Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZN A I  STOSOWANA 2,  17  (1979) DYNAMIKA LOTU  ZASOBN IKA LOTN I C Z E G O Z P OŁĄ C Z ON YM   PRZEG U BOWO H AM U LCEM AEROD YN AM ICZ N YM ,  Z R Z U C ON E G O  Z  SAM OLOTU KAZIMIERZ  M I C H A L E W I C Z 1.  Wstę p •   W  niniejszej  pracy  rozpatrzon o  dynam ikę   lotu  zasobnika  lotniczego  hamowanego „ wolno  puszczon ym "  ham ulcem  aerodynam icznym .  Obiekt  traktowan o  jako  ukł ad me- chaniczny  sztywny  [1, 3,  10,  23,  25]  z  ruchom ym  (wychylanym)  hamulcem aero. R ówn an ia  ruch u  w  ukł adzie współ rzę dnych zwią zanych  z zasobnikiem  wyprowadzono w  quasi- współ rzę dnych  stosują c  równ an ia  Boltzmanna- H amela  [8,  13,  14,  15]  dla  ukł a- dów  mechanicznych o  wię zach holonom icznych. U wzglę dniono  siedem  stopn i  swobody,  w  tym  pię ć  stopni  swobody  zasobn ika:  prę d- koś ci  przemieszczeń  U,  V,  W , pochylan ia  6  i  odchylania  W   oraz  dwóch  stopni  swobody hamulca  aero  a s   i  y s   [4, 5, 6,  11, 13,  16, 18,  22, 23, 24]. Z astosowanie  równ ań  Boltzm anna- H am ela  [8,  13,  14,  15] do  wyprowadzenia  równań ruchu  obiektów  ruch om ych  w  ukł adzie  współ rzę dnych  zwią zanych  z  obiektem  umoż li- wiają   w  stosun kowo  prosty  sposób  uwzglę dnienie  dodatkowych  stopni  swobody  wynika- ją cych  z  wzglę dnych  ruchów  elementów  rozpatrywanego  obiektu  [7,  9,  13,  14,  15]. P rzykł adowe  obliczenia  num eryczne  wykonano  wg  wł asnych programów  [12].  Wypro- wadzone  w  pracy  równ an ia  ruch u  są   uniwersalne  i  m oż na je  zastosować  do  opisu  ruchu obiektów  swobodnych  w  przyję tych  ukł adach odniesienia. C harakterystyki  aerodyn am iczn e  uzyskano  w  wyniku  badań  modelowych  w  tunelu aerodynamicznym  w  I nstytucie  Techniki  Lotniczej  i  M echaniki  Stosowanej  Politechniki Warszawskiej.  G eom etrię  i  rozkł ady  mas  wyznaczono  n a  drodze  obliczeń  teoretycznych. 2.  Dynamiczne równania  ruchu  obiektu D o  opisu  dyn am iki  obiektu  swobodnego  niezbę dne  są   cztery  ukł ady  odniesienia  [2, 5, 6, 13, 16] —  ukł ad  O  x  y  z  sztywno  zwią zany  z  poruszają cym  się   zasobnikiem, —  ukł ad  prę dkoś ciowy  O  x a y a z tt   zwią zany  z  kierunkiem  przepł ywu  oś rodka, —  ukł ad  grawitacyjny  O  x g y g z g   zwią zany  z  poruszają cym  się   obiektem,  równoległ y  do ukł adu  O  Xi y L   z 1 , —  nieruchom y  ukł ad grawitacyjny  O  x 1 yiZ i   zwią zany  z  Ziemią   (rys.  1). R uch  obiektu  został   opisany  w  centralnym  ukł adzie  współ rzę dnych  O  x y z  sztywno zwią zanym  z, obiektem .  Chwilowe  poł oż enie zasobn ika  lotniczego  okreś lone  przez  poł o- 10  M ech.  Teoret.  i  Stos.  2/ 79 306 K .  M lC H ALEWIC Z Rys.  1. Przyję te  ukł ady  odniesienia ż enię   ś rodka  masy  obiektu  i^ ( xx ,  y- i, Zi)  m ierzone  wzglę dem  nieruchom ego  ukł adu współ rzę dnych  O x 1 y 1 z 1  oraz  ką tów  obrotu  0,  &, ip[5,  13, 23]. Skł adowe  wektorów  chwilowych  prę dkoś ci  liniowej  i  ką towej  oraz  wektory  sił   ze- wnę trznych  i  momentów  sił  zewnę trznych  w  przyję tym  ukł adzie  po dan o  w  [5, 13,  15, 18, 23], Równania  ruchu  obiektu  otrzym an o  z  równ ań  Boltzm an n a- H am ela  [8, 13, 14,  15]: k  k d  ldT*\   dT*_  yi  \ p  r  dT*  _ dt  \   3a),,  /   dn^   J~- J  J—J  "''  dw r gdzie:  fi  — 1,2,  ... k — ilość  stopni  swobody, co / t  —  ą uasi- prę dkoś ci, T u — quasi- współ rzę dne, T * — energia  kinetycznych  w  ą uasi- prę dkoś ciach, Qf t  — sił y  uogóln ion e, y'iM — trójwskaź nikowe  m noż niki  Boltzm an n a, w p o st aci: k  k  , da ra   da n Obliczone  na podstawie  definicji  niezerowe  symbole  Boltzm an n a  wynoszą ." ..1  . . 1 2 2 3  - .3  4  .5  .,6  1 ^35 — 762 — 7l6 — 743 = 724 = 751  =   765 = 746 — 754 — l '**  1  1  2  2  3  3  4  5 _ 6  I 726 — 753 — 734  =   761  =   751. — 742 — 756 — 7«4 ~ 745 —  — 1 R ówn an ia  ruchu  dla  przyję tego  m odelu  mają   nastę pują cą   p o st ać : dT *  „   M (3) dldT*\   dT* ~dT \ ~W l + ±ldT *±ldT \ dtYW r d dt \ dw) dT * UW Q  - D YN AM I K A  LOTU   Z ASOBN IKA  307 (3)  J [cd.]  dt\ 8Q  r  dU  "  dW dldT *\   dT * „   dT * dt\   dR I  dU dT * dt  \   da. j  da,' d  ldT *\   dT * \dt  \  dy s   !  dy s   * ys - Prawe  strony  równ ań  ruchu  obiektu  stanowią   sił y  uogólnione  Qf.  Sił y  uogólnione po- chodzą   od sił  aerodyn am iczn ych  i  masowych  (grawitacyjnych)  [5, 6, 10, 13, 16, 17,  18, 19, 23]. Sił y  i  m om en ty  aerodyn am iczn e  pom ierzone  w  ukł adzie  prę dkoś ciowym  O  x a y a z a transform owane  są  do  u kł ad u zwią zanego  O xy  z i mają   nastę pują cą   postać: sił y  od  zasobn ika - B̂  =  - ~QSVl[—Cx B (a;  y) c o sac o sy+ C j, a ( y) sin yc o sa- |- CZ B( a) sin a], 1 (4)  Y B  =   - ^ - QSVC[—C X   (a > y)s'my—C y   (y)cosy], ^ ^ t C C  ) i  C , B ( y) sin ysin a - CZ j i ( a ) c o sa ] , sił y od  ham ulca  aerodynam icznego (5)  Y H   = Y i i y H z n  = y g ^ f l — C » H ( « F >  yv)cosysmu  +  Cyn(yv)sinysmu- CZH(uy)cosa], m om enty  od  zasobn ika (6) M B -   =   T e S L H V I  Cm  (et)cosy, 2 momeiity  od h am ulca  aero MH  =   - ~- QSL H   VI C m[i {a r )  cosy, (7)  j 10* 308  K .  MlCHALEWICZ M omenty  powstał e  n a skutek  oddział ywania  hamulca  aero  n a  zasobn ik: M m   = ( 8 )   N , IB =  - M omenty  powstał e  na skutek  oddział ywania  zasobnika  na hamulce  aero : =  - (Zu + Z a )  I u + (X,i - XB)  !H sin a s, p r zy  czym Xl Xl Y   m - l [JU  dy z Q - l- ę S  v% °  dC *° M  1  1  r  YL ^ l Q ~  2 e   S„  "  U  da A- 2 r J  c*v> xdx> Pochodne  aerodynamiczne  (X QH  , X Rji ,  Y RH  , Z Qjl ,  M QfI ,  N R H )  hamulca  aerodynamiczne- go  wyznaczono  z podobnych zależ noś ci  [5, 6, 16, 18,  23]. Po  wyznaczeniu  pochodnych  energii  kinetycznej  cał ego  obiektu,  tj. zasobnika  lotni- czego  i  hamulca  aero  i sił  uogólnionych,  stanowią cych  prawe  strony  równań,  równania ruchu  dla przyję tego  modelu  przedstawiają   się   n astę pują co: —  równanie  sił  na  kierunek  O x (11)  ^ m  -   W Qm e   + VRm c   + y c  RS, H  cos y s   -  &, QS hj   cos a s + +   2), równ an ie  m om en tów odchylają cych  ham ulca aero (17)  ró, Hcosassmys+ KS', Hcosy.v  +  2 / i w  c o sa ssin ys + oosy s —Ii H   ) +   / i x + ys- ' /H ( c o s 2 a ssin 2 ys+ c o s 2 y. s)  =  a s ys / !H sin 2 a s sin 2 y. s -   ya 2 ( c o s2 a s si n 2 y s )  + 310  K .  MlCHALEWICZ Celem  uzyskania  peł nego  ukł adu  równ ań  uzupeł n ion o  powyż szy  u kł ad  nastę pują cymi równ an iam i. Zwią zki  mię dzy  prę dkoś ciami  uogólnionym i  0,  W   a  prę dkoś ciami  ką towymi  Q,  R; COS©  ' Zwią zki  kinematyczne at (19)  4r dt Ką t  n atarcia  i ś lizgu — =   -   f/ sin 0+  W cosO. W a,  =>  a r c  s i n —r= .i/ lP+W 2  ' (20)   v y  =   i Prę dkość cał kowita (21)  V c   m 3.  Przykł ad  liczbowy  i  wnioski Rozwią zanie  równ ań  (11- = - 21)  wykon an o  n a  maszynie  cyfrowej  O D R A,  wykorzystu- ją c  zmodyfikowaną   m etodę   M erson a  [12].  R ozpatrzon o  przypadek  zrzutu  ukł adu z  wy- sokoś ci  zj  =   150  m z  począ tkową   prę dkoś cią   V c   =   125;  175;  225  i  275  m/ s.  Wymienione wartoś ci  począ tkowe  pozwalają   n a  przeprowadzen ie  analizy  param etrów  torów  lotu dla najważ niejszych  przypadków. Charakterystyczne  wyniki  analizy  numerycznej  badan ego  m odelu  przedstawion o  na rysun kach  2 -  16 w  formie  wykresów. Z  analizy  uzyskanych  rezultatów  obliczeń  n um eryczn ych  wynika,  że  profil  toru  lotu zasobn ika  (rys.  2) w  istotny  sposób  zależy  od  param etrów  lotu  nosiciela  oraz  efektywnoś ci ham owan ia  ham ulca  aerodynam icznego. Zwię kszenie  prę dkoś ci  zrzutu  obiektu  V co   powoduje: —  zwię kszenie  zasię gu  ( xt ) ,  ale jego  przyrost  jest  coraz  mniejszy  (rys.  2), —  zmniejszenie  ką ta  upadku  (pochylenia  toru) 0 f c  (rys.  3) r —  wię ksze wyhamowanie  prę dkoś ci  cał kowitej  (rys.  4). Obiekty  zrzucane  z  róż ną   prę dkoś cią   V c0   w  innych  odstę pach  czasu  osią gają   podł oże (rys.  2). DYNAMIKA  LOTU   ZASOBNIKA 311 O  500  1000  [mf Rys.  2.  Tory  lotu  zasobnika  z  hamulcem  aero  dla  róż nych  prę dkoś ci  zrzutu Rys.  3.  Zmiany  ką ta  pochylenia  obiektu  <9 dla  róż nych  prę dkoś ci  zrzutu. Z asobn ik  i h am ulce  aero  w  czasie  lotu  wykonują   ruch  obrotowy  (rys.  15 i  16),  którego ch arakter  w  duż ym  stopn iu  uzależ niony  jest  od  prę dkoś ci  zrzutu. W  czasie  lotu  zasobn ika  z  „ woln o  puszczon ym "  hamulcem  aero  zauważa  się   silne tł um ienie  wahań  ką tów  n atarcia  a i  ś lizgu  y  (rys.  5 i  10)  oraz  ką tów  a s   i  y s   (rys.  6 i  11). C h arakter  zm ian  prę dkoś ci  poprzecznej  W   (rys.  8)  i  bocznej  V  (rys.  13)  jest  bardzo podobn y  do  zm ian  ką ta  n atarcia  a  (rys.  5)  i  ś lizgu  y  (rys.  10), ponieważ  te  wielkoś ci  są ś ciś le zależ ne  od  siebie. N a  rys.  9  i  14  przedstawion o  zm ian ę   prę dkoś ci  ką towej  pochylania  Q  i  odchylania  R w  czasie  lotu zasobn ika.  Oscylacja  R  =   R(t)  zanikają   p o  czasie  okoł o  1,5^- 2 s5  n atom iast Rys.  4.  Zmiany  prę dkoś ci  cał kowitej  V c   zasobnika  dla  róż nych  prę dkoś ci  zrzutu  V„ [ rad] '  o 0,006  - 0,004 0,002  r I 0 111  AA mv U  |   | /   2 / \ / VcB- 175m/ s I  y—Vc'215m/ s i  i  i  «• 3  4  5  [ s] Rys.  5.  Zmiany  ką ta  natarcia  a  zasobnika [312] 0,007  - - 0,001 - 0,002 - 0,003  - Rys.  6.  Zmiany  ką ta  pochylenia  hamulca  aero  a„ wzglę dem  zasobnika - 0,02 - w Rys.  7.  Oscylacje  prę dkoś ci  ką towej  pochylenia  hamulca  aero  ócs. [313] 0 , 2 O 5  [S] Rys.  8.  Oscylacja  prę dkoś ci  poprzecznej  W   zasobnika 1  2  3  4  S  [ s] - 0,10  - Rys.  9.  Oscylacja  prę dkoś ci  ką towej  pochylenia  Q  zasobnika 0  J  2  3  [s] 1  ~ [  r*~ Rys.  10.  Zmiany  ką ta  ś lizgu  y  zasobnika [314] Vc- 175m/ s 4 - 0  1 Rys.  11.  Zmiany  ką ta  odchylenia  hamulca  aero  y s   wzglę dem  zasobnika [rad/ s] 0,03 0,02 0,01 0 - 0,01 is - Uo"  275 m/ s A j \ l  V Co '175rn/ s t Rys.  12.  Oscylacja  prę dkoś ci  ką towej  odchylenia  hamulca  aero  y s . .  0 - 0,1 - 0,2 - 0,3 i (  2 1  I | I  A  I ?  4  5  M Rys.  13.  Oscylacje  prę dkoś ci  bocznej  V  zasobnika [315] 316 K.  M ICH ALEwicz [ rad/ s^R - 0,01 Rys.  14. Oscylacja  prę dkoś ci  ką towej  odchylania  R  zasobnika 4 , yc~175m/ s  ~—0,001 Rys.  15.  Przebieg  zmian  ką ta  natarcia  a w  funk- cji  ką ta  ś lizgu  y  zasobnika Rys.  16.  Przebieg  zmian  ką ta  pochylenia  a s  w funkcji  ką ta  odchylenia  y s   hamulca  aero Q  =   6 ( 0  trwają   o  wiele  dł uż ej  i  ich  s'rednia  wartość  stale  roś n ie.  Spowodowane  t o  jest dział aniem  w  pł aszczyź nie  rzutu  sił y  cię ż koś ci. P rę dkoś ci  ką towe  pochylania  a4.  i  odchylania  ys  h am ulca  aero  wzglę dem  zasobnika pokazan o n a  ryś.  7  i  12.  Ś rednie ich wartoś ci  oscylują   w  pobliżu  zera. P rę dkość  ką towa  y s po  czasie  okoł o  2  s zostaje  cał kowicie wytł um ion a. H am ulec  aerodynamiczny  wykorzystywany  do  wyham owan ia  prę dkoś ci  ruchu  obiektu charakteryzuje  się   cechami, które  szczególnie  predystynują   go  do  zastosowan ia  w propo- nowanym  ukł adzie,  a m ian owicie: prę dkość  koń cowa  w mał ym stopn iu zależy  od prę dkoś ci  zrzutu  (rys. 4), mimo  gwał townego  spadku  prę dkoś ci  V c   zasobn ik  wraz  z  ham ulcem  dobrze  stabili- zują   się . D YN AM I K A  LO T U   Z ASOBN IKA  317 4.  U wagi  koń cowe Rezultaty  analizy  dyn am iki  lotu  zasobn ika  lotniczego  z  poł ą czonym przegubowo  ha- mulcem  aerodyn am iczn ym , przedstawione  w  niniejszej  pracy  wskazują ,  że istnieją ce  sprzę - ż enie  mię dzy  param etrym i  ruchów  symetrycznych  i  antysymetrycznych  ma  istotny  wpł yw n a  dyn am ikę   ukł adu. Powyż sza  an aliza  pozwolił a  ustalić  podstawowe  charakterystyki  i  zależ noś ci  w  przy- padku  zrzutu  takich  ukł adów z  sam olotu. Waż niejsze  oznaczenia h't> I*i>  h t >I*i  — osiowe  momenty  bezwł adnoś ci  zasobnika  i  hamulca aero, h H ,  h H   , It„  , Ji„  , Ixy^ , I y z 2 ,  I Z x 2   — momenty  dewiacyjne  hamulca aero, m c   — masa cał kowita zasobnika  i  hamulca, Ms,  MU, N B,N H- ~aerodynamiczne  momenty  pochylają ce  i  odchylają ce  zasobnika i hamulca, M g ,  MQ H  , N R , N R H  — pochodne  aerodynamiczne  momentu  pochylają cego  i  odchylają cego wzglę dem  zmian prę dkoś ci  ką towych  zasobnika  i  hamulca, Q — prę dkość  ką towa  pochylania zasobnika, JR — prę dkość ką towa  odchylania zasobnika, Si H ,  S Xz ,  S yi ,  S Zl   — momenty statyczne hamulca, U,V,W —prę dkoś ć  ś rodka  masy  zasobnika  w  ukł adzie  sztywno  zwią zanym z  zasobnikiem, X'B,X H   — opór zasobnika  i  hamulca, XQ , XQ H  , X R ,  X Ru   — pochodne  aerodynamiczne  oporu  wzglę dem  prę dkoś ci  ką towych  za- sobnika i  hamulca, Yi,,  Y H , Z B ,  Z H  — aerodynamiczne  sił y  boczne  i  noś ne  zasobnika  i hamulca, Yg, Y RH ,  Z Q ,  Z Qf{   — pochodne  aerodynamiczne sił y  bocznej  i noś nej  zasobnika  i hamulca wzglę dem  zmian prę dkoś ci ką towych  QlRr a. — ką t natarcia zasobnika, a, — ką t  wychylenia  hamulca wzglę dem  zasobnika, y — ką t ś lizgu  zasobnika, y s   — ką t  odchylenia hamulca wzglę dem  zasobnika. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  W.  ALBRIN G ,  Angewandte  Stromangslehere,  D resden und Leipzig 1961. 2.  Z . D Ż YG AD ŁO, A. KRZYŻ AN OWSKI,  E.  PIOTROWSKI,  Dynamika lotu osiowosymetrycznego ciał a ze sztyw- nym urzą dzeniem hamują cym, Biuletyn  WAT,  257, Warszawa 1974. 3.  R. H .  CAN ON  jr.  Dynamika  ukł adów fizycznych,  WN T, Warszawa 1973. 4.  S. D U BIEL,  W ię zy uogólnione i ich zastosowanie do badania sterowalnoś ci obiektów latają cych,  D odatek do  Biuletynu  WAT, 256, Warszawa 1973. 5.  B. E T K I N , Dynamics of  Atmospheric  Flight,  John  Wiley, N ew York 1972. 6.  W. F ISZ D ON , Mechanika lotu, cz. I i I I , PWN , Łódź —Warszawa  1961. 7.  R.  G U TOWSKI,  Równania róż niczkowe  zwyczajne,  WN T,  Warszawa 1971. 8.  R.  G U TOWSKI,  Mechanika  analityczna, PWN ,  Warszawa 1971. 9.  R.  G U TOWSKI,  Podstawy mechaniki  analitycznej, Materiał y  pomocnicze  do  wykł adów, Politechnika Warszawska,  Warszawa 1976. 318  K.  M ICH ALEWICZ 10.  S. F .  H OERN ER,  Aerodynamics  Drag, Ohio  1951. 11.  J.  KLIMKOWSKI,  W.  ŁUCJAN EK,  T eoretyczna analizo bocznej  statecznoś ci  dynamicznej  mię kkoplata, Archiwum  Budowy  Maszyn,  Zeszyt  1,  Warszawa  19,77. 12.  A.  KRU TKOW,  A.  KRU TKOW,  Dynamika  lotu  zasobnika lotniczego zrzuconego z  samolotu,  Program KAM I,  ITWL,  Warszawa  1978. 13.  J.  MARYN IAK,  Dynamiczna teoria obiektów ruchomych,  Prace  naukowe  —  M echanika  N r 32, Politech- nika  Warszawska,  Warszawa  1975. 1 i.  J.  MARYN IAK,  Z .  G ORAJ,  W pł yw sztywnoś ci i  tł umienia w ukł adzie sterowania sterem wysokoś ci na  sta* tecznoś ć podł uż ną samolotu i  oscylacje  steru,  Mechanika  Teoretyczna  i  Stosowana,  Zeszyt  2,  PWN , Warszawa  1975. 15.  J.  MARYN IAK,  M.  ZŁOCKA,  Statecznoś ć boczna samolotu i drgania  lotek  z  uwzglę dnieniem  odkształ cał - noś ci gię tnej skrzydeł   i sprę ż ystoś ci  ukł adu sterowania,  M echanika  Teoretyczna  i  Stosowana,  Zeszyt  1, PWN ,  Warszawa  1975.  . 16.  J.  MARYNIAK,  K.  MICH ALEWICZ, F .  MISTAK,  Z.  WIN CZU RA,  Obliczenia teoretyczne wł asnoś ci dynamicz- nych bomb lotniczych, Informator  ITWL, N r 49, Warszawa  1975. 17.  J.  MARYNIAK,  K.  MICH ALEWICZ,  J.  OSTROWSKI,  Z .  WIN CZU RA,  Zagadnienia aerodynamiki bomb  lotni- czych  w zakresie prę dkoś ci poddź wię kowych,  Informator  ITWL,  N r  52,  Warszawa  1977. 18.  J.  MARYNIAK,  K.  MICH ALEWICZ, Z .  WIN CZU RA,  W pł yw spadochronu na ruch zasobnika osiowosymetrycz- nego  zrzuconego  z samolotu,  Mechanika  Teoretyczna  i  Stosowana,  Zeszyt  1, Warszawa  1978. 19.  J. N .  N IELSEN , Missile Aerodynamics,  N ew  York,  Toron to, London  1960. 20.  T.  ZAWAD ZKI,  Balistyka zewnę trzna rakiet, cz.  I I , WAT,  Warszawa  1976. 21.  S.  ZIEMBA,  Analiza drgań , tom I i I I , PWN , Warszawa  1957. P  e 3 io  M e flH H AM H KA  I I OJlE TA  JI E T AT E JI BH O rO  AI H I AP ATA  „ C O  CBOBOflH O O T n yiU E H H Ł I M "  ASP OflM H AM I M E C KKM   T O P M O 3O M   E P OU I E H H OrO H 3  CAM OJlfiTA o6'Beicr  HHJineTCH   MexanmrecKOH  Heno#BH>KHOH   CHCTCMOH   C  noflBHH- CHMM   ( B H - a3poTopMO3OM.  ypaBH eiiH H  flBM >i