Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z2.pdf


M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

2,  17, (1979)

N I E U STALON E ,  KOŁOWO- N IESYM ETRYC Z NE  P O LE TEMPERATU RY
W  WYD RĄ Ż ON YM   WALCU   OG RZEWAN YM  N A Z E WN Ę TR Z N EJ  P O BO C Z N I C \

JAN   T A L E R  (KRAKÓW)

Wykaz  waż niejszych  oznaczeń

A,B,C~-   stał e
a — promień  wewnę trzny  walca

aa
Bi  =   liczba  Biota

A

b — promień  zewnę trzny  walca
c — ciepł o  wł aś ciwe

X •   T
F„ =  — ;  liczba  F ouriera

a
2

4(z) — zmodyfikowana  funkcja  Bessela  I- go  rodzaju,  n- tego rzę du
Jn(x) — funkcja  Bessela  I- go rodzaju,  n- tego  rzę du
K

n
{z) — zmodyfikowana  funkcja  Bessela  II- go  rodzaju  n- tego  rzę du

q'(fP>
  T ) — strumień  cieplny  na zewnę trznej  pobocznicy  walca

=  q (<P  = 0) — maksymalny  strumień  cieplny
r  —•  promień

t=0- @
o
  —

Yn(x) — funkcje  Bessela  II- go  rodzaju,  n- tego  rzę du
a — współ czynnik  wnikania  ciepł a od wewnę trznej  powierzchni  walca  do noś nika  ciepł a

y«, m — pierwiastki  równania  charakterystycznego
& — temperatura

&o — temperatura  noś nika  ciepł a i  począ tkowa  walca
A

• x  =   współ czynnik  przewodzenia  temperatury
C- Q

Q — gę stość
T — czas
<p —k ą t
b

o)
o
  =   stosunek  promienia zewnę trznego  walca  do  wewnę trznego

a

1.  Wstę p

W  wielu  elem en tach  m aszyn  i  urzą dzeń  zachodzi  konieczność  okreś lenia  nieustalo-

nego  pola  tem peratury  wywoł anego  nagł ym  ich  ogrzaniem .

Z agadn ien ie,  stanowią ce  przedm iot niniejszej  pracy  wystę puje  przy  analizie  warunków

pracy  ru r  ekran owych  kotł ów  kon wertorowych  [1]  a  także  przy  ogrzewaniu  rurocią gów

sł uż ą cych  do przesył an ia lepkich  produktów  przeróbki  ropy  naftowej  i wę gla  [2, 3]. W  wy-



218  J.  T ALE R

mienionych  wyż ej  przypadkach  należy  okreś lić  nieustalone  pole  tem peratury  w  nieskoń-
czenie  dł ugiej  rurze  gruboś ciennej  ogrzanej  nagle  n a  zewnę trznej  powierzchni  zmiennym
w  czasie,  koł owo- niesymetrycznym  strumieniem  cieplnym  i  chł odzonej  konwekcyjnie  n a
wewnę trznej  powierzchni.

2.  Okreś len ie  pola  tem peratury

R ozkł ad  temperatury  w  poprzecznym  przekroju  wydrą ż onego  walca  wyznaczony  zo-
stanie przy  nastę pują cych zał oż en iach:
1. Wł asnoś ci  cieplne  m ateriał u walca  są  stał e  i  niezależ ne  od  tem peratury;
2.  Strumień cieplny  na  zewnę trznej  powierzchni  walca  jest  stał y  wzdł uż jego  osi;
3. Współ czynnik  wnikania  ciepł a  od  wewnę trznej  powierzchni  walca  do  n oś n ika  ciepł a

jest  niezależ ny  od  czasu  i tem peratury;
4. Temperatura  n oś n ika  ciepł a  O

c
  i  począ tkowa  walca  <9P  są  sobie  równ e  i  wynoszą <90.

Przy  powyż szych  zał oż eniach pole  temperatury  okreś lone  jest  równ an iem  przewodzenia
ciepł a

, o n  dt(r,<p,r)  \   d
2
t{r,ę ,x)  1  dt(r,  <p,  T)  1  d2t(r,  <p,  r)  ]

{2A)
  T x  ~  * L  5 ?  +   T '  dr  '  ~ +  r2'  '  dtp*  J '

warunkami  brzegowymi

(2 . 2 )

(2. 3)

3 J T )

dr

dt{r,  <p,  r)

t  > 0 ,
r—b

=   a-   t(r,(p,  T ) | r „ a ,  t  5 = 0
dr

i  warunkiem  począ tkowym

(2.4)  t{r,  ę ,r)\
T s
,

0
  - 0.

Rozwią zanie  tak  sformuł owanego  zagadnienia  przeprowadzon e  zostan ie  w  dwóch  eta-
pach.  N iż ej  zostanie  okreś lone  pole  tem peratury  przy  skokowym  wzroś cie  strumienia
cieplnego  n a  zewnę trznej  powierzchni  rury,  tzn ., ż e / ( r)  =   1 dla  t  >  0  i  warun ek  brzego-
wy  (2.2) przyjmuje  postać

(2.5) '  T ) 0 .X

gdzie

00

(2- 6)  g((p)  =  g
0
 + £  q

n
cosny.

W nastę pnym punkcie uwzglę dniona  zostanie  zależ ność  strum ienia  cieplnego  n a  zewnę trz-
nej  powierzchni  walca  od  czasu  za  pom ocą  cał ki  D U H AM ELA  [4].

N ajpierw  okreś lone  zostanie  pole  tem peratury  przy  skokowym  wzroś cie  strumienia
cieplnego.



N IEUSTALON E  POLE  TEMPERATURY  219

Stosując  do równania (2.1) i Warunków brzegowych  (2.5) i  (2.3) przekształ cenie Laplace'a
i uwzglę dniając  warunek począ tkowy  (2.4) otrzymuje  się

3
2
T  i  a r  i  d2r  p

  m
(<\   i- f\  1  1 £   T 7

ddr
2  r  dr  r2  d< p2

,  8T  qn

r= h

(2.9)  A T r

gdzie
co

(2.10)  T (r,q>,p)=  f  t(r,<p,
o

Równanie  (2.7)  stanowi  równanie  H elmholtza, które  ł atwo  moż na  rozwią zać  metftdą
rozdzielenia zmiennych. Zakł adając rozwią zanie w postaci

(2.11)  T  =

i podstawiając je  do  (2.7) otrzymuje  się

i Z U )
  T

t
  dr*

  +
  T \   y r  *T  T

2
  d<p

2

Z  (2.12)  otrzymuje  się 2 równania róż niczkowe

gdzie

(2.14)
m

oraz

(2.15)

Rozwią zaniem  (2.13) jest

(2.16)

a  równania (2.15)

(2.17)

Z uwagi na warunek brzegowy  (2.5) a także na fakt,  że temperatura  T  powinna być jedno-
znaczną  funkcją  ką ta  ę  rozwią zanie  (2.11)  powinno  być  funkcją  okresową  o  okresie  2n
a zatem [A powinno być liczbą  cał kowitą.
Poza  tym z warunku  (2.8) wynika,  że  C^  —  0.



220 J.  TALER

Wprowadzając  oznaczenia  Ą  •   D
lt
  =   A„  i  5£  •   D

ft
  =   Ą,  rozkł ad  tem peratury  wyraża  się

zależ noś cią

(2.18)  T
n
  =   [AJ

n
(kr)  + B

n
K

n
(kr)]cosn(p,  n  -   1, 2,  3, . . . .

P ostę pując  podobn ie  jak  w  powyż szym  przypadku,  dla rc =   0  pole  tem peratury  okreś la

zależ ność

(2.19)  T
o
  =   (C o+D0- <p)  [A'o I 0(kr)+Bi  K0(kr)]

Ze  wzglę du na symetrię  strumienia  q'(<p,  t),  tj. q'(—<p,  r)  — q'{<p,  ?), D
o
  =   0.  Oznaczając

C o  •   A'Q  =  Ao  i  C0B'Q  =   Bo,  T o  wyn o si

(2.20)  T
o
  =   A

0
I

0
(kr)+B

0
K

Q
(kr).

Ostatecznie  pole  temperatury  w dziedzinie  obrazu  w  wydrą ż onym  walcu  okreś la  zależ ność

(2.21) T   =   A
o

[A
n
I

n
(kr)+B,,K

n
(kr)]  cos(n<p)

oraz  warunki  brzegowe  (2.8) i  (2.9), które  zapisane  zostan ą  w nieco innej  postaci

dla  n  =  0

(2.22)

(2.23)

oraz  dla n  -   1, 2, 3, . . . .

(2.24)

(2.25)

,  3T
0
(r,p)

,  dT
0
(r
dr

dT „(r,  ę
dr

8T
n
(r, <p,

dr

dr

P)

,P)

P)

r- a

r~

- 6 P

=  aT
0
(a,p),

1
=   —q„cosnm,

b  P

=  a.T
n
(a,(p,p),

Stał e A
o
  i  B

o
  wyznaczone  z warunków  (2.22)  i  (2.23)  po podstawien iu  do n ich  (2.20)  wy-

noszą

(2.26)

(2.27)

K- p kipo(k)

a

l- p  ky>
0
(k)

Stał e A
o
  i B

o
  został y wyznaczone  z  wykorzystaniem  zwią zków  [5]

=  kh(kr),
(2.28)

dK
0
(kr)

dr



N I E U ST ALO N E  P OLE  TEM P ER ATU R Y  221

W  wyraż eniach  (2.26)  i  (2.27)  Y>0(&)  oznacza

(2.29)  ip
o
(k)  =  - j  [Ko

Stał e  A„  i  B„ wyznaczone  przez  podstawienie  (2.18)  do  (2.24)  i  (2.25)  okreś lone  są   wyra-
ż eniami

„  4  *»(*«) + —  K.(ka)+kK
n
.

1
(ka)

( Z 3 0 )  A" =  T 7  5 8 5  •

gdzie

(2.32)
  fn

(k)  = ^ K
K
(ka)  + ̂ jK„(ka)+kK

n
~i(.k(Ą   [ -   y/ „ ( **) + W

Przy  okreś lan iu  (2.30)  i  (2.31)  wykorzystane  został y zwią zki  [5]

dl.(kr)
dr

(2.33)
n

=   K
n
(kr)  kK„^

i
{kr).

P ole  tem peratury  w  ś ciance  walca  okreś lone  zostan ie  za  pom ocą   odwrotnego  przekształ -
cenia  Laplace'a

y + ioo

(2.34)  '  t(r, <p,  r) -   i  J  e>*T (r,<p,p)dp.
y—Zoo

Tran sform ata  T ( r,  99, ^ )  okreś lona  wzorem  (2.21) jest jedn ozn aczn ą  funkcją j?  tzn . T i r , 95—

— 1 /   —  I =   T \ r,  q>,  ~\ j  —  j  oraz  stanowi  iloraz  dwóch  uogólnionych  wielomianów

wzglę dem  p,  przy  czym  stopień  licznika jest  niż szy  n iż  stopień  m ianownika  (D odatek A).
Speł nione  są   wię c warun ki  zastosowan ia  reguł y H eaviside'a  [6]  (Waszczenki- Zacharczenki
[4])  przy  wykorzystan iu  odwrotn ej  transform acji  Laplace'a.  N ajpierw  okreś lone  zostaną
bieguny tran sform aty  T (r,  cp,p) tj. bieguny  (2.21).
Z  analizy  (2.21)  widać,  że  pojedynczy  biegun  istnieje  w  p  =   0  oraz  wielokrotne  bieguny
równ e  pierwiastkom  równ ań  charakterystyczn ych:

(2.35)  y)
Q
(k)  =   0  dla  n  =   0

(2.36)  y„(/ c) =   O  dla  « =   1 , 2 , 3 , . . . .



222  J-   T AL E R

D la  wyraż enia  (2.35)  i  (2.36)  w  funkcjach  Bessela  od  argum en tu  rzeczywistego  wprowa-

dzone  zostanie  podstawienie

(2.37)  kn,
m
a  =   iy„,,

stą d

(2.38)  &„,„, = - ^ L ,  zatem  k„,
m
b  =   iy„,

m
co

0
.

Podstawiają c  (2.37)  i  (2.78)  do  (2.29)  otrzymuje  się   dla  n  =   0

(2.39)  ~  [K
0
(iy

0>m
)I

+

które  po  przekształ ceniach  m oż na  zapisać  w  postaci

(2.40)  Bi[JQ(y
Q
,

m
)Y

l
((o

0
yo,m)- Ji(a>oy

+ yo,m[Ji(yo,m)Y
1
(a)

0
yo.m)- Ji(a)oyo.m)Y

1
(yo,

m
)]  =   0,

gdzie

N astę pnie  rozważ one  zostanie  równ an ie  charakterystyczne  (2.36).  P odstawiają c  (2.37)

i  (2.38) do  (2.36)  otrzymuje  się

(2.41)  yi(p) =   [5/ JCB(jV„,„,)+ nić :„(?V„,„,) +  / >'„ , mA'„ _10y„ >m)]  - - T̂ „(ico0y„ , , „ )  +

+  kl„_ i (ico
o
 y„,

m
)\   + [~BiI„(iYn, m) -   nT „(iy,i,m) +
J  #

+  iy„,
m
i„- i(iyn,,,d]  - y ^ O ' ^ o y n . i ^ - ^ n - i O w o r i . m)  =   o .

Przekształ cają c  równanie  (2.41)  otrzymuje  się   równ an ie  charakterystyczn e  wyraż one

w funkcjach  Bessela  od  argumentu  rzeczywistego

(2.42)  [ - A T „ (r „ , m ) -

~ai
0
y„,

m
Y„^

1
(w

o
y

n
,

m
)]  =   0.

Wyznaczanie  pierwiastków  równ ań  charakterystycznych  (2.40)  i  (2.42),  które  są   równa-
n iam i przestę pnymi jest dosyć  kł opotliwe. Z tego  też powodu brak jest dostateczn ie obszer-
nych  tablic  tych  pierwiastków.  Wartoś ci  pierwszych  dziesię ciu  pierwiastków  równania
(2.40), dla ft> 0 -   1,1;  1,2;  1,4;  1,6;  1,8  i 2,0  oraz Bi  =  5, 10,  20, 40, 60 i  80  p o d an o w pracy



N I E U ST AL O N E  P OLE  TEM P ERATU RY  223

[7].  Jest  to  jedn o  z  najbardziej  obszernych,  w  dotychczasowej  literaturze  zestawień  pier-
wiastków  równania  (2.40).  W  pracy  [8] obliczono  dwa  pierwsze  pierwiastki  dla a>

0
  =   1,25

i  1,5  oraz  Bi  =   0, 5;  1 ; 3 ;  5;  7;  10  a  w  pracy  [9]  również  dwa  pierwsze  pierwiastki  dla
O)O  =   1,5;  1,7;  2,0;  2, 5;  i  3,0  oraz  Bi  =   0,2;  0, 5;  1;  2;  3;  4  i  5.

Kilka  wartoś ci  pierwiastków  omawianego  równ an ia  przytoczono  również  w  [10].

Pierwsze  10 pierwiastków  równ an ia  (2.42) dla  n  -   1 ico o  «=  —  i  o Q  «•  1,6  oraz Bi  =   3;

5;  10  i  20  obliczono  w  pracy  [1].  Bieguny  transformaty  (2.21)  leżą   n a  osi  rzeczywistej,

niedodatniej  pł aszczyzny  zespolonej  p,  gdyż p  =   0  i ^ , , „   =   r- ~-

Jak  już  był o  powiedziane,  odwrotne  przekształ cenie  Laplace'a  wykonane  zostanie
wg  wzorów  podan ych  przez  H eaviside'a  [6]. P onieważ p  =   0  stanowi  biegun  pojedynczy
a p

n
,

m
  pojedyncze  bieguny  wielokrotne,  wię c  t(r,  ę ,  x)  okreś lona  jest  wyraż eniem

(2.43)  t{r,  <p,  r )  _  [ f c 3 ^ ( ( ) ) ] ,  +   ^  [ p % ( ( ) ) y  +   ^  ^ ^ ^  ^   e  +

Wyraż enia  # 0 ,  < n̂ i  y0  i  Vn  okreś lone  są   w  dodatkach i  wynikają   z  zapisu  transformaty
(2.21)  w  postaci

Pole tem peratury w walcu,  wyznaczone  wg  (2.43), po wykonaniu  odpowiednich przekształ -
ceń  (D odatek B)  okreś lone jest  wyraż eniem

(2.45)  t(r,  <p,  x)  =

|  moa  y

H = l

'  Ct /   \   *  Ct  f  — y^

G„(y
m
.„)



224 J.  TALER

gdzie:  Bi  =
X  '

Fo  =
H-   T

(2.46)

C 0 0

L ,,(y„,
m
)

Wzór  (2.45)  wykorzystano  do  obliczenia  pola  tem peratury  w  rurze  ekranowej  ko t ł a  kon-

wertorowego  typu  OKG - 100- 3G.  D o  obliczeń  przyję to  nastę pują ce  d a n e:  co
Q
  =   1,26667

(rura  38x4) ,  Bi  =   3,0.  Strumień  cieplny  n a  zewnę trznej  powierzchn i  rury  (obcią ż enie

cieplne) okreś lony jest zależ noś cią   (rys.  1)  [1]

(2.47)
q'(<p)  =   0  t  <  0,

q'{q>)  =  0,515q
m
 + 0,485?,,, cos <p  t  >  0.

N a  rysunkach  2  i  3  przedstawiono  rozkł ad  tem peratury  w  ś ciance  czoł owej  (<p =   0°)

i  tylnej  (<p  — 180°)  omawianej  rury,  dla  róż n ych  wartoś ci  liczby  F ouriera.

Rys.  1. Rozkł ad  strumienia  cieplnego  na zewnę trznej  powierzchni  wydrą ż onego  walca

Jak  już  zaznaczono  n a  począ tku  niniejszej  pracy  okreś lone  zostan ie  równ ież  pole

temperatury  w  walcu  przy  strumieniu  cieplnym  n a  zewnę trznej  poboczn icy  zmiennym

w  czasie,  wykorzystują c  cał kę   D uh am ela  [4]. Jest  to  moż liwe  ze  wzglę du na.  fakt,  że  za-

równo równanie przewodzenia  ciepł a (2.1) jak  i  warunki  brziegowe (2.3) —  (2.5)  są   liniowe.



N IEUSTALONE  POLE  TEMPERATURY 225

1,26666
<p- 0°

°l,0  0,96  0,92  0,83  0,84  ~  0,80"r/ b"

Rys.  2. Rozkł ad temperatury w  ś ciance  walca  dla y  = 0 rad przy  skokowym  wzroś cie  strumienia ciepl-

nego,  / * =   — -

Jeż eli  przez  t(r, ę ,  r)  oznaczyć  rozkł ad  temperatury  (2.45)  wyznaczony  przy  skoko-
M  . . .

wym wzroś cie strumienia cieplnego a przez  t(r, <p,  r)  przy zmiennym w czasie strumieniu
. W

cieplnym, to cał ka  D uhamela okreś la  zwią zek  mię dzy  t(r, <p,  t)  i  t (r,  q>,  T)

(2.48) ;  cp, r)  =

Niż ej  okreś lone  zostanie  pole  temperatury  dla przypadku  gdy  funkcja  / ( r)  w warunku

brzegowym  (2.2) ma postać rys. 4

(2.49)  / ( T ) = 1 + C T ,

gdzie
cjest stał ą
D la,  uproszczenia  dalszych  rozważ ań  temperatura okreś lona  wzorem  (2.45) zostanie

zapisana w nieco odmiennej postaci:

(2.50)

5  Mech.  Teoret.  i  Stos.  2/ 79

CO  0 0

t(r,  < p,  T)  =  ts(r,  < p)+  £   £   W(r,  < p,  yn,m)e
n= . 0»i= l  .



226 J.  T ALE R

n -

6  -

1,0  0,95  0,92  0,88  0,84  0,80 r/ b

Rys.  3. Rozkł ad temperatury w ś ciance walca dla ę   =  n rad  przy  skokowym  wzroś cie  strumienia cieplnego

t- 1

i

I
Cł -

I

1(1

y

tga- c

r

Rys.  4. Zmiany  strumienia  cieplnego  na zewnę trznej  powierzchni  walca  w  zależ noś ci  od czasu

gdzie:

- sr + ln—  +

/ •  n X- n
(o"0(Bi- ri)

—Ul
- 1)  \ rj

cosny,



N IEUSTALON E  POLE  TEMPERATURY 227

oraz

(2.52)
q„-   a

L
a
(y„,

m
)Y„\ y„,

m

cosncp.

Ł atwo zauważ yć, że czę ść n ieustalon a wyraż enia  (2.45) zapisan a jest w  (2.50) nieco inaczej.
CO

Sprawdzić  jedn ak  m oż n a,  że  zapisując  oddzielnie  wyraż enie  £  W (r,(p,y„
iin

)
m=  1

x  e  yo, m
Fo  "j  uwzglę dniając  zwią zki  J- „(x)  =   (- l)"J„(x)  i  F _„ (x) =   (- l)"Y„(x)  gdzie

n  =  1, 2,  . . . ,  zależ noś ci  (2.45)  i  (2.50)  są  identyczne.  P odstawiając  zatem  (2.49)  i  (2.50)

do  (2.48)  otrzymuje  się  tem peraturę przy  strumieniu cieplnym n a zewnę trznej powierzchni

walca  zmieniają cym  się  w  czasie

(1 + cS) •   -  ̂ t.(r,  <p)+  2J  2J
  W (r

>  V' Y«.m2
«= 0  m= \

w(r>  cp
-   y- .2

n= 0

ca
2

00  00

2  2  - ^̂
/ i= 0  m= I  '

m= l

Wynik  ten  m oż na  n ieco  uproś cić  wykorzystując  warun ek  począ tkowy  (2.4),  z  którego

otrzymuje  się

(2.54)

skąd

(2.55)

t(r, ę ,  0)  -   t
s
(r,  <fi)+  £  £  W (r,

  V
,  y„,

m
) =  0,

f, (r,   9)  =   -

U wzglę dniając  (2.55) w  (2.53).otrzymuje się ostatecznie

(2.56)  r «( r ,  y,  T )  -   (1 +  c•  r ) ? s ( r 5

ca2  Vi ±   >«.  f. "-  • >-
«= 0



228  J.  T AL E R

Z  analizy  wyraż enia  (2.56)  wynika,  że  dla  dostatecznie  dł ugiego  czasu  tem peratura  wy-

nosi

(2.57)  r«

Jest  to tem peratura w  ś ciance rury  w  tzw.  stanie  quasi- stacjonarnym.  Z auważ m y,  że  pierw-
szy  czł on  (2.56)  reprezentuje  tem peraturę   ustalon ą   w  wydrą ż onym  walcu  wywoł aną
aktualną   wartoś cią   obcią ż enia  cieplnego,  tj.  q'(<p,  T) =   q(<p)(l + cr).  D rugi  czł on  przed-
stawia  skł adową   tem peratury  niezależ ną   od  czasu.  Spadek  tem peratury  w  ś ciance  walca
jest  wię kszy  w  stanie  quasi- stacjonarnym  niż  w  stanie  ustalon ym  (przy  tych  samych  war-
toś ciach  strumienia  cieplnego  n a  zewnę trznej  powierzchni  walca).

3,  U wagi  koń cowe

Otrzymane  w  pracy  zależ noś ci  pozwalają ce  okreś lić  pole  tem peratury  w  walcu  przy
koł owo- niesymetrycznym  ogrzewaniu  strumieniem  cieplnym  jego  zewnę trznej  pobocznicy
i  chł odzeniu konwekcyjnym  wewnę trznej  są   dosyć  skom plikowan e.  R ozwią zania  przed-
stawione  w  pracy  są  jedn ak  szybkobież ne,  co  uł atwia  praktyczn e  ich  zastosowan ie.

N ależy  również  zaznaczyć,  że  otrzymane  rozwią zania  dla  przypadku  gdy  a.  =   0  nie
obowią zują   i przypadek  ten należy  rozpatrzyć  oddzielnie,  mogą   być  n at om iast  stosowane
w przypadku  gdy  a - »  oo.

L it erat u ra  cytowan a  w  tekś cie

1.  J .  T ALE R ,  Analiza  pola  temperatury  i  naprę ż eń  w  rurach  ekranowych  kotł ów  pracują cych  przy  wysokich

i  zmiennych  obcią ż eniach  cieplnych,  P r a c a  d o kt o r ska  ( n iep u bliko wan a) ,  K r a k ó w  1977  r.

2.  F . S.  C H AP M AN ,  F . A.  H O L L AN D ,  Keeping  piping  hot,  C h em ical E n gin eerin g,  1,  VI  (1966),  133.

3.  J . N .  BO WE R ,  H . R .  P E T E R SO N ,  Guide  to  steam  tracing  design,  H yd r o c a r b o n  P ro cessin g a n d P et ro leu m

R afm er,  3,  42  (1963),  149.

4.  A.  V.  LTJEKOV,  Analytical  heat  diffusion  theory,  Acad em ic  P ress,  N e w  Yo r k  (1968).

5.  JAH N K E - E M D E - LO SC H,  T afeln  hoherer  Funktionen,  T eu bn er  Verlagsgesellsch aft,  St u t t ga r t  (1966).

6.  G . A.  K O R N ,  T .  M-. K O R N ,  Mathematical  Handbook,  M c G r a w- H ill,  N e w  Yo r k  (1968).

7.  fl.  n .  E JI H 3AP O B3  K  eonpocy o mervtoeoMydape  e naponpoeodax  T 3 C ,  Tem iO3H epreT«Ka, 2,  17  (1971).

8.  B .  IT.  M E P 3J I H K O B ,  <X>ynwuu  rpuua  e  peuienunx  aadau  menjwnpoeoduocmu  bnn  nonozo  t/ ujiundpa,

HroKeHepHo- drH3iwecKHH   )KypH aji,  6,  21  (1971).

9.  B.  I I .  MEP3JIHKOB,  O6  oduou  3abane  menjionpoaodMOcmu  dan  no/ toio  iju/ tuubpa,  TenjiocbH3Hi<a  Bw-

corafx  T eM n ep at yp ,  6,  5  (1967).

10.  W.  E N D R E S ,  W drmespannungen  beim  Aufheizen  dickwdndiger  Hohlzylinder,  BBC  M it t eilu n gen  45

(1958).

D odatek  A

Wykazane  zostan ie,  że  tran sform ata  T (r,  (p,p)  =   T
0
(r,p)  + T

9
(r,  <p,p)  (2.21)  stanowi

iloraz  dwóch  wielomianów  wzglę dem  p,  przy  czym  licznik  jest  wielom ianem  niż szego



N I E U ST AL O N E  P O LE  TEM P ER ATU R Y  229

stopnia  niż mianownik  oraz, że transform ata  T (r,(p,  p)  (2.21) jest jednoznaczna  wzglę dem
p,  tzn. zachodzi  zwią zek

(A.1)  T (r,<p,- k)  = T (r,<p,k),

gdzie

Rozważ ania  ograniczone  zostaną   tylko  do  T
v
(r, <p,p),  gdyż w  identyczny  sposób  moż na

je  przeprowadzić  dla  T
0
(r,p).  Transformata  T

v
(r, <p,p)  zapisana  zostanie  w postaci

(A.3)  ^ ' M

Wyraż enia  0„(k) i  ip„(k) okreś lone  są   w  dalszej  czę ś ci  dodatku.  W  celu  przekształ cenia
0„(k)  i tp

n
(k)  wykorzystane  zostaną   definicje  funkcji  Bessela

r
F unkcje  Bessela  speł niają   zwią zki  [5]

/ „  (z)  =  / „  ( -   z)  gdy n jest liczbą   parzystą ,

—/ „(z)  =   I„(—z)  gdy n jest  liczbą   nieparzystą

oraz

(A.6)  KM  =  (- 1)"+ 1/ „  0) ln l- y) +  W „(z) + V„(z),

g d z i e  • • • • • ",

( A..)

v =  ev  =  1,781072418, y —  stał a  Eulera.
Z  uwagi  n a (A.7)  i  (A.8)  zachodzą   zwią zki

J  gdy M jest liczbą   parzystą
F „(z) =   V„y- z)  J

oraz

(A. 10)  "  "  '  \   gdy n jest  liczbą   nieparzystą



230  J-   TALER

W  oparciu  o  podane  zależ noś ci  przekształ cony zostanie  licznik  T
9
(r,  <p,  k)  (A.3),  a  mia-

nowicie

(A.ll)

~

y  ( -   l) n + 1 I n l - y l/ B(M ^.(*r)-   - j( - 1)

ka) I„(kr)  -

—

Ostatecznie po prostych przekształ ceniach otrzymuje  się

l/ + il. ] n ( yj  I„(ka)I„(kr) +

gdzie

(A. 13)  P(*) =  - ^ J y  [^„(to) +  F„(te)l +  - j  [W ,(ka) + V
n
(ka)] +

—I
n
( k a) + k l

n
„i( k a) ]  •   [W „(kr) + V

n
(kr)].

a

Z  analizy  (A.12)  i  (A. 13) z  uwzglę dnieniem  (A.5),  (A.9)  i  (A. 10) oraz  faktu,  że  I„(z) jest
wielomianem uogólnionym  [4], tj. zbież nym  szeregiem  potę gowym  o  wykł adnikach, które
są   liczbami  naturalnym i, należy  stwierdzić,  że  <j)„(k)  jest  uogólnionym  wielomianem  pa-
rzystym  wzglę dem  k, a  wię c zachodzi zależ ność

(A. 14)  (f)
u
(k)  =   </ >„(-  k)

Łatwo  się   o  tym  przekonać  obliczają c  wystę pują ce  w  (A.12)  i  (A. 13)  iloczyny  funkcji
Bessela  /„  i  / „ _ !  oraz  wielomianów  W „,  W

n
_

x
,  F „ ,  V

n
^

x
  zgodnie  z reguł am i mnoż enia

szeregów potę gowych  [6]. Wielomian  ten posiada  wyraz  wolny,  który  powstaje  jako  skł a-
dowa iloczynów  / „V„ i  I„_

t
  •   V„_

t
.



N I E U ST AL O N E  P O LE  TEM P ER ATU R Y 231

Tak wię c z przeprowadzonej  analizy  wynika,  że 4>
n
(k) jest  również wielomianem  wzglę d-

nym  p  (po uwzglę dnieniu  (A. 2)).  N astę pnie rozpatrzony zostanie  mianownik  (A. 3)

k
2
f„(k)  =   kĄ - ^

x [ -

x [ -  ̂ In
x { "  T  [ f ~1)B+1/"
-   k [ ( - !)"/ „_ t(kb)  In

Ostatecznie po  prostych  przekształ ceniach otrzymuje się

W n(kb)  +

- ~

-   ( -  l)"fc2ln  a>
0
I

n
_

1
(ka)I„-

1
(kb)  + n (ka)I n^ {kb)  J

gdzie

(A.  17)  fi  (*) =   A;2 J ^  [ W
n
{ka) + V

n
(ka)} +  ^ - [W

n
  (ka)  +  V„  (ka)]  +

~ T7 "( k d ) ~ T 7 "{ k d ) + f c 7 "- l ( M ]   x

P odobnie jak  w  przypadku  licznika  i  m ianownik  jest  wielomianem  o  wykł adnikach pa-
rzystych  (wynika  to z  analizy  (A.16)  i  (A.17)  a wię c  zachodzi  zwią zek

(A.  18)  (- k)2
W n

(- k)



232  J.  T AL E R
  f

Ż  porówn an ia  (A.12)  z  (A.16)  wynika,  że stopień licznika jest niż szy  n iż stopień mianowni-
ka.  Ponieważ  (j>„(k)  i  y>

n
(k)  są   parzyste  wię c  T v( r ,  <p,p)  (A.3) jest jedn ozn aczn ą   funkcją / ),

gdyż

Tak  wię c  transform ata  T  (r,<p,k)  (A.3)  speł nia warun ki  konieczne  i  dostateczne  zastoso-
wania  wzorów  H eaviside'a  (2.43). Ł atwo  sprawdzić,  że  warun ki  te  speł nia  również  trans-
formata  T

0
(r,  k).

D odatek  B

D la  jasnoś ci  rozważ ań  tem peratura  t(r,ę ,  T)  (2.43)  zostan ie  zapisan a  w  postaci
0 0  CO

(B.l)  t(r,  tp,  %)  =   t0(r)  +  ]?  t*(r,  < p)+   ]?  t„(r,  < p,x),
n =  l  « =  0

gdzie

(B.2)  t
0
  (r)  =   Km  , 3  , / v l ,  =  Km

00
1

(B.3)  t;(r,9> )  =   lii

oraz

Z n ak  pochodnej  odnosi  się   do  róż niczkowania  .po p.  N ajpierw  obliczona  zostanie  skł a-
dowa  t

o
(r).

M ianownik  (B.2)  wynosi

(B.5)  [pkip
o
(k)Y  =   - j- [pky)

0
(k)]  =   kip

o
(k)+p[ky>

o
{k)Y,

gdzie  y>
0
(k)  okreś lone jest wyraż eniem  (2.29)

Z atem  .

(B.6)  tim[pky>
0
(k)Y  =   lim{k

n
(k)+p[kf

0
(k)Y}.

Łatwo  wykazać,  że

limp[ky)
0
(k)Y  =   0,

a  wię c

(B.7)  li m - .



N I E U ST AL O N E  P O LE  TEM P ERATU RY 233

Przy  obliczaniu  (B.7) wykorzystan e  zostaną   nastę pują ce  zwią zki,  zachodzą ce w  przypadku
funkcji  Bessela  dla  m ał ych wartoś ci  x,  tj. gdy  0  <  x  - 4 1  [5]

(B.8)

/ .(*)

K
0
(x)  X  l n - ~ -, K„(x)  w y  r °7 ) ' " =   ]'  2 ' '"

P odstawiają c  (B.8)  do  (B.7)  otrzymuje  się

~
k
"2lcb'~Y

  +
  ~I"J

Licznik  wyraż enia  t
o
(r)  (B.2) wynosi  n atom iast

(B.10)  lim <f>
0
 (k)  =   lim - y-   j k [70 (kr)Kv  (ka)+7,  (ka)K0  (kr)] +

+  - j  [/o (fci") *o ( M  -   h  (ka)K
0
  (kr)] J .

U wzglę dniając  (B.8)  w  (B.10)  otrzymuje  się

2 1  1  \   O
( B. ll)  lim«>o(/ c)  =

a  I  a

Ostatecznie, po  uwzglę dnieniu  w  (B.2), (B.9) i  ( B. ll)  t
0
  (r)  wynosi

1  ~1
q

0
  a  X  q

0
-

(B.12) to(r)  =

l- b

W  identyczny  sposób  m oż na wyznaczyć  skł adową   t%(r,  <p)  (B.3), która  wynosi

q
n
b

X- n  a"
w%(Bi+n)

X- n
Bi(al

n
  +1) +  «(&>§" - 1)  ~BHoĄ n +1) +  «(cog"  - 1)

cos(nc;).

D o  obliczenia  t(r,  ę ,  r)  (B.l)  pozostał a jeszcze  jedn a  skł adowa  t
n
(r,  ę ,  T )  (BA).

N ajpierw  obliczony  zostan ie  m ian own ik  (B.4)

(B.14)

gdzie  ip„(k) okreś lone  jest  wyraż en iem  (2.32)  Z  uwagi  n a  (2.41):

v>n(k)  ,,.  = 0



234 J.  TALER

_  dyj
n
(k)  dk  _  2  1 1  <# „  _  1  <%,(

T T "W   T
K
~dk

(B.14)  wynosi

(B.16) I'Vn.m  =

Pochodna  J"  obliczona z wykorzystaniem  zwią zków  [5]

(B.17)

dIJkx)  n  v  / ,   s  T  / (  .

dl
n
- i(kx)  «

—i

dK"- jikx)  =
w/ C  / C  Kr

i  równania  charakterystycznego  (2.36)  zapisanego  w  postaci

(B.18)

wynosi

a

U wzglę dniając  zwią zki  [5]

-   ILIn( ka)+ kIn_1(ka)- ~In(ka)a  A

~i
n

m  Q.

»- i  (ka)K
n
 (ka)]+k

2
a[I

n
 (ka)K„_, (te)

/ „_
 x
 (ka)K„ (ka)+J

n
  (ka)K

n
_

 L
 (ka) =

(B.20)

1

1



NIEUSTALONE POLE TEMPERATURY 235

w  (B.19)

(B.21)

zatem

otrzymuje się

dy>„ (k)
dk

/ l  dę „(k)

\   2  dk

S
[  kb

  k
)

+
  Q\

1

la*
l

t
Yn,m

S
\   a

D la  obliczenia g(  "-  I wykorzystana  zostanie  prawa  stron a  (B.18).

(B.23)

V n  in  CJC

TJ"'

)

P o  podzieleniu  licznika  i m ian own ika  (B.23)  przez e  i uwzglę dnieniu, że

(B.24)  e"^"'  = c o s ( - y) +  isin |- - |- ) =.  - i

otrzymuje się

W  podobn y  sposób  m oż na  wyznaczyć  &„
lc
_  'V- ,m  gdzie  <£„(&) okreś lone jest  wyraż eniem

(A. 11).  P odstawiając  do  0„(k),  k -   " " ' " otrzymuje się

(B.26)

P o  podstawien iu  do  (B.4): (B.22),  (B.25),  (B.26)  i uwzglę dnieniu że

(B.27)

otrzymuje się t, 9,

e
pT

r)

. _  'Yn, m  =   e
a

k  = 'yn.m  =
a



236  J-   T ALE R

P o podstawieniu  t
o
{r)  (B.J2), t%(r, q)  (B.I 3)  oraz  t

n
(r,  <p,  r)  do (B.I ) otrzymuje  się  tempe-

raturę  t(r, cp,  %),  której  postać  jest  nieco  odm ien n a  od  wyraż enia  (2.45).  Ł atwo  jedn ak

wykazać,  że  ]£ t„{r, <p,  T)  moż na  przekształ cić  do  postaci
o

(B.28)  ]?  t„ (r,  <p,  T )  -   tq(r, <p,  r) + ]?  t„ (r,  <p,  T )

gdzie

( B , J 9 )

zapisując  w  (B.l)  oddzielnie  czł on  / 0( r, <p,  r)  i przekształ cając  go za pom ocą  zwią zków  [5]

/ _ l(x)= - /l(x)
( R 3 0 )  y- i W- 7 x&o
do  postaci  (B.29).

P  e 3 w  in e

H EyCTAH OBH BfflH EC^,  K P yr O H E C H M M E T P H ^ H O E  T E M n E P AT YP H O E
n O JI E  B BECKOHEMHOM  ITOJIOM   U H JI H H flP E  H ArP E BAE M Ł IM

H A  BH EIU H EK n O BE P XH O C T H

On peflejieao  HeycTaHOBHBinitecJi  TeMnepaxypH oe  n ojie  B SecKOHê tHOM  nojioM   q«jniH flpe  H arpeBa-

eMMM  Ha BHeiiiHeii noBepxHOCTH  (3aflan  HecMMMeTpuqecKHH  yflejiŁ HMtt  TeruioBoił   noTOK) a  oxjia>KflaeMbiM

Ha  BHyrpeHHeii  noBeiwH ocnl  n o aaicoHy  HbioTOHa.  ripHHHMaeTCH   paBH oiyiepnoe  p ac c n p eflen eaae  TeM-

n epaT ypt i  B  HanajibHŁ iii  MOMenr BpeMeroJ.  PeineH U e nojiy^eH o  c noM omwo  m rrerpajiM ioro  rrpeo5pa3o-

Baima  Jlan jiaca  n o  BpeMenu ii Merofla  pa3flejietfflji  nepeMeHHHX.  M aTeprtaji  miJiU H flpa  cqH Taexca:  ofliio-

poflHŁ iM   H  H3OTponHbiM  H  ero  TepM«qecKrte  cBoftcrBa  He 3aBHcaT  OT  TeM nepaTypw.

S u m m a r y

U N STEAD Y, AXIALLY N ON SYM M ETRIC TEM P ERATU RE  D ISTRIBU TION
IN   AN   IN F IN ITE  H OLLOW  CYLIN D ER  H EATED   EXTERN ALLY

The  unsteady  temperature  distribution  in an infinite  circular  hollow  cylinder  heated  externally
cprescribed  nonsymmetric heat flux  at the surface)  and cooled internally  by  fluid  has  been  calculated. The
initial  temperature distribution  has  been  assumed  to  be  uniform.

Solution  has  been  obtained by means of the  Laplace  transform  with  respect  to time  and  the  usual
method  of separation  of variables.

The  considered  medium is homogeneous,  isotropic,  with  thermal  properties  independent of position
and  temperature.

I N STYTU T  APARATU RY  ,
P R Z E M YSŁ O WEJ I EN ERG ETYKI
P OLI TE C H N I KA  KRAKOWSKA

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  26  kwietnia  1978  r.