Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z3.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

3,  17  (1979)

ZASTOSOWAN IE  M ETOD Y  KOLEJN YCH   ROZWIĄ ZAŃ   SPRĘ Ż YSTYCH
D O  ELASTOOP TYCZ N EG O  BADANIA  OŚ ROD KA  SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZN EGO

Z  OTWOREM   WALCOWYM 1

J E R Z Y  L  I  E  T  Z ,  B O G D AN   M I C H A L S K I ,  R YS Z AR D   W  O  J  N   A  R  ( WAR SZ AWA)

1.  Analiza  zagadnienia  1 wybór  metody

R ozpatrywan y  jest  stan  n aprę ż en ia  i  odkształ cenia  w  otoczeniu  otworu  walcowego
o  dowolnej  tworzą cej  w  n ieogran iczon ym  oś rodku  sprę ż ysto- plastycznym.  W  oś rodku
tym  w  oddalen iu  od  otworu  pan uje  jedn orodn y  stan  n aprę ż en ia,  taki  że  na  konturze
otworu  przekroczon a jest  gran ica  plastycznoś ci.  Sformuł owanie  to  wywodzi  się   z  zagad-
n ien ia  m echan iki  górotworu,  w  którym  chodzi  o  wyznaczenie  naprę ż eń  i  odkształ ceń
wokół   wyrobiska  górn iczego.

To  trójwymiarowe  zadan ie  przy  znacznej  dł ugoś ci  otworu  w  stosunku  do  jego  prze-
kroju  daje  się   sprowadzić  do  zagadn ien ia  pł askiego  stan u  odkształ cenia. Autorzy  podej-
mują   próbę   dos'wiadczalnego  rozwią zan ia  tego  zadan ia  m etodą   elastooptyczną .

W  zakresie  liniowej  sprę ż ystoś ci  problem y  pł askiego  stan u  odkształ cenia  modeluje
się   elastooptyczn ie  za  pom ocą   m odelu  tarczowego,  a  wię c  w  pł askim  stanie naprę ż enia.
O braz  elastooptyczn y  jest,  ja k  wiadom o,  w  obu  wypadkach  taki  sam.

W  zakresie  odkształ ceń  plastyczn ych  nie  m oż na  n atom iast  modelem  tarczowym  wy-
kon an ym  z  m ateriał u sprę ż ysto- plastycznego  odwzorować  pł askiego  stanu odkształ cenia,
zwł aszcza  gdy  oba  n aprę ż en ia  gł ówne  są   tego  samego  zn aku.  N ie bę dą   bowiem speł nione
warun ki  w  odn iesien iu  do  kryteriów  uplastyczn ien ia.

Wobec  tego,  że  stosowan e  dotychczas  polaryzacyjno- optyczne  sposoby  badania  ciał
sprę ż ysto- plastycznych  n ie  n adają   się   do  analizy  pł askiego  stanu  odkształ cenia  posta-
n owion o uż yć tzw. m etody kolejnych  rozwią zań  sprę ż ystych,  która, jak  wykaż emy  w n astę p-
n ym  rozdziale,  stwarza  takie  moż liwoś ci.  M etodę  t ę  podali  Aleksandrów  i  Achmetzjanow
[1],  [3],  stosują c  ją   d o  rozwią zan ia  zadan ia  jednowym iarowego  (czyste  zginanie  belki).
W  niniejszej  pracy  rozwin ię to  t ę   m etodę   n a  problem y  dwuwymiarowe,  podają c  zarówno
teorię   ja k  i  tech n ikę   prowadzen ia  badań .

M etoda  kolejnych  rozwią zań  sprę ż ystych,  której  istotą   jest  zastą pienie  oś rodka  sprę -
ż ysto- plastycznego  przez  oś rodek  liniowo- sprę ż ysty  niejednorodny,  umoż liwia  uż ycie
dwuwymiarowego  m odelu  tarczowego  do  odwzorowan ia  pł askiego  stanu  odkształ cenia
w  zakresie  sprę ż ysto- plastycznym.  P on adt o uniezależ nia  ona  badacza  od  charakterystyki

1 }  Praca stanowi  rozszerzenie  referatu  przedstawionego  na VIII Sympozjum  D oś wiadczalnych  Badań
w  Mechanice  Ciał a  Stał ego

Warszawa  4 - 6  wrześ nia  1978



3 9 2  J .  LlE TZ ,  B .  M lC H ALSKI,  R .  WOJN AR

mechanicznej  m ateriał u modelowego, pozwalają c  przyjmować  dowolną   (ale m on oton iczn ą )
zależ ność  naprę ż eń  od odkształ ceń  w  obiekcie.

U jemną   stroną   metody  jest  znaczna  pracochł on n ość  oraz:  t o ,  że realizowany  cią g
rozwią zań  sprę ż ystych  odnosi  się   do  jednej  wybranej  wartoś ci  stosun ku  obcią ż enia  do
granicy  plastycznoś ci.  M oż na  zatem  okreś lić  granicę   strefy  uplastycznienia  oraz  pole
odkształ ceń  sprę ż ysto- plastycznych  dla  danych  warun ków  obcią ż enia.  Trudniej  n atom iast
jest  analizować  propagację   granic  strefy  uplastycznienia  przy  zmieniają cym  się  obcią -
ż eniu.

2.  M etoda  rozwią zań  sprę ż ystych

Rozwią zanie  zadania  plastycznoś ci  moż emy  sprowadzić  do  rozwią zania  cią gu  zadań
liniowej  sprę ż ystoś ci  w oś rodku  niejednorodnym , w którym  n iejedn orodn ość  jest  zmie-
n ian a  w kolejnych  rozwią zaniach.

W  wersji  Zaproponowanej  przez  Birgera  [2], wykorzystuje  się   spostrzeż enie,  iż w ra-
mach  deformacyjnej  teorii  plastycznoś ci  zwią zek  konstytutywny  dla  oś rodka, odkształ -
conego  w zakresie  plastycznym  daje  się   formalnie  zapisać  w postaci analogicznej  do  prawa
H ooke'a

. , ,  1  1
W  etj  = ~2Q^   Sij>  ekk  =—<*kk>

gdzie  e
t
j oraz  Sy  są   odpowiednio  dewiatoram i  ten sora  odkształ ceń s

t
j, e

tj
  — e ; j—  s^ dij/ 3

oraz  tensora  naprę ż eń  (Sij,s
{
j  ~  tfjj- — crftfe<3{j- /3.  x jest  m oduł em  ś ciś liwoś ci a  nieliniowość

zwią zku  zawiera  się   we  współ czynniku

(2)  G*'~G
Q
[f,

gdzie  G
o
 jest  moduł em  ś cinania  w  zakresie  liniowo- sprę ż ystym.  Wielkość

(3)  f  =   G
o
yi/ T i

wyraża  się   przez  stał ą   G
o
  oraz  niezmienniki  dewiatorów  e^ ,  s

u
  tzw.  intensywnoś ci  od-

kształ ceń

(4)  Yt  =   V^ i
3
e

ih

i  n a p r ę ż eń

(5)  t-
t
 =

D la  okreś lonego  zadan ia  brzegowego  w  oś rodku  sprę ż ysto- plastycznym  tp jest  w  ogól-
noś ci funkcją   poł oż enia X

t
 (x, y,  z) posiadają cą   tę  wł asnoś ć, że y>  =  1 (G* =  G o) w  obsza-

rze  odkształ ceń  liniowo  sprę ż ystych  a  tp > 1  (G* < G
o
) poza  tym  obszarem .  F unkcja

okreś la  zatem  rozkł ad m oduł u  ś cinania w  niejednorodnym  oś rodku  liniowo  sprę ż ystym,
w  którym  dla  okreś lonego  zadania  brzegowego  pola'n aprę ż eń i odkształ ceń są   takie  sam e,
jak  w oś rodku  sprę ż ysto- plastycznym.



M E T O D A  K O LE JN YC H   R O Z WI Ą Z AŃ   SP RĘ Ż YSTYCH 393

Zwią zki  (1 -  6)  umoż liwiają  rozwią zanie  zadania  nieliniowego  (plastycznoś ci)  drogą
iteracji  rozwią zań  liniowych  (sprę ż ystoś ci).  Otóż  zakł ada  się,  że  znana  jest  charakte-
rystyka  oś rodka
(7)  T, -   r

t
(y

t
).

Wtedy  proces  kolejnych  przybliż eń  może  być  nastę pują cy:
Kł adąc  w  zerowym  przybliż eniu  <ę  <=>  1  rozwią zujemy  zadanie  teorii  sprę ż ystoś ci,

znajdując  pole naprę ż eń <r,° i odkształ ceń efj.  N a podstawie  pola  sfj znajdujemy  niezmien-
nik yf,  skąd n a podstawie krzywej  rfyi)  okreś lamy moduł  sprę ż ystoś ci  G ( 1 )  =   Gw(x,y,  z),
potrzebny  do  nastę pnego  przybliż enia,  jako  tangens  pochylenia  siecznej  (rys.  1).

T,  i

Rys.  1

W  nastę pnym  przybliż eniu  rozwią zujemy  liniowe  zadanie  sprę ż ystoś ci  dla  oś rodka
niejednorodnego  z  m oduł em  sprę ż ystoś ci  G ( 1 ) ,  okreś lonym  w  pierwszym  przybliż eniu.
Znajdujemy  pole naprę ż eń alp  i odkształ ceń slj\   nastę pnie analogicznie yp> i nowy  moduł
6 < 2 )  do  nastę pnego  przybliż enia  itd.  P rocedurę koń czymy  z  chwilą  uzyskania  zadowala-
ją cego  przybliż enia  tzn .,  gdy  dalsze  przyrosty  y

t
  są  już  dostatecznie  mał e.

Istotą  metody jest  więc analogia mię dzy rozkł adem naprę ż enia w oś rodku plastycznym
a  stanem naprę ż enia w niejednorodnym oś rodku sprę ż ystym.  Rysunek  1  pokazuje schema-
tycznie  sposób  okreś lenia  m oduł u  sprę ż ystoś ci  w  danym  punkcie  oś rodka  w  kolejnych
iteracjach.

Problem  zbież noś ci  m etody rozwią zań  sprę ż ystych  był  rozważ any  w pracach  (4) i (5).
Znajdowanie  kolejnych  rozwią zań  może  odbywać  się  oczywiś cie  w  róż ny  sposób,

analityczny, numeryczny bą dź analogowy.  W tym ostatnim wypadku  moż emy zastosować,
jak  n a  to  zwrócił   uwagę  Achmetzjanow,  metodę  elastooptyczną.

W  pł askim  stanie  odkształ cenia,  jaki  rozpatrujemy  w  niniejszej  pracy,  przy  v =   1/2
wyraż enia  (4  i  5)  upraszczają  się  do  postaci

(7)  Yt- '2(4  +   £ $,

( g)  •   r^ ~\ (a
x
- a:



3 9 4  J .  LlE TZ ,  B .  M lC H ALSKI,  R .  WOJN AR

Wyraż ając  (8)  za  pomocą   naprę ż eń  gł ównych  a
u
  <r2  otrzymujemy

(9)  ti  =   —(ai- a2)  =   rnmx.

Z równania  (9) wynika,  że ponieważ  ti  =   T m a x, kryteria  plastycznoś ci  H ubera, Misesa

i  Treski  pokrywają   się .  Przy  v  <  —  równanie  (9) jest  przybliż one.

Ponieważ  zadanie  opisane  w  rozdziale  1 modelujemy  za  pomocą   tarczy  z materiał u
elastooptycznego,  widzimy,  że  izochromy  moż na  traktować  jako  linie  r

t
  =   const,  gdyż

z  prawa  Wertheima

(10)  Km^  {a
i
_- a

2
)h,

gdzie  m jest  rzę dem  izochromy, K  —  stał ą   elastooptyczną ,  h —  gruboś cią   modelu.
Warto  zaznaczyć,  że  obraz  elastooptyczny  w  modelu  nie  zależy  tu  od  współ czynnika

Poissona,  ani  od  tego,  że  pł aski  stan  odkształ cenia zastą piliś my  pł askim  stanem naprę -
ż enia.

Ze  wzglę du  n a  technologię   wykonania  modelu,  niejednorodny  oś rodek  sprę ż ysty
o  cią gł ym rozkł adzie moduł u  G,  o jakim  był a mowa  powyż ej,  zastę pujemy  przez  oś rodek
niejednorodny skokowo, samą  zaś niejednorodność oś rodka modelujemy przez odpowiednią
zmianę  jego gruboś ci. Im wię ksza jest liczba  stopni i im są  one mniejsze, tym lepiej  oś rodek
niejednorodny  w  sposób  cią gły  przybliż ony  jest  przez  oś rodek  niejednorodny  skokowo.

Badają c  tarczowy  model elastooptyczny  o zmiennej gruboś ci  h  (symetryczny  wzglę dem
pł aszczyzny ś rodkowej  z  =   0) bierzemy pod uwagę ,  że rzą d  izochromy wynika  z naprę ż eń
scalkowanych  po  gruboś ci,  które  oznaczamy  przez <r

(11) a =

Równanie  (10)  moż na  teraz  wyrazić  w  postaci  nie  zawierają cej  zmiennej  h

(12)  Km  =5=   ox  —  0z-

Korzystają c  z  równania  (12) analizujemy  elastooptycznie  pole  naprę ż eń a  tak, jak  gdyby
model  miał   stał ą  grubość  h

0
.  Zmiany gruboś ci  modelują   zmienny  m oduł   G,  który  wyraża

się   jako

(13)  G  =   G o j - .

W  dalszym  cią gu  rozpatrywać  bę dziemy  oś rodek  sprę ż ysto- idealnie  plastyczny.  Wy-
nikają   z  tego  pewne  uproszczenia  w  badaniu elastooptycznym, gdyż  w  koń cowym  etapie
kolejnych  przybliż eń:

1.  G ranicę  strefy  uplastycznienia  wyznacza  izochroma okreś lonego  rzę du  odpowiada-
ją ca  rr a i) X  =   k,  gdzie  k  jest  granicą   plastycznoś ci  n a  ś cinanie.

2.  Wewną trz  strefy  uplastycznienia  rzą d  izochromy  powinien  być  stał y, co  daje  ł atwą
kontrolę   poprawnoś ci  wyniku.



M E T O D A  K O LE JN YC H   R O Z WI Ą Z AŃ   SP RĘ Ż YSTYCH 395

3.  W  obszarze  uplastyczn ien ia  zm ienna  grubość  modelu  h  okreś la  pole  odkształ ceń
postaciowych  y

t
  gdyż

(14) Vi  m
  G

m
  O

0
  h is  h  '

gdzie  fis  J e s t  wartoś cią   y
t
  n a  granicy  plastycznoś ci.  Skł adowa  plastyczna  odkształ -

cenia  wyniesie

(15) Ytp  =
- ) •

3.  Przeprowadzenie  badania

Realizują c  zał oż en ia  podan e  w  rozdziale  1  tarczę   m odelu  trzeba  był o  obcią ż yć  n a
obwodzie  w  taki  sposób,  aby  przed  wykonaniem  otworu  w  modelu  wystą pił   jedn orodn y
stan  n aprę ż en ia.  P rzyję to  dla  uproszczen ia  wszechstronne  ś ciskanie  a  wię c  a

1
  =   cr2.

M oż na  wówczas  wykon ać  m odel  w  kształ cie  tarczy  koł owej  i  obcią ż yć  go  na  obwodzie

Rys.  2

równom iernym  ciś nieniem  za  pom ocą   urzą dzenia  hydraulicznego  przedstawionego  n a
rys.  2.  W  stalowej  pierś cieniowej  obudowie  1 znajduje  się   gumowa  dę tka  2  przekazują ca
ciś nienie  cieczy  n a  m odel  3.



Rys.  3



M E T O D A  K O LE JN YC H   R O Z WI Ą Z AŃ   SP RĘ Ż YSTYCH 397

Kolejność  czynnoś ci  przy  badan iu  modelu  z  otworem  był a  nastę pują ca.  Sporzą dzono
modele  w  postaci  dość  grubej  (20  mm)  tarczy  koł owej  z  otworem  o  rozpatrywanym
kształ cie,  wyznaczają c  uprzedn io  elastooptyczną   stał ą   modelową .

Z badan o  dwa  m odele: z  otworem  prostoką tn ym  o  stosunku  boków  2:1  (rys.  3) i z ot-
worem  w  kształ cie  typowej  obudowy  górniczej  ŁP- 9  (rys.  4).2  Z ał oż on o,  że  oś rodek  jest
sprę ż ysto- idealnie  plastyczn y.

Z a  pom ocą   urzą dzen ia  hydrauliczn ego  obcią ż ono  model  ciś nieniem  n a  obwodzie
i  badan o  w  polaryskopie.  O trzym an o  wyniki  elastooptyczn e  (izochromy  i izokliny)  odno-
szą ce  się   do  pola  n aprę ż eń  przy  liniowo- sprę ż ystej  charakterystyce  oś rodka.  Przyję to  je
jako  „ zerowe"  przybliż enie  rozwią zan ia..

Rys.  5

Okreś lono rzą d  izochrom y, kt ó ra stanowi pierwsze  przybliż enie  granicy  strefy  uplastycz-
n ien ia.

Przyję to,  że  ciś nienie  obcią ż ają ce,  które  wynosi  5  M P a jest  równe  granicy  plastycz-
noś ci  n a  ś ciskanie  2/c.  U wzglę dniając  zmierzoną   stał ą   modelową   0,75  M P a/ rz.iz.  otrzy-
m an o  w  obu  m odelach  gran icę   strefy  uplastycznienia  odpowiadają cą   izochromie  rzę du
6,7.  Wewną trz  tej  strefy  n a  podstawie  rzę du  izochrom y  okreś lają cego  T (

< 0 )  i  yf0)  i  danej
krzywej  T;(y;)  wyznaczono  rozkł ad  wielkoś ci  GJGo,  który  wskazuje  w  jakim  stosunku
należy  zmniejszyć  grubość  m odelu  do  n astę pn ego  badan ia.

N astę pn ie  opracowan o  program  podcin an ia,  uwzglę dniając  warunki  technologiczne
tak,  aby  ja k  najlepiej  zrealizować  wymagany  rozkł ad  gruboś ci.  Stosowano  obustron n e
frezowanie  frezem  palcowym  dają ce  warstwicowe  (schodkowe)  ś cienianie  modelu  (rys.  5).

1 }  Autorzy  zbadali także  model z otworem  o przekroju  koł owym i porównali wyniki  z rozwią zaniem
teoretycznym  (6).



398  J-   LI E TZ ,  B.  M ICH ALSKI,  R.  WOJN AR

W  pewnych  przypadkach  m oż na  zrealizować  skoś ną   obróbkę   m odelu,  co  daje  cią głą
niejednorodność  m oduł u  i n a ogół   lepsze  przybliż enie.

Tak  przygotowany  model  powtórn ie  badam y  w polaryskopie,  a  otrzym an e  pole  na-
prę ż eń  Tf i  odkształ ceń yt  stanowi  pierwsze  przybliż enie  rozwią zania.  N a jego  podstawie
opracowujemy  program  dalszego  podcin an ia  modelu,  którego  badan ie  elastooptyczne
daje  drugie  przybliż enie  rozwią zania.  P owtarzam y  tę  procedurę  kilkakrotn ie  aż  do uzyska-
n ia  zadowalają cej  dokł adnoś ci. Obraz  izochrom w modelu  z  otworem  ŁP- 9 w  pierwszym
przybliż eniu  przedstawia  rys. 6.

Rys. 6

Sporzą dzono  specjalne  stanowisko  obróbcze  z  szybkoobrotowym  frezem  palcowym .
M odel  przytwierdzony  do  specjalnej  pł yty  był  rę cznie  przesuwany  wedł ug  wytrasowanych
n a  nim  linii.  G ł ę bokość frezowania  m oż na  był o  dokł adn ie  n astawiać.

Przy  badan iach  elastooptycznych,  w  przypadku  skoś nie  obrobion ych  powierzchni
prześ wietlonego  modelu,  w  celu  wyeliminowania  zał am an ia  ś wiatł a,  stosowano  pogrą -
ż enie modelu w  odpowiednio  dobranej cieczy  immersyjnej.  Ciecz znajdował a  się   pomię dzy
okł adzinam i  ze szkł a  organicznego  uszczelnionymi  wzglę dem  m odelu.

4.  Wyniki  badań  i  wnioski

W  modelu  z  otworem  prostoką tn ym  zastosowan o  schodkowe  podcin an ie  o  dość
znacznej  liczbie  schodków;  5 w pierwszym  przybliż eniu  i 6 w n astę pn ych  przybliż eniach.
W  modelu z otworem  ŁP- 9 stosowano  schodkowe  podcin an ie w pobliżu  pł askiego  spą gu
i  skoś ne  podcinanie  w  otoczeniu  przesklepionego  stropu,  dają ce  lepsze  przybliż enie do
rzeczywistego  stan u  odkształ cenia  w  strefie  uplastycznienia.

N a  rysunku  5 widoczne są  granice schodkowych  odsadzek w m odelu z otworem prosto-
ką tnym  w pierwszym  przybliż eniu.



0 , 1  2  ,  }

Rys.  7  .

Rys.  8

[3991



Rys.  9

Rys.  10

[400]



5  Mechafuka  teoretyczna [401]



402 J .  LlE TZ ,  B .  M lC H ALSKI,  R .  WOTNAR

D la  kolejnych  przybliż eń  sporzą dzono  dla  obu  modeli  wykresy  róż n ic  n aprę ż eń  gł ów-
nych  w  przekrojach  charakterystycznych  (rys.  7  i  8).  Pozwalają   one  n a  ocenę   stopnia
zbież noś ci  metody. Jak widać, iterację   m oż na zakoń czyć  n a trzecim przybliż eniu,  w  którym
rozkł ad róż nic naprę ż eń gł ównych jest już  zbliż ony  do rozkł adu dla  ciał a  sprę ż ysto- idealnie
plastycznego.  Rys.  9  i  10  przedstawiają   porówn an ie  rozkł adu  n aprę ż eń  brzegowych  dla
ciał a  sprę ż ysto- plastycznego  i  sprę ż ystego.  Obraz  izoklin  i  trajektorii  n aprę ż eń  gł ównych
(rys.  11  i  12) potwierdza,  że  n a  cał ym  obwodzie  otworu  wystę pują   n aprę ż en ia  ś ciskają ce.

l

1.0

Rys.  13

Wykorzystują c  wyniki  ostatecznego  przybliż enia  dla  m odelu  z  otworem  prostoką tn ym
i  w  kształ cie  ŁP- 9  oraz  teoretyczne  wyniki  obliczeniowe  dla  otworu  koł owego  sporzą -
dzono  zbiorczy  wykres,  przedstawiają cy  w  poszczególnych  ć wiartkach  porówn an ie  pól
odkształ ceń sprę ż ysto- plastycznych  w tych trzech przypadkach  (rys.  13). Wymiary  otworów
przyję to  n a  rysunku  takie, aby  pola  ich przekrojów  poprzeczn ych  był a  sobie  równ e.  Roz-
kł ad odkształ ceń w obszarze  uplastycznienia  przedstawion o  za pom ocą  linii yilyts  — con st.
G ranicą   strefy  uplastycznienia  jest  linia  oznaczon a  param et rem  1.

P rzeprowadzone  badan ia  wykazał y  przydatn ość  m etody  rozwią zań  sprę ż ystych  do
analizy  stanu  naprę ż enia  i  odkształ cenia  w  ciał ach  sprę ż ysto- plastycznych  w  zagadnie-
n iach pł askiego  stan u odkształ cenia, Lepsze  rezultaty  uzyskuje  się   w  przypadku  elementów
o pł ynnie zmieniają cej  się   krzywiź nie  kon turów  pozbawionych  wklę sł ych  zał am ań . M etodę
warto  stosować  do porównawczych  badań elementów o zbliż onych  kształ tach .  Wykorzystu-
ją c  znajomość  rozkł adu  naprę ż eń  dla  podobn ych  kształ tów  m oż na  bowiem  zmniejszyć
liczbę   iteracji,  przyjmują c  za  pun kt  wyjś cia  nie  sprę ż ysty  stan  n aprę ż en ia,  lecz  stan  sprę -



M ETOD A  KOLEJNYCH   ROZWIĄ ZAŃ   SPRĘ Ż YSTYCH   403

ż ysto- plastyczny  zbliż ony  d o  stan u  poszukiwanego.  Korzystną   stroną   m etody  jest  to,

że  n a  podstawie  ostateczn ego  gruboś ciowego  ukształ towan ia  modelu  moż na  bezpoś rednio

wyznaczyć  pole  odkształ ceń  sprę ż ysto- plastycznych.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  A.  J.  ALEKSAN D RÓW,  M .  C H .  ACHMETZJAN OV,  Polarozacjonno- optić eskije  metody mechaniki  deformiru-
jemogo  tela, Izd.  „ N au ka",  Moskwa  (1973).

2.  1. A.  BIRG EU , N ekotorye  obś cije  metody resenija  zadać teoriiplasticnosti,  P .M .M ., 15,  (1951),  765- 770.
3.  M . C H .  ACHMETZJAN OV,  W wydawnictwie  „Poliariz.- opt.  metody  issled.  napriaż enij",  T rudy  V  Vse-

sojuznoj konferencji,  Izd.  WG U ,  Leningrad  1966.
4.  D . L.  BYKOV, V.  A.  SACN EV,  P rikl.  M ech.  i  M at., 33,  n r.  2,  (1969),  290- 298.
5.  B. E.  POBEDRIA,  O  schodimosti metoda  uprugich resenij  v  nelinejnoj viazkouprugosti,  D .A.N .  SSSR.

195,  (1970),  307 -   31.0.
6.  J.  L I E T Z ,  R .  WO J N AR ,  B.  M I C H AL S K I ,  Elastooptyczne  badanie  oś rodka plastycznego  z otworem  walcowym,

metodą  kolejnych rozwią zań  sprę ż ystych,  VIII  Sympozjum  D oś wiadczalnych  Badań  w  Mechanice Ciał a
Stał ego,  Warszawa  (1978).

P  e 3  M  jn e  •

nPH M EH EH H E  METODA  nOCJIEflOBATEHBHfclX  ynPyjTH X  PEIIIEHHfł
K.  nOJMPH3AU,HOHHO- OnTH*IECKHM.  HCCJIEflOBAHHHM

C P E ^ B I  C  lu iT iH iwir a E C K H M   O T B E P C T H E M

B  craTHH npeflcTaBneH o  npHMeHeHiie iwerofla  nocjieflOBaTentH brx  yn p yr u x  peraein iH   flo  dpoToynpy-
r a x  nccjieflOBaHHH   n n acriwecKH X  cpefl.  H3jioH<eHbi  Teopem'- iecKHe  OCH OBBI  U  jiaSoparopH aa  TexHHKa
H 3JiaraeMoro  MeTOfla.  B  c r iyia e  n jiocKoro  H a n p a m e in wr o  COCTOHIIHH   H OJIOCLI  oTBe^aioT  jntHHHM   KH TCH -
CH BH OCTH   KacaTejiLirux  narrpjiwceiniH .

B  paSoTe  n peflC Tasn en  MeTOfl  o n p eflen ein w  H an pn weH iioro  COCTOHHHH   BOKpyr  HHJiHHflpnqecKOH
nycTOibi  H eperyjin pH oro  K o m yp a  npefljiomeH H tiM   cnocoSoM   c HcnonŁ30BaHiieM  ^OToyn pyrax  MORejieft.
OnpeflejieH O  H anpjD Keimoe  cocTOHHHe B xapaKTeprtCTHuecKJux ceiieH H ax so n p yr  nycTOTW B BHfle npaMO-

H   B  BHfle  TnnH xiH oń  ropHOH  pa3pa6oTi<n.

ccjieflOBaHHH   floi<a3BiBaioT,  *m> MeTofl  yn p yr a x  penieHHH   M0H<eT  6 H T B  yccn en m o
p.na  onpeflejieHBW  n an p n weH H o ro  COCTOHHHH   B ynpyro- njiaciH ^ecKUx  cpeflax  B

n n ocK oro  flecbopM H poBai- njoro  C OC TOH H H S.

S u m m a r y

AP P LICATION   OF   TH E  M ETH OD  O F   SU CCESSIVE  ELASTIC  SOLU TION S
TO  PH OTOELASTIC  IN VESTIG ATION S  OF   AN   ELASTO- PLASTIC  M ED I U M

WITH   A  CYLIN D RICAL  CAVITY

Paper  presents  an application  of  a  method  of  elastic  successive solutions  to  photoelastic  investigation
of  a  plastic  medium.  Theoretical  foundations  and  experimental  procedure  of  the  proposed  method  are
presented. In the case  of the plane state of strain fringes  correspond to the stress  intensity lines. An attempt

5*



404  J.  LIETZ ,  B.  M ICH ALSKI, R.  WOJN AR

to  determine the state  of  stress  around a  generally  irregular  cylindrical  cavity  by  means  of  the method of
successive  elastic  solutions  with  the  use  of  photoelastic  models  has  been  made.  Stress  distributions  in
characteristic sections  around a  rectangular  cavity  and  a  typical  arched  mining  excavation  have  been de-
termined. Test results  prove  that th e method may  be  successfully  used  for  the determination  of  the  state
of  stress  in  two  dimensional  elastic- plastic  media  under  plane  strain  conditions.

IPPT  PAN
ZMOC

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  6  kwietnia  1979  r.