Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z1.pdf M E C H A N I K A TE OR E TYC Z N A I  STOSOWAN A 1,  17  (1979) U Ś CIŚ LONY  O P I S  D R G AŃ   WYM U SZ ON YC H   LI N I I  WAŁÓW  Z  U WZG LĘ D N IEN IEM ASYM ETR I I  SZ TYWN OŚ CI  N A Z G IN AN IE  I  P OD ATN OŚ CI  F U N D AM EN TÓW JAN USZ  K O L E N D A  (G DAŃ SK) 1.  Wstę p Przyję ty  w pracy  [1] m echaniczny m odel linii wał ów nie obejmuje  szeregu  wystę pują cych w rzeczywistych  u kł adach czynników,  które  mogą   być  uwzglę dniane  w  ram ach  liniowej teorii  drgań.  Celowość  i  sposoby  uś ciś lenia  m odelu  zależą   od  typu  rozpatrywanych  linii wał ów  i  warun ków  ich  eksploatacji.  P rzykł adowo,  n a  drgania  linii  wał ów  okrę towych sił owni  spalinowych  istotn y  wpł yw  wywierać  mogą   rn.in. takie  pominię te w  [1] czynniki, jak  stał a skł adowa  n ap o ru  ś ruby  i  tł umienie wewnę trzne  wał ów.  Mniejsze  znaczenie prak- tyczne mają   tu n a ogół  sprzę ż enia pomię dzy poszczególnymi  rodzajami  drgań  [2], a także  — ze  wzglę du  n a  stosun kowo  m ał ą   prę dkość  obrotową   wał u  ś rubowego  —  momenty  ż yro- skopowe.  W  niniejszej  pracy  uwzglę dniono  wpł yw  stał ej  sił y  poosiowej,  tł umienia wewnę - trznego,  odkształ ceń  postaciowych  od  sił   poprzecznych  i  momentów  sił   bezwł adnoś ci obrotu  oraz  podję to  próbę   uwzglę dnienia  asymetrii  sztywnoś ci  n a  zginanie  i  podatnoś ci fundamentów  w  u kł adach  przekł adn iowych.  P rzedstawiono  również  moż liwość  dokł ad- niejszego  opisu  drgań  linii wał ów  zawierają cych  wał y  korbowe  lub  inne zespoł y o  skompli- kowanych  kształ tach poprzez zastosowanie  podział u tych zespoł ów n a elementy skoń czone. 2.  Zależ noś ci  obliczeniowe  dla  uś ciś lonego  modelu  odcinka  wału Lepkosprę ż yste  cechy  m ateriał u  lin ii  wał ów  opisan o  poniż ej  przy  pomocy  modelu Voigta1}.  Z ach owan o  przy  tym  sposób  podział u linii  wał ów n a  odcin ki obliczeniowe  oraz zał oż enia  i  oznaczenia ja k  w  pracy  [1]. R ówn an ie  drgań  podł uż n ych, równ an ie  drgań  gię tnych  (w  dwóch  wzajemnie  prosto- padł ych  pł aszczyznach) z  uwzglę dnieniem  stał ej ś ciskają cej  sił y  poosiowej  / o i O )  oraz  rów- n an ie drgań  skrę tn ych  mają   dla  f- tego odcin ka wał u post ać: (2  1 2Ui \ QJ i dt 2   \ QJ i \ d^ ~   +  r i   dtdx 2 J Ł>  W przypadku  przyję cia  innego  liniowego  modelu  Teologicznego procedura  postę powania jest  ana- logiczna.  : 106 J.  KOLENDA o, Współ czynniki  r it   r si   charakteryzują  tł umienie  m ateriał owe w  i- tym  odcin ku  wał u  zgod- n ie  z modelem Voigta  [3]. D odatkowe uwzglę dnienie  wpł ywu  n a linię  ugię cia odkształ ceń postaciowych  oraz  bezwł adnoś ci obrotu  prowadzi  zam iast  (2.2),  (2.3)  do ró wn ań : (2.5) \ n W  których  (7;  jest  moduł em  odkształ cenia postaciowego,  n atom iast  (k 2 ) t ,  (fc3)(  są  współ - czynnikami  kształ tu przekroju [3]. Skupione  wymuszenia  zewnę trzne,  dział ają ce  w  koń cowym  przekroju  r- tego  odcinka wał u,  mają  postać [1]: i  - . 1 , 0 , 1, ,,,,v,,,.  ,(2.6)  ft'- EfgpapUiiwt),  « = 1 , 6 ;  ft  « = . . . ,  - v, i' W  analogicznej postaci poszukiwać bę dziemy rozwią zań równ ań (2.1) 4- (2.5): (2.7)  u ixa   =  £  u^ cxp(jfimt),  a =  1, ..., 4. P odobn ie opisywać się bę dą  ką ty  ugię ć, okreś lone zależ noś ciami r>  Q\   .,  oui x3   dui x2 W  wyniku  podstawienia  (2.7)  do  (2.1) ~  (2.4)  otrzymuje  się  równ an ia  róż niczkowe zwy- czajne,  których  rozwią zania  m oż na z uwzglę dnieniem  (2.8) przedstawić w postaci: (2.9)  u\ Q =  C\ l£df>,  u  =   . . . , — v,  . . . , — 1, 0, 1, . . . , v, . . . , gdzie: ix  = (2.10) (2.11) X 0 0 0 0 _0 1 0 0 0 0 0 ( 0 c o s A ( 2 0 ) x 0 0 0 Ai0> sin A$, 0> x - 'ix  —  L'- xmn 0 sinA^x 0 0 0 4°>cos4°>x (i)>  /« 9* 0 , 0 X 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 m 0 0 cos4°>* 0 A( 3°'sin A ( 30 ) x  - 0  , - 1 . . . . - . 6,  n 0 0 sin A( 3 0) 0 A(3°'cos- 0 0 0 0 l(30)X  1 0 , 1 2 , 0 0 1 0 0 0 0 0 0 X 0 0 0 0 0 1 0 0 -   «xp [ - =   e x p [ - UŚ CIŚ LONY  OPIS  DRG AŃ   LIN II  WAŁ ÓW 107 P ozostał e elementy macierzy  C{§  są  zerowe. Poszczególne wielkoś ci  Aw  oznaczają: (2.12) (2.13) (2.14) (2.15) (2.16) S8),   = / o T > + Jak  ł atwo  stwierdzić,  uwzglę dnienie  wpł ywu  odkształ ceń  postaciowych  i  bezwł adnoś ci obrot u zgodnie z (2.5) wymaga  zastą pienia w zależ noś ciach (2.16) wielkoś ci  / o i O ) przez oraz  wielkoś ci  / i£  przez 108  J.  KOLENDA h V 2  ' Wielkoś ci  (Affix,  (Xffii,  (Af£)t,  (X£l)i róż nią się od wielkoś ci  (2.15) jedynie  wystę powaniem (/ 3)i  zamiast  (I 2)t  oraz  (k})t>  zamiast  (fc2)u-   W dalszej  czę ś ci  p . 2 pom inię to  indeks  / J, w  oznaczeniach elementów macierzy  opatrzonych tym  indeksem. N a  podstawie  zależ noś ci  "(2.9)  oraz  znanych  relacji  pomię dzy  sił ami  wewnę trznymi p i x a  i  przemieszczeniami uixa  [1] zapisać  moż na macierz kolumnową  amplitud jtł - tych  skł a- dowych  tych sil/ 4*'  =   {P?xa} w postaci (2.17)  p<§ =   A%<Ą gdzie: (2.18)  A®  - ~EA0  0  0  0 0  0  0  0 0  0  0 0  0- EI 2 X 3 2 sinX 2 x  EI 2 X 3 2 cosX 2 x  0 0  0  0  0 0  0  0 0  0  0  0  0 Q- EI 3 X\ sinX 3 x  EI 3 X 3 3 cosX 3 x  0 0  0  0 0 0 0  0 0 0 0  0  0 0 CT S   0 0  0  0  0  0 0- EI 3 X 2 .cosX 3 x- ~EI 3 X z .sinX 3 x0  0  0  0 0  0  £ / 2A|cosA2^  EI 2XjsmX2x  0 0  0  0  0 0  0  0_(1- (2.19)  A& -   fea.Jw,  A* 9* 0,  m -   I , ....  6,  « =  1, ....  12, a xl2   =  - ^ ( ^ r i + A z ) ^ ,̂  4x4,i2  =   - CT s (X 51 +jX S2 )c x4A2 , f ' c x 2 3 ,  « x 5 7  =   EI 3(X31+jX32) 2 c x31 , =   EI 3 (A 33 —jX 34 ) 2 c x3 c), ^  - ^ 3( ^ 33 ~ 7"34)  C A:3, 10> =   ~  EI 2 (X 2 i  +jX 22 ) 2 C x23   , a x3a   = EI 3 (X 3 x+jX 32 yc x3S ,  a x64   =   - EI 2 (X 2l +jA 22 ) 2 c x24 ., ax39  =   - £ /3 ( ^3 3 - ^3 4 ) 3 ^3 9 ,  ax65  m  - EI2(X23- jX24) 2cx25, ^X3,1Q  =   ^ 3 ( ^ 3 3  ~ 1 ^ 3 4 )  Cx3.1O>  #JC66  =   ~  EI 2 (X 23   — j  X 2 Ą )  C X26   . Pozostał e elementy macierzy  î{jj{3 są zerowe. Znajomość macierzy Cf£} oraz A\ £ umoż liwia wyznaczenie macierzy przejś cia,  wią ż ą cych macierz  kolumnową  współ czynników  aj^i dla (i+ l)- go  odcinka z macierzą  a'/ ') w przy- padkach  wystę powania  sił  skupionych,  masy  dyskretnej,  sprzę gła  elastycznego  etc. P o- niż ej  ograniczono  się do przypadku,  gdy  pomię dzy i- tym  oraz  (i+ l)- ym  odcinkiem wystę- pują  sił y  skupione f ia   (wymuszenia  zewnę trzne  lub  reakcje  ł oż yska).  G dy  osie  lokalnych ukł adów  współ rzę dnych  obu  są siednich  odcinków  są do siebie  odpowiednio  równoległ e, zachodzą  warunki  [1]: «H3 -   «f&,o«»  o c = l , . . . , 6 , (2.20)  pW =Plil\ ,o a +n  *  *  *  3  lH-   1 1 2  J —  o0 U  1 —  0 0 (£ / 2Aicosi2/ )- 00 (£ 72AicosA2/ ), c o s( A2/ ) ( - (£ 72AlcosA27)( sin ( A2 / ) j — W  = (b l3 - b is )ci 24 .  (b 1B - b 20 )Ci 2S ( i ) s( As l  + ; As 2 ) ] ; 2[ C / S ( AS 1 + ; AS 2 ) ] ( + 1 (*9.io)i  - 1 1 , + i  ±  (A21 ±   ( A2 3  - ±   (Aa 110  J.  KOLENDA [ £ / ( ^  + ^ ) 2 ) ] i +   1 [(^23 " A * ) ^  1 ±  (^23  - e n   - M acierze 5}°'  i B^ > róż nią się od macierzy B$  i - B̂  wystę powaniem  7 3 , A3 i X3Y(y  =   1,  ..., 4) zamiast  72,  A2  i  X2v-   Wielkoś ci  ąm„  są  elementami  macierzy  C/ ^(2.11)  dla  x  =   / ,. M acierz Ff>  m a  postać: (2.23)  F/ w  =   [ A„ ] 1 2 x 6 . Elementy  AM  wynoszą  dla  ^  =   0: — ,  # 4 2  — A 2JtJi+1 1  •   ,.  1  .  1 3  ̂ '  j  "11, 4  =   """ oraz  dla  (i  ?=  0: .  ,  1  .  ,  .  1 " 1 1  =  ­ " 2 1  =  ­  ­TTiT^TT^  ,  ­i  M  >  " 3 2  —  ­ « 4 2  T~» —  (A2i+yA2 2)i + l»  "52  "  ~ " 6 2   =  ~ ^56  =  ^66  «•  ( A 2 3 ­ y A 2 4 ) , +  i ,  A73  =  ­ A 8 3  =  ~  . " 7 5  —  fias  m  ( A + / A )  A .  ,  1  , .  . .  .  .  V  1 " 9 5  —  "10,5  = K^33"~J^34-)i+l>  "11,4  —  —"12.4  ~  ~" eu  ­ Pozostał e elementy  macierzy  i7'!'*' są   zerowe. W  przypadku,  gdy  odcinki  i- ty  oraz  ( i+ l) - y  n ie  róż nią   się   stał ymi  materiał owymi, macierz  Ą ( r t  (,M  #   0)  staje  się   diagon aln a: ( 2 . 2 4 )  JSf0  =   [ C J U ,  C , 1 2 ,  C i 2 3 ,  C , 2 4 ,  Ci2S,Cl26,  C , 3 7 s  C , 3 8 )  C J 3 9 J Oznacza  t o ,  że  mnoż enie  J5((+ }i  •   Bfy...  sprowadza  się   wówczas  do  sumowania  dł ugoś ci odpowiednich  odciuków  wał ów  w  wykł adnikach  funkcji  eksponencjalnych  c lmn .  P odobn ie U Ś CIŚ LONY  OPIS  DROAŃ   LIN II  WAŁÓW 111! postę puje  się   przy  m n oż en iu  B^   •   B\ 0}...  gdy  stał e  m ateriał owe  kolejnych  odcinków  są . jedn akowe. Sposób  wyznaczania  drgań  wymuszonych  linii  wał ów  n a  podstawie  powyż szych  za - leż noś ci jest analogiczny ja k  w  [1].  U wzglę dnić przy tym należ y, że zgodnie z (2.13)  — (2.16). dla  odcin ków  wał u  o  wł asnoś ciach  lepkosprę ż ystych  n ie  zachodzą   dla  v  =   \ p\  równoś ci:. jak  to  m iał o  miejsce  dla  idealnie  sprę ż ystych  odcinków  wał u  [1]. M am y  tu zatem (2.25)  u ix   = tzn .  wzdł uż odcin ka  o wł asnoś ciach lepkosprę ż ystych  ką ty  przesunię ć fazowych  przemiesz- czeń  (sił  wewnę trznych)  wzglę dem  wymuszeń  są  zm ien n e. 3.  D rgania  wymuszone  linii  wałów  w  ukł adach przekł adniowych  z  uwzglę dnieniem  asymetrii  sztywnoś ci na. zginanie  i  podatnoś ci  fundamentów U wzglę dnienie  asym etrii  sztywnoś ci  n a  zginanie  przy  pominię ciu  sprzę ż eń  pom ię dzy poszczególnymi  rodzajam i  drgań  n ie  wpł ywa  n a  drgan ia  podł uż ne  i  skrę tne  linii  wał ów,, dlatego  też  poniż ej  ogran iczon o się   do  opisu  drgań  gię tnych  n a  przykł adzie ukł adu  przed- stawionego  schematycznie  n a  rys.  1.  Z akł ada  się ,  że  czę ść  A  linii  wał ów  zawiera  odcin ki o  koł owej  symetrii  sztywnoś ci  n a  zginanie,  n atom iast  odcinki  w  czę ś ci  B  wykazują   asy- m etrię   sztywnoś ci  n a  zgin an ie.  U kł ad  ten  może  być  zatem  traktowan y  jako  model  lin ii wał ów  okrę towej  sił owni  spalinowej  z  przekł adnią ,  w  którym  pominię to  czynniki  n ie- istotn e  dla  poniż szych  rozważ ań  (n p.  wpł yw  in n ych  m as  dyskretnych  poza  ś rubą   o k- rę tową ). W  celu  uproszczenia  opisu  m oż na  drgania  w  czę ś ci  A  rozpatrywać  w  nieruchomych ukł adach współ rzę dnych, których  osie  są   odpowiedn io  równoległ e do osi  ukł adu  odniesie- n ia  kon strukcji  podpierają cej  x ± ,  x 2 ,  x 3 .  D rgan ia w czę ś ci B wymagają   opisu w ruchomych. przekTodnia U A 1  U / i Rys.  1.  M odel  obliczeniowy  ukł adu  przekł adniowego,  fa a ,  ( / ^ — uogólnione  sił y  zewnę trzne;  co — prę dkość ką towa  wirowania  wał ów w czę ś ci A: nco — prę dkość ką towa  wirowania  wał u w czę ś ci B; 1, 2,  ..., n A ;  1, 2, . . . , n B — numery  kolejnych  ł oż ysk  w A i B ; 1,2,  ...,n'A;  1,2,  ...,n'B  — numery kolejnych  odcinków  obliczeniowych  w A  i B; x 31 ,  x 32 ,  x 33   —nieruchomy  ukł ad współ rzę dnych odcinka n r 3; Xj, X 2 ,  X 3  — nieruchomy ukł ad odniesienia konstrukcji  podpierają cej. 112  J.  KOLENDA ukł adach  współ rzę dnych,  których  odpowiednie  osie  są  równoległ e  do  gł ównych  central- nych  osi  bezwł adnoś ci  przekroju  poprzecznego  danego  odcin ka  [1]. Warun ki  brzegowe dla  czę ś ci  A zapisać  moż na w postaci: (3.1)  K o a +   Wo«Mfoa +   &OaWfo«  =   +   / o a ,  OC =  2 , 3 , 5,  6, (3.2)  K' A u=±f^ a - Przy  podwójnych  zn akach  " + " i  " - "  górny  znak  dotyczy  a  =  2,3,  dolny  —  a  =  5,6, Wielkoś ci  oznaczone  wę ż ykiem  odnoszą  się  do  nieruchomego  ukł adu  współ rzę dnych. Współ czynniki  wo« i cQa  są odpowiednimi  elementami macierzy  bezwł adnoś ci  ś ruby  okrę- towej  (z uwzglę dnieniem  masy  wody  towarzyszą cej)  i macierzy  współ czynników  lepkoś cio- wego  tł umienia  wody,  n atom iast / o«  jest  znaną  sił ą  dział ają cą  n a ś rubę  okrę tową  w  kie- run ku  a, którą  przedstawić  moż na w postaci  analogicznej  do (2.6): ( 3 . 3 )  / S ,  =  £  Z o T ' e x p O ^ O ,  y « =   - , ", • •  - , - 1 , 0 , 1,  . . . , v ,  ... ^ a  jest nieznaną  reakcją  dział ają cą  w kierunku  a na  odcinek riA w ł oż ysku  o numerze n A .  Warunki  brzegowe  dla czę ś ci  B mają  postać: (3.4)  P?0«  =   + / !a , (3.5)  'Pija  =  0. gdzie/ oa jest nieznaną reakcją  ł oż yska n r  1 w kierunku  a. W czę ś ci B dział ają  wymuszenia  od silnika,  które w ruchom ych ukł adach współ rzę dnych przy  prę dkoś ci  ką towej  silnika  nco  wynoszą: (3.6)  (/3T)» =  ]?  (f^ ) h exp(jrfna>t),  p  =  ..., - V, ..., - 1 , 0, 1, ..., v ... Indeksem h oznaczono n um er pun ktu przył oż enia sił  wymuszają cych  w czę ś ci  B, n atom iast i  jest liczbą  cykli  pracy silnika, przypadają cą  n a  1 obrót  wał u I  £  =  -  ̂dla silników  cztero- suwowych  i  £.m 1 dla  dwusuwowych). Wprowadzając  cią gi  indeksów  1, 2,  ...,n A   oraz  1, 2,  ...,n B ,  odpowiadają cych  ko- lejnym  podporom  ł oż yskowym  w  czę ś ci  A  i  B,  utworzyć  m oż na  macierze  kolumnowe reakcji  w ł oż yskach i przemieszczeń  wał u w miejscach  podpór  ł oż yskowych: (3.7)  fA  =  {fi},ft  =   {ft},  uA  m  {uf},  ut  -   {uf a },  i  -   1, ...,n A ,  «  -   2, 3, 5, 6, (3.8)  p  -   {/ f  },/ f  =   {ff a },  u*  =   {uf},  uf  -   {«?«}, /  =   1, ..., n B ,  oc = 2,3,  5,  6. W  celu  uwzglę dnienia  wpł ywu  podatnoś ci  fundamentów  należy  przetransformować  wiel- koś ci  (3.8)  do nieruchomego  ukł adu  współ rzę dnych: / B = i 7 / B ,  « B = i 7 M B , II  =   ZZexp(—,jncot)+nexp(jncot), U Ś CIŚ LONY  OPIS  DRGAŃ   U N I I  WAŁ ÓW 113 (3.9) 1 2 1 j 0 0 —j 1 0 0 0 0 1 7 0 0 - J 1 exp( - A- 4- 1 - ; 0 0 7 0 0 0 0 1 - j 0 0 j 1 exp(/ <5,), gdzie  <5( oznacza  kąt obrot u  lokaln ego  ruchom ego  ukł adu  współ rzę dnych  odcinka pod- partego n a swym lewym koń cu / - tym ł oż yskiem, mierzony  wzglę dem  nieruchomego  ukł adu współ rzę dnych  x x ,  x 2 , x 3   w  kierun ku  wirowania  wał u  silnika  w  chwili  t = 0  [1].  Jak wynika  z  zależ noś ci  (3.3),  (3.6) i  (3.9),  n a skutek  wzajemnych  oddział ywań  obu czę ś ci linii  wał ów  i  fun dam en tu  n ależy  przewidywać  nastę pują cą  postać  nieznanych  wielkoś ci: i  ^   of]}5  / - I ,  ...,nA, (3.10) f,k k  = j ,  ..., - 1 , 0, 1,  ..., s, gCjm+tan   e t C i a  =  2, 3, 5, 6, i  analogicznie  dla wielkoś ci  uf x ,pf x ,ff  w  czę ś ci  B. Ź ródł em  skł adowych  o  czę stoś ciach (jt+kri)co  są wymuszenia  dział ają ce  n a ś rubę,  a skł adowych  o czę stoś ciach  (fiin  + kn)a>— wymuszenia  od siln ika.  Liczba  czł onów po k w szeregach  (3.10) zależy  od krotnoś ci  obiegu skł adowych  o czę stoś ciach  / uco i / xl- na>  przez  pę tla  sprzę ż eń  pomię dzy  fundamentem i linią wał ów,  a  więc  do tł um ien ia  w  ukł adzie.  N a skutek  tł umienia  ze wzrostem  wartoś ci  \ k\ am plitudy  szukan ych  wielkoś ci  maleją.  Wystę pują ce  w  (3.10)  macierze  kolumnowe am- plitud  przemieszczeń  i sił  wewnę trznych  w przekroju  x / - tego  odcinka wyraż ają  się zgodnie z  (2.9) i  (2.17)  zależ n oś ciam i: yĄ (.li+kn) _  (jOi+kn) a Ą lii+kn) ̂ ~A(p ( 3  11)  ufW S"+kn'> —  Cftf6»+ *»WCJ»+ *8) •  4fCM»+ta> „   { ^{ a+ Ł" ) } ,  ?  = 3, 4 , . . . .  10. M acierze  C(£+kn\   A( tx +kn)  etc. stanowią  bloki  macierzy  (2.10),  (2.11),  (2.18)  i  (2.19) do- tyczą ce  drgań  gię tnych,  w  których  należy  / J, zastą pić  przez  (/ j, +  kri)  lub  (j/ ,£n+kn)  oraz podstawić  (72)[ =  (73)(, (k 2)i = (/ c3)(  w  blokach  dotyczą cych  czę ś ci  A. P odobn ie  wyko- rzystując  odpowiedn ie  bloki  macierzy  (2.22),  (2.23) i relację  (2.21)  m oż na  dla  kon kretn ej linii  wał ów  sprowadzić  warun ki  brzegowe  (3.1), (3.2)  do postaci: i  AA([i+kn)gA(ii- \ - kri)  _  Q  fc  /   Q  „   __  y  1 0  1  V ( 3  12)  I AA... < W + * " ) J 8 X 4 „ B )  y- p+ ftB)  .  {/ $• + *• >},  a  =   2,  3, 5,  6. Poniż ej  wyznaczono  amplitudy  skł adowych  o czę stoś ciach  (  («+ ^«)o), gdyż  postę po- wanie przy  wyznaczaniu  amplitud skł adowych  o czę stoś ciach  (fił - n+kn)(o jest analogiczne. Rozpatrzono  ogólny  przypadek,  gdy  analiza  winna  objąć  skł adowe  o  czę stoś ciach (fi+kn)o>  d l a  / i  =   - r,  . . . ,  - 1 , 0,  1, ...,r  o r a z  A =   - s,  ...,  - 1 , 0 , 1,  ...,s  (r,s  —  d o - wolne  liczby  naturalne). N iezbę dna  w  tym  celu jest  znajomość  macierzy  współ czynników podatnoś ci  dynamicznej  fundamentu  b(fl+kn\   wią ż ą cych  macierze  kolumnowe  amplitud reakcji  w  ł oż yskach  i  przemieszczeń  wał ów  w  miejscach  podpór  ł oż yskowych: (3.17) U Ś CIŚ LONY  OPIS  DRG AŃ   LIN II  WAŁ ÓW  •   J]5 gdzie: n )j  fin+kn)  _  (sA t  -   1 , . . , ,  n^,  «?<"+ *»)  =   {«#*+ *»>},  a -   2, 3 , 5 , 6, {  j  =   1, .,,,   nB   etc. U ogólniając  zależ noś ci  wyprowadzone  w  [1], macierz  £<"+ *"> traktuje  się jako  sumę ma- cierzy  współ czynników  podatn oś ci  dynamicznej  konstrukcji  podpierają cej  linię  wał ów £)W +kn)  }  blokowo  diagon aln ej  macierzy,  współ czynników  podatnoś ci  dynamicznej  filmu olejowego  w  ł oż yskach  D(il+kn): gdzie: 5f  ̂ -   [ / ^* ] ,  a, p =  i,...,  6, / "0 — zespolony  współ czynnik  podatn oś ci  dynamicznej  filmu  olejowego  w  z- tym ł o- ż ysku,  okreś lony  analogicznie jak d\ f afS  w  [1]. M acierz  JD ("+ / "°  w zależ noś ci  (3.17)  zawiera elementy  odnoszą ce  się d o a  = 2, 3, 5, 6  (tj. do drgań  gię tnych)  i jest  stopnia  4(n A +n B ). W  macierzy  b(ft+kn)  m oż na  wydzielić  podmacierze n A   wierszy (3.19) 4«B  wierszy 4n A   kolumn Wartoś ci  m oduł ów elementów  macierzy D(j$kn)  i D^ kn)  są miarą  sprzę ż eń pomię dzy pod- poram i  ł oż yskowymi  w czę ś ci  A  a podporam i ł oż yskowymi  w czę ś ci  B, decydując  tym sa- mym  o celowoś ci  ł ą cznego rozpatrywan ia  drgań  gię tnych  obu czę ś ci  linii  wał ów. Przy za- ł oż eniu,  że  sprzę ż enia  te  nie  są  zaniedbywalne,  z  (3.17)  i  (3.19)  otrzymuje  się: '  fiB{n  + kn)  __  j~)(u+kn) skui+kn)  Ą . jyty+kri) fB(.ti+kif) Z godnie  z  (3.9) m am y fB(M+kn) _  / jr B[ i«+ ( i+ l) n ]  i  ]JfBln+(k- IM (3 21)  ' zatem (3.22) Peł ny  ukł ad  równ ań  (3.22)  dla  wszystkich  uwzglę dnianych  skł adowych  zapisać  m oż na w  postaci: ii  M  . - -   =   V B ' A ~J  ~~   +1>BB  J  , V 116 gdzie: J .  KOLEN D A )  ~ .4( r, s- l)  ~/ , ,  ...,  U  -   ,  U )  ~- 4 i"   +  k " ) } , f   i- r+kn) l^ AA  > )  u  AA O  7 7 ^ n(r-   o II  -   =  [77,  77,  . . . ,  / 7]4.Ba(2i- + i)j  7 / -   =   [77,  77, . . . , "] 4 n a ( 2 r + l ) j o ( - f+ l+ l!n) ( r - l  +   fcn) 4n B ( 2r + l) ( 2s+ l) ^ B B  —  [- OjJB P ozostał e  bloki  macierzy  7121'i?  i  D ^  są  zerowe.  M acierze  kolum n owe  uB<Ł '$, / / t ( - '-> , / B fc S  tworzy  się  analogicznie  jak  uA(- - ^ ,  macierz  D%'J-   tworzy  się  ja k  - D;£f,  a  macierz Ł Postę pując  podobn ie z  warun kam i  (3.12),  (3.13) i  (3.16) ja k  z  równ an iam i  (3.22)  otrzy- muje  się: Z}  =  FteSgf&S,  fB(- '!l  =  G(- '^ fAi- '^ , gdzie: "—m ac ier z  jedn ostkowa. xr JX • .'• .• .  4.  Zastosowanie  podział u  na  elementy  skoń czone'  • M etody  elem entów  skoń czonych  (odkształ calnych  [4]  i  sztywnych  [5])  zapewniają wysoką  jakość  analizy  ukł adów  cią gł ych,  dlatego  celowe  jest  rozpatrzenie  moż liwoś ci zastosowan ia  tych  m etod  do  opisu  drgań  wirują cych  ukł adów cią gł ych, podpartych podat- 118 J .  KOLEN D A n ie.  D la  uproszczenia  rozważ ań,  zarówn o  zastosowan ie  m etody  odkształ calnych  ele- mentów  skoń czonych  (OES) ja k  i  m etody  sztywnych  elementów  skoń czonych  (SES)  zi- lustrowan o  n a  przykł adzie tego  samego  ukł adu,  przedstawionego  schematycznie n a  rys.  2. P odział em  n a  elementy  skoń czone  obję to  ten fragment  ukł adu,  dla  którego  dokł adn y opis drgań  przy  pomocy  równ ań  róż niczkowych  czą stkowych  n ie jest  moż liwy  —  tj.  wał   kor- Rys.  2.  Schemat  rozpatrywanego  ukł adu. /<&.—: wymuszenie  dział ają ce  n a ś rubę   okrę tową;  (/ o*)*— wy- muszenia od silnika,  dział ają ce na czop korbowy  w A:- tym wykorbieniu;  ca — prę dkość  ką towa  wirowania linii  wał ów. (4 j- ty obcinek wału PodukTad n r 1 PodukTad nr 2 Poduklad n r L Poduktad  , n r ( M ) ~ " |   " Rys.  3.  Schemat  podział u  wał u  korbowego  o  /  wykorbieniach  n a  podukł ady  elementów  skoń czonych. bowy. W  wale korbowym  o  /  wykorbieniach  wyodrę biono  /  podukł adów,  z  których  każ dy podzielono jedn akowo  n a  dowolną   liczbę   elementów  skoń czon ych.  P rzykł adowy  schemat podział u  wał u  korbowego  n a  podukł ady  przedstawion o  n a  rys.  3. Stosują c  metodę   SES,  podukł ady  n r  1,  2,  ..., /  podzielon o  n a  m  elementów  SES  o  6 stopn iach  swobody,  poł ą czonych  v  elem entam i  sprę ż ystym i2'.  Odcinek  wał u  z  tarczą przednią   stanowi  podukł ad n r  ( / + 1) ,  zawierają cy  m' +1  elementów  SES  i  v'  elementów sprę ż ystych  (rys.  4). D la cylindrycznych  odcinków  wał u korbowego  przyję to  cylindryczny kształ t  SES.  Każ demu  SES  przyporzą dkowano  lokaln y  u kł ad  współ rzę dnych,  wirują cy 2 )  U wzglę dnienie  lepkoś ciowego  tł umienia  nie wprowadza  istotnych  zmian do poniż szych  rozważ ali, dlatego  został o ono pominię te. UŚ CIŚ LONY  OPIS  DRGAŃ  LINII  WAŁÓW 119 z  prę dkoś cią   ką tową   co wzglę dem  osi  linii  wał ów  i  pokrywają cy  się   w  stanie  spoczynku z  gł ównymi  cen traln ym i  osiam i  bezwł adnoś ci  tego  SES.  D odatn ie zwroty  uogólnionych sił  dział ają cych n a SES i jego uogóln ion ych przemieszczeń przyję to jak  n a rys.  2 w pracy  [1] dla  si ł / i a  i  przemieszczeń  uiX(X.  Każ dy  SES  okreś lony  jest  blokiem  współ czynników  bez- wł adnoś ci M e =[m ea \ ,  a  =   1, . . . , 6 ,  e  =   1,  ...,m. Każ demu  elementowi  sprę ż ystemu  przyporzą dkowano  lokalny  ukł ad  współ rzę dnych, pokrywają cy  się   w  stan ie  spoczynku  z  gł ównymi  osiami  tego  elementu.  Każ dy  element sprę ż ysty  okreś lony  jest  blokiem  współ czynników  sztywnoś ci C k   «  [c ka ],  a  =   1,  . . . , 6 , 1 . . . . . Ó . Poduktad  nr 2  Poduktad  nr I Element  Element 5prę ż ysty(1)3  sprę ż ysty  (v Rys. 4. Schemat podział u wał u korbowego  na sztywne  elementy skoń czone (SES). x u , x « , xls  — lokalny ukł ad  współ rzę dnych elementu SES nr 1; & Ł  — ką t  pomię dzy  pł aszczyzną   pierwszego  wykorbienia  a pł asz- czyzną   utworzoną   przez  osie x lL , x j2   ukł adu współ rzę dnych ./ - tego prostego  odcinka linii  wał ów; X t , X 2 , Xi  — nieruchomy  ukł ad  odniesienia  konstrukcji  podpierają cej. Z e  wzglę du  n a  identyczny  podział  n a  SES, wp o d u kł ad ac h n r  1, ..., /  zachodzi c la   = c m . Element  sprę ż ysty  n r v  jest  równocześ nie  pierwszym  elementem  sprę ż ystym  nastę pnego podukł adu.  Analogicznie  okreś lone  są   elementy  sprę ż yste  i  SES  w  podukł adzie n r  (/ + 1). W  celu  ł atwiejszego  wyznaczenia  odpowiednich  macierzy  przejś cia,  w  granicznych przekrojach  poszczególnych  podukł adów  wprowadzon o  dodatkowo  bezmasowe  SES, oznaczone  n a  rys.  4  n um eram i (m+l)x,  ( m + 2 ) i ,  ...,  (m' +  l ) 1 + 1 .  I n deksam i  dolnymi ozn aczon o przyn ależ n ość  tych elementów do dan ego podukł adu.  Indeksy  doln e elementów SES  n r  1, . . . , m  oraz  1,  . . . , m'  i  wszystkich  elementów  sprę ż ystych  pom in ię to  w  dalszej czę ś ci  pracy. Ką ty  pomię dzy  pł aszczyznam i  kolejnych  wykorbień  a  pł aszczyzną   utworzoną   przez osie Xj lt x j2 j- tego  prostego  odcin ka  linii  wał ów  (rys.  4)  oznaczono # x >  $2,  • • • ,  # !•  Z ak- ł ada  się ,  że  osie  x e l ,  xe2  każ dego  cylindrycznego  i  każ dego  bezmasowego  SES  w  danym 120  • • • ', -   J-   KOLEN D A podukł adzie  leżą  w pł aszczyź nie  wykorbienia  znajdują cego  się w tym  podukł adzie.' Osie x el ,  x e2   cylindrycznych  i bezmasowego  SES w podukł adzie n r (/ + 1)  leżą  w pł aszczyź nie odchylonej  o dowolny  kąt  # i + 1  od  pł aszczyzny  utworzonej  przez  osie  xju  Xj2 y- tego od- cinka. Osie Xj 2 ,  xj 3   są  w chwili  t  — 0 odpowiednio  równoległ e do osi x 2 , x 3   nieruchomego ukł adu  odniesienia  konstrukcji  podpierają cej. Skł adowe  sił  od silnika  odnosi  się do lokalnych  ukł adów  współ rzę dnych  SES  n r p, które  przejmują  wymuszenia  w ł oż yskach  korbowych.  D la  £>tego  wykorbienia  zapiszemy je  analogicznie  do (3.6),  ograniczając  się do przypadku  1 = 1 : (4.1)  (f?)k  =  Z't/ y^wpCj/ M fflO,  * -   1, - ,6,  / f...,  - v,  ...,  - 1 , 0,  1, ..., », ... Elementy  SES,  których  gł ówna  centralna  oś bezwł adnoś ci  nie  pokrywa  się z  osią  linii wał ów,  poddane są dział aniu sił   odś rodkowych.  D la  SES  n r  g,-   oznaczymy  je fjj* a , (a.  = =   1, ...,  6).  P on adto n a SES  n r h  dział ają  nieznane  reakcje  w  ł oż ysku  ram owym : (4.2)  (f ha ) k   = D la  fe- tego  podukł adu  tworzymy  macierze  kolumnowe  6- elementowe oraz  macierze  kolumnowe  (6m)- elementowe: (f vw h  =  {o, ...,o, f / n . o ,  ,„ o}, p- ta  kolumna  6- elementowa g2 A- ta  kolumna  6- elementowa c r t a  kolum n a  6- elementowa ( 4- 3)  •   (/ *< ">) gdzie:  d Of , — delta  Kron eckera, ' w )k  =(f' w )k  tf)  { / } Zachowując podstawowe  oznaczenia stosowane  w  [5], wyodrę bniono  w  &- tym podukł adzie m  elementów  SES  o  „ n iezn an ym "  ruchu (4- 4)  (q ea ) k   =  2 "  tóVxp(j>coO,  e  =  1, .... m,  a =  1, ..., 6, na  które  dział ają  wyż ej  wymienione  sił y  o  postaci (4.5)  (/*„)* m ̂ (fDktspUftat),  e' -   1,.... m i* oraz  dwa  elementy  SES  o  „ d a n ym "  ruchu (4- 6)  (z ea ) k   m £  (zW)4 exp(/ / a»0,  e «  (IM  +  l) fc , (m U Ś CIŚ LONY  OPIS  DRG AŃ   U N I I  WAŁ ÓW  121 n a  które  dział ają  okreś lone  niż ej  sił y  o  postaci (4.7)  (r ea ) k   =  £  OtoD jtexpOcuO,  e  =   (m+  l) k>   (m+2\ . ą R ówn an ia  ruchu  dla  u kł adu  zł oż onego  z  elementów  SES  o  „ n iezn an ym "  ruchu  i  o „ d a- n ym "  ruch u  mają  w  ogólnym  przypadku  postać  [5]: gdzie:  M  —  macierz  bezwł adnoś ci  ukł adu  o  „ n iezn an ym "  ruchu,  M ' —  macierz  bez- wł adnoś ci  ukł adu  o  „ d a n ym "  ruch u,  K —  macierz  sztywnoś ci  ukł adu  o  „ n iezn an ym " ruchu,  K'  —  m acierz  sztywnoś ci  ukł adu  o  „ d a n ym "  ruchu,  K "  —  macierz  sztywnoś ci poł ą czeń ukł adu o  „ n iezn an ym "  ruch u  z  ukł adem o  „ d a n ym "  ruchu.  Sposób  wyznaczenia tych  macierzy  p o d an o  w  [5].  M acierz  kolumnową  w e   =   {z e ,  r e }  nazywać  bę dziemy  wek- torem  stan u  elementu  SES  n r « =   (m+l) k   lub  e  =  (m+2\ . Tworząc  macierze  kolum n owe =   {( < ? r U   e  =   1,  . . . , m,  (q«%  =   {($&>)»},  a  =   1,  ...,  6, i  wykorzystując  równ an ia  (4.8)  otrzymuje  się  dla  pierwszego  podukł adu  SES (4.9)  ( ? {' i ) ) i  =  ( K C ) - 1[ ( / 2 ( ' 0 ) i- - - K "( z< 'l ) ) 1] , (4.10)  T C ) ( zW) 1 +  (/• (' J>)1  =  P lv) (f zW )i, gdzie: K<">  =   K- (vw)2M,  v  =  \ / j,\ ,  T< r)  =   P ^ K " - ^,  P ( v )  =   ( K 'O ^K C ') "1- W  m acierzach  T(v>  i  P (")  m oż na  wydzielić  podm acierze  o  odpowiednio  jednakowych  wy- m iarach [T ^ iT PI   | - P iv ) l XC)  =   !  I i  n apisać  równ an ie  (4.10)  w  po st aci: (4.12) Z  równ ań  (4.11),  (4.12)  otrzymuje  się ( 4 . 1 3 )  C wS i a > i  =   B f W gdzie  BJ "  stanowi  m acierz  przejś cia  dla  pierwszego  podukł adu  SES,  wią ż ą cą  am plitudy ju- tych  skł adowych  wektorów  stan u elementów  SES  znajdują cych  się  n a  krań cach  tego  podukł adu.  M acierze  Biv)  i  F ?°  mają. postać  f 122 J ;  KOLEN D A 1 (4.14) _ i  są   identyczne  dla  wszystkich  podukł adów  SES  obejmują cych  wykorbienia.  Amplitudy wektora  stanu elementu SES n r  (m+  l ) x  są  zwią zane  z am plitudam i wektora  stan u n a koń cu / • tego  odcinka  wał u  relacją   wynikają cą   z  (2.9),  (2.17)  i  rys.  4: (4.15) • gdzie macierz » dÓW  X jl ,  Xji,, (4.16) utworzona jest z  macierzy  kosinusów  kierun kowych  mię dzy  osiami  ukł a- "1  0 Ql  —  [Qi>Q'li;  Q'l  =   0  COS# i 0  - s i m ?x Sił y dział ają ce  n a SES nr(m+2) 1 i(m+1)2  są   reakcjam i  elem entu sprę ż ystego  n r v  (rys. 4), zależ nymi  od wzglę dnych  przemieszczeń  tych  dwóch  SES. Z at em am plitudy  wektora  stan u .na  począ tku  i  n a  koń cu  drugiego  podukł adu  wynoszą <4.i7)  N I W .  -   [ e ;  ~ QZQ 2 gdzie: " 1 0  0 N a  koń cu  / - tego  podukł adu  otrzymuje  się   podobn ie =  5 f ̂ ' "e "̂  J(4.19) gdzie  g,  jest  macierzą   anlogiczną   do  22( 4.18)  dla  ( ^ j - ^ - i ). W  podukł adzie  n r  (/ + 1)  elementy  SES  o  „ d a n ym "  ruch u  ozn aczon o  n um eram i < w ' + l ) ( + 1 ,  (m'+2)i+1  (rys.  4).  M acierz  bezwł adnoś ci  drugiego  z  tych  elementów  n ie jest jzerowa.  P odobn ie  do  C4.19)  zachodzi  zależ ność (4.20) o  - L  \ gdzie  macierze  ( B f) , +  i ,  ( Ą w ) ( + 1 ,  gi+ i  tworzy  się   analogicznie  ja k  B f,  F f  (4.14)  i  Q2 (4.18), jedn akże  macierz  ( r w ) ( + 1  ze  wzglę du  n a  istnienie  niezerowego  bloku  w  macierzy bezwł adnoś ci  (M') l+1   ukł adu  o  „ d a n ym "  ruch u  m a  odm ienną   postać  od  macierzy  T w : Warunek  brzegowy  dla  rozpatrywanej  linii  wał ów wynika  z  braku  zewnę trznych  wymuszeń n a  element  SES  n r  ( w ' + 2 ) i + 1 <4- 22)  0 $ > + a ) , + 1  =   0. UŚ CIŚ LONY  OPIS  DRG AŃ   LIN II  WAŁ ÓW  '  1 2 3 W  celu wyznaczenia  rozwią zań  metodą  przedstawioną  w  [1] należy  pon adto okreś lić  ampli- tudy przemieszczeń elem entów  SES n r h, znajdują cych  się w podpartych podatn ie ł oż yskach ram owych.  D la  fc- tego  podukł adu  wynoszą  one  zgodnie  z  (4.9) (4.23) gdzie  X ^  jest  A- tym  pasm em  poziom ym  macierzy  ( K ( v ) ) ~ \   n atom iast  (zW ) k   n a  podstawie (4.11)  wynosi (4.24)  (*»)* Wyprowadzone  powyż ej  i  w  [1] zależ noś ci  pozwalają  przedstawić  wielkoś ci  okreś lone  wy- raż en iami (4.22) i (4.23) w funkcji  n iezn an ych współ czynników  a?)  (dotyczą cych  pierwszego odcin ka  wał u ś rubowego)  i  am plitud  reakcji  w  ł oż yskach  linii  wał ów.  Sposób  wyznaczenia tych  niewiadom ych  jest  analogiczny  ja k  w  [1]. P rzy  zastosowaniu  m etody  OE S  [4]  każ dy  podukł ad zawierają cy  wykorbienie  podzie- lon o jedn akowo  n a  m  elementów  OES, poł ą czonych ze  sobą  v  wę zł ami  oraz  z  są siednimi podukł adami  v'  wę zł ami.  Z akł ada  się,  że  każ dy  wę zeł   m a  6  stopni  swobody.  Poł oż enie elementów  OES okreś lone jest wzglę dem  ortogon aln ych lokalnych  ukł adów współ rzę dnych x el ,x e2> x e2 ,  (e  s=   1, 2,  ...,m),  wirują cych  z  prę dkoś cią  ką tową  co  wzglę dem  osi  linii wał ów.  W  dan ym  podukł adzie  lokaln e  ukł ady  współ rzę dnych  mają  osie  odpowiednio równoległ e  do  siebie,  przy  czym  osie  x el ,  x e2   są  równoległ e  do  pł aszczyzny  wykorbienia w  tym  podukł adzie.  Jako  współ rzę dne  uogóln ion e  przyję to  przemieszczenia  i  obroty wę zł ów  wzglę dem  osi  lokaln ego  ukł adu  współ rzę dnych.  D odatn ie zwroty  przemieszczeń wę zł ów  i  sił  dział ają cych  w  wę zł ach przyję to  ja k  dla  przemieszczeń  u ixa   i  sił  f ia   n a  rys.  2[1]. Wę zły  znajdują ce  się  w  pł aszczyznach  oddzielają cych  podukł ad n r  k  od  są siednich  podu- kł adów  traktowan e  są  ja ko  wę zły  o  „ d a n ym "  ruch u  z,  obcią ż one  sił ami  r.  Pozostał ych v  wę zł ów  &- tego  po d u kł adu  stanowi  wę zły  o  „ n iezn an ym "  ruchu  q,  wywoł anym  sił ami / .  Wprowadzon o  ozn aczen ia: / =   ^ Ifwewijfuot),  /<"> =  {/• „<">},  n  =   1,  ...,v, z  =  ]£zV>ex.j?(jfMit),  i «  =  {# },  n =   » 4 - l o +2  v+v'  zf> = P rzynależ ność  poszczególnych  wielkoś ci  do  dan ego  podukł adu  oznaczana  jest  poniż ej indeksem  doln ym .  Elem en t  OES  n r  e  okreś lony  jest  macierzą  bezwł adnoś ci  M o  i  macierzą sztywnoś ci  KB,  wyznaczanym i  wedł ug  [4].  M acierze  M e  i  K e  są  stopnia  6o e ,  gdzie  ve  — liczba  wę zł ów należ ą cych  d o  OES n r  e. Z  macierzy  tych tworzy  się macierze M e   i K e  stopnia 6(v+v').  M acierz M e  powstaje  w  ten sposób  [5],  że  (vc) 2  bloków  6 x 6  macierzy  M e  umiesz- cza  się  w  miejscach  przecięć  pasm  poziomych  i  pionowych  o n um erach wę zł ów  tego  OES. 124 J .  KOLEN D A P ozostał e  bloki  macierzy  M e  są   zerowe.  Analogicznie  tworzy  się   macierz  Ke.  Oznaczają c oraz  dzielą c  M   i  K  n a  podm acierze jM "" T\ M> M r  M = L( M ")7 K K""|}6„ (4.25) moż na  dla  A- tego  podukł adu n apisać  równ an ia  [5] M ( ?j*+ M "( ż ')*+ K( 0)k+ K"( zj*  =   (f) k, (M") TC4)k  +  M'(Ż )k  +   (K") T(q) k  +  K'(z) k  =   (r) k. Analogicznie  jak  w  przypadku  równ ań  (4.8)  otrzymuje  się (4.26) (ve<«)*,*+i  -   i W ^ . f c - i + W ^ ) *.  A» =   • ...  - v,  ...,  - 1 , 0 / 1,  ...,v,  ...;  v  .  | A | . 5^v)  i  F^> mają   postać  macierzy  Ą "'  i  Ff>  (4.14),  przy  czym  r i v ) ,  ...,  T %\   oraz  P ^  i  ?1« oznaczają   podmacierze  (utworzone jak  poprzedn io  dla  SES)  macierzy gdzie W  zależ noś ci  (4.26)  ozn aczon o =   K "- ( ww)2 M , gdzie  indeks  (fc,  fc- 1)  dotyczy  wę zł ów  fc- tego  p o d u k k d u  w  przekroju  graniczą cym  z (k—  l)- ym  podukł adem : j»',  a  =   1, n atom iast  indeks  (k,  k+l)  odnosi  się   do  wę zł ów  A:- tego  p o d u kł ad u w  przekroju  granicz- czą cym  z  (A;+ l)- ym  p o d u kł ad em : w' ©' a  = Przy  zachowaniu  jedn akowego  podział u  n a  OES  w  po du kł adach  n r  1,  . . . , /   m acierze B ( ó } i  Ffp  są   identyczne  dla  tych podukł adów. Z  poł oż enia  lokaln ych  ukł adów  współ rzę dnych  w  &- tym  i  w  (k— l)- ym  podukł adzie UŚ CIŚ LONY  OPIS  DRG AŃ   LIN II  WAŁÓW 125 wynika  nastę pują ca  zależ noś ć,  dotyczą ca  wę zł ów  w przekroju  oddzielają cym  oba te po- d u kł ad y: J (4.27)  1  i H uH a,  . . . , n s  =  w + —w ' +  ł , w + —w ' +  2, .. gdzie  Q* m a postać  (4.18)  dla  ( 0*—# *_ i) . Wyraż enia  (4.26) i  (4.27) pozwalają   wyznaczyć  zależ ność  wią ż ą cą   amplitudy przemieszczeń i  sił  w  wę zł ach  n a  koń cu  / - tego  podukł adu z  analogicznymi  wielkoś ciami  n a  począ tku podu kł adu n r 1. P o n ad t o należy  wyznaczyć  zwią zek  pomię dzy  am pitudam i przemieszczeń i  sił  w wę zł ach podu kł adu n r 1 ł ą czą cych się  / / - tym  odcinkiem linii wał ów a amplitudami przemieszczeń  ujf> =   Cffaf*  i  sił  wewnę trznych  p jf  =  Affldp*  w tym przekroju  odcinka. Oznaczają c  przez a, h , b„ L ,  ..., a„ s ,  b„ s  odległ oś ci wę zł ów  znajdują cych  się  w  tym  przekroju od  pł aszczyzn  utworzon ych  przez  osie  x Jlt   x J3   oraz  x }1 ,  xj 2 ,  mierzone  w  stanie spo- czynku  w kierun kach  osi x j2   oraz  x J3 ,  m oż na  macierz  kolumnową   am plitud  ^- tych  skł a- dowych  przemieszczeń  tych  wę zł ów  wyrazić w postaci: (4.28) Cfaf,  . »t l Ha, ....«.= » , v + 2,  ...,v  + — gdzie 2 i  okreś lono  zależ noś cią   (4.16), n atom iast 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 a*, 1 0 0  • K 0 0 0 1 0 — a 0 0 0 0 1 Relację   pomię dzy  (r(n)i y0   i pffl  wyznaczyć  m oż na  zwykł ymi  m etodam i  statyki. D la  ( / + l) - go  podu kł adu  macierze  (- B0O/+1  i  (F^ )i+i  wyznacza  się  podobn ie jak  B^ i Ftf)  dla fc- tego podukł adu. Tym  samym  m oż na  okreś lić  macierze  przejś cia  dla cał ej  linii wał ów  i  warun ki  brzegowe.  Ogólny  schemat  rozwią zania  i w tym  przypadku  jest  an alo- giczny  ja k  w [1]. 5.  Uwagi koń cowe P rzedstawione w niniejszej  pracy  i w [1] sposoby  opisu  wymuszonych  drgań linii wał ów z  uwzglę dnieniem  asym etrii  sztywnoś ci  n a zginanie  i  podatn oś ci fundamentów  prowadzą do  pewnej  kom plikacji  obliczeń w prówn an iu z dotychczasowymi  m etodam i, tym  niemniej ich  stosowanie  m oże  być  celowe  w  przypadkach,  gdy poż ą dana jest  wię ksza "dokł aność obliczeń.  N ależy  zaznaczyć,  że przy  znajomoś ci  charakterystyk  wymuszeń  niezbę dne d o  dokł adniejszych  obliczeń dan e dodatkowe  dotyczą  jedyn ie  podatn oś ci fundamentów i są moż liwe  do uzyskan ia  m .in. w sposób  ukazan y  w  [1]. D la  uproszczenia  procedury  identy- fikacji  podatn oś ci  fun dam en tów  przy  duż ej  liczbie  czę stoś ci  wymuszeń  (zwł aszcza  przy 126  J.  KOLEN D A ukł adach  przekł adniowych)  wydaje  się   celowym  sporzą dzan ie  wykresów  zm ian  wartoś ci współ czynników  podatn oś ci  w  funkcji  czę stoś ci  n a  podstawie  interpolacji  wyników  po- m iarów  przy  ograniczonej  liczbie  czę stoś ci  wymuszeń. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  J.  KOLEN D A, Drgania wymuszone linii wał ów z uwzglę dnieniem asymetrii sztywnoś ci na zginanie i podatnoś ci fundamentów.  Metoda identyfikacji podatnoś ci  dynamicznej fundamentów linii wał ów, W Redakcji  Mech. Teoret.  i  Stos. 2.  D N V  SEMINAR  ON   SH I P  VIBRATION,  Papers, Oslo, June 1977. 3.  S.  KALISKI  (red.),  Drgania  i fale  w  ciał ach stał ych,  PWN ,  Warszawa  1966. 4.  O. C.  ZIEN KIEWICZ, Metoda  elementów  skoń czonych,  Arkady,  Warszawa 1972. 5.  J.  KRU SZEWSKI,  W.  GAWROŃ SKI  i  in., Metoda sztywnych  elementów skoń czonych,  Arkady,  Warszawa 1975. P  e 3  K)  M  e YT O ^ H E H H L I E  OPM.yJILI PACTIETA  BLIH WKflEH H BIX  KOJIEBAH H H BAJIOnPOBOflOB  C y ^ E T O M   AC H M M E T P H H  H 3 r H E H 0 H  2KECTKOCTH H   n O flAT JI H BO C T H Pa6oTa  KacaeTca  juiH eiinbix  KOJieSaHHM  BajionpoBonoB  n pH   n epn b# im ecK H x  B03MymeH H nx.  BbiBe- flemibie  dpopiwyjibi  oniicbiBaioT  BmraH U e BHyTpeHHero ipeH H H   BajiOB,  nocroflH H oił  aKCKajitHOH  H arpy3i< n, flediopiwainin  cflBHra  u  H H epiniH  n o so p o T a  n a «3rn 6H we  KOJieSain- M.  ITpHBOflHTCH   Towe  3aBHcHMocrH KacaiomnecH   n poaojitH bix  K KpyTH jitH bix  KojieSaHHH   c yneTOM   BH yTpeH H ero  TpeHHH. IlpeflCTaBJiaeTCH cn oco6  pac^ieTa  M3ru6H bix  KOjieSaHKH   BajionpoBOflOB  c ŷ eTOM   acHiwiweipHH   H3rH6Hoft  >KecTKocTH   K n o - (JjyHflaiweHTOB  B cacreiwax  c nepeflaM efi.  H jin iocrpupyeTC H   BO3MOHKecTKMx). B Ka^ecTBe  npKM epa  JI P H H H T KOJieiwaTbiii  Baji. c a j  MTO KawflbiH   y3en  (M JIH  WCCTKH H   KOH CMH WH  sneMeiiT) oSjiaflaeT  mecTŁio creneHHMH   CBo6oflbi. yMenbiiieHMH   pa3ivtepoB  MaTpKq  cucTeMbi  npMMeSwioTCH  iwaipniibi  n epexofla3  cBH 3H BaiomKe  KOSIJ)- (bHiłMeHTH  pemeHHH  fljiH  coceflHHX ŷ acTKOB BanonpoBOAa  H JI H  OTuocH uniecH   K o^HOMy KOJieHy, B  cn y^ ae npaiWeHeHKH   MCTOfla  KOHeiHblX  3JieMCHT0B. S u m m a r y A MORE PRECISE D ESCRIP TION  OF  F OR C E D  VIBRATION S O F  SH AF TIN G S WITH  F LEXU RAL R I G I D I TY  ASYM M ETRY  ON  F LEXIBLE F OU N D ATI ON S The  paper  deals  with  linear  vibrations  of shaftings  at periodic  excitations.  The  derived  formulae are describing  the influence  of  an internal  damping,  constant  axial  force,  shear  forces  and rotary  inertia on flexural  Vibrations. There are also  given the formulae  concerning with  longitudinal  and torsional  vibrations with  an internal  damping  taken  into  account.  The  solution  method  for  a flexural  vibrations  problem in flexible  supported,  geared  shaft  systems  with  flexural  rigidity  asymmetry  is  presented. The  possibility  of applying, the deformable  (or stiff) finite  element  technique is illustrated  for the  case  of a crankshaft.  It is assumed  that  each node  (or stiff  finite  element) has  6 degrees .of freedom.  The size  of system  matrices is reduced by  means of transfer  matrices related to solution  coefficients  for adjacent  shaft  pieces  or by use of transfer  matrices referred  to pne crank when  the finite  element technique is  applied. P OLI TEC H N I KA  G D AŃ SKA  , IN STYTU T  OKRĘ TOWY Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  14 kwietnia  1978  r.