Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  17  (1979) 0  PŁASKIM  QU ASI- STATYCZN YM  ZAG AD N IEN IU   TE R M OD YF U Z JI DLA  SPRĘ Ż YSTEGO WALCA  KOŁOWEG O K R Z YSZ T O F   G   R  Y  S A,  RYSZ ARD   S Z C Z E P A Ń S KI  (P O Z N AŃ ) 1.  Wstę p Obróbka  powierzchniowa  czę ś ci  m aszyn jest jedn ym  z  waż niejszych  problemów  współ - czesnego  przem ysł u.  Jedn ym  z  rodzajów  obróbki  powierzchniowej  jest  wprowadzenie w  cienką ,  zlokalizowaną   przy  samej  powierzchni  obrabianej  czę ś ci,  warstwę   pewnego czynnika,  mają cego  n ad ać  tej  czę ś ci  okreś lone  wymogami  technologicznymi  i  eksploata- cyjnymi  cechy.  Jako  przykł ad  m oż na  tu  przytoczyć  proces  azotowania,  nawę glania  czy cyjanowania  powierzchni  m etalowych.  Zjawisko  to jest  niczym  innym  jak  pewnym  pro- cesem  dyfuzji  jedn ego  oś rodka  w  drugi,  przy  czym  podkreś lić  należ y,  że  w  warunkach rzeczywistych  proces  ten  przebiega  przy  jedn oczesn ym  poddan iu  obrabianej  czę ś ci dział a- n iu  t ak  pola  tem peratury ja k  i pola  sił . W  pracy  niniejszej  zajmiemy  się   próbą   opisu  wpł ywu  procesu  dyfuzji  n a  naprę ż enia w  nieskoń czenie  dł ugim walcu  koł owym .  U wzglę dnimy  przy  tym  wpł yw  pola temperatury n a  przebieg  dyfuzji  i  n a  odwrót.  P o n ad t o  wyznaczymy  koncentrację   czynnika  dyfundu- ją cego  w  oś rodek  sprę ż ysty ja ko  funkcję   czasu  i  zm ien n ych przestrzennych. Z ał oż en ia  pracy  są   n astę pują ce: —  poboczn ica walca  jest  woln a  od  obcią ż eń; —  tem peratura poboczn icy walca jest funkcją   ką ta  opasan ia   0.  Z ał oż en ie to wynika  w  sposób  dosyć  oczywisty  z  faktu, iż  ilość  czą stek  oś rodka  dyfundują cego,  które wn ikan ą   do  walca,  wyraża  się  • — biorą c  pod uwagę   n p .  m ol  oś rodka  sprę ż ystego  —  liczbą   o  kilkanaś cie  rzę dów  wielkoś ci  niż szą   od liczby  Avogadro,  zatem n ie m ogą   on e w  sposób  widoczny  zmienić potencjał u chemicznego tego  oś rodka.  M oż na  wprawdzie  wpł ywać  n a  zm ian ę   poten cjał u  chemicznego  w  wyniku oddział ywań  n p . elektrycznych,  lecz  tego  przypadku  n ie  bierzemy  pod  uwagę ; —  wł asnoś ci  term iczn e, dyfuzyjne  i  m echaniczn e walca  są   st ał e; —  w  walcu  panuje  pł aski stan odkształ cen ia; —  tem peratura, poten cjał   chemiczny  i  kon cen tracja  są   funkcjami  zmiennymi r,  )  n a- szkicowano  krótko  drogę   otrzymania  wyników. O  wszystkich  funkcjach,  wprowadzonych  w  trakcie  obliczeń  zakł adam y,  że  speł niają warunki  D irichleta  tak  dla   o rę ,  a w   i  a zz   oraz  kon cen tracja  c. 172  K .  G R YSA,  R .  SZ C Z EP AŃ SJCI Warunki  począ tkowe  i  brzegowe  wynikają ce  z  odpowiednich  ustaleń  poczynionych we  wstę pie  pracy,  okreś lone  są   nastę pują co: dla  t  =   0 (2.8)  M(r,    0 I M(R,  ,  t)  speł niają   warunki D irichleta  wzglę dem  zmiennej  cp  e  ( —n,  n  >  przy  dowolnych,  ustalonych  r e  (0,  R} i  t e  (0, co).  M amy zatem , t)\   \   ^ gdzie  &o(r, t)  s  M h 0 (r,  t)  m  0.  Wstawiają c  funkcje  0  i  M  okreś lone  zwią zkami  (3.1)  d o równań  (2.1)  i  (2.2) oraz  warunków  ( 2 . 8 ) l i 2 ,  (2.9)j  i  (2.9) 2,  otrzymujemy  nastę pują cy zestaw  równań  róż niczkowych  i  warun ków: (3. 2) 1 \ dr 2 1 r d dr n 2 r % 1 d dt u "   l   dt '  "  M  0t PŁASKIE  ZAGADNIENIE  TERMODYFUZJI  173 (3.3)  M r C R ,  0  =   My***,  ®Cn'\ R,  0  =   F n >°e- I>«, (3.4)  .   M f, - s(r, 0 )  =   0 ,   ©;• .• (!•,  0) -   0 . W  zależ noś ciach  (3.3)  wielkoś ci  T p'  i  M c„- S  są   współ czynnikami rozwinię ć  fourierow- skich  funkcji  T (q>)  i  M(c>).  Oczywiś cie  Tg  s  AP0  =   0,  Tg  =   T o,  M%  =   M o . R ówn an ia  t ran spo rt u ,  p o  przedstawien iu  poszczególnych  poszukiwanych  funkcji AV postaci  szeregu  F ouriera,  rozdzielił y  się   n a  ukł ady  równ ań  n a  współ czynniki  rozwinię ć fourierowskich  funkcji  0  i  M  z  odpowiedn im i  ukł adam i  warunków  brzegowych  i  po- czą tkowych.  U kł ady  te  rozwią zujemy  za  pom ocą   skoń czonej  transformacji  H an keł a  rzę du n  [5].  O  warun kach  stosowalnoś ci  tego  przekształ cen ia  cał kowego  mówi  nastę pują ce twierdzenie  ([5], str.  83): Jeś li  funkcja  f(x)  speł n ia  waru n ki  D irichleta  w  przedziale  (0, R),  to  jej  transformata H an keł a  m a  postać (3.5)  ftfrt)  =  J gdzie  / j,„i  —  z- ty  pierwiastek  równ an ia  przestę pnego  J„(IJ)  =   0 (J n (x)  —  funkcja  Bessela pierwszego  rodzaju  «- tego  rzę du  [6,  7]),  zaś  tran sform ata  odwrotn a  okreś lona  jest  dla każ dego  x  e ( 0, R),  w  którym  funkcja  f(x)  jest  cią gł a,  zależ noś cią 0 0 (3- 6)  fW= - W Z astosowan ie  tran sform acji  H an keł a  do  ukł adu  równ ań  (3.2) z  warunkam i  (3.3) i  (3.4) prowadzi  do nastę pują cych  ró wn ań  róż n iczkowych  zwyczajnych  n a  transformaty  H an keł a współ czynników  rozwinię ć  fourierowskich  funkcji  0  i  M: (3.7) =  0 , -   =  0 , l gdzie  oczywiś cie  Tg  =   M% =  01  =   M' Q . a  0.  Tran sform aty  6C„'S  i  M c„- '  muszą   speł niać jedn orodn e  warun ki  począ tkowe,  wynikają ce  z  warun ków  (3.4). R ówn an ie  charakterystyczn e  [8]  tego  ukł adu  równ ań  m a  postać (3.8)   r 2  p g a 2 gdzie  ocj  =   — -   +   - = —,  a 2   =   d T   8 M .  R ówn an ie to  m a  dwa  pierwiastki,  gdyż  — jak  ł atwo  sp rawd zić —jego  wyróż n ik  jest  zawsze  dodatn i.  W  celu  zbadan ia  zn aków  pier- wiastków  rozważ my  zn ak  wyraż enia  a 2   (gdyż pozostał e wielkoś ci  tworzą ce  współ czynniki 174  K .  G R YS A,  R .  SZCZEPAŃ SKLI równania  (3.8) są  dodatn ie). Ponieważ  [2] r   ak   K  n  A   dT " wię c (3.9)  a2 -   - l^ H- Kr^ drÓM)  =  - j- ^ - ll  -   J\   1 > 0, A A  A A  \   flM + tf  / gdyż d > 0, a >  0 i n > 0 [2]. Jak zatem wynika z (3.9), równ an ie (3.8) ma dwa  pierwiastki ujemne. Rozwią zania  ukł adu  (3.7) mają   postać / Ct  S /   4 t  *T i ni  V>   • *  > (3.10) ś - .̂   o  = Pni Oznaczenia: (3.11) J Wykorzystują c  wzory [10]: ?ff»i)  =   1  f  MQX)  J„(Qy) 1 - j2)/ ;( (̂)""  20 2- x2)L  / ,(*)  /„GO  J' (3.12) 0000 V  tflJnCePnt)  1  F  2  - / n(e )̂ _  2  ^ ( gj) 1 wprowadzają c  oznaczenia (3.13) S"(o- X)  =   ~ X  \ J'(sVhlrt)  / «(gl/ fe/ ra)1 2«2 - a ia  / n(v/ ^T)  "  / „(j/ 7̂) J' PŁASKIE  ZAG ADNIENIE  TEKMODYFUZH   175 oraz  wykorzystują c  wzór  (3.6)  uzyskuje  się   nastę pują ce  przedstawienie  współ czynników fourierowskich  funkcji  0  i  M: (3.14) 0 0 2  V i  J„(Qfł „ t )  „ c  s .  .   t   , Wstawiają c- prawe  stron y  zależ noś ci  (3.14)  do  (3.1)  otrzymujemy  funkcje  &(Q,(p,t) i  M ( p , (p, t),  opisują ce  tem peraturę  i  poten cjał  chemiczny  w  rozważ anym  procesie termo- dyfuzji: OD  0 0 V>  O -   T T 7 -   J "  ^  ?"{T !??T   tF- '(<; 7> M)cosnc.+ F;((/ ; r, M )sin ^]- n = 0  1= 1 S l n (s;  T ,  M)  [T c „cosn= o (3.15) oo - e - ^M '  V  5 ? , ^ ;  M ,  T)  [AfS ?(Ql  T ) [rSc W  przypadku,  gdy  wartoś ci  funkcji  opisują cych  tem peraturę   i  poten cjał   chemiczny n a  brzegu  walca  n ie  zależą   od  czasu,  we  wzorach  (3.11)—(3.15)  należy  poł oż yć  / 9X  =   0 (X  =   T ,  M).  Wówczas  S 1„(Q;X,  Y)  =   - Q",  S], 1{Q;X)  =   0.  Stą d  otrzymujemy  nastę pują cą postać  tem peratury  i  poten cjał u  chemicznego  dla  problem u  omówionego  we  wstę pie pracy 176  K.  G RYSA,  R.  SZCZEPAŃ SKI ' (3.16) Tutaj  ̂/  U 2 (3.17) gdzie «  =  0, 1, 2, . . . . 4.  Wyznaczenie  przemieszczeń,  naprę ż eń  i  koncentracji Aby  okreś lić  stan  przemieszczenia,  naprę ż enia  i  koncentrację   czynnika  dyfundują cego w  rozważ anym  walcu,  należy  rozwią zać  równ an ia  (2.3) (przy  pom inię tych  czł on ach  iner- cyjnych)  z  warunkam i  brzegowymi  (2.10).  Oprócz  speł nienia  tych  warun ków  wymaga się   od przemieszczeń,  aby dla r  =  0  osią gały  wartość  skoń czoną. Zauważ my,  że prawe  strony  równ ań  (2.3)  m oż na  w  rozważ anym  przypadku  (u a   ot 0) przedstawić  w postaci  odpowiednich  pochodn ych  sumy (4.1)  Y%0 o {r, t) + y%M o (r,  t) + y^ & i ( r ,  0 =  0%, M o  = M c 0 ,  & c „- s ,  Mf,' s (n  =  1, 2, ...)  m oż na  ł atwo  odczytać  ze  wzorów (3.14). Równania  przemieszczeniowe,  po  prawych  stron ach  których  znajdują   się   pochodn e funkcji  yf 6 0 (r,  t)+y%M 0 (r,  t)  opisują   — wraz z warun kam i  (2.10) —  osiowosymetryczny st an  naprę ż eń  w  walcu,  grzanym  n a  pobocznicy  tem peraturą   eksponencjalnie  maleją cą PŁ ASKIE  ZAG ADNIENIE  TERMODYFUZJI  177 w  czasie,  przy  czym  poten cjał   chemiczny  jest  n a  tejże  pobocznicy  również  okreś lony funkcją  maleją cą  w  czasie. Z  uwagi  n a zł oż on ość  analizy  w  przypadku  ogólnym,  najpierw  zajmiemy  się zagadnie- niem  osiowosymetrycznym,  a n astę pn ie dla przypadku  ogólnego  tylko  naszkicujemy  drogę otrzym an ia  wyników. 4.1.  Przemieszczenia i naprę ż enia w zagadnieniu  osiowosymetrycznym.  Równanie  i  warunki  ok- reś lają ce  przemieszczenia  mają  postać  n astę pują cą: Id 2   Id  J _  \   0  _  56>o  ,   D „   dM 0 \   DQ2  Q  BQ  Q2  ) (4- 3)  a"°  1 ( i  : c a )  "°  = i ? m r r 0 ( <5#   6  e= i | H ? ( 0 , 0 I < O O ,  , gdzie  u° — przemieszczenie  radialne,  c2  =  c\ lc\ 2,  c\ 2  =   (X*+2/ i)/ g 0 , cl  =  pJQ 0   m T   = =   YT / QOC*Z),  %  =   T MUQOC*2),  T Q   =  T c 0 ,  M o   s  M c 0 ,  Q  =   r/ a.  Przemieszczenia  w  kie- runku  obwodowym  są równe zero: «£  =  0. Znak 0 oznacza osiową  symetrię. Po  prostych obliczeniach uzyskuje  się nastę pują cą  postać funkcji  U°(Q,  t): (4.4)  U?(Q ,t)=  -   RT 0 e- *«  \ j~^   t ^ r ^ o "( l ;  r ,  J i ) -   mM ^ 5 ^ ( 1 j  T )] + O;  M, - m T 6 r S l   K M   czy  od- wrotn ie;  nie  ma  to  znaczenia  dla  dalszej  an alizy!, r,  »  KT IR2,  r 2   m K M / M 2  (lub odwrotnie), Przy powyż szych  zał oż eniach zwią zki  okreś lajece  poszczególne,  wyznaczone  w  rozdzia- ł ach  3 i  4, wielkoś ci  upraszczają   się   do  nastę pują cej  postaci: 182  K .  G R YSA,  R .  SZ CZ EP AIQSKI - rtfo  - vli*\  - P T < V i  V  PniJń (et*ni)e ""iF°[T Zcosn(p+T Zsmn K M , a co za  tym  idzie,  wyraż enie  exp(~fj, oi F o   prę dzej dą ży  do zera niż exp  (- potF 0 ).  Z atem dla F o   >  0,5  (dla tzw.  regularnego  reż imu cieplnego [9]), tzn . dla t > i?2/ (2i£r)_wyraż enia  expC - ^of^o)  n ie przekraczają  wartoś ci  0,05  podczas gdy  wyraż enia  expC - ^oi^o)  mogą  być jeszcze  stosun kowo  bliskie  jedn oś ci.  D la  F o  >  1,5 mamy  exp(- / ioi  F o ) <  1 0 "3 —z a t e m  dla  czasów  t > 3R2/ (2K T )  m oż na  pom in ąć  skł ad- niki,  zawierają ce  tego  typu  potę gi.  Zwią zki  (5.4) —  (5.9)  znacznie  się wówczas  uprasz- czają. I t a k: 2dK T   _  j X r e  [ Z n (5.io)  < ^> ' ) - WL_  „ ,+«*! - , < g, j?o 1 - e2 PŁASKIE  ZAG ADNIENIE  TERMODYFUZJI  185 /«=  1 dKuy%m T an(K T - K M ) V Ze  zwią zków  (5.4) —  (5.10)  m oż na  odczytać  szereg  interesują cych  cech  charakteryzu- ją cych  proces  termodyfuzji  w  ciał ach  stał ych.  Z  pierwszych  dwóch  zależ noś ci,  okreś lają- cych  tem peraturę  i  poten cjał  chemiczny  wynika,  że  wpł yw  procesu  dyfuzji  n a  temperaturę jest znacznie  mniejszy  n iż  wpł yw  tem peratury  n a  wartość  potencjał u chemicznego, gdyż  — jak  to już  zazn aczon o  wyż ej —K T   >  KM-  W  procesach  dyfuzji  i  ogrzewania,  dotyczą cych ciał   stał ych, m oż na  n awet  n apisać  silniejszą   n ierówn ość  (K T   >   KM)  gdyż wówczas  współ - czynniki  te  róż n ią   się   o  kilka  rzę dów  wielkoś ci.  Jedn akże  oba  wpł ywy  —  potencjał u che- micznego  n a  tem peraturę   i  odwrotn ie  —  są   zn ikom o  m ał e,  gdyż  skł adniki,  opisują ce  te wpł ywy,  m n oż one  są   przez  iloczyny  dK T   lub  dKu • O  wpł ywie  procesów  term icznego  i  dyfuzyjnego  n a  przemieszczenia  decydują   współ - czynniki  m T im M .  N at o m iast wielkoś ci  K T   i K M   okreś lają   czas  trwania  czysto  niestacjonar- nego  procesu.  Jak  już  wspom n ian o  wyż ej,  czas  trwan ia  czysto  niestacjonarnego  procesu jest  dla  procesu  term icznego  zn aczn ie  krótszy  n iż  dla  dyfuzyjnego.  Stą d  rozpatrują c  prob- lem  od  stron y  dyn am iczn ej,  w  pierwszej  fazie  —  dla  Foe  (0;  0,5)  — należy  się   spodziewać przede  wszystkim  wpł ywu  ogrzewania  n a  przem ieszczenia;  dla  F o e  (0,5;  1,5)—•  wyrów- n an ia  się   obu  wpł ywów,  zaś  dla  Fo  >  1, 5—już  tylko  wpł ywu  procesu  dyfuzji.  P o  odpo- wiednio  dł ugim  czasie  wartoś ci  przemieszczeń  ustalają   się ,  podobn ie  jak  w  procesie  ter- m icznym . N aprę ż en ia  w  procesie  termodyfuzyjnym  —  podobn ie  jak  w  procesie  czysto  termicz- nym —  po  odpowiedn io  dł ugim czasie  stają   się   pomijalnie  m ał e.  Warto  jedn akże  zwrócić uwagę   n a  t o ,  że  równ ież  i  t u  w  kolejnych  fazach  procesu  notujemy  począ tkowo  wię kszy wpł yw  ogrzewania,  zaś  p o  pewn ym  czasie  przede  wszystkim wpł yw  dyfuzji  n a naprę ż enia. Widać  to szczególnie  wyraź nie  w zwią zkach  (5.10)^  5 . Wszystkie  uwagi  dotyczą ce  tem peratury,  potencjał u  chemicznego  i  przemieszczeń,  do- tyczą   również  kon cen tracji  (wynika  to  w  sposób  oczywisty  ze  zwią zku  (2.7)). P on adto  — ja k  widać  z  (5.10) 6  —  p o  odpowiedn io  dł ugim  czasie  wartość  funkcji  c°(Q,t)  ustala  się i —  w  przypadku  osiowosym etrycznym  —  staje  się   niezależ na  od  prom ien ia.  P odobnego efektu  należy  się   spodziewać  —  przez  an alogię   do  procesu  czysto  termicznego —  w  przy- padku nieosiowosymetrycznym .  N atom iast wydaje się , że w walcu koł owym m oż na  osią gnąć koncentrację   czynnika  dyfundują cego,  bę dą cą   funkcją   prom ien ia  Q, jeś li  zada  się  potencjał chemiczny  n a  powierzchni  walca  ja ko  funkcję   ką ta  opisania  9?, zaś  sam  walec  wprawi  się w  ruch  obrotowy  wokół  wł asnej  osi  z  odpowiedn io  dobran ą   prę dkoś cią   ką tową.  Wniosek ten  wynika  z  analogii  procesu  termodyfuzyjnego  i  czysto  termicznego,  dla  którego  wyka- 186  K.  G RYSA,  R.  SZCZEPAŃ SKI zano  tego  typu  zależ ność  temperatury  od  prom ienia  przy  odpowiednio  dobran ym zespole warunków [9]. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  W. N OWACKI,  Dynamie problems of thermodiffusion  in elastic solids,  P roc. Vibr.  P robl. 2, 15 (1974). 2.  W. N OWACKI,  T ermodyfuzja w ciele stał ym, Mech. Teoret. Stos., 2, 13 (1975). 3.  B. STANISZEWSKI,  W ymiana ciepł a—podstawy teoretyczne,  PWN   Warszawa 1963. 4.  W. N OWACKI,  T eoria sprę ż ystoś ci,  PWN   Warszawa 1970. 5.  1. N . SNEDDON, Fourier transforms,  McG raw- H ill Book  Company I n c.,  N ew York  1951. 6.  G . N .  WATSON,  A  treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge  U niversity  Press,  Cambridge 1962. 7.  N . W.  MCLACH LAN ,  Funkcje Bessela dla inż ynierów,  PWN  Warszawa  1964.  ^ 8.  E.  KAMKE,  Differentialgleichungen  L osungsmethoden  und L osungen, Leipzig  1959; tł um.  ros. Moskwa 1965. 9.  K.  G RYSA,  N ieustalone  pole temperatury  w wirują cym  walcu  koł owym, wywoł ane  utrzymywaną  na jego pobocznicy odcinkami stał ą  temperaturą ,  Mech. Teoret.  Stos. 2, 15 (1977). 10.  K. G RYSA,  O sumowaniu pewnych szeregów Fouriera- Bessela,  Mech. Teoret. Stos. 2, 15 (1977). U .  B. A.  BOLEY,  J. A.  WIEN ER,  T heory of thermal stresses,  J. Wiley  and Sons, I n c., N ew  York 1960. 12.  H. PARKU S, Instationare  W drmespannungen,  Springer- Verlag, Wien  1958;  tł um.  ros. Moskwa 1963. 13.  S. TIMOSHENKO,  I . N .  G OOD IER, T eoria sprę ż ystoś ci,  ARKAD Y 1962. 14.  K.  G RYSA,  M. KWIEJC,  Stan naprę ż eń  w walcu  koł owym,  wywoł any przył oż eniem stał ej temperatury  na pobocznicy,  Mech.  Teoret.  Stos.,  1, 15  (1977). 15.  W.  D ERSKI,  A  dynamical problem of  thermoelasticity  concerning  a  thin  circular plate,  Arch.  Mech. Stos.,  2, 13  (1961). 16.  T.  M U RA,  Dynamical  thermal stress due to  thermal shocks, Res. R ep. F ac.  of  Engng.,  Metfi  U niv., 8  (1956). 17.  K. G R YSA, N aprę ż enia  i przemieszczenia  w wirują cym walcu koł owym  ogrzewanym  nieosiowosymetrycznie na pobocznicy,  Mech.  Teoret.  Stos.,  3, 15  (1977). P  e 3 to  iw  e OB  OflH OH   KBA3H C TATBraE C KOil  3Ą H A1™ TE P M 0Ji;H < P < I iy3H H JIJUL   yripyrorp  Kpyrororo B  p a 6o r e  ormcairo n poijecc  TepMOflnd)4>y3HH  B fljfflH H O/ vi KpyroroM  u jijian u p e  n pH  H acTOH max  n p e # - n on owen H H x:  CoKOBasi noBepxH ocTt i(H JiH H flpa cBoSoflH a,  TesuiepaTypa  SToft  n oBepxH ocra flaH a B ymuft&  yr n a  q>  H  BpeiaeHKj  a XHMiKecKHii  noTeimH aji —  B BUfle  4>yHKq«a  nocTOHHHoft.  B  p npeflnojioweH H O  njiocKyio  fle^opM aą nio.  B ypaBH emł fra flBH >KeH H 5i n pen eSperaercff  BHeuiHKtMH  CH JEIMK H 3TaT0B. ON   A  CERTAIN   QUASI- STATIC  PROBLEM   OF   TH E R M OD I F F U SI ON   I N   AN   ELASTIC CYLIN D ER S u m m a r y  '• "'•' The  thermodiffusion  phenomenon in a long elastic cylinder  is investigated  in this  paper.  The  follow- ing  assumptions  are made: the surface  of  cylinder  is  free,  the temperature of  the surface is a function  of PŁASKIE  ZAG ADNIENIE TERMODYFUZJI  187 angle  ę   and  time, chemical  potential  is  constant  on  the  surface  of  the  cylinder,  the  plane  state  of  strains is considered;  body  forces  and  inertia  terms  in equations  of  motion an d elastic  dilatation  in heat  and  dif- fusive equations  are  neglected.  The  obtained  results,  describing  temperature, chemical  potential,  stresses, displacements  and concentration fields  are given  in  a  form  of  Fourier- Bessel  series.  In the last  part  of the paper  an  analysis  of  obtained  results  is  presented. INS TYTUT  MECHANIKI  TECHNICZNEJ POLITECHNIKA  POZNAŃ S KA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  10  sierpnia  1977  r.