Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  16  (1978) D YSKRETN E  M OD ELE D YSLOKACJI R O M U A L D   K  O  T  O  W  S  K  I  ( WAR S Z AWA) 1.  Wstę p D yslokacje  są   to  jedn owym iarowe  defekty  sieci  krystalicznej.  Są   one  odpowiedzialne za  plastyczne  zachowan ie  się   ciał   stał ych. Istnienie  ich  został o potwierdzone  eksperymen- taln ie  przy  uż yciu  prom ien i  R oen tgen a  i  m ikroskopu  elektronowego.  Teorie  opisują ce zachowanie  się   dyslokacji,  ich  oddział ywanie  wzajemne  oraz  z  innymi  defektami  sieci krystalicznej,  n p .  z  defektami  pun ktowym i,  ich  wpł yw  n a  wł asnoś ci  mechaniczne  ciał   są przedm iotem  bad ań  od  przeszł o  osiemdziesię ciu  lat.  Stanowią   one  dział   mechaniki  ciał a stał ego.  Przez wiele  lat  dyslokacje  z  duż ym  powodzeniem  badan o  w  ram ach kontynualnej teorii  oś rodków  cią gł ych.  P ozwalał o  to  n a  stosowanie  dobrze  rozpracowanego  aparatu analizy  m atem atyczn ej.  Istnieje  jedn ak  wiele  takich  zagadnień,  gdy  konieczna jest  wiedza n a  tem at  szczegół ów  dyskretnej  budowy  kryształ u,  a  wtedy  powyż sze  podejś cie  staje  się niezadowalają ce.  Jedn ym  z  takich  problem ów  jest  zagadnienie  naprę ż enia  Peierlsa,  czyli m inim alnego  n aprę ż en ia, które  musi  być  przył oż one z  zewną trz  do  kryształ u,  aby  spowo- dować  ruch  dyslokacji.  Z akł ada  się ,  że  dyslokacja  podczas  ruchu pozostaje  prostoliniowa. N ie  uwzglę dnia  się   również  wpł ywu  tem peratury. D yskretne  m odele  dyslokacji  mają   znaczną   niedogodność  polegają cą   na  ogromnych trudn oś ciach  rach un kowych .  Z  tego  wzglę du  stosuje  się   szereg  przybliż eń ,  co  powoduje, że  otrzym an e wyniki  n ie  zawsze  są   wiarygodne. W  niniejszej  pracy  przedstawion o  przeglą d  dyskretnych  modeli  dyslokacji,  w  których podję to  próby wyliczenia  n aprę ż en ia Peierlsa. Z aprezen towan o modele F renkla- Kontorovej, P eierlsa- N abarro,  M aradu din a,  Sandersa  i  R oguli  oraz  wspomniano  o  pół dyskretnych m odelach  stosowanych  w  kom puterowej  symulacji  dyslokacji  w  kryształ ach. 2.  Model Frenkla- Kontorovej M odel  zapropon owan y  przez  F ren kla i  K on t orova był  jednym  z pierwszych,  w  którym staran o  się   oddać  dyskretn ą   n at u rę   dyslokacji  w  krysztale. W  m odelu  tym  kryształ  jest  podzielony  myś lowo  n a  dwie  czę ś ci:  górną   i  dolną .  Czę ść górn a  jest  zastą piona  przez  jedn owym iarowy  ł ań cuch  pun któw  materialnych  (atomów) poł ą czonych  identycznymi  sprę ż yn kami  o  stał ej  sprę ż ystoś ci  k.  Oddział ywanie  obu pół - kryształ ów uwzglę dnia  się  przez umieszczenie ł ań cucha atom ów w nieruchomym okresowym potencjale  W {x),  o  okresie  równ ym  b,  gdzie  b  jest  odległ oś cią   mię dzyatomową. R.  KOTOWSKI D yslokację   krawę dziową   wprowadza  się   dostarczają c  lub  usuwają c  jeden  atom  z  nie- skoń czonego  ł ań cucha  (rys.  1). Energia  potencjalna  kryształ u  wynosi CO (2.1) U =  y  J T { fJ+ gdzie  %  jest  wychyleniem  atom u  o  numerze j  z ./ - tego  m inim um potencjał u.  Róż niczkując (2.1)  wzglę dem  ipj,  otrzymujemy  warunek  stanu  równowagi  ./ - tego  atom u dW (w- ) (2.2)  % , + ,  - 2 fj +  % _t ) -   — g ^ Ł =   0, który  gł osi, że atom znajduje  się   w stanie równowagi  wtedy,  gdy  sił y sprę ż ystoś ci  sprę ż ynek są   równoważ one  sił ami  potencjalnymi  zwią zanymi  z  potencjał em  W (x). (c) l O O O O  O O O  O  O  O (d)  b O O O O O O g g « » ( e)  ( • • 8 8 0 0 0 0 0 0 - 2 - 1  0   1 2   —JT  X Rys.  I,  Dyslokacja  krawę dziowa  w  modelu  Rys. 2.  D yslokacja  ś rubowa  w  modelu  F renkla- Frenkla- Kontorovej;  (a)  kryształ   idealny;  gdy  Kontorovej minimów  potencjał ów  O 1  wię cej  niż  atomów:  •  atomy  łań cucha,  O atomy  sieci  (wg  [1]) (b)  konfiguracja  stabilna;  (c) konfiguracja  nie- stabilna;  gdy  atomów  o  1  wię cej  niż minimów potencjał u:  (d) konfiguracja  stabilna;  (e)  konfi- guracja  niestabilna W  oryginalnej  pracy  F ren kla  i  K on torovej,  ja ko  poten cjał   przyję to  nastę pują cą funkcję : (2.3)  j i  rozwią zano  zagadnienie dynamiczne (2.4)  m~w~= kł adą c idx2 gdzie  skorzystano  z  przybliż enia  dł ugofalowego  [1]. W  modelu F renkla- Kontorovej m oż na badać również  dyslokację   ś rubową.  W  tym  celu należy  rozważ yć  jednowymiarowy  ł ań cuch  atom ów  ruch om ych leż ą cy  n a  dwuwymiarowej siatce  atomów  nieruchomych  (rys.  2).  R uch  dyslokacji  w  kierun ku  x  sprowadza  się   do D YSK R E T N E  M OD ELE  D YSLOKAC JI  5 kolejnego  przemieszczania  się  atom ów  ł ań cucha  n a  odcinku  o  dł ugoś ci  1  w  kierunku  y n a  drodze Ay  =   b z jedn ego  prostolin iowego  szeregu  atom ów sieci n a nastę pny. Z akł ada się, że  atom y  z  ł ań cucha  oddział ywują  z  atom am i  sieci  za  pom ocą  potencjał u, n p.  typu  (2.3); a  energia  oddział ywania  atom ów  z  ł ań cucha  mię dzy  sobą  zależy  od  ich  wzglę dnego  prze- mieszczenia  w  kierun ku  y  i  wynosi gdzie rjj jest przemieszczeniem j- t ego  atom u  z ł ań cucha.  R ównanie  równowagi  dla  atomów ł ań cucha  zapisuje  się  wtedy  n astę pują co: ^ L  =  o i  problem  sprowadza  się  d o  zagadn ien ia  dyslokacji  krawę dziowej. R ówn an ie  (2.2)  z  poten cjał em  (2.3)  był o  rozwią zywane  przez  róż nych  autorów,  ale przez  sprowadzenie  równ an ia  róż nicowego  do  róż niczkowego.  Pierwsze  dokł adne  nume- ryczne  rozwią zanie  równ an ia  róż nicowego  dla  konfiguracji  symetrycznych  pojedynczej dysł okacji  podali  H OBAR T  i  C E LLI  [2],  otrzymując  wyniki  w  postaci  zbież nych  szeregów potę gowych  przemieszczeń  atom owych . H OBAR T  W  pracy  [3]  przedstawił   m etodę  obliczenia  naprę ż enia  Peierlsa  w  modelu F ren kla- Kon torovej,  korzystając  z  równ an ia  (2.2)  zapisanego  w  postaci (2.5)  WW  Yip Stał e  k  i  A  dadzą  się  przedstawić  za  pom ocą  stał ych  sprę ż ystych  v,  JJ,  i  E  [3], gdzie v —  współ czynnik  P oisson a,  fi,—  m oduł   ś cinania,  a  E—  m oduł   Younga,  w  nastę pują cy sposób: (2.6)  A- 4^ - ,  k= b(l- v 2 )' gdzie  a  jest  odległ oś cią  mię dzy  pł aszczyznami  równoległ ymi  do  pł aszczyzny  poś lizgu, a  dbc jest  obję toś cią  kom órki  elem en tarn ej.  H o ba r t  wykazał ,  że  naprę ż enie  Peierlsa  jest proporcjon aln e  d o  sił y  R mstx   dział ają cej  n a  atom  n  =   0  potrzebnej  do  utrzymania  go w  odległ oś ci  y 0   od  poł oż en ia równowagi  i wynosi (1 1\ rt  ~  - "max gdzie w{s)b  jest  szerokoś cią  dyslokacji,  gdy  znajduje  się  on a w poł oż eniu sb  dla 0  <  s  ^  1. Energia  P eierlsa  jest  równ a  pracy,  jaką  musi  wykonać  owa  sił a  i?  podczas  cią gł ego przejś cia  dyslokacji  od  jedn ej  konfiguracji  równowagi  do  nastę pnej yl1 (2- 8)  £ P   = ^ f  R(yo)dy o . o R ach un ki  m oż na  wykon ać  tylko  num erycznie.  M etoda jest  n a  tyle  ogólna,  że  moż6 mieć  zastosowanie  również  do  in n ych  potencjał ów.  H obart  wykonał   obliczenia  dla 6  R.  KOTOWSKI w pracy  [4] i  dla w pracy  [5]. Stwierdzono dla tych wszystkich  potencjał ów, iż energia Peierlsa maleje  wykł ad- niczo  wraz  ze  wzrostem  szerokoś ci  dyslokacji,  mim o  oczywistych  róż nic  w  wyliczonych wartoś ciach  energii.  H OBART  [6]  podał   również  sposób  przybliż onego  obliczenia  energii Peierlsa  przy  uż yciu  metody  zmiennej  zespolonej.  Otrzym ane  wyniki  są   w  dość  dobrej zgodzie  z metodą  dokł adną . D okł adne  analityczne  rozwią zanie  w  modelu  F ren kla- Kon torovej  m oż na  znaleź ć,  gdy potencjał  jest  odcinkami paraboliczną   funkcją   przemieszczenia.  Rozwią zanie  takie  znaleź li KRATOCH VIL  i  INDENISOM   [7]  oraz  WE I N E R  i  SAN D ERS  [8].  D okł adn ą   analizę   tego  m odelu znaleźć moż na również w  pracy  R O G U LI  [9]. i  i  1  i  o  °'  III ( 1 „ r ) b  i_.j  „ i .  Ą °o  i  i 0 2 - o I  R ys.  3.  P odział  kryszt ał u  n a  strefy  w  m o d elu  F ren kla- - (vi;- lviti,  +M- 1;  M  ;  K o n t o ro vej Kryształ  podzielono n a trzy strefy  (rys. 3), ze wzglę du  n a wartość przemieszczeń atom ów w stosunku  do  param etru m odelu: III:  (l- y)ż ><  Ą!/<  b, (2.11)  .  II:  ybś fjś (l I:  0  ^  fj  ^  yb,  —oo  j- fj,b(fj- b)  m  0, (2.12)  n : I :  kV2y>j- fj,bfj  =   0. D la  danej  wartoś ci  y  mamy  zawsze  dwie  konfiguracje  równowagi  o  M  róż nią cym  się o  1/2.  G dy M jest  poł ówkowe, to  konfiguracja  sł abych wią zań jest  symetryczna  wzglę dem maximum, a  dla  M  cał kowitego jest  symetryczna  wzglę dem  m in im um potencjał u. Stabilna jest  t a  konfiguracja,  która  m a  mniejszą   liczbę   sł abych  wią zań. G dy  do  kryształ u  przył oż one jest  naprę ż enie  ś cinają ce  r,  to  n a  każ dy  atom  dział a sił a /   =   — rb2.  Rozwią zania  szuka  się   w postaci (2.13)  t]j  + R.  KOTOWSKI Jeż eli przejś cia  I I -  I I I i  I  -  I I wystę pują   równocześ nie,  to  r p   =  —  T„ ,  czyli  r p   =  0 i  dys- lokacja  może przemieszczać  się   w  krysztale  bez  przykł adan ia  sił   zewnę trznych,  a  liczba sł abych  wią zań  pozostaje  bez  zmian. N a  rys.  5 i 6 przedstawiono  wykresy zmian  T P  W funkcji  y~ x  otrzymane przez  KR ATOC H - VILA  i  IN DEN BOMA  [7]  oraz  WEIN ERA  i  SAN D ERSA  [8]. R = 05 10"3 R=1.0 3  U  5  6  7  8  9  10  11 4  5  6  7  8  9  10 Rys.  6.  Wykres  t v (y~ l )  wg  Weinera  i  Sandersa  [8] 3.  Model Peierlsa- N abarro M odel  dyslokacji  zasugerowany  przez  Orowan a,  a  nastę pnie  rozwinię ty  przez  Peierlsa i N abarro wzbudził  wielkie zainteresowanie  i wywarł   duży wpł yw  n a rozwój  teorii  dyslokacji w  kryształ ach.  Wł aś nie  w  tym  modelu  Peierls  jako  pierwszy  oszacował   n aprę ż en ie  po- trzebne  do  przeprowadzenia  dyslokacji  z  kom órki  do  kom órki. M odel  P eierlsa- N abarro  został   zbudowany  przy  nastę pują cych  zał oż eniach  (rys.  7) : a) kryształ   skł ada się   z  dwu  poł ą czonych ze  sobą , cią gł ych,  sprę ż ystych  pół prze*strzeni; b)  wzdł uż  pł aszczyzny  poł ą czenia  (cię cia)  pół przestrzenie  mają   strukturę   atom ową ; c) oddział ywanie  atomów  z najniż szej  warstwy  górnej  pół przestrzeni z atom am i  najwyż- szej  warstwy  dolnej  pół przestrzeni  jest  typu  sinusoidalnego,  n atom iast  w  każ dej  z pół - przestrzeni  osobno  speł nia  ono prawo  H o o ke'a; d) przemieszczenia  w kierun ku prostopadł ym do pł aszczyzny  poś lizgu  są   zaniedbywalnie mał e  i  nie  są   brane  pod  uwagę   również  wszelkie  efekty  tem peraturowe; e) dyslokacja  jest  prostoliniowa. M odel ten może być  oczywiś cie  modyfikowany,  n a przykł ad przez  ż ą danie, aby  oddzia- ł ywanie  atomów  wzdł uż  pł aszczyzny  cię cia  był o  dowolną   funkcją   okresową   (n p.  LEJĆ EK [10] i K R OU P A,  LEJĆ EK  [11]), o okresie równym  stał ej sieci, byle tylko  dla m ał ych  wzglę dnych przemieszczeń  & t   zachodził  liniowy  zwią zek: (3.1) (f xy   =  - ^ j0 x (x)  dla  dyslokacji  krawę dziowej, d yx   =   ~j(P z (x)  dla  dyslokacji  ś rubowej, D YSKRETN E  MODELE  DYSLOKACJI gdzie  d  jest  odległ oś cią   mię dzypł aszczyznową.  Szczególnie  proste  wyniki  otrzymuje  się jedn akże  wtedy,  gdy  przyjmie  się   zależ ność  sinusoidalną . P oczą tkowo  przemieszczenie  dolnej  pół przestrzeni  wzglę dem  górnej  (na  rys.  7  linie przerywane)  wynosi [  b/ 2  x  >  0 (3.2)   ̂ =   °̂  =   U / 2  dI a * < 0 - P o  nał oż eniu  n a  pół przestrzen ie  takich  przemieszczeń,  że  tworzy  się   odpowiednio dyslokacja  krawę dziowa  lub  ś rubowa: [2u x   + b/ 2  x  >  0  \ 2u z +b/ 2  x  >  0 < 3 - 3 )  ®^ \ 2u x - b/ 2   d l a   x<0>   0 >=\ 2u z - bl2   d l a y x (b) Rys. 7. D yslokacja  krawę dziowa  (a) i ś rubowa (b) w  modelu  Peierlsa- N abarro  (wg  [12]) Rys. 8. Wykres  przemieszczeń w modelu Peierlsa- N abarro  (wg [12]) Ogólnie, przemieszczenia zachowują   się  tak, jak  pokazan o n a rys.  8. Z przemieszczeniami zwią zane  są   sił y, wywoł ane  zakł óceniem wią zań  w pł aszczyź nie y  =  0.  Zgodnie z  przyję tymi zał oż eniami,  n p . dla  dyslokacji  ś rubowej (3.4)  ^ , 0 ) = ̂ "" F orm aln a teoria sprę ż ystoś ci, jak  również zał oż enie cią gł ego rozkł adu dyslokacji  wzdł uż osi  0x,  prowadzi  do  zwią zku (3.5)  «r,2(x,0)  =   JLP  j   dufp  - J g - , —  00 gdzie  P  oznacza,  że  cał kę   należy  rozum ieć  w  sensie  wartoś ci  gł ównej  C auchy'ego.  Przy- równują c  (3.4)  i  (3.5)  otrzymujemy  równ an ie  cał kowe,  którego  rozwią zaniem  jest (3.6) u,  =  - b  .  x ——  a r c t g— 2TC  r\ 10  R . KOTOWSKI gdzie  r\  — d/ 2.  N aprę ż enie  wyraża  się  teraz  równaniem (3- 7)  '  aAxfi)  =   £ - ?- . Ostatni wzór wskazuje na istotną  cechę modelu P eierlsa- N abarro: w zerze, czyli  w ją drze dyslokacji,  nie  ma  osobliwoś ci  naprę ż enia,  które  pojawiał o  się  w  modelu  kon tyn ualn ym Osobliwość  pojawia  się  teraz  w  odległ oś ci  ±rj   od  pł aszczyzny  poś lizgu. O  o  ~~© (a) o  o  o  Rys.  9. Symetryczne konfiguracje  dyslokacji w modelu Peierlsa- N abarro  (wg  [12]) (a),  (b)  —  dyslokacja  ś rubowa;  (c),  (d)  —  dyslokacja  krawę dzio- Q  o  ~n'~—A*  i  I  I I I '  v  wa;  O '   x  o z n a c za ją  atom y  odpowiednio  n ad  i pod  plaszczyzną- poś lizgu,  a  linie  przerywane  n a  rysunku  dyslokacji  krawę dzio- wej  —  poł oż enie  rzę dów  atom ów,  gdyby  nie  był o  dyslokacji Podczas  ruchu  dyslokacji  nastę puje  zm iana  energii  potencjalnej  kryształ u.  Zależ ność energii  potencjalnej  od  poł oż enia  dyslokacji  jest  funkcją  okresową,  o  okresie  równym dł ugoś ci  wektora  Burgersa  b,  ze  wzglę du  n a  periodyczną  budowę  kryształ u.  Aby  przejść z jednej  konfiguracji  symetrycznej  do  drugiej  (rys.  9),  dyslokacja  musi  znaleźć  się  w  kon- figuracji  niesymetrycznej.  Oczekiwano,  że  ta  ostatnia  bę dzie  miał a  energię  wyż szą,  czyli że naprę ż enie ś cinają ce  powodują ce  zmianę konfiguracji  też bę dzie  się  zmieniać  okresowo. W modelu zał oż ono, że podczas ruchu dyslokacji  energia  sprę ż ysta  w obupół przestrzen iach nie ulega  zmianie, zmienia  się  natom iast  tylko  energia  pochodzą ca  od  zmiany  wzglę dnych przemieszczeń,  bę dą ca  sumą  po  wszystkich  atom ach  wzdł uż  pł aszczyzny  cię cia  i  wynosi (3.8)  W {a)  -   - ^ gdzie  ab jest  wychyleniem  dyslokacji  z jednej  z  konfiguracji  symetrycznych.  Róż niczkując otrzymany  wzór  po  a moż na znaleź ć  sił ę i  naprę ż enie, jakim i  należy  dział ać n a  dyslokację, aby  przesunąć  ją  z  jednego  poł oż enia  równowagi  w  n astę pn e: (3.9)  F=  - T _ L i Energia  osią ga  maksimum,  gdy  cos4a7i:  =   1,  a  minimum, gdy  COS4OOT =   — 1.  M aksi- mum  mamy  wię c,  gdy  a  =   0 lub  1/2,  a  minimum, gdy  a  =   1/ 4.  Wniosek  jest  niespodzie- wany  i  sprzeczny  z  oczekiwaniami:  najwię kszą  energię  mają  konfiguracje  symetryczne, a  konfiguracja  niesymetryczna  jest  obdarzona  energią  minimalną. N aprę ż enie  Peierlsa,  czyli  maksymalne  naprę ż enie  potrzebne  do  przeprowadzenia dyslokacji  do  nastę pnej  komórki,  pojawia  się  wtedy,  gdy  a  =   1/8  i  wynosi (3.10)  ( H I R T H  i  LOTH E  [12] uważ ają, że nieoczekiwana  postać energii  potencjalnej jest  czę ś ciowo skutkiem  sumowania  niezależ nie  po  pł aszczyznach  górnej  i  dolnej.  M etoda  t a  nie  ma D YSK R E T N E  M OD ELE  D YSLOKAC JI  11 silnego  uzasadn ien ia  fizycznego  i  pocią ga  za  sobą   zbytnie  wygł adzenie  funkcji  w  pobliżu ją d ra  dyslokacji.  Sugerują ,  że sum owanie  energii  pochodzą cej  od wzglę dnych  przemieszczeń par  rzę dów  atom ów  powin n o  poprawić  ten  wynik. 4.  Model  Maradudina M AR AD U D I N   [13] zapropon ował  prosty  model  dyslokacji  ś rubowej  w  sieci  krystalicznej, w której  każ dy  at o m oddział ywuje  tylko  ze swymi  najbliż szymi  czterema współ pł aszczyzno- wymi  są siadami  zgodnie  z  prawem  H o o ke'a.  Odległ oś ci  pomię dzy  atomami  w  kierunku prostopadł ym  do  pł aszczyzny  przekroju  są   stał e.  M aradudin  wyliczył   przemieszczenia atom ów  w  dwu  kon figuracjach  dyslokacji  ś rubowej:  w  konfiguracji  I,  gdy  dyslokacja znajduje  się  w ś rodku  kom órki  elementarnej i w konfiguracji  I I , gdy  dyslokacja  znajduje  się n a  krawę dzi  kom órki  elementarnej  (rys.  10).  N astę pn ie  podał   wyraż enia  na  energie  od- o o o ' o a o  o  o  o  c / o o o o o o o  o  o  .  o  o  o o  b  o  o  o  o  *  o  o  o  o oo M aradudina;  (a)  konfiguracja  I ;  (b)  konfiguracja  II  (a) R ys.  10.  K on figu racje  dyslokacji  ś rubowej  w  m o d elu  o o o o o o  o o o 0 o kształ cenia  powyż szych  konfiguracji.  R óż n ica  tych  energii  jest  energią   Peierlsa.  Pionowe przemieszczenie  at o m u  o  współ rzę dn ych  (m, n)  oznaczon o  w(m,ń ).  Jest  on o  wielowar- toś ciową   funkcją   poł oż en ia  atom u  w  tym  sensie,  że  wzrasta  o  b  po  zatoczeniu  kon turu Burgersa  wokół  linii  dyslokacji.  Aby  un ikn ą ć kł opotów zwią zanych  z  wielowartoś ciowoś cią pola przemieszczeń wprowadzon o  cię cie wzdł uż osi 0x. P oł oż enie tego cię cia jest w ogólnoś ci dowoln e. Stan  równowagi  rzę du  atom ów  o  współ rzę dnych  (m,  ń )  jest  opisany  równaniem (4.1)  A(w m+l , n - w,„_ Un )  + B(w m , n+1   - w m , n - i)- {2A  + 2B)w mę „  = =  fiK  ,  , (4.3)   W m ,„  =   r  - ;  :  i-   •   .  i  / a  dxdy,4  T Z2  J  J  sin x  C sin 2 ^ +  sm 2^ 12  R.  KOTOWSKI gdzie  C  =   A/ B.W   granicy,  gdy  Am2+Bn2  jest  duż e, wzory  te przechodzą  w  dobrze  zn an y zwią zek  z kontynualnej  teorii  dyslokacji (4.4)  w mn -   2 n — . o r   -   m Jest  on  identyczny  dla  obu  konfiguracji,  gdyż  w  teorii  kon tyn ualn ej  n ie  bierze  się  pod uwagę  szczegół ów  budowy  ją dra  dyslokacji. Energia  odkształ cenia został a policzona  w  pracy  [13] jako  praca  wykonana  przez  sił y zewnę trzne  n a  krysztale  podczas  wprowadzania  do  niego  dyslokacji.  Otrzym an o  nastę- pują ce  wyniki: £  i  > \ + C  i E\  ~  T ~   V AB\ \ n 2y-   —In—~ A —  ł —l n C + ln 4- 7T  y  2 ^ 4 (4.5) Ba  ~   T ; c - V ^ j l n 2 y-   - j l n — 4- gdzie  y jest  stał ą Eulera, ln y  =   0,57722,  R  zewnę trznym  prom ieniem kryształ u  (przyjmuje się,  że  kryształ   ma  kształ t  walca),  £,  r\   odległ oś cią  mię dzy  są siednimi  rzę dami  atom ów odpowiednio w  kierunku  x  i y.  Tak  więc (4- 6)  E u - E 1   = 1  /   .  _ /   C  \   1  R  ) M*~ arcsin   V  T +C)+ TInC+ ln7w  r Otrzymana  w  ten  sposób  róż nica  energii jest  nadm iernie duż a.  C E LLI  [15] poprawił   wynik M aradudin a  wprowadzając  dla  dwu  rzę dów  (0,  1/2)  i  ( 0,  —1/ 2)  w  konfiguracji  I I poten - cjał (4.7)  ^ 2 - (l  +   c o s —6 -   - co  dla  dyslokacji  [110]  w  N aC l  obniż yło  wartość  energii  P eierlsa  o  rząd  wielkoś ci. H OLZ LER  i  SIEMS  [16] stwierdzili,  że jeś li  zastosuje  się  poprawkę  Celliego  do  m odelu M aradudin a  dla  dyslokacji  [001]  w  krysztale  sześ ciennym,  to  róż n ica  E n —Ei  staje  się ujemna.  Jest  to  spowodowane  faktem,  że  najwię ksze  wzglę dne  przemieszczenia  bę dą  teraz w  konfiguracji  I.  Z apropon owali  wię c,  aby  wprowadzić  sinusoidalną  zależ ność  sił   od przemieszczeń  dla  wszystkich  wią zań,  co  obniż ył oby  wzglę dne  przemieszczenia  również w  konfiguracji  I i zmniejszył oby  Ą  w ten sposób, że róż n ica energii  znów był aby dodatn ia. 5.  Model Sandersa SAN D ERS  [17]  zbudował   dyskretny  model  dyslokacji  krawę dziowej  w  krysztale  o  sieci sześ ciennej  prostej  przystosowany  do badan ia wpł ywu  n aprę ż en ia ś cinają cego  przył oż onego z  zewną trz  n a  geometrię  dyslokacji.  Zał oż ył  on  liniowe  oddział ywania  pomię dzy  najbliż- szymi  są siadami  (oprócz pł aszczyzny  poś lizgu)  uwzglę dniając  sił y  centralne i n iecen traln e. Rozważ ane  był y  tylko  cztery  rzę dy  atom ów  najbliż sze  pł aszczyzny  poś lizgu.  Przemiesz- czenia  atomów  w  tych  rzę dach  dan e  są  nastę pują cymi  wzoram i: My  = 2 D YSK R E T N E  MOD ELE  D YSLOKAC JI 13 gdzie My jest poziom ym  przemieszczeniem  atom u w  z- tym  rzę dzie i w./ - tej  kolumnie, wj; jest przemieszczeniem atom u wywoł anym jedn orodn ym  naprę ż eniem ś cinają cym  r przył oż onym w  nieskoń czonoś ci  z zewną trz  do  kryształ u: xb 2 M jf,  = - ( / - i)  ; > o , (5.2) gdzie  k 2   jest  m iarą   sił   n iecen traln ych  (co  wynika  z  porówn an ia  z  kontynualną   teorią sprę ż ystoś ci,  gdyż  k 2   =  c^ &b = / bib),  a  u]] jest  odkształ ceniem  potrzebnym  do  wprowa- dzenia  dyslokacji: (5.3) „ I I  _ - b/ 4 0 b/ 4 Ala J > 0 7 = 0; b/ 4 - b/ 4 dla P o  wprowadzeniu  dyslokacji  atom y  doznają   relaksacji  i zajmują   poł oż enia  równowagi, co  okreś lają   funkcje  q?j,  'j  zmierzają ce  do  zera,  gdy  j  - > oo. W  pobliżu  ją d ra  dyslokacji  przemieszczenia  są  tak  duż e,  że  porzucon o  tutaj  zał oż enie o  oddział ywaniu  tylko  najbliż szych  są siadów  i  uwzglę dniono  oddział ywanie  atomów z rzę du  1 z dwom a atom am i z rzę du  — 1 (linie przerywane  n a rys.  11). Sił a oddział ywania jest funkcją   poziomej  odległ oś ci  0 y  pomię dzy  oddział ywują cymi  atom am i,  gdzie  &ij  jest odległ oś cią   pom ię dzy  i- tym  atom em  z 1 rzę du  i j- tym  atomem  z rzę du  — 1. X 1" - 2- I  - rv / DV/ \   / 0  , I ( a ) Ao _5 Rys.  11.  D yslokacja  krawę dziowa  w  modelu Sandersa ( b )  \   / Rys.  12. (a) Trzy  typowe  atomy w pobliżu pł asz- czyzny  poś lizgu;  (b)  wykres  sił y  dział ają cej  na atom  C  pochodzą cej  od  atomu A  (linia  cią gł a) i  od  dwu  atomów  poniż ej  pł aszczyzny  poś lizgu (linia  przerywana);  w  modelu  Sandersa R ówn an ia  równowagi  zapisują   się   n astę pują co: dla  atom ów  usytuowan ych  daleko  od  pł aszczyzny  poś lizgu (5.4)  ^i(«i, j+ i+ «i.j- 1- 2wi, J- ) +  / c2(«i+i,j +   Wi- i,j- 2M)  =   0, gdzie k x  jest  m iarą   sił  cen traln ych ; dla  atom ów  z czterech  rzę dów  najbliż szych  d o  pł aszczyzny  poś lizgu -   Fjj- F J+u] . 14 R .  KOTOWSKI F y  jest  sił ą  oddział ywania  / - tego  atom u z rzę du  1 z j- tym  atom em  z  rzę du  - 1.  Z ał oż ono nastę pują cy  charakter  zależ noś ci  F(&): (5.6) F/ {k 2 b)  = 0 / b 0 O <  0/ b  «s  y, ys gdzie y  =  0c / £  =  Fc/ (k 2b)  =   TC/ £,OC  =   y/ ( l - 2 y),  rc  oznacza krytyczne  napię cie  ś cinają ce kryształ u  doskonał ego  (rys.  12). Przemieszczenie dyslokacji '- 609 - 969 - 3 - Ma- M/1 M - 3 - 3 wią zanie stabe ( wią zanie silne - 3 0 Rys.  13. Przykł adowy  rozkł ad  wią zań  wzdł uż pł aszczyzny poś lizgu  w modelu Sandersa. M x   i M 2 są  to numery,  liczone  od ś rodka,  tych  atomów, które  pierwsze  są  poł ą czone  silnymi  wią zaniami Rys.  14. Przykł ad  zmiany  naprę ż enia  zewnę trz- nego i konfiguracji  sł abych wią zań  w czasie ruchu dyslokacji  w modelu  Sandetsa G dy  wzglę dna  poziom a  odległ oś ci  pomię dzy  dwom a  atom am i  z  dwu  są siednich po- ziomych  rzę dów jest z przedział u  [0, y] , to mówimy,  że atom y  są poł ą czone silnym  wią za- niem,  a  gdy  t a  odległ ość jest  z  przedział u  [y, 1—y], t o  mówimy,  że  wią zanie  jest  sł abe (rys.  13). Tak wię c,  pł aszczyznę  poś lizgu  m oż na  podzielić  n a  trzy  czę ś ci: j <  - M 2 ,  Fjj silne, F JtJ _ 1   =  0, — M 2 +  l  < y  <  M t  — 1,  Fjj i / }+ !,;•   sł abe, ]>M Xi   Fjj_ t   silne, Fjj  =  0. Sanders  badał  quasi- statyczny  ruch dyslokacji  (przejś cie  z jedn ej  kom órki  do  nastę pnej) dla.  R  =  1,0, 2,0, 5,0 (R — k i / k 2 )  i  dla róż nych  wartoś ci  y.  Typowy  przebieg  zależ noś ci przemieszczenia  dyslokacji  od  przył oż onego  naprę ż enia  a =  r/ b  pokazuje  17s. 14. Począ tkowa  konfiguracja  C 1 jest  stabilna  (dodatniem u n aprę ż en iu  odpowiada  dodatn ie przemieszczenie),  n atom iast  konfiguracja  C 3  jest  niestabilna — w  ruchu  dynamicznym dyslokacja  powinna  albo  skoczyć  do przodu, albo  powrócić  z  powrotem  do  konfiguracji stabilnej.  N aprę ż enie  Peierlsa  to maksymalne  naprę ż enie  wystę pują ce  w tym cyklu  wyno- szą ce  9, 65x10- 5. D YSKRETN E  MODELE  DYSLOKACJI 15 Oprócz  cyklu  om ówionego  powyż ej,  San ders  zaobserwował   również  takie,  w  których konfiguracja  począ tkowa  był a n iestabiln a  i takie, w  których był y dwie konfiguracje  stabilne w jedn ym  cyklu.  Koń cowy  wynik  obliczeń n aprę ż en ia Peierlsa  pokazuje  rys.  15.  U derzają cą cechą   jest  okresowy  przebieg  r p   w  funkcji  y"1 . G 10-' V s R=2 6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  f Rys.  15.  Zmiana  naprę ż enia  Peierlsa  w  funkcji  y"1  w  modelu  Sandersa 6.  Model  Roguli R O G U LA  [18]  zapropon ował   dynamiczny,  atom owy  model  prostoliniowej  dyslokacji ś rubowej  w  sieciach  Bravaisa.  Wyprowadził   on  wyraż enia  n a  pola  prę dkoś ci  i  dystorsji oraz  zn alazł   zależ ność  prę dkoś ci  poruszają cej  się   dyslokacji  od  dział ają cego  n a  kryształ jedn orodn ego  n aprę ż en ia  zewnę trznego. M odel  R oguł i przystosowan o  [19] do  quasi- statycznego  ruchu  dyslokacji,  co pozwolił o znaleźć  statyczne  n aprę ż en ie  P eierlsa  w  funkcji  param etru  modelu  y. 3 o 2 o 1 0 y 0 o o (x,y) 0   O 0   0 O  0 Rys.  16.  Przekrój  poprzeczny  przez  sieć  sześ cienną   prostą o  o o  o  o o  o  o  o  o  o °  o  o  o  o  o R ozpatrzon o  sześ cienną,  prostą ,  prymitywną   sieć  krystaliczną .  P rzekrój  poprzeczny tworzy  sieć kwadratową   (rys.  16). Z ał oż on o, że w nieskoń czonej  sieci znajduje  się   pojedyncza dyslokacja  ś rubowa  o  wektorze  Burgersa  b (|b|  =   1)  równoległ ym  do  osi  Oz.  D yslokacja m oże  zajmować  róż ne  poł oż en ia  wewną trz  kom órki,  w  której  umieszczono  począ tek ukł adu  współ rzę dn ych.  P o n ad t o  zrobion o  nastę pują ce  zał oż en ia: a)  ruch  atom ów  dozwolon y  jest  tylko  w  kierun ku  równoległ ym  do  osi  Oz  (równolegle do  linii  dyslokacji),  przy  czym  odległ oś ci  mię dzy  atom am i w tym  kierunku  są   stał e  (atomy są   «n an izan e n a sztywne prę ty»,  a  kół ko n a rys.  16 ozn acza jeden taki  p rę t ); b)  każ dy  atom  oddział ywuje  tylko  ze  swymi  czterem a  najbliż szymi  «współ pł aszczyzno- wymi»  są siadam i; c)  en ergia  oddział ywan ia atom ów jest odcinkam i paraboliczną   funkcją   dystorsji / 3 k (x, y), & =   1, 2. 16 R .  KOTOWSKl D ystorsją / ?fc(x,  y)  nazwano  wielkość (6.1)  P k (x,y)  =  D k w(x,y)- n k , gdzie D k  jest operatorem róż nicy centralnej, w(x,  y) jest pionowym przemieszczeniem atom u o  współ rzę dnych  (x, y),  a  n k   są   takimi  liczbami  cał kowitymi, by  \ (3 k (x, y)\   <  0,5  (rys.  17). Wielkoś ci  fi k (x,y)  — 0,5  i  fi k {x,y)  —  —0,5  są   równoważ ne.  P o  rozpisaniu  wzorów  (6.1): (6.2) widać,  że  dystorsje  okreś lone  są   w  ś rodkach  odcinków  ł ą czą cych  atom y:  ^ (x,  y)  w  ś rod- kach  odcinków  poziomych,  a  P 2 (x,y)  w  ś rodkach  odcinków  pionowych  (rys.  16  i  17). 'telfe1 g i i i 2 L ( ( (- L, 1 X Rys.  17.  D ystorsja  (S^O,  1/2) Rys.  18.  Zależ ność energii  i  sił y  oddział ywania  atomów od dystorsji w modelu Roguli. Rozkł ad sił y oddział ywania na  czę ść  liniową   i  nieliniową N a  rys.  18  przedstawiono  zależ ność  energii  U  i  sił y  S k   oddział ywania  dwu  atom ów od  dystorsji (6.3)  S k   = D YS K R E T N E  M OD ELE  D YSLOKAC JI  17 Wartość  dystorsji  p k  = y,  bę dą ca  param etrem  modelu,  wyznacza  granicę  liniowej zależ noś ci  sił y  oddział ywania  od dystorsji.  W zwią zku  z tym  przedział  wartoś ci  dystorsji [—0,5, 0,5]  podzielono n a  trzy  czę ś ci  (rys.  18): jeś li  wartość  dystorsji  jest z obszaru  I  to mówimy,  że odpowiednie  wią zanie  jest  silne,  zaś  w przypadku, gdy  wartość  dystorsji  jest z obszaru  I I lub  I I I ,  t o mówimy  ż e, wią zanie jest  sł abe. Sił ę oddział ywania atomów z są sie- dnich  rzę dów  moż na  rozbić  n a czę ść  liniową  i  nieliniową: (6.4)  S k (x,  y)  =   (S^   + Sn  (x, y), N ieliniową  czę ść  oddział ywania  moż na  wyrazić  przez  liniową,  jeś li  wprowadzi  się wielkość (6.5)  f(x,y)- - DkS?*(x,y), gdzie f(x,  y) jest wielkoś cią  taką, że b •  f(x,  y) przedstawia  sił ę, z jaką  należy dział ać na atom o  współ rzę dnych  (x,y),  aby otrzymać  taki  sam  efekt,  jaki  daje  nieliniowa  czę ść  (6.4). Sumaryczny  wektor  Burgersa  zdefiniowano  nastę pują co: (6.6)  £P*Dx k   = ]?  R k 0 k . C  intC Po  lewej  stronie  równania  sumowanie  odbywa  się po odcinkach  konturu  C  (gdyż  DQ oznacza  przyrost  wielkoś ci  Q n a  elementarnym  odcinku  konturu  C), a po  prawej  stronie równania  po kom órkach  zawartych  wewną trz  kon turu  C. Tutaj (6.7)  R k  =  e, k D ł tk   i  h-   1, 2, a  e ik   jest  antysymetrycznym  tensorem  jednostkowym (6.8)  e n  =  e 2 2  =   0,  sj.2  =   - ea i =  1. Wielkość  zdefiniowana  jako (6.9)  R,A(x,y)  =  oc(x,y) gra  taką  samą  rolę, jak  gę stość dyslokacji,  w omawianym przypadku  dyslokacji  ś rubowych, w teorii kontynualnej. Pole a(x,  y) jest  okreś lone dla cał kowitych wartoś ci x i y,  a poszcze- gólne jego  elementy  mogą  przyjmować  trzy  wartoś ci:  0 —  gdy  w danej  komórce nie ma dyslokacji  i  + 1 —  gdy  w kom órce  znajduje  się  dyslokacja  o wektorze  Burgersa  równym ± b. U kł ad  równań - D k SV"(x,y)=f(x,y), (  }   RkPk(x,y) =   «(x,y), po  prostych  przekształ ceniach  da się  sprowadzić  do postaci (6.11)  -   aD k   D k   p t   = Dif-   aRi  a, gdzie  a =  [i jest  m oduł em  ś cinania.  Równanie  to rozwią zano  metodą  funkcji  G reena i  znaleziono, że (6.12)  P(x,y)  =  — gdzie  * oznacza splot  dyskretny: (6- 13)  Q*P = 1  Mech.  Teoret.  i  Stosowana 1/78 18 R.  KOTOWSKI a  G jest  funkcją  G reen a n (6.14)  G(x,y)  =   ~ r ^ ^ £ 2rc   i  ] / ( 2 - c o s< ?2 ) 2 - l przy  czym  G (0,0) =   0,0. Ponieważ  dyslokacja  znajduje  się w tej  samej  kom órce, w której  jest  począ tek  ukł adu współ rzę dnych,  więc (6.15)  a(x,y)  =   d xO d yO , gdzie  b u   jest  deltą  Króneckera,  a  wzory  na dystorsje  zapisują  się  n astę pują co: (6.16) + G(x,y+]/ 2)- G{x,y- ll2), RODZINA  I  • • —•   RODZINA  U 0.5- 0.25  0,5- 0,25 Nie  m a  sł abych  Nie  m a  sł abych - (7 (je+ l/ 2 , j/ )+ '0 (je- l/ 2 , j>). RODZINA  I 0.5- 0,1817 wiazan. )  Q25tQ.11 Q— i  Q1134- Q0752 wiazan I  0,25*0,1411 1141— .  0,W1l- Q1024 II  IIHł- H— t  0 , 5 - 0 0,1817* 0,1147 i  0)U 7- qp883 II H U H - = =  00752^0,0562  ,  0,1024^00917  10,0883- 0,0817 fi- Hh  IIS3+-   ii [ QB+- 4=   0,0562- 0,0449 H- H+- 0D   917- 0,0709 U—  II 0.0817- Q0636 4+ ~ =  Q0449- 00373 H 4 4 -   II 0,0709*0,057^ 0,0636- ^0,0522 Rys. 19. Trzy rodziny symetrycznych konfiguracji  równowagi sł abych wią zań przy | ,  =   0 w  modelu Roguli. Obok  każ dej  konfiguracji  podano  zakres  y  jej  waż noś ci;  |  oznacza  dystorsję  równą  0,5 Wpł yw  naprę ż enia  zewnę trznego  został   uwzglę dniony  przez  wprowadzenie  jedn orod- nego  pola  dystorsji  fi k ,  Tak więc  cał kowita  dystorsja  jest  dan a  wzorem (6.17)  hix,y)  =  ft(x D YSK R E T N E  M OD ELE  D YSLOKAC JI 19 gdzie  /?fc(x, y) jest  polem  dystorsji  wywoł anym  obecnoś cią   dyslokacji  i  dane jest  wzorami (6.16). Z badan e  został y  dwa  procesy: a)  proces  zm ian  konfiguracji  równowagi  sł abych  wią zań  w  funkcji  y  przy  f! k   =   0; b)  proces  zm ian  konfiguracji  sł abych  wią zań  w  funkcji  ft k   przy  ustalonym  y, W  procesie  drugim  m aksym aln a  fi k   wystę pują ca  w  quasi- statycznym  ruchu  dyslokacji poprzez  kom órkę . elem en tarn ą   jest  proporcjon aln a  do  naprę ż enia  Peierlsa. Ś ledząc proces pierwszy,  stwierdzono  istnienie trzech rodzin symetrycznych  konfiguracji sł abych  wią zań  (rys.  19). W  rodzin ie  I I I jedn a  z  dystorsji  jest równa  ± 0 , 5 ,  czyli  dyslokacja znajduje  się   n a  krawę dzi  kom órki.  Wybierają c  dowolną   konfigurację   z rodziny  I,  ustalają c y  i  zmieniają c  odpowiedn io  /? m oż na  dojść  tylko  do  jedn ej  z  konfiguracji  z  rodziny  I I . Ż aden  proces  tego  typu  nie  wyprowadza  dyslokacji  n a  krawę dź  komórki  (rys.  20)  (uwaga t a  nie  dotyczy  pierwszej  konfiguracji  (bez sł abych wią zań)  z rodziny  I ) .  P rzy  równoczesnej zmianie  obu  p k   otrzym an o  cią g  konfiguracji  o  rosną cej  liczbie  sł abych  wią zań  (rys.  21), a  w  ostatniej  konfiguracji  z  tego  cią gu  dwie  dystorsje  są   równocześ nie  równe  0,5.  Proces ten  prowadzi  do  kruchego  zniszczenia  kryształ u.  T ak  wię c  konfiguracje  z  rodziny  I  odpo- wiadają   dyslokacjom  utwierdzon ym . =00 =  Q0 ii—x w—r  e ^ = 0 0 i=003652 (a) '=0010009 = 00 y/ ł=GO10193 =0.0 !—00 (b) Rys.  20.  Przykł ady  zmian  konfiguracji  sł abych  wią zań  w  funkcji  fi,  dla  (a)  (0,2500,  0,1817) e y  =  0,2; (b)  (0,1817,  0,1134) e y  =   0.12  w  modelu  Roguli Konfiguracje  z  rodzin y  I I  (oprócz  pierwszej)  mają   ś ciś le  wyznaczoną   pł aszczyzn ę ' poś lizgu  dyslokacji.  D yslokacja  osią ga  konfigurację   z  rodziny  I I I  (a wię c jest  dyslokacją , ruch om ą )  tylko  wtedy,  gdy  naprę ż enie  zewnę trzne  jest  przył oż one  do  kryształ u  w  taki 20 R.  KOTOWSKI sposób,  że  sił a  dział a  na  dyslokację   równolegle  do  kierun ku,  w  którym  jest  najwię cej sł abych  wią zań.  P rzykł ady  takich  procesów  pokazan o  n a  rys.  22. N a  rys.  23  pokazan o  w  funkcji  y  (w  skali  y~ r)  zmiany  konfiguracji  sł abych  wią zań (z rodziny  I I i I I I ) w trakcie  zmiany  poł oż enia dyslokacji  u.  G dy  u  =   + 0 , 5 , to  dyslokacja znajduje  się   na  krawę dzi  kom órki,  a  u  =   0  jest  równ oważ ne  u  =   1.  Liniam i  ukoś nymi zakreskowano  obszary,  w których  dan a konfiguracja  jest stabilna,  co  odpowiada  m in im um energetycznemu,  a  liniami  poziomymi  obszary  niestabilnoś ci  konfiguracji  (maximum energetyczne). 00 0.02877/ , H r - f- 0034537 0.034954 - 0.002204 I  0.006058 T  0.011317 O- M-   + Q5 |   0018347 J UHf - Rys.  21. Cią g  konfiguracji  w  modelu  Roguli  dla y  =   0,  095  przy  równoczesnej  zmianie  p k ,  k  = =   1, 2; |8j  =   p 2 .  Przy każ dej konfiguracji  podano osią gnię tą   wartość  P 0.005 Q010 0.015 0.005- 0.010' 0.015' if =0.23 - / —  —0.0109 u - . H .  PEHKEiibj  Beedenue  e  meopuia  Memannoe, F ocyflapcTBeH iioe  H3flaTejibCTB0  H3HipeHKJM- KoHTopoBOHj  n a fie p n c a - H aG appO)  M apan y^H iia,  CaH flepca  H  P o ryjin .  IIpH BefleH   KpaTKHH   o63op  nonbiTOK  p araeT a  n an pjm eH H H riań epjica  B  STHX  MOflejinx. S u m m a r y D ISCRETE  M OD ELS  OF  D ISLOCATION S The  Frenkel- Kontorova, Peierls- N abarro, M aradudin, Sanders and Rogula  discrete models of disloca- tions  are discussed.  Attempts  to calculate  Peierls  stress  in these  models  are briefly  reviewed. IN STYTU T  P OD STAWOWYC H   P R OBLE M ÓW  T E C H N I K I P AN WARSZAWA Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  8  kwietnia  1977 r.