Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  16 (197S) S AM O C Z YN N E  WYWAŻ AN IE  WI R N I K A  P O D P AR T E G O  S P R Ę Ż YŚ C IE  W  D W Ó C H K I E R U N K AC H T AD E U SZ  M A J R W S K I  (WARSZ AWA) P rzebadan o  wirnik,  który  jest  niewyważ ony  statycznie  i  pod  dział aniem  nierówno- waż nych  sił   odś rodkowych  porusza  się   ruchem  pł askim  w  ten  sposób,  że  oś  obrotu  wir- n ika  0  może  przemieszczać  się   wzdł uż  osi  x  i  y  nieruchomego  ukł adu  współ rzę dnych xAy.  W  cylindrycznym  podtoczen iu  znajdują   się   elementy  swobodne,  n p.  kulki.  Schemat takiego  wirnika  przedstawion y  jest  n a  rys.  1. Rys.  1.  Schemat  ukł adu W  pracy  [1]  rozpatrzon o  zachowan ie  się   niewyważ onego  wirnika,  którego  oś  obrotu został a  po dpart a  sprę ż yś cie  w  jedn ym  kierun ku  i  wykazano,  że  przy  prę dkoś ciach  nad- krytycznych  OJ >  co Ox   elementy  swobodne  przemieszczają   się   do  poł oż eń  zapewniają cych wyważ enie  się  u kł adu . W  stosun ku  do  ukł adu  z  rys.  1  przyjmuje  się   nastę pują ce  zał oż enia:  bież nia, po  której  poruszają   się   elementy  wyważ ają ce  m a  kształ t  okrę gu,  którego  ś rodek pokrywa  się   z  osią   obrotu  0,  wirn ik  obraca  się   ze  stał ą   prę dkoś cią   co — const,  elementy wyważ ają ce  poruszają   się   w  pł aszczyź nie  poziomej  i  w  zwią zku  z  tym  pominię te zostaną sił y  cię ż koś ci,  istnieją ce  sił y  oporu  są   proporcjon aln e  do  prę dkoś ci,  elementy  wyważ ają ce toczą   się   bez  poś lizgu  i  oderwań  oraz  nie zderzają   się . n x ,n y M m Me x ,  Ky n x r J Waż niejsze  oznaczenia m asa  wirn ika, m asa  elementu  wyważ ają cego, niewyważ enie  statyczne  wirnika, sztywnoś ci  podparcia  sprę ż ystego  w  kierun ku  osi  x  i  y, współ czynniki  oporu  wiskotycznego  dla  wirnika  i elementu, prom ień  elementu  swobodn ego, masowy  m om en t bezwł adnoś ci  elementu wzglę dem  jego  osi  symetrii. 26  T .  M AJBWSK I 1.  Równania  ruchu  i  warun ki  wyważ enia  się  u kł adu Wirnik  z  n elementami swobodnymi  m a  2+n  stopn i  swobody,  przy  czym  niezależ nymi współ rzę dnymi  uogólnionymi  są  x,y,  a. t .  M asy  i  prom ienie  wszystkich  elementów  przyj- muje  się jedn akowe.  W  oparciu  o  równ an ia  Lagran ge'a  uł oż ono  równ an ia  ruch u  ukł adu. Równania  te  mają  postać (1)  (M+nm)x+n x x+k x x  =   Meco2coswt+mR n + mR  \   a,-  sin(co^- fai) n (2)  (M+nm)y  + n y y  + kyy  =  Mew 2 s'ma)t  + mR  £  (co + Ui) 2 s'm(wt+ai)  + n — mR  \   'di  cos(cot +  a t ), (3)  m z R'di  =  m gdzie  m z   =   m+Jjr2,  i  =  1, 2,  . . . , «. R ównania  (1) i  (2)  opisują  drgan ia  postę powe  osi  wirnika  0  w  kierun kach  x  i  y.  N a- tomiast  równania  (3)  opisują  ruch  poszczególnych  elementów  swobodnych  wzglę dem wirnika. N iewyważ ony  wirnik  wykonuje  drgan ia  pod  dział aniem sił   odś rodkowych.  N a  skutek - jego  drgań  pojawiają  się  pewne  sił y, które  starają  się  przesun ąć  elementy  swobodne  wzglę- dem  wirnika.  M ogą  one  zatem  zająć  takie  poł oż enia  koń cowe  .  Wykresy  z rys.  2 i 3 przedstawiają  zachowanie  się  w  czasie  wirnika  i elementów wyważ ają cych  w  przypadku  wyważ ania  jedną  kulką  n  =   1.  M asa  kulki  jest  t ak  d o bran a, że  mR  =   Me.  Zgodnie  z  warunkam i  (4)  poł oż enie elementu,  przy  którym  ukł ad  bę dzie cał kowicie  wyważ ony  jest  a k   =   + T C . Wykresy  z  rys.  4  odnoszą  się  do  tego  samego  wirnika  z  tym ,  że  do  wyważ ania  uż yto dwóch jednakowych  kulek.  W  tym  przypadku  ich  m asy  powinny  być  takie,  ż eby  2mR  > >  Me,  a współ rzę dne koń cowe  oc ik>  a 2k ,  przy  których  wirnik  był by  cał kowicie  wyważ ony, okreś la  zależ ność (5)  a lk   =  —a 2k   =  &T ccos[—Me/ 2mR]. W  110  ISO  I8D  W   220 —  Mid Rys.  2.  Wyważ anie  jednym elementem oi [ma] • )D  SO no  m  IBO im"  *3o  W a Me'/ rrP T - at Rys.  3.  Wyważ anie  jednym elementem [ 27] 28 T.  MAJEWSKI Przykł adowe  przebiegi  x{r),  y(z),  OC(T)  przedstawione  n a  rys.  2 H - 4 wskazują ,  że  przy prę dkoś ciach  a>  >  co 0x ,  co 0y ,  gdzie  w Ox   =   ~\ jk x \ M,  co Oy   =   ]/ k y / M,  elementy  wyważ ają ce rzeczywiś cie  dą żą   do  poł oż eń  a ik ,  przy  których  ukł ad  jest  wyważ ony,  a  drgan ia  wirnika stopniowo  zanikają .  Również  dla  pewnych  prę dkoś ci  co 0x   <  co  <  oo 0y   m oż na  uzyskać wyważ enie  się  ukł adu, jak  pokazują   wykresy  z rys.  3. °i[ tad] Rys.  4.  Wyważ anie  dwiema  kulkami 2.  Rozwią zanie  uproszczone n n Wyraż enia  mR  ^   K;sin(ft)ż + a;),  mR  ^   a, cos(co?+ a() wystę pują ce  w  równ an iach  (1) i  (2) m oż na pom iną ć bez  obawy  popeł nienia  wię kszego  bł ę du,  gdyż  są   one dużo  mniejsze w  stosunku  do  pozostał ych czł onów i  zanikają   jednocześ nie  z  zanikaniem  drgań  wirn ika. P o  tym  uproszczeniu  prawe  strony  równ ań  (1)  i  (2)  przedstawiają   sum ę   rzutów  sił   od- ś rodkowych  n a  oś  x  lub  y. W  zwią zku  z tym moż emy przyją ć  drgan ia wirnika jako  sum ę  drgań  od poszczególnych sił   odś rodkowych  dział ają cych  na  wirn ik: (6) x(t)  =  a 0x cos(ojt-

ix  są  a m p lit u d a m i i k ą t a mi  p r ze su n ię c ia  fa zo wego  d la  d r ga ń  w  k i e r u n k u osi  x,  a Oy ,  a iy ,  q> Oy ,  q>i y   ozn aczają   a m p lit u d y  i  fazy  d la  d r ga ń  w  k i e r u n k u  y. SAMOCZYNNE  WYWAŻ ANIE  WIRNIKA  29 R ównanie  (3) opisuje  ruch  / - tego  elementu  swobodnego  pod dział aniem  sił y: (7) Pi  =   ; Zależy  ona  od przyspieszeń, jakie  wystę pują  w poszczególnych  ruchach  skł adowych  osi wirnika.  Jeż eli  przyję to  drgan ia  wirn ika  ja ko  sum ę  drgań  harmonicznych, to  sił a P t ,  po wykorzystaniu  zależ noś ci  (6),  może  być  przedstawiona  w postaci n (8)  P t   =  - ~0,5mm 2 e[a' ox sm(a r 2j J- l n -   0,5ma> 2 e[a' Ox sin(2co? + a t ~  f Ox )+b  2J  a' jx ( 1 +  a,- / cu)2sin(2co/  + a {  + ctj 7 = 1 +  0,5mm2e[a' Oy sm(2mt  +a t - cp Oy )- \ - b  £  a jy {\  + ajl(n) 2 s'm(2u>t +  a ; +  a ; - ^ j , ) ], / - i gdzie b = niR/ Me,  a' 0 =  a o / e,  a\  ~   ajbe. Wpracach  [1,2] wykazan o, że czł ony okresowe  wzglę dem czasu wystę pują ce  w zależ noś ci (8), mają  mał y  wpł yw  na  ruch elementu wyważ ają cego.  W  dodatku wystę pują  one z  prze- ciwnymi  zn akam i, przez  co  ich  wpł yw  wzajemnie  się  znosi.  D o dalszych  rozważ ań moż na przyjąć  uś rednioną  sił ę P t  jako T (9)  ,  Pi^ yfPtdt,  gdzie b P o  wprowadzeniu  oznaczeń P o   =  0,5  mw2c, n Fix =  ~  W ox sin ( a ( +   Oy , t o  wtedy F y  - > 0 i wówczas  otrzymujemy  ukł ad, który  może  drgać  tylko  w jedn ym  kierun ku.  G dy  wirnik  podparty jest  w ten  sposób,  że sztywnoś ci  w  obu kierun kach  są jedn akowe  (k x  — k y ),  a  współ czynniki  oporu  równe (n x   ~ n y ),  wówczas  co Ox   =  co 0y   i  w  dalszej  kolejnoś ci  F ix   =  F iy . 30 T.  MAJEWSKI W  tym  przypadku  sił a  wymuszają ca  ruch  / - tego  elementu (12)  P t   -   Ę   =   P o ^ i  -   2 P o f t a jest  dwa  razy  wię ksza  w  porówn an iu z  sił ą   wystę pują cą   w  przypadku  wirnika podpartego sprę ż yś cie  tylko  w  jednym  kjem nku,  a  sił y  okresowe  wzglę dem  czasu  nie  wystę pują. Rys.  5. Wykres  funkcji  F = Rys.  6.  Wykres  funkcji SAMOCZYNNE  WYWAŻ ANIE  WIRNIKA  31 Wartość  sił y  P ;  jest  proporcjon aln a  do  kwadratu  prę dkoś ci  ką towej  wirnika.  Przy- kł adowo  n a  rys.  5 przedstawion o  funkcję   F t   dla  przypadku  wyważ ania  jedną   kulką .  Prze- bieg  funkcji  JF;  dla  prę dkoś ci  ką towych  wirnika  co <  co 0x ,  co 0y  jest  inny  niż  dla  prę dkoś ci wię kszych  od  czę stoś ci  drgań  wł asnych.  F un kcja  F ; przyjmuje  wartoś ci  zerowe  w  dwóch pun ktach .  Jedn ym  z  n ich  jest  poł oż enie  elementu  a  —  ±n,   przy  którym  ukł ad  był by wyważ ony. Wykres  n a  rys.  6  przedstawia  funkcję   F y   dla  przypadku  wyważ enia  dwiema  kulkami. F unkcje  F ±   i  F 2   przyjmują   jedn ocześ n ie  wartoś ci  zerowe,  gdy  oba  elementy  znajdą   się w  poł oż en iach a lk ,  a 2k   okreś lonych  zależ noś cią   (4). 3.  Stateczność Przyjmują c,  że  elementy  wyważ ają ce  zaję ły  poł oż en ia  a ik ,  przy  których  ukł ad  był by cał kowicie wyważ ony  wprowadza  się  «mał e» zakł ócenia ruchu i bada ten ruch. Jeż eli  bę dzie on  zanikają cy  ś wiadczy  to  o  statecznoś ci  ukł adu. W  przypadku,  gdy  elementy  wyważ ają ce oddalają   się   od  poł oż eń  a lk   oznacza  to,  że  poł oż enia  te  nie  są   poł oż eniami  równowagi trwał ej. Stateczność  zostan ie  zbadan a  w  oparciu  o  równ an ie  ruchu (13)  m M M t   =   ~P i - n x Ru. i , gdzie  sił ę  P t   okreś la  zależ ność  (11). P rzebadan o przypadek  co ox   =   o) 0y   =  ft>o-  Współ rzę dna okreś lają ca  poł oż enie  elem entu  wyważ ają cego  m oże  być  zapisana  w  postaci (14)  o t   =>  a ik +fji, gdzie  rji(t)  jest  m ał ym  przemieszczeniem  wzglę dem  a ik . P o  podstawien iu  wyraż enia  ,(14) do  zależ noś ci  (11)  n a  sił ę  P u   rozwinię ciu jej  w  szereg Taylora  i  wzię ciu  pod  uwagę   pierwszych  dwóch  wyrazów  rozwinię cia  otrzymujemy  za- leż ność  n a  sił ę ,  gdy  elementy  znajdują   się   w  są siedztwie  poł oż eń a ik .  P o jej  podstawieniu do  (13)  otrzymujemy  równ an ia  ruchu  zakł ócon ego. W  przypadku  wyważ ania  jedną   kulką równ an ia  te  przyjmują   postać (15)  a Q ri + a i 7] + a 2 ti  =   0,  . gdzie a 0   =   m^ Rlmca^   — 2aósm

e,a 2   =   — aócos

  0,  a x   >  0,  a 2   >  0.  Pierwsze  dwa  są zawsze  speł n ion e, n atom iast  ostatn i  warunek  jest  speł niony  tylko  dla  prę dkoś ci  ką to- wych  wię kszych  od  prę dkoś ci  krytycznych. R ówn an ia  róż n iczkowe  opisują ce  ruch  zakł ócony  dwóch  elementów  wyważ ają cych mają   p o st ać: =   0, 2i]i  =   0 . Rozwią zań  powyż szych  równ ań  szukamy  w  postaci (17)   Vl   =   V ,  r, 2   =   X 2 e", 32  T.  MAJEWSKI a  p o  ich  podstawieniu  do  (16)  i  przyrównaniu  wyznacznika  charakterystycznego  do  zera otrzymujemy  równanie  czwartego  stopnia (18)  a 0 r Ą   +  ai r 3 +a 2 r 2   + a 3 r  + a  = 0 . Stał e a, b, c w  równ an iach  (16) i  (18) zależą   od  param etrów  ukł adu, takich jak  m, R,  b, e,  w.  Pierwiastki  równ an ia  (18)  mają   ujemne  czę ś ci  rzeczywiste,  gdy  współ czynniki  tego równania  speł niają   cztery  warun ki: «i  >  0,  a 3  >  0,  aA>  0, 03(0102- a 0 a 3 )- ci4.aj  >  0. e.- fyOH  n,- - 0Akg/ & b- -̂ f  ax=   a> 0. Sprawdzenia  wymaga  czwarty  warunek  w  zakresie  prę dkoś ci  nadkrytycznych. Stwierdzono,  że  w  zasadzie  poł oż enia elementów  wyważ ają cych    a> 0 . Jedynie  bardzo  blisko  prę dkoś ci  krytycznej   m ox ,  co Oy   i  oporze  toczenia /   #   0  elementy  wy- waż ają ce  zajmują   poł oż enia koń cowe  przesunię te  o  A a{ wzglę dem  a lk   przy  których  ukł ad był by  wyważ ony  idealnie. Element  wyważ ają cy  nie  zacznie  się   toczyć  dopóki  jest  speł niony  warunek (21)  \ Pi\ rsN tf. Wielkość  szczą tkowego  niewyważ enia,  jakie  pozostaje  przy  n iedokł adn ym ustawieniu  się elementów  wyważ ają cych  zostanie wyznaczona  dla  przypadku  takiego  podparcia  wirn ika, że  a) Ox   -   w Oy   -   w 0 .  Traktują c  odchył kę  Acc t  jako  mał ą   wielkoś ć,  a  n astę pn ie  rozwijają c wyraż enie  (12) n a  sił ę  dział ają cą   n a  / - ty  element i  biorą c pod  uwagę   pierwsze  dwa  wyrazy rozwinię cia, otrzymujemy  zależ ność na sił ę  P ; > gdy  element wyważ ają cy  znajduje  się   blisko poł oż enia  a i k .  Po podstawieniu do  (21) obliczamy maksymalne odchył ki A a m a x , a n astę pn ie maksymalne  niewyważ enie  Zl|ikT Oy . W  przypadku  uż ycia  dwóch  kulek  z  warun ku  (21)  otrzymujemy  cztery  rozwią zan ia ze wzglę du  na ich ustawienie  się   wzglę dem  a l!c ,  a 2k -   N a rys.  11 przedstawion o  dwie  m oż li- woś ci  ustawienia  się   kulek.  W  pierwszym  rozwią zaniu  obie  kulki  są   przesunię te  w  tym samym  kierunku  czyli  Aa^   i  Aa 2   mają   ten  znak  (rys.  l l a ) : CJA\   A  /   Mf  sin(ak  +  0  m oż na  przyjąć  f 0   =   n  i  a'o  =   1  przez  co  zależ noś ci (24)- = - (29) znacznie  się  upraszczają.  Odchył ki  Aa, mn   i  niewyważ enie  szczą tkowe  A\ Me\ max   maleją, jeż eli  stosunek  a>/coo dą ży  d o jedn oś ci.  Z podan ych zależ noś ci  wynika,  że przy zachowaniu stał ego  iloczynu  mR  n iedokł adn oś ci  ustawienia  się  kulek  i  niewyważ enie  szczą tkowe są  tym mniejsze,  im mniejszy  jest  prom ień R.  Jeż eli  dą ży  się  do jak  najlepszego  wyważ enia ukł adu,  to należy  dobierać elem enty wyważ ają ce  o  duż ych prom ien iach r, lecz  poruszają ce się  po  torze  o  m ał ym  prom ien iu  R.  I m  mniejsze  są  opory  toczenia / ,  tym  mniejsze  jest 36 T.  MAJEWSKI niewyważ enie  szczą tkowe.  Również  w  tym  przypadku  niedokł adnoś ci ustawienia  kulek i  niewyważ enie  koń cowe, są   dwa  razy  mniejsze  w  porówn an iu  z  zla m a H  i  zl[Afe|m ax  dla takiego  samego  ukł adu,  ale  z  podparciem  sprę ż ystym  tylko  w  jedn ym  kierun ku. 5. Badania Z budowan o  stanowisko  doś wiadczalne  (rys.  13) odpowiadają ce  modelowi  przyję temu do  rozważ ań  teoretycznych  i  n a  nim  sprawdzono  efekt  wyrównoważ ania  się   ukł adu. Wirnik  1 o masie M  =   2,5 kg  podparto sprę ż ynami pł askimi pionowymi 2 i poziomym i 3.  Takie  zawieszenie  umoż liwia  wzbudzanie  drgań  wirnika  w  dwóch  kierun kach  x  i  y. Elementami wyważ ają cymi  był y dwie kulki ł oż yskowe 4 każ da o masie m  =  18,7 g i ś rednicy 16,7  mm.  D rgania  wirnika  rejestrowano  przy  pom ocy  ten som etrów  oporowych  5  nakle- jon ych  n a  sprę ż ynach  pionowych.  Wielkość  niewyważ enia  regulowano  iloś cią   podkł adek pod  ś rubą   6. Rys.  13.  Stanowisko  badawcze D o  n apę du  wirnika  uż yto  silnika  o  prę dkoś ci  obrotowej  n  —  1500  obr/ m in . Badan ie przeprowadzono  tylko  przy jednej  prę dkoś ci. P o ustaleniu  się   prę dkoś ci  obrotowej  wirn ika kulki  był y urucham ian e przez zwolnienie specjalnej  blokady, a  n astę pn ie p o ich ustawieniu ponownie  blokowaą e.  Kulki  ustawiane  w  róż nych  poł oż en iach  począ tkowych  a 1 0 ,  a 2o zawsze przemieszczacie do poł oż eń bliskich wartoś ciom teoretycznym . Odchył ki ustawienia kulek  nie przekraczał y  8°. Przykł adowe  wyniki  pom iarów: 1)  Wirnik  wyważ ony  Me  =   0.  P oczą tkowe  niewyważ enie  ukł adu  jest  spowodowane przez kulki. W  tym przypadku  powinny  one ustawić  się   n a jednej  ś rednicy, tzn .  0y ,  a dokł adn oś ci jakie  się  wtedy  otrzymuje  są mał e.  Wynika  to  stą d,  że  skł adowe  P ix ,  P iy   sił y  wymuszają cej  ruch  elementu  mają   prze- ciwne znaki i odejmują   się .  A  zatem  sił a  wymuszają ca  jest  m ał a  przy  istnieniu  znacznych sił   oporu. Bł ę dy ustawienia  kulek  oraz niewyważ enie  szczą tkowe  są   wprost  proporcjon aln e do  współ czynnika  oporu  toczenia. D latego  bież nia  bę bna  i  elementy  wyważ ają ce  powinny być tak dobrane, aby  wpł yw  tego oporu  był   jak  najmniejszy.  Elementy wyważ ają ce  powinny być jak  najwię ksze,  a ich ś rodek masy powinien poruszać się   po  ja k  najmniejszym  prom ien iu R.  W  przypadku  elementów  wyważ ają cych,  które  nie  mogą   się   przetaczać  tylko  ś lizgać należ ał oby  brać  pod  uwagę   opór  poś lizgu.  W  stosunku  do  oporu  toczenia jest  on  dużo wię kszy. W zwią zku  z tym bł ę dy wtedy  powstają ce  był yby dużo wię ksze  i dlatego elementów takich nie należy  raczej  stosować. D o  zalet  tej  metody  należy  zaliczyć  t o , że jest  on a  bardzo  prosta, n ie  wymaga  drogich i  skomplikowanych  maszyn,  wyważ enie  odbywa  się   bez  udział u  czł owieka  i  nastę puje prawie  jednocześ nie  z  pojawieniem  się   niewyważ enia. Wadą   tej metody jest jej  skuteczność tylko przy prę dkoś ciach nadkrytycznych, n atom iast przy  obrotach podkrytycznych  elementy  swobodne  powię kszają   niewyważ enie.  N a  skutek istnienia  oporu  toczenia  ukł ad  nie  wyważa  się   do  koń ca. L it erat u ra  cytowana  w  tekś cie 1.  T .  M AJ E WSK I ,  Samoczynne  wyważ enie  wirnika  podpartego  sprę ż yś cie  w  jednym  kierunku,  Ar c h .  Bu d - M asz.,  3  (1976). 2 .  K ) .  K ) .  BjIEXMAH,  CtlHXpOHU3aifUR  dllHClMU'iecKUX  CUCmCM,  M o C K Ba  1 9 7 1 . ABTOM ATIOTECKOE  YPABH OBEIU H BAH H E  P OTOP A, n O jm E P ) K H BAE M O rO  Yl l P yr O  B  flBYX  H An P ABJI E H H flX P  e  3 io  M  e B  paBoTe  oniicbiBaeTca  Meiofl  aBioM am^iecKoro  ypaBHOBeiiiHBaHHsi  poTopcm  n p n  IIOM OIH H BH>KHHX SJleMeHTOB, TaKHX K8K HanpHMep  UiapHKH   H   pOJIHKH. IIpHBOflHTCH   flH Cp(pepeH H H ajIbH bie onH CbiBaiomH e  noBeflemie  cucTeiwbi  B  n po it ecce  ypaBH OBemH Bainra.  Rajoicsi  p e - 3TH X  ypaBH em ui,  BŁmojiHeHHŁie  n p n  n oM om a  oneKTpoHno- BbmHCJiHTejitHOH   M aiiiH H ti, H  n p a - 6jiH H tenH bie  peinenH H .  IlOKa3ŁiBaeTcaj  "JTO  rro#BH>KHbie ajieMemfei  n epeM em aioictt  B KOTopwe  cooTBeTdByioT  nojmoiwy  paBH OBecmo  CH CTCMBI.  Ebijia  n poBen eH a npoBepKa noJio>KeHHił   inapHKOB, o6ecneqH Baioii(H x nojiH oe  paBHOBecHe cHCTeiwbi.  BM J I O H Ccne^oBano Ha  cBoftcTBeHHbie  flannoiwy  MeTOfly  n orpeuiH ocTH . SAM O C Z YN N E  WYWAŻ AN IE  WI R N I KA  39 S u m m a r y AN   AU TOM ATIC  BALAN CIN G   OF   ROTOR  ELASTICITY  SU PPORTED  IN   TWO D I R EC TI ON S This  work  concerns  the method of an automatic balancing  of  rotors  by the movable  elements such as balls and rollers. The differential  equations of  motion describing  the behaviour  of  the system  during balan- cing  is  derived. N umerical and simplified  analytical  solutions of these equations are presented. It is  shown that  the  adjustable  elements  move  to  the  positions  at which  the  system  would  be  completely  balanced. This  position is  shown  to  be stable.  The influence  of  roll  resistance  on  the accuracy  of  the solution is  dis- cussed. P OLI TE C H N I KA  WARSZAWSKA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  12  maja  1976  r.