Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z2.pdf M EC H AN IKA TE OR E TYC Z N A I  STOSOWAN A 2,  17  (1979) ANALIZA  PASMA  PŁYTOWEGO JAKO  CIAŁA  Z WIĘ ZAMI M AR I A  M A R K S  (WARSZ AWA) Wstę p Ogólne  sform uł owanie  m echan iki  oś rodka  cią gł ego  z  wię zami  został o  przedstawione przez  WO Ź N I AKA  w  pracach  [1],  [3—7].  W  oparciu  o  powyż sze  prace  sformuł owano  za- gadnienie  pł yt  sprę ż ystych,  traktują c  jako  wię zy  ograniczenia  narzucone  n a  funkcję   de- formacji.  Przyjmują c  funkcję   przemieszczeń  w  p o st aci. szeregu  potę gowego  zmiennej pionowej,  wyprowadzon o  podstawowy  ukł ad  równ ań .  Z agadnienie  pasma  pł ytowego rozwią zano  przy  trzech  szczególnych  postaciach  funkcji  przemieszczeń.  W  dwóch  przy- padkach  otrzym an o  sił y  reakcyjne  niezerowe,  n atom iast  w  trzecim  przypadku,  sił y  re- akcyjne  równe  zeru.  Jest  to  zatem  rozwią zanie  zgodne  z  rozwią zaniem  klasycznej  mecha- niki con tin uum . R óż nice  mię dzy  skł adowym i  n aprę ż eń  i  przemieszczeń  wyznaczonymi  z  rozwią zania m echaniki  con tin uum z  wię zami  i  klasycznej  m echaniki  con tin uum nazwane  są   umownie „ bł ę d am i".  W  pracy  [2]wskazan o  n a  zależ ność  mię dzy  wielkoś ciami  ś rednich „ bł ę dów" a  sił ami reakcyjnymi  i  wprowadzon o  kryterium  oceny  „ d o kł ad n o ś ci" rozwią zań  n a  pod- stawie  wielkoś ci  tych  sil.  Rozwią zane  w  niniejszym  opracowaniu  przypadki  stanowią ilustrację   powyż szych  zależ noś ci. 1.  Sform uł owanie  zagadn ien ia Rozważ my  pł ytę   prostoką tną   sprę ż ystą   jako  ciał o  z  wię zami,  z  narzuconymi  ograni- ? czeniami  n a  funkcję   deformacji.  P ł yta  zajmuje  obszar  Q,  który  m oż na przedstawić  w po- staci  Q  =' Fx7i,  gdzie  n  jest  powierzchnią   ś rodkową,  a  F  odcinkiem  I -   - »-, - r-l  (rys.  1). \   /   /  / Rys.  1 278  M.  M ARKS Przyję to  funkcję  przemieszczeń  w  nastę pują cej  postaci (1.1)  u{x K ,  x 3 1)  =   J £  ę (a) (x K ,  0  (x 3 f, a = 0 przy  czym 

C ai)  =  0 wtedy  równ an ia  ruch u  (1.2) i warun ki  brze- gowe przy  a =  a x znikają.  P o  okreś leniu  poszukiwanych  funkcji    Pzt  P3 —  stał e dodatn ie cr0 —  m aksym aln e  wytę ż enie  pł yty. Znają c  wielkoś ci y a  m oż na n a  podstawie  zależ noś ci ocenić  ś rednie  bł ę dy  skł adowych  naprę ż enia  i  przemieszczenia  uzyskane  z  rozwią zania wg  teorii z  wię zami.  Z ależ n ość  (1.12)  wyznaczamy  n a  podstawie  przykł adów  rozwią za- nych przy  zał oż en iu róż n ych  typów  wię zów i rozwią zań  ś cisł ych. P orówn an ie  n atom iast  wielkoś ci  a a  i y a ,  które  charakteryzują   ś rednie  i  maksymalne wartoś ci  poziom ych i pion owych  skł adowych  sił  reakcyjnych,  pozwala  na  ocenę   najwię k- szych  bł ę dów skł adowych  stan u  n aprę ż en ia i  przemieszczenia. 2.  Rozwią zanie  pasma  pł ytowego  przy  /  =   1 Przyję to  funkcję   przemieszczeń  odpowiadają ca  uogólnionej  teorii  Reissnera  tzn . w  nastę pują cej  postaci W  tym  przypadku  skł adowe  ten sora  n aprę ż en ia wyraż ają   się   nastę pują cymi  zależ noś ciami vE • ( 1; E E =  0 . 282  M .  M ARKS Warunki  równowagi  (1.2) przy  /  =   1 sprowadzają   się   do  nastę pują cego  ukł adu równań ddj_  d 2 f 3   2(l+v)p (2 . 2 ) 6(1 - 2v)  tef df3 = l  8 * (1- y)  y  ayx  (l+ v) p  _ f t 3   \ 2  8  2E24  3xf  ( l- 2v)   3   \ ~2v  8xi  2E Są   to  dwa  ukł ady  równań  zawierają ce  po  dwie  niewiadome.  Z  ukł adu  równań  (2.2)2 i  (2.2)3 wyznaczono niewiadome funkcje  dl}  ip3, które mają   nastę pują cą   postać (l- v)Eh 3 ' 2(l+ v) y3  =   - N atomiast z równań  (2.2)i  i  (2.2)4 wyznaczono pozostał e  funkcje gdzie Przemieszczenie  Ui  musi  być  antysymetryczne  wzglę dem  xi  przy  każ dym  x3  e  I — —, h\ — antysymetrii, jeś li h\ — I  co jest równoważ ne z antysymetrią   funkcji  yx  i cfx.  Funkcje ipi i rfi speł niają  warunek A 2   =   A 3 ,A 4   = 0,C t   =  C 3   = 0 N a  powierzchni  xt  =  a  o  normalnej  n =   (1,0,0)  oraz  na  powierzchni  xt  =   - a  o  n = =>  (— 1,0,  0) powinny  być speł nione warunki  brzegowe  (1.3) przy  /  =   1, gdzie  p m   okres'- lone jest zależ noś cią  (1.6). Warunki  brzegowe  (1.3)  przy  /  =   1  po  uwzglę dnieniu  antysymetrii  funkcji  ^ I  i  d t sprowadzają   się  do nastę pują cych  zależ noś ci = 0 , =  pa, P ASM O  P Ł YTOWE  JAKO  C I AŁ O  Z  W/ Ę Z AMI  283 (l- 'v)Eh 3   dci: dd >  •   =   o . D rugi  warun ek  brzegowy  speł niony jest  toż sam oś ciowo,  a  z  pozostał ych wynikają  nastę- pują ce  relacje : A,  =   0, 2   (l~v)Eh 3 A 2   =   0, Stał ą  CĄ wyznaczamy  z warun ku, aby  u 3   =   0 przy  x t  — ai  xz  =  0. Jest ona równa P o  uwzglę dnieniu  wyznaczonych  starych,  wyraż enia  n a  m om en t zginają cy  oraz  po  wpro- wadzeniu  współ rzę dn ych  bezwym n ia  (2.1) mają  nastę pują cą  postać wadzeniu  współ rzę dn ych  bezwymiarowych  $ t   — - i,  | 3  =   - £-  skł adowe  przemieszcze- a,  h «3 -   o, skł adowe  stan u n aprę ż en ia  są  nastę pują ce (2.3) =   <723   =   0 . 284  M ;  M ARKS * Znają c  skł adowe n aprę ż en ia m oż na  okreś lić  ze  zwią zku  (1.4)!  sił y  reakcyjne  obję toś ciowe ! l ~  h (2.4)  r 2   -   0, ze zwią zku  (1.4) 2, po  uwzglę dnieniu  (1.6), sił y  reakcyjne  powierzchn iowe: przy  f!  =   1 (2.5)  przy  &  =   - 1  . a  ze  zwią zku  (1.4)3  po  uwzglę dnieniu  (1.5)  sił y  reakcyjne  powierzchn iowe: b   1 przy  h- j a   t (2.6) a N a  podstawie  wzoru  (1.11)  obliczono / i  =   AsupKU -   sup  k u - —  sup  | j x |  =   7p?-   + 0,2p— xeQ  xeitXdF  O-  xeFxdn  U  a / 2 - A s u p | r3 | +   sup  |J 3 |  +  —  sup  \ ss\ xe!)  xenXdF  O   x eFx8n P ASM O  P Ł YTOWE  JAKO  C I AŁ O  Z  WI Ę Z AMI 285 gdy 1- V p r z y a przy  - j- + I T gdy # < 0 h \ Q\ a  ,  13 f  \ s 3 \ dn+ gdy 18 1—v  p — —  +  i -   >  0 2v przy przy  0  < — lv  p gdzie 2v   + p J \ a f  ' 286 gdy M.  M ARKS 1 — v gl  = 18 •   +   • Jako  wytę ż enie  a 0   przyję to  m aksym alne  naprę ż enie a tl   czyli  a lx   przy  £ j  =   0  i  f3  =   - Wó wc z a s CT,   =   — gdy > 0 - 5 2 P U IP- a)  3v r  3v  3 • *(4f '  p r z y 7 7 ^ - »  ,  2p gdy p + 2  W 2  + 13  h\ 2\ h 200 \ aI  \ a Zp- p Jh 2  > gdy 1  —V  O - = —+ —  > o PASMO  PŁ YTOWE  JAKO  CIAŁ O  Z  WIĘ ZAMI 287 - 3 gdy 3p- pJh ,   \ 2   -   r  /   ,   \ 2 1 1  0  ~l  I 1— v  5 _ _ _ +  £. < o 18 przy  0  < —0< A<   /   3a  1/  1Z1 V  2v i' 3 i—«* 0.0753  - 0M23  - QMS TfiOOOO! 0,00004 0,00007. 170,5  142,5  95,S  30,0 - IJSS  - "his  - 35,55  - 23,85  - 7,55 0,00009  Y°' 05   IT 0 ' 01   IT 0 - 05   \ ~ 0 - 0S - 0,05  —  =  E  E 0,0751  0,1024  0,1W   44,75  42,45  35.45  23,75  7,45  4,46  4,23  3,53  2,36  0,73 r':G / cm '] '  - 42,75  - 35,75  - 24,05  - 7,75 - 0,25 44.BŚ  42,25  35,25  23,55  %25 ),  5  2,50  3,75  5,00 Rys.  3 S3 (x,- 4kS/ cm>] 5,0 • 5,62 - 2,5 - 0,10 288  .  • • • • • ;.  M .  M A R K S  v . r  • •• Przykład  liczbowy.  Przyjmują c  dane  a  =   200  cm,  h  =   20  cm,, p  m  0,5  kG / cm 2,  M  = =   2000  kG cm/ cm  (p  =  - 30  kG / cm 2) ,  E  =   200 000  kG / cm 2,  v  =   0,2  otrzym ano  na- stę pują ce  wielkoś ci  d a iy x   •   i «!  =   0,1945  y L   m  0,0556 ,  <52 =   0,7453  y2  =   0,5382 N a  rys.  3  pokazano  wykresy  przemieszczeń,  naprę ż eń  i  sił   reakcyjnych  w  przekrojach l i  równych  0,  j . y , - ^ - ,  1. 3.  Rozwią zanie  pasma  pł ytowego  przy  1 =  2 Przyję to  funkcję   przemieszczeń  wedł ug  (1.1)  przry  /  =   2  tzn .  w  nastę pują cej  postaci ii  =   0  m  — 1,  3 skł adowe  stanu  naprę ż enia  wyraż one  są   nastę pują cymi  zwią zkami E 3 3 (\ +v)(i- 2v) Oli  =  ^23  =   0. Wa r u n ki  r ó wn o wa gi  (1.2) p rzy  1=2  sp r o wa d za ją   się  d o n a st ę p u ją c e go  u k ł a d u  r ó wn a ń ,  flVa\   ,  /ł   Ph  2(l+v)p +   dxj  12  3x\   Eh  '•   dXl\ l+   dxj  12  3x\   Eh P ASM O  P Ł YTOWE  JAKO  C I AŁ O  Z  WI Ę Z AMI  289 który  m oż na  rozseparować  n a  dwa  ukł ady  niezależ ne.  W  wyniku  przekształ ceń  równań (3.2) 2,  (3.2) 3 i (3.2) 6  wyzn aczon o  funkcje  y>3, dt,  k 3  w nastę pują cej  postaci *- »*>•   ^ l + ' L .   ] ? ,   v   ,  yA   »  (l~v2)(10+v)p 2H   —v2 v{l+v){\ O+v)p IQEh ( l- i>2 ) ( 1 0 + i' ) p / z  v( l + ») —  240 £"  2£/ i gdzie 120 K  ( 1 - ^ ) / J2 - N atom iast  p o  przekształ cen iu  równ ań  ( 3.2) x,  ( 3.2) 4,  (3.2)5  wyznaczono  funkcje  fu 3 ,  k t  w nastę pują cej  postaci d 3   =   \ * ł - 2 C2 e - a ' ^U L)j- 2Q 1  vfl+v)  ( I- ' '2 ) ? )  ^ " " ̂ j£—' (3.4) 9  Mech.  Teoret.  i  Stos. 2/ 79 290  M.  M ARKS J (a i sinb 1 x 1   + b l cosb l x i )\   -  — cos^x, J (— -   - ^ ~\ (a 1 s'mb 1 x i - b 1 cosb 1 x 1 )\ -   - j^ siabtxA 1— v2  v(l+v)p gdzie 24 a = 30(1- 2 )̂ ;  .  y  "  (l- v)h2  " F unkcja  MX okreś lona  wzorem  (3.1) musi  speł niać nastę pują cy  warunek /A,  A  «i( ^i  =   - £ i)  -   - w i fe  =  X!) «> Vi( ^ i  =  - x,)  = *»• ( "  2 ' a )  =   —ipxiXi  =  x,)  A di(x!  =   - xj  =   rfj(xi  =   Xi)  A A:x(xj  - =   — Xi)  =   — ^ i ( X 1  =   Xi) stąd wynikają  relacje: At  =  X>3 =  0,  £»!  =  £ > 2, Ci  = —C 2   C 3   =  C 4 ,  5 2 =   0 N a  powierzchni  jq  =  d o  normalnej  n =  ( 1, 0, 0)  i  n a powierzchni  x t   =  — et o  n  = =   ( —1, 0, 0)  powinny  być  speł nione  warunki  brzegowe  zgodnie z (1.6) i (1.3) przy  1 = 2. Po  wykorzystaniu  antysymetrii  funkcji  y> u   d x ,k x   i  symetrii  funkcji  if> 3 ,d 3 ,k 3   warunki brzegowe  sprowadzają  się  do nastę pują cego  ukł adu  zależ noś ci .   o, —  \   = 12  d Xl U x ^ a) ~  Eh PASMO  PŁ YTOWE  JAKO  CIAŁ O  Z WIĘ ZAMI 291 (3.5) [cd.] L, dd31 20 . o , I 1 20 Warun ek  (3.5) 2  speł niony jest  toż sam oś ciowo.  N atom iast warunki  (3.5)4  i  (3.5)5  tworzą ukł ad dwóch jedn orodn ych równ ań o wyznaczniku  róż n ym od zera, zatem C 1   =  C 3   =   0. Z  pozostał ych warun ków  wynikają  nastę pują ce  relacje: D  m   3(2- v)(l+v)pa P o  uwzglę dnieniu  zależ noś ci  (3.3)  i  (3.4)  z  wyznaczonymi  stał ymi  oraz  wprowadzeniu współ rzę dnych  bezwym iarowych,  skł adowe przemieszczenia  (3.1) mają  nastę pują cą  postać v(2—v)p 2 ł OsinA W 2 = 0 , 2 151 40sinA  &• £- 2 sin h ió _qo+ v)(l- v) 20 292  M.  M ARKS gdzie Skł adowe  stanu  naprę ż enia  są  nastę pują ce ff,,  =   V £ 2 3(2  - v) 15 (3.6) ^ 3 3 p 2  P 2- v 4  i 3(2- v) l- v i  \ hi) (l- v)  a  '  '  V 15  h  I sin/ il 4+v  a   t 4  h b l '  i ,  i i A 10+ v 10 U(A sin/ ,(# +  3] 0+ i^ 10  P fc. t2 S3 " 1 2 =   ff23  = 0 . Znając  skł adowe  naprę ż enia  m oż na  okreś lić  ze  zwią zku  (1.4) 1  siry  reakcyjne  obję toś ciowe 6(2 - v)  a n  jr- Pj (3.7)  r 2  -   0, 4 ( 2   V) sinA ą \ \ 2 0 P ASM O  P Ł YTOWE  JAKO  C I AŁ O  Z  WI Ę Z AMI 293 ze zwią zku  (1.4) 2  po  uwzglę dnieniu  (1.6)  sił y  reakcyjne  powierzchniowe przy  i t   =   1 s 3   =   0 przy li = - 3 (3 . 8 ) s 3   =   0; a  ze  zwią zku  (1.4) 3  p o  uwzglę dnieniu  (1.5)  sił y  reakcyjne  powierzchniowe (3.9) przy  f 3  = s t  =   - • s 3   =   - 2 2- v  a 3 ( 2 -2- v)  / 2(l- y)  a 1- y  |/   15  h przy  i  a  =   - - v  a 3(2 15  /* To 10 Jeż eli  zał oż ymy,  że  n a  pasm o  pł ytowe  nie  dział a  obcią ż enie  pionowe  />,  a  jedynie  n a  po- wierzchni  ii  =  ±\   sił a  i przy  fi = 1, - 2 p | 3   przy  li = - 1, wtedy  wszystkie  sił y  reakcyjne  obję toś ciowe  i  powierzchniowe  są   równe zero, a  otrzymane rozwią zanie jest  rozwią zaniem  ś cisł ym w  sensie  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci. 294 M .  M ARKS N a podstawie / i  =   Asup|r x xea wzoru  ( 1. | +   sup xenxSF U ) 1*1 obliczon o. h H —  sup \ s x  1  = 0  xeFxdn 7  ^ 2 ^ A f,   '"( a JA" 1 +  0,2- / 2 = Asu p |r 3 | +   sup  \ s3\  + —  sup | xefl  xenxdF  "  xeFxBit 1 1 (2- v) f  11x1*+   /  W fl  2- v  / 2fl- ^ '  'h  2  \   15 a/:/,- 200 a *» Jako  wytę ż enie ff0 przyję to  m aksym alne n aprę ż en ie or t l  czyli  o r l l  przy  f  t  =  0 i £ 3 =   - • =- Wówczas i n  I 1 - lJ  1 ( /f  \—Cl I 13(2 ;  J/   2( 1- *)̂   o"  /   a sinAl^! — 5  3o- i , 20 PASMO  PŁ YTOWE  JAKO  CIAŁ O  Z  WIĘ ZAMI 295 {2- v)p~ (2- » * 2  3/ 7- 3 — + 200  3 p - » — Przyjmując  dane  a  =  200  cm,  /t =   20  cm,  p  =  0,5  kG / cm2,  M =   - 2000  kGcm/ cm I v  -   - 30—- vi,  £ = 2 0 0 0 0 0  kG / cm 2,  r =   0,2  otrzymano  nastę pują ce  wielkos'ci  d aY  cm2/ d x   =  0,1668  y v   =  0,049Ź a 3  =   0,3984  y2  -   0,0013 Na  rys.  4  pokazano  wykresy  przemieszczeń,  naprę ż eń  i  sił   reakcyjnych  w  przekrojach 1  1  3 fi  równych  0, j , y ,  j ,  1. - raco  - ffgs  - ?«.5  - wiś  - jag i*   '  *   'I  - "* 0,O# 5  0,0307  0,(053  0,1253  35,87  34,00  28,40  19.0B  4,88 - 0.68  - ).O)  0 f JO,0  0  0,34  0,68  .  7,0? 0  0 - 0,83 i-   i  j  r 3,31 - 0,10 2 9 6  M .  M A R K S 4 .  R o z w i ą z a n ie  p a s m a  p ł y t o w e g o  p r z y  1 = 4 Przyję to,  że  n a  pasm o  pł ytowe  dział a  obcią ż enie  (1.5)  i  (1.6)  a  poszukiwan e  przemiesz- czenia  mają   nastę pują cą   postać (4.1)  u  2   =   0, u 3   = Z godnie  z  przyję tymi  przemieszczeniami  skł adowe  ten sora  n aprę ż en ia  wyraż ają   się   na- stę pują cymi  zależ noś ciami a u   = vE a 1 2  =   ff23  =   0 R ówn an ia  równowagi  (1.2)  sprowadzają   się   do  n astę pują cego  u kł ad u  równ ań A2  8  I  8l 3   \   h*  d*m 3   2(l+v)p  __ h 2   8 2 d t   h 2   'dl 3  M  Jt 4   8 2 k!  . h*  3m 3 ( 4   v*  ''  12  dx\   " 6  ^  '  v  '  80  3x?  '  20 h 2   d 2 d x   h 2   dl 3   '  ,  h4  d2k 1   h 4   dm 3 10  8 Xl   + ( "  -1  112  dx\   28  5 ^ P ASM O  P Ł YT O WE  JAKO  CIAŁO  Z  WI Ę Z AMI 297 [cd.] 20 28 144 R ówn an ia  (4.2)  m oż na  rozseparować  n a  dwa  niezależ ne  ukł ady.  Pierwszy  obejmuje równ an ia  (4.2)i  i  (4.2)4  zawierają ce  niewiadome  f l ,  d 3 .  Jest  on  identyczny  jak  ukł ad równań  (2.2)x  i  ( 2.2) 4.  D rugi  u kł ad  stanowią   pozostał e  równ an ia  (4.2) zawierają ce  nie- wiadome funkcje  d lt   k i} f Ss l 3 ,  m 3 . Ogólne  rozwią zanie  u kł ad u  równ ań  (4.2),  po  uwzglę dnieniu  antysymetrii  skł adowej przemieszczenia  u u   otrzym an o w nastę pują cej  postaci: 140(1 ~2v) xa 35(1- 2 )̂ 4 -  W 35(1 1  +   ^ 2 ) 2(2- v){l+v)p Eh 3 298  M .  M ARKS (4- 3)  _h>r[v(l- v)h>  vW   x  A*[  ( 1 - v)2 [c.d.]  ^ 3  ~  T o L l  140(1- 2*)  +   35(1- 2*)  a,  12 [280( 1- 2 rr  Hi- 2) U   14 0 ( l- +   3 5 ( 1 2 v)  2 a  _  ( 2r)  +   35(1- 2v)  2  i 2  +  *2  1 2 \ 2 8 0 ( 1 - l  +   L  140(1- 2»0  (^ 2 +  32)  35(1 - I v)  '  ^ 2 + 6 2  +   12 • f .  .  /   L 2  Jł   i  J 2  Si  i  ^  L  /   ^  *\   i  O  JS X  \  — U  0%  ~T (*  @2  i  A,DCtOi)  ~j~  JÓ PASM O  PŁ YTOWE  JAKO  CIAŁ O  Z  WIĘ ZAMI  299 N a - syci+ v)/ >  >  3(5- 3y)(l+ y)j? £ / i3  **  3QJ& (e ix ^  + e- ' lx ')  ó 2 oosbx l gdzie A*   2 4 2(1  2 )240(1  - 2v)  2(1  - 2v) 240(1—2)*)  2(1— 2v) X  = natom iast  a,  —a, d+tb,  —(d+ib),  d—ib,  —{d—ib)  są  pierwiastkami  równania 840  1680(41- 46-) 4233600 Warunki  (1.3)  i  (1.6)  n a  powierzchniach  x(  =   a  o  normalnej  n =   (1, 0, 0)  i  Xj  =   — a' o  n  =   (— 1, 0, 0) są  równoważ ne  nastę pują cym  zależ noś ciom - o, 300  r  M .  MARKS _(l+v)O- 2v)l\ 2M  4p x7   "2o~\   *   a *   / 12  a*  k B ) \   6(l+v)pa T44  dx,  \ (Xl=n)   lEh  • Warunek  (4.4)2 jest  speł niony toż samoś ciowo.  Z warun ków  ( 4.4) , ,  (4.4) 3 i  (4.4) 4  wynikają nastę pują ce  relacje Ex  =  0, A 2   -   M-   Pa2 Z  ' E 2   = 0, N atomiast  zależ noś ci  ( 4.4) 5,  (4.4) 6  i  ( 4. 4) T  tworzą   ukł ad  trzech  równ ań  jednorodnych, których  wyznacznik  przy  realnych  stał ych  m ateriał owych i  wym iarach  jest  róż ny  od zera, zatem  Ci =  M t   = M z   =  0. Po  uwzglę dnieniu  wyznaczonych  stał ych  i  wprowadzeniu  współ izę dnych  bezwymiaro- wych,  skł adowe przemieszczenia  mają   nastę pują cą   p o st ać: u 2   =  0, 3(5- 20 Skł adowe  stanu  naprę ż enia  wyraż ają   się  nastę pują cymi  wzoram i "33  =   - if- jP a i2   =  a 23   m  0. P ASM O  P Ł YTOWE  JAKO  C I AŁ O  Z   WI Ę Z AMI 301 ' o "'  0,0427  - 0,0808  - 0,1098  - 0,1253 O  0,0427  0,0803  0,1098  0,1253 ą ,  [kG/ cm 2 ] - 181,7  _- >72,3  - 144,2  - 97,3  - 31,7 181,7  172,3  „   H4,2  913 - 1199  \ j- 1lO5  U- 14,23  ti- 9,55 L 35,85  33,97  28,35  18,57  5,85 klG/ 2 ] - 0,42 ±25   IM.25  li- 0.25  14- 0,25 R ys.  5 Sił y  reakcyjne  obję toś ciowe  (1.4)x  i powierzchniowe  (1.4) 2 i (1.4)3 są  równe  zero, a  zatem uzyskan o  ś cisłe  rozwią zanie  pasm a  pł ytowego  w sensie  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci. N a  rys. 5 pokazan o  wykresy  przemieszczeń  i  naprę ż eń  w  przekrojach  fx  równych: 0,  - j,  - =-,  - j>   *> przyjmują c  identyczne  dan e jak w przykł adach  liczbowych  w  rozdzia- ł ach 2 i  3.  ,  . 5.  Wn ioski D ysponują c  rozwią zan iem  pasm a  pł ytowego  w  zał oż eniach klasycznej  teorii  sprę ż y- stoś ci  i rozwią zaniami  uzyskan ym i  wg teorii z wię zami  m oż na  okreś lić  zależ noś ci  mię dzy 7a. i  4< (1.10) a ś redn imi i m aksym aln ym i  bł ę dami w skł adowych  naprę ż enia i  przemiesz- czenia  rjij, @i  (1.8)  oraz  wielkoś ciami  My, g( (1.9)  [2]. W  przypadku,  gdy funkcja  przemieszczeń  przyję ta  jest  w postaci  w( =  q>i + diX3  wiel- koś ci  y a  i d a  są  nastę pują ce • y x  =  0,0556  ój. =  0,1945 y 2   =  0,5362  <52 =   0,7453 302 M.  M ARKS Wielkoś ciom  tym  odpowiadają   nastę pują ce  odchylenia  zestawione  w  tablicy  5.1. Tablica 5.1. <*22 °33 tfia «3 0,0002 0,2456 64,08 0,3849 0,0615 0,0620 Xu, Qt 0,0015 0,6841 178,20 2,00 0,2086 0,0976 W  przypadku,  gdy  funkcja  przemieszczeń  przyję ta  jest  w  postaci  Mj =   y> t   4-  d t  x 3 +k t   x\ wielkoś ci  y a   i  d a   są   nastę pują ce y x   =   0,0492,  d l   -   0,1694 y 2   -   0,0013,  d 2   =   0,3710. Wielkoś ciom  tym  odpowiadają   nastę pują ce  bł ę dy  zestawione  w  tablicy  5.2. Tablica  5.2. Oli °22 O 3 3 rf 13 «1 «3 0,0002 0,0077 2,1076 0,3409 0,0011 0,0009 0,0015 0,0822 22,04 2,6960 0,0163 0,0020 Z  powyż szych  zestawień  wynika,  że  za  pom ocą   uogóln ion ej  teorii  Reissnera  (1 =   1) moż na  wyznaczyć  przemieszczenia  oraz  n aprę ż en ia  n orm aln e  < ru  i    n atom iast  nie może  ona  sł uż yć  do  wyznaczania  naprę ż eń  a 33 .  N aprę ż en ia  styczne  wyznaczone  n a  pod- stawie  tej  teorii  są   stał e  n a  cał ej  wysokoś ci  pł yty, podczas  gdy  wg  rozwią zan ia  klasycznej teorii  sprę ż ystoś ci  zmieniają   się   parabolicznie  wzdł uż  jej  wysokoś ci.  Ś rednie  naprę ż enia w  obu  rozwią zaniach  są   jedn akowe  a  najwię ksze  róż n ice wystę pują   n a  krawę dziach  pł yty. N ie  ma  to jedn ak  istotnego  znaczenia  ze  wzglę du  n a  n iezn aczn e  Wartoś ci  tych  naprę ż eń wobec  naprę ż eń n orm aln ych. Wielkoś ci  yx  i  d1  maleją   do zera  gdy  stosunek  wysokoś ci  pł yty  do jej  szerokoś ci  dą ży do  zera.  N atom iast  wielkoś ci  y 2   i  <52 dą żą   wówczas  do  gran icy  róż nej  od  zera.  Wynika stą d,  że uogólniona  teoria  Reissnera  n ie jest  ś cisła  nawet  dla  pł yt  bardzo  cienkich. Rozwią zanie  przy  /  =   2  jest  znacznie  dokł adniejsze  n iż  przy  /  =   1.  Przemieszczenia oraz  naprę ż enia  n orm aln e  wyznaczone  są   w  pł ycie  w  sposób  prawie  dokł adn y. Jedynie  n a  powierzchniach  brzegowych  x t  =   ±a   n aprę ż en ia  a33  znacznie  róż nią   się od  wyznaczonych  wg  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci.  N aprę ż en ia  styczne  a 13   zachowują się   podobn ie jak  w  rozwią zaniach  przy  /  =   1. N atom iast  wszystkie  wielkoś ci  y a   i  d a   dą żą   do  zera  gdy  stosun ek  wysokoś ci  do  jej szerokoś ci  maleje  do  zera. PASMO  PŁYTOWE  JAKO  CIAŁO  Z   WIĘ ZAMI  303 Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  W.  G U TKOWSKI, W.  N OWAC KI ,  Cz.  WOŹ N IAK, Dź wigary powierzchniowe,  Ossolineum  1975. 2.  M.  M ARKS,  Pł yty  w  uję ciu mechaniki  ciał   z  wię zami (w  druku). 3.  Cz. WOŻ N IAK, N onlinear mechanics of the constrainedand' discreatizedmaterial contimia,  wykł ady  w U dine 1973. 4.  Cz.  WOŹ N IAK,  Constrained  Continuous  Media,  P art  I ,  I I , I I I , Bull.  Acad.  Polon.  Sci,  sci.  techn., N o '  3, 4—1973. 5.  Cz.  WOŹ N IAK,  N onlinear  mechanics  of  constrained material continua I.  F oundations of  the  theory,  Ar- chives  of  M echanics,  26,  1 —  1974. 6.  Cz.  WOŹ N IAK,  Elastics  bodies, with  constrains  imposed on  deformations  stresses and  momenta,  Bull. Acad.  Polon.  Sci.,  sci.  techn.  22,  1974. 7.  Cz. WOŹ N IAK, Analitical mechanics of elastic media, wykł ady  w U dine,  1975. P  e 3  IO  M e AH AJI H 3  n O J I O C t l  KAK  TE JI A  CO CBH 3H M H B  pa6oTe  pacciwoTpeH a  npo6jiejwa  aHanH3a  n ojiocw  c  T O I K H   3peHHH   iwexaHMKH   Ten co cBH3HMrt. IIpHHHittaH   ( bym o p n o  nepeiwemeH H ii  B BHfle  creneH Koro  pH «a  oTHocifrejrKHo  BepTHKajn>Hoft  nepeMeHHoft ncwrytieHO  H cxoflH yio  ctfereM y  ypaBH eH H ił .  3a fla ia  n ojiocbi  pem eH a pflK Tpex  pa3Jtat!H faix  BH SO B  dj)yHi