Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z4.pdf M ECH AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  17  (1979) N IEU STALON E  P O LE  TEM PERATU RY  I  N APRĘ Ż EŃ   W  N IESKOŃ CZEN IE  D ŁU G IM , WYDRĄ Ż ON YM   WALCU   OG RZEWAN YM   N A  ZEWN Ę TRZN EJ  POWIERZCH N I I  C H Ł O D Z O N YM   N A  WE WN Ę T R Z N EJ JAN   T A L E R  (KR AKÓW) W pracy  wyznaczono  ś cisłe i przybliż one  zależ noś ci  okreś lają ce  nieustalone pole tem- peratury  i  naprę ż eń  w  wydrą ż onym  walcu  wywoł ane  skokowym  wzrostem  strumienia cieplnego  na zewnę trznej  powierzchni  walca  i chł odzonym konwekcyjnie  na wewnę trznej. Rozwią zanie ś cisłe otrzym an o stosują c  przekształ cenie Laplace'a po czasie, natomiast przy- bliż one za  pomocą   m etody  bilansu  cieplnego. Wykaz  waż niejszych  oznaczeń a —•  prom ień  wewnę trzny  walca Bi  liczba  BiotaBi  es  — b —•  prom ień  zewnę trzny  walca c — ciepł o  wł aś ciwe E — m oduł   sprę ż ystoś ci  wzdł uż nej F o  = — s  liczba  F ourieras ar J„(x) — funkcja  Bessela  I- go  rodzaju  n- tego  rzę du  rzeczywistego  argumentu k  =  — stosunek  prom ienia  zewnę trznego  walca  do  wewnę trznego a  ',  .... q ~— strum ień  cieplny r — prom ień T =0~0 CZ T -   X T * =   tem peratura  bezwymiarowa q- b t — czas Y„(x) — funkcja  Bessela  Il- go  rodzaju  n- tego  rzę du  rzeczywistego  argumentu a — współ czynnik  wnikania  ciepł a  od wewnę trznej  powierzchni  wydrą ż o- nego  walca  do  czynnika  wewną trz  walca a T —'Współ czynnik  rozszerzalnoś ci  temperaturowej y„ — pierwiastek  równania  charakterystycznego d(t)  — gł ę bokość  wnikania  ciepł a «  =   —'Współ czynnik  przewodzenia  temperatury c-   Q 538  j .  TALER A — współ czynnik  przewodzenia  ciepł a v —  współ czynnik  P oissona Q — gę stość  m ateriał u <9 —  tem peratura 0 C Z  — tem peratura  czynnika  wewną trz  walca er —  naprę ż enie ""  F  h  naprę ż enie  bezwymiarowe a„  —  n aprę ż en ie  prom ieniowe afgg —  n aprę ż en ie  obwodowe (Tzz —  naprę ż enie  osiowe 1.  Wstę p P ole tem peratury  i naprę ż eń w  wydrą ż onym  walcu  an alizowan e był o za pom ocą  metod analitycznych  w  wielu  pracach  [1 - 10].  Wadą   rozwią zań  otrzym an ych  w  wymienionych pracach jest ich trudn ość praktycznego  wykorzystania  ze wzglę du  n a  ich zł oż on oś ć. W  niniejszej  pracy  wyznaczone zostanie n ieustalon e p o le tem peratury i n aprę ż eń w  wy- drą ż onym  walcu  wywoł ane  skokowym  wzrostem  strum ienia  cieplnego  n a  Zewnę trznej jego powierzchni i chł odzon ym  konwekcyjnie  n a  wewnę trznej.  T em peratura  począ tkowa walca jest  stał a  i niezależ na  od prom ien ia. Z agadnienie  to  zostan ie  rozwią zane  równocześ nie  za  pom ocą   analitycznej  metody ś cisł ej i przybliż onej,  co umoż liwi  ocenę  dokł adn oś ci rozwią zania  przybliż onego  oraz zalet i  wad  obydwóch  rozwią zań. 1.  Pole temperatury Rozkł ad ciepł a (1.1) warunkam i (1.2) (1.3) tem peratury brzegowymi w  walcu  okreś lony dT   x dt  T jest  równ an iem  róż niczkowym  przewodzenia d  r  dT dr  L  dr -   ?, =   ar • ] • • i  warunkiem  począ tkowym 0- 4)  T \ tm0   m  0 Jak  już  wspom n ian o, przedstawione  zostaną   dwa  rozwią zania  sform uł owanego  wyż ej za- gadn ien ia:  ś cisłe  i  przybliż one. N I E U ST AL O N E  P OLE  TEM PERATU RY  I  N AP R Ę Ż EŃ 539 1.1. Rozwią zanie ś dsle.  R ozwią zan ie zagadn ien ia brzegowego  (1.1. - 1.4.) otrzym ane z  wy- korzystaniem  cał kowego przekształ cen ia Laplace'a  p o  czasie  t  m a  postać OD nqa  V"1 gdzie (1.6) Bi I  ' F o  - K- t y n  — pierwiastki  nastę pują cego  równ an ia  charakterystycznego (1.7)  Bi [J 0 (y n )  Y, (k  •   Yn) - Uk-  y„)  Y 0 (y n )]+ Rozkł ad  tem peratury  (1.5)  jest  szczególnym  przypadkiem  rozwią zań  przedstawionych w  pracach  [2, 11]. Zmiany  tem peratury  T  w  ś ciance wydrą ż onego  cylindra w  zależ noś ci  od liczby F ouriera 19 Fo dla  k  -   - r j-  i  Bi  =   3  przedstawion o  n a  rysun kach  1 i  2.  Obliczają c  T (r,  t)  Wg  wzoru T 0,08 0,06 0,0A 0,02 0 \ A i  i \ i Bi k 1   1 = 3,0 =  1,2667 • _ 1.0 0,96 0,92 0.88 0,84  r / b 19 Rys.  1.  Rozkł ad  temperatury  w ś ciance wydrą ż onego walca dla mał ych liczb F ouriera; Bi =  3, k  =   — 15 540 J.  TALER 0.96 0.92 0,88 0.B4  r / b 19 Rys.  2.  Rozkł ad temperatury w ś ciance wydrą ż onego walca dla wię kszych  liczb  F ouriera;  Bi  =   3, Ar  =  —. (1.5) uwzglę dniono 8 wyrazów  szeregu.  Z rysunku  1 wynika,  że w  pierwszych  chwilach od momentu  skokowego  wzrostu  strumienia  cieplnego  nagrzewają   się   powierzchniowe  war- stwy cylindra, podczas gdy  tem peratura wewnę trznej  powierzchni jest równa  począ tkowej, 1.2.  Rozwią zanie przybliż one. Przybliż ony  rozkł ad  tem peratury  w  cylindrze  zostanie wy- znaczony  za  pomocą   metody bilansu  cieplnego.  Tem peratura w  I  i  II- giej  fazie  wnikania ciepł a  zostanie przybliż ona  wielomianem  H - go  stopn ia, co  zmniejsza  dokł adność  rozwią - zania  przybliż onego  [12].  Jednakże  dzię ki  aproksymacji  pola  tem peratury wielomianem, wyraż enia  okreś lają ce  naprę ż enia są   bardzo  proste  i jak  wynika  %  pracy  [12]  dokł adność ich jest  niewiele  mniejsza  od  wyraż eń  otrzymanych przy  zastosowaniu  zmodyfikowanego profilu  temperatury gdy  stosunek promienia zewnę trznego  rury  d o  wewnę trznego  nie jest zbyt  duży  k  <  ~>  3. W  pierwszej  fazie  wnikania  ciepł a  nagrzewanie  wydrą ż onego  cylindra  przebiega iden- tycznie jak  nagrzewanie  peł nego cylindra,  gdyż  „ fron t  tem peratury"  nie  dociera  do jego, wewnę trznej  powierzchni  i  opisane jest  zależ noś ciami  [12]. T - X (1.8) q- b T ,*  = 0 (b- d), gdzie  gł ę bokość wnikania  ciepł a wyznacza  się   z  równ an ia fc N I E U ST AL O N E  F OLE  TEM P ERATU RY  I  N AP R Ę Ż EŃ   541 W  drugiej  fazie  wnikania  ciepł a  pole  tem peratury  przybliż one  zostanie  wielomianem (1.10)  T fi = a + br+cr2  F o 2*F o i Liczbę   F ouriera  F o j  odpowiadają cą   zakoń czeniu  pierwszej  fazy  wnikania  ciepł a  otrzy- muje  się  podstawiają c  w  (1.9)  d =  b- a.  P o wyznaczeniu  stał ych a, b i c z warunków  (1.2) i  (1.3) oraz  z  warun ku (1.11)  r „ | r = 0  =  a =   u{t) i ponownym ich  podstawieniu  do (1.10)  oraz zapisaniu  temperatury w postaci  bezwymia- rowej  otrzymuje się ^  r n - A  1 _  »*(2fc- 2- 2Bifc+ Bi)  _ n- h  '  Ufk- l)   +   2( / t - l)  • l- Bi/ c2- w*  ;•   l~Bi/ ra gdzie ą b  ' Temperaturę   wewnę trznej  powierzchni  walca  u(t) wyznacza  się  z równania  bilansu  ciepl- nego,  które  otrzymuje  się   mnoż ąc  przez  r  równanie  (1.1), a  nastę pnie cał kują c je po  dr w  granicach  od b do  a: (1.13)  —~~ =  a,- au(t)—b- g, Ul gdzie (1.14) b Po podstawieniu  Tu z (1.12)  do (1.13)  otrzymuje  się  równanie róż niczkowe dla okreś lenia u{t), które  po  scał kowaniu  przy  warunku  począ tkowym  u(ł  =  t x )  — 0 prowadzi  do  wy- niku (1.15)  u* -   i r {l  - expt - ^F o- F o, ) ]} gdzie: Fox =   —~ (1.16)  / J, 2 =   54Bi(/ fc- l Porównanie  wartoś ci  tem peratur  obliczonych  wg wzoru  ś cisł ego  (1.5) i  przybliż onego (1.12) przedstawiono w tablicy  1.1. Z analizy  tablicy  wynika,  że dokł adność wzorów  przy- bliż onych  jest  dobra. Porównują c strukturę  (1.5) dla r  — a i dla wię kszych  F Q (F 0   >  F O i) — gdy w (1.5) moż na ograniczyć się  do n =  1, gdyż pozostał e wyrazy  moż na pominą ć z uwagi  na ich mał ą   war- 6  M echan ika  T eo ret .  i  Stos,  4/ 79 542 J.  TALER Tablica  1.1.*  Porównanie  przybliż onych  (1.12)  1 dokł adnych  (1.5)  wartoś ci  temperatury T*  dla  wybranych  liczb  F ouriera F o 0,02 0,04 0,06 0,1 0,2 0,3 0,45 1,0 0,1361 0,1334 0,1989 0,1975 0,2527 0,2512 0,3382 0,3364 0,4647 0,4626 0,5227 0,5205 0,5566 0,5544 0,96 0,0996 0,0973 0,1618 0,1605 0,2150 0,2136 0,2996 0,2979 0,4247 0,4229 0,4822 0,4802 0,5158 0,5137 0,92 0,0700 0,0689 0,01303 0,1294 0,1819 0,1808 0,2638 0,2626 0,3850 0,3836 0,4407 0,4391 0,4732 0,4716 r/ b 0,88 0,0474 0,0478 0,1045 0,1042 0,1533 0,1528 0,2308 0,2302 0,3455 0,3447 0,3982 0,3973 0,4289 0,4280 0,84 0,0318 0,0337 0,0843 0,0848 0,1292 0,1295 0,2005 0,2006 0,3061 0,3059 0,3546 0,3543 0,3829 0,3826 0,8 0,0231 0,0255 0,0698 0,0705 0,1097 0,1103 0,1731 0,1734 0,2669 0,2670 0,3053 0,3100 0,3352 0,3351 0,789 0,0220 0,0244 0,0669 0,0677 0,1053 0,1059 0,1664 0,1668 0,2567 0,2568 0,2982 0,2982 0,3224 0,3224 * —  w  dolnych  wierszach podan o  warfoś ci  tem peratury  obliczone  wg  wzoru  ś cisł ego  (1.5) Tablica  1.2.*  Porównanie  przybliż onych  (1.16)  i  dokł adnych  [7]  wartoś ci  pierwszego pierwiastka równania  charakterystycznego  (1.7) Bi 3 5 10 20 60 1,1* 5,094 6,383 6,376 8,439 8,3998 10,665 10,516 13,747 13,203 1,2* 3,365 3,363 4,117 4,106 5,198 5,15 6,202 6,059 7,319 6,97 1,26667 2,791 2,79 3,369 3,357 4,156 4,106 4,835 4,710 5,531 1,4* 2,100 2,479 2,47 2,953 2,92 3,322 3,24 3,659 3,51 k 1,6* 1,534 1,541 1,765 1,766 2,028 2,01 2,214 2,178 2,370 2,305 1,8* 1,201 1,359 1,366 1,521 1,522 1,630 1,62 1,718 1,695 2,0* 0,980 1,090 1,108 1,202 1,217 1,2734 1,283 1,328 1,333 3,0* 0,480 0,608 *  — w  dolnych  wierszach  podan o  wartoś ci  dokł adn e  wg  pracy  [7] tość —z  rozwią zaniem  przybliż onym (1.15) widać, że zach odzą  zwią zki qb  ^   nqa  Ja(y\ )Yxiyy) — Ji(yi)j A  Bi  ""  I  L aiyA   / n ..  .  „   J * N IEUSTALON E  POLE  TEMPERATURY  I NAPRĘ Ż EŃ 543 W tablicy  1.2.  p o ró wn an o d o kł ad ne wartoś ci  pierwszego pierwiastka  równania  (1.7) z przy- bliż onymi  obliczonymi  wg  (1.16).  Wartoś ci  przybliż one  nieznacznie róż nią  się  od dokł ad- nych  [5], co ś wiadczy  o dobrej  dokł adn oś ci rozwią zania  przybliż onego. 2.  Pole naprę ż eń N aprę ż enie ciepln e  wywoł ane  koł owo —  symetrycznym  polem  tem peratury,  przy  za- ł oż eniu, że  E,  a T   i  v  n ie zależą  od  tem peratury  i poł oż en ia okreś lone  są  wzorami  [1]: (2.D  «rr -   2*"̂ v)  (l  ~ £ ]  (T~Tr), (2.2)  C 0 0  = .  2 ^  _ ^ . oraz naprę ż enia  osiowe  dł a przypadku  swobodnych  koń ców  cylindra gdzie (2.4)  : (2.5) 2  r i 2 - a2  J Podstawiając  do powyż szych  wzorów  ś cisły  i przybliż ony  rozkł ad temperatury ł atwo okreś- lić  naprę ż enia. 2.1.  Sdsly  rozkł ad naprę ż eń. P o  podstawien iu  (1.5)  do  (2.1) —•   (2.3),  p o  prostych  prze- kształ ceniach  otrzym uje  się: 12 (2.6)  tf*- ^f- A - 1 - ^ r - l n —+ 2  a »= i A:2- ] 544 J.  TALER n= l N o(V«) + 1 k 2 - ! 1 ~M' o r a z KentH bie  cpopMyjiM   fljia  onpeflejieinifi  H ecraij;noH apH bix  no^eft  Teiw- n epaTypti  H  HanpfoKeHHH   B  6ecKOHeiHOM   nonoiw  nmumppe.  n p n  nyjieBoM   HauanbHOH   TeM nepaType. B  MOMeHT /   =   0  TenjioBoił   noTOK  ita  BiteinH eft  nosepxH ocTH   noBbmiaeTCH   flo  IIOCTOHHHOH   Ben H m n iw. H a  BH yrpemieft  noBepxH ocTH   ijiuutH flpa  n p o H cxo n u r  KOHBeKTKBHfaiii  Tenjioo6MeH   co  cpefloił ,  Teiwnepa- rypa  KOTOpoft  paBH a  H yjiio. T o tiH oe pacn peflen eH ue  TeM iiepaTypti  on peflejicn o  c noM ombio  npeoópa30BaH na  Jlan n aca  a  npufwiH - weHHoe  peuieH iie  noJiyqeH O  H cnojib3yn  mTrerpajiŁH biii  werofl  TenjiOBoro  6anaH ca. S u m m a r y U N STEAD Y TEM P ERATU RE AN D  TH ERM AL STRESSES I N  A  H OLLOW  CYLIN D ER H EATED ON   T H E  OU TER  AN D   COOLED   ON   TH E  I N N ER  SU RF ACE The  purpose  of  this  paper  is  to  find  temperature  and  thermal  stresses  distributions  in  a  hollow cylinder  with  prescribed  heat flux  across  the outer surface  and cooled  internally  by  fluid. The  cylinder  is  assumed  to  have  zero  initial  temperature. Exact  solution  for  the temperature  distri- bution is obtained applying  the Laplace transform  with respect  to time t and approximate solution  by heat balance  integral  m ethod. Approximate  temperature  an d  thermal  stresses  profiles  are  compared  with  the  exact  solutions.  The agreement  is  quite  good. P OLI TEC H N I KA  KRAKOWSKA IN STYTU T  APARATU RY P R Z E M YSŁ O WE J  I E N E R G E TYKI Praca zosiala  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  29  wrześ nia  1978  r.