Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z1.pdf


M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1,  16  (1978)

ZAGADNIENIA  SPRĘ Ż ANIA  W  OŚ RODKACH  DWUFAZOWYCH*

JAN   H O L N I C K I - S Z U L C  (WARSZ AWA)

Podejś cie  do  zagadn ień  sprę ż ania,  jako  do  analizy  wstę pnych  stanów  naprę ż enia
utrwalon ych  w  ustroju,  pom im o  niewystę powania  obcią ż eń  zewnę trznych  prezentowane
był o  w  róż n ych  aspektach  w  kilku  pracach  ostatn ich  lat  [1 -   5].

Artykuł   ten  stan owi  kon tyn uację   rozważ ań  n a  tem at  sprę ż ania  opisanych  w  pracy  [6],

gdzie  analizowane  był y  wstę pne  stany  odkształ ceń  e  i  naprę ż eń  a  wywoł ane  w  oś rodku
cią gł ym  przez  wymuszenie  pierwotn ych  stanów  odkształ ceń 6  (dystorsji)  lub  zwią zanych
z  nimi  n aprę ż eń ó  n iezgodn ych  z  geometrycznymi  i  statycznymi  wię zami  oś rodka.  Celem

L R

wywoł ania  stanów  wstę pn ych  był a  optym aln a  regulacja  stanów  koń cowych  e  =   e +   e,
L R . L L .  .

<r =   o  + a,  gdzie  e,  a  są   ustalon ym i  stan am i  zwią zanymi  z  obcią ż eniem  zewnę trznym.
P rzedm iotem  rozważ ań  niniejszej  pracy  jest  sprę ż anie  ustrojów  dwufazowych.  Analizo-

wan e  są   wstę pne  stan y  wywoł ane  w  każ dej  z  faz:  e ' ,  e ",  o',  o ",  n a  skutek  wymuszenia

niezależ nych  pól  pierwotn ych  odkształ ceń e',  e "  lub  odpowiadają cych  im pól  pierwotnych

n aprę ż eń  a',  a".  Stany  wstę pne  pozostają   trwale  w  ustroju  pom im o  braku  obcią ż eń  ze-

wn ę trzn ych. Celem sprę ż an ia, czyli  wymuszania  stanów wstę pnych, jest optymalna  regulacja

stanów  koń cowych  w jedn ej  lub  w  obu  fazach,  przy  czym  narzucony jest  n a  stany  wstę pne

i  koń cowe  warun ek  nierozdzielnoś ci  obu  faz.
Jako  pierwowzór  rozpatrywan ego  m odelu  cią gł ego  oś rodka  dwufazowego  moż na

przyją ć  oś rodek  cią gły  z  gę sto  rozproszon ą   strukturą   kratową   fazy  sprę ż ają cej  (rys.  1).
Stosują c  kon tyn ualn y  m odel  opisu  tego  kom pozytu  otrzymujemy  wyidealizowany  cią gły
oś rodek dwufazowy  posiadają cy  tę  cechę , że każ demu pun ktowi  geometrycznemu z obszaru
V  przyporzą dkowane  są   dwa  pu n kt y  m aterialn e  należ ą ce  do  róż nych  faz.

Z aprezen towan y  zostan ie  ogólny  opis  sprę ż ania  dwufazowego,  z  którego  otrzymać
bę dzie  m oż na  opisy  przypadków  szczególnych:  sprę ż an ia  wewnę trznego  [6] oraz  sprę ż ania
zewnę trznego  (om awianego  dalej  w  pracy)  polegają cego  n a  wprowadzeniu  niezależ nych,
lecz  speł niają cych  wię zy  geometryczne  w  każ dej  z  faz  odkształ ceń  pierwotnych  e',  e",
a  n astę pn ie  n a  zespoleniu  obu  faz,  co  zwią zane  jest  z  wymuszeniem  wspólnej  deformacji
wstę pnej  e  =   e  =   € .

W  pracy omówiono także przypadek  szczególny  sprę ż ania zewnę trznego, tzw.  sprę ż anie
powierzchniowe  (rys.  2),  w  którym  obie  fazy  n ie  przenikają   się ,  lecz  stykają   się   wzdł uż
powierzchni kon taktowej  S.  Przyczyną   wywoł ania  stanów wstę pnych jest w  tym  przypadku

*  Praca wykonana  został a w ramach współ pracy  polsko- amerykań skiej  (fundusz  Marii  Skł odowskiej-
Curie  N O .  I N T  75- 08722)  na  temat  «Optymalizacja  elementów  i  systemów  konstrukcyjnych*.



42  J.  H OLN ICKI- SZU LC

wprowadzenie  niezależ nych  deformacji  pierwotnych  brzegu  S  obu  faz,  a  nastę pnie  ich
zespolenie.

P o  ogólnym  sformuł owaniu zagadnienia sprę ż ania w  oś rodkach dwufazowych  o przeni-
kają cych  się  fazach i wprowadzeniu formalizmu jego opisu  (rozdz. 1) wyznaczono  (rozdz. 2)
stany  naprę ż eń  i  odkształ ceń  wstę pnych  generowane  w  oś rodku  przez  dowolnie  dane
pola  dystorsji.  W  rozdziale  3  przeanalizowano  sprę ż anie  powierzchniowe  w  oś rodkach
o  fazach  rozdzielonych powierzchnią   kontaktową .  W rozdziale 4 przedyskutowano rozwią -
zanie  zagadnienia  optymalnego  sprę ż ania  ze  wzglę du  na  minimalizację   wytę ż enia  w  fazie
sprę ż anej  w  przypadku  oś rodka  o  dwu  przenikają cych  się   fazach  (4a)  oraz  w  przypadku
sprę ż ania powierzchniowego  (4b). W rozdz. 5 przedstawiono przykł ad sprę ż ania powierzch-
niowego  dwuwarstwowej  rury  ciś nieniowej.  Przykł adem zastosowania  sprę ż ania  zewnę trz-
nego  w  oś rodkach o przenikają cych  się   fazach jest  sprę ż anie elementów  siatkobetonowych.

1.  Zależ noś ci  podstawowe  dla  sprę ż onego  oś rodka  o  dwu  przenikają cych  się   fazach

Rozpatrujemy  dwufazowe  ciał a liniowo  sprę ż yste zajmują ce  w R
3
  obszar  V ograniczony

brzegiem  A  — A
p
  u  A„  (rys.  1).

N a  obcią ż enie zewnę trzne  (uż ytkowe) ustroju  skł ada się  obcią ż enie polem sił  masowych
X  w  obszarze  V, polem  obcią ż eń brzegowych p n a czę ś ci  A

p
  brzegu  oraz  polem  wymuszo-

nych  przemieszczeń  u  n a  czę ś ci  A
u
  brzegu.  Ograniczamy  rozważ ania  do  zagadnień  sta-

tycznych, do  mał ych  odkształ ceń oraz do  regularnych  pól  tensorowych,  których, skł adowe
w  ukł adzie  kartezjań skim  x

k
(k  =   1, 2, 3)  są   funkcjami  klasy  C 2 .

Wstę pne stany odkształ ceń faz  przedstawić moż na jako  sumy pól dystorsji  i  odkształ ceń
zwią zanych  prawem  H ooke'a  z  wywoł anymi  naprę ż eniami  wstę pnymi  [7].

(1.1)  c'  =   e'+ B'S ',  e"  =   i"+ B "o ",

ską d,  definiują c:

ó'  =   A'e',  a"  =   A"e ",
( L 2 )  e'  =   B'CT,  k"  =   B"ó"



SP R Ę Ż AN IE  W  OŚ ROD KACH   D WU F AZ O WYC H   43

otrzymujemy  zm odyfikowane  zwią zki  konstytutywne  stanów  wstę pnych:

o"  -

Z modyfikowane  zwią zki  kon stytutywn e  dla  stan ów  koń cowych,  bę dą cych  superpozycją
stanów  wstę pnych  i  stan ów  uż ytkowych  wywoł anych  przez  obcią ż enia  zewnę trzne:  e'  =

=   • ' + «',  i "  «  E "+ E ",  a'  = a'+ a',  a"  =  a"+a"  przyjmują ,  postać:

a'  m  A' ( e ' - e ' ),  <r" =   A"( «"- «"),
( L 4 )  e ' =   B'( ( T '+ ó ') ,  e "  =   B "( ff"+ ó ") .

N a  koń cowe  stany  n aprę ż eń  n arzucon e  są   wię zy  statyczne

(1.5)  ^(ff'  +  < r ", X, p )  =   0

rozum ian e jako  równ an ia  równ owagi

div(<r' +  < r")+ X  =   0  w  obszarze  V,

( < T+ ff")n= p  n a  brzegu  A
p
.

N a  koń cowe  stany  odkształ ceń  n arzucon e  są   warunki  wspólnej  deformacji  obu  faz

(1.7)  e'  =   e "  =   e

oraz  wię zy  geometryczne

(1.8)  <JP(«, u)  =   0

rozum ian e ja ko  waru n ki:
zgodnoś ci  odkształ ceń  Saint- Venanta  w  obszarze  V:

(1.9)  r o t r o t e  =   0;

zgodnoś ci  pola  deformacji  e  z  przemieszczeniami  u  danymi  n a  brzegu  A
u
.

W  przypadku  analizy  sprę ż an ia  oś rodka  cią gł ego  gę sto  rozł oż oną   wią zką   cię gien
sprę ż ają cych  (n p.  m odel  kablobeton u)  należ ał oby  uogóln ić  rozważ ania  dopuszczają c
róż ne  postacie  wię zów  geometrycznych  (1.7), (1.8) dla  obu  faz  oraz  wprowadzają c  ograni-
czenia  stanu  n aprę ż eń  w  fazie  sprę ż ają cej  do  n aprę ż eń  rozcią gają cych.

Z am iast  posł ugiwać  się   wielkoś ciami  opisują cymi  stany  w  poszczególnych  fazach,
wygodniej  bę dzie  wprowadzić  ich  symetryczne  i  antysymetryczne  czę ś ci  zwią zane  odpo-
wiednio  z  wielkoś ciami  m akroskopowym i,  opisują cymi  stany  zastę pczego,  «uś rednionego»
oś rodka,  oraz  z  wielkoś ciami  m ikroskopowym i,  opisują cymi  lokalne  zaburzenia  stanów
m akroskopowych  w  obu  fazach.

Zdefiniujemy  w  zwią zku  z  tym  symetryczne  i  antysymetryczne  (wzglę dem  obu  faz)
czę ś ci  pierwotnych  stan ów  odkształ ceń  i  n aprę ż eń  oraz  operatorów  konstytutywnych:

(1.10)



44  •   J.  H O L N I C K I - S Z U LC

( U 1 )  df  1

(1.12)

B* =  i- (
(1.13)

B " !f - H B ' - B " ).

Wyraż ając  zwią zki  (1.2)  stanów  pierwotnych  przez  nowo  zdefiniowane  skł adowe,

otrzymujemy:

( U 4 )
  6" m  Af l e s+ Ase ";

e"  =

Wprowadzając  rozkł ad  stanów  odkształ cenia  e',  e "  oraz  stanów  n aprę ż en ia  a',  a"
n a czę ś ci  symetryczne  (opisują ce  m akroodkształ cen ia  oraz m akron aprę ż en ia  oś rodka dwu-
fazowego)  i  antysymetryczne  (opisują ce  m ikroodkształ cen ia  oraz  m ikron aprę ż en ia  w po-
szczególnych  fazach), analogicznie do (1.10), (1.11), zmodyfikowane  zwią zki  konstytutywne
(1.4)  przyjmują  postać:

a
c"  =   A\ e  ~ es) +  As(e" -   e");

c s  -   B s( a s

(  e" =

zaś  równ an ia  wię zów  (1.5),  (1.7),  (1.8)  przyjmują  post ać:

(1.18)  ^(ffs,  X, p)  =   0,  c?(es, u) =   0,  £ a =   0.

Wstawiając  ( 1.16) 1;  (1.14)i  do równ ań  ( 1.18) 1 ) 2  oraz  wykorzystując  (1.18)3  otrzymu-
jemy  opis  stanu  odkształ cenia  c  =  e s,  wspólnego  dla  obu  faz  w  zależ noś ci  od  stanów
pierwotnych  i  obcią ż eń  zewnę trznych:

( >  }  ^ ( e , u )  =   0.

Widać  stą d,  że wpł yw  pola  dystorsji  n a stan  odkształ ceń e  zależy  od  niezgodnoś ci  o s

z  wię zami  statycznymi  i jest identyczny  ze stanem  odkształ ceń wywoł anych  przez  zastę pcze
obcią ż enie  zewnę trzne  — M{if).  Jest  to  uogólnienie  «analogii  sił   masowych»  [7, 8] n a
przypadek  oś rodka  dwufazowego.



SP R Ę Ż AN IE  W  OŚ ROD KACH   D WU F AZ O WYC H   45

Wstawiają c  (1.17)! i (1.15)j. do równań (1.18)^2, natomiast (1.17)2 i (1.15)2 do warunku
{1.18)3  otrzymujemy  opis  m akro-   i  mikronaprę ż eń  w  zależ noś ci  od  stanów  pierwotnych
i  obcią ż eń  zewnę trznych:

#(<»• , X, p )  =   0,

(1.20)  # ( B V  +  B<V +  e s, ii)  =   0,

B V  +  B V + e "  =   0.

Widać  stą d,  że  wpł yw  n a  stan  naprę ż eń  wywoł any  przez  pola  dystorsji  zależy  od nie-
zgodnoś ci  makrodystorsji  es  z  wię zami  geometrycznymi  (por.  «tensor  niezgodnoś ci))
KRÓN ERA  [9])  oraz  od  niezgodnoś ci  dystorsji  z  ograniczeniem  dotyczą cym  wspólnoty
odkształ ceń  obu  faz  (mikrodystorsje  e").

U kł ad zwią zków  (1.19)  (1.20) opisuje  najogólniejszy  przypadek sprę ż ania  dwufazowego.
U wzglę dniając  w  nich  znikają ce  stany  pierwotne  uzyskujemy  opis  stanów  odkształ ceń

L L L

i  naprę ż eń ustroju  niesprę ż onego. Oznaczamy te stany jako  stany uż ytkowe  e, o 5, a° i trak-
tować je  bę dziemy  w  rozważ aniach jako  znane.

Podstawiają c  w  zwią zkach  (1.19)  (1.20),  znikają ce  obcią ż enie  zewnę trzne:  sił owe

X  =   0, p  =   0 orazprzemieszczeniowe  (i =   0, uzyskujemy  opis wstę pnych  stanów odkształ -

cenia  e  i  naprę ż eń o s ,  a",  ortogonalnych do  stanów  uż ytkowych  w  tym  sensie,  że nie  dają

wkł adu  do globalnej  energii  sprę ż ystej  ustroju.

Z postaci równ ań  (1.19), (1.20) widać, że w przypadku  dwu  faz  o jednorodnych cechach

sprę ż ystych  (B°  =   0) m akro i mikrostany rozprzę gają   się . Odkształ cenia wstę pne e  imakro-

naprę ż enia  wstę pne  a s  zależą   jedynie  od  makrodystorsji  ć s,  zaś  mikronaprę ż enia wstę pne

o"  zależą   jedynie  od  mikrodystorsji  e  i  są   lokalnie  samozrównoważ one.
W  przypadku,  gdy  mamy  do  czynienia  z  ustrojem  jednofazowym,  przyjmują c  mikro-

wielkoś ci jako  znikają ce,  otrzymujemy  z  wypisanych  zależ noś ci  zwią zki  opisują ce  «sprę -
ż anie wewnę trzne))  [6].

«Sprę ż anie  zewnę trzne»  zdefiniujemy  jako  taki  przypadek,  w  którym  pola  mikro-
i  makrodystorsji  speł niają   jedn orodn e  wię zy  geometryczne  (1.8):
(1.21)  <g{is) =   0,  #(€•")  =  0.

Techniczna  realizacja  tego  sposobu  sprę ż ania  polega  na  wywoł aniu  niezależ nych,
geometrycznie  zgodnych  deformacji  pierwotnych  obu  faz,  a  nastę pnie  n a  ich  zespoleniu
i cofnię ciu przyczyn wywoł ują cych  deformacje  pierwotne. Sposób ten może być zastosowany
do  sprę ż ania  elementów  betonowych  siatką   cię gien.

2.  An aliza  stan ów  wstę pnych  wywoł anych  sprę ż eniem

P rzeprowadzim y  kon strukcję   rozwią zania  zagadn ień  brzegowych  (1.19)  oraz  (1.20),
opisują cych  wstę pne  stan y  n aprę ż eń  i  odkształ ceń,  po  poł oż eniu  X  =   0 , p  =   0 , u  =   0.

Wykorzystajmy  w  tym  celu  rozkł ad  pól  odkształ ceń  i  naprę ż eń  pierwotnych n a  (orto-

gon aln e  w  sensie  iloczynu /   bkdv)  czę ś ci  skł adowe  opisują ce  odpowiednio stany zgodne



46  J.  H OLN ICKI- SZU LC

z  wię zami  statycznymi  (1.5)  i  oznaczone  symbolem  0), oraz  stany  zgodne  z  wię zami  geo-
metrycznymi  (1.8)  i  oznaczone symbolem  #   [6]:

(2 1)

( 2 " 2 )

przy  czym :

01(6%)  =  # ( e £ ) =   0,
( 2 - 3 )  # ( ć |)  =   »(«%.)  -   0.

Zwią zki  (1.14) i  (1.15) wią ż ą ce  stany  pierwotne  pizyjmują  po  uwzglę dnieniu  (2.1), (2.2)

post ać:

«•  =   A
( 1 4 )  ó-  .  A

e s  .  B
(  }  e a  -   B

Podstawiając  (2.2) t  do  (1.19)x  i  wykorzystując  (2.3) t  otrzymujemy  z  równ ań  wię zów

statycznych

K  - «
(2.6)  e  =   Asó |, .

Rozwią zanie  to  speł nia  także  równ an ia  wię zów  geom etrycznych  (1.19) 2,  co  wynika
z  podstawienia  (2.4)j  do  (2.6)

(2.7)  e  =   e ^ + As Af l e |

oraz z  uwzglę dnienia  warunku  ( 2.3) 2.

Z atem  rozwią zania  (2.6)  lub  (2.7)  opisują  poszukiwan e  pola  odkształ ceń  wstę pnych
wyraż one  przez  wywoł ują ce  je  pola  naprę ż eń  lub  odkształ ceń  pierwotnych.

P odobnie,  wykorzystując  zwią zki  ( 2. 1) ^  (2.5)  i  (2.3) 2  m oż na  sprawdzić,  że  stan y:

(2.8)
  M

  i
o"  =   - ^ - B ' B "̂

stanowią  rozwią zanie  ukł adu równ ań  (1.20),  a  zatem  opisują  poszukiwan e  pola  naprę ż eń
wstę pnych  wywoł ane  przez  naprę ż enia pierwotne.  P ola  te  m oż na  wyrazić  przez  odkształ -
cenia  pierwotne  przekształ cając  rozwią zania  (2.8)  przy  uż yciu  zwią zków  (2.4),  (2.5):

\   &  =   A'lt
(2- 9)

  R
  - t

o"  =   -   B s [ea

Podstawiając  w  rozwią zaniach  (2.6)- r(2.9)  k"  =  0,  ó"  =   0  otrzymujemy  opis  stanów
wstę pnych  wywoł anych  sprę ż aniem  wewnę trznym  oś rodka  dwufazowego,  który  wzbogaca
rozwią zanie  zagadnienia  sprę ż ania  wewnę trznego  oś rodka  jednofazowego  [6]  o  czł ony

m ikron aprę ż eń  wstę pnych  a"  wywoł anych  n a  skutek  róż n ic  sztywnoś ci  obu  faz.



SP R Ę Ż AN IE  W  OŚ ROD KACH   D WU F AZ O WYC H

W  przypadku  sprę ż an ia  zewnę trznego  (1.21)  należy  przyją ć  (por.  (2.6)):

(2.10)  e s  =   4 >  * " - • *.  ó s  =   ą ,,  0"  =   ^ . ,

co  prowadzi  do  rozwią zan ia  w  po st aci:

47

(2.11)

R
€  =

S---OT
gubią cej  w  stosun ku  do  rozwią zań  (2.6)H -  (2.9)  m akron aprę ż en ia  wstę pne  <f,  charak-

terystyczne  dla  sprę ż an ia  wewn ę trzn ego.

Zwią zki  (2.11)  pozwalają   okreś lić  jedn ozn aczn ie  stany  wstę pne  w  obu  fazach.

Cechą   charakterystyczną   sprę ż an ia  zewnę trznego  oś rodka  o  dwu  przenikają cych  się

fazach  jest  moż liwość  lokaln ego  sterowania  stanów  naprę ż eń  w jednej  z faz  (w  fazie  sprę -

ż anej  I)  przez  wymuszanie  odpowiedn ich  m ikron aprę ż eń  o s .  Wprowadzane  w  tym  celu

dystorsje  k%  (realizowane  n p . przez  sprę ż ają cą   fazę   siatki  kratowej  II)  nie  mają   wpł ywu
R

n a  stan  m akron aprę ż en er.

3.  Sprę ż an ie powierzchniowe

W  poprzedn ich rozważ an iach  zakł adaliś m y, że m am y  do czynienia  z rozmytym kom po-

zytem,  którego  obie  fazy  oddział ywują   n a  siebie  w  cał ym  obszarze  V.  M oż na  jedn ak

uogóln ić  rozważ an ia  n a  przypadki,  w  których  obszar  wzajemnego  kon taktu  obu  faz  jest

podobszarem  V.  Zajmijmy  się   jedn ym  z  takich  przypadków,  gdy  obie  fazy  oddział ywują

n a  siebie  wzdł uż  pewnej  powierzchni  kon taktowej  S.

Rys.  2

Przyjmijmy,  że  obszar  rozpatrywan ego  ciał a  skł ada  się   z  dwu  podobszarów  V  i  V"

(rys.  2).  F aza  I  wypeł nia  obszar  V  zaś  faza  I I  wypeł nia  obszar  V".  Powierzchnia  S  jest

powierzchnią   rozdział u  obu  faz,  a  zatem  jedyn ym  obszarem  wzajemnego  ich  kon taktu.

N iech  powierzchn ie  brzegowe  S',  S"  obu  faz  doznają   pierwotnych  zmian  kształ tu

opisanych  ja ko  niezależ ne  przemieszczenia  pierwotn e  u',  u ".  Jeś li  pom im o  niezgodnoś ci



48  J.  H OLN ICKI- SZU LC

zdeformowanych  pierwotnie  brzegów  wymusimy  ich  zgodne  zespolenie,  t o  wywoł ane

zostaną   w  obu  fazach  wstę pne  stany  odkształ cenia e', e "  i  naprę ż enia o',  o ".  Wywoł ane

pole  przemieszczeń  wstę pnych  u jest  polem  cią gł ym  w  cał ym obszarze  V,  n atom iast  pola
odkształ ceń  i  naprę ż eń  wstę pnych  są   cią głe w podobszarach  V  i  V",  jedn ak  ich  skł adowe
mogą   doznawać skoku  na powierzchni S. Opisany sposób wprowadzania  stanów  wstę pnych
nazwijmy  «sprę ż aniem  powierzchniowym)).

W rozważ aniach ograniczamy się  do rozpatrywania rozwią zań  odpowiednio regularnych
i zakł adamy w  zwią zku  z tym, że  rozpatrywane  funkcje  są   w  obszarach  V  i  V"  klasy  C2.

Pierwotne  deformacje  brzegów  S'  i  S"  bę dą   zatem wystę powały  w  powią zaniu  z odpo-
wiednio  regularną   deformacją   poszczególnych  faz  e'  i  e ".

Zdefiniujmy  deformacje  pierwotne  obu  faz  jako  stany  odkształ ceń wyznaczone jedn o-
znacznie przez  zwią zki:

»"(• ")  =   0,

wszę dzie  poza  S  oraz  przez  warunki  zgodnoś ci  e'  i  e "  odpowiednio  z przemieszczeniami
u' i  u "  na powierzchni  S.

Ponieważ  deformacje  pierwotne  speł niają   wię zy  geometryczne  obu  faz,  sprę ż anie
powierzchniowe jest  przypadkiem  szczególnym  sprę ż ania  zewnę trznego,  w  którym  obszar
kontaktu  obu  faz  ograniczony  jest  do  powierzchni  S.

Zdefiniujmy  obcią ż enia  pierwotne brzegów  S',  S":

(3.3)  p '  m  A'4'n',  p "  =   A"e "n ".

Zwią zki  (3.1),  (3.3)!  oraz  (3.3)2  przyporzą dkowują   jednoznacznie  funkcjom  prze-
mieszczeń  pierwotnych  u',  u '  na  S  funkcje  obcią ż eń  pierwotnych  na  S,  definiują c  nam
w  tym  sensie  powierzchniowe  operatory  konstytutywne  «s/ '  i  sć ":

(3.4)  p '  =   J3ź "(u'),  p "  =   s4"($').

Przyjmują c  p', p " jako  funkcje  okreś lone  n a S, wyznaczyć  m oż na ze zwią zków  ( 3.1) 1 ) 2,
(3.3)!  oraz  (3.2)i, 2  (3.3)2 jednoznacznie okreś lone pola e'  w  V  i i "  w  V".  Zwią zki  (3.1) 3, 4
(3.2) 3, 4  pozwalają   wtedy  okreś lić  z  dokł adnoś cią   do  ruchów  sztywnych  przemieszczenia
pierwotne  ii',  u "  przyporzą dkowane  jednoznacznie  obcią ż eniom  p ',  p ".

Zwią zki  (3.1), (3.2), (3.3) definiują   n am w tym sensie  odwrotne powierzchniowe  opera-
tory  konstytutywne  38' i  38":

(3.5)  u'  =   < r ( p ') ,  u "  =   «"( p ") .

D ysponują c  zdefiniowanymi  operatorami konstytutywnymi,  m oż na sprowadzić  analizę

sprę ż ania  powierzchniowego  do  analizy  wstę pnych  pól  przemieszczeń  u  i  obcią ż eń  p', p "
wywoł anych  na  powierzchni  S  przez  stany  pierwotne  u',  u "  lub  p ',  p ".

Postę pując  analogicznie, jak  w  rozdz.  1,  otrzymujemy  zmodyfikowane  zwią zki  kon-
stytutywne  stanów  wstę pnych:

(3.6)  p '  =   ^ ' ( u ' - i O,  p "  =   ^ " ( n " - u " );

(3.7)  u1  =   %'(*•



SPRĘ Ż AN IE  W  OŚ RODKACH   DWUFAZOWYCH   49

N a  wstę pne  stany  obcią ż eń  narzucone są  wię zy  statyczne  w  postaci  równań  równowagi
na  powierzchni  S

(3.8)  p ' + p " =   0,

zaś  n a  wstę pne  stany  przemieszczeń  narzucone są  wię zy  geometryczne  w postaci  warunku
nierozdzielnoś ci  faz  wzdł uż  S

Jl  R  R

(3.9)  u'  =   u "  =   u .
Przeprowadzając  konstrukcję  rozwią zań  zagadnienia  (3.6)- =-  (3.9)  wyznaczają cych

stany  wstę pne,  analogiczną  do  konstrukcji  opisanej  w  rozdz.  2  otrzymujemy

(3.10)  u  =   u s +   j / s W ( u f l )

lub

(3.11)  u  =   sfitf).
- i

W  zwią zkach  tych  sśs  oznacza  operator  odwrotny  do  sśs,  zaś  «s/ s° s4a  oznacza  super-
pozycję  operatorów.

Opis  wstę pnych  stanów  obcią ż eń  przybiera  postać:

(3.12)  p s  =   0,  p"  =   - pa - ś r °£ r ( ps )

lub

(3.13)  p 5  =   0,  p«  =   - ^s ( u " ) .

Zwią zki  (3.10), (3.11),  (3.12),  (3.13)  opisują  jednoznacznie wstę pne  stany  przemieszczeń
i  obcią ż eń  obu  faz  n a  powierzchni  S.

4.  Optymalna  regulacja  koń cowego  stanu  naprę ż enia  w  jednej  z  faz

Zajmijmy  się,  n a  zakoń czenie,  zagadnieniem  sprę ż ania  zewnę trznego  ze  wzglę du  na
minimalizację  wytę ż enia  w jednej  z faz  (w fazie  sprę ż anej  —  n p .  w fazie  I ).  F aza I I speł nia
w  tym  przypadku  rolę  fazy  sprę ż ają cej.  Koń cowe  stany  w  niej  wywoł ane  mogą  okazać  się
niekorzystne,  czym  pł acimy  za  optymalną  regulację  stanów  w  fazie  1.

4.1.  Sprę ż anie  zewnę trzne  w oś rodku  o  dwu  przenikają cych  się  fazach.  Rozważ my  n a  wstę pie
moż liwoś ci  wywoł ania  w fazie  I dowolnych  stanów  wstę pnych.

Z  równań  (2.11)  wynika,  że  moż liwe  jest  jednoczesne  wywoł anie  w  fazie  I  dowolnie

ustalonych,  niezależ nych  od  siebie  stanów  wstę pnego  odkształ cenia  e'  i  naprę ż enia a%.
N ależy  w  tym  celu  wprowadzić  do  ustroju  stany  pierwotnych  odkształ ceń opisane  zwią z-
kami :

(4.1)  4S  =   e ' + A' Af l B 5 4 ,  k"  =  -

Zwią zki  (4.1)  pozwalają  okreś lić  pierwotne  deformacje  poszczególnych  faz.  Jeż eli
przyjmiemy,  że  stany  pierwotne  wywoł ywane  są jedynie  w  fazie  sprę ż ają cej,  czyli  wprowa-
dzimy  ograniczenie:

(4.2) e' =  0 ,  ó' =  0 ,

4  M ech .  T eoret .  i  Stosowan a  U78



50  J.  H OLN I C KI - SZ U LC

to  z  rozwią zania  (4.1)  wynika,  że  moż liwe  jest  wywoł anie  dowolnie  ustalon ego  stanu

naprę ż eń  wstę pnych  a'
v
  w  fazie  sprę ż anej  przez  wymuszenie  odkształ ceń pierwotnych  fazy

sprę ż ają cej

(4.3)  i "  =   2B- 4-
Wynika  stą d  oczywisty  wniosek,  że  przyję cie  kryterium  minimalizacji  wytę ż enia  / „

w  fazie  I, przy  czym

(4.4)  I*  -  ~ j  a'B'o'dv  = ±.f   &
V  **  V

prowadzi  do  rozwią zania

(4.5)  %  -   - G',

które  zwią zane  jest  ze  znikaniem  stanu  naprę ż eń  koń cowych  er'  =   0  w  fazie  sprę ż anej.
4.2.  Przypadek  sprę ż ania  powierzchniowego.  Rozważ my  moż liwość  wywoł ania  n a  powierz-

chni  S  fazy  sprę ż anej  I  dowolnych  stanów  wstę pnych.

Postę pując  analogicznie jak  w  p . 4.1  m oż na  wykazać,  że  dowolnie  przyję te  stany  u', p '
wywoł ać  m oż na  przez  wprowadzenie  jednoznacznie  okreś lonych  stanów  przemieszczeń
pierwotnych:

* - *  "
(4.6)

ii"  =   u

lub  stanów  obcią ż eń  pierwotnych

- i

(4.7)  P  = =   ( 1 ~ ^ °

p "  =   {l+ś §s°

Jeś li  przyjmiemy,  że  stany  pierwotne  wywoł ywane  są   jedynie  w  fazie  sprę ż ają cej

(4.8)  u'  =   0,  p '  =   0,

to  rozwią zania  (4.6)  lub  (4.7)  okreś lają   jedn ozn aczn ie  stany  pierwotne  n a  powierzchni  S
fazy  I I

(4.9)  p "  =   2 J A U ' )

lub

(4.10)  u "  =   2 ^ s ( p ' ) ,

które  wzbudzają   stany  wstę pne  u'  lub  p '.

Z e wzglę du  n a moż liwość  wywoł ania  (w  ogólnym  przypadku)  dowolnych,  niezależ nych

od  siebie  stanów  wstę pnych  u',  p',  zagadnienia  optymalnej  regulacji  stanów  koń cowych:

e'  =   e ' + e ' ,  a'  =   a'+ o r'  ze wzglę du  n a kryterium  (4.4) m oż na rozpatrywać, przy  ustalonych
L JL R

stan ach  uż ytkowych  «',  o',  jako  poszukiwanie  optym alnych  warun ków  brzegowych  u',
R R R

p'  n a powierzchni  S  ograniczają cej  V.  P o  wyznaczeniu  stanów  u', p '  n a  S,  gwarantują cych



SP R Ę Ż AN IE  W  OŚ ROD KACH   D WU F AZ O WYC H   51

optymalne  rozkł ady  &,  e'  w  V,  m oż na  okreś lić  ze  zwią zków  (4.6)  (4.7)  stany  pierwotne,
wywoł ują ce  poż ą daną   regulację   stanów  koń cowych.

Z agadnienie minimalizacji  globalnego  wytę ż enia  w fazie  I jest  w tym przypadku  równo-
waż ne  minimalizacji  globalnej  energii  wewnę trznej  JE1  fazy  I :

W  celu  poszukiwania  optym aln ych  warunków  brzegowych  na  iS rozważ my  moż liwość
rozkł adu  stanów  koń cowych  o',  e'  w fazie  I na dwie  ortogonalne czę ś ci  skł adowe, z których
jedn a  podlega  regulacji  przez  sprę ż anie  powierzchniowe,  a  druga  n ie:

(4.12)  <*'=<,[+<,',,  €'  =  e ; + e ; .

Dla  skonstruowania  postulowanych  rozkł adów  przyjmijmy  z  definicji  pomocnicze
stany  e'

p
,a'

p
  =  A'e.'

p
 jako  stany  wywoł ane  sił owym  obcią ż eniem  zewnę trznym  dział ają cym

n a  fazę   I  przy  warun ku  peł nego  utwierdzenia  brzegu  S.  Opisane  są   one  zależ noś ciami:

(4.13)  @'(o'
F
, X',  p')  -   0,  » ' ( « ; ) - 0

oraz  warunkiem  zgodnoś ci  pola  e'
p
  ze  znikają cymi  przemieszczeniami  na  S.

Zdefiniujmy  analogicznie  stany  e'
u
,  a'

u
 =   A'e,', jako  stany  wywoł ane  przemieszczeniami

u'  brzegu  A,'(,  przy  warun ku  swobodnego  brzegu  S.  Opisane  są   one  zależ noś ciami:

(4.14)  m'(ai)  =  0  r<?'(e,',,u') =   0  <j,',n'  =   0  na  S.

N iech  czę ś ci  rozkł adu  stan ów  uż ytkowych  e j,  c[  =   A'eJ  stanowią   sumę   okreś lonych
wyż ej  stan ów:

(4.15)  e[  ~  e'
p
 +  e'

u
,  a[  =  a'

p
 + a'

u
.

Ze  wzglę du  n a  jedn ozn aczn ość  rozwią zań  zagadnień  brzegowych  (4.13),  (4.14)  teorii
sprę ż ystoś ci,  stany  e[,  G[  okreś lone  są  jednoznacznie.

M oż na  zatem  dokon ać  w  sposób  jedn ozn aczn y  rozkł adu  stanów  e',  ff'  na  czę ś ci  skł a-
dowe  (4.12),  przy  czym  czę ś ci  e'

2
,  <s'

2
 stanowią   róż nicę   pól  cał kowitych  i  pól  (4.15):

(4.16)  e'
2
~e'- e[,  © i - o1 - o f.

Są   to  skł adowe  wywoł ane  oddział ywaniem  fazy  H   poprzez  powierzchnię   S  na  fazę   I,
które  speł niają   jedn orodn e  równ an ia  wię zów  w  obszarze  V:

(4.17)  sM'(<s'
2
)  =,  0,  < T(ei)  =   0.

M oż na  pokazać,  że  pola  o[,  €,'  oraz  a2,  e.'2  są   ortogon aln e  w  sensie  ich  iloczynu  ska-
larnego

(4.18)  J  < r;e'2ch  =  /  a'2ą [dv  -   0.
v'  O'

P ozwala  to  przedstawić  funkcjonał   energii  wewnę trznej  (4.11)  w  postaci

(4.19)  i
E
.  =  1

v *

M oż na  pokazać,  że  ze  wzglę du  n a  dodatnią   okreś loność  obu  skł adników  podcał ko-
wych  oraz  n a  fakt,  że  dowolne  stany  wstę pne  wywoł ane  w  obszarze  V  speł niają   warunki



52  J .  HOLN ICKI- SZULC

(4.17),  czyli  są  ortogonalne  do  stanów  o j ,  e[  wynika,  że  kryterium  (4.11)  prowadzi  do

wyznaczenia  stanów  wstę pnych:
R
,
  L

,
  R

,
  L

,
(4.20)  • - . - « £•   o  =  ~<*2

T Ii L 72

powodują cych  znikanie  czę ś ci  e^  =   e ś + e ',  a'
2
  =  a'2+ a'  stanów  koń cowych.

Wyraż ając  wniosek  (4.20)  w ję zyku  wielkoś ci  powierzchniowych  n a  S  otrzym ujem y.

R  Ł ,  s,  L ,
(4.21)  u'  -   - n i,  p'  =   - vi-

M oż na  pokazać,  że  rozwią zanie  optymalne  (4.21)  wymuszane  jest  bez  udział u  stanów
pierwotnych  fazy  I :
(4.22)  ii'  =   0,  p'  =   0.

Z atem  korzystając  z  rozwią zań  (4.9)  lub  (4.10)  oraz  ze  zwią zków  (4.21)  otrzymujemy
optymalne  rozkł ady pierwotnych  przemieszczeń  lub  obcią ż eń  n a  brzegu  S  fazy  I I :

(4.23)  ii"  =   - 20*( fe),  p " -   - ir fł ( fe )
wywoł ują cych  identyczne  efekty.  W  wyniku  sprę ż enia  w  fazie  I  pozostają  stany  koń cowe

a'  =   a'x,«'  =   e j,  charakteryzują ce  się,  jak  to  wynika  z  definicji  (4.13)— (4.15)  tym ,  że
obcią ż enie  brzegowe  na powierzchni  S:  p'  =  o'ri  jest  takie, jakie  wywoł ane  był oby  przez
zewnę trzne  obcią ż enia  sił owe  X',  p'  fazy  I  przy  peł nym  utwierdzeniu  brzegu  5",  zaś  prze-
mieszczenia  u'  powierzchni  S  są  takie, jakie  wywoł ane  był yby  przez  ruchy  u '  powierzchni
A'„ przy  warunku  swobodnego  brzegu  S.

W  przypadku,  gdy  nie  wystę pują  przemieszczenia  u '  n a  brzegu  A'„ stany  a'
u
,  e,',  wy-

znaczone  przez  (4.14)  znikają  i  sprę ż enie  optymalne  daje  w  fazie  I  efekt  koń cowy  iden-
tyczny  z  przyję ciem  warun ku  peł nego utwierdzenia  u'  — 0  n a  powierzchni  S.

W  przypadku,  gdy  nie  wystę pują  sił owe  obcią ż enia  zewnę trzne  w  fazie  I ( X'  =   0,
L  L

p'  =   0) ,  stany  a'
p
e.'

p
, wyznaczone  przez  (4.13)  znikają  i  sprę ż enie  optym aln e  daje  w  fazie

I  efekt  koń cowy  identyczny  z  przyję ciem  warun ku  brzegu  swobodn ego  o 'n '  =   0  n a  po-
wierzchni S1.

W  przypadku, gdy  znikają  wszystkie obcią ż enia zewnę trzne  fazy  I  (sił owe X  =   0, p ' =   0
oraz  przemieszczeniowe  u '  =   0)  to  otrzymujemy  w  wyniku  sprę ż enia  optym alnego  try-

wialne  rozwią zanie  p'  =   0,  u'  =   0  stowarzyszone  ze zn ikan iem stan ów koń cowych &  =   0,
e'  =   0  w  fazie  I.  Cał e  obcią ż enie  zewnę trzne  przenoszone jest  wtedy  przez  fazę  I I .

Jako  szczególny  przypadek  sprę ż ania  powierzchniowego  traktować  m oż na  sprę ż anie
wywoł ywane  przemieszczeniami  pierwotnymi  u  wymuszanymi  n a  czę ś ci  brzegu  ustroju
A

u
  (por.  [10]).

Traktując  brzeg  A
u
  jako  powierzchnię  S  kon taktu  faz  zauważ amy,  że  stany  o',,,  e'

u

definiowane  zwią zkami  (4.14)  nie  istnieją  w  tym  przypadku.  Wynika  stąd  wniosek,  że
sprę ż anie  ze  wzglę du  n a  minimalizację  energii  wewnę trznej  ustroju  prowadzi  do  uzyska-
n ia  efektu  peł nego utwierdzenia  u  =   0  n a  brzegu  A„ w  stanie  koń cowym.  Jest  t o  zbież ne
z  wnioskiem  o  ortogonalnoś ci  czę ś ci  stanów  uż ytkowych  wywoł anych  obcią ż eniem  sił o-
wym  oraz  przemieszczeniami  podpór.  Optymalne  sprę ż anie  rucham i  podpór  redukuje
do  zera  dragą  z wymienionych  czę ś ci  stan ów  uż ytkowych.



SP RĘ Ż AN IE  W  OŚ RODKACH   D WU FAZOWYCH 53

5.  P rzykł ad  sprę ż ania  powierzchniowego

O  ile  rozwią zanie  zagadn ien ia  optymalnego  sprę ż ania  (4.3),  (4.5)  dla  oś rodka  o  dwu
przenikają cych  się   fazach  jest  intuicyjnie  oczywiste,  o  tyle  celowe  jest  zilustrowanie  przy-
kł adem  rozwią zania  zagadn ien ia  sprę ż ania  powierzchniowego  (4.23),  (4.21).

Rozważ my  przykł ad  rury  ciś nieniowej  dwuwarstwowej  poddan ej  ciś nieniu  wewnę trz-
nem u  p  (rys.  3a).  R ozkł ad  n aprę ż eń  promieniowych  i  obwodowych  w  rurze  niesprę ż onej
[8]  pokazan y  został   n a  rys.  3b.  Stosują c  sprę ż anie  powierzchniowe  polegają ce  na  od-
powiednim  wpasowaniu  rozszerzonej  wzglę dem  stan u  naturalnego  (np.  przez  ogrzanie)
rury  zewnę trznej  n a  n ien aprę ż oną   rurę   wewnę trzną,  uzyskajmy  efekt  minimalizacji  energii
sprę ż ystej  (wytę ż enia)  zm agazynowanej  w  fazie  I .

a)

p

eTp

I
p

P

T

1.0

. t o

©
1.25

1.0

t)
.——

0)4

. — • — '

, —•   •

0,19

0.16

• * • ——

0,4!

057
^ - —

^ — ,
©

W 8

0.0

025

0,0

0,91

b)

Rys.  3

Stan  n aprę ż eń  dla  rury  niesprę ż onej  opisany  jest  zwią zkami  Lam ć go:

L  na
2

pa
2
c

2

(5.1)
r

2
(c

2
~a

2
)  '

L
a0 =

par pa
2
c

2

,-
2
(c

2
- a

2
)  "

W  celu  wyznaczenia  rozwią zan ia  optym alnego  sprę ż ania  (4.23)!  należy  skonstruować
powierzchniowy  funkcjonał   konstytutywny  &.

Wyznaczmy  w tym  celu, dla samej  rury  wewnę trznej,  przemieszczenia u' na powierzchni
rozdzielają cej  fazy  (r  =   b)  wywoł ane  obcią ż eniem  zewnę trznym  p'  dział ają cym  n a  tę
powierzchnię ,  przy  warun ku  swobodnego  brzegu  wewnę trznego  (r  =   a).  D ostosowują c



54  J.  H OLN I C KI - SZ U LC

rozwią zanie  (5.1)  do  opisu  stanu  naprę ż eń  w pierś cieniu  wewnę trznym  oraz  wykorzystują c

zwią zek

(5.2)  - - *•  =   -
E
,«- v'a'

r
)

otrzymujemy

b  (\ - v')b
2
  + (\ +v')a

2
  ,

(5.3)  u'=- rK  - ^  J- jf.

Analogicznie  wyznaczyć  m oż na,  dla  samej  rury  zewnę trznej,  przemieszczenia  u" n a
powierzchni  rozdzielają cej  fazy  wywoł ane  obcią ż eniem  zewnę trznym  p"  dział ają cym  n a
tę   powierzchnię ,  przy  warunku  swobodnego  brzegu  zewnę trznego  (/•   =   c)

,.  ,N  „   b  ( 1— v")b2  + {l+v")c2  ,
^  '  E"  '  c2- b2  '

Zwią zki  (5.3)  i  (5.4)  definiują   liniowe,  powierzchniowe  funkcjonał y  konstytutywne
ś $'  ł  Ś $" dla  każ dej  z  faz.  Konstruują c  symetryczny  konstytutywny  funkcjonał   powierzch-
niowy  ś $s  otrzymujemy  rozwią zanie  zagadnienia  optymalnego  sprę ż ania  (4.23)i  w  postaci

(5.5) „' „ _6 | _

gdzie pź jest,  zgodnie  z  definicją   (4.16)2,  róż nicą   pomię dzy  oddział ywaniem  rury  ze-
wnę trznej  na wewnę trzną   w  stanie  uż ytkowym  a  oddział ywaniem  sztywnego  podł oża
n a  brzeg  zewnę trzny  (r  =  b)  rury  wewnę trznej  obcią ż onej  ciś nieniem p  (na  brzegu  r =   a)

(5.6)  p
2
  = p  - Pi  =   -   +

b
2
(c

2
~a

2
)  (\ - v')

W  przypadku,  gdy  m ateriał   obił  faz jest jedn orodn y,  otrzymujemy  z  (5.5) i (5.6)  wartość

o  którą   należy  zmniejszyć  promień  wewnę trznej  powierzchni  brzegowej  (r  =   b)  rury  ze-
wnę trznej  (w  jej  stanie  n aturaln ym ), aby  po  wciś nię ciu  jej  n a  rurę   wewnę trzną   otrzym ać
efekt  optymalnego  sprę ż enia.

Wykorzystują c  znajomość  pola przemieszczeń  w stanie uż ytkowym  oraz fakt,  że pun kty
powierzchni  rozdzielają cej  obie  fazy  (r  =  b)  n ie  ulegają , w stanie  koń cowym,  przemiesz-
czeniom  (por.  wnioski  po  rozwią zaniu  (4.23)),  m oż na  wyznaczyć  obcią ż enia  brzegów
(r  =   b)  obu  faz  w  stanie  wstę pnym

R
,
  R

n  (b
2
- a

2
)[(l~v)l

(  '  -*  P  =   ~ P  T c2- cb2)[(\ ~v)b2-

Z najomość  obcią ż eń  wstę pnych  (5.8)  pozwala  wyznaczyć  wstę pne  stany  naprę ż enia,
a  nastę pnie,  po  dodan iu  rozwią zania  (5.1),  stany  koń cowe.  N a  rys.  3c  pokazan o  efekt

redystrybucji  stanu  naprę ż eń  wywoł anej  sprę ż eniem  optym aln ym  (w  przypadku  v  =   - s-»

a  =  \ ,b  =  2, c — 3) i  zwią zanej  z ok.  24%- owym  odcią ż eniem  rury  wewnę trznej  (mie-
rzonym  globalnym  wytę ż eniem  cał ej  fazy I ).



55

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  L. D .  H OFMF.ISTER,  L. P .  F E LTON ,  Prestressing in structural synthesis, AIAA  Journ al, 2, 8,  (1970).
2.  L. P .  F E LTON ,  On  optimum  design of  prestressed beam  structures, AIAA  Journal,  3,  14  (1976).
3.  J. E.  TAYLOR,  Optimalprestress  against buckling. An  energy approach,  I n t .  J.  Solid. Struct., 2, 7  (1971).
4.  Z .  M R Ó Z ,  J. E.  TAYLOR,  Prestress for  maximum  strength,  I n t. J.  Solid  Struct., 9  (1973)  1535 - 1541.
5.  J, C.  N AG TEG AAL,  On  optimal  design  of  prestressed  elastic  structures,  I n t.  J.  M ech.  Sci.,  14  (1972)

779- 871.
6.  J.  H O LN I C K I - SZ U LC,  T heory  of  prestressing  I, Bull.  Acad.  P ol. Sci.  Techn., 1, 24  (1976).
7.  W.  N O WAC K I ,  T eoria  sprę ż ystoś ci,  §§4,  8,  P WN ,  Warszawa  1970.
8.  S.  TIM OSH EN KO,  J. N .  G OOD I E R ,  T heory  of  elasticity,  § 14.  M cG raw- H ill,  1951.
9.  E.  KR ON E R ,  Kontinuumstheorie  der  Versetzungen  und Eigenspanm/ ngen,  Ergeb.  angew.  M ath., 5  (1958).

10.  Z .  M R Ó Z ,  G . I . N .  ROZ VAN Y,  Optimal  design  of  structures  with  variable support  conditions, J.  Opt.
T h eAp p l.,  1,  15  (1975).

P  e  3  B  M  e

nPEJJJBAPH TEJIBH OE  HATXPJDKEHHE  B  flByX*A30BtIX  CPEflAX

B  p a 6 o T e  n p o B e fle H   a m n r a  C O C T O H H H H   n p e flBa p H T e jibH o r o  H anpjiH < eH H H  H   flediopiwai^H H ,  Bbi3BaH m > ix

B  y n p y r o f t  flByxdpa3OB0H   c p e fle  n yie iw  BBefleH H H   B  o 6 e n x  <J>a3ax  H e3aBH CH M bix,  n poH 3BO JibH bix,  H e-

nOflHHHHIOmHXCH   HH   CTaTIMeCKH M   IIH   reOMCTpH iieCKH M   CBH3HM   IIOJieH   flH CTOpCH ft.  CylUHOCTBIO  BH etU -

H e r o  oK aT H H   H B U H B T C H   BBefleH n e  T S K H X  n o jie H   # H C T o p c n ił   B  o6eH X  d pa3ax,  ^ T o Sbi  n o u n

H bix  H an pH H ceiiH ii  H   flecbopiwamrfij  BO36y5KfleiiH bie  B  O AH O H   H 3  ( ba 3  ( B  OKH MaeMofi  d ) a 3e ) ,

o6pa3OM   p e r yji H p o B a jm  B  n eft  o K o iwa T e n B H o e  p a c n p e fle jie H H e  H anpH >i<eH H H   H   pfi^ opmavjiw.  3 T H   C O -

CTOHHHH   HBJ1HIOTCH   CyMMOH   COOTBeTCTByiOmHX  n peflBapH T ejI bH blX  COCTOHHHIl H   COCTOHHHft  BbI3BaH H bIX

H a r p y 3 K o a .  B T o p a s  dpa3a  B b in o r a iH e T  p o n b  O K H M aiom eft  dpa3bi.

P e i n e H M   H eK O T opbie  3afla^iH   o r r a i M a ji t H o r o  p e r yjin p o B a H H H   OKOH ^iaTejibuwx  cocTOfiH H H

>KeH nii  H

S u m m a r y

O N   T H E  P R E STR E SSI N G  I N   D I P H ASE  M ED I A

We  analyze  initial  states  of  stress  an d  deformation  produced in  an  elastic  diphase  medium  by  forcing
independent,  arbitrary  distortion  fields,  which  do  n ot  necessarily  fulfil  the static  or  geometric constraints
in  both  phases.  External  prestressing  consists  mainly  in  introducing the both  phases  such  distortion  fields
that  the fields  of  initial  stress  an d deformation  induced in  one  (prestressed)  phase  cause  a  desirable  adjust-
ment  of  the distribution  of  the final  states  of  stress  an d  deformation  in this  phase.  These  states  are a  sum
of  the corresponding  initial  states  and  states  caused  by  external  load.  The other  phase  plays  a role  of  the
prestressing  on e.  Some  examples  of  an  optimal  control  of  the  final  states  of  stresses  in  the  prestressed
phase  are  discussed.

I N STYTU T  P OD STAWOWYC H   P R O BL E M Ó W  TE C H N I KI  P AN
WARSZAWA

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  31  stycznia  1977  r.