Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  16  (1978) K I N E M AT YC Z N A  R Ó WN O WAŻ N O ŚĆ  U K Ł AD Ó W  S I Ł STEF AN   P I E C H N I K  (K R AK ÓW) 1.  Wstę p Rozważ my  lity,  nieswobodny  prę t  pryzmatyczny  o  dowolnym  przekroju  poprzecznym (rys.  1) okreś lony  w  ukł adzie osi  x, y,  z,  gdzie  oś  x  jest  osią   prę ta  a y,  z  osiami  gł ównymi, centralnym i  przekroju  poprzecznego  i  obcią ż my  go  na  ś ciankach czoł owych  n p.  obcią ż e- niem,  którego  gę stość  zapiszemy  w  postaci:  q vx   =   az,  q vy   =   0,  q m   =   0,  a  >  0. D la  tak  przyję tego  obcią ż enia  (rys.  la)  ł atwo  znaleźć  ś cisłe  rozwią zanie  zagadnienia brzegowego  teorii  sprę ż ystoś ci,  a  wię c  macierze  n aprę ż eń,  odkształ ceń  i  przemieszczeń, których  elementy  speł niają   równ an ia  N aviera,  C auchy'ego,  H ooke'a  oraz  statyczne  wa- run ki  brzegowe  i  pewną   grupę   warun ków  kinematycznych.  Jak  ł atwo sprawdzić,  obcią ż e- nie  pokazan e  n a  rys.  l a  redukuje  się   do  m om en tu  zginają cego  w  pł aszczyź nie  xz,  stą d Rys.  1 też  w  przypadku  takiego  obcią ż enia  mówić  bę dziemy  o  «czystym  zginaniu)).  Otrzymane rozwią zanie  powyż szego  zadan ia  moż emy  wykorzystać  dla  cał ej  grupy  innych  obcią ż eń ś cianek  poprzecznych, jeś li  tylko  obcią ż enia  te  redukują   się   do  pary  w  pł aszczyź nie  xz. Wykorzystujemy  bowiem  zasadę   de  S.  Venanta,  w  myśl  której,  macierze  naprę ż eń,  od- kształ ceń  i  przemieszczeń  róż n ić  się   bę dą   dowolnie  m ał o,  z  wyją tkiem  obszaru  są siadują- cego  z  powierzchnią   obcią ż oną,  dla  róż nych,  ale  statycznie  równoważ nych  obcią ż eń przył oż onych  n a  mał ej  w  stosun ku  do  cał ej  powierzchni.  Jakiekolwiek  wię c  obcią ż enie, które  da  się   zredukować  d o  pary,  zastę pować  bę dziemy  tą   parą   (rys.  lb).  Wykorzystują c równ an ia  statycznej  równ oważ n oś ci  z  ukł adem  pokazan ym  n a  rys.  la,  znajdujemy  od- powiednie  wzory  okreś lają ce  naprę ż enia,  odkształ cenia  i  przemieszczenia.  Przypadek pokazan y  n a  rys.  lb,  jest  wię c  reprezen tan tem zbioru  obcią ż eń,  w  którym  okreś lona  jest relacja  statycznej  równ oważ n oś ci.  W  przypadku  obcią ż enia  pokazanego  n a  rys.  lb  mówić 72 S .  PlECH N IK bę dziemy  o  «zginaniu  prostym»  lub  proś ciej  o  «zginaniu».  P odobn ie, ja k  proste  zginanie, tak  i  proste  rozcią ganie  i  proste  skrę canie  lub  kom binacja  tych  wszystkich  (obcią ż enie zł oż one)  bę dą   reprezentantam i  odpowiednich  klas  równoważ noś ci. Istnieje jedn ak  pewna  grupa  prę tów,  dla których  zastą pienie  ukł adu sił  innym  statycznie im  równoważ nym  może  prowadzić  do  zasadniczych  bł ę dów.  D o  takich  prę tów  należą prę ty  cienkoś cienne.  Rozważ my  prosty  przykł ad  pokazan y  n a  rys.  2. Rys.  2 G dyby  ukł ad  sił  zastą pić  ukł adem statycznie  równ oważ n ym  w  ś rodku  cię ż koś ci  prze- kroju  poprzecznego, otrzymalibyś my  ukł ad zerowy, co oznaczał oby zerowanie  się  naprę ż eń, odkształ ceń  i  przemieszczeń.  Jak  widać  z  rys.  2  był oby  t o  zbyt  grubym  przybliż eniem nawet  dla  przekrojów  poprzecznych  dostatecznie  odległ ych  od  ś cianki  czoł owej.  W  przy- padku  prę tów  cienkoś ciennych nie moż emy  przyją ć  zasady  de Saint Ven an ta,  przynajmniej w  takiej  postaci,  w jakiej  został a on a  sformuł owana.  Oznaczał oby  to  konieczność  rozwią - zywania  każ dego  przypadku  obcią ż enia  osobn o  lub inaczej  m ówią c, niem oż ność  okreś lenia reprezentanta  dla  pewnych  grup  obcią ż eń. 2.  D efinicja  kin em atyczn ej  równoważ noś ci  ukł adów  sil Rozważ my  najpierw  kilka  przykł adów  obcią ż enia  prę ta  cienkoś ciennego,  które  m oż na zastą pić  innym  ukł adem  statycznie  równoważ nym,  ale  równocześ nie  takim ,  aby  efekt kinematyczny  obu  ukł adów  był   jedn akowy.  R ozpatrzm y  w  tym  celu  ukł ad  obcią ż eń podany n a rys. 2. P rzykł ad ukł adu równoważ nego  przedstawia  rys. 3. P rzenoszą c sił ę  P  zpun - ktu A'  do A  dodajemy  m om en t  Pb, przenoszą c sił ę  —P z pun ktu A"  do A  dodajemy  m om en t Pb otrzymują c  w pun kcie A tylko m om en t M  =   2Pb,  albowiem  sił y redukują   się .  P ostę pując podobn ie  z  sił ami  zaczepionymi  w  pun ktach  B'  i  B"  otrzymamy  w  pun kcie  B  m om en t M—  —2Pb.  N owy  ukł ad  stanowi  wię c  biparę ,  której  pary  dział ają   w  pł aszczyznach pół ek.  N owy  ukł ad  zł oż ony  z  bipary  wywoł uje  ten  sam  efekt  kinem atyczny  co  ukł ad wyjś ciowy. K I N E M AT YC Z N A  R Ó WN O WAŻ N O ŚĆ  U KŁ AD ÓW  SI Ł 73 N a  rys.  4  przedstawion o  drugi  przykł ad.  D okon ajm y  redukcji  do  pun ktu  S,  bę dą cego ś rodkiem  cię ż koś ci  dwuteown ika;  sił ę   P  z  pun ktu  A'  przenieś my  do  pun ktu  A,  dodają c dla zachowania  statycznej  równoważ noś ci  m om en t M  -   Pb,  przenoszą c sił ę  P z pun ktu B' do  B  otrzym am y  nowy  ukł ad,  który  przedstawia  rys.  4b.  Przenoszą c  nastę pnie  sił ę   P z  pun ktu  A  do  S  dodajemy  m om en t  Ph.  P rzenoszą c  sił ę   P  z  pun ktu  B  do  S  dodajemy t I M- ?Ph -   - JŁ H- 2Pb Rys.  3 m om en t  —Ph.  Oba  dodan e m om en ty dział ają ce  w jednej  pł aszczyź nie redukują   się , w  wy- n iku  czego  otrzymujemy  ukł ad  przedstawiony  n a  rys.  4c  zł oż ony z  sił y  2P  i  bipary  o  bi- momencie  B m   — Pbh.  R ównież  w  tym  przypadku  efekt  kinematyczny  ukł adu  n a  rys.  4c bę dzie  analogiczny  z  takim  efektem  ukł adu  pokazan ego  na  rys.  4a. Rys.  4 Trzecim  wreszcie  przykł adem  redukcji  do  pun ktu  S  niech  bę dzie  ukł ad  pokazany n a  rys.  5a.  Sposób  redukcji  pokazan y  n a  rys.  5 n ie  wymaga  kom en tarza, dodajmy  tylko, że przenoszą c m om en t Pb  (rys.  5c) z pł aszczyzny pół ki  do równoległ ej pł aszczyzny przecho- dzą cej  przez  p u n kt  S  dodać musimy  biparę   o  bimomencie B w   =  Pbh.  I w  tym  przypadku intuicja  podsuwa  kinem atyczną   równoważ ność  ukł adów  pokazanych  n a  rys.  5a  i  5d. R ozważ one  powyż ej  przykł ady  dotyczył y  ukł adu  przył oż onego  do  prę ta  o  prostym przekroju  poprzeczn ym ; w  przypadku  bardziej  zł oż onych przekrojów  narzuca się  koniecz- n ość  wprowadzenia  precyzyjnego  okreś lenia  poję cia  kinematycznej  równoważ noś ci  dwóch ukł adów.  Wprowadzenie  takiego  poję cia  pozwolił oby  przede  wszystkim  n a  moż liwość rozwią zania  prę ta  cienkoś ciennego  dla  pewnego  reprezentatywnego  ukł adu.  Rozwią zanie 74 S .  PlECH N IK to  był oby  waż ne  dla  cał ej  grupy  obcią ż eń  kinematycznie  równoważ nych  dan em u, jeś li oczywiś cie  uogólnić  zasadę   de  Saint  Ven an ta, n a  ukł ady  kinematycznie  równoważ ne. W  odróż nieniu  od  statycznej  równoważ noś ci,  równ oważ n ość  kin em atyczn a  nie  może być  zdefiniowana  bez  uwzglę dnienia  kształ tu  brył y,  albowiem  wł aś nie  deformacja  brył y decyduje  o  kinematycznej  równoważ noś ci.  Wynika  stą d, że sposób  redukcji  danego  ukł adu b) Bj- Pbh Rys.  5 do  ukł adu  kinematycznie  mu  równoważ nego  nie  m oże  być  dowolny.  U mówim y  się ,  że przył oż ony  do  prę ta  ukł ad  sił   bę dziemy  redukować  do  ustalon ego  pun ktu  leż ą cego  we- wną trz  prę ta  lub  sztywno  zwią zanego  z  prę tem  w  ten  sposób,  że  drogą   redukcji  bę dzie  oś ś rodkowa  przekroju  poprzecznego  i  tworzą ce  powierzchni  ś rodkowej.  Inaczej  mówią c drogę   redukcji  wyznaczać  bę dzie  lokalny  krzywoliniowy  ortogon aln y ukł ad współ rzę dnych (x,s,n)  (rys.  6). Rys.  6 K I N E M AT YC Z N A  R Ó WN O WAŻ N O ŚĆ  U K Ł AD Ó W  SI Ł  75 W  myśl  powyż szego  przyjmiemy  nastę pują cą   definicję :  Dwa  ukł ady (A) i  (B\ przył oż one do prę ta  cienkoś ciennego, nazywać  bę dziemy  kinematycznie  równoważ nymi, jeś li  redukują c je  do  ustalonego punktu  R,  sztywno  zwią zanego  z  osią  ś rodkową przekroju  poprzecznego, w  taki  sposób,  ż e  drogę   redukcji  wyznacza  lokalny  krzywoliniowy  ortogonalny  ukł ad  osi (x,  s,  n)  otrzymujemy  w  punkcie  R  równoś ć  wektorów  sum,  wektorów  momentów  i  bimo- mentów. (2.1)  S(A)  =   S(B),  M R (A)  =   M R {B),  B a {A)  =   B(B a ). Statyczna  równ oważ n ość  dwóch  ukł adów  wymaga  równoś ci  tylko  sum  i  momentów, a  wię c  ukł ady  kin em atyczn ie  równoważ ne  są   statycznie  równoważ nymi. 3.  P rzykł ady  zastosowań Pierwszym  zastosowan iem  przyję tej  definicji  o  kinematycznej  równoważ noś ci  jest uogólnienie zasady  de  Saint Ven an ta, którą   moż emy teraz sformuł ować: Jeś li na  niewielkiej powierzchni  prę ta  cienkoś ciennego  przył oż ony  jest  ukł ad  (A)  wywoł ują cy  w  prę cie pewną macierz  naprę ż eń ,  odkształ ceń  i przemieszczeń ,  to jeś li  na  tej powierzchni  ukł ad (A)  zastą - pimy  kinematycznie  równoważ nym  ukł adem  (B),  wówczas  stany  naprę ż eń  odkształ ceń i przemieszczeń  róż nić  się   bę dą dowolnie mał o  z  wyją tkiem  obszaru leż ą cego w są siedztwie powierzchni przył oż enia  ukł adów  (A)  i  (B). Konsekwencje  takiego  uogóln ien ia  są   n ader  oczywiste. D rugim  zastosowaniem  poję cia  kinematycznej  równoważ noś ci  jest  pokazanie  sensu i  uzasadnienie  nazwy  wystę pują cego  w  analizie  prę tów  cienkoś ciennych  wyraż enia (3.1)  -   Bn   =  PAs n r„  =   P Aw„ otrzymując  ukł ad  kinem atycznie  równoważ ny  pokazany  n a rys. 7c.  Przenosząc  dalej  sił ę  P do  pun ktu  (w — 2) doł ą czamy parę o wektorze (3.7)  AM n _, =  AJ„_ L xP otrzymując  ukł ad  pokazan y  n a rys. 7d. P rzenosząc z kolei  moment AM„_ l   do równoległ ej pł aszczyzny  przechodzą cej  przez  pun kt  R  dodajemy  biparę  o  bimomencie (3.8)  AB m ,„_,  =  PASn- ^ i  = P / K - i, jak  pokazan o  n a rys. 7c. P ostę pując  analogicznie  tak, aż sił a P znajdzie  się w punkcie R otrzym am y  w rezultacie  zredukowan y  do tego  pun ktu  ukł ad  kinematycznie  równoważ ny dan em u,  który  skł ada  się: z sił y P zaczepionej  w R,  wektora  m om entu n n n (3.9)  M = £  AM,  = ]? A~s,xP  = (JT As?) xP  =   RAxP 1= 0  (= 0  != 0 oraz  bipary  o bimomencie n n n (3.10)  B m  =  £AB ati   =  %PAs t r t   =  P £  As,r t  =  Pco{A). tmO  ( = 0  1 =  0 Ostatn ie  dwa  wyraż enia  traktować  moż emy  jako  sumę  aproksymacyjną  w  przypadku, gdy  przekrój  poprzeczn y  m a oś  ś rodkową  o dowolnej  krzywej y =  y(s), z =  z(s). W  tym przypadku  m am y M  = (j_ds\ xP  =  RAX.P, (3.11)  U "  ' B a   = P  J  r(s)ds  =  P  J  da=-   Pco(A). RA ' RA Wektor  M, jak widać,  nie zależy  od kształ tu krzywej,  a jedynie  od współ rzę dnych  punktów R  i A, w przeciwień stwie  d o  wartoś ci  bim om en tów.  Zredukujmy  teraz  do  pun ktu  R sił y wewnę trzne  o gę stoś ci  ct x  rozpostarte  n ad  przekrojem  poprzecznym  pokazanym  na rys.  8. Jeś li  oznaczymy  przez  dP(s) =  a x d(s)ds  i postę pować  bę dziemy  analogicznie, jak w  przy- padku  pokazan ym  n a rys. 7, zredukujemy  ukł ad  do  pun ktu  R  otrzymując dN =  a x d(s)ds, ( 3 - 1 2 )  dM =  RXxdP(s)  =   RKxa x d(s)ds, dB a   =  a x co(s)d(s)ds. 78 S.  PlECH N IK Sumują c  zredukowane  w  punkcie  R  ukł ady  od wszystkich  elementarnych  sił   dP{s) na  cał ej krzywej  c,  otrzymamy N   =  J  (f x d(s)ds  =  / /   a x dA, (3.13) M=  J RKxaxd(s)ds  =   fj  RK x axdA c  'A B{s)6(s)ds  =  J J  o x io(s)dA. 6,  u (sja'A Rys.  8 U kł ad  ten jest  kinematycznie  równoważ ny  ukł adowi  sił   wewnę trznych  o  gę stoś ci  a x rozpostartych  nad  cał ym przekrojem  poprzecznym.  W  wyniku  tego  rozumowania  stają   się jasne  nazwa i sens  cał ki B a .  Kolejnym  wreszcie  przykł adem  wykorzystania  kinematycznej równoważ noś ci  ukł adów jest  wyprowadzenie  wzoru  n a  naprę ż enia  normalne a x   wyraż one poprzez  sił y przekrojowe  {N , M y ,M z i  B^ ).  Wykorzystujemy  tu  bowiem  warunek  kinema- tycznej  równoważ noś ci  ukł adów sił  zewnę trznych  (Z ) po jednej  stronie przekroju  z ukł adem sił  wewnę trznych  (W ) (3.14)  S(Z)  ='Ś (W ),  M(Z)  =  M(W ),  B m (Z)  =   B a (W ). Lit erat u ra  cytowan a  w  tekś cie 1.  P .  JASTR Z Ę BSKI,  J.  M U T E R M I L C H ,  W.  O R L O WS K I ,  W ytrzymał oś ć  materiał ów,  Ar ka d y,  Warszawa  1974. 2.  M .  M .  cE>HJiOHEHKO- EopoflHti H   flp.j  Kypccoripomuenenun  Mamepuajioe, n .  I I ,  F o e .  H 3fl. T e xH .  T eo p eT . J I H T . J  MocKBa  1949. 3.  J.  R U T E C K I ,  Cienkoś cienne  konstrukcje  noś ne,  P WN ,  Warszawa  1966. 4.  N . M .  BI E L/ U E W,  W ytrzymał oś ć  materiał ów,  Wyd .  M O N , Wa r sza wa  1954. 5.  H .  H.  I TAH AP H H ,  K ) . K ) .  T AP AC E H K O ,  Conpomue/ iinue  Marnepuanoe,  F o c .  EteflaT.  J I H T .  C T p .  Ap x. H   Cip.  M a i . ,  M ocKBa  1962. P  e  3  K>  M e KHHEMATtraECKAfl  3KBH BAJIEH TH 0CTŁ  CHCTEM   CHJI B  p a 6 o T e  n peflC T aBJieH o  o n p eflejieH H e  «KH H eiviaTH ^iecKoił   sKBH BaJieH TH OCTH   C H C T C M   C H J I » .  H 3  M H O - cHCTeM   C H J I ,  B  KOTopoiw  o n p e fle n e H O  n oH H TH e  CTaTH MecKoił   sKBH BajieH TH OCTH ,  Bbifle jie n  raiacc M,  BbI3WBaiOmH X  TBKOH  >Ke  KHHeiHaTHMeCKHH  3(J)dpeKT. B  OTJlH ^H e  OT  CTaTIMeCKOH , KH H eM aTH ^ecKan  3KBH BajieH TH ocTb  CH creM   3aBH CH T  O T $ o p i «b i  T e jia .  P a c c wo T p e H  pup,  n p H M e p o B 30BaH H H   T a K o r o  o n p eflejieH H H   n p n aH aJiH 3e  T O H K H X  CTep>KH eft. K I N E M AT YC Z N A  R Ó WN O WAŻ N O ŚĆ  U K Ł AD Ó W  SI Ł  79 S u m m a r y KIN EM ATIC  EQU IVALEN CE  OF  A  SYSTEM   OF  FORCES In the paper the definition  of «kinematic equivalence of a system» has  been formulated.  F rom  the set of  forces  in which  the  relation  of statical  equivalence  is given,  one  can  distinguish  the equivalence  class of  forces  giving the same  kinematic effects.  In contrary  to static equivalence,  the kinematical one depends on the shape of the loaded  body. Several  examples  are presented  in which the introduced definition is used in  the  analysis  of  slender  bars. INSTYTUT  MECHANIKI  BUDOWLI  POLITECHNIKI  KRAKOWSKIEJ POLITECHNIKI  KRAKOWSKIEJ Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  27  kwietnia  1977  r.