Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z1.pdf


M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1,  17  (1979)

P EWN E  PROBLEM Y  KSZTAŁTOWAN IA  POWŁOK  OSIOWO- SYMETRYCZN YCH   W  STAN IE
BŁON OWYM

JAC EK  K R U Ż E L E C KI  ( K R AK Ó W)

1.  P owł oki  równ om iern ej  wytrzym ał oś ci  w  sensie  wę ż szym  i  w  sensie  szerszym

Eliminacja  stan u  gię tnego  w  powł okach,  o  ile  jest  to  moż liwe  ze  wzglę du  na  sposób
obcią ż enia  i  podparcia,  stanowi  ju ż  pewien  stopień  optymalizacji.  Prowadzi  ona  bowiem
do  równ om iern ego  wytę ż enia  przekroju  powł oki,  a  przy  dodatkowym  warunku  wyrów-
n an ia  wytę ż enia  w  poszczególnych  pu n kt ach  powierzchni  ś rodkowej  do  tzw.  powł ok
równ om iern ej  wytrzym ał oś ci.  Szczegół owy  przeglą d  prac  dotyczą cy  optymalizacji  powł ok
po dał   M .  Ż yczkowski  [27].

Pierwsze  prace  zakł adał y  najprostszą   formę   wyrówn an ia  naprę ż eń

(1.1)  0>  =  oe±ffo>

którą  n azwan o tutaj  „ warun kiem równom iernej wytrzymał oś ci w sensie wę ż szym". W wielu
przypadkach  zastosowan ie  warun ku  (1.1) jest  n ieuzasadn ion ym  uproszczeniem problem u
i  zwią zek  ten  winien  być  zastą piony  przez  ogólniejszy

(1.2)  <y
rcd

  =  / (<fy,<re)  =   ff0,

gdzie  a
red

  oznacza  n aprę ż en ie  zredukowan e  wg  przyję tej  hipotezy,  ff0  —  naprę ż enie  do-
puszczalne,  cfy  i  a

e
  odpowiedn io  n aprę ż en ia  poł udn ikowe  i  obwodowe.  Warun ek  (1.2)

bę dzie nazwany  tutaj  „ warun kiem równ om iern ej wytrzymał oś ci w  sensie  szerszym".  Warto
zauważ yć, że podczas gdy  warun ek  (1.1) i dwa równ an ia równowagi  okreś lają   jednoznacznie
n p.  powł okę  obrotowo- symetryczną   zarówn o co do gruboś ci  ś cianki jak  i kształ tu powierz-
chni  ś rodkowej,  t o warun ek  szerszy  (1.2) n ie jest warun kiem  wystarczają cym  optymalnoś ci
ponieważ  pozostawia  jedn ą   z  funkcji  dowolną .  P ozostał y „ stopień swobody"  pozwala  n a
zastosowanie  dodatkowej  optym alizacji  n p . z. warun ku  m in im um  obję toś ci.

W  stanie  bł on owym rozkł ad- n aprę ż eń  w  powł oce jest  statycznie wyznaczalny.  Oznacza
t o ,  iż  prawo  fizykalne  efektywnie  n ie  interweniuje  i  powł oka  optym aln a  w  zakresie  sprę -
ż ystym jest również  optym aln a z  uwagi  n a  n oś n ość graniczną   czy  też czas  zniszczenia  przy
kruchym  pę kan iu  wg  teorii  Kaczan owa  obliczony  w  zależ noś ci  od  rodzaju  materiał u
(H ayh urst,  Leckie  [10],  [18])  bą dź  to  w  oparciu  o  kryterium  maksymalnych  naprę ż eń
rozcią gają cych  lub  też  przy  uż yciu  hipotezy  H ubera- M isesa- H encky'ego  ( H M H ) .  Z  tą
ostatn ią   zwią zane  jest  równ ież  energetyczne kryterium  zniszczenia  (tzw. bariera  dysypacji
energii)  wprowadzone  przez  Z .  Bychawskiego  i  W.  Olszaka  [5],  nastę pnie  rozwinię te



76  J.  KRU Ż ELECKI

przez  H .  Kopeckiego  i  J.  Walczaka  [15]  w  zastosowaniu  do  tarcz  wirują cych.  T ak  wię c
optym aln e  powł oki  równom iernej  wytrzymał oś ci  mogą   być  traktowan e  równ ież  jako
optym alne z uwagi n a czas krytyczny  —  ż ywotność  kon strukcji.

Przed  sformuł owaniem  celu  obecnej  pracy  omówimy  kró t ko  historię   zagadnienia.
Jako  pierwszy,  bo już  w  roku  1908,  M .  M ilankovic  [21]  kształ tował  powł okę   w  stanie

bł onowym  obcią ż oną   cię ż arem  wł asnym  i  ciś nieniem  cieczy.  Z ast o so wał o n warun ek  (1.1).
Wyniki  liczbowe  dla  przypadku  dział ania tylko  cię ż aru  wł asnego  po dał   G .  M egareus  [20].
W  oparciu  o  ten  sam  warunek  K.  F ederhofer  [7]  okreś lił   tzw.  zbiorn iki  kroplokształ tn e,
a  ten  sam  autor  wraz  z  J.  Krebitzem  [9]  podał   pewną   m etodę   num erycznego  cał kowania
uzyskanych  równ ań .  Stronę   konstrukcyjną   zbiorn ików  kroplokształ tn ych  rozważ ają
T.  P oschl  [22], E.  Kotten m eier  [17] i  C.  Bramski  [2],  [3]. P rzypadek  stał ego  ciś nienia  roz-
waż ał   F .  Tolke  [25],  n atom iast  przeglą d  rozwią zań  uzyskanych  przez  I I  wojną   ś wiatową
dla  powł ok  równomiernej  wytrzymał oś ci  w  sensie  wę ż szym  podaje  K.  F ederhofer  [8].

Warunek  typu  (1.2)  mianowicie  warunek  Treski- G uesta  zastosował   C.  B.  Biezeno  [1].
Poszukiwał   on optymalnego  ukształ towania  powierzchni  ś rodkowej  dn a  kotł a  przy  zawę -
ż eniu  się   do  stał ej gruboś ci  ś cianki.

Zbliż oną   problem atykę   poruszają   prace R. A.  Struble'a  [24] i E. H . Browna. [4].  Omówione
powyż ej  prace  dotyczą   doboru  optymalnej  powierzchni  ś rodkowej  przy  stał ej  gruboś ci
ś cianki.  Równolegle  rozwija  się   problem atyka  doboru  gruboś ci  ś cianki  przy  okreś lonej
powierzchni  ś rodkowej.  Pierwszą   jest  t u  praca  H . Z ieglera  [26], której  okreś lił   optym alną
zmianę   gruboś ci  kopuł y  sferycznej  pod  cię ż arem  wł asnym  przy  warun ku  równom iernej
wytrzymał oś ci  Treski- G uesta  w  sensie  szerszym.

W.  Issler  [13],  [14]  przeprowadził   ogólną   analizę   istnienia  rozwią zania  takiego  zagad-
nienia i zastosował  warunek  H ubera- M isesa  dla  róż nych powierzchn i  obrotowych  drugiego
stopnia. P . Csonka  [6] poszukiwał   optymalnej  gruboś ci  hiperboloidalnej  wieży  chł odniczej.

Z  pun ktu  widzenia  optymalizacji  najbardziej  interesują ce  są   prace  dotyczą ce  jedn o-
czesnego  doboru  optymalnej  gruboś ci  i  powierzchni  ś rodkowej.  Jedn akże  wię kszość  do-
tychczasowych  prac  ogranicza  się   do  optymalizacji  param etryczn ej.  G . A.  H offman  [11],
[12]  dobiera  optymalną   gubość  dn a  kotł a  i  optym aln e  param etry  powierzchni  ś rodkowej
kolejno  w  oparciu  o warunek  T- G  i H M H .

P odobne podejś cie  zastosował  w  [23] W.  S. R ead, dobierają c  grubość  i optym aln e param etry
pewnej  powierzchni  czwartego  stopn ia.

Podejś cie  wariacyjne  zastosował   S.  Łukasiewicz  [19]  do  optym alizacji  powł ok  podda-
nych  obcią ż eniom  skupionym  przy  warun ku  Treski- G uesta.  P rzy  zastosowaniu  warun ku
H M H ,  T- G   lub  Beltramiego,  C.  N .  Kostem  [16]  zajmował   się   optymalizacją ,  z  uwagi
n a  minimum  cię ż aru,  powł oki  obcią ż onej  ciś nieniem  hydrostatyczn ym .  Jako  zmienną
niezależ ną   autor  przyją ł   dł ugość ł uku  s  mierzoną   wzdł uż poł udn ika powł oki.  Wystę pują ce
w równaniach równowagi  zmienne r, z, §  (rys.  1) są  zatem funkcjami  s.  Jedynie jedn ą   z  tych
wielkoś ci moż na przyją ć  jako niezależ ną;  pozostał e dwie zwią zane  są  z wybraną   równ an iam i
róż niczkowymi  wynikają cymi  z geometrii  powł oki. C . N . K ostem  traktuje  te wielkoś ci ja ko
niezależ ne  n ie  uwzglę dniają c,  zwią zków  geometrycznych.  D odat kowo  przyję ty  warun ek
T- G   w  postaci  efy — er©  — a

0
  n ie  może  rjyć  speł niony  w  cał ym  obszarze  powł oki.  Jakkol-

wiek  autor  przytacza  graficzne  opracowan ie  wyników  num erycznych  to  poprawn ość
sformuł owania  problem u  w  tej  pracy  budzi  wą tpliwoś ci.



PROBLEM Y  OPTYMALN EG O  KSZTAŁTOWAN IA  POWŁOK  77

2.  Cel obecnej  pracy  -

Kształ towan ie  powł ok w stan ie  bł onowym  przy  speł nieniu warunków  wytrzymał oś cio-
wych  w postaci  równoś ci  prowadzi  do poję cia  powł ok  równomiernej  wytrzymał oś ci.  W li-
teraturze,  za powł oki  optym aln e  uważ ane  są  zarówn o  konstrukcje  okreś lone  przez rów-
n an ie  (1.1), jak i powł oki  kształ towan e w oparciu o rachun ek wariacyjny  przy  zastosowaniu
warun ku  wytrzymał oś ciowego  typu  (1.2).

Obecna  praca  stawia  sobie  za cel analizę   kilku  zagadnień z zakresu  optymalnego kształ -
towan ia  powł ok  osiowo- symetrycznych,  a  m ian owicie:

1)  uporzą dkowan ie  klasyfikacji  warun ków  wytrzymał oś ciowych  wykorzystywanych  do
kształ towan ia  i  wyraź ne  wyodrę bnienie  powł ok  optym alnych  spoś ród  szerszej  klasy
powł ok  równ om iern ej  wytrzymał oś ci  n ie bę dą cych n a  ogół  konstrukcjami  optymalnymi,

2)  sformuł owanie  wariacyjne  problem u  optym alnego  kształ towania  powł ok  osiowo-
symetrycznych  przy  dość  ogólnym  sposobie  obcią ż enia  reprezentowanym  przez  sił y
m asowe  (cię ż ar  wł asny,  wirowanie)  i obcią ż enia  powierzchniowe  (ciś nienie),

3)  podan ie  analityczno- numerycznej  m etody  cał kowania  równ ań  Eulera- Lagrange'a
(wobec wystę powania  w n ich pewnych  osobliwoś ci)  w przypadku  ogólnym  rozważ onego
obcią ż enia  oraz  podan ie  przykł adów  kształ tów  powł ok  optymalnych  przy  róż nych
kom bin acjach  obcią ż eń,

4)  zbadan ie  problem u  przy  jakich  obcią ż eniach  zewnę trznych  (powierzchniowych) po-
wł oka  speł niają ca  równ an ie  Eulera- Lagran ge'a  zredukuje  się  do powł oki  równomiernej
wytrzymał oś ci  w sensie  wę ż szym  (1.1) i czy t aka  konstrukcja  może  speł niać wszystkie
wymagane  warun ki  optym aln oś ci,

5)  okreś lenie  rozkł adu przemieszczeń  w badan ych  powł okach przy  dodatkowym  zał oż eniu
sprę ż ystoś ci  m ateriał u.

3.  Sformuł owanie  problemu  powł ok  optymalnych

Rozważ ymy  osiowo- symetryczną   powł okę   obcią ż oną   ciś nieniem  wewnę trznym lub
zewnę trznym  p(r),  cię ż arem  wł asn ym  oraz  wirowaniem  ze  stał ą   prę dkoś cią   ką tową   co.
P owł oka wsparta jest n a pierś cieniu o zadan ym prom ien iu a, rys. 1,

Sformuł ujemy  problem  optym alizacji  powł oki  ja ko  klasyczne  zagadnienie  rachun ku
wariacyjnego.  T ak wię c  poszukiwać  bę dziemy  m in im um  funkcjonał u  — obję tość  powł oki

(3.1)  V=2n f- Ą - ir- .mb;
J  c o s©

Rys.  1



78  J.  KRU Ż ELECKI

przy  warun kach  pobocznych,  w postaci  dwu  równ ań  równowagi

(3.2)  H[a^ r(j)CO&(f>- 1ra
e
s\ n.(j>~r(mgcos(j)+a)

2
mrsin(j))]  — )'p(r)  =  0 ,

(3.3)  Hia^ - a  ̂ + riHa^  + Ha^ Ą - Hrio^ mr- mgtĝ )  =  0

oraz  warunku  H M H  równomiernej  wytrzymał oś ci  w sensie  szerszym

(3.4)  <r$ +   <rg

gdzie  —  =  (• ), H,  m, g  oznaczają  odpowiedn io:  grubość  ś cianki  powł oki, m asę  wł aś ciwą,

przyspieszenie  ziemskie.

R ównania  (3.1),  (3.2),  (3.3)  został y  wyprowadzone  w  najwygodniejszym  dla  takiego
zadan ia  ukł adzie  współ rzę dnych  (r,  <£),  który  pozwala  w porówn an iu  z  ukł adem  współ -
rzę dnych  najczę ś ciej  stosowanym  (r,  z),  zredukować  równ an ia  rzę du  drugiego  do  równ ań
pierwszego  rzę du  (ż =  t g$ ) .  *

Wprowadzając  nastę pują ce  wielkoś ci  bezwymiarowe  p =  —,  h =  — ,  v  =  • ——
a  a  2na

3

PKO)  =  > 7 =  •   > w  =  >  SÓ = —- ,  s&  — —  oznaczają ce  kolejno  zmien-
<y

0
  < r 0  ff0  a0  <y0

ną  niezależ ną,  grubość  ś cianki,  obję toś ć,  ciś nienie,  cię ż ar  wł aś ciwy,  kwadrat  prę dkoś ci
ką towej,  naprę ż enia poł udnikowe i obwodowe  równ an ia  (3.1), (3.2), (3.3),  (3.4)  zapiszemy
w  postaci

i  '  •

(3.5)  Q ^ .
o

(3.6)  Gi  = h [sj,  QĄ > cas<t>+s
@
  sin < £   — q(y c o s $  +   W Q si n < / > ) ] —QP ( Q)  =   0 ,

(3.7)  G
2
 -   A ( ^ - je ) + . ( ^ + ^ ) + A e ( w e - y t g )̂  =  0,

(3.8)  G
3
 = 4+4- 5^ - 1  = 0.

Z agadnienie to rozwią ż emy  stosując  m etodę  m n oż n ików  Lagran ge'a.  N owy  funkcjonał
zapiszemy  w  formie

1 3  1

(3.9)  - J= J(G
0
  +  2x

t
G,)dQ=jF*de,

0  ( = 1   0

gdzie  Aj(@) — m noż niki  Lagran ge'a,  a  odpowiednie  równ an ia  Eulera- Lagran ge'a  przyj-
mują  postać

(3  10)  8F*  -   d  8F*  -   C

gdzie xi  = </>,  A,fy,  s
@
.

By wyjaś nić  pojawienie  się w (3.10) stał ych Q rozpatrzym y  funkcjonał

(3.11)  7w  JF(x,k,'i)dx

w  którym  wystę puje  zm ienna  niezależ na  i  pochodn e  poszukiwanej  funkcji.  Odpowiednie



PROBLEM Y  OPTYMALN EG O  KSZTAŁTOWAN IA  POWŁOK  7 9

równanie  Eulera- Lagrange'a  p o  formalnym  jedn okrotn ym  scał kowaniu  przyjmuje  postać:

dF  _  d  dF  _
^ '  '  dz  dx  dz

Podstawiają c  do  (3.11) ż  =  y otrzymujemy  funkcjonał

(3.13)  /  =  fF(x,y,y)dx,

który  powinien  prowadzić  do tej samej  ekstremali.
Zapominają c  o róż niczkowanym  zwią zku  mię dzy y i z otrzymalibyś my  ekstremalę ,  której
równanie nie da się  sprowadzić  do formuł y  (3.12)  (stał a c równa się  zero). Łatwo to  moż na
sprawdzić  n a  przykł adzie  prostego  zadan ia  o poszukiwaniu  najkrótszego  ł uku  ł ą czą cego
dwa  pun kty.  Ostatecznie  wię "c* równ an ie  ekstremali  otrzymane  z  (3.13)  powinno  mieć
postać

(3.14)  TT- fTr--
v
  '  By  dx dy

Stał ą   c wystę pują cą   w  (3.12) i  (3.14)  należy  wyznaczyć  bą dź  to z warunków  brzegowych,
albo  też z  odpowiedniego  warun ku  transwersalnoś ci.  Ogólnie  powiedzieć  moż na, bez.
przeprowadzenia  dowodu, iż dla funkcjonał u  typu  (3.11)  stał a  c jest  róż na od zera i winna
być  wyznaczona  z warunków  brzegowych  gdy ich ilość  równa jest  3 lub 4 w zależ noś ci od
rzę du  równania  (3.12).  W  przypadku  gdy  ilość  warunków  brzegowych  jest  mniejsza  lub
równa  2,  wówczas  stał ą   c wyznaczymy  z  warunku  transwersalnoś ci

dF  d dF

i  wynosi  on a zero,  c =   0.
Powracają c  do rozpatrywanego  zagadnienia  dla  x

t
  — h,  s$, s

6
  otrzymujemy  C

2
  =

C
3
  =  Q  =  0.  M ają c  n a  uwadze  róż niczkowy  zwią zek  mię dzy  z  <j)(ż  = tg<j>)  dla x

t
  =<f>

w  równaniu  (3.10)  pozostawiamy  stał ą   C
t
 i równanie  to bę dzie  cał ką   pierwszą .  Stał ą  C

t

wyznaczymy  z  warun ku  transweralnoś ci  (3.15)  otrzymują c  C x  =  0'.  Ostatecznie  wię c
w  rozważ anym  problem ie  wszystkie  stał e  C< równe  są  zero,  C ; =   0.

P o  zastosowaniu  równ ań  (3.10)  do (3.9), uporzą dkowaniu  i eliminacji  A3  otrzymujemy
nastę pują cy  ukł ad  równ ań  .  .

(3.16)  A2y + Aj.sucos  <̂  — sin<̂ > =  0,  ,.

(3.17)  ^2U ?(w(? — y  t g< ^ ) —s$ \ —  X
2
QSĄ - \ -  AJ  [S^ Q(j) cos  <]> +

+ j 0 s i n ^  — Q(ycos(j) + WQsin< j> )] + Q/ CQS^) = 0 ,

które  są  podstawowymi  zwią zkami  dla  obu rozważ anych  przypadków.

4.  Cał kowanie  równań  Eulera- Lagrange'a  w  przypadku  ogólnym

D la  zadanej  wartoś ci  i  rozkł adu  ciś nienia  />(<?)  równ an ia  (3.16),  (3.17),  (3.18)  wraz
z  równaniami  równowagi  (3.6),  (3.7) oraz  warunkiem  równomiernej  wytrzymał oś ci (3.8)
stanowią   wystarczają cy  ukł ad,  z  którego  wyznaczyć  moż na  nieznane  funkcje  kształ tu



80  J.  KRU Ż ELECKI

4>  =   <Ke)> ^  =   KQ)>  rozkł ad n aprę ż eń ^  =   S,J,(Q),  S@  =   S
0
(Q)  oraz  Ax(e)  i  A2(g).  P owł oka

okreś lona  w  ten sposób  bę dzie  konstrukcją  równomiernej  wytrzymał oś ci  w  sensie  szerszym
0  najmniejszym  cię ż arze.

F unkcje  X
x
  i  ź l2  n ie  mają  w  rozważ anym  zagadnieniu  wyraź nej  interpretacji  fizycznej

1 najczę ś ciej  dą ży  się do ich eliminacji.  W  obecnej pracy  zdecydowano  się jed n ak n a m etodę
bezpoś redniego cał kowania. W tym celu otrzym an y ukł ad równ ań przekształ cimy do postaci
• wygodnej  w  obranej  metodzie

(4.2)  h^ =h[s
e
- s

4
,- Q(wQ- ytg4>)\ ,

(4.3)  h  =   »#

(4.4)  i 1  =

< 4 - 5 > ^̂

(4.6)  k
x
\ Q(ycos^   + W Qsm(j))- sm  ̂ 1.% +  - ^ ^ — —^  ~

L  \   ZSg  — S,!,  / J

gdzie  n^  oznacza  sił ę  poł udnikową.  Kryterium  wytrzymał oś ciowe  pozostaje  bez  zm ian.
Powyż szy  ukł ad  równ ań  wykazuje  osobliwoś ci  w  pun kcie  Q  =  0.  By  zbadać te  osobli-

woś ci  rozwinię to  wszystkie  funkcje  w  szeregi  potę gowe  w  otoczeniu  Q — 0.  Okazał o  się,
iż  proste  szeregi

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

(4.13)

SQ  =  1  +   C 2 £

h  =   h
o
+h

2
£

h  =   ho  + y

^2  =   A 2 1 g4

24- ...,  lub
| 2 + . . . ,  lub

> 2 +  ...,
zQ

3
  + - - - ,

L l2g2 + . . . ,

• 43e
34- ...,

f2 g
2  +  - ",

opisują  te  osobliwoś ci,  gdzie  p
0
  i p

2
  zn an e współ czynniki  obcią ż enia.  P rzy  rozwinię ciach

uwzglę dniono  fakt,  że  naprę ż enie  w  zależ noś ci  od  sposobu  obcią ż enia  mogą  być  roz-
cią gają ce  lub  ś ciskają ce.

Podstawiając  (4.7-  4.13)  do  zwią zków  (4.1 -  4.6)  oraz  do  kryterium  wytrzymał oś cio-
wego (3.8) otrzymujemy  ukł ad  8 równ ań algebraicznych n a  10 n iezn an ych współ czynników
szeregów  (róż nica  mię dzy  liczbą  niewiadom ych  współ czynników  a  liczbą  otrzym anych
równ ań jest niezależ na  od zastosowanej  iloś ci wyrazów szeregów  i wynosi  dwa). D wa współ -



P R O BLE M Y  OP TYM ALN EG O  K SZ TAŁ TOWAN I A  P O WŁ O K 81

czynniki,  które  zasadn iczo  mogą   być  wybrane  dowolnie,  pozostają   wstę pnie  nieokreś lone.
Okazuje  się ,  iż  najkorzystniej  bę dzie  pozostawić  n i e o k r e ś l o n ej  i  A.

1O
] wówczas  pozostał e

wyraż ają   się   n astę pują co:

(4.14) =   - c2 . =   - Y y +  y

(4.15)  K  =   + Po

(4.16)  h
2
  =   - Po

2(2<l>
1
±y)

(4.17)

(4.18)  A13  =

(4.19)
1

(4.20)  A23  = y A 1 0 | 2 ^ 3 - ~ ^ ^± —

gdzie  zn ak  górny  zwią zany  jest  z  przypadkiem  n aprę ż eń  ujemnych.  Alo  nie  wystę puje
w  zwią zkach  (4.14-   4.17)  i  n ie  m a  wpł ywu  n a  kształ t  powł oki  optym alnej.  Wniosek  ten

0.21

0,22

0,20

0.18

0,16

0,11

0.12

0,10

0,09

p (9)  = 0,0025=const

w = 0 , 5
w= 0

0.1 0.2 0.3 OJ 0.5 Q.6 OJ 0,8

Rys.  2

6  Mech.  Teorct.  i  Stos.  1/79



8 2 J.  KRU Ż ELECKI

został   również  potwierdzony  n a  drodze  obliczeń  num erycznych. N atom iast ^ ±   (krzywizna
powł oki  dla  Q  — 0) win n o  być wyznaczone  z warun ku  optym aln oś ci v  — m in . (dodatkowa
optymalizacja  po  wolnym  param etrze).

Z  numerycznego pun ktu widzenia problem bę dzie rozwią zany ja ko  zadan ie począ tkowe.
Tak wię c dla przedział u 0  <  Q <  0.01 zastosowan o  szeregi  potę gowe  (4.7 -  4.13). N astę pn ie
równ an ia  (4.1 - 4.5)  rozwią zywano  m etodą   R un ge- Kutta  4  rzę du  dla  zm ien n ych  wartoś ci

Ol  0.2 0.3  04  0.5  OM  0.7 OS  0.3  1.0

h- 10
1

0,2451
0.25

0.20

0,15

0.1
0,113348

0.1  0.2  0.3  0Ą   Q5  OB 07  0.8  0.3  W

0,4327  p - -   7 f ( i )  =1,2350 rod

03

02

0,1

0.1  02  0.3 0.4 0.5  0.6  0,7 0.8  0.9  1.0

Rys.  3

param etru  $
x
.  N a  każ dym  kroku  cał kowania  rozwią zywano  ukł ad  dwu  równ ań  alge-

braicznych  (3.8)  i  (4.6)  wyznaczają c  tym  sam ym  n aprę ż en ia  s+ i  s
e
.  Optym aln ą   wartość

param etru  ^ j  dla  każ dej  dopuszczalnej  kom binacji  obcią ż eń  okreś lono  z  warun ku  m in i-
mum  obję toś ci  powł oki  każ dorazowo  obliczają c  cał ką   (3.5).  ,

Okazuje  się , iż  param etr ̂ x  nie może być  dowolnie  duży  i  ograniczony jest  warun kiem

CA 9H   fh(\ }  =  —

N a  rys.  2  pokazan o  krzywą   optym aln ych  wartoś ci  p a r a m e t r u ^  oraz  krzywą   wyni-
kają cą   z  warun ku  (4.21)  dla zmiennych wartoś ci  bezwymiarowej  prę dkoś ci  ką towej  wj>rzy
y  =   0  i  ustalon ym  ciś nieniu  P(Q) =   0.0025  =   const,  (zm ian a  wartoś ci  ciś nienia  p  n ie



P R O BLE M Y  OP TYM ALN E G O  KSZ TAŁ TOWAN IA  P O WŁ OK 83

powoduje  zm iany  wartoś ci  param et ru  $1).  D la  przedział u  prę dkoś ci  0  s$  w  <  4.15  opty-
m aln a  wartość  param etru  4>

x
  pozwala  osią gnąć  m in im um  analityczne  funkcjonał u.  D la

prę dkoś ci  vp>  4.15  obie  krzywe  „zlewają  się"  i  optym aln e  <jSi  zdeterm inowane  jest  wa-
run kiem  (4.21).  Oznacza  t o , iż  p a r a m e t r ^  dobieran y jest n a  brzegu  dopuszczalnego  prze-
dział u.  P odobn e  wykresy  sporzą dzić  m oż na  dla  in n ych  kombinacji  obcią ż eń  wł ą czają cych
przypadki  n aprę ż eń  ujem nych,  jedn akże  wnioski  pozostają  niezmienione.

S0.So

0.70

0.60

0.50

0,2

• 06622

.0.5773

• 0,4830

0.3

• ——

0.5

• ~ —.

0.6 0.7 0.8

• —

0.9 to

T  1  ,  ,  ,  . x  1  . 1  .  o

0.0  0,1  02  0.3  Oft  05  0,6  0.7  0,8 09 1.0

60°

I

Powloką  optymalna

0.1  0,2  0.3  0,1  0.5  0.6  0.7  OM 0,9  1,0  f

Rys.  4

R ys.  3  przedstawia  przykł ad  powł oki  optym aln ej  (w  =   1.0,  y  =   0,  p  — 0.0025).  P o -

kazan o  rozkł ad  gruboś ci  ś cian ki  oraz  rozkł ady  n aprę ż eń  s+  i  s
e
.  Optym alna  wartość  pa-

ram etru  # !'  =   0.505.
Ciekawym  przykł adem  jest  równ ież  powł oka  obcią ż ona  tylko  stał ym  ciś nieniem  p

0
.

Okazuje  się,  że  powł oka  sferyczna  o  optym aln ym  ką cie  rozwarcia  <£0  •   W
3  ( s t a ł e  n aprę-

=   s
e
  =   1,  stał a  grubość  ś cianki)  uważ ana  do  tego  czasu  za  optymalną  nie  jestż enia

konstrukcją  najlż ejszą.  M o ż na  znaleźć  powł okę  lż ejszą,  która  jest  optym alna,  posiada
zmienną  grubość  ś cian ki  i  zm ien n y  rozkł ad  n aprę ż eń.  Z ysk  n a  cię ż arze,  w  stosunku  d o
optym alnej  powł oki  sferycznej,  wynosi  okoł o  z  ss  3,8%.

Rys.  4  przedstawia  optym aln ą  powł okę  sferyczną  oraz  optymalną  powł okę  równ o-



84 J.  KRUŻ ELECKL

miernej  wytrzymał oś ci  w  sensie  szerszym.  P okazan o  również  odpowiednie  rozkł ady  gru-

boś ci  ś cianek  i  n aprę ż eń  dla  obu  powł ok.

Jako  dalszy  przypadek  obcią ż enia  rozważ ymy  powł okę  poddan ą  dział an iu  jedynie

cię ż aru  wł asnego  y  (w  ~  p  =  0).  Z e  zwią zku  (4.15)  wynika,  że  <£ 1(  n ie  jest  tu  dowolne

i  wynosi  <frt  — y/ 2  (warunek  speł nienia równ an ia  równowagi  (2.6) dla  Q =   0).  P oczą tkowa

102

1,01

1.00

039

0.98

097
'Se,f=W

0.1  0.2 0.3 0.1 0.5  0.6  0.7 0.8  0.9  W

W
1.3570

1.30

1.10
1.0765

1,00

0.1  0,2  0.3  0.1 0,5  0.6 0.7  0.8  0.9'  W

Z
0.3

0,2580
0.2

0,1259
OJ

0.1  0.2  0.3  0,1  Q5  0,6 0.7  0,8 0.9  W

Rys.  5

grubość  ś cianki  h
0
  pozostaje  dowolna  i  n ie  m a  wpł ywu  jakoś ciowego  n a  kształ t powł oki

optym aln ej.  . , ,  ,  .  .

N a  rys.  5 pokazan o kształ t powierzchni  ś rodkowej,  zm ian y  gruboś ci  ś cianek  i rozkł ady

n aprę ż eń  dla  dwu  wybranych  wartoś ci  bezwymiarowego  cię ż aru  wł aś ciwego:  y  =   0,5,

y- 1,0.

5.  Powł oki  równomiernej  wytrzymał oś ci  w  sensie  wę ż szym  speł niają ce  równania  Eulera — Lagrange'a

Jak to wspom n ian o poprzedn io powł oki równomiernej wytrzymał oś ci w sensie  wę ż szym

są  okreś lone  jednoznacznie  przez  równ an ia  równowagi  i  kryterium  wytrzymał oś ciowe,

ale  w  ogólnoś ci  n ie  są  on e  optym aln e. Z  drugiej  stron y  warun ek  równom iernej  wytrzyma-



P R O BLE M Y  OP TYM ALN EG O  KSZ TAŁ TOWAN I A  P O WŁ O K  85

ł oś ci  w  sensie  szerszym  jest  niewystarczają cym  warun kiem  optymalnoś ci  i  winien  być  uzu-
peł niony  równ an iam i  E ulera- Lagran ge'a.  ,

Interesują cym  problem em  teoretycznym  jest  zagadn ien ie  kiedy  powł oka  optym alna
może  być  przetran sform owan a  do powł oki  równomiernej  wytrzymał oś ci  w  sensie  wę ż szym
(1.1)  i  czy  t aka  kon strukcja  pozostan ie  n adal  optymalną .  Transformacja  taka  może  mieć
miejsce  przy  pewnych  obcią ż eniach  zewnę trznych;  t ak  wię c  poszukiwać  bę dziemy  odpo-
wiedniej  funkcjiJ?(g).  W  rozważ an ym  przypadku p(g)  bę dzie  dodatkową   nieznaną   funkcją ,
n atom iast  rozkł ad  n aprę ż eń  zał oż ymy  w  formie  ,

(5.1)  ty  =   s
@
  =   1  lub  S4  -   s

e
  =   —I .- '

P odstawiają c  (5.1)  do  (3.6),  (3.7),  (3.16),  (3.17),  (3.18)  otrzymujemy  ukł ad  równ ań ,

który  okreś la  n iezn an e  funkcje:  Ą (Q),  II(Q),  P(Q)  oraz  AI(Q)  i  A2(g),  U kł ad  ten  przekształ -

cimy  do  postaci  nadają cej  się   do  numerycznego  cał kowania.  W  tym  celu  równania  (2.17)

i  (2.18)  odejmujemy  stron am i  otrzymują c  równ an ie  algebraiczne,  które  nastę pnie  róż-

niczkujemy.  Wykorzystują c  do  eliminacji  l
x
  i  A2  równ an ia  (3.18)  i  (3.16)  otrzymujemy

COS  (D

R ówn an ie  róż niczkowe  okreś lają ce  grubość  powł oki  uzyskane  ze  zwią zku  (3.7)  przybiera
postać

(5.3)  h  =  ±KwQ~ytg(j>),

n atom iast  K
x
  i'  A2  obliczamy  z  równ ań  (3.16)  i  (3.18)

(54) k  =   +- """
COS3(j)

(5,5)  i 2  =   —  [Q<J> cos  $  -   sin   <j>)  +  A2].

P ozostał e  równ an ie  równ owagi  (3.7)  posł uży  do  okreś lenia  poszukiwanego  rozkł adu
ciś nienia

h r  .,•(5.6) P(Q)  +  ̂ ^

U zyskany  ukł ad  ró wn ań  wykazuje  osobliwoś ci  dla  Q — 0,  które  zbadan o  rozwijają c
wszystkie  wystę pują ce  tutaj  funkcje  w  szeregi  potę gowe.  Jedn akż e,  w  porówn an iu  z  pop-
rzednim  przypadkiem  ze  wzglę du  n a  specyfikę   otrzym anego  ukł adu  równ ań  (A23  i  <j>3
wyraż ają   się   przez  siebie  i  n ie  m a  moż liwoś ci  efektywnego  ich  okreś lenia),  przy  rozwinię -
ciach  funkcji  (J),  Ai,  A2,  n ależy  wzią ć  p o d  uwagę   o  jeden  wyraz  szeregu  wię cej:

( 5 . 7 )  _•  (j,  = (j)'] LQ+ (i) 3Q
3+ 5̂Q

S+  . . . , _

(5.8)  h  =  h
o
  + h

2e

2
  +  ...,



86  J.  KRU Ż ELECKI

(5.9)  h

(5.10)  A2

(5.11)  p  =

Podstawiając  (5.7-  5.11)  do  równań  (5.2-  5.6)  uzyskamy,  w  porównaniu  z  poprzed-
nim przypadkiem,  o dwa  równania wię cej.  Pozwolą  one n a  obliczenie $ 3  i < £ 23. Ostatecznie
ograniczymy  się  do  efektywnego  wyznaczenia  współ czynników  dwóch  wyrazów  każ dego
z  szeregów.

P o  odpowiednich  przekształ ceniach  otrzymujemy

(5.12)  03  =   ^

(5.13)
  Po

  =

(5.14)  p
2
  =

(5.15)  h
2
  =  ± y  K

(5.16)  A13  -   T ^

(5.17)  A 2 1 - y

(5.18)  A23  =   i -

Tak  jak  i  poprzednio  A10  pozostaje  tutaj  niewyznaczone  i  nie  ma  wpł ywu  n a  kształ t
powł oki  równomiernej  wytrzymał oś ci  w  sensie  wę ż szym,  n atom iast $

t
  nie jest  dowolne,

zdeterminowane jest tutaj warunkiem stał oś ci naprę ż eń. Podstawiając  do (4.14) c
t
  — c

2
  -   0

otrzymujemy

(5.19)  ^  =

(5.20)  ó
i

Zwią zek  (5.19)  odnosi  się  do  przypadku  naprę ż eń  rozcią gają cych  przy  czym  obcią ż enia

masowe  muszą  speł niać  nierówność  y  >  2}/ w.  Okazuje  się  również,  iż  peł na  powł oka

równomiernej  wytrzymał oś ci  w  sensie  wę ż szym  speł niają ca  równ an ia  Eulera- Lagrange'a

obcią ż ona tylko  „ wirowaniem "  w i odpowiednim ciś nieniem p(c)  nie może istnieć. Moż liwa

jest w  tym przypadku jedynie  konstrukcja  z  otworem, która  nie bę dzie  tutaj  dyskutowana.

Zwią zek  (5.20)  sł uszny jest  dla  naprę ż eń ujemnych  przy  czym  albo  y  <  0  (oznacza to,

że  cię ż ar  wł asny  wywoł uje  naprę ż enia  ś ciskają ce;  powł oka  m a  pozycję  odwrotną  n iż po-

kazan o  to  n a  rys.  1)  lub  też  w  >  - y  y2.



0.5484- 10

0.1439- 10

W =0 i  f=0.5
hj'0.01

jPowtoka  równom.  wytrz,
w sensie  wyż szym
spetniają ca  rów.  E- L

[0.1333

0.3913 0.9913

Rys.  6

1,2

no
U.tJ

0.6

Of!

0.2

- Stp.Se

ho
1
w

_ _ — — - ^  N 5 ( 4

= 0.01  \
=  ft?  \ 5e

0.195
0.1939

01851

h- 10*

W
Z88B7

2B
27

2.6657
2,6

pf?)- W
3

^Gruboś ć  powł oki  o równych  naprę ż eniach

" Gruboś ć powł oki  optymalnej

0.7245
07

05

0.3

0.2
0.1990

0.1

- Powł oka
optymalna

Powł oka  równomiernej
wylrz. w sensie wę ż szym

=03820

0.1  0.2  03  0.4  0.5  0,6  0,7  0,8  0.9  1.0

Rys.  7

[87]



88  J.  KRU Ż ELECKI

G rubość  ś cianki  h
0
  dla  Q =   0  dobiera  się   dowolnie  i  jedn ocześ n ie  poprzez  równanie

(5.13)  determinuje  ono  wartość  począ tkową   ciś nienia  p
0
.

M etoda  cał kowania  otrzym anych  równ ań  (5.2 -  5.5)  jest  t aka  jak  poprzedn io.  D la
0  <  Q <  0.01  zastosowano  szeregi  (5.7 -  5.11), n astę pn ie metodą   R un ge- Kutta jednocześ nie
z  równania  (5.6)  obliczają c  poszukiwane  ciś nienie  P(Q).  Okazał o  się ,  iż  dla  wszystkich
moż liwych  kombinacji  obcią ż eń  powł oka  równomiernej  wytrzymał oś ci  w  sensie  wę ż szym
speł niają ca  równania  Eulera- Lagrange'a  n ie  jest  konstrukcją   optym alną .  Zawsze  m oż na
znaleźć  dobierają c  odpowiednio  4>i.  z  warun ku  tran swersaln oś ci,  pewną   inną   powł okę
spoś ród  powł ok  równomiernej  wytrzymał oś ci  w  sensie  szerszym,  która jest  powł oką   opty-
malną   wykazują c  mniejszy  cię ż ar  od  tam tej.

Rys.  6  przedstawia  zależ ność  mię dzy  obję toś cią   powł oki  v  i  współ czynnikiem  c
x

okreś lają cym  zmiany  naprę ż eń lub  param etrem <f>
1
  dla  szczególnego  przypadku  obcią ż enia

w  =  0, y  -   0.5 oraz h
0
  — 0.01. P okazan y  typ zależ noś ci  powtarza  się   dla  wszystkich  kom-

binacji  obcią ż eń.
N a  rys.  7  pokazan o  powł okę   równomiernej  wytrzymał oś ci  w  sensie  wę ż szym  oraz

powł okę   optymalną ,  odpowiednie  zm ian y  gruboś ci  ś cianek  i  rozkł ady  n aprę ż eń.  Obie
powł oki  obcią ż one  są   w  ten  sam  sposób,  m ian owicie:  w  =   0,  y  =  0.5  oraz  pokazan ym
n a  rys.  7  rozkł adem  ciś nienia P(Q).

P owł oki  równomiernej  wytrzymał oś ci  w  sensie  wę ż szym  są   zatem  kon strukcjam i
o  wię kszym  cię ż arze  n iż  odpowiednie  optym aln e  powł oki  równom iernej  wytrzymał oś ci
w  sensie  szerszym  obliczone  w  oparciu  o  warunek  H M H . Wart o  jedn ak  n a  koniec  zazna-
czyć, że  wniosek  ten może ulec  zmianie  w  przypadku  zastosowan ia  innego  warun ku  wytę -
ż enia  n p .  hipotezy  Treski- G uesta.

6.  Przemieszczenie  w  powł okach  równomiernej  wytrzymał oś ci

Kształ ty  powł ok  i  rozkł ady  n aprę ż eń  został y  uprzedn io  okreś lone  bez  analizy  stan u
przemieszczeń.  R ozkł ad  przemieszczeń  obliczony  w  oparciu  o.teorię   bł onową   nie  może
wykazywać  w  ż adnym  pun kcie  powł oki  osobliwoś ci  (zm ierzania  do  nieskoń czonoś ci). P o-
jawienie  się   bowiem  takich  osobliwoś ci  ś wiadczyć  by  m ogł o  o istnieniu w pewnych  obsza-
rach  powł oki  stanów  gię tnych  co  osł abił oby  wartość  uzyskan ych  rozwią zań.

Wykaż emy  tutaj,  iż  przemieszczenia  w  rozważ anych  powł okach  n ie  wykazują   osobli-
wo ś c i—  są   skoń czone.  Z a  pun kt  wyjś cia  przyjmiemy  zwią zki  geometryczne

(6.2)  .  %  =   —

(6.3)

gdzie  u
B
,  14$,  u„ są   bezwymiarowymi  pomieszczeniami  odpowiedn io  w  kierun kach  obwo-

dowym,  poł udnikowym  i  n orm aln ym  do  powierzchni  ś rodkowej  powł oki.



P R O BLE M Y  OP TYM ALN EG O  KSZ TAŁ TOWAN IA  P O WŁ OK  89

Z e  wzglę du  n a  osiową  sym etrię  u&  =   0  i  - —•  =   0,  stąd  z  równ an ia  (6.3)  otrzymujemy

Zwią zki  (6.1) i  (6.2) pozwolą  n a  obliczenie  przemieszczeń  tą ,  u„. P o eliminacji  u„  z  (6.1)

otrzymujemy  równ an ie  róż niczkowe  rzę du  pierwszego  n a  poszukiwaną  funkcję  u$

(6.4)  * L - ^ | L^  .liL.JSBL.4fe.,
v
  '  dq

  v
  dq  ^   cos<£   sm $  dq

C ał ka  ogólna  równ an ia  jedn orodn ego  wynosi

(6.5)  ŵ , =   / s i n ^ .

Stosując  m etodę  uzm ien n ian ia  stał ej  /   =  / (g)  otrzymujemy

d@  c o s $ s i n $  sia.2<j> dg

Stan  n aprę ż eń,  a  zatem  i  stan  odkształ ceń  okreś lony  jest  n a  drodze  numerycznej,  t ak
więc  podan ie  rozwią zania  zam kn ię tego  w  cał ym  obszarze  powł oki  nie  jest  moż liwe.

P ewnych  osobliwoś ci  w  rozkł adzie  przemieszczeń  spodziewać  się  m oż na  w  okolicach
podparcia  powł oki  lub  też  w  otoczeniu  pun ktu  Q =   0.  Zał oż yliś my  wcześ niej,  iż  podpory
zapewniają  stan  bł on owy  (odpowiedn ie  przemieszczenia),  stąd  interesują cym  n as  obsza-
rem  bę dzie  wierzchoł ek  powł oki  i  w  jego  otoczeniu  podam y  rozkł ad  przemieszczeń.

Korzystając  z  szeregów  (4.7)  i  (4.6)  oraz  prawa  H o o ke'a  (ograniczamy  się  do  powł ok
sprę ż ystych)  otrzymujemy  rozkł ady  odkształ ceń  . . .

(6.7)  e ^ ^ ^

(6. 8)  C e .

Wykorzystując  (6.7),  (6.8)  i  (4.10)  oraz  uwzglę dniając  dwa  wyrazy  szeregu,  po jedno-
krotn ym  scał kowaniu  (6.6)  otrzymujemy

(6.9)  /  =

R ówn an ie  (6.9)  wraz  z  (6.5)  okreś la  rozkł ad przemieszczeń  poł udnikowych  u$ w  oto-
czeniu pun ktu Q =  0. Ł atwo  sprawdzić,  że przemieszczenia  u$ jak  i u„ są  skoń czone w pun k-
cie  Q  =   0, zatem n ie istnieje  w  tym an i ż adn ym  in n ym  pun kcie stan  gię tny  powł oki.  Wnio^
sek  ten  dotyczy  powł ok  optym aln ych  równ om iern ej  wytrzymał oś ci  w  sensie  szerszym  ja k
i  powł ok  równ om iern ej  wytrzymał oś ci  w  sensie  wę ż szym.

7.  U wagi  koń cowe

P raca  został a zasadn iczo  poś wię cona  analizie  kilku  zagadnień  z  zakresu  optymalnego
kształ towania  powł ok  osiowo  symetrycznych  w  stanie  bł onowym.

U porzą dkowano  wystę pują cą  w  literaturze  klasyfikację  warunków  wytrzymał oś cio-
wych  dzieląc je  n a dwie zasadn icze  grupy,  okreś lone równ an iam i  (1.1) i  (1.2) oraz pokazan o



• 90  J.  KRU Ż ELEC KI

.róż nice  wynikają ce  z  zastosowania  tych  warun ków.  Z wrócon o  uwagę   n a "konieczność

wyodrę bnienia  powł ok  optym aln ych  równomiernej  wytrzymał oś ci  spoś ród  szerszej  klasy

powł ok  równomiernej  wytrzymał oś ci.

P roblem  optymalizacji  powł ok poddan ych  obcią ż eniom  m asowym  i  powierzchniowym

sformuł owano  jako  klasyczne  zagadnienie  rach un ku  wariacyjnego  oraz  zapropon owan o

m etodę   szeregów  potę gowych,  pozwalają cą   n a  uzyskanie  rozwią zań  w  otoczeniu pun ktu

osobliwego  g  =   0.  Stwierdzono  również,  że  powł oka  optym aln a  kształ towan a  w  oparciu

o  warunek  równomiernej  wytrzymał oś ci  H M H   przy  pewnych  obcią ż eniach  zewnę trznych,

(których  poszukiwano)  może  stać  się   powł oką   równom iernej  wytrzymał oś ci  w  sensie  wę ż-

szym  (1.1), jedn akże  konstrukcja  t aka nie speł nia wszystkich wymaganych  warun ków  opty-

malnoś ci  (a  mianowicie  warunków  transwersalnoś ci)  i  wykazuje  wię kszy  cię ż ar  od  tam tej.

Ostatni wniosek  może ulec zmianie w  przypadku  zastosowan ia  innego  warun ku  wytę ż enia.

Wykazano  też,  że  przemieszczenia  w  rozważ anych  powł okach  n ie  wykazują   osobli-

woś ci  (są   skoń czone).

N a  zakoń czenie  warto  podkreś lić  fakt,  że  w  stan ie  bł on owym  powł oki  optym alne

w  zakresie  sprę ż ystym  są   również  optym aln e  z  uwagi  n a  n oś n ość  graniczną ,  czy  też  czas

zniszczenia  przy  kruchym  pę kan iu  wedł ug  teorii  Kaczan owa —  H ayh ursta —  Leckie'go.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  C. B.  BIEZEN O,  Bijdrage tot de berekening  van  ketelfronten,  de Ingenieur,  37 (1922), 781.
2.  C.  BRAMSKI,  N iektóre problemy  obliczeń  stalowych  zbiorników  kroplokształ tnych,  XI I Konf.  PZTTB —

PAN ,  Krynica  1957, 349- 357.
3.  C, BRAM SKI,  Obrotowo- symetryczne zbiorniki  kroplokształ tne,  Zeszyty  N aukowe  P olitechniki  Biał o-

stockiej,  8,  1967.
• 4.  E. H .  BR OWN ,  T he  minimum  weight  design of  closed shells of  revolution,  Q uart.  J.  M ech.  an d  Appl.

M ath .,  15  (1962),  1,  109 - 128.
.5.  Z .  BYCH AWSKI,  W.  OLSZ AK,  Creep failure  of  nonlinear  rotational  schells.  „ 8 t h  C ongres I n tern ation al

Association  for Bridge  an d  Structural  En gin eerin g",  P ubl.  by  Secretariat  of  JABSE  in Z urich, N ew
York 1968.

6.  P .  CSON KA,  Hyperboloid shaped cooling  towar  with  a  mantle — wall  of  equal  strength,  Acta  Techn.
Acad.  Sci. H un g., 44  (1963),  1- 2,  215- 221.

7.  K.  FED ERH OFER,  Vber  die Form  des  W olbmantelbeckens,  Eisenbau  4,  (1913),  H eft  10.
8.  K.  FED ERH OFER,  Vber  Schalen  gleicher  Festigkeit,  Bauingenieur,  20, (1939), 366.
9.  K.  FED ERH OFER,  J.  KREBITZ:,  Vber  die strenge  Ermittlung  der Form  einer  allseitig  gleich gespannten

Rotationsmembrane,  Eisenbau,  5  (1914),  H elf  6.
10.  D . R .  H AYH U RST,  Creep rupture under multi- axial states  of  stress, J. M ech. P hys. Solids., vol. 20 (1972),

381- 390.
11.  G . A.  H OFFMAN ,  Minimum- weight  proportions pressure  vessel  heads,  T ran s.  ASM E  E  29, 4  (1962),

662  -  668.
12.  G .  A.  H OF F MAN ,  Optimal proportions of  pressure vessel  heads.  J. Aerospace  Sci., 29 (1962),  12,  1471 -

1475.
13.  W.  ISSLER,  Eine  Kuppel  gleicher  Festigkeit,  Z.  angew.  M at h .,  10  (1959), 6.
14.  W.  ISSLER,  Membranschalen  gleicher  Festigkeit,  Ingen- Archiv.,  33  (1969),  5,  330- 345.
15.  H .  K O P E C K I ,  J. WALC Z AK,  T he energy dissipation barrier as a criterion of  creep failure  of  rotating discs,

Arch.  Bud.  M aszyn,  4  (1976),  23, 455  -  460.
16.  C. N .  KOSTEM ,  T ensile optimum  wieght membrane  conteiners, IASS Pacific  Symposium, October i 7  -  23,

1971,  Tokyo  and K yoto.



PROBLEMY  OPTYMALNEGO  KSZTAŁ TOWANIA  POWŁ OK  .  91

17.  E.  KOTTEN MEIER,  Der  Stahlbehalterbau,  Stahlbau,  3  (1930),  17,  49,  73.
18.  F . A.  LECKIE, D . R.  H AYH U RST,  Creep rupture  of structures,  Proc. Roy, Soc. London, A  340, N o  1622

(1974),  323- 347.
19.  S.  Ł U KASIEWICZ,  Obcią ż enia  skupione w pł ytach,  tarczach i powł okach,  IPPT- PAN, PWN   Warszawa,

1976.
20.  G .  MEG AREU S,  Die  Kuppel gleicher Festigkeit, Bauingenieur,  20  (1939),  232.
21.  M.  MILAN KOVIC,  O membranamajednakogotpora, R ad. Jugoslovenske  Akademija,  Zagreb, 175, (1908),

140- 152.
22.  T.  PóSCHL, T echnische Daten  ilber tropfenformige  Mineraldlbehiilter,  Bauingenieur,  8  (1927).
23.  W. S. R E AD , Cassinian domes for  pressure vessels desing, Paper Amer. Soc. Mech. Eng., (1962), N ,  Ar- 54.
24.  R. A.  STRUBLE,  Biezeno pressure vessel heads,  J.  Appl.  Mech.  23  (1956),  642- 645.
25.  F .  TÓLKE,  t)ber Rotationsschalen gleicher Festigkeit fur  konstanten —  Innen und Aussendruck, Z.  angew.

M ath.  M ech.,  19  (1939),  338.
26.  H .  ZmQW .f.',~Kuppeln  gleicher Festigkeit, Ing.- Archiv,  26  (1958),  5,  378—382.
27.  M .  Ż YCZKOWSKi, Optymalne  kształ towanie  wytrzymał oś ciowe  powł ok, w pracy zbiorowej „Konstrukcje,

powł okowe",  IPPT- PAN, P WN   Warszawa,  1978.

H E KOTOP Ł IE  I I P OEJI EM BI  O I T O iM AJI BH O rO <£OPMH POBAH H H
O C E BO C H M M E T P iraE C K H X  E E 3M O M E H T H LI X OBOJIO^IEK

npo6jieM oft  H acToam eił   pa6oT H   H BjiaeTca  orrotMajiBH oe  (bopMHpoBaHHe  oceBO- cwwivieTpiwecKHx
6e3MOMeHTHtix  o6ojio^JeK3  c flOBOJiBH O o6m n in n  cHcieMaMK HarpyHteHHH   npe3eHTHpoBaHHŁ ii«a  iwaccoBbi-
M H  cHDiaMH  (coScTBeHHbiii  Bec, Bpam eH Ke), a TaKHte BH eniH ee HarpysKeHHe (n;aBjieHHe). B Ka^ecTBe <pyHK-
ił HH  nfijta npHHHT oS^eiw  OSOJI OU KU ;  aafla^a  p e t n a n a c t n p n  ncnojib3OBaHHK  KJiaccn«ecKoro BapHauriOHHoro

IloHCKH  pemeH H tł   BCJIH CB  B p a 3p n ^ y  o6ojiouei<  paBHoiwepHOH   npoHHOcTM,  BtifleJiHH   flBa  ocHOBHtie
TH nw  ycjioBH ił   npo^H ocTH   j3ycJioBH a  paBHOiwepHoń  n po^n ocTH  B Soiree  y3K0iw  CM wcjie"  ( 1. 1) ,  a
jjycjioBHM   paBHoMepH oti  npoliH ocTH   B  6o n ee  uiapoKOM   ciwbicjie"  ( 1.2) .

O n n p a a c b  Ha ycjioBH e  Tiina  ( 1. 2) 3  a  HMCHHO  ycnoBMe  F M F  npMBeflem>i  <J)opMti oSoJio^eK
H bix n pH  pa3JiHHHwx i<OM6HHai(n(Hx H arpyH teH H K. H ccneflOBaH a  TaKH<e npoSjieiwa  OSOJI OI KU  paBHOMepnoił
npoMHocTH  B 6o n ee  y3K0M   CMbicne  (1.1) —  I O K KOHCTpyKi?HH  onTH M antH aa. C  3Toił  iiejiwo  Beratct n o -
H CKH   BHeuiHKx  Harpy>KeHHH   npM  KOTOpbix  oSojio^iKa  BwnoJiH inomaa;  ypaBHeitHH   3ftjiepa- JIarpaH H <a

K  oSojiOTKe  paBH OMepnoii  n poiH ocTH   B  6o n ee  y3K0M   CMbicjie  ( 1.1) .  OKa3ajiocb3  U TO
TaKoro  TMna  He Bbin ojin n eT  Bcex  Tpe6yeM bix  ycnoBHfi:

S u m m a r y

SOM E  PROBLEM S  O F   OP TIM AL  D E SI G N   OF   TH E  AXIALLY  SYM M ETRICAL  SH ELLS  I N
M EM BRAN E  STATE

The  paper  deals  with  the  optimal  design  of  axially  symmetrical  shells  in  membrane  state  loaded by
general  system  of  loadings  represented  by  body  forces  (own  weight,  rotation) and  by  external  loading  —
pressure.  As  a criterion of  design  the minimal volume of  the shell  has been assumed. The  problem has been
formulated  as  a  classical  problem  of  calculus  of  variations.

The  possible  solution  shave  t o  be  found  in  the  class  of  uniform  strength  shells.  Two  basic  types  of
strength  conditions  have  been  disinguished:  „ condition  of  the uniform  strength  in narrower  sense"  (1.1)
and  the  more  general  one  „ condition  of  the  uniform  strength  in  broader"  (1.2).

With  the  aid  of  the H M H  conditions  (broader  sense)  the  shape  of  the  optimal  shells  under  different
system  of  loadings  have  been  given.



92  J.  KRUŻ ELUCKI

The question, if  the shell  of uniform  strength  in  narrower  sense is optimal  one has  been  examined. In
Order  to  answer  this  we looked  for  external  loading  which  transforms  the shell  satisfying  the  Euler -
Lagrange  equations  into the  shell  of the  uniform  strength  in narrower  sense  (1.1). It turns  out that  such
a  shell  does  not satisfy  all  demanded  conditions  of  optimality.

P OLI TEC H N I KA  KRAKOWSKA
IN STYTU T M ECH AN IKI
I  POD STAW KON STR U KC JI
M ASZ YN

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  23-  lutego  1978  r.