Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS79_t17z1_4_PDF_artyku³y\mts79_t17z4.pdf M ECH AN I KA I  STOSOWANA 4.  17 (1*79) SKRĘ CANIE  P RYZM ATYCZN YCH  P RĘ TÓW  JAKO  CIAŁ  Z  WEWNĘ TRZNYMI  WIĘ ZAM I.  II KRYSTYN A.  M A . Z U R - S N I A . D Y  (WR OC Ł AW) W  pierwszej  czę ś ci  pracy  przedstawion e  został y  ogólna  teoria  skrę cania  pryzmatycz- nych  prę tów  oraz  teoria  skrę powan ego  skrę cania  prę tów  cienkoś ciennych  o  otwartych przekrojach,  wyprowadzon e  n a  podstawie  m echan iki  analitycznej  kon tin uum  material- nego  [1]. W  1  i  2  rozdziale  niniejszej  pracy  n arzuca  się   (podobn ie jak  w  rozdziale  3 pracy  [2]) na  ruch  p rę ta  opisan y  wię zami  realizują cymi  nieodkształ calność  rzutów  przekrojów  po- przecznych  p rę ta  n a  pł aszczyzny  n orm aln e  do  osi  prę ta  dodatkowe  wię zy,  co  pozwala otrzymać  inne  szczególne  teorie  skrę cania. W pierwszej  czę ś ci  rozdział u pierwszego  dodatkowe wię zy rozdzielają   zmienne w  funkcji spaczenia  przekroju  oraz  przedstawiają   sobą   pewien  ukł ad  równ ań  róż niczkowych  (w po- staci  ogólnej).  W  ten  sposób  otrzym uje  się   teorię   skrę powanego  skrę cania  prę tów  o  zwar- tym  przekroju. W  celu  ilustracji  otrzym an ej  teorii  w  drugiej  czę ś ci  rozdział u pierwszego  przedstawia się   równania  otrzym an e  w  przypadku  wsporn ika  o  zwartym  przekroju. W  rozdziale  drugim  dodat kowe  wię zy  uniezależ niają   funkcję   spaczenia  od poł oż enia przekroju  poprzeczn ego  prę t a,  co  pozwala  otrzym ać  techniczną   teorię   skrę cania  prę tów o  zwartych  przekrojach . Rozdział   trzeci  zawiera  przykł ad, jego  przedm iotem jest jedn orodn y,  izotropowy,  nie- waź ki  prę t  o przekroju  w  kształ cie elipsy,  o poboczn icy  wolnej  od  obcią ż eń  zewnę trznych, skrę cany  w  sposób  statyczn y  param i  sił  dział ają cymi  w  koń cowych  przekrojach. W  celu  uzyskan ia  rozwią zan ia  stosuje  się   najpierw  ogólną   teorię   skrę cania,  przedsta- wioną   w  rozdziale  d ru gim  niniejszej  pracy,  obliczają c  przemieszczenia,  naprę ż enia  oraz siły  reakcji  wię zów.  N ast ę pn ie stosuje  się   techniczną  teorię   skrę cania  prę tów  o  przekroju zwartym,  przedstawion ą   w  rozdziale  pią tym,  obliczają c  przemieszczenia,  naprę ż enia  oraz dodatkowe  sił y  reakcji  wię zów. P rzeprowadza  się   an alizę   rozwią zań  uzyskan ych  wedł ug  obu  teorii uwzglę dniając  wiel- kość  sił   reakcji  wię zów,  kt ó ra,  jak  wiadom o,  stan owi  kryterium  zakresu  stosowalnoś ci teorii. P on adto  rozdział  szósty  zawiera  porówn an ie równ ań wraz  z rozwią zaniami  technicznej teorii  skrę can ia  prę t ów  o  zwartym  przekroju  w  przypadku  prę ta  bę dą cego  przedm iotem przykł adu  z  równ an iam i  i  rozwią zaniami  teorii  swobodnego  skrę cania,  otrzym anym i przez  Sain t- Ven an ta  w  ram ac h  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  ([3]  s.  177 - 187,  [4] s.  366- 387). 568 K.  M AZU R- Ś N IADY 1.  Skrę canie  skrę powane  prę tów  o  zwartych  przekrojach1 1.1.  Ogólne równania Przedmiotem  rozważ ań  jest  pryzmatyczny  prę t  o  zwartym  prze- kroju,  ograniczonym  krzywą   odcinkami  gł adką   (rys.  1.1).  G ę stość  masy  prę ta  oznacza '  się  jak  poprzednio przez  Q R   i zakł ada  się ,  że  dan e  są   pola  zewnę trznych  obcią ż eń  maso- wych  b  =. (bi,  b 2 ,  b 3 )  i  zewnę trznych  obcią ż eń  powierzchniowych  p R   —  (j)i,p 2 ,p 3 ). Rys.  1.1 Równania  teorii wyprowadzone  na  podstawie  mechaniki  analitycznej  kontinuum ma- terialnego  [1] przedstawiono  w  [5], ograniczają c  nich prę ta  opisany  w  [2] za  pomocą  wię - zów  (2.1)  dodatkowymi  wię zami  wewnę trznymi  narzuconymi  n a  funkcję   spaczenia «,   0 .( l. i. l) oraz;  ukł adem równań  róż niczkowych y v ,(,V0) =  O  »Vi> Va»«)~ Q  d l a Z 3  =   0 i ^ 3 = J Ł !  S'  =   UZ  / ', & . ( # . * . )  -   0  dla  X t ,X 2 edF,   e "  —1 , 2 ,  . . . , / ", gdzie  (  ) i S  oznacza róż niczkowanie po  stycznej  do brzegu  dF. Rozdzielają c  zmienne w  funkcji  spaczenia  przekroju  za  pomocą   wię zów  (1.1.1) wpro- wadzono nowe współ rzę dne uogólnione  e i u>,  przy  czym  e(X 3 ,  t)  okreś la  stopień  skrę po- (1 . 1 . 3 ) 1 }  Oznaczenia  wzorowane  są   na  pracy  [1J.  Literami  póigrubymi  oznaczono  wektory  i  tensory. Wskaź niki  i, j  przebiegają   cią g  1, 2, 3,  wskaź niki  a,/ ?, przebiegają   cią g  1,2.  Obowią zuje  konwen- cja  sumacyjna  wzglę dem  wszystkich  wskaź ników.  Przecinek  poprzedzają cy  wskaź nik  oznacza  pocho- dną   czą stkową   wzglę dem  odpowiedniej  współ rzę dnej  materialnej,  kropka  nad symbolem  oznacza  po- chodną   podł ug  czasu  a symbol  y  oznacza gradient  materialny. SKRĘ CAN IE  PRYZMATYCZNYCH   PRĘ TÓW  H   569 wania  skrę cania  n a dł ugoś ci  prę t a, a   m o ż na  przedstawić  w  postaci Yi  =  8) 3 -   0, zaś  lewe  stron y  ró wn ań  (1.1.2) 2  i  (1.1.3)  przyją ć  toż sam oś ciowo  równ e  zeru.  I nną   szcze- gólną   teorią   m oże  być  teoria, w której  n arzuca  się  z góry  postać funkcji  0,  przyjmują c  ją np.  jako  wielom ian. Wię zy brzegowe  (1.1.3)j  n arzucon e są  n a funkcje  zależ ne  od X 3   i t na  koń cach prę tów natomiast  (1.1.3) 2  n a funkcję   0  i jej poch odn ą   p o  stycznej  d o brzegu  dF na  pobocznicy prę ta. W  drugiej  czę ś ci  rozdział u  pierwszego  zostan ie  przedstawiony  przykł ad  wię zów  brze- gowych  (1.1.3),  bę dą   t o wię zy  realizują ce  peł n e  utwierdzenie  cał ego  przekroju  poprzecz- nego  skrę canego  wspornika^  . W  dalszych  rozważ an iach  zawartych  w  omawianym  podrozdziale  pracy  korzysta  się z  ogólnej  postaci  wię zów  (1.1.2)  i  (1.1.3),  wprowadzają c  m noż niki  Lagrange'a  X" i X'" odpowiadają ce  ukł adowi  równ ań  (1.1.2)  oraz  / ie' i  IJP"  odpowiadają ce  warun kom  brze- gowym  (1.1.3). W  wyniku  wprowadzen ia  dodatkowych  wię zów  (1.1.1),  (1.1.2)  i  (1.1.3)  powstają   do- datkowe  sił y  reakcji  wię zów,  kt óre,  analogicznie ja k  w rozdziale  (3) pracy  [2],  wprowadza się   d o  równ ań  ruch u  (2.5)  w [2]: T3^!jJhQRb3 Jl-   Rc  m  QRX3)  • : . • '• G «, 3+   Jp a d(dF)+  j QR b a dF+R va   = BF  F  • 2 X t   - Pl X 2 )d(dF)+  f  S K M   ~b 1 X 2 )dF+R v   = F / SF ! F oraz  d o warun ków  brzegowych  (2.7)  w [2] T 3a n a - p 3   m S t   dla  X l ,X 2 edF, T 33 n 3 - p 3   = S c   dla  X 3   =  0  i  X 3   =  L , (1.1.5)  2 « « 3 -   J p a dF  =  S^   dla  X 3   =  0  i  X 3   =  L , F M 3 n 3 ~  j  (p 2 X lT Pl X 2 )dF>'=>  S vx   d la  X 3   =  0  i  X 3   =  L , F  •   .  .  .  • gdzie  Q a   i  M 3   dan e  są   równ an iam i  kon stytutywn ym i  (2.6)  w [2]. 570 K.  M AZU R- Ś N IADY N astę pn ie  koraysta  się   z  zasady  idealnoś ci  wię zów  dla  wię zów  dodatkowych ,  która po wprowadzenm  mnoż ników  Lagran ge'a  i  zastosowaniu  twierdzenia  o  divergencji  przyj- muje  postać (1.1.6)  f{ f  S&d(dF)+  J 0  SF J + f gdzie  wskaź nik  v  przebiega  cią g  1,2,  ...,p',p'  + l,p'+2,  ...,p'+p",  zaś  sum owanie na- leży  wykonać  p o  v,  Q\  Q",  m,  a,  k. D zię ki  wprowadzeniu  mnoż ników  Lagran ge'a  m oż na  t rakt o wać  wariacje  funkcji  ę , ip a ,  s,  0  jako  niezależ ne.  Podstawiają c  do  (1.1.6)  skł adowe  przemieszczeń  wirtualnych (1.1.7) stosują c  lemat  du  Bois- Reymonda  otrzymuje  się   nastę pują cy  ukł ad  równ ań =   0 , (1.1.8) SF SKRĘ CAN IE  PRYZMATYCZNYCH   PRĘ TÓW  n 571 -   O, oraz  nastę pują ce  warun ki  brzegowe (1.1.9) fi Q "  ~~-   (1 +  e)dX 3   =  0  w miejscach  poł ą czenia gł adkich pł atów  brzegu  dF, o J \   3 f 3 d  ̂ \ Sxu3 VX2 =   0  dla X 3   =  0  i  X 3   =  L , A  dF «  0  d l a  X 3 =   0  i  JST3 =   L , / ^O  dla  f 3 = 0  i  Jf3  =  i , dla  X 3   =  0  i  X 3  =  X. R ówn an ia  (1.1.8)  p o  podstawien iu  sił  reakcji  wię zów  ze wzorów  (1.1.4)  i  (1.1.5)  oraz po zastosowaniu  twierdzen ia  o divergencji  przyjmują   postać ^ (1.1.10) J ^T3a, (l f BF J F f Pi d(dF)+ m J F = f 572  K.  M AZU R- Ś N IADY f f (T *% - Ti3X 2 \  3 +  r^ - X,  -  Vjg- Xi] dF+  f (p2Xt ( 1.1.10)  /   L  Ó l 2  Ć Xl  J  3F gdzie 0 1  in  T iJ  —  "T'J  • ••   J 1 *  * ' . 1 . 1 1  I  - I  —  -*  A  * P o  podstawieniu  sił  reakcji  wię zów  (1.1.5)  oraz  zależ noś ci  (1.1.11)  d o  warun ków  brze- gowych  (1.1.9), otrzymuje  sieje  w  nastę pują cej  postaci dla  X t ,X 2 eBF, L  •   ' H Q "- £f— (1 +  s)dX 3   =   0 w pu n kt ach poł ą czen ia  gł adkich pł atów brzegu  dF, F   -   0  dla  X 3   =   0  i  X,  =   L , J ( (1.1.12) F dla  X 3   =   0  i - i ?2 j dla  X 3   =  0  i  T 3  =   L . Wystę pują ce  w  dynamicznych warun kach brzegowych  (1.1.9)  i  (1.1.12)  zewnę trzne sił y powierzchniowe  interpretuje  się albo jako  obcią ż enia  zewnę trzne  albo  reakcje  podparć. P o  wyznaczeniu  współ rzę dnych  uogóln ion ych  e,  0,  y>i, f 2 ,  i,ip2,

  VI »  V>2>  e )  =  °  dla  X 3   m\ L , / V ( * » * « ) s 0  d l a  ^ i . ^ e S F . Po  uwzglę dnieniu  (1.2.1) i  (1.2.2) równania (1.1,10) przyjmują   postać J  [T 3a , a (l  + e)- T 33 e, 3 ]dX 3   + \ p 3 (l  + B)\ x ^ L +  f  Q R b o  o -  J J ( r 3 3 , 3 *- r3 f l l ^ , ) ^ +   Jp 3 0d(dF)+  j eR b 3 0d (1.2.3)  /   r 1 8 , 3 d F +   JPld(dF)+  j  QKbxdF -   /   e ^  - ?X2)dF, F  BF  F  F Jr 23 i3 dF+  Jp z d(8F)+  JQ R b 2 dF=  f Q R (ip 2 +fX t )dF, F  BF  F  F f  (T 23 X i - T 13 X 2 ), 3 dF+  /   (pajrt  - PtX2)d(dF)+  f  ą R(fi2 F  F  F F Analogicznie  otrzymuje  się  warun ki  brzegowe  (1.1.12) L (1.2.4)  /   (T 3'n a   - p 3 )  (1 +  e)dX 3   -   0  dla  X,, X 2   e  BF, o f  (_ j- 33 - .p^ &dF- piF  =  0  dla  X 3 =0, i  Mechanika Teoret.  i  S tos.  4/ 79 574  K.  M AZU R- Ś N IADY /   (T 33  ~p 3 )0dF  m  0  dla  X 3   ==  L , J(~T 13 ~p 1 )dF+(t 2 f~~dF- / ł 3 F  = 0  dla  X* -   0, F  F  .  2 f  (T 13 ~p t )dF=0  dla  X 3   =  L , - dF- ^ F=0  dla  X3  =  0, dla  I 3  =   I , p 2 X 1   +p 1 X 2 )dP- fi 2 2F- fi 4 S z +/ i 3 S i   =  0  dla  X 3   =  0, •   • T 13 X 2 - p 2 X l   +p 1 X 2 )dF  m  0  dla  X 3   =   L ./ .  F W  dalszym  cią gu  ogranicza  się   rozważ an ia  d o  przypadku  jedn orodn ych marteiał ów liniowo- sprę ż ystych,  dla  których  pł aszczyzny  X 3   — con st  są   pł aszczyzn am i symetrii  sprę - ż ystej,  co  p o  uwzglę dnieniu  (2.9) w  [2] i  (1.1.1)  prowadzi  d o (1.2.5)  J « 3  =   r « 3  =   C o t 3 1 3 [ ^ r3 3  =   c 3 3 3 3 * , , 3 . Podstawiają c  (1.2.5)  do  (1.2.3)  otrzymuje  się   nastę pują cy  ukł ad  pię ciu  równ ań  róż- niczkowo- cał kowych 3 + L + s) 2 dX 3 - C 3333 0j  e 2 3 dX 3 , 0 L =   Q R 0  f  (1 +  e)dX 3   + Q R 0  j  edX 3l o  ,  o  o 33 f02dF- (c1313  J02t  dF+2C1323  J0 il 0, 2 dF+C 2 o 2323  j (  (0 1 dF+C i323   {0   2 dF)y 13 - (c i323   (0. 1 dF+C 2i2i (1.2.6)  ;  F  "  /   '  \   F J&, 2 dF) V2i3 - \ - C 1313   J0 il X 2 dF+C 1323   J(0 ii X 1 - 0, 2 X 2 )dF+C 2il1 F  .  F  F ), 2X1rfF ]9?i3+   Jp30d(dF)+eR  Jb30dF=QR{l  + e) J0dF+QR'e  J 0dF, 8  F  F  F J 8F J F  F + (- C 1313 S 1   + C 1323 S 2 )(p, 33 +  jp x d(dF)  + Q R   Jb 1 dF  = SF  F SK R Ę C AN IE  P R YZ M ATYC Z N YC H   P R Ę T ÓW  n  575 fp 2 d(d)F+Q R   jb 2 dF=f SF (1.2.6)  -   [ c 1 3 1 3  j®,   i X 2 dF+C' 323   j  (0 >2 X 2 ~0, 1 X l )dF- C 2323 [cd]  r  F - ( C1 3 1 3 S 1 - C 1 3 2 3 5 2 ) v 1 . 3 f  (P2Xi- 3 f 3F P odobnie,  podstawiając  (1.2.5)  d o (1.2.4)  otrzymuje  się warunki  brzegowe w  nastę- pują cej  postaci  , ini - X 2 n 2 )  + C 2323 X t n 2 ]  j  y, s(l  +  e)dX3 + •   o L  L ni   + C 1323 n 2 )  /   V l , 3( 1 +  e)dX3 +  ( C 1 3 2 3 W l  +  C 2 3 2 3 «2 ) /   V 2 , 3 ( l +  e)dX3 - 0 j  p 3 (  ) 3   = 0  dlaXtX ~ C 3 3 3 3 e , 3  /  0 2 dF-   jp^ dF- ^ F  =  0  dla  X 3   =  0, F  F C 333£ , 3  J  # W -   jpz0dF  =  0  dla  Z 3 =   L, (1.2.7) JJ  0  dla ( c 1 3 1 3  J0, t dF+C 1323   J 0, 2 dF) (1 F  F  . +  (- C 1313 S 1   + C 1323 S 2 ) •  I . P o rozwią zaniu  ukł adu równ ań (1.2.6) z uwzglę dnieniem  warun ków  brzegowych  (1.2.7) i  (1.2.2)  oraz warunków  począ tkowych  ze wzglę du  n a niewiadom e współ rzę dne uogólnione 0,  e, f ls   fi,  q>,  m oż na  wyznaczyć  skł adowe  stan u  przemieszczenia  u x (X,  t)  z  (2.3)  w [2] i  u 3 (X,  t)  z  (11.1),  skł adowe  stan u  n aprę ż en ia  7"*' z  (1.2.5)  oraz  dodatkowe  sił y  reakcji wię zów  ze wzorów  (1.1.4)  i  (1.1.5). N ależy  uwzglę dnić  także  sił y  reakcji  wię zów  przedstawion e  w  [2] za  pom ocą  (2.13), gdzie  T ij  oblicza się z  (2.9) w  [2] n atom iast współ rzę dne uogóln ion e £,yi,  f.i,  K  «•   (.pi,p2,Pz). R uch  prę ta  ogranicza  się, oprócz  wię zów  opisan ych  w pracy  [2] za pom ocą  zależ noś ci (2.1),  wię zami  dodatkowym i (2.1)  w3  =   £  »  * . gdzie  0  m 0[X L ,X 2 ,  t)  jest  nową  współ rzę dną  uogóln ion ą. W  ten sposób  uzyskuje  się  funkcję  spaczenia  przekroju  stał ą  n a  cał ej  dł ugoś ci  prę ta i zależ ną  od kształ tu przekroju  poprzeczn ego p rę ta w  dan ej chwili / . Inaczej  m oż na  by  otrzym ać  równ an ia  omawianej  teorii  korzystając  z  teorii  skrę cania skrę powanego  prę tów  o zwartych  przekrojach ja k t o przedstawion o  w  rozdziale  1. Sposób  zastosowany  w  niniejszym  rozdziale  jest  zn aczn ie  prostszy. Wprowadzając  dodatkowe  wię zy  (2.1) należy  uwzglę dnić  powstan ie  dodatkowych sił reakcji wię zów; które  wprowadza  się,  analogicznie ja k w rozdział ach 3 pracy  [2] i  1  niniej- szej  pracy,  d o  równ ań  ruchu  (2.5) w  [2] SK R Ę C AN IE  P R YZ M ATYC Z N YC H   P R Ę T ÓW  I I  577 /   Q R b a dF+R va   = (2.2)  M 3 , 3   + ć tP f F oraz  do  warunków  brzegowych  (2- 7)  w  [2] . T 3 «n a   - p 3   -   S t  dla  J a ,  JTa 6  8F, - p 3 ~Ss  dla  X3  =   G   i  X3  =  L , (2 3)  Q a n^ -   jP.dF  =  S m   dla  * s  =   0  i  X3  =   L , Af 3 « 3 -   f  (foJTj  - pyXx)dF  =   Ą,  dla  ^ 3  =   0  i gdzie (?a i Af3  dan e  są  równaniam i  konstytutywnymi  (2.6) w  [2]. Z asada  idealnoś ci  dla  wię zów  dodatkowych  przyjmuje  nastę pują cą  postać: L (2.4)  /   [  /   S t d£d(dF)+  f  Ą dCdF+R vl   dtp, +R v xtop 2 +R ę dĄ  dX 3 +,, \ J  0X L̂  m  0. F Podstawiając  skł adowe  przemieszczeń  wirtualnych dx,  = (2.5)  óx 2   - d X z~W . do równania  (2.4)  i  korzystając  z  niezależ noś ci  wariacji  współ rzę dnych  uogólnionych  oraz z lematu  du  Bois- Reymonda  otrzymuje  się  nastę pują cy  ukł ad  równań o (2.6)  R vl   -   0, J?V2  =  0 , oraz  odpowiadają ce  m u  warun ki  brzegowe jS c dX 3   =  0  dla  Xy,X 2 e  dF, . . . . . . • •   0  .  • . • • ' . ' • • " ••   ' . • • - ' (2.7)  S vi   = 0  dla  X 3   =   0  i  JC3  =   L , S v2   =  0  dla  ^ 3  =   0  i  X3  =   L , 5 ;  =   0  dla  X 3  =   0  i  X3  =   L . 578  K.  M AZU R- Ś N IADY Równania  (2.6)  po podstawieniu  sił  reakcji  wię zów  ze wzorów  (2.2)  i  (2.3)  oraz  po zastosowaniu  twierdzenia  o  divergencji  przyjmują   postać f  T ^ a dX 3 0  0   0 fT i3 , 3 dF+  f Pl d(dF)+  fQ R hdF=  f  e R (- vX 2 +y> L )dF, F  dF  F  F (2.8)  /   T 23, 3 dF+  fp 2 d(6)F+ F  SF f j SF  F 3 dF+  j  {p 2 X t   - p L X 2 )d(dF)+ dF Q f ,{b 2 X l - b t X t )dF  =  / ' F natomiast  warunki  brzegowe  (2.7) po  analogicznych  przekształ ceniach dane są   przez L r 3*^- p 3 ) dX 3   -   0  dla  Xi, X 2  e dF, (2.9) /   ( r 1 3 « 3  - pddF  = 0  dla  Z 3 =  0  i  X3  =  L , J  (T 23n 3   - p 2 )dF  = 0  dla  X a >  0  ł  X3  »  L , F  • /   [ ( r 2 3 xt -  r 1 3jr 2) «3 - p2xt  +Pi  x2w  =  o  dla  x3  =  o i x3  =  L . Ograniczają c  rozważ ania do materiał ów jedn orodn ych, liniowo- sprę ż ystych,  dla  których pł yszczyzny  X 3   —  const  są  pł aszczyznami  symetrii  sprę ż ystej  i  uwzglę dniając  (2.9)  w [2] i  (2.1)  otrzymuje  się  równania  konstytutywne  m ateriał u  w  postaci Podstawiają c  (2.10)  do (2.8)  otrzymuje  się  ukł ad  czterech  równań  róż niczkowych  dla czterech  współ rzę dnych  uogólnionych  0,  ip 1 }  f2,  c>: (2.11)  C 1313F y1.> 3» +  C 1 3 »ir V 2 . 33 +  ( - C 1 3 1 3 S 1 +  C 1 3 »5' 2 ) c > . 3 3+   j  pLd(dF)+ SKRĘ CAN IE  PRYZMATYCZNYCH   PRĘ TÓW  II  579 Jp 2 d(dF)+ F J dF .  33  + F Analogicznie  otrzym uje  się   warun ki  brzegowe,  wstawiają c  (2.10)  d o  (2.9) z, dla  X lt + C 1323 S 2 ) 3 + 2 + C a 3 a s ^ ) c ) ( 3 - »3  /   (paJTi - PiX2)  dF  = 0 . " . ' • "  •   '  F  • dla  X 3   = 0  i  X 3   =  L . P o  wyznaczeniu  współ rzę dn ych  uogóln ion ych  &,  ę ,  ip lt   y> 2  z  równ ań  ruchu  (2.11) i  dynamicznych  warun ków  brzegowych  (2.12)  oraz  odpowiednich  warunków  począ tko- wych m oż na wyznaczyć  skł adowe  stan u przemieszczenia  u a (X,  t)  z  (2.3) w  [2] oraz w3(Ar,  t) z  (2.1),  skł adowe  stan u  n aprę ż en ia  T U(X,  t)  z  (2.10)  oraz  dodatkowe  sił y  reakcji  wię zów ze wzorów  (2.2)  i  (2.3).  : P onieważ  zach odzą   zwią zki  (2.6)  i  (2.7), róż n ymi  od  zera  dodatkowym i  sił ami  reakcji wię zów  są (2.13) 580  K.  M AZU R- Ś N IADY S,  =   - p 3   d la  X 3   =•   0  i  X 3   =   L , dla  X 1 ,X 2 edF, Oprócz  sił   reakcji  wię zów  (2.13)  wystę pują  także  sił y  reakcji  wię zów  (2.13)  w  [2], dla których  T y  należy  wyznaczyć  z  (2.9) w  [2] a współ rzę dne uogóln ion e  f,  ę t ,  y> 2 ,  f  stanowią rozwią zanie  ukł adu  równ ań  (2.10) w  [2] wraz  z  warun kam i  brzegowym i  (2.12)  w  [2] i wa- run kam i  począ tkowym i. 3.  Przykł ad R ozpatruje  się  pryzmatyczny, jedn orodn y, izotropowy  p ręt  o  dł ugoś ci  L   i  o przekroju poprzecznym  w  kształ cie  elipsy.  Osie  X t   i  X 2   ukł adu  współ rzę dn ych  kartezjań skich OX^ XT ,  są  zarazem  gł ównymi,  cen traln ym i  osiami  bezwł adnoś ci  przekroju.  Przyjmuje się,  że pręt  obcią ż ony  jest  w  sposób  statyczny  param i  sił  dział ają cymi  w  koń cowych  prze- krojach  prę ta, n atom iast powierzchnia boczn a p rę ta jest  woln a  od  obcią ż eń  zewnę trznych. Pomija  się  wpł yw  sił  masowych.  R ys.  3.1  przedstawia  p ręt  obcią ż ony  m om en tam i skrę ca- ją cymi  M s   >  0  (zwrot  wektora  m om en tu przyję to  zgodn ie  z  reguł ą  ś ruby  prawoskrę tnej). W  celu  uzyskania  rozwią zania  zastosujmy  najpierw  ogólną  teorię  skrę can ia,  przed- stawioną  w  rozdziale  drugim  pracy  [2]. U wzglę dniając  izotropię  m ateriał u  oraz  sposób  obcią ż enia  p rę ta  otrzym uje  się  ukł ad równ ań  (2.10) w  [2] z  niewiadomymi współ rzę dn ymi uogóln ion ym i  {(Xx,  X 2 ,  X 3 ),  y w  nastę pują cej  po st aci: £, u +  £ ,«+ £ , 83- 0 . / ( £ . M *l- ?. l 3 X 2 )dF+J 0 t f * + *> Po  podstawieniu  (3.4)  do  równania  (3.3)  otrzymuje  się stąd gdzie  A lK ,  A 2n   są  dowolnymi  stał ymi, natomiast gdy  x, gdy  x,. (0  gdy x 2 - c gdy  Xt+X2  >  0. Po wykonaniu  transformacji  odwrotnej  otrzymuje  się L   Ć J  L  "  J  \   L 582 K.  M AZU R- Ś N IADY Jak  ł atwo  zauważ yć,  również  funkcja f 2  =   AXtX2, gdzie A jest  dowolną  stalą, niezależ ną  od zmiennej X 3   speł nia równ an ie ( 3. 1) t . Ostatecznie  szukane  rozwią zanie  przyjmuje  postać (3.5) J « = i + ^ 2 « » i e 2  £  J c o s ( " P o  podstawieniu  funkcji  (3.4)  do  równ an ia  (3.1) 2  otrzym uje  się gdzie W  podobn y  sposób  z  równ an ia  (3.1) 3 otrzymuje  się n =   l natomiast  z  równania  (3.1)  otrzymuje  się » =   ł gdzie ) i   r r f\ A  » ( +A 2n x 2 e (X2i- X1)dF. Z  warunku  brzegowego  (3.2) 3 otrzymuje  się  5 X  =   0, z  warun ku  (3.2) 4  C x  =   0,  a  z  wa- run ku  (3.2) 5 SK R Ę C AN IE  P R YZ M ATYC Z N YC H   P R Ę T ÓW  n  583 Jeż eli  kon turem przekroju  jest elipsa  (rys.  3.2) o równaniu xr2  V"2 ~ą  +  ~Ą  '  l z warunku  brzegowego  ( 3.2) t  wynika, że A 2n   -  0, k  m   M s (al- a\ ) 2C 1 3 1 3( / 1flf Ostatecznie  szukane  funkcje  przyjmują   postać (3.7) +JD 2 . N astę pnie  wyznacza  się  skł adowe  stanu  przemieszczenia  podstawiają c  (3.7)  do  (2.3) w [2] „   _  S  M s   (a\ +af)X 3 X^ _^ x ^ 3 2 C 1 3 1 3  Ą al  + Ą al oraz skł adowe  stanu  naprę ż enia  (2.9) w [2], które po  uwzglę dnieniu  (3.7) przyjmują   postać r 3 i =   M.a\ X2 (3.9)  T 23  =  T 3 2  - =  r3 3 =   o. Spoś ród  sił  reakcji  wię zów  (2.13) w  [2] róż nymi  od zera są  nastę pują ce: dla J,  at  + J^ ai.  - (3.10) Jeż eli  rozkł ad  obcią ż eń  zewnę trznych w przekrojach  X 3   ~ 0 i X 3   = L  bę dzie  dokł ada nie  taki  sam  ja k rozkł ad  n aprę ż eń / ?! =   —.- =—a s x  2   2 n 3 ,  p2  =  — J _ l r ^ n 3 »  w o w " czas  wszystkie  sił y  reakcji  wię zów  bę dą   równe  zeru. 584  K.  M AZU R- Ś N IADY Okazuje  się , że dla prę ta  obcią ż onego w podany wyź ej  sposób  wię zy  wewnę trzne (2.1) w  [2]  upraszczają c  matematyczny  opis  problemu,  nie  wywierają   ż adnego  wpł ywu  na  fi- zyczny  charakter  tego  problemu,  tzn.  ciał o  w  sposób  „ n at u raln y"  odkształ ca  zgodnie z zał oż eniem. N astę pnie  zastosujemy  do  omówionego  na  wstę pie  prę ta  techniczną  teorię   skrę cania prę tów  o  przekroju  zwartym  przedstawioną   w  rozdziale  drugim.  Po  uwzglę dnieniu  izo- tropii  materiał u i  sposobu  obcią ż enia  prę ta  równania  (2.11)  przyjmują   znacznie prostszą postać (3.11)  Vi . 3 3 - 0, V2.33  =   0 , ?>,33 ~  0 . a  ich  rozwią zaniami  są   funkcje 0  m  AX t X 2 , gdzie  A,  B 1;   B 2 ,  C j,  C 2 ,  D lt   D 2   oznaczają   dowolne  stał e. Warunki  brzegowe  (2.12)  przyjmują   nastę pują cą   postać L o dla  XI,X Z Ę   dF, Ffi3+  (iPidF^ O  dla  X 3   =  0  i  X 3   =  L , (3.13)  '.  /   * Ffi, 3 +  J  &, 2 dF=0  dla  X 3   =  0  i  X 3   =  L , F c i3i3  [ J  (0zXi  - 0ilx2)dF+Jo>p,3]  =  M s  , dla  I gdzie Jeż eli  konturem przekroju  jest  elipsa  (rys.  3.2)  o  równaniu  (3.6), t o  p o  wyznaczeniu stał ych  z  warunków  brzegowych  (3.13)  współ rzę dne uogólnione  (3.12)  przyjmują   postać 9  2 C 1 3 1 3 (3.H )  V l  "  2 ' SKRĘ CAN IE  PRYZMATYCZNYCH   PRĘ TÓW  I I  585 N astę pn ie  m oż na  wyznaczyć  skł adowe  stan u  przemieszczenia  podstawiają c  (3.14)  do (2.3)  w  [2]  i  (2.1) M,  (al+a$)X 3 X 2 M s " 3   -   2 C 1 3 1 3 oraz  skł adowe  st an u  n aprę ż en ia  (2.10),  kt ó re  p o  uwzglę dnieniu  (3.14)  przyjmują   postać (3.16) yoL fł   __  T"jSa  ^ 3 3  A P o  podstawien iu  (3.16)  d o  (2.13)  okazuje  się ,  że wszystkie  dodatkowe  sił y  reakcji  wię - zów  są   równ e  zeru. N ależy  t akże  uwzglę dnić  istnienie  sił  reakcji  wię zów  (2.13) w  [2], które, jak  t o  ju ż  przedstawion o  przy  om awianiu  rozwią zania  wedł ug  ogólnej  teorii  skrę cania, także  są   równ e  zera,  jeż eli  rozkł ad  obcią ż eń  zewnę trznych  w  przekroju  X 3   -   0  i  X 3   =   L jest dokł adn ie t a ki  sam ja k  rozkł ad n aprę ż eń. Analiza  rozwią zań,  otrzym an ych  dla  omawianego  prę ta wedł ug teorii ogólnej  i technicz- nej  teorii  skrę can ia  prę t ów  o  zwartych  przekrojach  wykazuje,  że  dodatkowe  wię zy  we- wnę trzne  (2.1) upraszczają c  zn aczn ie sposób  rozwią zania  także  nie wywarł y  ż adnego  wpł y- wu  n a  fizyczny  ch arakt er  problem u. Współ rzę dne  uogóln ion e  (3.7)  w  teorii  ogólnej  są ,  z  dokł adnoś cią   do  dowolnych  sta- ł ych, takie ja k  współ rzę dne uogóln ion e  (3.14) w technicznej teorii skrę cania  prę tów  o zwar- tych  przekrojach ,  p o d o bn ie  jest  z  przemieszczeniami  (3.8)  i  (3.15),  co  w  rezultacie  daje identyczność  skł adowych  stan u  n aprę ż en ia, wyraż on ych  wzorami  (3.9)  i  (3.15). Okazuje  się ,  że  dla  om awian ego  p rę ta  wystarczy  rozwią zanie  równań technicznej  teorii skrę cania  prę tów  o  zwartych  przekrojach,  pon ieważ  zn ikan ie  dodatkowych  sił   reakcji wię zów  pozwala  stwierdzić,  że  bę dą   zachodził y  om ówion e  wyż ej  zależ noś ci  mię dzy  prze- mieszczeniami i  n aprę ż en iami w  obu teoriach , pozwalają ce  n a obliczenie  sił  reakcji  wię zów (2.13)  w  [2] korzystają c  z  (3.16). P orównajm y  teraz  otrzym an e  t u  równ an ia  technicznej  teorii  skrę cania  prę tów  o zwar- tym  przekroju  w  przypadku  izotropowego,  nieważ kiego  prę ta  pobocznicy  wolnej  od  ob- cią ż eń,  skrę can ego  statyczn ie  param i  sił ,  dział ają cymi  w  koń cowych  przekrojach  o  m o- mentach  skrę cają cych  M,  z  równ an iam i  wyprowadzon ym i  przez  Saint- Venanta  ([3] s.  177- 187,  [4]  s.  366- 387)  dla  swobodnie  skrę canego  prę ta w  ram ach klasycznej  teorii sprę ż ystoś ci.  •   ,  , Wedł ug  teorii  Sain t- Ven an ta  funkcja  spaczenia  przekroju  ć p  =   2 +X t )n 2   -   0 dla  X l 5 Af 2 e 5 F . D la przekroju  poprzecznego  w  kształ cie elipsy  (rys.  3.2)  o  równaniu  (3.6) funkcja  spa- czenia  przekroju  otrzymana  przez  Saint- Venanta  przyjmuje  postać (3.19)  ę Ś ^ Ą skł adowe  stanu  przemieszczenia  wyraż ają   się   wzorami " i  =   - S>X 2 X 3 , u 2   =   i , 3 , ( 3 ' 2 0 )  a\ - a\ gdzie  co =   - = ~, natomiast  skł adowe  stanu  naprę ż enia  są   nastę pują ce (3.21) KHeH   Ha ocHOBe  j«exaHHKH   Teji  c  BHyTpeHHMMH   CBH 3H M H   [ 1] . IIoJiyiaeTCH   le o p in o  crecH eH H oro cnjioniH MX  crepiKH eft  H  TexH iraecKyio  Teopm o  CIU IOIU H LIX cTepH oreił ,  Koropan  6ojiee  o 6m a a Teopim  CeH - BeH aH Ta. BnpH M epe  paccMaTpwBaeTCH   C BOSO^H O  KpyujMbift  cTep*eH B  c  nonepM H H M B  B«fle  aJin m icaj  a  3a;n aia  p e m a e r c a  n o  oSm eił   TeopHH  H  TexHHqecKoii  Teop'HK,  n ocn e  3Toro S u m m a r y TORSION   O F  P RISM ATIC  R OD S  AS  BOD IES  WITH   IN TERN AL  CON STRAIN TS.  I I . The  aim of  the present  work  is  t o  derive  some  technical theories  of torsion  of  prismatic  rods on the  basis  of  the  theory  of  bodies  with  internal  constraints  [1]. We obtain  theory  of  constrained  torsion of  rods  with  compact  cross- sections'  and  technical  theory  of rods  with  compact cross- sections,  which is more  general  than the  Saint- Venant  theory.  In an example  we study the rod with elliptic cross- section ex- posed  to  unconstrained  torsion,  obtaining  solutions  of general  theory  presented  in Sec. 2 in  [2] and  of technical theory of torsion of rods  with  compact cross- sections  and the analysis  of the  results. P OLITECH N IKA  WROCŁAWSKA Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 10 listopada  1978  r.