Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z1.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  17  (1979) LOSOWE  D RG AN IA  LI N I I  WAŁÓW  Z  U WZG LĘ D N IEN IEM  ASYM ETRII SZ TYWN OŚ CI  G I Ę T N EJ  I  P OD ATN OŚ CI  F U N D AM EN TÓW JAN USZ  K O L E N D A  (G DAŃ SK) 1.  Wstę p Wpł yw  procesów  stochastycznych  n a liniowe  i niezmienne w  czasie  ukł ady cią głe może być  okreś lony  przy  pomocy  funkcji  przenoszenia,  stanowią cych  transformaty  F ouriera (wzglę dem  czasu i zmiennych przestrzennych) impulsowych  funkcji  przejś cia  [1]. Rozpatry- wane w pracach [2] i  [3] liniowe ukł ady nie są  niezmienne w czasie, gdyż zawierają ca  koł owo asymetryczne  odcinki  linia  wał ów  wiruje  wzglę dem  podatnej  konstrukcji  podpierają cej. Bezpoś rednie  wykorzystanie  znanych  z  literatury  zależ noś ci  nie  jest  tu  zatem  moż liwe. P odatn ość  konstrukcji  podpierają cej  stwarza  dodatkową   komplikację   zagadnienia,  gdyż losowe  drgania  linii  wał ów  stają   się   przez  to funkcją   nie  tylko  wymuszeń  stochastycznych o  znanych charakterystykach, lecz  takż e-  nieznanych a priori losowych  reakcji  w ł oż yskach. Oznacza  t o  również  konieczność wyznaczania  funkcji  przenoszenia nie  tylko  n a  drodze: ź ródła  znanych  wymuszeń  —  badan y  przekrój  linii  wał ów, lecz  także  od  poszczególnych podpór  ł oż yskowych  do  badan ego  przekroju  wzdł uż  linii  wał ów  i  poprzez  konstrukcję podpierają cą.  Wymienione  problemy  rozpatrzon o  poniż ej  przy  zał oż eniu,  że  prę dkość ką towa  linii wał ów może być traktowan a jako  stał a. 2.  Wyznaczenie  funkcji  przenoszenia N iniejsza  praca  dotyczy  podatn ie  podpartych  linii  wał ów,  w  których  nie  wszystkie odcinki  wykazują   koł ową   symetrię   sztywnoś ci  gię tnej.  W  charakterze  przykł adu  przyję to ukł ad  przedstawiony  schematycznie  n a  rys.  1, dla  którego  n a  wstę pie zakł ada się ,  że jego model w czę ś ci  odnoszą cej  się   do wał u korbowego  zawiera  odcinki wał u o zróż nicowanych gł ównych  centralnych  m om en tach  bezwł adnoś ci  przekroju  poprzecznego  [2].  Warunki brzegowe  rozpatrywanej  linii  wał ów zapisać moż na w  ruchomych ukł adach współ rzę dnych nastę pują co: (2.1)  Pi Oa   ±   nt Oa U 1Oa   ±   &oa«10tym wykorbieniu;  /  —  liczba cylindrów  silnika;  1,2,  .,  n —  numery  kolejnych ł oż ysk  linii  wał ów; X l ,X 2 ,X 3   —  nieruchomy  orto- gonalny ukł ad  odniesienia konstrukcji  podpierają cej;  coo —  prę dkość ką towa wirowania linii wał ów. równania róż niczkowe zwyczajne,  których rozwią zania  wraz  z zależ noś ciami  okreś lają cym/. ;sił y  wewnę trzne  zapisać  m oż na  w  postaci: - (2.4)  „   u ix   =  Q x a t , (2.5)  p ix   =  A lx a h gdzie  u ix ,p ix   są   macierzami kolumnowymi  transform at  F ouriera uogólnionych przemiesz- czeń i sił  wewnę trznych  w przekroju  x  / - tego odcinka wał u u ix   =   {«<*«}>  Pi X   =   {pua},  a  =   1,  ...,  6, • ai jest macierzą   kolumnową   nieznanych współ czynników  rozwią zań natomiast  C ix   =   C ix (co), A lx   =   A ix (co)  są   macierzami  identycznymi  z  wyprowadzonymi w  [2] macierzami CjJ?, AQ  przy v  =  1 lub z macierzami C\ x \   Ag}  przy /* =   1 dla  uś ciś lone- go  modelu  odcinka  wał u  [3]: (2- 6)  Ct, - qj>,   Ał x  =  A® . D la  odróż nienia  od  wprowadzonej  transformacją   (2.3)  wielkoś ci  co, prę dkość  ką tową linii  wał ów  oznaczono poniż ej a> 0 . W  przypadku,  gdy  w  przekroju  ł ą czą cym  Hy  odcinek  wał u  z  (i+  l)- ym  odcinkiem dział ają   reakcje  ł o ż yska /i a ( 0, m oż na dzię ki  relacjom  (2.6) n apisać: (2.7)  ;"  • /i LOSOWE  DRG AMA  U N I I  WAŁ ÓW  139 gdzie-   B(  =   - Bp, F , =   F p  okreś lono  w  [3],  a  / ,  =   {/ ,„}  oznacza  macierz  kolumnową transform at  F ouriera  reakcji  f ia (t).  P odobnie wykorzystać  moż na  inne wyznaczone  w  [2J i  [3] macierze przejś cia,  podstawiając  v  =   1 (lub fj,  =   1). D otyczy  to również  macierzy  wy- znaczonych  dla  v  =£  0  przy  podziale  wał u  korbowego  na  elementy skoń czone  [3]. Przykł a- dowo,  transform aty  F ouriera  wektorów  stanu  sztywnych  elementów  skoń czonych  (SES) znajdują cych  się  na  krań cach  A>tego podukł adu SES, zwią zane  są  relacją: (2.8)  (w m+2 ) k   =  B s( vvm + 1) *+ F s( / *) f c , gdzie B s  =   B^>, F s  =   F £ n okreś lono  w  [3], a macierz kolumnowa  (/ *)*, utworzona analo- gicznie  ja k  {fzW)k  dla  fi  ^ . 0  [3],  zawiera  transformaty  F ouriera  reakcji  konstrukcji podpierają cej  i wymuszeń  pochodzą cych od silnika,  przył oż onych do elementów  SES w  ł o- ż yskach  ramowym  i  korbowym  A;- tego  podukł adu SES. Wykonując  transformację  F ouriera warunków  (2.1) i  (2.2) otrzymuje  się: (2.9)  Pi 0a ±^ 2 m 0a Miooi±jo)bo a   =   + / <&, (2.10)  p „ , l a   =   0 . Z godnie  z  (2.4)  i  (2.5)  warunek  (2.9)  moż na zapisać  w  postaci: (2.11)  M = / < r, gdzie: M acierz  A l x  powstaje  z  macierzy  Aix.  przez  pomnoż enie  czterech  pierwszych  jej  wierszy przez  (—1);  macierz  C lx   powstaje  z  macierzy  C lx   przez  pomnoż enie kolejnych  jej  wierszy przez  (ja)b ol —a) 2 m 01 ) > (jaib O 2- (o 2 m 0 2),...,(jo)b 06 —w 2 m 06 ).  Warunek  (2.10)  moż na przedstawić  w  postaci  dogodnej  do  dalszych  obliczeń (2.12)  Bat+ 2,  B*(n«  + 2j  B ' / '  =   ° lub (2.13)  Bfli+B~f~w  + B /   =   0, gdzie: B  =   [Bx  B 2  . . . B / ] 6 x 6 [ ,  B  =   [BiBa  . . . B „ ] 6 x 6 n , f w  =   {ink},  k  -   1,  ..., / ,  ( / w ) f c  =   {(/ *)»},  a  =   1,  . . . , 6 ,  / =   {/ ,},  i  =   1,  . . . , «. M acierze  B, B f c , Bj  powstaje  z  wymnoż enia  odpowiednich  macierzy  przejś cia  dla  cał ej' linii  wał ów, fw  jest  macierzą  kolumnową  transform at  wymuszeń  od  silnika  o /  cylindrach, n jest  liczbą  ł oż ysk  linii  wał ów. Korzystając  z wyraż enia  (2.4) oraz z odpowiednich macierzy przejś cia  moż na  wyznaczyć macierze  kolumnowe  tran sform at  F ouriera  przemieszczeń  wał ów  w  miejscach  kolejnych ł oż ysk  w  postaci: ' • : . • • •   i  <  -   • - •   - (2.14)  « , =   Ctct ( +Xć ijfj>  i=  1,2,  ...,n- l, /- i k (2.15) 140 J .  KOI- EN DA Kojarzą c  wszystkie równania  (2.14) i (2.15)  otrzymuje  się : (2.16)  .«  =  ~Ca l   +  Ć f+'Cf w , g d z i e ii  =   {«j},  /  =   1 ,  . . . ,  77,  u —  {w,- a},  a =   1 ,  . . . ,  6 , C21  C 2 2 C = c„. c = 6nxl2 C„ n„ y - 1 6nx6l _cni - In  _ 6( Oddział ywanie konstrukcji  podpierają cej  n a linię  wał ów jest zwią zane  z  wystę powaniem w zależ noś ciach  (2.13) i (2.16) transform at  silf ia (t),  reprezentują cych  reakcje  w  ł oż yskach. D o  wyznaczenia  funkcji  przenoszenia  niezbę dne  jest  uwzglę dnienie  dynamicznych  wł as- noś ci  tej  konstrukcji.  M oż na w  tym  celu  wykorzystać  macierz  impulsowych  funkcji  przej- ś cia  konstrukcji  podpierają cej H   =   [ # y ] 6 l ) ,  Hij  =   [Ihwh,  ', ./  -   f,  . . . , «,  a,  ]S =  1,  . . . , 6, gdzie  hij a/ 1 (t)  jest  odpowiedzią   n a  z- tej  podporze  ł oż yskowej  w kierunku  a w chwili  ź n a impuls  jednostkowy,  przył oż ony,  n a  / - tej  podporze  w  kierun ku  jS w  chwili  t — r.  Jeż eli u ltt ,f ia   oraz  Ui a ,fi a   oznaczają   uogólnione przemieszczenia i sił y reakcji  w  funkcji  czasu  od- noszą ce  się   do  / - tego  ł oż yska  w ruchomym  ukł adzie współ rzę dnych  oraz  w nieruchomym ukł adzie  współ rzę dnych,  a  Ui a ,fi a ,Ut a >fia  —  transformaty  F ouriera  tych  wielkoś ci, t o moż na  n apisać: H =   - H # / ,  S -   - Hf, (2.17)  u =   I I K ,  U -   n  * a, /=n/,  / - n#/, gdzie zgodnie  z  [2] m acierzi7m a  przy  prę dkoś ci  ką towej  linii  wał ów w 0  postać: n = U l  — "0  0 0  1 p  • ITi,  I T iJ n; = 6, "l 0 0 o] - J  exp(- ;ói) 1 1 n, =  ri 0 cos(a o t+di) sin(w o t+di) , fl'; = "l 0 0 n 0 0 0 J e c o s  (co O" 0 0 n, 0 o t+ di) W. - r 1 'i, 0 0 0 n;j«, • 0 1 - i 0" i 1 LOSOWE  DRGANIA  LIN II  WAŁ ÓW  141 Wielkość  d :   oznacza  kąt  obrotu  lokalnego  ukł adu  współ rzę dnych,  w  którym  opisane  są przemieszczenia  wj  (2.11),  (2.15),  wzglę dem  nieruchomego  ukł adu  odniesienia  x 1 ,x 2 ,  x 3 konstrukcji  podpierają cej  (rys.  1) w  kierunku  wirowania  linii  wał ów  w  chwili  t  =  0. Dla przemieszczeń (2.14) przyję to  8 t   =   <52 =   ...  =   ó„_( =  0, natomiast <5n_(+ 1  = &u  <5n_(+ 2 = =   § 2  >  •  •  •  >  n̂ — $i> gdzie # !, ..., Ą  są  ką tami  pomię dzy  pł aszczyznami kolejnych  wykor- bień a pł aszczyzną  utworzoną  przez osie x t ,  x 2   w chwili  t  =  0. H  i I I są macierzami  tran- sformat  Fouriera elementów  macierzy  H i  I I 1 ' ;  "*"  oznacza splot. Z n aki" — " w zależ noś- ciach  (2.17) wynikają  stą d, ż e/ reprezentuje  reakcje  dział ają ce na wał y w ł oż yskach, które są  równe  lecz przeciwnie  skierowane  do  sił  dział ają cych  na konstrukcję  podpierają cą. Macierze I I są  ortogonalne i równe macierzom zespolonym  sprzę ż onym (2.19)  I I - 1 =  I F , (2.20)  n  =   n*, przy  czym (2.21)  ftr  =  ft, (2.22)  ń*  =   ń. Z  zależ noś ci  (2.17) otrzymuje  się  z uwzglę dnieniem  (2.19) (2.23)  u  =   V/ , (2.24)  V= - lF*H*n. Z równań  (2.11), (2.13), (2.16) i (2.23) wynika zależ ność - f fw (2.25) gdzie: -   I E ,-C  '  H o1  *-  J12  Lu E — macierz  jednostkowa. Przy zał oż eniu, że N  nie jest macierzą  osobliwą, zależ ność  (2.25) pozwala z uwzglę dnieniem (2.4)  i  (2.5)  napisać  wyraż enie  na  transformatę  Fouriera  wektora  stanu  w przekroju  x pierwszego  odcinka  wał u  ś rubowego 1 }  F unkcje  hi ]a .p(t)  traktuje  się jako  realizowalne  fizycznie,  zatem, istnieją  ich transformaty  F ouriera hi] a p(so).  Odmienną  metodę wyznaczania  funkcji  Au«^(w)  umoż liwia  fakt,  że  współ czynnik  dynamicznej podatnoś ci  konstrukcji  podpierają cej  linię wał ów jest dyskretną  reprezentacją  funkcji  h,jafi(a>) w punkcie a>  =   co 0 . Funkcja h t j a g((o)moie  być więc wyznaczo- n a  również jako  suma  funkcji gdzie gumien) jest równaniem krzywej  obrazują cej  przebieg  zmiennoś ci wartoś ci  czę ś ci  rzeczywistej  współ - czynnika  rfj^na  pł aszczyź nie  Rjz(difap),a>,  a  gij a p((o) jest  równaniem  analogicznej  krzywej  dla  czę ś ci urojonej  współ czynnika  d\ J£p.  Krzywe  t e  moż na  uzyskać  interpolując  w  interesują cym  zakresie  czę stoś ci dyskretne  wyniki  identyfikacji  współ czynników  dynamicznej  podatnoś ci  konstrukcji  podpierają cej  przy odpowiedniej  liczbie kolejnych  wymuszeń  o róż nych czę stoś ciach  [2]. 142  • >•   KO LE N D A gdzie  G™ x   =   G* x (w) stanowi  macierz  funkcji  przenoszenia, okreś lonych  dla  wektora  stanu w  przekroju  x  pierwszego  odcin ka.wał u  ś rubowego,  przy  wymuszeniach  pochodzą cych od  silnika  i  ś ruby  okrę towej,  z  uwzglę dnieniem  wpł ywu  podatn oś ci konstrukcji  podpiera- ją cej  linię   wał ów (2.27)  . ,.  Gw lx   = Analogicznie  wyznaczyć  moż na  macierze  funkcji  przenoszenia  dla  wektorów  stan u (prze- mieszczeń  lub  sił  wewnę trznych)  w  innych  przekrojach  linii  wał ów  lub  dla  przemieszczeń elementów  skoń czonych  w  podukł adach wał u  korbowego. 3.  D rgan ia  linii  wał ów  z  uwzglę dnieniem  asym etrii  sztywnoś ci  gię tn ej  i  podatn oś ci  fundamentów  przy  wymu- szeniach  stochastyczn ych W  niniejszej  pracy zakł ada się , że losowe  drgania rozpatrywanej  linii wał ów są   wynikiem wymuszeń  pochodzą cych  zarówno  od  ś ruby  okrę towej  ja k  i  od  silnika.  Wymuszenia  te traktuje się  jako  procesy stochastyczne o wartoś ciach  oczekiwanych równych zeru. Tworzymy  procesy  wektorowe: f w  -   {(/ ")*},  k  =   1,  ...,./ ,  (/ »)*  =   {(/ ««%},  «  -   1 , . . . .  6, gdzie: foa  -   fod 1 )  losowe  wymuszenia  od  ś ruby  okrę towej, (fa)k  =  [fa( ( )]k  losowe  wymuszenia  od  silnika, fia  — fi a (0  losowe  reakcje,  dział ają ce  n a  wał   w  ł oż yskach. W/ w  procesy  odnoszą   się   do  ruchomych  ukł adów  współ rzę dnych.  Z  kolei  tworzymy JV- wymiarowy  proces  stochastyczny (3.1)  y  = [ ^ j  =   {y n },  n = l,2,...,N ,  iV— 6(7+ 1) i  macierz  korelacyjną (3.2)  R w -   foBJJWt  nt,  tli -   1 , . . . , N ,  ̂ . gdzie: (3- 3)  e ft ,  -     -   , <> —  wartość  oczekiwana,  (*) —  wielkość  zespolona  sprzę ż ona.  R ozpatrzym y  przy- padki : I.  losowe  wymuszenia  są   procesami  stacjonarnymi  (cał kowicie  lub  w  szerszym  sensie) i  ich  funkcje  korelacyjne  mają   postać: LOSOWE  DRGANIA  LIN II  WAŁÓW  .  143; (3.4)  /   \   /   \   gP^ ih,  t 2 )  =   e» n Jt t   - 1 2 )  =   Q ll„Jir), M l  " 2 I I .  losowe  wymuszenia  są   procesami  niestacjonarnymi,  przy  czym  ich funkcje  korelacyjne są   bezwzglę dnie  cał kowalne  n a  pł aszczyź nie  tx t 2   "'  • ta , (3 . 5 )  AA  / <  0 0 , I I I .  losowe wymuszenia  są   procesami niestacjonarnymi, przy  czym  ich funkcje  korelacyjne- nie  speł niają   warunku  (3.5). Ad  I .  Ze wzglę du  n a  zmienność  rozpatrywanego  ukł adu  w  czasie,  zał oż enie (3.4) w  ogól- n ym przypadku  nie musi za sobą   pocią gać  speł nienia analogicznego  warunku  przez  funkcje autokorelacji  i  korelacji  wzajemnej  losowych  procesów,  zachodzą cych  w  linii  wał ów. W  celu  uwidocznienia  wł aś ciwoś ci  procesów  zachodzą cych  w  linii  wał ów  posł uż ymy  się warunkam i  brzegowymi  (2.11) i  (2.13), z których wyznaczyć  moż na transformatę  F ouriera wektora  stanu  w  przekroju  x  pierwszego  odcinka  wał u  ś rubowego (3.6)  w Xx   = Analogiczne  relacje  wyznaczyć  moż na  dla  dowolnych  punktów  linii  wał ów, zatem  procesy zachodzą ce  w linii  wał ów  bę dą   stacjonarne  wtedy,  gdy  procesy  wektorowe  y  i / bę dą   sta- cjonarne  i  stacjonarnie  skorelowane.  Stacjonarność  procesu  /   zbadamy  na  przykł adzie drgań  poprzecznych  wał u w  miejscu  / - tej  podpory  ł oż yskowej  odcinka  o  koł owej  symetrii sztywnoś ci  gię tn ej1}. D la uproszczenia rozważ ań pominiemy.wpł yw podatnoś ci fundamentu, jedyn ie  podporę  ł oż yskową   traktować  bę dziemy jako  idealnie sprę ż ystą, dla  której  macierz podatnoś ci Dn jest diagon aln a, o współ czynnikach podatnoś ci  1/ Cj2  w  kierunku  pionowym i  l/ c o  w  kierunku  poziomym.  Pomię dzy  reakcjami  / (  i  przemieszczeniami  Mf w  miejscu / - tej  podpory  ł oż yskowej  istnieje  zależ ność  analogiczna  do  (2.23) Ui  = czyli (3.7)  / ,  = U twórzmy  macierze  korelacyjne Rtf  -   kl^ h,  R?" =   [QZe\ e,  a , / 5 = l , . . . , 6 , gdzie: i  zał óż my,  że (3.8) M oż na zat en rn a podstawie  (3.7) i  (2.20) n apisać: (3.9)  Rff  *> Ilf(t+  rjDT t1II,(r+   r)R1V(r)UJ'(OCW'H «(0. 2 >  D la  takiego  odcinka  macierz lit  (2.18) nie  zawiera nieistotnego  w  poniż szych rozważ aniach ką ta  prze- sunię cia  fazowego  (d,  =   0,  1  =   1,2,  ...,?( —  / ). 144  J-   KOLENDA ską d. j"  cosa 0 (t  + r)  smco o (t+T )~]rc i2   01  J"cosa)(? +   T)  - sin a>0( / + T ) "l i~smco(t+r)  cosco 0 (t+r)\ [0  c, 3 \  ' [sinco 0 (t + r)  cosco 0 (t+r)\ cosco oM in a) 0< 1  lci cosco 0 t\   [O0?i33j  i~5inco 0 t  cosw o t\ \ 0  c t3 ]\ smco 0 t  cosco 0 t,y T)  - 2  zależ noś ci  (3.10) wynika,  że przy  zał oż eniu  (3.8) wtedy  zachodzi e#22 -   e«{ 2 ( f ) , gdy  speł niony jest  dodatkowy  warun ek: c i2   =   c t3 . D l a c i 2  ^  c i 3 jest przy  czym {T o   = nla> 0 , / i i / 2 — dowolne  liczby  cał kowite), co zgodn ie  z  (3.6)  oznacza, że  pom im o speł nienia  warun ku  (3.4)  zał oż enie  (3.8)  n ie  m oże  być speł n ion e. F un kcja  Q{{ 2 2 n ie  speł - n ia  wówczas  także warun ku  (3.5). I den tyczn e uwagi  odnoszą  się d o funkcji  korelacyjnych £# 23 J @f/32>  Q{(33-   M oż na  stąd  wnioskować,  że  przy  stacjon arn ych  wymuszeniach  pro- cesy zachodzą ce w okrę towych liniach wał ów, których kon strukcje  podpierają ce  są z reguł y an izotropowo  podatn e,  są  procesam i  okresowo  stacjon arn ym i  w  szerszym  sen sie3), a  ich  funkcje  korelacyjne  mają  p o st ać: {3.11)  e(t,t+r)  -   J [ W r ) e x p O W ) ,  Ar -   0, ± 1 ,  ± 2 ,  - k D la  takich  procesów  m oż na  wyznaczyć  macierze  ś redn ich  gę stoś ci  widmowych  m ocy, nastę pując  ich funkcje  korelacyjne  uś redn ion ymi funkcjami  korelacyjnymi T (3.12)  e ( r )  =  Qo (r)  = lim - ^  f   Q (t,  t+  x)dt i  dokonując  transformacji  F ouriera  funkcji  Q(T )  [4]. P o podstawien iu  d o  (3.10)  funkcji Q?utp   w  postaci  (3.11) i wykon an iu  operacji  (3.12)  otrzymuje się (3.13) 3 )  Procesy te są okresowo  stacjonarne w szerszym  Sensie także w przypadku  wymuszeń  okresowo  sta- cjonarnych w szerszym  sensie, niezależ nie od charakterystyk  podatnoś ci konstrukcji  podpierają cej. LOSOWE  DRGANIA,  LIN II  WAŁÓW  145 Analogicznie  otrzymuje  się   macierz  uś redn ion ych  skroś nych  funkcji  korelacyjnych Q{'iap( r )  dla  wym uszeń / („   i  przemieszczeń  u i8   (a,  /S =   1,  . . . , 6) (3.14)  J ?/ , 8( T )  =   - ( f l j D ^ i ^ gdzie Transform acja  F ouriera wyraż enia  (3.13) daje  zwią zek  pomię dzy uś rednionymi gę stoś ciami widm owym i  mocy  y(co) procesów f i2 ,  u i2 ,  u i3   oraz uś redn ion ymi  gę stoś ciami  widmowymi mocy  wzajemnej  procesów  u iz   i  u i3 : (3.15)  fflM  -   - J- rf̂ Mfea +  c,,)2 +  - Wyraż enie  (3.15)  zawiera  m .in.  gę stoś ci  widmowe  mocy  uzyskane  z  uś rednionych  funkcji korelacyjnych,  zm odulowan ych w  wyniku  wirowania  wał u z prę dkoś cią   ką tową   co 0 . W  wyraż eniach wyprowadzon ych  w p . 2 wpł yw wirowania  wał ów n a podatnej kon struk- cji  podpierają cej  okreś lony  jest  macierzą   V  (2.24).  Chcą c  wyznaczyć  macierz uś rednio- n ych  gę stoś ci  widmowych  m ocy  losowego  wektora  stan u  w  przekroju  x  pierwszego  od- cin ka  wam  ś rubowego  wyodrę bnimy  tę   macierz  w  macierzy  funkcji  przenoszenia  Gf x (2.27).  W  tym  celu wykorzystam y  zależ ność  (3.6) i wyraż enie  uzyskane  z zależ noś ci (2.11), (2.13),  (2.16)  i  (2.23): (3.16)  ( V + W ) / =   Yy, gdzie: P on ieważ odwrotn a tran sform acja  F ouriera wyraż enia  (2.24)  daje (3.17)  V( 0  =   - I F H I I, m oż na  wię c  z  uwzglę dnieniem  (2.18)  n apisać: 7 W / o n f t H n gdzie  W(<)  =   ^sr~ 1[W( 1 , co 2 ), uzyskana  w wyniku  podwójnej  transformacji  F ouriera funkcji  korelacyjnej  Q(t t , t 2 ) co  00 (3.29)  ' y ( » i , » a ) -   /   J  Q(h.  tJt- tW i—M- dtidti jest  sumą   funkcji  regularn ych  oraz  osobliwych  funkcji  odpowiadają cych  przypadkowi <«!  =  a>2, to uś redn iona gę stość widmowa mocy y(co) obejmujejedynie  funkcje  osobliwe  [4]. W wyniku  zastosowania  transformacji  (3.29) do wyraż enia  (3.28) otrzymuje  się : (3.30)  rSTCfl)!, o>2) Ą 2 przy  czym zgodnie  (3.19) i  (3.20) zachodzą   zależ noś ci: (3 — dystrybucja  D iraca. P onieważ  I I *  =  I I , czyli  V*( 0 =   - I Ir H * I I ,  wię c  w zależ noś ci  (3.30) m am y: V*(a) 2)+ W*(a> a) = Vf(fi)a) =  ~ [ V*(o>a) =  - (3.32) 148  J .  KOLBN D A Z achowują c  w  zależ noś ci  (3.30) jedyn ie  czł ony istnieją ce  przy  co 1   — co 2   — co  oraz  uwzglę d- niają c,  że  Ó *  =   n ,  otrzymuje  się   macierz  uś redn ion ych  gę stoś ci  widmowych  m ocy  pro- cesów  zachodzą cych w przekroju  x  pierwszego  odcin ka wał u ś rubowego  w  postaci (3.33)  A7 ( w)  =   P ( _ a ) M r »( «) ) P ( *_ T a ) gdzie: T yy(oS)—macierz  gę stoś ci  widmowych  mocy procesu (3.1), T  r rf  ^  «,  i?  -   i , . . . .  6, (3.34)  P (_ 2 )(ft> )  = P ( 1)(ca)  =   Z 2 ( c u ) [ - r i r H ( c o - c oQ ) n - n H ( c a ~ c oo ) n ] - 1 Y( ft ) ) , Odwrotn a  transformacja  F ouriera  wyznaczonych  w  ten  sposób  uś redn ion ych  gę stoś ci widmowych  mocy  yi xa p(co)  daje  uś redn ione  funkcje  korelacyjne i  r M acierz  F1™  (3.33)  powstaje  z  wszystkich  macierzy  skł adowych  macierzy  funkcji  przen o- szenia  G^ x   (3.26), lecz w odróż nieniu  od macierzy  P™  (3.30)  nie zawiera  iloczynów,  w  któ- rych równocześ nie wystę pują   macierze tran sfoim at  F ouriera zm odulowan ych  im pulsowych funkcji  przejś cia  konstrukcji  podpierają cej  linię   wał ów  o  róż n ych  gł ę bokoś ciach  m odulacji i  róż nych  kierunkach  przesunię cia  widm.  Wynika  stą d  prosta  reguł a  tworzenia  macierzy uś rednionych  gę stoś ci  widmowych  mocy  reakcji  tego  typu  ukł adów  n a  stacjonarne  wymu- szenia  losowe:' —  dla  wszystkich  skł adowych  czł onów  macierzy  funkcji  przenoszenia  róż nią cych  się modulacją   należy  oddzielnie  wyznaczyć  macierze  gę stoś ci  widmowych  m ocy  i  wyniki zsumować. Biorą c  pod  uwagę   zależ noś ci  (3.14)  i  (3.34)  m oż na  n apisać  wyraż enie  n a  m acierz uś redn ion ych  skroś nych  gę stoś ci  widmowych  mocy  procesów  zachodzą cych  w  przekroju x  pierwszego  odcinka  wał u ś rubowego  i procesów  wym uszają cych4'  : (3.36)  ' gdzie: l   lx  Jl2xiĄ 4 )  Wyraż enie  to  może  również  stuż yć  do  wyznaczenia  macierzy  P(p)(<»),  gdy  znane  są   macierze  F" LOSOWE  DRGANIA  LIN II  WAŁÓW  149 a -   l i . . . , 6 ,  n =   l, . „ , . J Vf  N =  6(1+1). M acierz  Gf x (co)  =  P(0)( i,  a>2)  J e s t  podwójną   tran sform atą   F ouriera  (3.29)  funkcji  korelacyjnej 6l y n 2 (h,  t 2 )-   P oddają c  zatem  wyraż enie (3.41)  jR™x(ti,  ti)  -   < J !U ( < I )  * Ryy(ti,  t 2 )  *  [G^ x (t 2 )]* T podwójn ej  t ran sfo rm acji F o u r ie r a  i uwzglę dn iając zależ n ość  (3.40) otrzym uje się  wyraż en ie okreś lają ce  m acierz  wid m  ś redn iej  en ergii  wzajem nej  losowych  procesów  w  przekroju x  pierwszego  o d c in ka  wał u  ś ru bowego (3.42)  W ] gd zie: 6. 150  J-   KOLEN D A Wykorzystują c  macierz uś redn ion ych funkcji  przenoszenia  Gi x   m oż na okreś lić  macierz widm  ś redniej  energii  wzajemnej  losowych  procesów  w  przekroju  x  pierwszego  odcin ka wał u  ś rubowego  i  losowych  wymuszeń (3.43)  TO»)- J&(«i>)  Ą»(»), gdzie:  . a  it. « - . 1 . » . , 6, « - 1 , . ; . , # . Ad. Ul. W przypadku I funkcje korelacyjne procesów  wyjś ciowych  nie  speł niają  wa- run ku  (3.5). U wzglę dnienie, że funkcje  korelacyjne  (3.3) procesów  wymuszają cych  również nie  są bezwzglę dnie  cał kowalne n a pł aszczyź nie tj  t 2 ,  prowadzi d o analogicznych zależ noś ci, jak  dla  przypadku  I. M acierz uś redn ion ych gę stoś ci  widmowych  mocy  losowych  procesów w  przekroju  x  pierwszego  odcinka wał u  ś rubowego  oraz  m acierz  uś redn ion ych  skroś nych gę stoś ci  widmowych  mocy  losowych  procesów  w  przekroju  x  pierwszego  odcin ka  wał u ś rubowego  i  losowych  wymuszeń  wyraż ają  się  n astę pują co: (3.44) + P < - 1, (a)r»»(eo)P tf^ (3.45)  T rM  =   5Ł (»)1^(») M acierz  uś rednionych  gę stoś ci  widmowych  mocy  procesów  wymuszają cych otrzymuje  się  w  wyniku  dokon an ia  podwójnej  tran sform acji  F ouriera n a  elem en tach ma- cierzy  korelacyjnej  (3.2)  i  zachowania  czł onów  osobliwych  (istnieją cych  przy  m t   =  co2), bą dź  przez  poddan ie  tych  elementów  operacji  (3.12)  i  pojedynczej  tran sform acji  F ou- riera. D la  zilustrowania  przypadku  tego  typu  procesów,  wymuszenia  od  ś ruby  okrę towej i  od  silnika  przedstawimy  w  postaci  zespolon ej; ^ o  t),  »• -   0 , 1 , 2 , . . . ,  «  -   1, . . . .  6, (3.46) t  j £ f c  '  v -   0, 1, 2, . . . , a =  1,.... 6. Przy wystę powaniu  losowych  oddział ywań zespolone am plitudy  h arm on iczn ych wymuszeń stają  się  zm iennym i losowymi,  które  mogą  być  przedstawion e  w  p o st aci: ( 3 4 7 ) ( gdzie:   wartoś ci  oczekiwane, / o ^ 0 0 .  (fa^ k  zm ienne  losowe  o  wartoś ciach  oczekiwanych  równ ych  zeru. LOSOWE  DRGANIA  LIN II  WAŁÓW  151 Wartoś ci  oczekiwane  param etrów drgań  linii  watów  mogą   być  wyznaczone jak  w pracach [2],  [3].  P oniż ej  rozpatrzon o  oddział ywanie  procesów  stochastycznych (3.48) Tworzymy  procesy  wektorowe:  '• / o w-   {fo%  r  =  ( t r M ,  c n * =  m%}>  «.- 1,..;,6,  km i,..../ , (3.49)  .  y  =   {fow,fw}  =   {y n },  y n   = i  m acierz  korelacyjną (3.50) gdzie: (3.51)  eJ fo C i*  r 3)  -   ^ 2 "  «SłSlffl5>UMofri  h  - Vi  t2)], (3.52)  ( $ .  -   O ^ 0 ^ ' > ) *> 9  ^ , ^  =   0 , 1 , 2 , . . . M acierz  (3.50)  m oże  być  przedstawion a  w  postaci  sumy  macierzy: (3.53)  jRWfa,  r 2)  =   [jf»»J +  fe,!1°„ 2]exp(yco0O +  fe„ °1 1„ 2]exp(~jco0tz) + ską d  w  wyniku  podwójnej  transform acji  F ouriera  otrzymuje  się (3.54)  T »(a> t ,  a> 2 )  =  (2^r)2 {fe„ 01 0 n^(c«1)^c»2)+   b i f j a ^ i  - o>o))  stanowią   zgodnie  z  (3.44)  i  (3.45)  również  cią gi  impul- sów*  róż nią ce  się   am plitudam i  tych  impulsów. 152  J. KOLENDA •   •   4.  U wagi  koń cowe Z ależ noś ci wyznaczone  w niniejszej  pracy  oraz w  [2], [3] i  [5] umoż liwiają   dokł adniejszą analizę   drgań  linii  wał ów  z  koł owo  asymetrycznymi  odcin kam i  w  porówn an iu  z  dotych- czasowymi  m etodam i.  W  szczególnoś ci  mogą   być  on e  wykorzystane  do  obliczeń  drgań linii  wał ów  zawierają cych  wał y  korbowe,  a  czę ś ciowo  także  w  problem ach  dyn am iki  i  sta- tyki  belek  wielopodporowych.  Z naczenie rozpatrywanych  zagadn ień wynika z roli tego  typu ukł adów  w  praktyce. U zyskane  wyniki  mogą   być  przydatn e  w  dalszych  pracach ,  których  gł ówne  kierun ki winny  dotyczyć  rn.in. optym alnej  syntezy,  a  także  doskon alen ia  m etod  praktyczn ej  reali- zacji  procesów  identyfikacji  dynamicznych  wł asnoś ci  rozpatrywan ych  ukł adów. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  K.  SOBCZYK, Metody  dynamiki  statystycznej, PWN ,  Warszawa 1973. 2.  J.  KOLEN D A,  Drgania  wymuszone  linii wał ów  z  uwzglę dnieniem  asymetrii sztywnoś ci gię tnej i podatnoś ci fundamentów.  Metoda identyfikacji podatnoś ci dynamicznej fundamentów linii wał ów,  W Redakcji  M ech. Teoret.  i  Stos. 3.  J.  KOLEN D A,  Uś ciś lony opis drgań  wymuszonych  linii wał ów z  uwzglę dnieniem asymetrii sztywnoś ci gię tnej i  podatnoś ci fundamentów, Mech.  Teor.  i  Stos.,  17,  1, 1979. 4.  A.  PAPOU LIS,  Prawdopodobień stwo,  zmienne  losowe i  procesy  stochastyczne, WN T,  Warszawa  1972. 5.  J.  KOLEN D A, Metoda analizy drgań  linii wał ów z uwzglę dnieniem asymetrii sztywnoś ci gię tnej {podatnoś ci fundamentów przy  wymuszeniach  nieokresowych,  Zesz.  N auk.  Politechniki  G dań skiej,  „Budownictwo Okrę towe",  w  druku. P  6 3  W  M e CJiy^IAł iH ŁIE  KOJIEEAHHfl  BAJIOIIPOBO^OB  C yq E T O M  ACHMMETPHH H 3rH E H 0H   5KECTKOCTH  H   nOflATJIH BOCTH PaSoTa  KacaeTCH   cjiymannbix  KOJieSanHH   BanonpoBoflOB,  H BJiH iomaxcH   Bjwecre  c ynpyrH M H MeHTaiwH  jiHHeHHbiiwM u sasHCHimiMK  OT BpeiueHH  cHCTeMaiwu c pacnpeflejieH UMMH   napaiH erpaMH . BaercH j  MTO  nptf  erautfOH apH bix  cjiyiaH H bix  B03iwymeHHJix  cro xacn wecK H e  n poi^eccbi, B  BajionpoBOfle  c  acaiwMeipHeH   H 3ra6H 0H   >KecTK0CTHj  H BJI H WTC H   BCjieflCTBnce  poTaijMH n a  ynpyroM   cJ>yHflaMeHTe  nepHOAiPiecKK  cTarcnoHapHbiMU  B nfflpoKoiw  C M WC JI C  MaTpH tpbi cneKipajiBH brx  njioxH ocreft  STKX I I po^eccoB coflep»aT  TpaHcdpopiwaTbi  ypte  MOflyji H bix  dpyHKLiHH   OTBeTa  (j)yHflaMenTa.  On peflejin eTcn  MaTpima  ycpeAH eH H bix  n epeflaToiH bix KOTopan  HcnojiB3yeTCH   «J I H   n o jiyie m t a  MaTpimw  ycpeflHCHHbnc  B3aHMHbix  cneKTpaJiBHbix  nnoTH ocreft BbixoflH bix  n poiieccoB  B aHanH3MpyeM0M   ce^emffl  Ban on poBoaa  H  BxofflHbix  n porceccoB.  PacciwaTpiffla- Ć TCH   cjiy^afi  necranH OH apH bix  cjiyqaH H Lix  B03MymeHHft  n pH  npeAnojio> Kennn a  ^ITO yrjioBaH   cKopocTt MOHCCT  c^nrraTBCJi  nocTOHHHoii. S u m m a r y RAN D OM   VIBRATION S  OF   SH AF TIN G S  WITH   F LEXU RAL  R I G I D I TY  ASYM M ETRY  ON F LEXIBLE F OU N D ATION S The  paper  deals  with  random  vibrations  of  shaftings  constituting  together  with flexible  foundations the  linear  and time- dependent  continua. It is  shown  that  at stationary  random  excitations  the stochastic processes in the shaftings  with flexural  rigidity  asymmetry  are periodically  stationary  in wide sense due to L O SO WE  D R G AN I A  L I N I I  WAŁ Ó W  153- r o t a t io n  of  shafts  o n  flexible  fo u n d a t io n s.  T h e  m at rices  of  averaged  power  spectral  den sities  of  th ese  p ro - cesses  c o n t a in  F o u r ie r  t r a n sfo r m s  of  t h e  m o d u la t ed  im p u lse  respon ses  of  a  fo u n d at io n .  T h e  m atrix  o f averaged  t ran sfer  fun ction s  is  defin ed  a n d  u sed  t o  d et erm in e  t h e  averaged  cross  power  spectral  den sities of  o u t p u t processes  a t  t h e an alysed  sh aftin g  p o in t  an d  of  in p u t processes.  T h e  case  of  n o n st at io n ary r a n d o m excit at io n s  is  co n sid ered  u n d e r t h e  a ssu m p t io n  t h a t  a  r o t a t in g  speed  of  t h e shaftin g  can  be  t reat ed  as  a  con - st a n t  valu e. POLITECHNIKA  GDAŃ SKA INS TYTUT  OKRĘ TOWY Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  29  maja  1978  r.