Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z4.pdf M ECH AN I KA TEOBETYCZNA I  STOSOWANA 4,  17  (1979) SKRĘ CANIE  PRYZM ATYCZN YCH   P RĘ TÓW JAKO  CIAŁ  Z  WEWN Ę TRZN YMI  WI Ę Z AM I1. I . K R YS T YN A  M A Z U R - Ś N I A DY  ( W R O C Ł AW ) P rzedstawion e  w  niniejszej  pracy  liniowe  techniczne teorie  skrę cania  pryzmatycznych prę tów  wyprowadzon e  został y  n a  podstawie  m echan iki  analitycznej  kon tin uum material- nego  [1]. Jest t o  oryginalny  sposób  podejś cia  do zagadn ien ia  skrę cania, nie spotykany  w dotych- czasowej  literaturze  problem u  bazują cej  n a  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  uzupeł nionej pewnymi  dodatkowym i  h ipotezam i. D zię ki  zastosowan iu  m ech an iki  analitycznej  kon tin uum  materialnego  przedstawione w  pracy  techn iczn e  teorie  skrę can ia  są   wewnę trznie  niesprzeczne,  podejś cie  d o  nich jest jednolite,  pozwalają ce  n a  przejś cie  od  teorii  ogólnej  d o  szczególnych  poprzez  narzucenie na  ruch  prę ta  dodat kowych  wię zów.  Poję cie  wię zów  pozwala  przyją ć  zupeł nie  dowolne warunki  brzegowe,  ja k  n p .  un ieruchom ien ie cał ego przekroju  podporowego  oraz  pozwa- la  n a  kon struowan ie  dowoln ych  teorii  w  sposób  pewny.  Z astosowanie  mechaniki  anali- tycznej  ko n t in u u m m aterialn ego  pozwala  n a  ocenę  zakresu  stosowalnoś ci  każ dej  z  otrzy- manych  teorii  p o p rzez  p o ró wn an ie  obliczonych  dla  zadan ego  prę ta  sił   reakcji  wię zów z  danymi  obcią ż eniami  zewn ę trzn ym i. W  pierwszym  rozdziale  pracy  przedstawia  się   podstawy  mechaniki  analitycznej  kon- tinuum  m aterialn ego  [1]. W  drugim  rozdziale  pracy  konstruuje  się   ogólną   teorię   skrę cania  pryzmatycznych prę tów  opartą   n a  zał oż en iu  n ieodkształ caln oś ci  rzutów  przekrojów  poprzecznych  prę ta na  pł aszczyzny  n o rm aln e  d o  osi  prę t a.  R ówn an ia  omawianej  teorii  wyprowadza  się   bez narzucania  ogran iczeń  n a  funkcję   obrazują cą   spaczenie przekroju,  a  wię c  inaczej  niż w  li- teraturze, gdzie  od  razu  t wo rzo n o  szczególne  teorie, w  zależ noś ci  od  rodzaju  prę ta  i cha- rakteru  obcią ż en ia. W  trzecim  rozdziale  otrzym uje  się   teorię   skrę powanego  skrę cania prę tów  cienkoś cien- nych o otwartych przekrojach poprzez  narzucenie n a ruch prę ta opisany  przez wię zy przed- stawione  w  rozdziale  drugim  dodatkowych  wię zów,  polegają cych  n a  pominię ciu  ką tów odkształ cenia  postaciowego  n a  powierzchn i  ś rodkowej  prę ta  (znane  zał oż enie  Vlasova [2])- I n n e  szczególne  teorie  skrę can ia  oraz przykł ad Zostaną  przedstawione  w  drugiej  czę ś ci pracy  o  t ym  sam ym  tytule. J )  P anu  Profesorowi  Czeslawowi  Woź niakowi  serdeczne  podzię kowania  za  cenne wskazówki  udzie- lone  przy  wykonywaniu  niniejszej  pracy  skł ada  autorka. 554  K.  M AZU R- Ś N IADY 1,  Podstawy  mechaniki  analitycznej  kontinuum materialnego2 W  rozdziale  tym zawarte  są   podstawowe  zał oż enia  oraz  rezultaty  czę ś ci  pracy  [1], dotyczą cej  równań  mechaniki ciał  z  wię zami  geometrycznymi. Poję ciami  pierwotnymi  są :  funkcja  deformacji t**(?(X ) t),X=(X k ),XeB R ,teR,  k  =  1, 2, 3, gdzie  Bi? jest obszarem zaję tym  przez ciał o w konfiguracji  odniesienia, gę stość  masy  w kon- figuracji  odniesienia  g R   =   QR{X),  sił y  masowe  b  =  bk(X,  ł ), zewnę trzne  sił y powierzchnio- we  p R   — (p k )  oraz  pierwszy  tensor  extra — naprę ż enia  Pioli- Kirchhoffa  okreś lają cy  reak- cję   materiał u  ciał a  na  stan  odkształ cenia  T R   =   (T kj). W  dalszym  cią gu  przyjmuje  się ,  że  dan e  są : 1.  równania  definicyjne  wię zów  wewnę trznych  y m (X,  t,  %, V/ ,  ..., V*/ )  =  0, V  ozna- cza  gradient  materialny,  m  =   1, . . . , / ,  które  przez  wprowadzenie  nowych  niewiado- mych^ funkcji  $  =   (^ "(X, t)), a =  1, 2,  ..., n  bę dą cych  w  kolejnoś ci  oznaczeniami dla gradientów  '/ , gs   ..., x\ s t   • ••  Ł - I  moż na  sprowadzić  do  ukł adu  równ ań  rzę du  pierw- szego  wzglę dem  funkcji  wektorowych  % i  &: ( 1 - 1)  K ( X , t ,  J C , V J C , S , V # )  = o , v  =   1 , . . . , / - , 2.  równania  definicyjne  wię zów  brzegowych  (okreś lanych  na oB R )  i kon taktowych  (okreś- lanych  na B R   n  (u8B Y ),  u Ą   =  B R ,  y  =   1, ..., m,  B y r\ B s   =   0  dla  każ dego  y  ^  6) (1.2)  R e ( X ,  S) =  0,   e - l , . . . , ł ,  ,  . 3.  równanie  konstytutywne (1.3)  T R (X, t)  =  G R (X,  V x(X,  t  - s)), s= Q w  którym  G R  jest znanym funkcjonał em  konstytutywnym  m ateriał u  prostego, 4.  zasada  prac  przygotowanych (1.4)  /   gj,(ł ~X)- '  <5ZJt;R+   / ^  •   ózrftfjt  -   /   T R -   V(dz)dvR, BR  SBR  J3R dla  każ dego  d% i  /, gdzie  kropka  mię dzy  symbolami  oznacza  iloczyn  skalarowy. N astę pnie  definiuje  się   nastę pują ce  wielkoś ci  kolejno  jako  masowe,  brzegowe  i kon- taktowe  sił y  reakcji  wię zów Q R r=  Q R (i- b)~DwT R ,  XeB Y , (1.5)  **s  T R n R - p K ,  XeS R ndB R =  8B R ,  „ "R   S  [ T R 1 « R J  AT €  SRnBR, 1}  Oznaczenia  wzorowane  są   na  pracy  [1], L iterami  podkteś lonynti  u  doł u oznaczono wektory  i ten- sory.  Wskaź niki  greckie  a,  (i przebiegają   cią g  1,2,  wskaź niki  ł aciń skie  i, j ,  k,  I przebiegają   cią g  1, 2, 3, zaś  wskaź nik  a  przebiega  cią g  3, 2.  ..., n.  Obowią zuje  urnowa  sumacyjna  wzglę dem  wszystkich  wskaź ni- ków,  (w  tym również  wprowadzonych  w  tekś cie).  Przecinek  poprzedzają cy  wskaź nik  oznacza pochodną czą stkową   wzglę dem  odpowiedniej  współ rzę dnej  materialnej,  kropka  n ad  symbolem  oznacza pochodną podł ug  czasu,  a  symbol  V  oznacza  gradient  materialny.  Kropka  mię dzy  symbolami  oznacza  iloczyn skalarowy  tak  wektorów  jak  i  macierzy,  natomiast  mnoż enie  macierzy  przez  macierz  i  macierzy  przez wektor  zapisuje  się   bez  uż ycia  znaku  dział ania. SK R Ę C AN IE  P R YZ M ATYC Z N YC H   P R Ę T ÓW  I  555 gdzie  n R   =   («/ )  jest  wektorem  jednostkowym  zewnę trznie  normalnym  do  powierzchni S R   -   udB R ,  nawias  podwójny  prostoką tny  oznacza  skok  zawartej  w  nim wielkoś ci  przy przejś ciu przez powierzchnię  S R   w kierunku wektora  —  n R ,  przy czym (1.5) 2i  3  są  speł nione tylko na gł adkich pł atach  powierzchni  S R . Zasadę   prac  przygotowanych  m oż na  (przy  zał oż eniu  odpowiedniej  regularnoś ci  skł a- dowych  T R )  p o zastosowaniu  twierdzenia  o divergencji  zapisać w postaci zasady  idealnoś ci wię zów: (1.6)  /   e R r-   dxdv R +  js & -   d%dd R   =  0,  dla  każ dego  &x i  t, Prawa  zachowania  wyprowadzone  w  punkcie 4 pracy  [1] są ,  podobnie jak  zasada  ide- alnoś ci wię zów, twierdzeniami mechaniki analitycznej kontinuum , w  której  jakoaksjom at przyję to  zasadę   prac  przygotowanych  (1.4).  I n n e,  równoważ ne  podejś cie  podane  jest w  punkcie  16  pracy  [1]. M oż na  wyróż nić  trzy  rodzaje  równań  definicyjnych  wię zów  ( [ł ]) : 1.  Równania definicyjne  wię zów fizycznych,  wyraż ają ce  te wł asnoś ci materiał u  ciał a, które nie  są   opisywane  równaniam i  konstytutywnymi,  a  także  opisują ce  warunki podparcia ciał a. 2.  Równania  definicyjne  wię zów  modelowych,  wyraż ają ce  pewne  hipotezy  odnoś nie  do ruchu  lub  odkształ cenia ciał a  w  danym problemie. 3.  R ówn an ia  definicyjne  wię zów  mają ce  tylko  pomocniczy  ch arakter,  tj.  nie  ograni- czają ce  w  istocie  r u c h u  ciał a. Każ demu  równaniu  definicyjnemu  wię zów  odpowiada  pewien  mnoż nik  Lagrange'a }?  lub  ii".  Jak  wykazano  w  pracy  (3], mnoż niki Lagrange'a  odpowiadają ce pomocniczym równaniom  definicyjnym  wię zów  moż na  wyrugować  z  równań  ruchu  i  warunków  brze- gowych,  wyraż ając  je  liniowo  poprzez pozostał e mnoż niki Lagrange'a. Sił y reakcji  wię zów moż na  przedstawić  w  postaci r  =  r'( X ,  $,  X')+r"(x,  »,  A"), (  '  ]  s R   =  S'R(X>  *;  A',  n')+s' R '{x,  9;  A",  / i ") , w której r', s',  r"  i s"  są  pewnymi  operatoram i liniowymi wzglę dem  mnoż ników Lagrange'a i!  =   (fc'),v  =   1,  ...,r',fi'  =  (fj, Q),Q  =   1  s'  odpowiadają cym  tylko  wię zom  fizycz- n ym  o r a z  m n o ż n i k ów  X"  =   (lv),v  -   r' + \ ,  ...,r",fji"  =   Qie),  Q  -   s'  + l,  ...,s",  o d p o - wiadają cym  tylko  wię zom  modelowym.  Jeż eli  rozkł ad  (1.7)  jest  jednoznaczny,  wtedy ukł ad  sił  r'(X,  t), s' R (X, t)  nazywa  się   ukł adem sił   reakcji  utrzymują cych  wię zy  fizyczne, natomiast  ukł ad  sił  r"(X,  t),  s' R '{X,  t)  ukł adem sił  reakcji  utrzymują cych  wię zy modelowe. Ponieważ  wię zy  modelowe  w  rzeczywistoś ci  nie wystę pują   w  rozpatrywanym  ciele  (są to  jedynie  hipotezy  dotyczą ce  przewidywanej  deformacji  ciał a),  dlatego  utrzymują cy  je ukł ad  sił  reakcji  należy  interpretować jako  pewien  „ fikcyjny"  ukł ad  sił , który  należy do- datkowo przył oż yć  do  ciał a,  aby  deformował o  się  zgodnie  z  postulowanymi  wię zami m o- delowymi.  U kł ad  tych  sił  (»• ", s' R ') nie dział a w  rzeczywistoś ci  na ciał a, jeż eli jedn ak jest on pomijalnie  mał y  wobec  ukł adu  sił   (r' + b,  s' R +j> R ) dział ają cych  w  rzeczywistoś ci  n a  ciał a 556 K.  M AZU R- Ś N IADY (n p.  jest  rzę du  wielkoś ci  sił ,  które  pomijamy  zestawiają c  obcią ż enia  danego  elementu konstrukcyjnego),  t o  wię zy  modelowe  został y  wprowadzone  w  sposób  wł aś ciwy  dla da- nego  zagadnienia.  Wynika  stą d  nastę pują ce  kryterium  fizycznej  poprawnoś ci  wię zów  mo- delowych  ([1]  s.  250- 252) 0.8)  ii(r".tf)ii< «iK&+ i îi+ *Ł)ii gdzie  ||  ...  ||  jest  normą   w  przestrzeni  wszystkich  sił   dział ają cych  na  ciał o,  odpowiednio przyję tą   dla  danego  zagadnienia  oraz  d, 0  <  d  <ś  1, jest  daną   a  priori  dopuszczalną   od- chył ką ,  charakteryzują cą   zakres  stosowalnoś ci  wię zów  modelowych. 2.  Ogólna  teoria  skrę cania  prę tów  prostych Przedmiotem  rozważ ań  jest  prę t,  zajmują cy  w  konfiguracji  odniesienia  obszar  FxP, gdzie  F  jest jednospójnym  obszarem  na  pł aszczyź nie  OXiX 2 ,  ograniczonym  krzywą   od- cinkami  gł adką ,  a  P jest  odcinkiem    osi  X 3   kartezjań skiego  prostoką tnego  ukł adu współ rzę dnych  (rys.  2.1). Rys.  2.1 G ę stość  masy  prę ta  oznaczmy  przez  Q R   — Q R (X),  pole  zewnę trznych  obcią ż eń  masowych b  =  (fix, b 2 ,  b 3 ),  zaś  pole  zewnę trznych  obcią ż eń  powierzchniowych  p R   =  (j>i,p 2 *^3)- Równania  ogólnej  teorii  skrę cania  prostych  pryzmatycznych  prę tów  wyprowadzone na  podstawie  mechaniki  analitycznej  kon tin uum  materialnego  [1]  przedstawiono  w  [4]. Teoria  oparta  jest  n a  zał oż eniu  nieodkształ calnoś ci  rzutów  przekrojów  poprzecznych prę ta  na pł aszczyzny  prostopadł e do  osi  prę ta,  co  uzyskuje  się   narzucają c  na  funkcję   de- formacji  %(X,  t)  nastę pują ce  wię zy (2- 1)  ,  Xm. a   Xm,p =  dy, gdzie  wskaź niki  greckie  przebiegają   cią g  1, 2, wskaź niki  ł aciń skie cią g  1, 2, 3, dla dla a  =  / ?, > hk  dxk' a  umowa  sumacyjna  dotyczy  zarówno  greckich  jak  i  ł aciń skich  wskaź ników. SKRĘ CANIE  PRYZMATYCZNYCH   PRĘ TÓW  I  557 Ł atwo  zauważ yć,  że  w  ram ach  teorii  liniowej  wię zy  (2.1)  są  cał kowalne wzglę dem %. Wyraż ając  funkcję  deform acji  za  pom ocą  wektora  przemieszczenia  u  -   %- X,  otrzymuje się po linearyzacji  ukł ad  równ ań  (2.1)  w  postaci (2.2)  «i , 3 + «a , i  =   0, M 2 > 2  - 0 dają cej  się  scał kować (2.3)  «2 *,  =  ?, gdzie ę  =   2  •   Vz(X 3 ,  ł ),  ?  =   t(X y ,X lt X ia   t)  są  dowolnymi, niezależ nymi, róż n iczkowaln ymi  funkcjami  wszystkich  argum en tów, peł nią cymi rolę współ - rzę dnych  uogóln ion ych.  F u n kcja  q>  jest  ką tem  obrotu,  yi a   przesunię ciami  rzutu  przekroju prę ta  na pł aszczyznę  OX X X 2 ,  £   stan owi  funkcję  spaczenia  przekroju. N ależy  podkreś lić,  że  równ an ia  omawianej  ogólnej  teorii  są  wyprowadzane  bez narzu- cania ograniczeń n a funkcję  deplan acji,  a więc  maczej n iż w  literaturae, gdzie  od  razu kon- struuje  się szczególne  teorie w  zależ n oś ci  od  rodzaju  prę ta i ch arakteru  obcią ż enia. D la  prostego  pryzm atyczn ego  prę ta  zasadę  idealnoś ci  wię zów  (1.6)  m oż na  zapisać w postaci '  L (2.4)  j  [f  s R -   d X d(.dF)+ f  Q R r- d X dF]dX 3  + \ Js R -   d t dF Xt - o  = 0, l  SF  F  F  XfŁ , gdzie  g R r  m  Q R ('i—A)- D iv  T R   są  m asowym i  sił ami  reakcji  wię zów,  s R   =   T R n R - p R   są brzegowymi  sił ami  reakcji  wię zów,  n R   =   (nj)  jest  wektorem  jednostkowym  zewnę trznie normalnym  do  powierzch n i  brzegowej, (   '  ~  8t  ' T R  jest pierwszym  ten sorem extra  n aprę ż en ia P ioli- Kirchhoffa  i wyraża  reakcję materiał u ciał a na stan  odkształ cen ia (1.3). Z warun ku  (2.4) p o podstawieniu  skł adowych przemiesz- czeń  wirtualnych  . i  zastosowaniu  lem atu  d u  Bois- R eym onda  otrzymuje  się  nastę pują ce  równ an ia  ru ch u : T 3J ,  +Q R b 3 Q«, 3 +   Jp a d(dF)+  f  Q (2.5)  **  F  F M 3 . 3 +  J  (p 2 X ±   - Pl X 2 )d(dF)+  j  Q R (b 2 X t   - b l X 2 )dF  = 5F  F J 5F 1  M echanik*  Teoret.  i  Stos.  4/ 79 558  K-   M AZU R- Ś N IADY gdzie Q a   =  /   T 3'dF, (2.6) oraz  nastę pują ce  dynam iczne  warun ki  brzegowe T 3 *n tt - p 3   =  0  dla  X L ,X 2 edF, T 33 n 3   - p 3   =   0  dla  X 3   =   0  i  X 3   =   L , ( 2 - 7 )  fiaH 3  -   f/»„  J F   = 0  dla  X ,  =   0  i  X3  =   £ , M 3 n 3   -   J  (p 1 X 1   - p l X i )dF  =   0  dla  X 3   =   0  i  X 3   =   L . Ogranicza  się  rozważ ania  d o  jedn orodn ych  m ateriał ów  linipwo- sprę ż ystych  dla  któ- rych  pł aszczyzny  X 3   — con st  (przekroje  poprzeczn e  p rę t a)  są  pł aszczyznami  symetrii sprę ż ystej.  R ównania  konstytutywne  (1.3)  m oż na  zatem  zapisać  w  postaci gdzie  ( C y*' ) jest  tensorem  m oduł ów  sprę ż ystoś ci,  przy  czym ,  C 1 1 2 3  =   C m i  =   C 2 2 2 3  = =   C 2 2 3 1  =   C 3 3 2 3  =   C 3 3 3 1  -   C 2 3 1 2  -   C 3 1 1 2  =   0,  zaś  pozostał e  13  współ czynni- ków  jest  róż nych  od  zera. W  rezultacie, p o  uwzglę dnieniu  (2.3)  otrzymuje  się  (2.8) w  postaci (2.9)  T *3 =  r 3 a  =   c > "( c , 1+ vi, ł - 9». iirj) + c r t "1( fi a I + va i l+ ł », , jr 1) . . r3 3  =   c 3 3 3 3 c , 3 . Podstawiając  (2.9) d o  (2.5)  otrzymuje  się  nastę pują cy  ukł ad  równ ań —je d n o  róż niczkowe i trzy  róź niczkowo- cał kowe  dla  czterech  współ rzę dnych  uogóln ion ych Pl d(dF)+Q R f  b, S F  i? (2.10) J  f _ Ł 3^ + C 2 3 M  J  £ , 2 F  F 9>.33+ f S SK R Ę C AN IE  P R YZ M ATYC Z N YC H   P R Ę T ÓW  I  559 +   ( C 1 3 1 V,(2.10) S gdzie Ą  m  (x 2 dF, (iii) i J 2   &  fxfdF, Otrzymane w  p o d o bn y  sposób  dynam iczne  warun ki  brzegowe  mają  postać: 3ł i,Jfx  -   C a313 n a X 2 )   Vt  3  - p3  =   0  dla  Xt,  X%  e  dF, C 3 3 3 3 f> 3  - n3p3  = 0  dla  X3  =   0  i  X3  =   L , l   + C 1323 S 2 )2 dF+C 1323 Fy> u3   + C 2323 Fip 2 , 3   + F  F 1   + C 2323 S 2 )2,3X2- , SK R Ę C AN I E,  P R YZ M ATYC Z N YC H   P R Ę T ÓW  I gdzie  £o =  £o(*o>  ) je st . jio wą  współ rzę dną  uogóln ion ą  a 561 .3.). o  • =«>(«,  T)  =  J(3.3.) 1 1  da da+r dX 2 T = 0 jest  współ rzę dną  wycinkową. W  ten sposób  zagadn ien ie teorii prę tów  cienkoś ciennych sprowadza  się do zagadnienia ciał a z wię zami  wewn ę trzn ym i, przedstawionym i  przy  pomocy czterech niezależ nych współ - rzę dnych uogóln ion ych  c>, ip y ,  y> 2 ,  f 0  bę dą cych funkcjami  współ rzę dnej X3  i czasu  t. W  wyniku  n arzucen ia  dodatkowych  wię zów  powstają  dodatkowe  sił y  reakcji  wię zów, które wprowadza  się d o równ ań  ruch u (2.5) ( 3 - 4 ) M 3>3   +  J  (jp 2 Xt  - pi SSF: 1  ~b1X2)dF+ oraz  do warun ków  brzegowych  (2.7) F 3 X - p 3   -   Sz  dla X t ,X 2 e  dF, T 33 n 3   - p 3   =   >%  dla Z 3  -   0  i  Z 3  =  ^ , (3.5)  &x«3 -   / > «< / F   =  Ą ,  dla X 3   = 0  iX 3 =L , M 3 H 3  -   /   O a ^ i  - PiX2)dF  =  S 9  dla  X 3  =   0  i  X3  =   L . •   '  F Wykorzystując  zasadę  idealnoś ci  (1.6)  dla wię zów  dodatkowych (3.6)  J  (  f Ą ófd(0F ) +   /   r {«WF +  rVi tyx  +  r^  dyi3 +  r^ 3< p3,  oraz  stosując  lemat  du  Bois- Reymonda  otrzym uje  się n astę pują ce  równ an ia ruch u fp 3 d(8F)+ SF f SF (3.7) f  (pa.s 562  K.  M AZ U R  Ś N IADY (3.7)  +   J tcd]  F oraz  równania  konstytutywne  dla  uogóln ion ych  sil Q  m  JT 33 dF, M a =   fT 33 X a dF,  um  1,2, (3.8)  * Ms Af.a  jT 33odF. F W  analogiczny  sposób  otrzymuje  się   dynam iczne  warun ki  brzegowe,  które  obowią zują na  skrajnych  przekrojach  ( Z 3  =  0  i X3  =  L) -   Jp 3 X a dF- =:0, M a n 3 (3.9) - n 3   f Pa dF-   f  Q R x 3 X a dF  =  0, BF  F  F Q R b 3 wdF+  Jp 3 cod{d)F)- n 3   J  (p 2 X t - p L X z )dF- 8F  F / QRhtodF  =   0. F / F Ogranicza  się   rozważ ania  do jedn orodn ych  m ateriał ów  liniowo- sprę ż ystych,  dla  któ- rych  pł aszczyzny  X 3   =   const  (przekroje  prę ta)  są  pł aszczyznam i  sym etrii  sprę ż ystej  (2.9), co p o uwzglę dnieniu  (3.2)  daje  konstytutywne  równ an ia  m ateriał u  w  postaci (3.10)  r 3  = T 33  - P o  podstawieniu  (3.10)  d o (3.8)  otrzymuje  się  uogóln ion e  sił y  w  postaci M i  Si  C 3 3 3 ^ - ^, 33/ 12- V2.33Z! ~   C>. (3.11)  AT SKRĘ CANIE  FRYZMATYCZNYCH   recrów  i  563 gdzie a F Sa 3 S ml  s J Ja 3  Jo> 2dF, natomiast  równ an ia  ru ch u  (3.7) w  postaci  ukł adu czterech  sprzę ż onych  równ ań róż nicz- kowych C 3333 (FC 0 , 33 S 2 y> ki333 ~S t ip if333 - S lo i,a- Sm'i> .3), F C  ( JJ2?0,333~ - '21'yi.3333~ Jl2V'2,3333~ "'S a>29',3333 + J  (b^ X.+b^ dF  =  e «( 5 2 f 0 , 3 - /2 Vi , 3 3 -J 3F (3 12)  C "3 3 ( ' S ' l fo , 3 3 3 - / l 2 Vx. 3 3 3 3 - ^ 2 . 3 3 3 3 - 5 ^ . 3 3 3)  + JJ 3F f  (h, 3 X 2 +b 2 )dF  -   ^ ( 5 ^ 0 , 3 - +  GJ B

+ 62A'1 - biX^ dF  =  g F ~S*1  V»2,33 - Ja, A ) 2 dF- 2C 1323   J (X t   - co t2 )  (X z +a), l )dF+ F  F J  ( ^ - aytfdF. F Warun ki  brzegowe  (3.9)  dla przekrojów  X 3   =  0 i X 3   — Ł ,  p o uwzglę dnieniu  (3.11) przyjmują   postać 564  K.  M AZU R- Ś N U PY 2, 33 S a cp, 33 )- n 3 f F C 3333 (S 2 C 0t3 ~J 2 ip u33 ~J 12 ip 2>33 ~S a2 (p t33 )- n 3 F Jp 3 C0CiF  =  0 , F Jb 3 X 1 dF+ (3.14) +   jl SF C 3333 (S L   £„,33 - /ł 2Vl, 3 3 3  - Ą  V2.333 " ^ 1  9?,333) + QR  J • + j 8F 6*  Jb 3 codF+  jp 3 cad(dF)- n 3   j  (p 2 Xi  - piX 2 )dF S  F j SF  F P o  wyznaczeniu  współ rzę dnych  uogóln ion ych  (p,  ę a ,  f0   z  równ ań  ruch u  (3.12), dyna- micznych  warun ków  brzegowych  (3.14)  oraz  odpowiedn ich  warun ków  począ tkowych m oż na  wyznaczyć  skł adowe  stan u  przemieszczenia  u a (X,  t)  z  (2.3)  i  u 3 (X,  t)  z  (3.2), skł a- dowe  stan u  naprę ż enia  T kl(X,  t)  z  (3.10)  oraz  dodatkowe  sił y  reakcji  wię zów  ze  wzorów (3.4)  i  (3.5). N ależy  przypom nieć,  że  oprócz  dodatkowych  sił   reakcji  wię zów  wystę pują  takie  siły reakcji  wię zów  wyraż one  wzoram i  (2.13),  w  których  T IJ  oblicza  się  z  (2.9),  a  współ rzę d- n e uogóln ion e  J, y> ls   tp 2 ,