Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  17 (1979) POWIERZCHNIE  GRANICZNE  DLA  MODELU   SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZNEGO PRĘ TA PRZY UWZGLĘ DNIENIU   ZMIAN  GEOMETRII KAZ I M I E R Z  K O W A L C Z Y K  ( K R AK Ó W) 1.  Uwagi  wstę pne W  sposób  analityczny  efekty  geometryczne  uwzglę dniał  po raz pierwszy  K.  JEŻ EK  [6], przy  ocenie  noś noś ci  sprę ż ysto- plastycznych  sł upów.  W  badan iach  doś wiadczalnych C  D YR BYE  i  P.  Lange  H AN SE N   [3] zwrócili  uwagę   n a  wpł yw  tych  efektów  n a  plastyczne zachowanie  się   konstrukcji  (ł uki koł owe). Obecnie  istnieje  dość  zn aczn a  liczba  prac,  w  których  autorzy  analizowali  wpł yw  nie- liniowoś ci  geometrycznych.  D otyczą   one  róż nych  przypadków  konstrukcji  (ramy,  belki, pł yty,  powł oki,  a  także  tarcze  i  cylindry  wirują ce),  warunków  brzegowych  i,  materiał ów. Brak  n atom iast  badań  o  ch arakterze  ogólniejszym. Stosun kowo  sł abo jest  opracowan a  teoria  powierzchni  granicznych  na  szczeblu  cał ego ciał a  (n p. w  przestrzeni  obcią ż eń ).  P . G .  H O D G E i  C. K.  SU N   [5] pomijają c  efekty  geome- tryczne przy  przyję ciu  postulatu  D ruckera wykazali, dla  ciał  idealnie  sztywno- plastycznych, twierdzenie  o  wypukł oś ci  powierzchn i  granicznych  i  prostopadł oś ci  do  nich  wektora plastycznego  pł ynię cia.  G ,  M AI E R  i  D . C.  D R U C KE R  W pracy  [10]  nie  stawiali  takich  ogra- niczeń  i  uwzglę dniali  zm ian y  w  geom etrii.  W  tym  przypadku  powierzchnie  graniczne mogą   być  wklę słe  i jest  to n a  ogół  zwią zane  z  utratą   statecznoś ci  kon strukcji;  sformuł owali oni  pewne  warunki  (macierzowe)  istnienia  wklę sł oś ci  powierzchni  granicznych,  jedn o- znacznoś ci  i  statecznoś ci  u kł adu . W  obecnej  pracy  bę dziemy  badać  sprę ż ysto- plastyczne  zachowanie  się   konstrukcji geometrycznie  nieliniowych.  Wykaż emy  wpł yw  efektów  geometrycznych  na  kształ t i wiel- kość  powierzchni  gran iczn ych,  kt ó re  obejmują   szerszą   klasę   powierzchni, zgodnie  z klasy- fikacją   noś noś ci  kon strukcji  M .  Ż YCZ KOWSKIEGO  [15]. D obierzemy  w  tym  celu  odpowied- ni  typ  konstrukcji  i  wykorzystam y  n iektóre  ż  twierdzeń  M AI ER A  i  D RU CKERA  [10].  Efek- tywne  wyn iki  otrzym am y  n um eryczn ie. 2.  Przyję ty  model  konstrukcji  i  zał oż enia Badan ia  przeprowadzim y  n a  m odelu  belki  wspornikowej,  skł adają cym  się   z  czę ś ci odkształ calnej  i  wielokrotn ie  dł uż szej  czę ś ci  sztywnej,  obcią ż onym  sił ami  o  ustalonych kierun kach  rys.  1. W  pracy  [7] przedstawion o  krótką   analizę   tego  typu  modeli  konstrukcji uż ywanych  w  badan iach  wstę pnych. 204  K.  KoWALCZYK Przyję te  na  rysunku  zwroty  P t   i  P 2   bę dziemy  uważ ać  za  dodatnie.  Konsekwentnie ten  sam znak  otrzyma  odpowiednie przemieszczenie  (i odkształ cenie) wywoł ane dział aniem wył ą cznie  sił y P x   lub  P 2   (przy zał oż eniu zasady  zesztywnienia). Oznaczenia  wielkoś ci  bezwymiarowych 7  T- fi  = - ~,  r} = —,  cp = —  —param etry  materiał owe  i  konstrukcyjne;  a 0   —  gra- nica plastycznoś ci, E —  m oduł  Younga, Pi  2

  w  =   —  sił a  podł uż na i moment zginają cy  w  przekroju,FŁ   rhł i g 0   — —9- t   ] c   —   m   —  —o d k s z t a ł c e n i e  wa r st wy  ś r o d k o wej  i  k r z ywi z n a  wa r - a 0   cr0  urn  .  .st wy  o b o ję t n e j, p q  =   p 2}   OJ =   a r c t g — -   —z a s t ę p c ze  p a r a m e t r y  o b c i ą ż e n i a, s  =   —  — naprę ż enie, Z z  — — ,  z + ,z_  —współ rzę dne  przekroju  prę ta  („   +  "  uplastycznienie po  stronie  rozcią gania,  ,, — "  po  stronie  ś ciskania). Bezwymiarowe  obcią ż enia  zdefiniowano  tak,  aby  osią gnię cie  noś noś ci  sprę ż ystej  czy- stego  rozcią gania  oraz  zginania  wystą piło  dla  p t   =   ± 1  i  p %   =» ± 1 ,  przy  pominię ciu zmian  geometrii.  Odpowiednie  odkształ cenia  wynoszą   wówczas  e Q   **  ± 1  i  k  =   ± 1 ,  na- tomiast n i  m oraz u t   i u 2   przyję to  ze speł nienia zasady  prac  wirtualnych. Ograniczymy  się   do  prę tów  krę pych  w  czę ś ci  odkształ calnej  i  przyjmiemy  linię   ugię cia w  postaci  ł uku  okrę gu.  Wobec  tego  zał oż ymy,  że  sił y  wewnę trzne  N   i  M  są   w  tej  czę ś ci belki  stał e, równe  odpowiednio  [7] a • a  J (2.1) a M  =  —  JM (ti)d& o i  pominiemy  sił y  poprzeczne, których  wpł yw  na  wytę ż enia  jest  tu  nieznaczny.  Z atem roz- kł ad naprę ż eń w czę ś ci  odkształ calnej modelu jest niezależ ny  od  # .  Pozwala  to na stosunko- wo  proste przejś cie  w badaniach od szczebla  przekroju  do szczebla  cał ego ciał a. Przyjmiemy  hipotezę  pł askich przekrojów  i  liniowy  rozkł ad  odkształ ceń w  postaci (2 . 2 )  « =  , P O WI E R Z C H N I E  G R AN I C Z N E 205 gdzie  e 0  —  odkształ cenie  warstwy  ś rodkowej  oraz  krzywiznę   warstwy  oboję tnej  zginania (2 . 3 ) t okreś lono  z  definicji  m ał ych odkształ ceń , po  rozwinię ciu  w  szereg. a 7 3.  R ówn an ia  podstawowe  —  m acierz  sztywnoś ci  geom etryczn ej  • P odstawowe  równ an ia  dla  rozważ an ego  ukł adu  podam y  w  formie  rozwinię tej  oraz w zapisie  macierzowym.  W  pracy  [7] przedstawion o  wyprowadzenie  tych  równań  dla  ogól- niejszego  przypadku  ze  wstę pną   krzywizną .  Ograniczymy  się   teraz  do  przytoczenia  odpo- wiedn ich  ró wn ań  w  wielkoś ciach  bezwymiarowych.  D la  uproszczenia  zapisu  bę dziemy uż ywać  a, zam iast  k, jako  jedn ego  z  param etrów odkształ cenia. R ówn an ia przemieszczeni owe (3.1) —  sin  a -   —  (1 — co s  a) —  1, •   V f  1 + p1  f  1  +pe 0_ |  _^ P o  obliczeniu  N (d)  i  M ( $ )  (rys.  1)  i  wykorzystaniu  (2.1)  otrzymamy  warunki  równo- wagi (1  —cosa) I  P Cię ć sztywna Rys.  1.  Przyję ty  model  konstrukcji —  oznaczenia Czę ś ć  odksztaT calna ,*,  ^   f  •   ^(l +  ̂ o )  /   sina \ 1 (3.2)  m  =   - p  U s m a — ' -   ^ - ^ - I c o sa  :]\ Pi  + u 1- cosa \ 1 206  K.  KOWALCZYK D o  obliczeń nuraerycznch szczególnie  wygodne  są  zastę pcze param etry obcią ż enia ą  i  co. Wówczas  warunki  (3.2) przyjmują   postać (   „   3(pacosa>  \   2 /   2 ^ - l s m (w  +  a)  sin  (co  +  - r m   _  _^^—- flj< r> cos(co  +   a ) +   —  ^ _ - l s m (w  +  a)  sin  (co  +  - r-J sin  - ^ 3(pcosa>  [  « L  a \ 2 / 2 Równania  konstytutywne  zapisane  ogólnie n  -   n(e Q ,k), (3.4)  ,  „ m  =  w( e 0 , K) moż na  wyprowadzić  w oparciu o zwią zki  fizyczne  i warun ki  równowagi  sił   wewnę trznych dla  poszczególnych  faz pracy  przekroju  prę ta  [7]. Podamy  teraz  podstawowe  równania  w zapisie  M AI ER A  i  D R U C KE R A  [10],  które  wy- korzystamy  do zdefiniowania  macierzy  geometrycznej  sztywnoś ci  kon strukcji.  Bę dą   t o trzy  rodzaje  równań, mianowicie , równanie nierozdzielnoś ci w formie  przyrostowej (3.5)  de  =  Bdu, gdzie e —  uogólnione odkształ cenia,  / u —  uogólnione przemieszczenia, B — macierz zgodnoś ci, równanie równowagi  otrzymane z  (3.5)  przy  wykorzystaniu  zasady  prac  wirtualnych (3.6)  BT<5 =   P , gdzie  a —  uogólnione sił y  wewnę trzne, P  —  uogólnione  obcią ż enia, a B T oznacza  tran spon owan ą   macierz  B,  oraz równanie konstytutywne w postaci  przyrostowej (3.7)  <5 0 . >   ' • • • • • . • N ierówność  (3.14)  nie jest  przy  tym  warunkiem  koniecznym  i  nie  pozwala  na  wyznacze- nie  przedział u  obcią ż eń  powodują cych  utratę   statecznoś ci.  D latego  (3.14)  bę dziemy  sto- sować  jako  warunek  sprawdzają cy,  uż ywając  równolegle  innego  warunku  statecznoś ci, który  podamy  w  dalszej  czę ś ci  pracy. 208  K.  KOWALCZYK 4.  Powierzchnie graniczne  w  przestrzeni obcią ż eń Opiszemy  teraz  rozgraniczenia  poszczególnych  faz  pracy  konstrukcji.  Wyznaczymy odpowiednie  powierzchnie,  aż  d o  wyczerpania  noś noś ci  prę ta  lub  rozpoczę cia  procesów lokalnie  plastycznie  biernych  wystę pują cych,  po  czynnych  [7].  W  obecnej  pracy  n ie  prze- prowadzimy  szczegół owej  analizy  tych  procesów. P o podstawieniu  odpowiednich zwią zków  konstytutywnych  (3.4) do  warun ków  równ o- wagi  (3.3) i wyrugowaniu  q, otrzymamy  równ an ie  uwikł ane typu (4.1)  F(e 0 ,k;co)  =   0. Przy  wyznaczaniu  powierzchni  granicznych,  do  równ an ia  (4.1)  doł ą czymy  stosowne  wa- runki  rozgraniczenia  i  przyjmiemy  chwilową   stał ość param etru (4.2)  OD  =   const. Z uwagi  na symetrię  rozważ anego  ukł adu wzglę dem  P 2 ,  obliczenia  prowadzon o  w prze- dziale (4. 3)  .   _ ^ < c o < s | - ,   •   .   • a  wyniki  przedstawiono  graficznie  w  górnej  poł owie pł aszczyzny  p L   —p 2  • Omówione  nastę pnie  powierzchnie  graniczne  zachowują   waż ność  przy  dowolnych drogach  obcią ż enia  w  V  const,  pod  warunkiem  nie  wystą pienia  procesów  lokaln ie  pla- stycznie  biernych.  Zał oż enie (4.2)  speł nia wię c rolę   pomocniczą   i  stanowi  niewielkie  ogra- niczenie  ogólnoś ci  badań . D la  począ tkowych  powierzchni  neutralnych  [15]  (sprę ż ystych  [8]),  odpowiednie  wa- run ki  rozgraniczenia  mają   postać (4.4)  s(±])   =  e o ±k=   ±\ . N a  rys.  2  przedstawiono  począ tkowe  powierzchnie  n eutraln e  i  wpł yw  param etrów fi,  rj i  cp  n a  ich  kształ t.  Zwróć my  uwagę ,  że  powierzchnie  n eutraln e  n a  czę ś ci  odpowia- dają cej  dodatn im wartoś ciom p±  są  zawsze wypukł e, n atom iast n a pozostał ej czę ś ci wklę sł e. Jest to zasadnicza  róż nica w stosunku  do  klasycznego  przypadku  zginania  z sił ą  podł uż n ą, wynikają ca  z  uwzglę dnienia  wpł ywu  zm ian geometrii. D la  dostatecznie  duż ych  wartoś ci  ix, rj,   0, wybieramy  bliż sze zera (4.5)   PlE   =   - Wyboczenie  wystą pi  w  przypadku  m odelu  prę ta  o  param etrach speł niają cych  nierównoś ci (4.6)  ,  •   *P   +   V>2,  •   • PlE  >  -   1 i  dla  takich  wartoś ci  \ i,  =   0  (m odel  konstrukcji  bez  czę ś ci  sztywnej)  i  pominię ciu  zmiany dł ugoś ci  osi  prę ta,  (4.5)  przech odzi  w  zn an y  zwią zek  n a  sił ę   krytyczną   Eulera.  Róż nica współ czynników  liczbowych  13  zam iast  - j-1  jest  wynikiem  niesł usznoś ci  poczynionych zał oż eń  dla  smukł ego  prę ta  jednoczę ś ciowego. Krzywe  rozgran iczen ia  jedn ostron n ego  i  dwustron n ego  uplastycznienia  wyznaczymy z  tych  sam ych  form aln ie  warun ków  (4.4).  R óż n ica  polega  n a  innej  kolejnoś ci  dobieran ia zn aków  „  +  "  i  „  —".  D la  obcią ż eń  p L   >  0  odpowiedn ia  krzywa  nie  zamyka  się   (AD ), n atom iast  dla  pi  <  0  p rę t  u t raci  stateczność  (C E) przed  osią gnię ciem  stanu  obustronnego uplastycznienia,  rys.  3a. ,,  Krzywe  utraty  stateczn oś ci  okreś limy  z  warun ku (4. 7) da 0 , który  jest  aktualn y  jedyn ie  dla  obcią ż eń  prostych  typu  (4.2);'  obcią ż enie  wyznaczone z  (4.7) przy  speł nieniu równ oś ci  bę dziemy  nazywać  noś noś cią   maksymalną ,  rys.  3b. N a  n oś n ość  kon strukcji  m a  wpł yw  wiele czynników  [14]. Omówione powyż ej  zjawiska są   wynikiem  wpł ywu  efektów  geometrycznych.  Pierwsze  badan ia  statecznoś ci  przy  uwzglę d- nieniu  zm ian  geom etrii  należą   do  R.  H I L L A  [4] i  E. T .  ON ATA  [11, 12]. N ależy  podkreś lić  um own ość  przyję tej  definicji  n oś n oś ci,  ponieważ  w  niektórych przypadkach  p o  „ p r zesko ku "  moż liwe  jest  dalsze  przenoszenie  obcią ż enia.  Również lokaln e  m aksim um  obcią ż en ia  m oże  okazać  się   nieanalityczn e  i  wówczas  warun ek  typu (4.7)  bę dzie  niewł aś ciwy. ł   Mech.  Teoret.  i  Stos.  2/ 79 Pi - W  P;K \ 0 b) ai- w 3 -  2 jetin. upl. —*i "*~ i  upl.  dwustr. Rys.  3. Rozgraniczenie  uplastycznienia jednostronnego  od  obustronnego  i  krzywe  utraty  statecznoś ci oraz zależ ność  g( a)  przy  obcią ż eniu  prostym i Procesy  cignne  przy  odpo- wiednich  obtią ieniach  nie- prostych Poaą tek  procesów  plastyczn ie biernych,  pny  obc. prostych, d2- / dt  - 0  (nie  badano) Osią gnię cie dopuszczalnego wydł uż enia  w warstwie  rozc, '2,0 N oś noś ć  maksymalna - utrata  statecznoś ci Począ tkowo  powierzchnia  neutralna/ - 1,0  - Q.8  - 0,6  - 0,4  - 0,2  0  0,2  0,4  0,6  0,8 Rys.  4.  Komplet  .krzywych  granicznych  z  peł nym  opisem [210] POWIERZCH N IE  GRANICZNE  211 N oś ność rozdzielczą ,  odpowiadają cą   osią gnię ciu  dopuszczalnego  odkształ cenia w skraj- nych  wł óknach prę ta, opiszemy  warunkiem (4.8)  H±l)\   =  \ e o ±k\   <  e d . Po  raz  pierwszy  takie  kryterium  noś noś ci  stosowali  J.  D ATSKO  i  C. T.  YAN G   [2]. Wyczerpanie  klasycznej  noś noś ci  (peł ne  uplastycznienie  prę ta  przez  rozcią ganie)  wy- znaczymy z  warunku (4.9)  * + » - l. Procesy  lokalnie  plastycznie  bierne  nie  pojawiają   się   jeż eli  współ rzę dna  z +   bę dzie nierosną cą,  a  z_  niemaleją cą   funkcją   czasu  t.  Stosowne  warunki  zapiszemy dt (4.10) dz_ a  odpowiednie krzywe począ tku  tych procesów bę dziemy wyznaczać ze  speł nienia równoś ci w  drugim z nich. D odajmy,  że  w  klasycznym  przypadku  zginania z sił ą   podł uż ną  procesy lokalnie  bierne  nie  pojawiają   się   w  cał ym obszarze  obcią ż eń  proporcjonalnie  rosną cych typu  (4.2).. Komplet  omówionych  krzywych  granicznych,  % peł nym  opisem,  przedstawiono  na rys.  4, na  którym  zaznaczono również  linie  stał ych wartoś ci  współ rzę dnych uplastycznie- nia  przekroju  prę ta  z +   =   const i z_  =   const. Pozwala  to n a  ocenę  moż liwoś ci  pojawienia się   procesów  plastycznie  biernych  przy  róż nych  drogach  obcią ż enia. Poza granicą   począ tku  procesów  lokalnie  biernych, gdzie odpowiednie krzywe opisano liniami  przerywanymi,  mogą   zachodzić  procesy  czynne  pod  warunkiem  odpowiedniego sterowania  zmianami sił  zewnę trznych  (obcią ż enia nieproste). Poszczególne  obszary  na  rys.  4  opisano znakam i, które  okreś lają   kształ t zmienionych powierzchni neutralnych. Bę dą   to  odpowiednio  pię cioką ty,  czworoką ty  i trójką ty  krzywo- liniowe.  Tego  typu  obszary  analizował  E.  CEG IELSKI [1], przy  pominię ciu zmian geometrii. Wówczas  modyfikowane  powierzchnie  mają   kształ t  tych  samych  figur,  lecz  o  bokach prostoliniowych. Obszar  obcią ż eń,  którym  w  wyniku  modyfikacji  odpowiadają   powierzchnie neutralne nieobejmują ce  począ tku  ukł adu  p ±   - p 2 ,  również  zależy  od  udział u efektów  geometrycz- nych i może redukować  się   do  zera  dla  dostatecznie duż ych wartoś ci  p,  jy i  cp. Przy  obcią - ż eniach  co — const  nie  wystą pi  degeneracja  zmienionych  powierzchni  neutralnych  jaką stwierdził   J. A.  KÓNIG   [9]  w  przypadku  geometrycznie  liniowym.  Modyfikacja  taka  (do odcinka linii prostej)  może natom iast mieć miejsce  dla odpowiednich obcią ż eń nieprostych. Szczegół owe  badania  zmienionych  powierzchni  neutralnych  bę dą   tematem  oddzielnej pracy. N a  rys.  5 podan o przebieg  zmian niektórych parametrów w  funkcji  ką ta  ugię cia prę ta. W  pierwszym  przypadku  wykresy  koń czą   się   w  miejscu  rozpoczę cia  procesów  lokalnie biernych,  natomiast  w  drugim  wystą pi  osią gnię cie  noś noś ci  maksymalnej.  D alszą   czę ść wykresów, dla procesów  sterowanych krzywizną   prę ta, opisano liniami  przerywanymi. 4* 0,002  flOO- ł  0,006  0,008  Q070 Rys.- 5.  Zależ ność  wybranych  parametrów  od  ką ta  ugię cia  prę ta  przy  obcią ż eniach  prostych I —  zakres  pracy  sprę ż ystej I I —jed n o st ro n n e  uplastycznienie HE —  obustronne  uplastycznienie POWIERZCH N IE  GRANICZNE 213 W  przypadku  kon strukcji  o  wię kszej  smukł oś ci  (rys.  6)  wpł yw  geometrycznej  nielinio- woś ci  jest  silniejszy.  Wypukł oś ci  i  wklę sł oś ci  odpowiedn ich krzywych  są   wię ksze,  a  utrata statecznoś ci  wystę puje  przy  mniejszych  obcią ż eniach,  biorą c  pod  uwagę   bezwzglę dne wartoś ci.  M oż na  stwierdzić  wzrost  n oś n oś ci  po  stron ie  dodatn ich p t   i  zmniejszenie  w  za- kresie  obcią ż eń p L   <  0. Om ówione  krzywe  gran iczn e  wyzn aczan o  num erycznie.  P odobn ie  sprawdzano  waru- n ek  statecznoś ci  M aiera  i  D ruckera  (3.14),  a  odpowiedn ie program y  n ie posiadają   war- toś ci  poznawczych. / J- 0,001 1- 1,0 if  400 - 1,0  - 0,8  - 0,6  - 0,4  - 0,2  0  0,2  0,4-   0,6  0,8  1,0 Rys.  6.  Krzywe  graniczne  dla  modelu  prę ta  o  duż ej  smukł oś ci 5.  Wnioski  koń cowe Wpł yw  zm ian  geom etrii  zależy  od  param etrów  konstrukcyjnych  i  materiał owych, a  jego  ch arakter  jest  stabilizują cy  lub  destabilizują cy.  Pierwszy  wystę puje  przy  speł nie- n iu  (3.14)  i  ozn acza  poprawien ie  warun ków  pracy  kon strukcji.  Powoduje  wzrost  wypuk- ł oś ci  powierzchni  gran iczn ych,  pojawienie  się   procesów  lokanie  plastycznie  biernych i  zwię kszenie  n oś n oś ci.  D estabilizują ce  efekty  geometryczne  są   przyczyną   wystą pienia wklę sł ych  powierzchni  gran iczn ych,  zwią zanej  z  tym  niestatecznoś ci  (konstrukcyjnej) i  zmniejszenia  n oś n oś ci. P rzytoczon e  uwagi  wskazują   potrzebę   prowadzen ia  dalszych  badań ,  uwzglę dnienia wzmocnienia  plastycznego,  które  m oże zmniejszyć  wpł yw  osł abienia  geometrycznego. 214  K.  KoWALCZYK Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  E.  CEG IELSKI, Modyfikowane krzywe noś noś ci sprę ż ystej przy zginaniu z rozcią ganiem belek o przekroju prostoką tnym, Czas.  Techn.,  Z. 4- M   (1976),  24—30. " 2.  J.  DATSKO,  C. T.  YAN G ,  Correlation  of  bendability  of  materials with their tensile properties,  Trans. ASME  4, B 82  (1960),  309—313. 3.  C.  DYRBYE, P.  LANGE  HAN SEN ,  Studies on the load carrying  capacities  of  steel  structures,  Res.  Lab. Build.  Techn.,  Bull.  N o 3,  Copenhagen  1954. 4.  R. H I LL, A general theory of  uniqueness and stability in elasto- plastic solids, J. M. Phys,, 6 (1958), 236— 249. 5.  P. G .  H OD G E,  C. K.  SU N ,  General properties of yield- point load surfaces,  Trans.  ASME  1, E  35 (1968) 107—110. 6.  K . JE Ź E K,  Die Festigkeit  von Druckstaben aus Stahl,  Sprin ger,  Wien 1937. 7.  K.  KOWALCZYK,  W pł yw wzmocnienia  plastycznego  i wstę pnej krzywizny  na powierzchnie graniczne  dla modelu prę ta geometrycznie nieliniowego,  P r. Kom.  Mech. Stos., PAN   Oddz. Kraków  (w druku).' 8.  J. A.  KON I G ,  T heory  of  shakedown  of  elastic- plastic  structures,  Arch.  Mech. Stos., 2, 18  (1966), 227— 237. 9.  J. A.  KON I G , A  method of  shake analysis  of frames  and arches,  I n t. J. Solids and Structures, 7  (1971), 327—344.  : 10.  G . M AIER, D . C.  D RU CKER, Effects of geometry change on essential features of inelastic behaviour, Journal of  the Engineering  Mechanics  D ivision,  ASCE,  E H   4, 99  (1973), 819—834. 11.  E. T.  ON AT,  T he effects of  non- homogeneity  caused  by  strain- hardening  on the small deformations  of a rigid- plastic solid,  Proc. IU TAM   Syrap.  N on- H omogeneity  in  Elasticity  and Plasticity,  Perg.  Press 1959,  171—180. 12.  E. T.  ON AT,  T he  influence of  geometry  changes  on the  load- deformation  behaviour  of plastic  solids, „Plasticity",  Proc. Sec.  Symp.  N aval  Struct.  Mech., Perg.  Press  1960,  225—238. 13.  A. P .  PjKABMinsm,  K  eonpocy  o Aunoeemoii  oicecnmocmu  ceueuun,  GrpoHT. M ex. H  P ac 1!.  Coopy>K. 1966/ 2, 7—11. 14.  M. Ź YCZKOWSKI, Obcią ż enia zł oż one w teorii plastycznoś ci,  PWN   Warszawa 1973. 15.  M. Ż YCZKOWSKJI, Combined loadings in the theory of plasticity,  PWN - N oordhoff  (w druku). P  e 3 io  M e n o B E P X H o c T H CTEPiKH fl  riP H   y ^ T E H H H   H 3M E H E H H fi TE OM E TP H H P a6ora(KacaeTcs:  BJIH H H H H   H3iweHeHHH   reoM eTpiia  ata rtpeflejitH bie  n oaepxH ocTii.  I I o # o 6p aK  COOT- ran  KoHcrpyKu.HH   ( p u c .  1) H  o n p eaejien w  ocn oBiibie  cBOHCTBa  stroro  BJXH H H BM. reo iwerp H ieam e  sdjxbeKTbi  (rtpH   McnoimeH U io  ycnoBH H   M a a e p a  H   flpyKKepa (3.14))  BbrawBaioT  BbnryKJiocTfc  n peflen bH tix  noBepxH ocTeit,  Bwciyn n eH H e  npoijeccoB  M eciH o  nnacTH - qecKH   naccKBH bix  npH   n p o crbix  H arpyaKax  M  yBejffltieHHe  H ecymeft  cn o co SH o cm . J]|ecTa6iŁn:a3aimoH H bie  reoM erpiriecKH e  3dj>4ieKTbi  BbMbiBaioT  noH BneH H e  BoriryTLnc  npeflejn.H bix noBepxH ocreftj  noTep  ycroftiBBOcm  K o H cipyK ipa  u  yM eH bmeime  H ecym eił   cn oco5H ocrH . CooTBeTCTBysomKe  n oBepxH ocM   BbitnrcjieH W S u m m a r y LIM IT  SU RFACES  F OR A  M OD EL  OF   ELASTIC- PLASTIC BAR  WITH   G EOMETRY  CH AN G ES  TAKEN   IN TO ACCOU N T The paper is concerned  with  the influence  of geometric  effects  on limit  surfaces.  An appropriate per- fectly  elastic — plastic  structural  model  is  chosen  for  discussion  of  the problem,  and  some  features  of this influence  on the behaviour  of the  structure are demonstrated. POWIERZCH N IE  GRANICZNE  215 Stabilizing  geometrie  effects  (with  M aier —  D rucker's  stability  condition satisfied)  cause  an  increase of  the convexity  of  limit  surfaces,  locally  passive  processes  occur in  the course  of  simple  loadings, an in- crease  of  the maximal  load  carrying  capacity  is  observed. If  destabilizing  geometric  effects  are  present, the  concave  limit  surfaces  are  formed;  this,  as  a  rule, leads  to unstable behaviour  and decreas  of  the maximal  load carrying  capacity of  the  structure. INS TYTUT  MECHANIKI I  PODSTAW  KONSTRUKCJI  M AS ZYN POLITECHNIKA  KRAKOWSKA Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  15  kwietnia  1978 r.