Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z1.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 17 (1979) OPTYMALIZACJA  PIERŚ CIENI  SZTYWNO — PLASTYCZNYCH   Z  WIĘ ZAMI GEOMETRYCZNYMI AN D R Z E J  G   A  W  Ę  C K  I ,  AN D R Z E J  G A R S T E C K I  (P OZ N AŃ ) 1.  Wprowadzenie Celem  niniejszej  pracy  jest  okreś lenie  kształ tu  optymalnych,  idealnie  plastycznych' pierś cieni  koł owych  obcią ż onych  dwom a  równoważ ą cymi  się   sił ami  ś rednicowymi  o  war- toś ci  2P  (rys.  1). P rojekty  pierś cieni  uzyskan o  w  oparciu  o  teorię  noś noś ci  granicznej  sto- sują c  wył ą cznie  podejś cie  statyczn e.  N a  kształ t  kon strukcji  optymalnej  n ał oż ono  wię zy geometryczne  polegają ce  n a  tym ,  że  przekrój  poprzeczny  pierś cienia  w  obrę bie  danego d) Rys.  1 ką ta  y  m a  być  stał y.  P o do bn e  zadan ie,  w  którym  zał oż on o,  że  przekrój  nie  może  być mniejszy  od  pewnej, z  góry  okreś lonej  wartoś ci,  rozwią zał   W.  P rager  [1].  Autor  ten  roz- waż ał   pierś cień  o  przekroju  idealn ym  dwuteowym  (sandwiczowym)  a  projekt  optymalny uzyskał   w  oparciu  o  kin em atyczn e  kryterium  sformuł owane  w  pracy  [2].  P orówn an ie rezultatów  niniejszej  pracy  z  rezultatam i uzyskan ym i  przez  W.  P ragera  m a  dać  odpowiedź n a  pytan ie,  ja k  dalece  róż n ica  w  sposobie  sformuł owania  ograniczeń  geometrycznych w  obu  zadan iach  wpł ywa  n a  ostateczny  kształ t  konstrukcji  optymalnej  i  na  wł asnoś ci rozwią zania. 2.  Sił y  wewnę trzne W  celu  uzyskan ia  wzorów  n a  sił y  wewnę trzne  wykorzystamy  symetrię   zadan ia  i  rów- n an ia  równowagi  (rys.  1). Z  sym etrii  wynika, że  V o   =   V 6   a z równ ań  równowagi  sił  m am y Vt> =   V 6   =   V 3   — P  oraz  H o   =   H 3   =   H 9   =   0.  Wobec  powyż szego  sił y  n orm aln e  i  p o p - •   1 }  Pracę   wykonano  w  ramach  problemu  wę zł owego  05.12,  koordynowanego  przez  IP P T  P AN . 64  A.  G AWĘ CKI,  A.  G ARSTECKI rzeczne  moż na  obliczyć  korzystają c  tylko  z  równań  równowagi.  Wzór  n a  m om en t  zgina- ją cy  otrzymujemy  z  równania  równowagi  momentów  (rys.  I d ) . W  wyraż eniu  tym  wystę - puje  moment  zginają cy  w  punkcie  3,  którego  wartość  uzależ niona  jest  od  wł asnoś ci  fi- zycznych  materiał u i od przekroju  pierś cienia jako  funkcji  ką ta  a.  Komplet wzorów  n a sił y wewnę trzne  dla  0  <  a  <  —  przedstawiają   równania  (2.1): (2.1) T {a)  =  Psina N ( (M , JV;M p, iVp)< 0. Indeks „p"  oznacza graniczne wartoś ci  sił  wewnę trznych  a funkcja  0  przedstawia  zależ ność graniczną .  W  obrę bie  ką ta  y  funkcja  0  <  0, a  w pozostał ych czę ś ciach  pierś cienia    0,  N   >  0 ,  jeś li  M  <  0,  JV >  0, Z ależ ność  (3.3) wykorzystam y  wpierw  d o wyznaczenia raomentowŁgranicznych w punkcie 1 (M  >  0, JV >  0)  i  w  pun kcie  2  (M  <  0, N   >  0) : (3.4) IM P1   = \ M p2   = IM P1   =  M p (fi)  ==   - M =   M p3 - PR(l- H)cos(p+y) M om en ty  graniczne  i l/ p l  i  M p2  są   sobie  równe, gdyż z  uwagi  n a  zał oż oną  cią gł ość  funkcji pola  przekroju;  okreś lają   stał y  przekrój  pierś cienia  w  obrę bie  ką ta  y.  Wykorzystują c  ten fakt,  z  zależ noś ci  (3.4)  obliczam y  m om en t  graniczny  w  punkcie  3,  M p3 ,  oraz  m om ent graniczny  odpowiadają cy  stał em u przekrojowi  pierś cienia  M s   =   M pl   =   M g2 : (3.5)  Afp3  =   - Ms+PR(l+H)cosp  -   M s+PR(l- H)cos(fi+y)  » =  ~^[(l+ ir)cos/ 3+ (l~i7)cos^+ y)]. (3.6) M s   =  ^ - nFunkcję  momentów granicznych  dla  0  <  a <  ~  wyznaczono z zależ noś ci  (3.3)  i  rów- nań  równowagi (2.2). Uwzglę dniając fakt, że na  odcinku 0 - l M > 0 i i V > 0 a na  odcinku 2 - 3 M < 0 i i V >0  oraz wykorzystują c  równania'(3.5)  otrzymujemy: 5  Mech.  Teoret.  i  Stos.  1/79 66 A.  G AWĘ C K I,  A.  G AR ST E C K I (3 . 7 ) M p(a)  = M s + P i ? ( l - # ) [ c o s Q ? + y ) - c o s a ], 0 < a < 0 R ównania  (3.6)  i  (3.7)  stanowią   pun kt  wyjś cia  w  poszukiwan iu  rodziny  optym aln ych projektów  pierś cienia z róż nymi wię zami  geometrycznymi. Obję tość  m ateriał u  pół ek  przekroju  wyn osi: V  =  2R j  A(a)da. Podstawiają c  w  powyż szym  wzorze  wedł ug  zależ noś ci  ( 3.2) 2,  że  / I(cc) = M p (u) 2Ha„ otrzymamy (3.8) AR »r/ 2 APR 1 J I / 2 gdzie  fl(a)  =   -   „ n   =   p  ^l(a)  oznacza  bezwymiarowe  pole  przekroju  pół ki a u  bez- wymiarową   obję tość  ć wiartki  pierś cienia. W  przypadku,  gdy  wię zem  geometrycznym  jest  ką t  y,  bezwymiarowe  pole  przekroju pół ki  o(a) wyznacza  się   z równań  (3.7), podstawiają c  w n ich w  miejsce  M,  zależ ność  (3.6): (l+ fl)cos«- 4" 0  <  a (3.9)  a( a)  = Bezwymiarową   obję tość  v  wystę pują cą   w  zależ noś ci  (3.8)  otrzym an o  cał kują c  pole przekroju  ct(a)  okreś lone wzorami  (3.9): (3.10)  v(p >7 )  = P roblem  optymalizacji  m oż na  sformuł ować  dwojako: —  Z adan ie  pierwotn e:  . D an e  jest  obcią ż enie  graniczne  2P ,  znaleźć  taki  rozkł ad  m ateriał u,  by  obję tość V  osią gała  wartość  m inim alną . —  Z adan ie  d u aln e: D an a jest  obję tość  m ateriał u V, znaleźć  taki  rozkł ad m ateriał u,  by  obcią ż enie  gra- niczne  2P  osią gało  wartość  maksymalną .  •   . O P T YM ALN E  P R OJE K TOWAN I E  P LASTYC Z N E  P I ER Ś C I ENI  67 Omówimy  obecnie  rozwią zania  zadan ia  pierwotnego.  M inim um  funkcji  v(P,y) bez wię zów n ał oż on ych n a  ką t  y jest m in im um globalnym .  M in im um to uzyskano  dla  war- toś ci  Po  i  yo  obliczonych  z  warun ków  zn ikan ia  pierwszych  pochodnych  funkcji  v(p,  y) wzglę dem  y  i / ?: —  U 9 (3.11) =   0. Z  pierwszego  z  równ ań  (3.11)  otrzymujemy,  że (3.12)  P+y  =   - -̂   lub  / ?+ y  =   0. Wstawiają c  (3.12)x  d o  (3.11) 2  lub  (3.12)2  do  (3.11) 2  dostajemy (3.13)  P =  - J  lub  p  =  0. Pierwsza  poch odn a  funkcji  z>  jest  wię c  równ a  zeru  dla  dwóch  par  wartoś ci  ką tów  p  i  y: (3.14)  p" =   ~ ,  y  =   0  oraz  P  =   0,  y  =  - ^-. T  ,•   J  *  •   .  52©   82v  d2v  , Jezeh  podstawimy,-   ze  - —  ̂ =   j ,  - ^——-  =   q,  —^   =   r,  to  o  wyborze  pun ktu, w  którym  funkcja  dwóch  zm iennych  osią ga  ekstrem um  decyduje  wyraż enie  A  =   sr—q2 (por.  [3]  str  412).  Jeś li  A  >  0,  t o  funkcja  v(P,  y)  w  punkcie  (P o ,  y0 )  m a  maksimum,  gdy s  <  0  a  m in im um , gdy  J  >  0.  Jeś li  A  <  0, t o v(p,  y) n ie m a an i m aksim um  an i  minimum. W  rozważ anym  przypadku  m am y: (3.15) s  = r  = 8y 2 8 2 v 8ydp 8 2 v lip2 Ł atwo  sprawdzić,  że  tylko  dla  p 0   =  - j-  i  y 0  =   0  są   speł nione  warunki  m inim um  funkcji v(P,  y). I dentyczn y wyn ik  uzyskał  W.  P rager  [1]. P oszukiwanie  projektów  optym aln ych  przy  wię zach  n ał oż on ych na  ką t  y  jest  o  wiele bardziej  pracoch ł on n e.  P un kty  odpowiadają ce  optym aln ym  wartoś ciom  ką ta  P dla  ustalo- n ych  wartoś ci  ką ta  y  otrzym an o  stosują c  m etodę   przekrojów.  Wyniki  obliczeń  ilustrują rysun ki  4 - 7.  Obliczenia  n um eryczn e  wykon an o  dla  stosunku  wysokoś ci  przekroju  do ś rednicy  pierś cienia  wynoszą cego  HjR  =   0,10.  Interesują ce  jest,  że  dla  y  =  yk  = 45,461° otrzym an o  dwa  równ owartoś ciowe  rozwią zania  optym aln e,  a  mianowicie  dla  p O i  =  5,45° i  dla  p o2   =   0°.  (por.  rys.  4.5). N a  rysun ku  6 przedstawion o  zależ ność  pola  przekroju  pół ki od  ką ta  a  dla  tych  rozwią zań.  D la  ką tów  y  >  Yk optym aln e  projekty  odpowiadają   stał ej wartoś ci  ką ta  p o   =   0. P= const, H=H/R=0,10 I I I 1,100 WOO ­0.900 -0.800 -0700 -0,600 0,500 '  0°  WW  15° 20° 25°  30° 35° 10° 15°  60°  75° ~  fi  90' Rys.  4 0,500 00 5° 10° 15° 20' 25° 30" 35" 15" 15°' Rys.  5 [68] O P T YM AL N E  P R O JE K T O WAN I E  P LASTYC Z N E  P I E R Ś C I E NI 69 Ilustracją   wyników  zadan ia  dualn ego,  to jest  zadan ia  maksymalizacji  obcią ż enia  gra- nicznego  przy  stał ej  obję toś ci  m ateriał u  pół ek, jest  rysun ek  7.  Przedstawia  on  zależ ność obcią ż enia  granicznego  dla  rozwią zań  optym aln ych  od  wartoś ci  ką ta  y.  Sił a  P c   zaznaczo- n a  n a  rys.  7  odpowiada  obcią ż eniu  granicznem u  pierś cienia  o  stał ym  przekroju,  którego obję tość  jest  t aka  sam a  ja k  obję tość  pierś cieni  optym aln ych. 0.9 08 0.7 0.6 as 0.4 03 0.2 OJ 0 a(ac) ,P= const, H = 0,10 k = 45,461° = 0,60035 yh \ 5.45° 15,1B1" 5" 10" 15" 30° 45° Rys.  6 60° 75° OT  90° ZO 1,69 1.0 ń P/ Po — - — — : — . H'0,10 V=const. ~  " — • — I I i I I I \ 45,461° i  ii  i  i  i 15° 30" 45° 60° Rys.  7 75° 30° P owrócim y  jeszcze  do  zadan ia  sformuł owanego  przez  W.  P ragera.  Z adan ie  t o  polega n a  znalezieniu  optym aln ych  ką tów  /So i  Yo minimalizują cych  obję tość  w  zadan iu  pierwot- n ym  lub  maksymalizują cych  obcią ż enie  graniczne w zadan iu  dualnym, przy  czym m om ent graniczny  w  obrę bie  cał ego  pierś cienia  n ie  powinien  być  mniejszy  od  danej  z  góry  war- toś ci  M s .  Omówimy  bliż ej  zadan ie  pierwotn e  stosują c  n adal  podejś cie  statyczne.  Wyjś cio- we  równ an ia  (3.7) i  (3.6) zapiszemy  wpierw  w postaci  bezwymiarowej. 70 A.  G AWĘ CKI,  A.  G ARSTECKI (3.16) a(  dostajemy (3.20) lub lub y A "Badając  wszystkie kombinacje  / 30 i  «o  okazuje  się,  że  tylko  jed n a  speł nia warun ki  zadan ia, 1  n  1 a  mianowicie  /So =  —X  i  E 0 =   - y  - -  yA.  P onieważ  e 0  =   i^o+ yo.  rozwią zanie  optym aln e O P T YM AL N E  P R O JE K T O WAN I E  P LASTYC Z N E  P I E R Ś C I E NI 71 charakteryzuje  waru n ek: (3.21) Warun ek  ten  uzyskał   równ ież  W.  P rager  n a  innej  drodze  [1]. P rostą   (3.21)  zaznaczono n a rys.  5 linią   przerywaną . T ablica  1 y > ymin 1.  y  =   19,88° (So  =   34,17° «o  =   0,534962 m,o  =  0,190871 3.  y  -   60° /?o  =   O° v 0   =   0,62555 m s0   =   0, 32500 M p  >  M, 2.  y 0  -   19,88* Po  =   35,06° a 0  =   0,535090 m,  =  0, 191634 4.  y o =  43° /Jo  =   23,5° v 0   =   0,60785 / «s  =   0,32500 Jak  widać  oba  rozważ ane  zad an ia:  przy  n ał oż en iu wię zów  n a  ką t  y  oraz  wię zów  n a m in im aln y  przekrój  pierś cienia  prowadzą   do  róż nych  optym alnych  ką tów  / So,  okreś lają- cych  usytuowanie  odcin ka  sztywnego  o  stał ym  przekroju.  D odać  należ y,  że  rozwią zania optym aln e  obu  zadań  przy  zał oż en iu  tej  samej  noś noś ci  granicznej  pierś cienia  wykazują niewielkie  róż nice  w  obję toś ci  m ateriał u  a  n iejedn okrotn ie  bardzo  duże  róż nice, jeż eli chodzi  o  konfigurację   przekroju  n a  obwodzie  pierś cienia.  W  Tablicy  1 podan o  wartoś ci liczbowe  charakteryzują ce  cztery  rozwią zania  optym aln e  zadania  pierwotnego  dla  obu postaci  form uł owania  wię zów  geometrycznych.  Warto  zwrócić  uwagę   n a  t o ,  że  w  obu zadan iach  obję tość jest  m on oton iczn ą  funkcją   wartoś ci  ograniczeń  (y,  m s ).  Oznacza to, że optim um  wypada  n a  brzegu  obszaru  dopuszczalnego  wyznaczonego  nał oż onymi wię zami geometrycznymi. 4.  P ierś cień  o  przekroju  prostoką tn ym P rzedstawimy  tutaj jedyn ie  zasadnicze  wyniki  charakteryzują ce  rozwią zania  optymalne przy wię zach n ał oż on ych n a ką t  y.  D la przekroju  prostoką tn ego zależ ność graniczna skł ada się   z  dwóch  gał ę zi paraboli  I I  stopn ia  (rys.  8): (4.1) M„ N - 1  =   0. Wzory  n a  funkcję   zm ian y  przekroju  i  obję tość  pierś cienia  uzyskano  w  analogiczny  sposób ja k  dla  pierś cienia  o przekroju  sandwiczowym.  I stotn a róż n ica polega  n a tym , że zależ ność mię dzy  obję toś cią   a  obcią ż eniem  granicznym jest  teraz  nieliniowa. 72 A.  G AWĘ CKI,  A.  G ARSTECKI Przyjmują c,  że  szerokość  przekroju  B jest  stał a, funkcję  wysokoś ci  przekroju  obliczono za  pomocą  nastę pują cego  wzoru: (4. 2) cos i  V'2 '• a+—- [cosa~C(p,p,y)]\   , •   =   PI(4BRa p ),  h(x)  m  H(a)/ (2pJi). i Rys.  8 Obję tość  pierś cienia  obliczono  z  zależ noś ci n/a (4.3)  H > , P\  y)  =   2£ J? J  H{a)da  =  l6BR2pv(p,  / 3, y) , (4. 4) ,y)  = f  {c o s 2 a + y  [cosa- C ( ,̂ ,3, y)]J +K(p,P,y)y+  J  |cos2a P+r da. Cał ki  eliptyczne  wystę pują ce  we  wzorze  (4.4)  utrudn iają  w  istotny  sposób  analizę funkcji  v(p,  / ?, y).  Obliczenia  num eryczne,  których  zasadnicze  wyniki  przedstawion o  n a rysunkach  9 i  10, przeprowadzono  dla^?  =   1/ 304  w  zadan iu  pierwotnym  oraz  dla  obję toś ci pierś cienia  o  stał ej wysokoś ci  przenoszą cego  obcią ż enie  gran iczn ej?  =   1/ 662  •   6  w  zadan iu dualn ym .  Z zamieszczonych  rysunków  widać,  że rozwią zanie  optym aln e pierś cienia  o prze- kroju  prostoką tnym  n ie  zawiera  istotnych  róż n ic jakoś ciowych,  jeż eli  chodzi  o  przebieg i  charakter  wykresów,  w  porówn an iu  z  pierś cieniem  sandwiczowym.  Warto  jed n a k  zwró- cić  uwagę  n a  t o , że  m in im um  globalne  dla  y  =   0  odpowiada  ką towi  fi 0   =   38°  wobec  45° w  pierś cieniu  sandwiczowym. OPTYMALNE  PROJEKTOWANIE  PLASTYCZNE  PIERŚ CIENI 73 0  5°  10°  15°  20°  25°  30 Rys.  9 2)8 2.0 1.0 P/ Po V- const k  '  i  i  j  \ 15° 3 0 ° 50° 75° 9 0 ° Rys.  10 5.  Uwagi  koń cowe P rzytoczone  przykł ady  optym alizacji  z  wię zami  geometrycznymi  uwidaczniają ,  jak silny  jest  wpł yw  sposobu  for- muł owania  ograniczeń  n a  ostateczny  kształ t  konstrukcji optym aln ych.  D rogą   róż n orodn ego  formuł owania  wię zów  m oż na  n a  przykł ad  uzyskać projekty  o praktyczn ie t akim  sam ym  koszcie  (n p. obję toś ci  m ateriał u) i identycznym efek- cie  globalnym  optym alizacji  (n p.  n oś n oś ci  granicznej)  przy  róż nią cej  się   zasadniczo  kon- figuracji  rozkł adu  m ateriał u  w  obrę bie  kon strukcji  (por.  n p .  projekty  3  i  4  zestawione w Tablicy  1). Okoliczność t a pozwala  dokon ywać  dodatkowego  wyboru  spoś ród  równowar- toś ciowych  projektów  tego  rozwią zan ia,  za  którym  przemawiają   wzglę dy  praktyczne (n p. prostsza technologia) lub in n e cechy kon strukcji  (n p. zachowan ie się   konstrukcji w  obszarze duż ych przemieszczeń ). 74  A.  G AWĘ CKI,  A.  G ARSTECKI Wydaje  się , że niniejsza  praca jest dobrą   ilustracją   skutków  pozorn ie nieistotnej zmiany •w sformuł owaniu  ograniczeń.  Wyniki  zamieszczone  w  pracy  zwracają   uwagę   n a  rozleg- ł ość  tem atyki  optymalnego  projektowania  konstrukcji  w  przypadkach  wprowadzania dodatkowych  wię zów. Optymalizacja  pierś cienia  przy  ograniczeniu  ką ta  y  prowadzi  do  zadan ia  niewypukł e- go,  wielomodalnego.  Odn otowan o  nawet  przypadki  zadań  dają cych  dwa  równowartoś- ciowe  rozwią zania  optym alne. Literatura 1  W.  PRAG ER,  Optimal plastic design  of  rings,  Contributions to Mechanics,  Pergamon  Press,  1969,  163- 169. 2  P. V.  MARCAL,  W.  PRAG ER,  A  method of  optimal plastic design, Journal  de  Mecanique, 3, 4, 1964, 509- 530.  .  * .3  I. N .  BRONSZTEJN,  K. A.  SIEMIENDIAJEW,  Matematyka.  Poradnik  encyklopedyczny, P WN , Warszawa 1968.  • .,  P e 3  K)  M e  .  •   . OnTHMAJIbHOE  nPOEKTHPOBAHHE  nJIACTJWECKH X KOJIED; TEOMETPH^ECKHX OrPAH H ^EH EWX B  paSo ie  npeflcraBjieH o  onTHMajitHoe  npoeKTH poBasM e. njiacTHMecKMx  K O JK I ?  n p efln o jiaraa,  I T O B  oSjiacTH  flaH H oro yrjia  pa3MepŁi n on epe^m oro  ceueH iiH  n o ero H in ibie. PemeH KH  npHMajiMKrii  H  HyajitHOH 3afla^ra  fljia  K O JK I I  KMeiomKX flByxTaspoBoe  H  npfliwoyrojibH oe  ceueHHOi n on yqeH o  npHMeHHH   cTaTiwecKuft fl. Pe3yjii>TaTŁi  H acToameft  paSoTbi  cpaBH eno  c pemeHHeM  nojiy^ientiM  B . I I parepo M   [ 1] ,  ffle  o r p a - celieH H e  KOJibija.  IIpH M epw  npeflCTaBjieHbi  B pa6oTe  floua3yioTj  ^ T O cn oco S  $ o p - orpainmeH H H :  CHJIŁHO  BU H H CT  Ha 4>opwy  onTH majibnoS  KOHCTpyKą ifH   H  Ha 0AH03Ha