Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z1.pdf


M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1,  17  (1979)

O  P R Z E STR Z E N N YC H  F R ON TAC H  F AL  N AP RĘ Ż EN IA  W  IZ OTROP OWYM
OŚ ROD KU   SP RĘ Ż YSTYM

EDWARD   W Ł O D A R C Z Y K  (WARSZAWA)

1.  Wstę p

Oddział ywanie  powietrznej  fali  uderzeniowej  n a  powierzchnie  gruntu,  wygenerowanej
wybuchem  pun ktowego  ł adun ku  ją drowego  lub  klasycznego,  m oż na  sprowadzić  do  ru-
chomego  obcią ż enia  n orm aln ego,  przył oż onego  n a  koł owej  powierzchni,  której  prom ień
roś n ie z upł ywem czasu, ze zm ienną   prę dkoś cią   D[r(t)]  (rys.  1).

D[ r(t)l

Obcią ż enie  t o generuje  z  kolei  w  gruncie  odpowiedni  ukł ad fal  naprę ż eń. Jeś li mechaniczne'
wł aś ciwoś ci  grun tu  zaaproksym ować  liniowym  izotropowym  oś rodkiem  sprę ż ystym,  to
otrzym am y  ukł ad  dwóch  frontów  fal  —  front  fali  podł uż n ej, propagują cy  się  z  prę dkoś cią
a  i  front  fali  poprzeczn ej,  propagują cy  się   z  prę dkoś cią   b.  Obraz  taki  otrzymamy  przy
zał oż eniu,  że  D[r(t)]^   a  [ 1- 4 ].  D la  pozostał ych  zakresów  prę dkoś ci  obraz  falowy
ulega  znacznem u  skom plikowan iu  i  n ie  bę dziemy  go  w  niniejszej  pracy  rozpatrywać.
P rzypadek  D[r(t)]  >  a  wystę puje  najczę ś ciej  w  praktyce  inż ynierskiej  i dlatego jest  nrzed-
m iotem  bad ań  zawartych  w  niniejszej  pracy.

Celem  pracy jest  po dan ie  prostej  m etody  okreś lania  kształ tów  frontów  przestrzennych
fal  n aprę ż en ia,  wygenerowanych  ruchom ym  obcią ż eniem,  w  oparciu  o  teorię   optyki
geometrycznej.

2.  Wyprowadzenie  równań  na  fronty  fal  naprę ż enia

D la  okreś lenia  frontów  fal  n aprę ż en ia  wykorzystamy  zasadę   C. V.  H uygensa.  Zgodnie:
z tą   zasadą ,  każ dy  p u n kt powierzchn i  ziemi, do którego  dociera front  ciś nienia  powietrznej;
fali  uderzeniowej,  staje  się   ź ródł em  elem entarnych  fal  kulistych,  rozprzestrzeniają cych;



128 E .  WŁ O D AR C Z YK

się   w  gł ą b  oś rodka,  z prę dkoś cią   fal  podł uż n ych i poprzeczn ych.  Obwiednie  wymienionych
fal  elementarnych tworzą   powierzclmię   poszukiwanych  frontów  fal  podł uż n ych i poprzecz-
n ych  (rys.  2).

P rzy  okreś laniu  tych  obwiedni  bę dziemy  korzystać  z  nastę pują cych  oznaczeń  (rys.  2) :
r p  współ rzę dna  pun ktu  n a  powierzchni  pół przestrzen i, który  generuje  elementar-

ne  fale  kuliste  —  podł uż ne  i  poprzeczn e;
r

0
  prom ień  okrę gu,  n a  którym  przył oż one jest  ciś nienie  powietrznej  fali  uderze-

niowej  —  m aksym aln y  prom ień  zasię gu  frontów  fal  w  gruncie,  odpowiadają cy
chwili  / 0;

M

Rys.  2

z
s
,  r

s

t
0
  i  t

p

a

b

współ rzę dne  pun ktu  <S  n a  pł aszczyź nie  r, z,  który  wydziela  czę ść  kulistą   ob-
wiedn i;
czasy,  po  upł ywie  których  front  fali  uderzeniowej  propagują cy  się   wzdł uż
powierzchni  pół przestrzeni  obejmie  obszary  odpowiedn io  o  prom ien iu  r

0
  i  r

p
.

prę dkość  propagacji  fal  podł uż n ych;
prę dkość  propagacji  fal  poprzecznych.

W  dalszym  cią gu  rozważ ań  wzory  bę dziemy  wyprowadzać  dla  fal  podł uż n ych.  Wzory
te zachowują   tę  samą   postać  dla fal  poprzecznych z tym , że w miejsce  a kł adziemy w  nich b.
W przypadkach, w których wystę pują   istotn e róż n ice, bę dziemy  wypisywać wzory  dla  obyd-
wu  rodzajów  fal  jednocześ nie.

Z godnie  z  podan ym i  oznaczeniami,  równ an ie  dla  elem entarnej  fali  kulistej  przyjmuje
postać:

Róż niczkując  równ an ie  (2.1)  po  param etrze  r
p
  m am y:

<2.2)

' o

a1  f
r"  D(rp)  J

P o  wyeliminowaniu  z  (2.1) i  (2.2) param etru r p  otrzym alibyś my  w jawn ej  postaci  rów-
n an ie  obwiedni  —  front  fali  (podł uż nej  lub  poprzecznej).  Jedn ak  w  ogóln ym  przypadku
zm ian y  prę dkoś ci  D(r

p
),  eliminacja  param etru  r

p
  jest  niemoż liwa  i  wobec  tego  wygodniej

jest  przedstawić  równ an ie  obwiedni  w  postaci  param etryczn ej,  a  m ian owicie:  ..



O  PRZESTRZEN N YCH   FRONTACH   FAL N APRĘ Ż EN IA  129

TO

, 2

ra

di

dla

(2.4)

dla
gd zie :

(2.5)

—

(2.6)

r
s
  =

Os

dla

^  r <   r
o
(t

o
),  0 <: z  :

, 2 + 5

r >  D ( 0)

fal  p o d ł u ż n ych  o r a z

r  -   b  i

^  z s  oraz

• 2  -   ( d/ 0 )
2 ,

^ at
0
,  z,

it  z  -

(o)

—  dla fal  poprzeczn ych.
Wyprowadzone  wzory  obowią zują   dla przypadku,  kiedy  front  fali  uderzeniowej po-

rusza  się  z  nadsejsmiczną   prę dkoś cią   tj. d la:

(2.7)  - J-O

P rzypadek  ten  obejmuje  praktyczn ie  cał y zakres  zagadnień  spotykanych  w problemach
fortyfikacyjnych.

3.  Analiza  kształ tów  frontów  fal  naprę ż enia

Wprowadzim y  nastę pują ce  wielkoś ci  bezwym iarowe:

K ~ T ' . ~ T ' 1 ~ h \   Kp~T'  Kk  ~ h

Ke
  ~  h  '  °  ~  h  '  "*  h  '  p  ~  h

h =  3. 51/ ^= 4. 41^,  , «- - §-

gdzie:

A  gran iczn a  wysokość  m ię dzy  wybuchem  powietrznym  i  naziemnym w [m];
h

p
  .wysokość  wybuchu  powietrznego  w [m];

h
z
  współ rzę dna (w kierun ku  osi z) pun ktu  leż ą cego  n a froncie  fali  naprę ż enia w grun-

cie w odległ oś ci r
e
  od epicen trum wybuchu  (rys.  5) ;

9  . Mech.  Teoret.  i  Stos.  1/79



130  E .  WŁ O D AR C Z YK

r
e
  odległ ość  od ep ic en t r u m  wybu c h u  m ie r zo n a  n a p o wierzc h n i  ziem i.

r
k
  p r o m ie ń  o krę gu  n a  kt ó r ym  p r ę d ko ść  o bcią ż en ia  n a p o wier zc h n i  osią ga  wart o ść

p rę d ko ś ci  fal p o d ł u ż n yc h;
q  r ó wn o wa ż n ik  t ro t ylo wy  ł a d u n ku  ją d r o wego  w  t o n a c h ;
q

f
  0,5 q.

W  wielkoś ciach  bezwym iaro wych  (3.1)  wzory  (2.3  ~   2.6)  przyjm ują  p o st a ć :

Ro

R  =   R
p
+a(R

p
)  j  cc(C)dŚ ,  R

Sl
  <  R  <  R

o

(3- 2)  Rp
  Xa

  . . .

Z  »  ] / l -  <x2(R
p
)  j  a(Ś )d£,  0  <  z  <  Z

Si

RP

(3.3)  R2+Z2  =  T i,  0 <  R  =$  R
Si
,  Z

Si
^ Z^   T

o

—  dla  fal  podł uż nych  .  ,  ,  •
oraz:

R
«

R  =  R„+y2a(R
P
)  /   «(£)di,  R

Sl
<  R  <  R

o

(3- 4)  * \

Z  =  y\ / l- y2a.2(R
p
)  J  o(f)rff,  0 <  Z  <  Z

Si

RP

—  dla fal  p o p rzeczn ych ,
gd zie:  .

R
S L

  =   a( 0) T
o
,  Z

Si
  =   i / l - o ^ O)  T

o

T
o
,  Z

S2
=y)/   l- y*«H0)  T

O

(3.6)  *.
To  =   J  u(i)d£,  0^ R0^ Rk

- ^  1  - » J2*

Z  p o d a n yc h  wzo ró w  wyn ika ,  że kszt ał ty  fr o n t ó w  fal  d e t e r m in o wa n e są  p rzez  fu n kcję:

(3.7)  a(R) =   a/ D(R)

Z go d n ie z  [5] p r ę d ko ść  p r o p a ga c ji  fali  u d erzen io wej  w p o wie t r zu D zwią zana je st z n a d -
ciś n ien iem  n a jej  fron cie  n ast ę p u ją c ym  wz o r e m :

+
gd zie :

/ > m  n ad c iś n ien ie  n a  fron cie  fali;
p

0
  ciś n ien ie  p rzed  fro n t em  fali;
k  wykł a d n ik  a d ia ba t y  dla  p o wie t r za ;

J D 0  p r ę d ko ść  p r o p a ga c ji  fali  dź wię kowej  w  p o wiet r zu  n ie za bu r zo n ym .



O  PRZESTRZEN N YCH   FRONTACH   FAL  N APRĘ Ż EN IA  .  131

Jeż eli  przyjąć  dla  niezaburzonego  powietrza:

p
0
  =   101325  N / m 2,  g0  =   1,226  kg/ m

3,  D
o
  =  340 m/ s  .

to  wzór  (3.8)  moż na  przedstawić  w  postaci:

(3.9)  'Dix)  =  340/ 1  +  8,46•   10- ^p^r)  [m/ s]  •

gdzie  p
m
(r)  podstawiamy  w  N / m 2.

Zatem,  aby  okreś lić  D{r), a  tym  samym  i  funkcję  a(R),  należy  znać nadciś nienie na
froncie  fali  p

m
(r).

Zgodnie  z  [5], dla  wybuchu  naziemnego mamy:

m
(r)  = [ 1 , 0 6 ^(3.10)  Pm(r)  =  [ 1 , 0 6 ^  ̂+  4,3 ( ł ^- jVl4  ( i ^ - )] •  98066,5  [N/ m

2]

gdzie  równoważ nik  q
t
  należy  podstawić  w  kg.

Wyraż ając  p
m
{f)  w zmiennych bezwymiarowych  (3.1), z (3.7) i (3.9) otrzymamy:

(3.11)  a(R) =   a/ 340]/ 1 +  8,46-   10- 6/ (i?)  '

gdzie:

(3.12)

D la  wybuchu  powietrznego  wartoś ci  nadciś nienia p
m
(r)  podawane  są  na  wykresach

lub  w tabelach  [5] dla  odpowiednich wysokoś ci wybuchu  h
t
.

Ostatecznie kształ ty frontów  fal  moż na wyrazić  analitycznie za pomocą  nastę pują cych
wzorów:

R  <   R °
="T/I  -  1^(3.13)  Z   = T / I  -   1 ^ - )  F*(R,)I(Ro, R

P
)l  0 <  Z < Z S i

—  dla  fal  podł uż nych oraz

£ ĵ  F(RP)I(RQ,

(3.14)  Z  =

/   \ 2  j
  n

  \

j, 0 )

—  dla  fal  poprzecznych
gdzie:

F(R
P
)  =  l/ j/ l  +  8, 46- 10-6/ (iy

(3.15)  ^
I(R

O
,R

P
)=

9*



132 E .  WŁ O D AR C Z YK

N  Wartoś ci funkcji  F(R
P
)  dla wybuchu  naziem nego podajem y  n a rys.  3.

F unkcję  I(R
0
,  R

p
)  okreś lamy planimetrują c pole p o d krzywą   F(R

P
)  w przedziale  R

p
- R

0
.

P o  okreś leniu  wartoś ci  funkcji  F(R
P
)  i  I(R

0
,  R

p
)  podstawiam y  je  do  wzorów  (3.13)  oraz

(3.14) i wyznaczamy  z n ich współ rzę dne fali n aprę ż en ia.

Z a  pomocą   wyprowadzonych  wyż ej  wzorów  wykon an o  obliczenia  liczbowe.  Wybrane
wyniki  tych obliczeń przedstawiamy  n a  wykresach  (patrz rys.  4a  - f-   c). P okazujemy  n a n ich

O  5  10  15  20  25  30  35  10  15R

Fala podł uż na
Fala poprzeczna

a  =100 [m/ s]
O  -   aa

3  </   5  6  7  8  S  10  .  //   S/ t

— Fala podł uż na
~—  Fala poprzeczna
a =100 [m/ s]
RVJ69

Rys.  4b



O  PRZESTRZEN N YCH   FRONTACH   FAL  NAPRĘ Ż ENIA 133

kształ ty  frontów  fal  podł uż n ych i  poprzecznych  dla prę dkoś ci  propagacji  zaburzeń  a —
=   100,  400 i  1000  m/ s,  przy  dwóch  wartoś ciach  param etru  R

o
  (dwie  chwile  czasowe).

Wartoś ci  param etrów,  dla których  wykon an o  wykresy  podajemy  n a rysunkach.

Z  zamieszczonych  wykresów  widać,  że kształ ty  frontów  fal  dość  silnie  zależą   od  prę d-
koś ci  propagacji  a. D la m ał ych wartoś ci  a fronty  zbliż one są  do linii  prostej,  poprowadzo-
nej  p o d ką t em:

(3.16) =   arcsin

0.5

Foto podł uż na
Fala poprzeczna

a = 1000 [ m/ s]
R.=3.0109

2%'OSRi,

Rys. 4c

Z e  wzrostem  prę dkoś ci  a fale  robią   się  coraz  bardziej  wypukł e  i  aproksymacja  takich
frontów  linią   prostą   poprowadzon ą   pod  ką tem  5 prowadzi  do kilkudziesię ciu,  a w niek-
tórych przypadkach  n awet  do kilkusetprocentowych  bł ę dów. Bł ę dy te rosną , wraz ze  wzros-
tem gł ę bokoś ci wn ikan ia  fron tu  fali  n aprę ż en ia w gł ą b  oś rodka.

4.  Okreś lenie  ką ta  padania  fali  naprę ż enia  w gruncie

W  kon kretn ych  obliczen iach  dynamicznych  konstrukcji  podziemnych  bardzo  czę sto
potrzebn a  jest  znajomość  ką ta  padan ia  fali  w  dan ym  pun kcie.  Ką t ten  jednoznacznie
m oż na  okreś lić  za  pom ocą   ką ta  nachylenia  stycznej  do frontu,  nastę pują cym  wzorem :

(4.1) =   arc sm  —

P raktyczn e  korzystan ie  z  tego  wzoru  jest  bardzo  pracochł on n e  i  ż m udne.  D latego,
w  oparciu o teorię  liniowej  optyki, wyprowadzimy  bardziej  wygodny  do stosowania  w prak-
tyce  inż ynierskiej  wzór  przybliż ony.

Jak  wiadom o  z  optyki  geometrycznej,  zaburzenia  propagują   się   wzdł uż  prom ieni.
Jeś li  zał oż yć,  że n a  odcin ku  r

e
- r

p
  (rys. 5) prę dkość  propagacji  fali  uderzeniowej  D =

=   D(r
p
)  sn const,  wówczas  n a  gł ę bokoś ci  h

z
  m am y:

r
e
- r

p
  ^   a

r,)
2  ~  D(r

p
)

(4.2) sino  =



134 E .  WŁ O D AR C Z YK

lu b  w  formie  bezwymiarowej:

(4.3)

gdzie:

(4.4)

a

"340
=   &(R

P
,  R

e
,  H

Z
)IF{R.)

0(R
P
,  R

e
,  H

z
)  =

Rys.  5

D la  ustalonych  wartoś ci  a, R
e
  i  H

z
  z  (4.3)  wyliczamy  pierwiastek  R

p
  =   Rp1 tego  rów-

n an ia.  Podstawiają c  z  kolei  R
p
  =   i?*, do  (4.2) znajdujemy  poszukiwan y  ką t  padan ia  fali.

Wzór  (4.2)  m oż aa  stosować  dla  obiektów  typu  wykopowego  umieszczonych  n a  m ał ych
gł ę bokoś ciach.

D la  obiektów  tunelowych  umieszczonych  gł ę boko  pod  ziemią   należy  posł ugiwać  się
wzorem  ś cisł ym  (4.1).

5. Przykł ad

Okreś limy  ką t  padan ia  sprę ż ystej  podł uż nej  fali  n aprę ż en ia  w  zwartej  glinie  (a  =
=   1000  m/ s)  n a  gł ę bokoś ci h

z
  =   50  m,  spowodowanej  n aziem n ym wybuchem  ją drowym,

w odległ oś ci od epicentrum wybuchu  r
e
  =   1000 m. M oc wybuchu  q  =  2 •   106 t o n .

N a podstawie  wymienionych danych, obliczamy  nastę pują ce  wielkoś ci:

h =  3,5|/ i  =   3, =   441  m

r "  -   l 0 0 °  - 2  2676
h  441

340

50
~  441

1000
340

=   0,1134

=   2,9412



O  PRZESTRZENNYCH   FRONTACH  FAL  NAPRĘ Ż ENIA  135

2.2676- i?„

]/ 0,11342  +   2, 2676- i?p )
2

P ierwiastek  speł niają cy  równ an ie  (4.3)  przy  przyję tych  danych  wyn osi:

R*
o
  =   2,165

P oszukiwan y  ką t  p ad an ia  fali  wyn osi:

sin o  =   - ^ - F(R*
o
)  =   2,9412  •   0,2283  =  0,6715

<5 -   42°11'

6.  Wnioski  koń cowe

N a  podstawie przeprowadzon ej w niniejszej  pracy analizy propagacji frontów przestrzen-
n ych  fal  n aprę ż en ia  w  gruncie,  wywoł anych  dział aniem  powietrznej  fali  uderzeniowej
wybuchu  ją drowego,  m oż na  wycią gnąć  nastę pują ce  wn ioski:

1.  Stosowana  w  dotychczasowej  literaturze  technicznej  liniowa  aproksymacja  frontów
fal  m oże być stosowan a tylko dla grun tów o mał ej prę dkoś ci propagacji zaburzeń i n a mał ych
gł ę bokoś ciach  (a  <  1000  m/ s,  h

z
  <  20  m).

2.  N ależy  stosować  aproksym ację   frontów  fal  linią   ł am an ą   (cię ciwami)  po uprzednim
wyznaczeniu  ich  wg  wzorów  ś cisł ych,  wyprowadzonych  w  niniejszej  pracy.  U nikam y
wówczas  duż ych  bł ę dów  (rzę du  100%)  przy  okreś laniu  lokalnego  ką ta  padan ia  fali,  od
którego  zależą   w  sposób  istotn y  param etry  fal  odbitych  i  zał amanych  [6,  7].

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  Y.  C.  F U N G , Foundation of  solid mechanics, P rentice- H all,  I n c.,  Englewood  Cliffs,  N ew  Jersey, U .S.A.,

1965.

2.  F .  C H WALC Z YK,  J.  R AF A,  E .  WŁ OD AR C Z YK.  Propagation  of  two- dimensional non- stationary  pressure

wave  in  a  layer  of  perfect  compresible  liquid, P roc.  Vibr.  P robl.  14,  3,  1973.

3.  A.  F .  BATflOEB,  npocmpaHcmsembie  mcmauuouapnue  deuoiceuuH  cnnoumoiX cpedu  c  ybapmwu  BOJI-

HUMU,  H 3fl.  AH   ApMHHCKoft  C C P ,  EpeBaH   1901

"  4.  X .  A.  PAXMATyjiHH,  J9. y .  C arAToa,  I I .  <t>.  C ABO SAU I ,  H .  I \   <E>njinnnoB,  fleyjuepHbie  ą adanu  no

HeycmanoeusiueMycH  deuoiceuuio  cotcuMaeubix  cped,  H 3fl.  „ O A H ' '  y36eKCKOH   C C P ,  T a u iK em  —

1969.

5.  K>.  C .  .JIKOBJIEB,  FudpodunaMUKa  a3pusa,  H 3fl.  CyflnpoMrM3,  Jlemfflrpafl,  1961.

6.  F . M .  ApyiiOHHH,  J I . B.  K AP ^ E BC K H H ,  OmpaDicenubie  ydapnue  eojiuu,  M amnH ocTpoeH H e,  MocKBa

1973.

C o f l e p > K a H M e

O  n P O C T P AH C T BE H H blX  <t>POHTAX BOJIH   H AIIPfl)KEH H .H
B  H 3O T P O I I H O H   YI T P yrO H   CPEflE

B  paG oTe BWBefleH H  (Jjopjwyjibi  H J W (Jiopiw n pocT pan cT BeH H tix  (J>POH TOB  BO H H   H a n p n we m iH   p a c n p o -

crpaH H iom H xcH   B  r p yH T e,  BBMBaHUbix  Ha3eiwHbiM   H jia  BO3flyniHbiM  B3pbiB0M  H flepH oro  3 a p a «a .  floKa-

3aH O3  MTO  npHiweHHeMaH   flo  CH X n o p annpoKcKM aqH H   STI I X  ( p p o m o B  OS;H OH   n jiocKocTtio  BefleT K  oiira;6KaM

HecKOJibKHx flecflTKOB npoijeH TOB,  a  B H eKoTopbix  ojiyiian x  (6ojiBiun e CKOpocm  pacnpocTpaH eH H H  a  rjiy-

6oKoe  ocHOBaHHe  o6i>eKTOB)  K  oiim6KaM   HecKOJibKHx  COT npoi;eH TOB.



136  E.  WŁODARCZYK

S u m m a r y

ON   SPATIAL  F RON TS  O F   STRESS  WAVES  I N   ISOTROPIC  ELASTIC  M E D I U M

The formulae  have  been derived  for  the shapes  of  spatial  fronts  of  the stress waves propagating  in soil
and produced  by  a surface  or  air  explosion  of  a  nuclear  charge.  It has  been  demonstrated that  the appro-
ximation  used  so  far  of  those  fronts  by  a single plane leads  to  tens  of  per  cent  errors,  and in certain  cases
(high propagation speeds and deep subsite  of structure) — to errors of hundreds of per cent.

WOJSKOWA  AKADEMIA  TECHNICZNA
WARSZAWA

Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  20  kwietnia  1978  r.