Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z2.pdf


M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

2,  17 (1979)

T E O R I A  Ś R E D N I EJ  G R U B O Ś CI  O R T O T R O P O W YC H   T AR C Z  T R Ó J WAR S T WO WYC H

JE R Z Y  K U J A W S K I  (BIAŁYSTOK)

Trójwarstwowe  dź wigary  powierzchniowe  z  uwagi  n a  swoje  zalety  znajdują   coraz
szersze zastosowan ie  w  teclinice. Kon strukcje  te z reguł y charakteryzują   się  dużą  podatn oś-
cią   n a poprzeczne odkształ cen ia.

Klasyczna  teoria  tarcz  trójwarstwowych  zakł adają ca  wystę powanie  pł askiego  stanu
n aprę ż en ia może powodować  dość  duże bł ę dy  szczególnie  w  tarczach z grubym  i podatn ym
n a  poprzeczne odkształ cen ia rdzen iem .

Teoria  klasyczna  m oże  równ ież  prowadzić  do  duż ych  bł ę dów  w  nastę pują cych  przy-
padkach :  analizy  n aprę ż eń w  pobliżu  otworów,  których  ś rednica jest  nieduża w porówna-
n iu  z  gruboś cią   tarczy,  tarczach  wirują cych,  obcią ż enia  tarczy  sił ami  powierzchniowymi,
obcią ż eń  dyn am iczn ych itp.

Ś cisłe  obliczenie  warstwowych  dź wigarów  powierzchniowych  jest  bardzo  skompliko-
wane  [1 i  2]. Z tego  wzglę du  istnieje  kilka  uś ciś lonych  m etod  obliczania  trójwarstwowych
pł yt  i  powł ok  [3—5].

N atom iast  dotychczas  prawdopodobn ie  n ie  publikowan o  ż adnych  prac  n a  tem at
uś ciś lonego  obliczania  tarcz  trójwarstwowych.

W  niniejszej  pracy  podję to  próbę   zbudowan ia  uś ciś lonej  teorii  ortotropowych  tarcz
trójwarstwowych  o  cien kich  okł adzin ach .  P raca  stanowi  uogólnienie  technicznej  teorii
grubych  ortotropowych  tarcz jedn orodn ych  [6, 7].

1.  Równania  podstawowe

1.1.  Podstawowe  zwią zki  teorii  sprę ż ystoś ci.  R ozpatrzm y  w  ram ach  liniowej  teorii  sprę ż y-

stoś ci  tarczę  trójwarstwową   o jedn akowych  okł adzin ach .  Z akł adam y, że rdzeń i okł adziny

są   wykon an e  z  m ateriał ów jedn orodn ych ,  ortotropowych  i  liniowo  sprę ż ystych  (rys.  1).

!fc.

i

——  y- r-  —».

/

— —  • —«-   — « -

\

i
li

Rys. 1



190 J.  KU JAWSKI

Rdzeń  i  okł adziny  są  poł ą czone bezpoś rednio  w  sposób  n iepodatn y.
W  obszarze  tarczy  muszą  być  speł nione  podstawowe  zwią zki  teorii  sprę ż ystoś ci  to  jest:
zwią zki  Cauchy'ego

UJ"  1 , 2 , 3 ,

A
2i

^ 3 1

A

A
A

1 2

2 2

3 2

A
A

A

1 3

2 3

3 3

•

"£ 11

£ 2 2

_«33.

°23  —  2^4.4  '  S
23

  ,

ff31  =   2Ass  " £ 31,

(1 . 1 )

równania  konstytutywne

(1.2)

oraz  równania  równowagi

(1.3)  Ctjj+Xi^ O,  UJ  "1,2,3,

- dij(i,j  =   1, 2, 3) oraz A„„(n  =   4,  5, 6) są współ czynnikami sprę ż ystoś ci  m ateriał u rdzenia.
Zakł adamy,  że  w  cienkich  z  reguł y  okł adzinach  wystę puje  bł onowy  stan  naprę ż enia

i  przemieszczenia  analogicznie  jak  w  klasycznej  teorii  tarcz.  Skł adowe  stan u  naprę ż enia
w  okł adzinach mają  zatem nastę pują cą  postać

(  } K Mx
p u l  ^33  - ag,,  a- 1,

'  U 2 J '  o{
2
  =  2BU  •   s

12
,

tutaj  B{p i  B%6  są  współ czynnikami  sprę ż ystoś ci  dla  ciał a  ortotropowego  w  pł askim  stanie
naprę ż enia  (por.  [5] str.  20  i  [8] str.  46).

1.2.  Pola przemieszczeń  1  naprę ż eń.  Obcią ż enie  tarczy  stanowią  sił y  przył oż one  n a  jej
powierzchniach  zewnę trznych  x

3
  =   ±(h+$)

(1.5)  <r
a3
  "  ± p

s

a
,  ff33  =   / 3 ,

oraz sił y  masowe

(1.6)  X
a
  =  X

a
(x

t
),  X

3
  =   0.

Zakł adamy  nastę pują ce  pole  przemieszczenia:  w  okł adzinie  dolnej

w rdzeniu

tutaj  H* (A: =   0, 1)  są  nieznanymi funkcjami  zmiennych  x
a
,  C  =   x

3
fh.

Przyję te  pole  przemieszczeń  jest  cią głe  w  cał ym  obszarze  tarczy,  z  tym,  że  dla  górnej
okł adziny  1Ą =   — u

3
.

Ze  wzglę du  n a  symetrię  wzglę dem  pł aszczyzny  ś rodkowej  bę dziemy  rozpatrywali
tylko  poł owę tarczy  x

3
  e  <0, h+d}.  Otrzymane  wyniki  bę dą  sł uszne  dla  cał ej  tarczy.

N a  podstawie  (1.1),  (1.2) i  (1.4) pole  naprę ż enia  m a  post ać:  w okł adzin ach

(1.9) +B{{
2
  •   e°

22
, a{

2
  = 2 2



T E O R I A  O R T O T R O P O WYC H   T AR C Z 191

w rdzen iu

(1.10)

=   A
66- aa3  =

- —  itf+iij,.) ' C

tutaj  T X =   Ass/ G,  t2  =   A4.JG,  G  jest  dowolnie  przyję tym  porównawczym  m oduł em
sprę ż ystoś ci  poprzecznej  n p . ^ 4 6 6 .  ;

Wzory  (1.10)  okreś lają  pole  n aprę ż en ia  w  rdzen iu  z  wyją tkiem  naprę ż enia  CT33.  N a
podstawie  trzeciego  równ an ia  równ owagi

(1.11)  < r3 3 =   - hjaa3,ad£ + C(xa),

stąd  po  podstawien iu  (1.10)  oraz  przyję ciu,  że  dla  £   =   ± 1  a
33

  sa p
s

3
  otrzymujemy

(1- 12) Osa  =   p\ - <

Sił y  wewnę trzne  w  okł adzin ach i  rdzen iu  zdefin iowan e  są  nastę pują co

l+ t;

(1.13) Nafl  =   2h

gdzie  y\  =   ó/ h.
N a  podstawie  1.9),  (1.10)  i  (1.13)  otrzymujemy  sił y  wewnę trzne  w  okł adzinie

(1.14)

i  w  rdzen iu

(1.15)

B{t  B{2  O

Hi  B{2  O

o  o  Ha
ul,2

An

A2X
0

A
A

o

1 2

2 2

0

0

^ 6 6 .

u%. %
1 . 2

^ 2 3

0

«S

»1  =   "2 +  - 5-  "«  są  uś redn ion ymi  p o  gruboś ci  rdzenia  przemieszczeniami.

1.3.  Ukł ad  równań  róż niczkowych.  P ola  przemieszczenia  i  naprę ż enia  są  opisane
za  pom ocą  pię ciu  funkcji  H£  i  u%.  F unkcje  te  wyznaczamy  speł niając  w  sensie  cał kowym
równ an ia  równowagi  sił   poziom ych  oddzielnie  dla  rdzen ia  i  okł adziny  dolnej  w  nastę-
pują cej  postaci

(1.16)
•   i  • !

a)^C  =   0,  h  J  (ffa/ 9.



192 J.  KU JAWSKI

Z  uwagi  n a  fakt,  że  naprę ż enie  a
33

  otrzym an o  speł niając  w  sposób  ś cisły  równanie
równowagi  sił   pionowych  w  rdzen iu  brakują ce  pią te  równ an ie  otrzym am y  uś redniając
cał kowo  trzecie  równanie  konstytutywne  w  postaci

i

(1.17)  /   (o
33

~A
3l
  •   e«) d £   =   0,  i  =   1, 2,  3.

(1.18)

Jeś li  podstawimy  do  (1.17)  zwią zki  (1.8)  i  (1.12)  to  otrzym am y

Z  równań  (1.16)2  po  podstawieniu  (1.9)  i  uwzglę dnieniu  zależ noś ci  h  j  aa3<3dC

2  ,

wyznaczamy

ul
(1.19)

hd

2G

*1

J_
T 2

dl

s 2
o  h

" 3  2G

A'
r i

A

N a  podstawie  (1.10),  (1.16)!  i  (1.18)  po  uwzglę dnieniu  (1.19)  dochodzim y  do  ukł adu
równań  róż niczkowych:

(1- 20)

w  którym

~(A
12

+A
66

)(B
l2
+B

66
)

T2
\ dldl  + —  A

6
6B

6
J  T 2



TEORIA  ORTOTROPOWYCH   TARCZ 193

fx  =  -

L
2l
  =

L
i3
  ^ ^ -

r
2

B
66

)  d\  3 | +  — -   A
22

B
22

  dj]
j  T 2  j

A
22
B

22
  dj]  +h(A

66
  +

j

h  =   - J

u,   =

G T ,

3

2"  ~T~  " 1 3  P i l

R ówn an ia  (1.20)  są   uwikł an ym  ukł adem róż niczkowych  równań  czą stkowych  ł ą cznie
dziesią tego  rzę du.  R ozwią zan ie  u kł ad u najwygodniej  jest  znaleźć  numerycznie n p. m etodą
róż n ic  skoń czon ych.

1.4.  Warunki  brzegowe.  Warun ki  brzegowe  wyprowadzimy  korzystają c  ze  znanego
w  rach un ku  wariacyjnym  poję cia  n aturaln ych  warun ków  granicznych.

Stą d  otrzymujemy  nastę pują cy  zwią zek  n a  poboczn icy  walca  ograniczają cej  tarczę

(1- 22)  6 [Jf  (<r
n
„u„ + a„

s
u

s
+<t

n3
u

3
)dx

3
ds]  =   0,

r
tutaj  d  oznacza  wariację   cał ki  powierzchniowej.

3  Mech.  Teoret.  i  Stos.  2/ 79



194  J.  KU JAWSKI

P o  podstawieniu  (1.7)  i  (1.8)  do  (1.22)  i wykonaniu  cał kowania  po  gruboś ci  tarczy  mamy

1.23)  /   \ L aL   + <7„„  +  i -  < J <5»  +  A  / < +  i -

( 2\   2 /   4  \   1  1
>?o)f. +  o « + T  <4  <5HS°+ - =-   <tf.+  - r

  ff«)  óu°  + T   xT du°  \ ds  =   0,ó  I  ó  \   J  I  i  J
gdzie

Stą d  otrzymujemy  nastę pują ce  jedn orodn e  warunki  brzegowe:
statyczne

^ »  +  <4 +  4  ffi,  =  0,  ff„ °n  +  4-   <  -   0,

(1.24)  I?OJŁ +  <&+  \   ol  = 0 ,  ff°s+ 4"  ff»°s  =   0,

A  —  u.   /

i  geometryczne

(1.25)  M„° =   0,  ul
n
  m  0,  KS° =   0,  «s

x  = 0 ,  u°
3
 =  0,

gdzie  skł adowe  stanu naprę ż enia  af  i  ak  (k  =   0,  1) są   okreś lone  przez wzory  (1.9) i  (1.10).
Wynikowy  ukł ad  równ ań  róż niczkowych  dla  tarczy  trójwarstwowej  jest  ł ą cznie  dzie-

sią tego  rzę du.  Pozwala  to  speł nić  po  pię ć  warunków  brzegowych  na  pobocznicy  walca
ograniczają cej  tarczę . W  warunkach brzegowych  może wię c wystę pować  w róż nych kombi-
nacjach  pię ć  wielkoś ci  geometrycznych  i  statycznych  spoś ród  (1.24)  i  (1.25).

Poza  wymienionymi  mogą   wystę pować  jeszcze  inne  kombinacje  warunków  brzego-
wych.  G dy mamy róż ne warunki  brzegowe  w  obszarze  rdzenia  i  okł adzin wtedy  speł niamy
cał kowo warunki brzegowe  oddzielnie dla rdzenia i okł adzin.  W tym przypadku  n a pobocz-
nicy  walca  ograniczają cej  tarczę   może  wystę pować  w  róż nych  kombinacjach  pię ć  wiel-
koś ci  geometrycznych

(1.26)  U°„,  MJ +  y l t f ,  U°,  «s° +  y » s \   U°a

i  pię ć  statycznych

0  1   /
(1.27)  (/ „„,  <  +  - - o i,  a{

s
  ff°,  +  —e r 1 ,  r

Przy  jednorodnych  warunkach  brzegowych  zwią zki  (1.26)  są   identyczne  z  (1.27)
Pewne  róż nice  wystę pują   w  statycznych  warunkach  brzegowych.  N a  podstawie  (1.27)
mamy

(1.28)  ^ + 4 - ^  = ^+0,8^=0,



TEORIA  ORTOTROPOWYCH  TARCZ 195

n atom iast zwią zki  (1.27) prowadzą   do zależ noś ci

o- o- f- Iff1  =   ff°+ O,66  [6] er1  =   0.
o

Ze  wzglę du  n a  antysym etryczny  ch arakter przemieszcze"nia  «3  i naprę ż eń  aai  zachodzą

zwią zki
h+d  i,

(1.29)  f  u
3
dx

3
~0,  Jo

a3
dx

3
=0.

- ( '< +  <*) - h

Wymienimy  kilka  kom bin acji  warun ków  brzegowych  jakie  mogą   wystą pić  w  tarczy
trójwarstwowej  wzdł uż brzegu  x

t
  =  a.

Jeś li  tarcza  wzdł uż brzegu  jest  cał kowicie  utwierdzon a  wtedy  mamy

(1.30) u°x  =  0,  «i  = 0 ,  u°2 =   0,  u\   =   0,  u%  m  0.

W  tym  przypadku  warun ki  brzegowe  są   ś ciś le  speł n ion e, gdyż  ż aden  z  punktów  le-
ż ą cych n a poboczn icy walca  ograniczają cej  tarczę  n ie przemieszcza  się .

W  tarczy  trójwarstwowej  m oże  wystą pić  jeszcze  in n y  rodzaj  utwierdzenia. U twierdzone
mogą   być  tylko  okł adzin y  tarczy,  a  rdzeń  może  mieć  jedn orodn e  statyczne  warunki
brzegowe  rys.  2.

1
Szczelina
dylatacyjna

Rys.  2

Jest  to  przykł ad nię cią gł ych  warunków  brzegowych  w  przekroju  poprzecznym tarczy.
N a podstawie  (1.26) i  (1.27) mamy

(1.31)  M? =   0 ,  a J t + y f f h  =   0,  uJ - O,  ff?a  +   - j < r ła - 0,

«§  =  0 .

• W  tym  przypadku  są   ś ciś le  speł n ion e  warunki  brzegowe  w  okł adzinach, n atom iast
w  rdzen iu w  ten sposób,  iż  wypadkowe  n aprę ż eń brzegowych  są   równe  zeru.

N
t i

=   2h ( a ?,  +  ~  <rh)  =   0,  N
i2
  =   2/i |cr?2  + ' - -  a

1
^   =   0,

Pozostał y  warunek  dotyczą cy  zerowania  się   naprę ż eń  a
i3
  jest  speł niony  w  postaci

(1.29)2.



196 J.  KU JAWSKI

Jeś li  wzdł uż  nieobcią ż onego  i  swobodnego  brzegu  znajduje  się   nieskoń czenie  sztywna
w  swojej  pł aszczyź nie, i doskonale  wiotka  z pł aszczyzny  przepon a  brzeg  speł niają cy  wa- .
run ki  antysymetrii  to  korzystają c  z (1.24) i  (1.25)  otrzymujemy

(1.32)
2 4ytfli  =  0,

(1.33)

Ul =  0,  Ą   -   0,  lĄ  m  0.

Przedstawione  przykł ady  dotyczą   jedn orodn ych  warun ków  brzegowych.
G dy  n a cał kowicie utwierdzonym  brzegu  dział a sił a ś ciskają ca  N  wtedy  m am y

1  •   N '

u\   =   0, -   0.

Jeś li  brzeg  utwierdzony jak  n a rys.  2 jest  ś ciskany  sił ą  N -  warunki  brzegowe  mają   postać

(1.34)

2  i
ffu  +  yC ii- O, =   P,

2.  Uproszczenie  teorii

M oż na  wykazać,  że w tarczach  trójwarstwowych,  w których  rdzeń  m a kilkakrotn ie
mniejsze  stał e sprę ż ystoś ci  n iż  okł adziny, wpł yw  przemieszczenia  u%  n a  n aprę ż en ia  <ja3 jest
znikomy.  P o jego  pominię ciu mamy

( 2
  u  „

  2 G T «  „ t ę

(2.1)  .  a a 3 ~  ^  uac.

Konsekwencją   zał oż enia  (2.1)  przemieszczenia  H „ ,  n aprę ż en ia  ce
33
  i  u kł ad  równań

(1.20) upraszczają   się   do  postaci

(2.2)

(2.3)

(2.4)

ul

hd

\ 1  ,
(.Bil  d\  4" ̂ 66 Qi) >   (- ^12  *ł " - f<>6.) ^ 12

T 2
  1 2  6 6  1 2 >  T 2

•
" 1

«2°

-

A
2G

3̂3  = = ^ 3- G Ta < a ( l- C
2) ,

- ^11  ^<12  ^ 1 3 ^ 1

- L2I  - Ł22  ^ 2 3 ^ 2

3 ^(
2  A

"«?"

4

_.
'A'
/ a



TEORIA  ORTOTROFOWYCH  TARCZ  197

Z  równ an ia  (2.4) 3  wyznaczam y

(2.5)  uo3= ~- j
L- (L3a- u°a- f3).

~>  ^ 3 3

Jeś li  podstawim y  (2.5) do pozostał ych równ ań  (2.4) to  otrzymamy  nastę pują cy  ukł ad
równ ań  róż n iczkowych

(2.6)  4 . «?=/ .',
gdzie

Ł i  L   +  h d L  L f  L   +  h  d L

(2 . 7 )

3  A
33
  '  3  A

3 3

*•   j  A23  ,  2  ,  Ai%

3 3

U kł ad równ ań  (2.6) jest ł ą cznie ósmego  stopn ia i zawiera  tylko  dwie  niewiadome n° co
znacznie  uł atwia jego  rozwią zan ie.

Z  uwagi  n a wysoki  rzą d  u kł ad u  równ ań  (2.6) oraz  zł oż oną   budowę   operatorów róż-
niczkowych  (2.7) rozwią zan ie  an alityczn e  może  n astrę czać duże  trudnoś ci. Z tego  wzglę du
rozwią zanie  ukł adu najwygodniej  jest  znaleźć num erycznie.

3.  Przykł ad

Sposób  korzystan ia  z  wyprowadzon ych  zwią zków  do  uś ciś lonej  analizy  tarcz  trój-
warstwowych  zilustrujemy  nastę pują cym  przykł adem .  R ozpatrzm y  trójwarstwowe  pasmo
tarczowe  rozcią gane  sił ami  N .  N a  brzegach  tarczy  znajdują   się   przepony,  które  nie
pozwalają   n a przem ieszczenia  pun któw  brzegowych  w  kierun ku  gruboś ci  tarczy.  Z adanie
rozwią ż emy  dla  tarczy,  w  której  rdzeń  i  okł adzin y  są   wykonane  z  materiał ów izotropo-
wych.

Z astosujmy  teorię   uproszczon ą   co  pozwoli  w  ł atwy  sposób  otrzymać  ogólne  wzory.
Jest  to  przypadek  pł askiego  stan u  odkształ cen ia  e 2 2  =  0.  R ównania  róż niczkowe

^teorii  uproszczonej  do wyznaczenia  niewiadom ych  geometrycznych  mają   postać

o n  « ' -   ^ 2  d2u°  \ v-
2  h  \   vmhl  dhl°

1  . . 2 - 1!  d+u°  .,   N   dhi°

gdzie

m  = —  j -  —= - i  E i v  oznaczają   m oduł   sprę ż ystoś ci  podł uż nej i liczbę  P oissona rdze-
• l—Vf  E

n ia  a Ef  i v
f
  te sam e  stał e dla okł adzin , u°  =  u\ ,  w  =  u°,  x  =   Xi.

Rozwią zaniem  równ an ia  róż n iczkowego  są   funkcje
(3.2)  u°  =



198  •   J.  KU JAWSKI

tutaj

Z  uwagi  n a antysymetrię   funkcji  u°  wzglę dem  ś rodka  tarczy  C\   =   C 4  =   0,
Stał e  cał kowania  C

2
  i  C 3  wyznaczamy  z  nastę pują cych  warun ków  brzegowych :

_d
l~v

2
"

JV, x  =   2/ J —  5  y— I ( 1  +r)in)u  + - = - «!  =   iV,

( 3.3)  d l a x  =  tó
2  A  ??m/ j2  ^ 3 M °  3  du°]

  n

W  =   I  '-   V  1 = 0

3  1 - v  Y  2(1 - r)  A 3  2  dx  \
Stą d  otrzymujemy

Symbolami  5  i  :><:  oznaczono  wielkoś ci

gdzie  251 jest  sztywnoś cią   tarczową   rozważ anego  pasm a  wystę pują cą   w  teorii  klasycznej
(por.  [5] str.  122).

P ola  przemieszczeń  i naprę ż eń okreś lają   zwią zki:
w  okł adzinie dolnej

1
  K.  (t

  1  Shk
%  \   \   N   vh  I  ChkS  \

"~ T  s  aV~HT cW '  Vtł- B" " T T T ^ r l 1  S T 1
(3.5)

2  h(l  + rjm)  \   x  Chk  / '

w rdzeniu

1  N

""TT
1  N

2  3  l - v

1  ,.  . . .  M i  ??w  A:2  C h it l
0- 33  =   -   —  C l - i  )

d
1
  l  + T jm  x  Chk  '

N   nm  k  .

2  a  l  + 7]m  x  C  Oxka  '

Tutaj  y-   ^ j -   .  =   a{f  i  —  - T T J ™—r  =   ^ i i  sa-  n aprę ż en iami w  okł adzin ie i rdze-

niu  otrzymanymi z  teorii  klasycznej.



TEORIA  ORTOTROPOWYCH   TARCZ 199

Ł atwo  zauważ yć,  że  róż n ica  mię dzy  rozwią zaniem  klasycznym,  a  uś ciś lonym jest  duża
dla  m ał ych  wartoś ci  współ czyn n ika  k.  Współ czyn n ik  ten  maleje  wraz  ze  wzrostem  h/ a,
rjm i liczby  P oisson a  v.  D la  duż ych  wartoś ci  k  wystę pują   tylko  zaburzenia  brzegowe.

Jak  wynika  z  powyż szych  zwią zków  n a  brzegu  tarczy  mogą   wystę pować  duże  róż nice
mię dzy  klasycznymi  n aprę ż en iami  o- fj  i  a{\   a  uś ciś lonymi.  F akt  ten  wskazuje  na  dużą
koncentrację   n aprę ż eń w  otoczen iu brzegu  z  ż eberkiem  usztywniają cym  lub  brzegu  utwier-
dzon ego.  Z uwagi  na  cał kowe  speł nienie warun ków  brzegowych  naprę ż enia  a

n
  n a  brzegu

mogą   być  obarczon e  duż ymi  bł ę dami z  tego  wzglę du  n ie  bę dziemy  ich  badać.  W  odleg-
ł oś ci  2h  od  brzegu  róż n ice  mię dzy  n aprę ż en iami  klasycznymi  a  uś ciś lonymi  są   niewielkie.

P rzeprowadzim y  zatem  an alizę   wielkoś ci  n aprę ż eń  tr
13

  i  < r33:

dla

t -   1

C =  0
1  N

gdzie
Chfcf

~ C h T"
1 7 /   1

Wyraż enie  - ^ - - 7- -:  oznacza n aprę ż en ie  af
x
.  F unkcje  ^ ( f j i  A2(f)  przedstawiają2 «  1 +  ij/M2 «  1 +  ij/M

stosun ek  n aprę ż eń  a
l3
  i  cr33  do  n aprę ż en ia  orfj  w  rdzen iu  obliczonego  na  podstawie  teorii

klasycznej.
W  tablicy  1 zestawion o  wartoś ci  funkcji  At ( l)  =   a^ il)/ ^   i  A2(l)  =   <y33(\ )/ af1 dla

tarcz  o  7]  =   ó/A  =   0,10  w  zależ noś ci  od  wartoś ci  v  i  m.

Tablica  1

E
f  1  - v2

m"  E  T ą̂

Oli

«fi

i'  =   0,25

v  =   0,45

*  =   0,25

v  =   0,45

10

0,4490

0,7813

0,3600

0,5700

100

0,4926

0,7326

0,2929

0,3964

1000

0,4957

0,7210

0,2824

0,3738

00

0,4861

0,7196

0,2813

0,3712

Analiza  zestawionych  w tablicy  współ czynników wskazuje n a wystę powanie  dość  duż ych
n aprę ż eń  a

l3
  i  a

33
  w  otoczen iu brzegu  tarczy.  N a  przykł ad, dla  1>  =   0,25  i  m  -   100  a

l3
  =

=   0,49  afi  a  a
33

  =  0,29  o fj.  N aprę ż en ia  te  rosną   ze  wzrostem  liczby  P oissona  rdzen ia.
Z  uwagi  n a  dość  duże  róż n ice mię dzy  teorią   klasyczną   a  uś ciś loną   analiza koncentracji

n aprę ż eń  w  otoczen iu  brzegu  powin n a  być  przeprowadzon a  za  pomocą   teorii  ogólnej
u kł ad u  równ ań  (1.20).  P ozwoli  t o  dokł adn ie  speł nić warunki  brzegowe.  W  rozważ anym



200  J.  KU JAWSKI

przypadku  trzeci  warunek  brzegowy  m a  postać

(3.7)  < r u  -   Ku\ ,

gdzie  jSTjest  współ czynnikiem  sprę ż ystoś ci  ż eberka  brzegowego.
Jeś li  K  =   oo  to  u\   =  0  i  mamy  krawę dź  cał kowicie  utwierdzoną.

4.  Ocena  zbież noś ci  rozwią zania

Ś cisłe  ustalenie  zbież noś ci  rozwią zania  dla  tarczy  trójwarstwowej  nastrę cza  duże  trud-
noś ci.  Z  tego  wzglę du  oceny  dokon am y  w  sposób  przybliż ony.  Przyjmujemy,  że  bł onowe
równania  równowagi  są  dostatecznie  dokł adne  dla  cienkich  z  reguł y  okł adzin.  Pozostaje
zatem  ocena  zbież noś ci  rozwią zania  w  rdzeniu.  R ówn an ie  równowagi  sił   pion owych  dla
przyję tych  zał oż eń  jest  ś ciś le  speł nione  (1.11).  R ówn an ia  równowagi  sił   poziom ych  są
uś rednione cał kowo co  w pewnych  przypadkach  może  spowodować  dość  duże  bł ę dy.

Równanie  równowagi  sił  poziomych  w  pł askim  stanie  odkształ cen ia  m a  postać

(4.1)  tfn>I+ <r18l,- 0,

stąd

(4.2)  a
13

  =   - j  a
1Ui

dx
3
.

Jeś li  do  równania  (4.2)  podstawimy  naprę ż enia  a
n
  okreś lone  zwią zkiem  (3.6) 3  to

otrzymamy

1  „ U   k  Shk£

Jest  to naprę ż enie jakie  powin n o  towarzyszyć  n aprę ż en iom  a
lt
  przy  ś cisł ym speł nieniu

równania  równowagi  sił  poziomych  w  rdzeniu.
W  \ yykonanym  przykł adzie  mamy

a
  -   i  N

  V
m  k  '

2  a  ł  +  9?m  x  4  Chk

Róż nica  mię dzy  naprę ż eniami  wynosi

(4.5)

Wypadkowa  Zler̂ ŝ dział ają ca  na  poł owę tarczy  wynosi

(4.6)  k J 4 O d C „ *

g d z i e

Stosunek  wypadkowej  (4.6)  do  analogicznej  wypadkowej  n aprę ż en ia  (4.4)  wynosi

(4.7)  - 42_JU ± !̂ 1
fi  4  r\ m



T E O R I A  O R T O T R O P O WYC H   T AR C Z  201

W  tarczach o  v  =  0,25  i v  =   0,45  odpowiedn io  m am y

(4.8)  #   -   °> 2 7 3 3 1 ± 2 E -  >  i "  =  0,9758

Jeś li  7}  =   0,10  i m  =   10 to  wypadkowe  n aprę ż eń  (713  są   mniejsze  od  <r|3 o  et  =  100%  •
•   / IG / G   -   30,06%  dla  v  =   0,25  i  e 2  =   88,70%  dla  v  =   0,45.

Stą d  wynika,  że  zbież ność  rozwią zan ia  jest  dobra  w  tarczach o  mał ej wartoś ci  v i  duż ej
wartoś ci r/ m.

5.  U wagi  koń cowe

W  pracy  wprowadzon o  równ an ia  uś ciś lonej  teorii  ortotropowych  tarcz  trójwarstwo-
wych,  poddan ych  dział an iu sił   powierzchniowych  o  wszystkich  trzech  skł adowych  i  sił
masowych.

Z ał oż on o,  że  w  rdzen iu  tarczy  są   peł ne  tensory  stanów  naprę ż enia  i  odkształ cenia,
a  w  cienkich  z  reguł y  okł adzin ach wystę puje  bł onowy  stan  naprę ż enia  i  przemieszczenia.

Z adan ie  rozwią zano  w  przemieszczeniach,  zakł adają c  cią głe  pole  przemieszczeń  w  ca-
ł ym  obszarze  tarczy.

W  rezultacie  otrzym an o  uwikł an y  ukł ad  trzech  równ ań  róż niczkowych  czą stkowych
ł ą cznie  dziesią tego  rzę du do  wyznaczenia  trzech wielkoś ci  geometrycznych  u?  (i  —  1, 2,  3)
stanowią cych  przemieszczenia  okł adzin y  tarczy.

Rozwią zanie  u kł ad u  najwygodniej  jest  znaleźć  sposobem  numerycznym  na  przykł ad
m etodą   róż n ic  skoń czon ych.

Z  uwagi  n a  przyję te  zał oż en ia  kinem atyczne  wielkoś ci  antysymetryczne  wzglę dem
pł aszczyzny  ś rodkowej  zmieniają   się   liniowo  po  gruboś ci  rdzenia.  F akt  ten  ogranicza
zastosowan ie  teorii  do  tarcz  o  ś redniej  gruboś ci  h/ a  <  1/4  i  z  rdzeniem  o  mniejszej  noś-
noś ci  od  okł adzin r]Ef/ E  >  1.

Wykon an y  przykł ad  wskazuje,  że  w  otoczeniu  obcią ż onego  brzegu  utwierdzonego
lub  z  ż eberkiem  usztywniają cym  może  wystę pować  dość  duża  koncentracja  naprę ż eń.
M a  to  istotn e  znaczenie  gdyż  w  tarczach  trójwarstwowych  prawie  zawsze  wystę pują   kra-
wę dziowe  ż eberka  usztywniają ce.  .

R óż n ice  mię dzy  rozwią zan iem  klasycznym,  a  uś ciś lonym  rosną   ze  wzrostem  gruboś ci,
liczby  P oisson a,  oraz  podatn oś ci rdzen ia  tarczy.

L it e r a t u r a  cytowan a  w  tekś cie

1.  A.  n .  M E J I K O H H H ,  H3iu6  mpexcjio&Hou  mo/ icmoU  ruiumu,  Visa.  Ai<afl.  H ayK  AP M H H C KOH   C . C . P  H p.

2/ 1959.

2.  A.  I I .  M E J I K O H K H ,  O6  U3:u6e  deyxc/ iouuoii  mo/ ianoU  n/ iumu,  H 3B.  Ał cafl.  H ayi<  ApiwancKoił   C . C . P

H p .  5/ 1962.

3.  A.  51.  AjiEKCASflPOB,  J I .  E .  BP K I K K E P ,  J I . M .  KypmH H , A.  I I .  IIpycAKOBj  Pacnem  mpexcAouitux  na-

HeAeu.  0 6 o p o a r H 3 ,  M ocKBa,  1960.

4.  F . J.  P LAN T E M A,  Sandwich  Construction.  T he  Bending  and  Buckling  of  Sandwich  Beams,  Plates,  and

Shells,  N ew  York,  London, Sydney  1966.



202  J.  KU JAWSKI

5.  Z .  KĄ CZKOWSKI, Pł yty.  Obliczenia statyczne,  Arkady,  Warszawa  1968.
6.  J.  KU JAWSKI,  Obrotowo symetryczny stan naprę ż enia w grubych tarczach o ortotropii cylindrycznej,  Roz-

prawy  Inż ynierskie  N r.  3/ 1975.
7.  J.  KU JAWSKI,  T echniczna teoria grubych tarcz  ortotropowych, M echanika  Teoretyczna  i  Stosowana,

N r  2/ 1977.
8.  C A .  AittBAPijyMHH,  T eopun  auu3omponHbix  ruiacmun,  H ayi<a  M ocKBa  1967.

P  e 3  IO  M e

TEOPHfl  OPTOTPOnHBIX TPEXCJIOHHblX IU IH T  CPEflHEfil  TOJIIU,HHLI

B  paóoTe  BbiBefleHM   ypaBHeHUH  ywr n e H o ń  TeopiM   opTOTponH bix  T p e xc jio t e ws  m i m  noflBep>ue-
H bix  aeftcTBKio  noBepxHOCTHbix  etui, o  Bcex  i p e x  KOMnoKein- ax  H  MaccoBbix  cMn. npHKHiviaeTCH,  MTO
B  cepflueBH ire  m itfrbi  B03HHKaeT cocMoHHae HanpHHCeHriH  H  AetJjopMaqnn  oTBe^iaiomee  nojiH biM
cooTBeTCTByiomax  ieH 3opoB  —  c  flpyroii  cTopoH bij  i<aK  npaBH jio,  B  orpaHH^MBaiomHX  cjioax
MeiviSpaHHoe  cocramrH e  Hanpn>KeHMH  u  flec^opiwaiiił ii  KBK B  KjiaccH^ecKOH   TeopMH   njiU T.

3aflaua  p eiu en a  B nepeMemeaH H X npH  rrpeflnojioHteHHH   H enpepbiBH oro n o Jia  nepeM emeH H ii B  ijenofi
oSjiaciH   njiH Tbi.  B  pe3yra.TaTe  n ojiytien o  HeHBHyio  cHcreiviy  Tpex flH (J)t{)epeH aH ajTbH wx ypaBHeHHH   C OB-
MecTHo  flecH Toro  nop«fli<a  nim. o n pe# ejiem 0i  i p e x  reoiwerpH iecKH ix  Bejm^H H   HBjunomHXCH   n epewem e-

B  orpaH iMU BaiomH x  CJIOH X.  P aSora  npoH JiiocTpapoBaH a  npMMepoM,  H3  K o ro p o ro  BbrreKaeT
cpaBHKTejiBHo  6ojn>m9H   KOH qeirrpaipiH   HanpH>Keroift  B  oKpecrHocTHt  n arpyweH H oro

6epera.

S u m m a r y

TH EORY  OF   STRETCH IN G  ORTH OTROPIC SAN D WICH   PLATES
WITH   M OD ERATE TH ICKN ESS

The  paper presents  an improved  method of  calculation  of  orthotropic sandwich  plates  with  moderate
thichness. The loadings  of  the  plate consist  of surface  forces  with  all three components acting  symmetrically
with  respect  to  the  middle  plane  and  body  forces.  It  has  been  assumed  t h at full  tensors  of  stresses  and
strains are in a core of plate and in usually  thin faces  of plates, the membrane stresses and strains are  similar
to  those  of  the  classical  theory.

The  problem  is  solved  in  displacements  assuming  a  continuous  field  of  displacements  in  the  whole
plate's  region.  The  obtained  system  of  three  differential  equations  of  tenths  order  allows  to  determine
the  three unknown displacements  of  the face  of  the plate. In the given example we  show  the stress  concen-
tration near the loaded  boundary.

P OLI TEC H N I KA  BIAŁOSTOCKA

Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  11  listopada 1977  r.