obecnoś ci  ograniczeń  geometrycznych  nał oż onych  na  przekrój
dysku.  D o  rozwią zania  przedstawion ych  zadań  zastosujemy  zasadę   maksimum  P ontria-
gina.  Efektem  pracy  bę dą   optym aln e  kształ ty  dysków  oraz wykresy  n aprę ż eń i przemiesz-
czeń.

'  2.  Sform uł owanie  problem u

W  biegunowym  ukł adzie  współ rzę dnych  {0,  r,  0}  rozpatrujemy  koł owo  symetryczny
problem  tarczy  zm iennej  gruboś ci  h(r),  wirują cej  ze  stał ą   prę dkoś cią   ką tową   co,  w  stał ym
polu  tem peratury  T .  K om plet  relacji,  opisują cych  stan  ukł adu  sprę ż ystego  obejmuje  wów-
czas  zn an e  ró wn an ia:
i)  równ owagi

h  dr
  v  "  '  r  '  g

111)  n iero zd zieln o ś ci

de
e
  _  __

112)  geo m et ryczn e

du  u
dr~  r

ł )  Praca został a wykonana  w ranach problemu wę zł owego  05.12 „Wytrzymał ość i optymalizacja  kon-
strukcji  maszynowych  i  budowlanych" — koordynowanego  przez  IPPT  P AN .



36  G .  SZEFER,  L.  MlKULSKI

iii)  fizyczne

e r  =   - - r ( u , -

e
@
  =—(a

e
- va

r
)+aT

h

gdzie:  a
r
a

@
  — naprę ż enia,  £ r % —  odkształ cenia,  y —  cię ż ar  obję toś ciowy,  g—  przyspie-

szenie  ziemskie,  a —  współ czynnik  rozszerzalnoś ci  cieplnej,  u —  przemieszczenie  radialn e,
E—moduł   Younga,  v —  1.  Poissoną.
Wprowadzając  oznaczenie

S  =   rha
r
,

a  nastę pnie  rugując  a
Q
  (za  pomocą  zwią zków  fizycznych  i  geometrycznych)  otrzymujemy

ostatecznie  z  równań  równowagi  i  nierozdzielnoś ci  u kł ad:

dr  r  r  \   g
(2.D

du  l—v
2
  S  v

~dr'~  E  "~rh~T
dogodny  dla  dalszych  rozwią zań.

Analizować  bę dziemy  peł ne  dyski  koł owe  z  warunkam i  brzegowymi

(2.2)  u(o)  =   0  S(R)  =  0,

oraz  pierś cieniowe,  z  warunkam i

(2.3)  S{R?)  =   0,  S(R
2
)  =   0.

Przystę pując  do  sformuł owania  problemu  optymalizacji,  przyjmujemy  jako  zmienną  de-
cyzyjną  grubość  h(r),  a  dla  niej  ograniczenia

(2.4) f*
J  2nrh{r)dr  =   V

o
  =  con st.

Rozpatrzymy  dwa  typy  zagadnień  optymalnego  kształ towan ia;
I .  n a  minimum  przemieszczenia:

(2.5)  J(h)  =  u(R
2
)  - »•   m i n ,

h

I I .  n a  minimum  norm y  (w  przestrzeni  L 2)  intensywnoś ci  n aprę ż eń:

(2.6)  J(h)  =  J  o?dr- + m in ,

gdzie



O P T YM AL N E  KSZ TAŁ TOWAN I E  D YSK Ó W  WI R U JĄ C YCH   37

W  dalszym  cią gu  ograniczenie  stał ej  obję toś ci  (2.4)2  uwzglę dnimy  poprzez  wprowadzenie
mnoż nika  Lagrange'a,  rozpatrują c  funkcjonał y

Ą h,  A)  =   u{R
2
)  + K  J  Inrhdr  dla  pryzpadku  I,

J(h,  X) =   J  (of +  Xlnrh) dr  dla  przypadku  I I .

Z biór  sterowań  dopuszczalnych  okreś limy  wię c  ostatecznie  jako

(2.8)  U
dop

  =   {h:H
x
  <  h(r)  <  H

2
}.

Wprowadzają c  dla  zwartego  opisu  stanu  (deformacji  i  naprę ż eń)  wektor  y(S,  u)  a  dla
prawych  stron  ukł adu  (3.1)  wektor

sformuł ujemy  nastę pują ce  dwa  problemy  optymalizacji;  dane  jest:
1°  równanie  ukł adu  (2.1)  (w  notacji  wektorowej)

2°  zbiór  sterowań  dopuszczalnych  (2.8),
3°  funkcje  celu  okreś lone  funkcjonał ami  Lagrange'a  (2.7).
Z adanie  1:
Wyznaczyć  takie  h(r),  aby  speł niają c  równanie  1°  z  odpowiednimi  warunkami  brzego-
wymi  (2.2)  lub  (2.3)  i  ograniczenie  2°  uzyskać  minimum  funkcjonał u  (2.7)!.
Z adanie  2:
P roblem jak  wyż ej lecz dla  funkcjonał u  (2.7)2. D o rozwią zania  tak  okreś lonych zadań uż y-
jemy  zasady  m aksim um  P ontriagina  (5).  W  tym  celu  wprowadzić  należy  hamiltonian

/=o

w  którym  wektor  sprzę ż ony  ^ ( yo >  Vi,  V2)  speł nia  znane  równanie
3  1  - \  - r- r

(2.10) t  =   „IŁdr  dy

z  warunkami  wynikają cymi  z  warunków  transwersalnoś ci,  a  fun kcja/ 0  okreś lona  jest
wyraż eniem  podcał kowym  w  (2.7).  Szczegół owe  wyznaczenie  rozwią zania  optymalnego
z  odpowiadają cym  m u  stanem  naprę ż eń  i  deformacji  omówimy  oddzielnie  dla  każ dego
przypadku.



38  G .  SZEFER, L.  MlKULSKI

3.  P roblem  I —  kształ towan ie  n a  minimum  przem ieszczen ia

F u n kc jo n a ł   L a gr a n ge'a  o d p o wiad ają cy  wyjś ciowej  fun kcji  celu  (2.5)  i  o gr a n ic zen iu
( 2. 4) 2  m a p o st a ć  ( 2. 7) !.  t j.

R 2

(3.1)  J(h,  A) =   u(R
2
)Ą - X  J  2nrhdr- y  m i n ,

R  hsUd

H a m i lt o n i a n  (2.9)  bę dzie  wówczas  o kreś lo ny  wyr a ż en iem

(3.2)  H  =  V o  Mairh+ft  \ — S+ y  uh -   laET +  1-   a>
2
r\  h  +

Stosown ie  d o  t wierdzen ia  P o n t r ia gin a ,  d la  o p t ym a ln e go  st er o wa n ia  h*(r)  jest

dH
H(y*,  ii/ *,  h*)  =   maxH(y,  ^ , h)  ską d  n a  p o d st a wie  wa r u n k u  —rr-  =  0  m a m y

h  Oil

(3,3)
—u - a . E T -~   a)2r\

P rzepis  t en obowią zuje  w przedziale, w kt ó r ym  H
x
  <  h  <  H

2
.  U k ł a d  r ó wn a ń  sp r zę ż o n ych

m a  zgo d n ie  z  (2.10)  p o st a ć :

dy>
l
  v  l—v

2  1
~~dr  V

1
  r  ^   Er  h'

(3.4)  y,
0
(r)  =   -   1

dy>
2
  En  v

dr  r
  2

  r '

R o zp a t r zm y  n ajpierw  p r zyp a d ek  pierś cien ia, a za t e m o bo wią zywać  bę dą   wa r u n k i  brzego we
(2.3).  Wekt o r  ijf(ipi,f

2
)  jest  p r o st o p a d ł y  d o  r o zm a it o ś ci

(3.5)  6>0  =   { y o : W  =  0},  &k  =   {yk:S(R2)  =  0 }.

Z  uwagi  n a  m in im alizację   wielkoś ci  zależ n ej  o d  st a n u  ko ń c o wego  m o d yfikac ji  p o d lega
ko ń co wy  wa r u n ek  t ran swersaln o ś ci  [5]:

SG  dG

p rzy  wa r u n ku

/   dG
Br]

1
  = 0 ;  |~ Vo - ^ —H - V2  *?2 =   0,  l +  y 2  =   0= > y2( - R2)  =   — 1.

A  wię c  wart o ś ci  fun kcji  sp r ę ż o n ych  wyn o szą

(3.6)



O P T YM AL N E  KSZ TAŁ TOWAN I E  D YSK Ó W  WI R U JĄ C YCH   •   39

Aby  efektywnie  wyznaczyć  sterowanie  optym aln e*  h(r)  (we  wzorze  (3.3  nieznane  są )

funkcje  ip
t
,  y>

2
  oraz u) n ależy  rozwią zać  ukł ad równ ań  (2.1), (3.4) z uwzglę dnieniem  (3.3).

Bę dzie  zatem

dr

(3.7)

Er

VĄ -
z  waru n kam i:

S(Rd  =  0,  5( i^ 2)  =  0,
( 3 " 8 )

D o  ukł adu  (3.7) doł ą czyć  n ależy  równ an ie:

(3.9)

g

okreś lają ce  m n oż n ik  Lagran ge'a  X. Relacje  (3.7) —  (3.9)  ł ą cznie,  pozwalają   (przynajmniej
formalnie)  wyznaczyć  cztery  n iezn an e funkcje  S(r), u(r),  y>i(r),  ę

2
(f)  i liczbę   /, a  stą d ste-

rowan ie  optym aln e h(r).  Jest  widoczne, że zadan ie to m oż na rozwią zać  efektywnie  jedynie
n a  drodze  n um eryczn ej.  M etoda  bezpoś redniego  cał kowania  ukł adu  (3.7) wymaga zna-
jom oś ci  wektora  począ tkowego  [S(R

l
),u(R

1
),y)

l
(R

1
),y)

2
(R

2
)],  zaś  warunki  (3.8) wska-

zują ,  że  tylko  dwie  spoś ród  tych  wartoś ci  zn an e  są   zawczasu,  pozostał e dwie  muszą  być
t ak  dobran e by speł n ić warun ki  n a brzegu  r  =  R

2
.  M am y tu wię c do czynienia z zadaniem

dwugran icznym  typu  „ 2 + 2 " .  Sytuację   utrudn ia  fakt  doboru  m noż nika  X. Algorytm roz-
wią zania  bę dzie  zatem  n astę pują cy:

1°  ustalam y  najpierw  przedział   zmiennoś ci  X. W  tym celu  przyjmujemy  h =  H
2
'\  pod-

stawiamy  do  (2.1) otrzym ują c  ukł ad

du  l - v* S  v  „   . - . _.

- dF  =   ~lT7H2- T
u+ il+ v)aT'

z  warun kam i  brzegowym i  (2.3).



40  G .  SZ E F E R ,  L.  M I K U LSK .1

P odobn ie  rozwią zujemy  ukł ad  równ ań  sprzę ż onych  (3.4)

dm,  v  \ —v
2
\

dr
,  V

r  r

z  warunkam i

Tą   drogą   uzyskane  funkcje  ^i(- R), f
2
(

R
)

  o r a z  " W  podstawiam y  do  zwią zku  (3.9).
Aproksymują c  cał kę   sumą   skoń czoną   dostaniemy

JV

Er„ [- 2nr
n
  A+ y>\  ( ~ « „ -   «T E

Rozwijają c  lewą   stronę  jako  funkcję   zmiennej  X w  szereg  M acklaurin a  i  ograniczają c
się   do  dwóch  pierwszych  wyrazów  otrzymamy

1 v

2"
?- a

• )

2
Ar+

N

ił
u„~aT l

- $»"• ) \

ii
2n'

ską d  ostatecznie

(3.10)  X* =

w „ - a T E -   j

x
2
  Ar

l | ~ w „   - <xT E- ^ -
'n 6

Ar\

W  analogiczny  sposób  dostaniemy  wartoś ci  A**  odpowiadają cą   ogran iczen iu  h  =  H
x
.

2°  M ają c  przedział  znamiennoś ci  A  6  [A*,  A**]  cał kujemy  num erycznie  ukł ad  (3.7)  z  wa-
run kam i  (3.8)  otrzymują c  nowe  wartoś ci  S

n
,u

n
,ę \ ,ip

2
-

3°  Wyznaczamy  z  (3.10)  nową   wartość  A i  podstawiam y  ją   pon own ie  do  ukł adu  (3.7)
powtarzają c  wielokrotnie  tę   procedurę .



O P T YM AL N E  KSZ TAŁ TOWAN I E  D YSK Ó W  WI R U JĄ C YCH 41

4°  Optym aln y  kształ t  przekroju  tarczy  opisany  jest  w  ogólnoś ci  funkcją

(3.11)  /**(/• )  =  •

H
2

\ / Ą 2nr I + ip
i
(r)\ -

r
u-   aET —'—

i  re[r
2
,R

2
].

I stn ien ie i wartoś ci  odcię tych i\   oraz r
2
  dają   się  stwierdzić  w drodze realizacji  omówio-

n ego  algorytm u  i  zależą   od param etrów  zadan ia.  N a każ dym  kroku  r„ sprawdzamy
wartość  h„ i  stwierdzamy  zgodn ie  z  (3.11),  który  przepis  obowią zuje.

5°  P roces  iteracji  dla ustalen ia  X koń czymy,  gdy róż n ice  pomię dzy  kolejnymi  rozwią za-
n iam i  dla cał ego  u kł ad u n a d an ym  kroku  (są  mniejsze  od przyję tej  wartoś ci  bł ę du
( n p.  10- 3 ) ) .

Schem at  blokowy  cał ego  algorytm u  optymalizacji  podan o  n a rys.  1.

SCHEMAT  BLOKOWY

NC u k ł ad  równań
[3.71  i  2

3.10

h - H2

1

NC  u k ł ad  równań

( ! : TVW  »fi

2 z  (3.10)

I

=  05(A,

NCuWad  r ó wn ań z p r o -
c ed um . WSTRZELIWANIA

- ze  wzoru  (3.3)dla
problemu  I

-  ze  wzordw Cardana
dla  problem u I I



Rys.  2

\

\

sir)

"utr)

\ ;

3,04  9,30

Rys.  3

[42]



O P T YM ALN E  KSZ TAŁ TOWAN I E  DYS KÓW  WIRUJĄ CYCH  43

W  pracy  wykonano  przykł ad  liczbowy  przyjmują c  dane:

R
t
  =  0,03  m,  O) =   233, 33—,

s
R

2
  =  0,19  m,  T  =  500°C,

H
L
  = 0 , 0 1  m,  oc  = 1,2  - 1 05 - p ,̂

H
2
  =  0,03  m,  v «  0,3,

V
o
  = 4-  10- 3 m 3,

fft rrt

E  = 2,\ - \ Q
1
~   - -̂  =  7, 84 - V

m
2
  g  m

3

Wyniki  uzyskane  metodą   Runge- Kutty z algorytmem  rozwią zywania  zadania  dwugra-
nicznego  (procedura „ wstrzeliwania")  wedł ug programu n a EM C opracowanego  przez
OETO  Politechniki  Krakowskiej  ilustruje  rys. 2.
Równocześ nie,  wykonano  obliczenia  dla  dysku  peł nego  (J?i —  0),  Jedynej  zmianie

ulegają   wówczas  warunki  brzegowe,  które  są   w  postaci  (2.2) reszta,  a  wię c  ukł ad (3.7)
(3.9) i przepis  (3'. 11), pozostaje  bez zmian. Rezultaty dla danych jak w poprzednim przyk-
ł a d zie — zestawiono  n a  rys. 3.

4.  Problem  II —  Kształ towanie  na  minimum  normy  intensywnoś ci  naprę ż eń

F unkcja  celu  okreś lona  teraz zwią zkiem  (2.6) przy  ograniczeniu  (2.4)2 daje  funkcjonał
Lagrange'a

+  (EaT )
2
  + Xlnrh \  dr ->  min

J  hU

Skonstruowany  dla  tego  przypadku  hamiltonian

prowadzi  do równania,  okreś lają cego  sterowania  optymalne

(4.3)  4



44 G .  SzEFER,  L.  MlKULSKI

U kł ad równań  sprzę ż onych  przybiera  formę

2v  lEu

(4. 4)

T i  —s  :  1- .

dr  r
2
h

2
  rh  \   r

dm,  ,  2vES  2E
2
u  2E

2
aT

- v
2  1

—
Er  hEh

dr  r
2
h  '  r

2
  r

  T L
  r

  r
*  r

W  konsekwencji  ortogonalnoś ci  wektora  ij/  do  rozmaitoś ci  (3.5)  otrzymujemy  wartoś ci

(4.5)  va(U i)  »  0;  ip
2
(R

2
)  =   0

dla  dysku  pierś cieniowego  oraz

(4.6)  V l ( 0 )  -   0  f2(R2)  =   0

dla  tarczy  peł nej.
Kompletna  analiza  zadania  wymaga  zatem  rozwią zania  u kł ad u :

(4.7)
dr  r  r

du_  \ - v
2
  S  _v

dr  Er  h  r

g

Rys.  4



O P T YM AL N E  KSZ TAŁ TOWAN I E  D YSK Ó W  WI R U JĄ C YCH 45

dip i

~d7 r
2
h

2

2v  \ Eu

rh  \ _  r

v  l- v
2  1

r  Er  h

dr  ~  r
2
h

2vSE  2uE
2
  2E

2
<xT   Eh  v

+   ~~?  r  f l  ~T+ V> 27'

z  warunkami

(4.8)

2n  j  rhdr  =   V
o
,

Vz(.Ri) -   0,  ę
2
{R

2
)  =  0,

«(0)  =   0,  S(R)  -   0,

Vi(0)  =   0,

dla  pierś cienia,

dla  koł a.

R ys.  5



46  G .  SZEFER, L.  MlKULSKI

U kł ad  (4.7) uzupeł niony jest zwią zkiem  (4.3), który  w  odróż nieniu od poprzedn io omawia-
nego  przypadku  I —  nie  daje  jawnej  postaci  optymalnego  rozwią zania  h(r).  Cał y  problem
(4.3), (4.7) (4.8) wymaga  wię c numerycznej  analizy  w wyniku  której  otrzymujemy  poszuki-
wane  wielkoś ci  u(r),  S(f),  h(r),  ipi(r),  f  2('')>  1  P rocedura  wyznaczenia  tych  wielkoś ci  jest
identyczna z  omówioną   poprzedn io, z  tym że należ ało je  uzupeł nić  o algorytm  rozwią zania
równania  (4.3).  D o  tego  celu  uż yto  wzorów  C ardan a.  Wyniki  liczbowe  dla  dan ych  jak
w  przykł adzie  I  ilustrują   rys.  4  i  5.

5. Zakoń czenie

P rzeprowadzona w pracy  analiza  dowodzi  skutecznoś ci  m etody.  Sformuł owane zadan ia
optymalizacyjne  rozwią zano  efektywnie,  pokazują c  aktywność  ograniczeń.  Z astosowan a
procedura  numerycznego  cał kowania  zł oż onych ukł adów  równ ań  nieliniowych  z  warun -
kam i  typu  „ 2 + 2 "  okazał a  się   w  peł ni  zadowalają ca  dla  liczby  100  kroków.  Obliczenia
przeprowadzono  n a  maszynie  cyfrowej  C YBER  72.  Czas  obliczeń  peł nego  kom pletu
funkcji  wynosi  ś rednio  okoł o 20  s. Warto  przy  okazji  zwrócić  uwagę , n a fakt,  że  postawion e
i  rozwią zane  w  pracy  zagadnienia  optymalizacji  odpowiadają   w  sformuł owaniu  dualn ym
poszukiwaniu  minimum  obję toś ci  przy  zadan ym  przemieszczeniu  zewnę trznego  brzegu
(zadanie  I)  lub  zadanej  wartoś ci  n orm y  intensywnoś ci  n aprę ż eń  (zadan ie I I ) .

P raca  stanowi  fragment  szerszego  studium n ad  efektywnoś cią   zastosowań  zasady  m ak-
simum  P ontriagina  do  optymalizacji  elementów  konstrukcji.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  M .  ATH AN S,  F ALB,  „Sterowanie  optymalne  W N T   W arszawa,  1966

2.  J.  C H E R N ,  W.  PRAG ER, „Optimal Design ofRotating  Disk for  Given Radial  Displacement of  Edge"  JOT'A,

6,  2,  1970.
3.  A.  G AJEWSKI,  „Optymalne  kształ towanie  wytrzymał oś ciowe  w przypadku  materiał ów  o  nieliniowoś ci  fi-

zycznej"  Z N   P oi.  K rak.  N r  5,  1975.

4".  M .  H U BE R ,  „Steromechanika  T echniczna"  P WN ,  Warszawa  1958.

5.  G .  LEITM AN N ,  „W prowadzenie do  teorii  sterowania optymalnego"  WN T ,  Warszawa  1971.

6.  J.  LI P K A,  „W ytrzymał oś ć  maszyn  wirnikowych"  WN T ,  Warszawa  1967.

7.  S.  POVJOMERIEW,  „W spół czesne  metody  obliczeń  wytrzymał oś ciowych  w  budowie  maszyn"  P WN ,  War-

szawa  1957.

8.  J.  RABOTN OW,  „Polzuczest  elementów  konstrukcji",  N au ka,  M oskwa  1966.

9.  M .  R AN TA,  „On  the optimum shape of  a rotating disk of  any isotropic material",  Inf.  7. Solids Struct. 5,1969.

P  e  3  K)  M  e

ITPH M EH EH H E  n P H H U H I I A  M AKCH M YM A  n O H T P flT H H A
K  On TH M AJlH 3AU ;H H   BPAIEAIOIII.H XOI  flH CKOB

B  nyGjiHKaiłHH   3aHHMaeMCH  pemeHHeiw 3afla*m  onTHManH3aiWH   # J I H  flM cna nepeiweimoił

paccn peflejieim a  TOBLEIUHBI flH CKa (KOH ^H rypai^H a) H3iweHHeTCJi B  rrpeflejiax  o r p a m m e m iił .

B  n epsoM  cjijrqae  paccMOTpeHa 3a# a*ia HaxoKjjeHHH  KOH<J>HrypaE(HH  cooSm aiom eH  oirnuvianBH oe  3H aqeim e

nepeiwemeH H io  BH eniH ero KOHTypa  H H C I O .  B O  BTopoM  cnywae  <})yHKmK>Haji Ka^ecTBa  HBiraeTCfl: HopMoft

B  npocrpaH CTBe V
2
  H H TCH CH BH OCTH   HanpHH<eHHH.  fljiH   pem eiaiH

npH H ijH n  MaKcHivtyMa



OPTYMALN E  KSZTAŁTOWANIE  DYSKÓW  WIRUJĄ CYCH   4T

S u m m a r y

OPTIM AL  D E SI G N   OF   R OTATI N G   D ISCS  BY  U SIN G   P ON TRIAG IN 'S P RIN CIP LE

In  the paper  two  problems  of  the  optimal  design  of  rotating  discs  have  been  considered.  F or each of
these tasks  the thickness  of  th e discs  was  bounded. In the first  case  the displacement  of  the extremal  edge
was  taken  as the objective  function.  In the second  case the norm in the L 2  sense  of  the stress  intensity. The
circular  discs  as  well  as  th e  ring  discs  were  considered.  The  solution  by  using  Pontriagin's  principle  was
obtained. This approach leads to the two- point boundary  problems which was solved by numerical methods.
Some  ilustrative  examples  are  given.

POLITECHNIKA  KRAKOWSKA

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  5  lutego 1978  r.