Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z2.pdf


M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

2,  17  (1979)

O  WYZN ACZAN IU   CH ARAKTERYSTYK  PROBABILISTYCZN YCH   ROZWIĄ ZAŃ   WAHADŁA
P OD WÓJN E G O  O  Z M I E N N E J  D Ł U G OŚ CI  POD D AN EG O  WYMU SZEN IOM   LOSOWYM

JAN BSZ  S Z O P A  -i  M AR E K  W O J T Y L A K

.  ( G LI WI C E ,  KATOWI C E)

Streszczenie

W  pracy  po dan o  m etodę   wyznaczania  charakterystyk  probabilistycznych  rozwią zań
równ ań  ruchu  wah adł a  podwójn ego  o  zmiennej  dł ugoś ci  poddan ego  wymuszeniom  lo-
sowym.  Oparta jest  on a  n a  wykorzystan iu  stochastycznego  równ an ia  cał kowego  Volterry
II- go  rodzaju,  a  n ie  n a  wielowymiarowej  impulsowej  funkcji  przejś cia  trudnej  d o  wyzna-
czenia  w  przypadku  u kł ad u  równ ań  róż niczkowych  o  zmiennych  w  czasie  param etrach.

Wyprowadzon o  wzory  n a  funkcję   korelacji  oraz  korelacji  wzajemnej  rozwią zań.
N um erycznie  wyznaczono  wariancję   rozwią zań  dla  dwóch  typów  procesów  stochastycz-
n ych  bę dą cych  wym uszeniam i  ruch u  wah adł a.

1.  Wstę p

R ówn an ia  ruch u  wah adł a  podwójnego  o  zmiennej  dł ugoś ci  poddan ego  wymuszeniom
losowym  stanowią   u kł a d  dwóch  nieliniowych  równ ań  róż niczkowych  o zmiennych w  cza-
sie  współ czynnikach.  P rzy  zał oż en iu m ał ych ką tów  wychylenia  wahadł a  od  pionu moż na
przyją ć,  że  równ an ia  są   liniowe.  N awet  to  zał oż en ie n ie  pozwala  w  ogólnym  przypadku
n a  rozwią zanie  rozważ an ego  u kł ad u równ ań . D latego też zwraca  się  uwagę  n a  wyznaczenie
charakterystyk  probabilistyczn ych  rozwią zania  przy  zn an ych charakterystykach  wymuszeń.
W  przypadku  u kł ad u  równ ań  liniowych  m oż na  stosować  m etodę   wielowymiarowej  im-
pulsowej  funkcji  przejś cia  [2—6]  trudnej  jedn ak  do  wyznaczenia  gdy  współ czynniki  są
funkcjami  czasu.

P oszukiwane  ch arakterystyki  probabilistyczne  m oż na  jedn ak  wyznaczyć  przy  wyko-
rzystan iu  stochastycznych  ró wn ań  cał kowych  Volterry  II- go rodzaju,  którymi  zajmowano
się   w  [1,  14,  15].  P odstawowe  wyniki  teoretyczne  oraz  aspekty  praktyczne  wyznaczania
charakterystyk  probabilistyczn ych  przy  badan iu  ukł adów  o  zmiennej  inercji  opisanych
równ an iem  róż n iczkowym  n- tego  rzę du  był y  przedstawione  w  [7—9,  12].

Rozważ any  m odel  wah adł a o zmiennej  dł ugoś ci jest ukł adem dwóch liniowych  równań
róż niczkowych  o zm ien n ych w czasie współ czynnikach. U kł ad ten zostanie sprowadzony  do
dwóch równ ań , z  których  każ de zawiera  tylko jedn ą   ze zniiennych. D la tego  ukł adu m oż na
ju ż  stosować  m etodę   wyzn aczan ia  charakterystyk  podan ą   w  [7—10].  Za  jej  pomocą   zo-



238  J.  SZOPA,  M.  WOJTYLAK.

staną   wyprowadzone  wzory  n a  funkcję   korelacji  oraz  korelacji  wzajemnej  rozwią zań,
a na ich podstawie  wyliczona  wariancja  rozwią zań  wg algorytm ów  zawartych  w  [11, 12,16]
dla  dwóch  typów  procesów  stochastycznych  bę dą cych  wym uszeniam i.

2.  Równanie ruchu  wahadł a podwójnego

Rozważ ać  bę dziemy  wahadł o podwójne  przedstawione  n a rys.  1. gdzie  m±,  m
2
 —  masy;

I
ls
  l

2
 — dł ugość  wahadeł ; <p,  f  — ką ty  wychyleń  od p io n u ;  M

x
(t,  co),  M

2
(t,  w) — wymu-

szenia — procesy stochastyczne.

D o  dalszych  rozważ ań  zał oż ono  m
x
,m

2
,l

2
  — con stan s  oraz  l

x
  — l

t
(t).  Wykorzystują c

równania  Lagrange'a  II- go  rodzaju  otrzym ano  nastę pują cy  ukł ad  ró wn ań :

m
2
[liy- 'l

1
l

2
s'm(f—f)+2l

1
l

2
<pcos(f—<p)  +  I

l
l

2
ycos(f—(p)

+ g/ 2sini/ / | =

y/ / / / / / / / .

M 3(t, <»)

Pr/ y  zał oż eniu niewielkich  wychyleń  wahadeł  od pion u  ukł ad  nieliniowy  (1) m oż na  spro-
wadzić  do postaci  liniowej:

lU  (i)h<P+2Ii<P+h<p]  -   M
2
.

U kł ad  ten  m oż na  sprowadzić  do równ ań  4- go rzę du, w  których  wystę puje  zmienna  95
lub  f.

Wystarczy  pierwsze  z  równań  pomnoż yć  przez  l
2
,  a  drugie  przez  l

x
  oraz  odją ć  stronami

wyliczają c  y> za pomocą  <p,  ć p,  ł p.  Róż niczkując  t ak  otrzym an e y> i podstawiają c  do  pierwsze-



O  WYZN ACZAN IU   CHARAKTERYSTYK  PROBABILISTYCZNYCH   2 3 9

go z równań  otrzymuje  się  równanie  ze zmienną   tp.  Aby otrzymać równanie ze  zmienną  yr
trzeba  pierwsze  z  równ ań  ukł adu  (2)  pomnoż yć  przez  m

2
l

2
,  a drugie  przez  (mj +   Wj)^.

P o odję ciu  równań stronam i wyliczamy  <p oraz; podstawiamy  do drugiego  z nich  otrzymują c
równanie ze zmienną   y>.

Powyż sze  przekształ cenia  zastosowano  przy  zał oż eniu,  że  m
L
 =  m

2
  =  1  [kg],  l

z
 m

2 -   at  dla  t

M

=   1 [m],g = 9,81 l- j- J,  J ł / l S  O,

2 -   at  dla  ż <

(3)  hit)  =
1  dla  t  >  _

a

otrzymują c  ukł ad  równań

/ i?'+ 4/ i> "  + 19,62(1+   / i)^p+ 39,24/ ^+ 192,47229? =  - M2 ,

/ # + 2 / V  +  1 9 6 2 ( l + / ) + 3 9 2 4 / + 1 9 2 4 7 2 2 ' =   2/ 1M 2+ 4/ "1

3 .  Funkcją   korelacji  oraz  korelacji  wzajemnej,  rozwią zań  równań  ruchu  wahadł a  podwójnego  o  zmiennej
dł ugoś ci

Równania  ukł adu (4) m oż na zapisać w ogólnej  postaci:

•   (5)  a
A
(t)"x'+a

a
(t)"x  +a

2
(t)x+a

1
(t)x+a

o
(ł )x  -   P(t. co),

gdzie  x jest  odpowiednio  równe  <p  lub ip.
Z  podstawienia

(6)  a
A
.(t)"x\ t,co)  =  y(t,oo)

wynika, że

Qfc—1)!  J  (A:— 1) !  aAu)

gdzie  przez x0 , ić 0, 'x0, 'x0  oznaczono warunki  począ tkowe  dla  (5), a k  -   1, 2, 3,  4.
Wykorzystują c  zależ noś ci  (6) i  (7) w równ an iu  (5) moż na je  zapisać w postaci  stochastycz-
nego równania  cał kowego  Volterry  II- go  rodzaju:

t

(8)  y{t, (o) =  hit,co)-   f  Kit, u)yiu,  co)du,
o

gdzie

(9)  hit, co)  =  Pit,co)-   Ia
3
it)x'

0
  + a

2
(t)- $

0
+  x'o- A + atit)-   \ x

o
 + x

a
- t+x'

o
-   - ^ - \ +

L ° 2



240  J.  SZ OP A,  M.  WOJTYLAK

oraz ją dro,

(10)  K{t,  u) =

Jeś li  utworzyć  rezolwentę   R(t,  u)  dla  równania  cał kowego  (8)  wtedy  m oż na je  przepisać
w postaci:

t

(11)  y(t,  co)  ==   h(t,  co)-   J  R(t,  u)h(u,  co)du.
o

Ta postać jest najdogodniejsza  do wyznaczenia  funkcji  korelacji  procesu y( t,  co). Z ach odzi:

(12)  K
y
(t

u
ł

2
)  =  E{[y(t

i
,co)~Ey(t

i
,eo)]-   [y(t

2
, co)- Ey(t

2
,co)]}  -   K

h
(t

it
  h)~

h  li  ,  h  tz

-   j'jR(fi,«,Wai  ujdu!-   f  R(t
2
,u

2
)K

h
(t

l
,u

2
)du

2
+  f  }  Rit^

0  0  . 0 0

gdzie  K
h
{Ui, u

2
) —  funkcja  korelacji  procesu  h(t,  co).  Wg  (7)  dla  k  =   4 jest

. , . ,  ,  ,  .  ..   t*   . . . t3  r
( 1J )  X\ t$  CO)  s s  XQ- \ - XQt- }-XQ  ———r  XQ—~T   Ą -  I

2  o  J 6
0

- du.

Zakł adają c,  że  warunki  począ tkowe  są   zdeterm inowane,  zachodzi  wg  (9)  równość
, h)  =   K

P
(t

lt
  t

2
).  P on adto

f,«\   / .  \   r  i  \   C  C ' ~ ") 3  y(u,co)- Ey(u,co)
(14)  x(t,  co)- Ex(t,  co)  =  J  6  •   - ii  ^ = ^  '-

czyli  funkcja  korelacji  dla  ką tów  cp lub ip jest postaci

(15)  K^ t^ tz)  = Eiixit,,  w) - Ex(t
l
,co)]- [x(ł

2
,co)- Ex(t

2
,co)]  =

3o- uĄ yux)- U4KU2)

[7- 10].
Jeś li  w  zwią zkach  (5)—(11) dopisać indeksy  „ 1 " w  przypadku  rozważ an ia  ich  dla  ką ta  cp
i  „2"  w  przypadku  f  to  wzór  na  funkcję   korelacji  wzajemnej  rozwią zań  cp  i  ip  przyjmie
postać:

( 1 6 )  K^ ih,  h)  =   E{[cp(t,, co)- Etp{h,  ca)]-  [tp(t
2
, co)- Ef(t

2
,  co)}}  =

0  0



O  WYZN ACZAN IU   CHARAKTERYSTYK  PROBABILISTYCZNYCH   2 4 1

gdzie

(17)  K
yi
y

1
(t

l
,t

2
)*E{[y,(t

1
,a>)- Ey

i
(t

1
,(»)][y

2
(t

2
,co)~Ey

2
(t

2
,a))]}  =

h  h

=   **, *, & ,  h)-   jR
x
(t

u
u

x
)K

hihi
{u

lt
  t^ du, -   J R

2
{t

2
,  u

2
)K

hil
,

3
{t

l
,u

2
)du

2
  +

o  o

+  J  J
  R

iih,u
i
)- R

2
{t

2
,u

2
)K

hihi
(

:
u

1
,u

2
)du

2
du

l

o o

h
L
(t,  co)  i Ri(t,  u) są   liczone  dla pierwszego  z równ ań  ukł adu  (4), a h

z
(t, w) i R

2
(t, u)  dla

drugiego.

4.  Analiza  numeryczna

P rzedstawioną   m etodą   obliczon o  wariancję   rozwią zań  dla ukł adu równań  (4). Wyko-
rzystano  wzory  (15) (.podstawiają c  t

t
  = t

2
) i (12) oraz  algorytmy  podan e w  [11,  16].

F unkcję   korelacji  procesu  M
2
(t,  co)  przyję to  w dwóch  postaciach :

( 18) .  Kujfu  ti) -   C - e - «*i + *,

gdzie  C, /S > 0 oraz

(19)  Ą f,(fn  '2) =   - jEA2- cosy(,h- t
2
).

Wzór  (19) odpowiada  zał oż en iu, że proces  Af2(/ ,  a>) jest  postaci

(20)  M
2
(t,co)  = A(co)- cos(yt+X(co)- l

2
,  •

gdzie  l
2
  =  1 a A i 2 — n ieskorelowan e  zmienne  losowe  oraz  funkcja  gę stoś ci

D o  dalszych  rozważ ań  przyję to,  że stał e  C =  EA2  =  1. Stosują c  metody analizy kore-
lacyjnej  [3, 4]  otrzymano  dla  procesów  wystę pują cych  po  prawych  stronach  równań
ukł adu  (4) nastę pują ce  postacie funkcji  korelacji:
a)  dla przypadku (18)

(21)  K
h
(

tl
,t

2
)  =  K

P
(t

lt
  t

2
)  =  J L jł . fa ,  tj)  =   4. / ? 1 ( l- 2|Sr f) . ( l- 2^ ) . e - «' 5+( t ) ,

oraz

(22)  ^t f . ^A+ i  ł i  f

/ i( ?1) / 1( / 2) ( l- 2/ 5/ !) - 39, 24 1̂/ ia 1) - 19, 62/ 8/ 1( / 2) ( l-

- 3 9 , 2 4̂

b) dla przypadku (19)

(23)  K^ ih,  t
2
)  m  L

6  M ech .  Teoret.  i  Stos. 2/ 79



242 J.  SZOPA,  M .  WOJTYLAK

oraz

(24) =   2(cosy(/ ,  - t2)- [y
4
hi.h

N a  rysunkach  2—5  przedstawiono  wykresy  wariancji  rozwią zań  dla  ukł adu  (4)  gdy
wymuszenie  jest  procesem  stochastycznym  o  funkcji  korelacji  typu  (18)  [13].

8- 10'4

4- 10'*

4

x

>

a - 7 ,5  '

A
Ą l5  \

1

J  f
0,6  1,2  7,8

Ry s .  2

Rys.  2  i  3 przedstawiają   wariancję   a$  i  e j  przy  róż nej  szybkoś ci  zm ian  dł ugoś ci wahadł a
(współ czynnik  a we  wzorze  na  ^  (t)).

N a  rys.  2 przyję to  a  =   0,75;  1;  1,1;  1,3;  1,5  a n a rys.  3  a  =   0,7;  1;  1,5  przy jednoczesnym
zał oż eniu, że  /9  we  wzorze  (18) wynosi  1.

Zaobserwowano,  że  szybszym  zm ian om  dł ugoś ci  wah adł a  dla  począ tkowych  czasów
odpowiadają   wię ksze  wartoś ci  maksimów  wariancji.  Rys.  4 i  5 przedstawiają   wpł yw współ -
czynnika wystę pują cego  we  wzorze n a funkcję   korelacji  (18).

4- ior

2- 10'3

- 1 , 1

Przyję to  a  =   1 oraz  /S  =   1;  1,5;  2,7.

Wariancja  o^  jest  wię ksza,  gdy  współ czynnik  /? jest wię kszy  (rys.  4)  a  dla  crj  jest  n a  od-
wrót.  '



O  WYZN ACZAN IU   CHARAKTERYSTYK  PROBABILISTYCZNYCH 243

N a  rys.  6—9  przedstawion o  wykresy  wariancji  rozwią zań  dla  ukł adu  (4), gdy  wymusze-
nie jest  procesem  stochastyczn ym  o  funkcji  korelacji  postaci  (19).

110'
4
  -

W-

2- 10'
1

ą

-

-

04- 7,5

0,6 1,2

R ys.  7

1,8

N a  rys.  6 i 7 przyję to  a  =   0, 7;  1;  1,5  oraz /? =   1. Szybszym zm ianom dł ugoś ci wahadł a
odpowiadają   wię ksze  wartoś ci  m aksim ów  wariancji.  N a  rys.  8  i  9  przyję to  y  =   1;  1,5;
2,7  (na rys.  8 dodatkowo  y  =   2) oraz  a  — 1.

12- 10''

&- 1CT - 2- 70"'

0,5  7,2  7,8

R ys.  8

0,6  7,2  1,8

Rys.  9

Wię kszym  wartoś ciom  /9  odpowiadają   wię ksze  wartoś ci  wariancji  dla  ką ta  <p  (rys.  8)
a  dla  ką ta  y  dla  począ tkowych  czasów  jest  n a  odwrót  (rys.  9) a  powyż ej  pewnej  wartoś ci
t  tak  samo ja k  w  przypadku  ką ta  <p.

S.  Wnioski  koń cowe

P ropon owan a  m etoda  wyznaczania  charakterystyk  probabilistycznych  rozwią zań
wah adł a  podwójnego  o  zmiennej  dł ugoś ci  poddan ego  wymuszeniom  losowym  może  być
stosowana  ł ą cznie  z  algorytm am i  do  badan ia  stochastycznych  ukł adów  dynamicznych
o  n  stopn iach swobody  i  o zm iennej  inercji.



244  J.  SZOPA,  M .  WOJTYLAK

Zał oż enie,,  że  warunki  począ tkowe  są   zdeterm inowane  nie  jest  kon ieczn e,  jedn ak  po-

stacie  funkcji  korelacji  i  korelacji  wzajemnej  rozwią zań  bę dą   w  tym  przypadku  znacznie

bardziej skomplikowane.  M oż na  także wyprowadzić  w  podobn y  sposób ja k  to  przedstawio-

n o  w  pracy  wzory  na  funkcje  m om entów  centralnych  wyż szych  rzę dów.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  A. T.  BH ARU CH A- REID  — Random  Integral Equations,  Academic  Press,  N ew York and  London  1972.
2.  F . A.  MICH AJLOV, E. D .  TIERAJEV  (i inni) —  Dinamika niestacjonarnych liniejnych sistem. Izdat. N auka,

Moskva  1967.
3.  B. SKALMIERSKI, A.  TYLIKOWSKI — Procesy stochastyczne w dynamice.  PWN  Warszawa 1972.
4.  K.  SOBCZYK — Metody dynamiki statystycznej. PWN  Warszawa 1973.
5.  A. V.  SOLODOV,  F . S.  PETROV — L iniejnye avtomatiieskie sistemy s pieremieimymi parametrami.  Izdat.

N auka,  Moskva  1971.
6.  V. V.  SOLODOVNIKOV,  Ju. I .  BOROD IN , A. B.  IONNISUAN  —  Castotnyje  metody analiza i sinteza niesta-

cjonarnych liniejnych sistem. Bibl. Technicz. Kibernetiki,  Izdat. Soviet. Radio, Moskva 1972.
7.  J.  SZOPA — Application of  Volterra stochastic integral equations of  the  H- nd kind  to  the  analysis of dy-

namic systems of variable inertia.  Journal of  Technical  Physics,  17, 4, 1976.
8.  J.  SZOPA — Metoda wyznaczania funkcji  momentów „wyjś cia"  stochastycznych liniowych ukł adów  nie-

stacjonarnych.  Archiwum  Automatyki  i  Telemechaniki  22, 4, 1977.
9.  J.  SZOPA — O funkcji  korelacyjnej  dla równania  Volterry Il- go  rodzaju.  Zesz.  N auk.  Polit.  Ś l., seria

Automatyka  z.  28, 1974.
10.  J.  SZOPA —  W yznaczanie funkcji  momentów w stochastycznych ukł adach  dynamicznych  o  dwóch  stop-

niach swobody.  I I I Konf.  Metody Komputerowe  w  Mechanice  Konstrukcji,  PTM TiS i P AN ,  Opole —
maj  1977.

11.  J.  SZOPA,  M. WOJTYLAK  — N umeryczne metody obliczeń  charakterystyk probabilistycznych  w  ukł adach
o  zmiennej  inercji. II  Konf.  Metody  Komputerowe  w  Mechanice  Konstrukcji,  PTM TiS  i PAN ,
G dań sk —listopad  1975.

12.  J.  SZOPA,  M.  WOJTYLAK —  W ariancja  wahadł a  o  zmiennej dł ugoś ci.  VII  Symp.  D rgania  w U kł adach
Fizycznych, PTMTiS i  Inst. Mech. Techn. Polit.  Poznań skiej,  Biaż cjewko — maj  1976.

13.  J.  SZOPA,  M. WOJTYLAK —  W yznaczanie wariancji  rozwią zań  wahadł a podwójnego  o zmiennej  dł ugoś ci,
poddanego wymuszeniom  losowym. I  Konf.  Metody  i  Ś rodki  Projektowania  Automatycznego.  Inst.
Podstaw  Budowy Maszyn  Politechniki  Warszawskiej,  Warszawa, listopad  1977.

14.  Ch. P.  T SO K O S—  On a Stochastic Integral Equation of  the  Volterra T ype.  M ath.  Systems Theory, Vol.
3,  N o  3,  1969.

15.  Ch. P.  TSOKOS,  W. J.  P AD G E T T — Random  Integral Equations  with Applications to  Stochastic  Systems.
Springer- Verlag,  Berlin  1971.

16.  M.  WOJTYLAK  — N umeryczne  problemy  obliczania  wariancji dla  ukł adów  opisanych  stochastycznym
równaniem  cał kowym Volterry II rodzaju.  Zesz.  N auk.  P olit.  Ś l.,  seria  M atematyka —  F izyka,  z. 28,
1976.

P  e 3  IO  m e

OE  OnPEflEJIEHHH   nPOBABHJIHCTH^ECKHX  XAPAKTEPHCTHK
P E I H E H H H   flBOfł H OrO  MAflTHHKA  C  ITEPEMEHHOfl:

nOflBEPKEH H OrO

B  pa6oTe  flan  MeTo«  onpeflejieHKH   npoSaG rtjniCTimeciorc  xapaKTeptfcrU K  pemeH H ft  ypaBH eH tfii  RBU-
Hceń tfn  flBotaoro  ina«THHKa c nepeiweHHofi  wirtH ofi  noflBep>KeH H oro  cjryiaftH biM   BŁiHy>KfleHJteM.  M eT0«
ocH oBan  Ha HcnoJr&3OBaHtfH   croxacM M ecKoro  m rrerpajiBH oro  ypaBH etaiH   BojibTeppbi  BToporo  p o ^a,



O  WYZNACZANIU   CHARAKTERYSTYK  PROBABILISTYCZNYCH   245

He  Ha  MH oroMepH oń  tfwryjrbcH OH   cbyHKijHH   n e p e xo # a ,  TpyflHOH   flo  onpenejieH H H   JSJIH cjryMan  cMcreMbi

a4)(l)epeH U H ajiŁH bix  ypaBH eH irii  o  n ep eM eim bix  c o  BpeiweneM   n apam eT pax.

H axoflH TCH   djopm yjiw  flnn  Kopejian jiH   tf  B3aMMHoił   Kopejiautfrt  pem eH H ii.  lI acjieH H O

peiueH MH   fljifi  flsyx  T H H O B  ero xaen raec K J ix  n p o n e c c o B ,  KOTopwe

S u m m a r y

ON   D ETER M I N ATI ON  OF   PROBABILISTIC  CH ARACTERISTICS  OF  SOLU TION S
OF   D OU BLE P E N D U LU M   WITH   VARYIN G   LEN G TH  SU BJECT TO  RAN D OM   F ORCIN G

A  method for  determining  the  probabilistic  characteristics  of  solutions  of  the  double  pendulum with
varying  length  subject  to  random forcing  is  given.  The method is  based  on the stochastic integral  Volterra
equation  of  the second kind  and not, as usually,  on the multidimensional impulse transition function which
is  difficult  to  determine in  the  case  of  the  system  of  differential  equations parameters  of  which  change in
time.

F ormulae for  the correlation function  as well as the autocorrelation function of the solutions are  given.
The  variance  of  the  solutions  for  two  types  of  the  stochastic  processes  forcing  the  pendulum motion  is
calculated  numerically.

I N STYTU T  M E C H AN I KI  T E O R E T YC Z N E J
P OLI TE C H N I KA  Ś LĄ SKA
I  I N STYTU T M ATEM ATYKI
U N I WER SYTET  Ś LĄ SKI

Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  15  maja  1978 r.