Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z1.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  17  (1979) ANALIZA  D RGAŃ  WAŁÓW  WIRUJĄ CYCH  OBCIĄ Ż ONYCH  S IŁAM I  OS IOWYM I WIESŁAW  O S T A C H O W I C Z ,  JANISŁAW  T A R N O W S K I  (GDAŃ SK) 1.  Wstę p Jedn ym  z  podstawowych  zadań  zwią zanych  z  analizą   wł asnoś ci  dynamicznych  wał ów i  wirników  jest  okreś lenie  czę stoś ci  drgań  wł asnych  ukł adu i  odpowiadają cych  im postaci. Jakkolwiek  zagadn ien ie  t o  był o  poruszon e  w  licznych  pracach  dotyczą cych  dynam iki wirników  [1, 4]  niem niej  problem  pozostaje  n adal  aktualn y  i jest  daleki  od  ostatecznego rozwią zania.  Powstają   coraz t o nowsze  i doskonalsze  m etody obliczeniowe, w  szczególnoś ci m etody  kom puterowe, pozwalają ce  n a  budowę   bardziej  zł oż onych modeli  obliczeniowych, lepiej  odwzorowują cych  ukł ady  rzeczwiste  aniż eli  m etody  dawniej  stosowane.  Spoś ród m etod  kom puterowych  do  analizy  dynam icznej  wał ów  i  wirników  najszerzej  są   stosowane m etody elementów skoń czon ych i m etody bazują ce  n a idei macierzy przeniesienia. N iniejsza praca  stanowi  kolejną   pró bę   rozwią zan ia  zagadn ien ia  drgań  wł asnych wał ów  napę dowych, w  szczególnoś ci  wał ów  okrę towych  oraz  wirników  róż n ego  rodzaju  maszyn  wirnikowych w  oparciu  o  m etodę   sztywnych  elementów  skoń czonych  [2].  Wybór  metody  został  po- dyktowan y  jej  szczególną   przydatn oś cią   do  obliczeń  dynamicznych  ukł adów  prę towych, d o  których  mię dzy  in n ym i  należą   wał y  i  wirniki. M odel  obliczeniowy  przyję ty  w  tej  m etodzie  pozwala  n a  uwzglę dnienie  szeregu  czyn- n ików  determinują cych  drgan ia  obrotowe  wirników  [6], których  nie  uwzglę dniają   metody prezen towan e  dotychczas  w  dostę pn ej  autorom  literaturze.  D otyczy  to  przede  wszystkim równoczesnego  uwzglę dnienia  efektów  giroskopowych  i  sił  osiowych  oraz przebadania ich wpł ywu  n a  czę stoś ci  wł asn e.  Waż ną   zaletą   zastosowanej  metody  sztywnych  elementów skoń czonych  jest  moż liwość  peł n ej,  ł ą cznie  z  przygotowaniem  danych,  automatyzacji obliczeń  co  wskazuje  n a  jej  zdecydowan ie  aplikacyjny  ch arakter. 2.  Modelowanie ukł adu  fizycznego P rzedm iotem analizy są  wał yiwirn iki wykonują ce  drgan ia  obrotowe, dowolnie uł oż ysko- wan e i obcią ż one sił am i osiowymi  (rys.  la ) . Wspom n ian a analiza dotyczy takich elementów konstrukcyjnych  ja k  wirn iki  turbin ,  sprę ż arek  p o m p ,  lin ii  wał ów  okrę towych  i  innych. Z akł ad a  się ,  że  wał   obraca  się   ze  stał ą   prę dkoś cią   ką tową   wokół   wł asnej  osi,  a  pon adto wykonuje  ruch precesyjny  wokół   osi  ł oż ysk.  N a wale  w  dowolnym  miejscu  mogą   być  osa- dzon e  sztywne  tarcze  odpowiadają ce  w  u kł adach rzeczywistych  n p.  okrę towej  ś rubie  n a- pę dowej  lub  też  tarczom  wirn ikowym  turbin y.  U tworzen ie  modelu  obliczeniowego  przy- 4  Mech.  Teoret.  i  S tos.  1/ 79 50 W .  OSTACH OWICZ,  J .  TARN OWSKI ję tego  ukł adu fizycznego  w  oparciu o m etodę  sztywnych  elementów skoń czon ych przebiega w dwóch etapach. W pierwszym  etapie dzielimy  wał  w sposób  pomyś lany  n a u— 1 odcinków 0  dł ugoś ci  Ali  (rys.  lb) .  Wł asnoś ci  sprę ż yste  każ dego  odcin ka  skupiam y  w  s'rodku  jego dł ugoś ci w  elementach sprę ż ystych  .(ES).  Elementy  sprę ż yste  są   nieważ kie,  bezwymiarowe 1  mają   charakterystyki  liniowe.  Pomię dzy  elementami  sprę ż ystymi  znajdują   się   odcinki wał u  traktowane  jako  sztywne  (zwane  sztywnymi  elem entam i  skoń czonymi —  SES). 'ESnri 'SES nr 1 Rys.  1.  Podział   wirnika  na sztywne  elementy  skoń czone  i elementy  sprę ż yste a) model fizyczny  ukł adu, b)  podział   pierwotny,  c) model  dyskretny W  ten sposób  w  drugim  etapie podział u otrzymuje  się   u sztywnych  elem entów skoń czo- nych  o  dł ugoś ci  Ah  poł ą czonych  ze  sobą   elem entam i  sprę ż ystymi  (rys.  lc ) .  Wł asnoś ci sprę ż yste  podpór  w  modelu  obliczeniowym  są   reprezen towan e  przez  elem enty  sprę ż yste ł ą czą ce  odpowiednie  sztywne  elementy  skoń czone  z  ostoją . D o  opisania  ruchu  przedstawionego  modelu  obliczeniowego  wprowadza  się   zwią zane z  każ dym  sztywnym  elementem  skoń czonym  i  z  każ dym  elementem  sprę ż ystym  n ieru- chome ukł ady odniesienia. Są  t o ukł ady ortokartezjań skie  pokrywają ce  się  w  stan ie równ o- wagi modelu w przypadku  SES z ich gł ównymi cen traln ym i osiami bezwł adnoś ci, n atom iast w  przypadku  elementów  sprę ż ystych  z  ich  gł ównymi  osiam i  deformacji.  G ł ówn e  osie AN ALIZA  DRGAŃ   WAŁÓW  WIRUJĄ CYCH 51 deformacji  ES  charakteryzują   się  tym ,  że sił y  i  pary  sił   dział ają ce  n a  ES  powodują   ich odkształ cenia  translacyjne  i  rotacyjne  zgodnie  z  kierun kam i  dział ania  tych  sił  i  par  sił . Z  uwagi  n a  ch arakter  rozpatrywan ych  drgań  przemieszczenia  r- tego  sztywnego  elementu skoń czonego  opisują   cztery  n iezależ ne  współ rzę dn e:  dwa  przemieszczenia  translacyjne  q, t i q T i   oraz  dwa  rotacyjne  g r3  i g, 4  (rys.  2). Wobec  tego  posiada  on  cztery  stopnie  swobody a  współ rzę dne  uogóln ion e  opisują ce  jego  poł oż enie  w  ukł adzie  lokalnym  tworzą   blok o  postaci (2.1)  q r  =  co lfaO .  a.  =   1, 2, 3, 4. Rys.  2.  Współ rzę dne  uogólnione  SES Każ dy  SES  okreś lony  jest  blokiem  współ czynników  bezwł adnoś ci.  Ze  wzglę du  n a  t o , że  osie  x ri ,  x T i , x, 3  są  gł ówn ym i  cen traln ym i  osiam i  bezwł adnoś ci  blok  ten jest  macierzą diagon aln ą   o  postaci (2.2)  m t  = d i a g K J ,  a =   1, 2, 3, 4, gdzie  m fi   i m r%   oznaczają   m asę   r- tego  sztywnego  elementu  skoń czonego,  m tz  i m u   —  ma- sowe  m om enty  bezwł adnoś ci  wzglę dem  osi x T i   i x r2   (rys.  2).  v Każ dy  EST  okreś lony  jest  blokiem  współ czynników  sztywnoś ci.  P onieważ  zał oż on o, że  osie  y kl ,  y k2   są  gł ównymi  osiam i  deformacji  EST  bloki  te są  macierzami  diagonalnymi i  posiadają   p o st ać : (2.3)  Q  =  d i a g[ C J 5  a  = 1 , 2 , 3 , 4 . Pierwsze  dwa  wyrazy  diagon aln e  tego  bloku  są  współ czynnikami  sztywnoś ci  n a ś cinanie, pozostał e  dwa  współ czyn n ikam i  sztywnoś ci  n a  zginanie.  Sposób  wyznaczenia  tych  współ - czynników  p o d an o  w  pracach  [2, 5, 6]. 3.  Model matematyczny R ówn an ia  ruchu  wyprowadza  się  w oparciu  o równ an ia  Lagran ge'a  drugiego  rodzaju dt\ d qa j- - dq a gdzie  T   oznacza  energię   kinetyczną   ukł adu,  q a  — współ rzę dne  uogólnione,  Q a —sił y uogóln ion e,  t —  czas,  n—jest  liczbą   stopn i  swobody  ukł adu. 4 * 52  W.  OSTACH OWICZ,  J.  TARN OWSKI Ponieważ  każ dy  sztywny  element  skoń czony  ma  cztery  stopnie  swobody,  ruch  r- tego  SES opisują  cztery  równania  (3.1) a dla  cał ego ukł adu należy  uł oż yć 4 u tych  równań.  Energię kinetyczną  ukł adu  okreś la  zwią zek (3.2)  T =- j r = l Równanie  (3.2)  w zapisie  macierzowym  przyjmuje  postać (3.3)  T = 2 - qT - M - q, gdzie  M   jest  macierzą  współ czynników  bezwł adnoś ci  skł adają cą  się z  bloków  m r   (2.2) ( 3. 4)  M   =   d i a g{jfi i ,  m 2 ,  • • - ,  m r ,  . . .  m „ _ i ,  nt„}, a  q jest  wektorem  prę dkoś ci  uogólnionych  ukł adu (3.5)  j  =   c o l {£ 1 ?  j 2 .  • • • ,  ku- i.,  ku}- Zakł ada  się, że  na  ukł ad oprócz  sił  potencjalnych  dział ają  jeszcze  sił y  niepotencjalne.  Sił ę uogólnioną  Q a  zapisujemy  w postaci  sumy  trzech  skł adników dV (3.6)  Qa=~—+r a +Q*,  o = .1,2,  ...,«, gdzie  V oznacza  energię  potencjalną  ukł adu, F a  —  sił y  giroskopowe,  Q*  inne  sił y  nie- potencjalne  (poza  giroskopowymi). Przyjmuje  się,  że energia  potencjalna  jest  funkcją  jedynie  współ rzę dnych  uogólnionych (nie  zależy  jawnie  od czasu) Energia  potencjalna  ukł adu jest  jednorodną  formą  kwadratową (3.7)  K = i q T - K - q, gdzie  K jest  macierzą  sztywnoś ci  [2], q wektorem  współ rzę dnych  uogólnionych  ukł adu. W  rozważ anym  modelu  matematycznym  energia  potencjalna  reprezentuje  energię  elemen- tów  sprę ż ystych. Sił y giroskopowe  wyznaczymy  wychodząc  z zasady  zachowania  krę tu.  Ruch  dowolnego elementu  wał u  wykonują cego  drgania  obrotowe,  moż na  z  pun ktu  widzenia  dynamiki brył y,  traktować jako  ruch  ciał a  sztywnego  wzglę dem  punktu  nieruchomego.  D la  przyk- ł adu  rozpatrzymy  ruch  sztywnego  elementu  skoń czonego  w  kształ cie  tarczy,  reprezentu- ją cego  n p.  okrę tową  ś rubę  napę dową  lub  tarczę  ł opatkową  wirnika  turbiny.  P un kt  prze- cię cia  się stycznej  do odkształ conej osi  wał u w miejscu  zamocowania  tarczy,  z osią  ł oż ysk jest w ukł adzie /- - tego  SES punktem  nieruchomym O t   (rys.  3)  wzglę dem  którego  odbywa się ruch tarczy.  Poł oż enie tarczy  w ukł adzie x tl ,  x ri ,  x r ^ ,  jest  okreś lone  przez  ką ty  Eulera, a  mianowicie: f  —  kąt  precesji, § —  kąt nutacji ię  —  kąt  obrotu wł asnego. Z adan ie spro- wadza  się  do  wyznaczenia  momentów  giroskopowych  dział ają cych  w kierunku  zgodnym z  przyję tymi  współ rzę dnymi  rotacyjnymi  q^ '( q rĄ ,  okreś lonymi  w tym  przypadku  przez ką ty  a i /?. AN ALIZA  DRGAŃ   WAŁ ÓW  WIRUJĄ CYCH 53 W  tym  celu  wprowadzamy  zwią zany  z  tarczą  ruchomy  ukł ad  odniesienia  fr,  £ .,  r\ r.  P o- nieważ interesują  n as jedynie  przemieszczenia  rotacyjne, zatem moż emy przyją ć,  że  obydwa ukł ady  odniesienia,  ruchomy  i  nieruchomy,  mają  wspólny  począ tek  w  ś rodku  tarczy  0. Wychodząc  z  prawa  zachowania  krę tu,  wyznaczamy  momenty  dział ają ce  na  tarczę  ze znanego  wzoru _ ,  dH  , .  _ (3.8)  M = - ^ - + o ) X f f, gdzie  H  jest  krę tem  tarczy  a  co jej  prę dkoś cią  ką tową. tir Rys.  3.  Wirują cy  element  wał u  w  ruchomym  £ r , rjr,  f,  i  nieruchomym  xn,  xr2,  x,3  ukł adzie  odniesienia Rzutując  moment  krę tu  na  osie  ukł adu ruchomego5  otrzymujemy  nastę pują ce  zależ noś ci: (3.9)  M nr   = Wystę pują ce  we  wzorze  (3.9)  skł adowe  wektora  krę tu  wyznacza  się  przy  pomocy  wzorów H ir   =   7 O r  •   oy(r (3.10) gdzie  I or   jest masowym  momentem bezwł adnoś ci wzglę dem  osi przechodzą cej  przez  ś rodek tarczy  a / *, masowym  momentem bezwł adnoś ci wzglę dem  ś rednicy  tarczy.  Skł adowe prę d- koś ci  ką towej  wzglę dem  osi  g r ,r] r ,  £ .  są  równe (3.11) w nr   - »  - 54  W.  OSTACH OWICZ,  J.  TARN OWSKI P o  uwzglę dnieniu  równań  (3.10) i  (3.11)  zależ ność  (3.9)  przyjmuje  postać M   I( M n ,  =  - I Xr - jr{j>si Prę dkość ką towa w ir   odpowiada prę dkoś ci ką towej  Q  obrotów  wł asnych wał u i jest z zał o- ż enia  stał a (3.13)  o) ir  = Q  —  v>cos# + c> m con st. Podstawiają c  zależ ność  (3.13)  do  (3.12)  otrzymujemy  wyraż enia (3.14)  M nr  =   - I Xr (y>sin&+2f4cos'ff)+I 0r Q4 Transformacja  opisanych  wzorem  (3.14)  momentów do ukł adu  nieruchomego odbywa się przy  wykorzystaniu  nastę pują cych  relacji  [3] M Xn   m M ^  '  M Xn   =  M gdzie  przez  M x „ i  M Xr]   oznaczono momenty  dział ają ce  odpowiednio  wokół  osi x r2   i  x ri (rys. 3). Pomię dzy  ką tami  a  i  /? okreś lają cymi  chwilowe  poł oż enie tarczy  w  ukł adzie  nieru- chomym  x ri   i ^, 2, x r3   a ką tami  f  i  • &  opisują cymi  chwilowe  poł oż enie tarczy  w ukł adzie ruchomym  | r ,  rjr,  Cr zachodzą   relacje  [3] tg « = ^  '   )  tg/ 3 =  t g#  •   sin y Ponieważ  rozpatrujemy  mał e  drgania  wał u, przeto jedynie  ką ty  y  i    =   c o l( l, y%\   y$,  ..., y<°)»  (z =   1, 2,  ..., 2ń ) m oż na  zbudować  m acierz  m ódaln ą   o  postaci 1  1  ...  1 (4.6) H . y(2«) - 58  W.  OSTAC H OWI C Z ,  J.  TARN OWSKI Ostatecznie,  rozwią zanie  równania  (4.2)  moż na  zapisać  w  postaci (4.7)  q -   H e"'p .gdzie: (4.8)  e *  =   diag(e"»',  t**\   ..., e"^ ), oraz (4.9)  •   p =  col^ 1 J 2 ,...,^ 2 „), jest  wektorem  o skł adowych,  które  wyznacza  się   z przyję tych  dla  rozwią zywanego  przy- padku  warunków  począ tkowych. .  5. P rogram  obliczeń Program  obliczeń  drgań  obrotowych  wał ów  i  wirników  n apisan o  w ję zyku  F O R T - RAN   IV i uruchomiono n a  komputerze  ICL- 70. P rogram  realizuje  trzy  zasadnicze  etapy obliczeń 1)  generowanie  parametrów  modelu  obliczeniowego  n a podstawie  danych  o  geometrii ukł adu  i  stał ych materiał owych, 2)  budowa  macierzy  charakterystycznych  ukł adu, 3)  obliczenie  drgań  swobodnych. Szczególną   uwagę   zwrócono n a  proces przygotowania  danych i kon trolę  ich  poprawn oś ci. Automatyzacja  tej fazy  obliczeń zwię ksza efektywność  korzystania  z program u,  przyczynia- ją c  się   do  wzrostu  jego  praktycznego  znaczenia.  P rzykł adowo, liczba  danych  opisują cych linię  wał ów na statku  o przecię tnej dł ugoś ci z 450 w przypadku  przygotowania  „ rę czn ego", zmniejsza  się  do  okoł o  80  przy  przygotowaniu  autom atycznym . P rogram  korzysta  z  pomocniczej  pamię ci  zewnę trznej  w postaci  dysku  magnetycznego, co  umoż liwia  wykonywanie  szeregu  operacji  n a  fragmentach  macierzy,  sukcesywnie  ś cią- ganych  z dysku.  P rogram  zajmuje  150  kB  pamię ci  operacyjnej  i  pozwala  n a  obliczanie ukł adów,  których  macierze  charakterystyczne  zawierają   do  12000  elementów. 6.  P rzykł ad  obliczeń Wykonano  obliczenia drgań obrotowych wrinika  przedstawionego  n a rys. 4a. G eom etrię wirnika  opisano w tablicy  1. Wirnik jest wykonany  ze stali  o nastę pują cych  stał ych m ateria- ł owych —  m oduł   Younga  E =   2.1 •   106  [kG / cm 2] —  moduł   Kirchoffa  G =   0.83 •   106  [kG / cm 2] —  cię ż ar  wł aś ciwy  =   0.78  •   10"2  [kG / cm 3] Wirnik  podzielono  n a  10  sztywnych  elementów  skoń czonych i l l  elementów  sprę ż ystych (ł ą cznie  z  ES  reprezentują cymi  sztywnoś ci  podpór).  Wartoś ci  liczbowe  param etrów modelu  obliczeniowego  zamieszczono  w  tablicach  2 i 3. W  tablicy  3 przez r i p oznaczono numery SES pomię dzy którym i znajduje  się  &- ty ES, przez c kl  i c k2  oznaczono współ czynniki sztywnoś ci  wał u  n a  ś cinanie,  przez  c k3   i c H   współ czynniki  sztywnoś ci  wał u  n a  zginanie R ys.  4.  Wirnik  podparty  n a  dwóch  po dpo rach : a)  schemat  ukł adu,  b)  postać  drgań  1 stopnia, c)  postać drgań  2  stopn ia co "10 0  12  3  4  5  6  7  8  P*W [N ] R ys.  5.  Z ależ ność  czę stoś ci  drgań  wł asnych  wirnika  co  od  wartoś ci  sił y  osiowej  P  i  liczby  obrotów  n [59] Tablica  1 N r odcinka wał u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ś rednica  [mm] zewnę trzna 51 102 203 66 72 66 185 102 102 wewnę trzna S I O O O O O O O O D ł ugość [mm] 630 290 330 1250 1298 1250 112 232 170 Tablica  2 N r SES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Masa [kg] 0.4994 2.3547 9.3476 1.6615 1.7737 1.9775 1.8960 1.6615 3.5168 1.7227 Masowy  moment bezwł adność [kgm2] 0.04077 0.57084 1.69215 0.51987 0.57084 0.62181 0.58103 0.51987 1.15188 0.16309 Tablica  3 r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 8 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 8 C a XlO - 1 0 c „ 2 xl 0 - 1 0 [N/ m] 0.0274 0.1442 0.0488 0.0459 0.0534 0.0547 0.0481 0.0459 0.0718 0.0429 0.0407 0.0627 0.0472 fits  x 10- 1 0 c t 4 x l 0 - 1 0 [N m/ rad] 0.1130 1.5646 0.3383 0.3168 0.4259 0.4488 0.3444 0.3168 0.7321 0.8589 0.5156 0.9547 0.6130 Srk [cm] 15.1 20.8 40.7 30.3 29.0 30.3 31.2 30.3 16.9 3.3 15.9 [cm] - 39.8 - 19.8 - 30.3 - 3 1 . 5. - 30.3 - 29.4 - 30.3 - 43.7 - 11.8 — [60] AN ALIZA  DRGAŃ   WAŁÓW  WIRUJĄ CYCH 61 a  przez  s rk   i s pk   ozn aczon o  współ rzę dne  zam ocowan ia  A:- tego  ES w lokalnym  ukł adzie  od- niesienia  odpowiedn io  M ego  ip- tego  SES. W dwóch  ostatn ich wierszach  tablicy  3  podan o współ czyniki  sztywnoś ci  p o d p ó r  oraz  n um ery  SES  (/•  =  p) do  których  są   one  doł ą czone. W  rezultacie  przeprowadzon ych  obliczeń  przebadan o  wpł yw  sił  osiowych  i  efektów ż yroskopowych,  dział ają cych  ł ą cznie,  n a  czę stoś ci  drgań  obrotowych  wirnika.  Wyniki obliczeń  przedstawion o  w formie  graficznej  n a rys. 5. D odatkowo  w tablicy  4  zestawiono czę stoś ci  drgań  wł asnych  wirn ika  obliczone  dla wybran ych  prę dkoś ci  obrotowych  wirnika i  róż nych  wartoś ci  sił  osiowych.  N ależy  zaznaczyć, że obliczenia  wykonano  przy zał oż eniu wystę powania  jedyn ie  precesji  współ bież nej.  D wie  pierwsze  postacie  drgań  wirnika  (dla n  =  0)  pokazan o  n a  rys. 4. Tablica 4 ""\   r °br i ^ \   n  —7- ^ \ _  L  min  J P xlO - *[ N]  ^ - . 0 1 3 5 10 12 13 13.5 Postać drgań I I I I II 1 II I I I I II I II I II I I I 0 652.36 839.27 634.42 818.49 589.48 775.21 538.64 729.05 378.80 583.65 274.08 505.75 206.86 461.61 153.19 434.99 500 681.52 878.95 662.35 856.92 615.36 811.72 562.35 763.29 395.48 611.05 286.14 529.50 209.08 467.02 159.94 455.41 1500 696.34 898.38 677.24 876.14 629.20 829.82 574.99 780.40 404.37 624.75 292.58 541.37 220.82 494.12 163.53 465.71 5000 707.82 913.16 688.42 890.55 639.58 843.46 584.48 793.24 411.05 635.03 297.40 550.27 224.46 502.25 167.29 472.31 10000 730.86 942.72 710.76 919.38 660.34 870.77 603.45 818.91 424.38 655.58 307.05 568.09 231.75 518.51 171.68 488,69 Bibliografia 1, J.  JEN SEN , F .  N IORD SON . P.  PEOERSEN  — Autor andkwick index on  rotor dynamicies.T UlAM  Symposium on  R otor  D ynamics,  Lyngby,  D enmark, 1974. 2.  J.  KRU SZEWSKI,  W.  G AWROŃ SKI,  E.  WITTBROD T,  F .  N AJBAR,  S.  G RABOWSKI,  Metoda  sztywnych ele- mentów skoń czonych. Arkady, 1975. 62  W.  OSTACH OWICZ,  J.  TARN OWSKI 3.  K.  M AG N U S,  Giroskop — tieoria i primienienije,  Izd. M ir, Moskwa  1974. 4.  A.  MUSZYŃ SKA,  Z  zagadnień  dynamiki  wirników,  Prace  IP P T  N r  14, 1971. 5.  W.  OSTACHOWICZ, Dyskretny model obliczania  drgań wł asnych i statecznoś ci prę tów osiowo  obcią ż onych o  dowolnie  zmiennym przekroju.  Mech.  Teor.  i  Stosów.,  3,  13 1975. 6.  J.  TARN OWSKI,  Zastosowanie  metody sztywnych elementów  skoń czonych do obliczeń drgań wał ów  okrę - towych  z  uwzglę dnieniem  efektów giroskopowych,  Rozprawy  Inż ynierskie,  Vol.  22, N r 3, 1974. 7.  K. K.  G U P TA,  On a combined Sturm  sequence  and inverse  iteration technique for  eigenproblem  solution of  spinning  structures,  I n t. J.  N um. M eth.  Engng,  7, 1973. P  e 3 K>  M e AH AJI H 3  KOJIEBAH H fl  BPAmAIOU JH XCa  BAJIOB  H ATPy>KEH LIX OCEBLIM H   CH JIAM H B  paBoTe  npe# cTaBJieHO  BjntóniHe rcfpocKoriH raecKH x a ^ e i * 1 0 1 3  H  oceBBix  CH JI iia co6cTBeHHJ>ie  K O - BanoB  H  poTopoB.  H a ocHOBe  iweTOfla  H tecruH x  KOHe^HBrx  ajieMCHTOB  npHHHTo BbraHCJiHTejit- H yio  MOfleJiB.  PaSoTy  MxtjnocTpKpyeT  KOHKpeTHbift  npH iwep.  M eT o a  pa3pa6oTaH   c  TOTKH   3peHHH  npHiwe- HeHHH   naop- TpaH  I V. » S u m m a r y AN ALYSIS  OF  VIBRATION S  OF   R OTATI N G   SH AF TS  LOAD ED   BY  AXIAL  F OR C E S The  influence  of  giroscopic  effects  and axial  forces,  acting  simultaneously  on natural  frequencies  of shafts  has  been  examined. The stiff  finite  element model has been  used.  N umerical results  are presented  for representative  struc- tures,  solved  by  the  computer  program  written  in  F ORTRAN   IV  for  the  ICL- 70  computer. P OLI TEC H N I KA  G DAŃ SKA IN STYTU T JMECH AN IKI I  POD STAW  KON STR U KC JI M ASZ YN Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 20  lutego 1978 r.