Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z2.pdf MECHANIKA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  (17)  1979 N U M E R YC Z N E  R O Z W I Ą Z AN IE  Z AG AD N I E N I A  S T AT E C Z N O Ś CI  D YN AM I C Z N E J  P Ł YT P I E R Ś C I E N I O WYCH STAN ISŁAW  W O J C I E C H   (BIELSKO  BIAŁA) 1.  Wstę p W  pracy  przedstawion o  uzyskan e  m etodą   dyskretyzacji  (prostych)  rozwią zanie  za- gadnienia  duż ych  ugię ć  ortotropowych  pryt  pierś cieniowych  z  wygię ciem  wstę pnym. Z ał oż on o,  że  pł yty  są   obcią ż one  ś ciskają cymi  sił ami  promieniowymi,  równomiernie  roz- ł oż onym i,  szybko  rosn ą cymi  w  czasie,  dział ają cymi  na  brzeg  wewnę trzny  i  zewnę trzny pł yty. P rzeprowadzon o  obliczenia  umoż liwiają ce  zbadan ie  wpł ywu  sposobów  podparcia i  obcią ż enia  pł yty,  wartoś ci  prom ien ia  bezwymiarowego  i  współ czynnika  ortotropii  n a wartoś ci  krytyczne,  przy  zał oż en iu że  obcią ż enie  roś n ie  liniowo  w  czasie.  Z badan o  wpł yw ugię cia  wstę pn ego  i  szybkoś ci  n arastan ia  obcią ż enia  n a  przebieg  uję cia.  Z ał oż ono osiowosymetryczną   postać  wygię cia  wstę pnego  pł yty,  a  pon adto  ograniczono się   do  przy- padków,  w  których  przy  statyczn ym  obcią ż eniu  pryty  idealnie  pł askiej,  jej  powierzchnia po  wyboczeniu  jest  powierzchnią   obrotową   [2]. P ozwala  to  przyją ć,  że  ugię cie  pł yty,  przynajmniej  do  momentu  zmiany  znaku  przez prę dkość  ugię cia, jest  osiowosymetryczne.  P otem może  nastą pić  utrata  osiowosymetrycz- nej postaci ugię cia  wskutek  przeskoku.  W  rozwią zaniu  pom in ię to zagadnienie rozchodzenia się   fal  sprę ż ystych  w  kierun ku  prom ien iowym . Rozwią zanie  zagadn ien ia  jest  przedm iotem  bad ań  wielu  autorów.  Z nane  są   jedynie rozwią zania,  w  których  przyjm owano  jedn oparam etrową   funkcję   ugię cia. A.  S.  WO LM I R  w pracy  [1] przedstawił  rozwią zanie  zagadnienia statecznoś ci dynamicznej pł yt  prostoką tn ych. W  pracy  [3]  przedstawion o  rozwią zanie  zagadnienia  statecznoś ci  dynamicznej  pł yt  ko- ł owych,  a  w  pracy  [4]  pryt  pierś cieniowych.  Rozwią zania  dotyczą   pryt  izotropowych i  został y  uzyskane  m etodą   G alerkin a. 2.  Równania  róż niczkowe  zagadnienia  v  • Warun ki  brzegowe  i  począ tkowe.  R ówn an ie  równowagi  dynamicznej  pł yty  i  równanie nierozdzielnoś ci  odkształ ceń , mają   w  rozważ anym  przypadku  postać nastę pują cą   [5]: _  / a V i  2  83w t   k 2   d 2 wy  k 2   dwA  h  d  I d®  dw\   y  ,  ,  ć >Vi (2.1) d 3 ® J_8^__kj_d® k\E r 8g 3 g dg 2 p 2 8g 2 g \\ dg ) \ 8g 248  S.  WOJCIECH gdzie  w0  =   wo(e)  —  ugię cie  wstę pne  pł yty, H>J  =   W xig, t)  —  ugię cie  wywoł ane  dział an iem sił  zewnę trznych, —  ugię cie  cał kowite, Q  —  prom ień  bezwymiarowy, ''z /  — czas, 0= 0  (Q , t)  — funkcja  naprę ż eń dobrana tak,  aby 1  1  30  1  820 t? r >  <*o  —  naprę ż enie  w  kierun ku  prom ien iowym  i  obwodowym ,  ,  • D  F* k,  k t   —  współ czynniki  ortotropii  k 2  =   - = - -,  k\   —  - —- , D r   E r D r>   D o   —  sztywnoś ci  pł ytowe  w  kierun ku  prom ien iowym  i  obwo- dowym, E r ,  B o   —  m oduł y  sprę ż ystoś ci  podł uż nej w  kierunku  promieniowym i  obwodowym, .  y  —  cię ż ar  wł as'ciwy  m ateriał u pł yty, g  —  przyspieszenie  ziemskie, h —  grubość  pł yty W  rozważ anym  w  tej  pracy  przypadku  ortotropii  materiał owej  (k  =  k Ł )  sztywnoś ci  pł y- towe  D r   i  Z>6 okreś lone  są  wzoram i: ( Z 3 )  D <- u§^ >   D °  =  i2(r^ >  *>• *- liczby P o isso n a- W  pracy  rozważ ane  bę dą  przypadki  podparcia  pł yt  bę dą ce  dowolną  kombinacją  brzegu utwierdzonego  i  swobodnie  podpartego.  Z  przyję tej  postaci  ugię cia  cał kowitego  W  = =   W o  + W 1   wynika,  że  ugię cie  cał kowite  W   speł ni  warunki  podparcia,  jeś li  speł niać  je bę dą  ugię cia  wstę pne  W o   i  dodatkowe  W l . W przypadku  brzegu  utwierdzonego  ugię cie  i kąt  ugię cia  muszą  być  zerem : (2.4)  „. o.   - £• - <)• D la  brzegu  swobodnie  podpartego,  zerować  się  muszą  ugię cie  i  promieniowy  moment gną cy: (2.5)   W m 0 ,  M = - n Warunki  począ tkowe  mają ce  postać: (2- 6)  w\ t= Q= W0, dt =  0 =  0, moż na  zapisać  w  nastę pują cej  postaci: -   0.( 2 . 7 )  -   '  -  —  n  ^Wl 8 t ( =  0 STATECZ N OŚĆ  D YN AM ICZN A  PŁYT  PIERŚ CIEN IOWYCH   249 Z  warunków  obcią ż enia  brzegów  pł yty, wynikają   nastę pują ce  zależ noś ci: 1  80 (2.8) Po  wprowadzeniu  wielkoś ci bezwymiarowych : 2   J _  8® Pw  'z  J  ~ ^ e= i /j  A  /7 hr 2 P*  = oraz  przyję ciu,  ż e: %  „   f 1  dla  brzegu  wewnę trznego obcią ż onego, Ł  \ 0  dla  brzegu  wewnę trznego nieobcią ż onego, *  _  s  #   s  (1  dla  brzegu  zewnę trznego obcią ż onego, (2.10)  2 ~  (O dla  brzegu  zewnę trznego  nieobcią ż onego, p*  =  a-   t —  obcią ż enie n a brzegach roś nie liniowo w czasie z prę dkoś cią  a, t*  =   - ~r  — —x-   ? —  gdzie  ^ *r  jest  wartoś cią   bezwymiarowego  obcią ż enia,  przy Pkr  Pkr którym  pł yta bez  wygię cia wstę pnego  traci  stateczność  w  za- gadnieniu  statycznym, równania  (2.1)  przyjmują   postać: 2  83w,  k 2  82W i  k 2 Q 2   d e 2   Q 3   8Q  "g[de\   dc d 2 F I  8F  k\   _  h  dw,  I  dw0 J.T o'  Q2  e  8Q  Y~3Q / 2 =   6kl(vrv0- l). Warunki  brzegowe  i  warunek  począ tkowy  po  przyję ciu,  że  funkcja  w 0   speł nia  warunki podparcia  pł yty, mają   postać  nastę pują cą: (2.13)  w t   =   0,  - ~ -   =   0  dla  brzegu  utwierdzonego, .  .  _  d2W i  v 0   dwi  A  dla  brzegu  swobodn ie (2.14)  w,  =   0,  —T - 5 —I  5—  =   0  j OQ 2   Q  8Q  p o d p art ego , (2.15)  f  | c »e w  =  • (2.16)  ^U .o- 0,  - §r =  0. 250 S.  WOJCIECH 3.  Rozwią zanie  zagadnienia Przedstawione  poprzedn io  równ an ia  róż niczkowe  zagadn ien ia, są  równ an iam i  róż nicz- kowymi  czą stkowymi  o dwóch  zmiennych  Q i t*. Wię kszość  zn an ych  m etod  rozwią zy- wania  takich równań  polega  na doprowadzen iu  do zagadn ien ia  rozwią zywania  ukł adów równań  róż niczkowych  zwyczajnych. W  tej  pracy, w celu  doprowadzenia  zagadnienia  (2.11)—(2.16)  do  zagadn ien ia  począ t- kowego  dla ukł adu  równań  róż niczkowych  zwyczajnych,  zdyskretyzowan o  wzglę dem zmiennej  Q i  przybliż ono  pochodne  funkcji  wt  i  F  wzglę dem  zmiennej  g  w punktach dyskretyzacji  przez  róż nice  skoń czone  [8]. N iech  n —  przyję ta  liczba  podprzedział ów,  n a  które  dzieli  się   przedział   (Q W ,  1>, b = dla =  - 1 , 0, dw (3.1) d 2 w 0 =  slt F( eu t*)- Y t (t*). Zgodnie z  [6]  przyję to: (3. 2) d 2 w de4 8Q S= 0i Q- B,  2ZJ fc2 1* 4 • i- i  dF '  dQ Ci- i  d 2 l7 + 2xi.1- x e iL2 b 4 - yi+i  - j m  2b fl.ol - 2 -̂ b 2 Wzo ry  t e dają   bł ę dy  r zę du  O(b2). P o  przyję ciu,  że r ó wn a n ia  (2.11) i  (2.12)  są   sp e ł n io n e , jeś li  są   sp e ł n io n e d la  Q = Qi,  Q 2 ,- - - , • • - ,  Qn- i i wyko r zyst a n iu  (3.1) i  (3.2), p o  p r ze kszt a ł c e n ia c h  o t r zym u je  się : (3 . 3 ) =   b Sb*  d 2 STATE C Z N OŚĆ  D YN AM I C Z N A  P ŁYT  P IERŚ C IEN IOWYCH 251 (3.4)  f n yi- 1  +ft2yi+ft 3 yt+1  =  - ~^ gdzie:  a t   =  — e n   =   1- fli,  e l2   =   - y, • Xf- i)G »C!+ i- *r- i)» dla  /  =  1,.2,  ..., »- !, 2  ' ' B I3   =   6+2k 2af, Z agadnienie  został o  wię c  sprowadzon e  do  problem u  rozwią zania  ukł adu  n—l  równań róż niczkowych  zwyczajnych,  nieliniowych  postaci  (3.3).  Sformuł owane wcześ niej  warunki brzegowe  wynikają ce  ze  sposobu  podparcia  pł yty,  pozwalają   okreś lić  wartoś ci  ugię ć n a warstwicach  — 1,  0, n , n +  1: (3.5) gdzie: x 0   = x n   — 0, 1  dla brzegu  wewnę trznego  utwierdzonego, —  h  o"  ^ ' a  ^ r z e 8 u  wewnę trznego  swobodnie podpartego, 1  dla brzegu  zewnę trznego utwierdzonego, v 0 b- 2 2+v„b dla  brzegu  zewnę trznego  swobodnie podpartego. Z  warun ków  obcią ż enia  brzegów  pł yty  (2.15) wynika, ż e: (3.6)  y 0   =   - S lSw pU*,  y„ =   - d 2 pt t t*. Z  warun ku  (2.16)  otrzymuje się : (3.7) =  0 , dt* =  0. Przez  dyskretyzację   wzglę dem  zmiennej  Q, problem  został  sprowadzony  do  rozwią zania nastę pują cego  zagadn ien ia  począ tkowego: (3.8) X(0 ) =   0 ,   X(0 ) =   0 , 252 gdzie: X  = S.  WOJCIECH X 2 (t*) X 2 (t*) B  = £ 2 2 £ 3 1 O o o £ l4 £ 23 £ 32 £ 4i £ 15 £ 24 £ 33 £ 42 0 £ 25 £ 34 £ 43 0 0 £ 35 £ 44 0 0 0 £ 45 0 0 0 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0   0   0   0   0 0  0   0   0   0   0 £ n - 2,l  Ell- 2,2  8n - 2.3  £n- 2,4 0  fiji- l.l  £ n - l,2  V l , 3 R= - y 1 )(2s 2 b  + x 3 x3  -   2x 2  +   xO Skł adowe wektora Y  =   [y^ t  *), ... y n - i(t  *)]T  oblicza  się ze wzoru: (3.9)  Y  =   P - 1 - H, "H"  = / i2  hz  0  . 0  0  0  . 0  O  O  . ..  0 0 0 0 ..  0  / j  f 2  f 3 ..  O O  O  O 0  0  0 0  0  O O / „ _ !, ,  / „ _ l i 2 _ ST AT E C Z N O ŚĆ  D YN AM I C Z N A  P Ł YT  P IERŚ C IEN IOWYCH 253 4.  Wyzn aczen ie  wartoś ci  statyczn ego  obcią ż enia  krytyczn ego  p kr Wartoś ci  p* r   (których  znajom ość  jest  potrzebn a  przy  rozwią zywaniu  zagadnienia po- czą tkowego  (3.8))  wyznacza  się  z równ ań  (2.11)  (2.12)  p o odrzuceniu  czł onu  bezwł adno- ś ciowego i nieliniowego  oraz  przyję ciu  w 0  =  0,  otrzym ują c: (4.1) (4 . 2 ) .2  d3w  _  k 2  d2w p  dp 3   Q 2  dp 2 ~ k2  dw   ̂ 1  [ e 3   dQ  QV dF dw dg .̂+ i -̂ 4>.o.dg2 Rozwią zaniem  zagadn ien ia  tarczowego  danego  równ an iem  (4.2) z  warunkami  brzego- wym i: (4.3)  F\ n- Q V  • —  - &tQvP*i  F\ a- i m —&iP*  jest  funkcja (4.4)  F =  p*(liPkl  + l 2 Q~ kl )>  gdzie  cx =   *  _ t  - ,  c 2 =  - —- — a , : w  . g w - gw ł   Q l ~Qw  ' Wstawiają c  tak wyznaczoną   funkcję   i 7 do  równ an ia  (4.1),  po zastą pieniu  pochodnych przez  róż nice  skoń czone  (podobn ie jak to zrobion o  w  równaniu  (2.11))  otrzymuje się : (4.5) * — dla  i =   1, 2,  . . . . «—1 , gdzie fi,j wyraż ają   się  t ak sam o ja k w (3.3), Xi  =   w(pi), di  =  c^ g R ówn an ia  (4.5)  m oż na  zapisać  w nastę pują cej,  równoważ nej  macierzowej  postaci: (4.6)  B- X =  jp *- M - X, gdzie B jest  macierzą   okreś loną   jak w  (3.8) X =   [x^ , x 2 ,  • • .,  Xi, ...  x„_2i   x tt- i\  > ~m 12   m 13   0  ...  0  0  0  0  0  ... 0  0  0 M  = 0  0  0  ... 0  mn  mi2  mt3  0  ... 0 0 0 .0  0  0  ...  0  0  0  0  0  ..; 0  m„. itl   m„_ u2 (d- ~)— Qi  ' m l2   =   - 2di  • , m i3   = Qi fdla  i -   1, 2,  . . . , r c - l. 254 S.  WOJCIECH U kł ad  (4.6) ma  rozwią zanie  nietrywialne, jeś li: (4.7)  d et ( B- / ł *M)  =   0. Z  równ an ia  (4.7)  bę dą cego  uogólnionym  zagadnieniem  wartoś ci  wł asnych,  m oż na  otrzy- mać  n - 1  wartoś ci  wł asnych  macierzy  B " 1  •   M ,  przy  czym  w  dalszych  obliczeniach  przyj- mowano p* r   równe najmniejszej  z  wartoś ci  wł asnych.  Z rozwią zania  równ an ia  (4.6) moż na bezpoś rednio  otrzymać  wektory  wł asne  odpowiadają ce  poszczególnym  wartoś ciom  p* r , a  ich  skł adowe  okreś lają   ugię cie  pł yty  w  chwili  utraty  statecznoś ci. 5.  Obliczenia,  wyniki Podstawową   trudność  numeryczną   stanowi  rozwią zanie  zagadn ien ia  (3.8).  Z  uwagi, na  bardzo  dużą   liczbę   dział ań  koniecznych  do  wykonania  przy  liczeniu  wartoś ci  wektora R  w  poszczególnych  pun ktach  osi  t*,  do  rozwią zania  zagadn ien ia  zastosowan o  metodę ekstrapolacyjno- interpolacyjną   czwartego  rzę du  Adam sa- Bashfortha,  z  autom atycznym doborem  kroku  cał kowania.  Przyję to,  że  bł ę dy  obcię cia  nie  mogą   co  do  wartoś ci  bez- wzglę dnej  przekroczyć  10"5. D o  rozwią zania  zagadnienia  wartoś ci  wł asnych  (4.7)  wykorzystan o  algorytm  QR,  po uprzednim  sprowadzeniu  macierzy  B ^ M   do  górnej  macierzy  H essenberga. W  celu  wykonania  obliczeń,  n apisan o  program  w  ję zyku  F o rt ran  IV  wykorzystują c w program ie podprogram y  z  grupy  F SC E  biblioteki  Odry  1300.  Obliczenia przeprowadzo- no  n a  E M C OD R A  1305. > Pz H 1 oil t* t * / 7- /S f- 3,090 = 2,400- = 2,200  '  "" - 2, 000  — - - I  1 pl- 29,2 t\ r2,495 s- 100 000 \ 1,0 0,6 0,8 1,0 Rys.  1 ST AT E C Z N O ŚĆ  D YN AM I C Z N A  P Ł YT  P IERŚ C IEN IOWYCH 255 W dalszych  rozważ an iach  przyjmuje  się  za Wolm irem  [1], że pł yta  obcią ż ona  dynamicz- /   d2w nie  traci  statecznoś ć,  gdy  prę dkość  ugię cia  osią ga  pierwsze  m aksim um I - = - J T-   =   0 a  odpowiadają cą   tem u  wartość  obcią ż enia  dział ają cego  n a  brzegu  pł yty  nazywa  krytycz- nym  obcią ż eniem  dyn am iczn ym  i  o zn ac zap* rd .  Stosunek  krytycznych  obcią ż eń:  dynamicz- Pkrd nego  do  statycznego  oznacza  się   t kr   = Ptr N a  rysunku  1 przedstawiono  wpł yw  wiel- koś ci  obcią ż enia  n a  ugię cie  pł yty  izotropowej,  dwustron n ie  swobodnie  podpartej,  obcią - ż onej  n a  obu  brzegach.  Ł atwo  zauważ yć,  że  przy  róż n ych  /  * ugię cie  pł yty jest  maksymalne prawie  zawsze  przy  tej  samej  wartoś ci  Q. P odobn ego  spostrzeż enia  do ko n an o  we  wszystkich  rozważ anych  przypadkach.  Spo- tykan e  przesunię cia  p u n kt u  n ie  przekraczał y  dł ugoś ci  3  podprzedział ów  (3Z>). N a  rysunku  2  i  3  przedstawion o  przebieg  ugię cia  gdy  Q =   0,73  przy  tej  bowiem  war- toś ci ugię cie jest m aksym aln e. N a rysunku  2 przedstawion o  przebieg  ugię cia  na pł aszczyź nie fazowej,  a  n a  rysun ku  3  pokazan o  zależ ność  w 1   =   ^ ( 0 . 7 3 ,  t *). Parametry  pł yty  i  obcią ż enia jak  na rys. 1. Rys.  2 Parametry  pł yty  i obcią ż enia jak  na  rys.  1. t* 2,0  3,0 Rys.  3 4,0 256 S.  WOJCIECH Wykresy  dotyczą   pł yty  przedstawion ej  n a.rysu n ku  1,  Wykres  n a  pł aszczyź n ie  fazowej pozwala  bardzo  wyraź nie  ziden tyfikować  bezwymiarowy  czas  u t rat y  stateczn oś ci. Z  uwagi  n a  bezpoś redn ie  powią zan ie  t  *  z  wartoś cią   obcią ż en ia,  wszystkie  n astę pne rysunki  podają   zależ ność  m aksym aln ego  ugię cia  o d  t  *  w  sposób  przedstawion y  n a  ry- sun ku  3. W  tablicy  1 przedstawion o  wpł yw  n  n a  wartoś ci  p* r ,  t* r   i  w imaK .  Z am ieszczon e tam wyniki  (potwierdził y  to  pozostał e  obliczenia)  wskazują ,  że  wystarczają cą   dokł adn ość wyników  uzyskuje  się   gdy  n  5=   12. Jedn ak  przyję cie  Suż ego  n  powoduje  zn aczn e  zwię kszenie  czasu  obliczeń .  W  przy- p ad ku  pł yty  dwustron n ie  utwierdzonej  opisan ej  w  tablicy  1,  przy  n  =   12  czas  obliczeń wynosił   20  m in ut,  a  przy  n  =   24  wynosił   4.5  godzin y.  W  dalszych  obliczen iach  przyję to n  =  15 ja ko  liczbę   zapewniają cą   otrzym an ie  wystarczają co  d o kł ad n ych  wyn ików. T a b l i c a  1 n 12 15 18 2< 24 27 30 33 36 wg[7j ?w  =  04,l*  'tyj 4, 20 A , 2 3 A, 2 5  * 4, 25 A, 25 Jak  wykazują   wyniki  zam ieszczone  w  tablicy  ł   bł ą d  w  okreś len iu  krytyczn ego  obcią - ż enia  dynamicznego  p* ri   jest  proporcjon aln y  do  bł ę du  w  wyzn aczen iu  krytycznego  ob- cią ż enia  statycznego  p* r   wobec  faktu,  że  t* r   praktyczn ie  n ie  zm ien ia  się   ze  zm ian ą   n  (dla n  >  12). N a  rysun ku  4 przedstawion o, dotyczą ce izotropowej  pł yty  swobodn ie  podpart ej  n a  obu brzegach  i  obcią ż onej  n a  brzegu  wewn ę trzn ym  wykresy  m aksym aln ego  ugię cia  dla  róż- n ych  wartoś ci  bezwymiarowego  prom ien ia  wewn ę trzn ego.  Z ał o ż o n o,  że  wo / ( l  — Qw)  = =   const.  R ysun ek  5  pokazuje  wpryw  współ czyn n ika  o rt o t ro pii  n a  zależ n ość  w^ Q,  t*). Widać,  że  ze  wzrostem  współ czyn n ika  ortotropii  maleje  t* r   i  wartość  ugię ć  pł yty  gdy l *  =   t* r ,  m im o  wyraź nego  wzrostu  wartoś ci  krytyczn ych  obcią ż eń  statyczn ych .  Wpł yw 3 4 « f c ^ r : II  > T" J er  er 7  Mech.  Teoret.  i  Stos.  2/79 '  [257] 258 S.  WO J C I E C H W ,(0,72;f) Pw - ft ^ - 1,365 t - ',0 1 w JV V WQ= w0-W0- 5  W0B; W OB  • 1/ 5  W0B 1/ 10  WOB tl- 1,190 t* kr- 2,495 Mr"  3,020 AL- 3,225 3,0 0,10 D,0Z 0,4 0,6  '  0,8 Rys.  6 1,0 wielkoś ci  wygię cia  wstę pnego  n a  przebieg  ugię cia  przedstawia  rysunek  6.  Ze  wzrostem ugię cia  wstę pnego  maleje  wartość  krytycznego  obcią ż enia  i  wartoś ci  ugię cia  W X {Q,  t* r ). N a  rysunku  7  przedstawiono  wpł yw  stał ej  S  n a  przebieg  ugię cia  pł yty  utwierdzonej wzdł uż  brzegu  zewnę trznego  i  swobodnie  podpartej  n a  brzegu  wewnę trznym,  obcią ż onej gdzie  a —  prę dkość  na-n a  obu  brzegach  jedn akowo.  G dy  S  =  400  S  =   ••   _ \   gDr rastan ia  obcią ż enia  n a  brzegach,  ugię cie  pł yty  stale  roś n ie  m im o,  że  druga  pochodna ugię cia wzglę dem  czasu zmienia zn ak. Wynika  to z  faktu,  że przy  mał ej  prę dkoś ci narasta- n ia  obcią ż enia, przebieg  ugię cia jest  podobn y jak  w  zagadn ien iu  quasistatyczn ym .  Widać, że  ze  wzrostem  prę dkoś ci  n arastan ia  obcią ż enia,  roś n ie  t* r!   a  tym  samym  wartość  kry- tycznych  obcią ż eń dynamicznych. Tej  samej  pł yty  i  ugię cia  wstę pnego,  dotyczy  rysun ek  8,  n a  którym  przedstawiono zależ ność  t* r (]/ s) (wpł yw prę dkoś ci  n arastan ia obcią ż enia). N a  rysunku  9  przedstawion o  wpł yw  sposobu  podparcia  n a  przebieg  ugię cia  pł yty izotropowej,  obcią ż onej  n a  brzegu  wewnę trznym  przy  zał oż en iu, że  we  wszystkich  przy- padkach  podparcia, ugię cie  wstę pne  m a  tę   samą   wartość  m aksym aln ą   równą   0.024  grî -  : boś ci pł yty. 0,8  1,0  ,1,2  1,4  1,6  1,8  2,0  2,2  2,4 0,6 0,8 Rys.  7 1,0 Ugię cie  wstę pne jak  na rys. 7. [   I  L  L I I 100 200  .  500 500  600 Rys.  8 [259] l i t T ,- ISfc  «§• &  . - 1 5: •   '  «  L  »  'L «S13t  «5- lś"  "S- ISS tef N " cs- a § IS 1 Is" no * h I3S II l£" i rfi IS" [260] STATECZNOŚĆ  DYNAMICZNA  PŁYT  PIERŚ CIENIOWYCH   261 Z ależ ność  przebiegu  ugię cia  od  sposobu  obcią ż enia  pł yty,  przedstawiono  n a  wykre- sach  rysun ku  10.  W  przedstawion ym  tam  przypadku  obcią ż enia  sił ami  dział ają cymi  n a brzegu  zewnę trznym  pł yta  traci  stateczność przy  niesymetrycznej  postaci  ugię cia,  jedn ak z  uwagi  n a  istnienie  osiowosymetrycznego  ugię cia  wstę pnego  i  dla  peł noś ci  wyników, zamieszczono  n a  rysun ku  uzyskane  w  tym  przypadku  wyniki. 6.  Wnioski P odstawową   zaletą   przedstawionego  rozwią zania  zagadnienia  jest  n ie  n akł adan ie ż adn ych  ograniczeń n a  rozwią zan ie.  P o n ad t o ł atwo sprowadzić  zagadnienie  do problem u (3.8) dają cego  się   efektywnie  rozwią zać num erycznie. Bezpoś redni  wpł yw  n a  czas  obliczeń,  oprócz liczby  n  m a  wartość  stał ej  S.  Czas  obli- czeń  maleje  ze  wzrostem  S. Z rysun ku  8 wvnika,  że zależ ność t* t  f/ Sjest  prawie liniowa. P rzedstawione  rozwią zanie może  być  ł atwo przen iesion e  n a  przypadek  pł yt  obcią ż onych sił ami promieniowymi zmie- niają cymi  się   nieliniowo  w  czasie.  M oż na uzyskać  wyniki  okreś lają ce  naprę ż enia w pł ycie, wedł ug wzoru  (3.9). Z aletą   przedstawionego  rozwią zan ia  jest  fakt,  że  w  czasie  opracowywania  algorytmu obliczeń,  nie  trzeba  zn ać  kształ tu i  wartoś ci  ugię cia  wstę pnego. D użą   dokł adn ość wyników  uzyskiwana  przy  n  >  12  pozwala  przypuszczać, że  przed- stawiona  m etoda  m oże  być  stosowan a  do  rozwią zania  szeregu  podobnych  zagadnień dynam icznych. Dzię kuję  pracownikom  Oś rodka Obliczeniowego przy  Bielskiej Fabryce  Maszyn  W ł ókien- niczych  „BEFAMA"  za pomoc  w realizacji obliczeń na  maszynie cyfrowej. 4 Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  A. S. WOLM IR,  N ieliniejnajct dinamika pł astinok  i oboloczek,  Moskwa  (1972), 2.  A. S.  STRZELCZYK,  S.  WOJCIECH ,  N umeryczne rozwią zanie  zagadnienia  statecznoś ci  ortotropowych  pł yt pierś cieniowych,  M echanika  Teoretyczna  i  Stosowana  1,  15  (1977), 3.  M .  KŁOSOWICZ,  Statecznoś ć  dynamiczna pł yty  koł owej, Z . N .  Politechniki  Łódzkiej,  Mechanika z.  45  (1976), 4.  M . TROMBSKI,  S.  WOJCIECH ,  Statecznoś ć  dynamiczna pł yty  pierś cieniowej pod dział aniem  obcią ż eń pro- mieniowych równomiernie rozł oż onych,  Z . N . Politechniki  Łódzkiej,  Mechanika, z. 51 (1978), 5.  M .  TROMBSKI, J.  LEYKO,  Zagadnienia duż ych ugię ć wiotkich pł yt  pierś cieniowych z wygię ciem  wstę pnym, Z .N .  Politechniki  Łódzkiej,  M echanika,  z.  33  (1973), 6.  G . N .  POŁOŻ Y,  Metody przybliż onych obliczeń ,  WN T,  Warszawa  (1974), 7.  G . K. RAMAIAM, K.  VIJAYAKUMAR,  Buckling of popular orthotropic  annular plates under uniform  internal pressure, AIAA  Jurnal  12, 8  (1974), 8.  J. LEG RAS,  Praktyczne  metody  analizy  numerycznej,  WN T  Warszawa  (1974). 2 6 2  '  •   • • • ;• • • • • ••   S .  W O J C I E C H P  e  3  IO  M e qHCJIEHHOE  PEUIEHHE 3AJi;A^H   flH H AM H H ECKOfł   yCTOfiMH BOCTH KOJIŁD;EBOH:  I I JI AC TH H KM '  B paSore  npeflcraBJieH o  nojiyqem- roe  MOT OROM  KOHetlHWS pa3H ocreł ł   p e u ie im e  3a# airsr  ycroiimtaocT a KojibDieBbix  iuiacMHOK flH H aivuM ecKH  H arp yweaH t ix. PemeH U e  nonyveH O  nptf  npe^nojio>i