Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1, 16 (1978) ITERACYJN A  M ETOD A  OBLICZAN IA  D OWOLN YCH   CIAŁ  ODKSZTAŁCALNYCH W  ZAKRESIE  LIN IOWO  SPRĘ Ż YSTYM JÓZEF   W  R A N  I K  (BlELSKO- BlAŁA) 1.  Wstę p P raca  niniejsza  stanowi  uogólnienie  prac  [1, 10, 11, 12, 13]  i  dotyczy  rozwią zywania metodą   iteracyjną   dowolnych  ciał   odkształ calnych  w  zakresie  liniowo  sprę ż ystym.  M oż na również  korzystać  z  niej  przy  rozwią zywaniu  równań  z  operatorami  liniowymi. P rzedstawiana  m etoda  m a  wiele  cech  wspólnych  z  metodą   perturbacji  [2, 8]  i  jest w pewnym  sensie jej  uogólnieniem. W metodzie perturbacji  [8] wprowadza  się  do równania param etr  perturbacyjny  e przyjmują cy  wartoś ci  z przedział u  [0,1]. Równanie operatorowe (1.1)  UZ  =  g przyjmuje  wówczas  postać  równania  zastę pczego (1.2)  U(e)Z E   =   g, a  dla  szczególnych  wartoś ci  e,  n p.  s  =  0,  otrzymujemy  równanie (1.3)  Ż które  rozwią zuje  się   proś ciej,  lub  którego  rozwią zanie  jest  znane. Rozwijają c  rozwią zanie  Z E  równania (1.2) w szereg zbież ny wzglę dem  potę g e, otrzymuje się   cią g  równań,  z  których  przy  szczególnej  wartoś ci  e  n p.  s  — 0,  wyznacza  się   kolejne przybliż enia,  a  rozwią zaniem  równania  (1.2) jest  wspomniany  szereg  dla  e  =   1. F U N G   w  pracy  [2]  przedstawia  dla  szczególnego  przypadku  zagadnienia  teorii  sprę - ż ystoś ci  m etodę   zaburzeń  przez  zmianę   współ czynnika  Poissona  v  (metoda  pomysł u WESTERG AARD A).  M oż na  zauważ yć,  że  wprowadzenie  param etru  perturbacyjnego  e  jako m noż nika v zmienia wartość v,  a tym  samym zmienia operator równania N aviera.  WESTER- GAARD   nie  wprowadza  w  sposób  jawny  współ czynnika  e,  dobiera jednak  taką   szczególną wartość  v  — m,  aby  rozwią zanie  równania  N aviera  był o  prostsze  lub  znane. W  metodzie iteracji,  proponowanej  w niniejszej  pracy, również nie operuje  się  w  sposób jawny param etram i zaburzają cymi  stan dany, lecz przyjmuje  się  operator zastę pczy prostszy (lub  ciał o  zastę pcze prostsze), zbliż ony  swą   postacią   do danego, taki jednak,  aby  otrzymy- wany  szereg  był   zbież ny.  Z a  pomocą   przyję tego  operatora  zastę pczego,  stacjonarnego dla  procesu  iteracyjnego,  rozwią zuje  się   cią g  zagadnień  prostszych,  z  których  tworzy  się szereg nieskoń czony,  zbież ny  do  rozwią zania  danego. Jedną   z  zalet  proponowanej  metody  jest  moż liwość  przeprowadzenia  oceny  bł ę dów, jakie  się   popeł nia  przy  rozwią zywaniu  zagadnień  teorii  sprę ż ystoś ci,  w  przypadku  ideali- zacji  ciał a  odkształ calnego,  gdy  n p.  ciał o  niejednorodne  zastę pujemy  w  obliczeniach ciał em jedn orodn ym ,  lub  anizotropowe —  ciał em  izotropowym,  itp. 90 J.  WRAN IK Ocena  bł ę dów jest  tu prostsza  niż  n p. w  m etodzie elementów skoń czonych, za pomocą której  oszacowanie wpł ywu  cech sprę ż ystoś ci  ciał a n a wyniki obliczeń jest moż liwe wył ą cznie przez  porównanie  rozwią zań. W  opracowaniu  skorzystano  z  zapisu  operatorowego,  oznaczają c  operatory  wyróż nio- nym  drukiem  n p.  U,  i  opierają c  się   n a  stwierdzeniu,  że  ^ dział aniom  na  operatorach  w  C" odpowiadają   analogiczne dział ania na  odpowiadają cych im  macierzach  wedł ug  reguł  algebry liniowej» [5]. U ż ywać  bę dziemy  prostoką tnego  kartezjań skiego  ukł adu  współ rzę dnych  odniesienia; w  ukł adzie takim znika  róż nica mię dzy  kontrawariantnoś cią   i kowariantnoś cią,  w  zwią zku z  czym  prowadzenie  przekształ ceń za  pom ocą   rach un ku  ten sorowego  sprowadził oby  się wył ą cznie  do  notacji  tensorowej,  operują cej  wskaź nikami,  które  tu  zajmował yby  miejsce innym  wskaź nikom,  niezbę dnym  z fizycznego  pun ktu  widzenia.  W  tym  przypadku  wygod- niejsza  bę dzie  notacja  operatorowa i macierzowa.  Skł adowe stanów  naprę ż enia i odkształ - cenia  traktować  bę dziemy  jako  skł adowe  wektorów. 2.  Sformuł owanie  problemu D an e jest  dowolne  ciał o  V  stał e  odkształ canie i  sprę ż yste,  an izotropowe  lub  niejedno- rodne  (rys.  1)  z  dowolnymi  warunkam i  brzegowymi  (trzecie  podstawowe  zagadnienie brzegowe),  w  którym  n a  powierzchni  A a   dan e  są   obcią ż enia  p,  a  n a  powierzchn i  A u   — przemieszczenia  f  [6]. {p*y)dA Rys.  1.  Ciał o  dane  V  (ukł ad  dany  U)  * Rys.  2.  Ciał o  zastę pcze  V Rozwią zanie  tego  zagadnienia  m oż na  przeprowadzić  za  pom ocą   pewnego  z a s t ę p- c z e g o  c i a ł a  s p r ę ż y s t e go  V,  przystają cego  geometrycznie  do  ciał a  V,  o  iden- tycznych jak  w  ciele  V powierzchniach  A a   i  A„ ograniczają cych  ciał o  (rys.  2). Z akł adam y, że jest  moż liwe  rozwią zanie  ciał a  zastę pczego.  Bę dzie  t o  wię c  z  zasady  ciał o  o  prostszych cechach fizycznych  n p. izotropowe  i jedn orodn e. P unktem  wyjś cia  jest  równoważ ność  obu  ciał   pod  wzglę dem  pól  przemieszczeń,  przy wynikają cych  stą d  róż nych  polach  sił .  M oż na  wię c  stwierdzić,  że  sił y  masowe  M   (znane) *  Symbole  podkreś lone  wę ż ykami  na  rysunkach  odpowiadają   symbolom  pogrubionym  w tekś cie. M E T O D A  OBLI C Z AN I A  C I AŁ  OD KSZ TAŁ C ALN YĆ H   91 obcią ż ają ce  ciał o  K n ie  są   równ e  sił om masowym  M  +  Z  (nieznanym), obcią ż ają cym  ciał o zastę pcze  V, oraz  odpowiednio  obcią ż enia p (znane) n a powierzchni  A a   ciał a  F n ie są   równe obcią ż eniom  p +  y  (nieznanym) n a  powierzchni  A a   ciał a  V.  Przemieszczenia  f  n a  A u   n ato- miast  są   sobie  równe  w  obu  ciał ach  V i  V, co  wynika  z  zał oż onej równoś ci  pól  przemiesz- czeń. G dyby znane był y  sił y masowe  Z i sił y powierzchniowe  Y, to przy  zał oż onej moż liwoś ci rozwią zania  ciał a  V  m oż na  by  obliczyć  przemieszczenia  U ,  które  z  kolei  przy  zał oż onej równoś ci  pól  przemieszczeń  ciał   V  i  V  był yby  podstawą   do  okreś lenia  sił   wewnę trznych w ciele  V. P roblem em podstawowym  jest  tu wię c (pomijają c  rozwią zanie  ciał a  V)  okreś lenie niewiadomych  sił  Z  i  y. M oż na zauważ yć  an alogię   do m etody sił  dla ukł adów prę towych  lub dla  ciał  z niejedno- rodnymi  warun kam i  brzegowymi,  w  której  przyjmuje  się   ukł ad  zastę pczy  z  niewiadomymi sił ami  (tu  odpowiednio  V,  M + Z ,  p + y ) ,  a  nastę pnie  z  warunków  nierozdzielnoś ci  (tu U   =   U )  okreś la  się   równ an ia  algebraiczne  lub  cał kowe  z  niewiadomymi  sił ami. R ównoważ ność  obu  ukł adów  przedstawionych  na  rys.  1  i  2  pod  wzglę dem  pól  prze- mieszczeń m oż na udowodn ić, rozpatrują c  zadanie odwrotne do sformuł owanego  i  opierają c się   n a  twierdzeniu  Kirchoffa  o  jednoznacznoś ci  rozwią zań  zagadnień  teorii  sprę ż ystoś ci dla  ciał a  liniowo  sprę ż ystego  z  dodatn io  okreś loną   funkcją   energii  odkształ cenia. Z ał óż m y,  że  zn an e  są   sił y  masowe  M + Z  i  p + y  w  ciele  V;  korzystają c  n p.  z  relacji (2.2)  obliczyć  m oż emy  U ,  a  nastę pnie  n a  podstawie  (2.1)  okreś lamy  wektor  U , który  jest podstawą   do  jedn ozn aczn ego  (uwagi  koń cowe  pracy)  okreś lenia  wektora  odkształ ceń e. Wektor  odkształ ceń e wyznacza  jednoznacznie naprę ż enia a  w ciele  V  (2.6), a te z kolei okreś lają   jedn ozn aczn ie sił y masowe  M   i  sił y  powierzchniowe  p.  Z adanie  postawione  jest wię c  również jedn ozn aczn ie  okreś lone,  a  tym  samym  istnieje  realna  moż liwość  doboru sił Z  i  y  takich,  by  ukł ady,  dan y  i  zastę pczy,  był y  sobie  równoważ ne. Wektor  przemieszczeń  U   w  ciele  V  m oż na  przedstawić  za  pomocą   tensora  przemiesz- czeniowego  G reen a  VL   ciał a  V,  w  postaci  równ ań  cał kowych,  w  których  niewiadomymi funkcjami  są   skł adowe  wektorów  Z i  y. Korzystają c  z  zał oż onej  równoś ci (2.1)  U   =   U , otrzymujemy (2.2)  U  =  U  =   /   UZdV+  f  UydA -   f fyidA +  j  UMdV+ j  UpdA, V A A V A gdzie  U   oznacza  ten sor  przemieszczeniowy  G reen a  ciał a  V,  $  macierz  oddział ywań  dla ciał a  V  n a  powierzchni  A„  przy  obcią ż eniu  w  punkcie  i*  sił ą   masową   5(x- Ę ),  Z  wektor nieznanych  sił   masowych  w  ciele  V,  y  wektor  nieznanych  sił   powierzchniowych  n a  po- wierzchni  A a   w  ciele  V Z auważ my,  że  sił y  masowe  i  powierzchniowe  w  ciał ach  V  i  V  m oż na  przedstawić n astę pują co: M  =   -   W b - ^ W U ,  M + Z  =   i ^ t P -  ssr ' ^ u ,  p+y -   sź- gdzie  2C oznacza  operator  róż niczkowy  równ ań  równowagi,  2B r  transponowany operator róż niczkowy  równ ań  równowagi,  J)  macierz  cech  sprę ż ystoś ci  ciał a  V,  Ś)  macierz  cech 92 J.  WRAN IK sprę ż ystoś ci  ciał a  zastę pczego  V, £)  macierz  kosinusów  kierun kowych  n orm aln ej  do  po- wierzchni  A„ ciał a  V  lub  V. A  zatem jdxy  0  0  d/ dx 2   0  d/ dx 3 ~ 0  d/ dx 2   0  djdXi  d/ dx 3   0 0  0  d/ dx 3   0 O O cosa 2 O C0SCC3 O cosa 2 O cosc^ cosce 3 0 0 0 cosa 3 0 cosa 2 cosoq "1 0 ... 0 0 1 o S i l e 2 2 £ 3 3 « 2 3 (T = # 2 2 ^ 2 3 cv € — Otrzymujemy  stą d  po przekształ ceniach (2.4)  Z =   - ^ Podstawiają c  (2.4)  do  (2.2)  otrzymamy  również (2.5)  U   =   - fUpdA. A V A Otrzymaliś my  ukł ad  równ ań  cał kowych  z  niewiadomymi  skł adowymi  wektora  przemiesz- czeń U . Po  obliczeniu  wektora  U  obliczymy  z  (2.3)  obcią ż enia  ciał a  V.  Speł nione jest  (2.1). Sił y  wewnę trzne  i  odkształ cenia  ciał a  V  obliczymy  w  zwykł y  sposób  wedł ug  wzorów (2.6)  e  =   3 2 B r U ,    jest  operatorem ,  a  3  operatorem  jednostkowym  [4]. Otrzym an e  równ an ie  (3.9)  jest  podobn e  do  równ an ia  (3.2).  Postę pując  identycznie jak  z  równaniem  (3.2)  otrzym am y  nastę pne  przybliż enie  A t z  oraz  A2 g  i  A2 g. 94  J.  WRAN IK W  kolejnym  / - tym  kroku  iteracyjnym  otrzymamy (3.10a)  A^z^tf- Vg, (3.10b)  A,._1g  =   S r ' ' - | g, (3.10c)  A;g  =   tg, gdzie  operacja  i*'  wyraża  się   wzorem  rekurencyjnym: (3.11)  t 'g  =   t ( f i - 1 g) . W  rezultacie  otrzymujemy  cią g  wektorów  A( ż i w myśl  (3.7) rozwią zanie  moż emy  przedsta- wić  w  postaci (3.12)  z =   J ^ * (=0 przy czym Ao ż  =   ż. Korzystają c  z  (3.10a) otrzymamy (3.13)  z  =  i r - 1 ( g+ r g+ r 2 g+   ...  +x'g+  ...) lub (3.14)  z =  lt - 1 2' r ' g» przy  czym  operacja  r°g  =   3 g  =   g. Jeż eli  zał oż ymy,  że  szereg  (3.13)  jest  jednostajnie  zbież ny  w  obszarze  rozpatrywanym i  że  wykonalne  są   operacje  U,  U,  U'1  w  tym  obszarze,  to  podstawiają c  (3.13)  do  (3.2), otrzymamy H z  =   UU~ x(g+xg+x2g  +  ...)  -   < 5 g+ S r g+ < S r 2 g +   ...  =   g +  Ai g  +  A 2 g +   ...  = g , co  n ależ ało wykazać. Z bież ność  szeregu  (3.14)  zależ na  jest  od  o perat o ra  r,  a  co  za  tym  idzie  od  operat ora zastę pczego  U.  Waru n ki,  jakie  speł n iać  m usi  o p erat o r  U,  aby  szereg  (3.14)  był   jedn o- stajnie  zbież ny,  muszą   być  rozpatrywan e  niezależ nie  dla  poszczególn ych  zagadn ień  fizyki czy  m atem atyki  (zagadn ien ia teorii  sprę ż ystoś ci,  ró wn an ia  algebraiczn e, ró wn an ia róż nicz- kowe,  równ an ia cał kowe). W  wię kszoś ci  zagadn ień  nie jest  m oż liwe  przedstawien ie  rozwią zan ia  w  postaci  (3.14) z  powodu  trudn oś ci  w  okreś len iu  o p erat o ra x.  W  t akim  p rzypad ku  rozwią zan ie  przepro- wadzić  m o ż na  wg  algorytm u,  który  doprowadził   d o  szeregu  (3.14),  a  i t ~ 1 g  t rakt ować ja ko  sym bol  okreś lają cy  rozwią zan ie  u kł ad u  zastę pczego.  J a ko  przykł ady  zastosowan ia podan ego  sposobu  m ogą   posł uż yć prace  [1, 10,  11, 12,  13]. N iż ej  ilustruje  się   podan ą   m etodę   przykł adem  ró wn an ia  róż n iczkowego  drugiego rzę du,  w którym  o p erat o ra % nie wyzn aczam y.  Z agadn ien ie ró wn ań róż n iczkowych  wymaga niewą tpliwie  osobnego  rozpatrzen ia. D an e jest  równ an ie d 2 z ~dx 2 = 0 , przy  czym  z(0)  =   0  i  I——I  =   a.  Tutaj  U  =   l- j- j-   +  a 2 ) ,  g  =   0. M E T O D A  OBLI C Z AN I A  C I AŁ  OD KSZ TAŁ C ALN YC H 95 Przyjmijmy  operator zastę pczy  I I  =   d2ldx2.  Otrzymamy przy uwzglę dnieniu  warunków począ tkowych z  ~  U~ l g  =  ax oraz g  =  Uż  =  U(ax) -   a2ax,  Ajg  =  g- g  = Xg =  ~a2ax. W  drugim  kroku  iteracyjnym  otrzymujemy  równ an ie: =   - a2ax oraz i ż  =   U- 1{- a2ax)  =   - a2 a  „ f'  ^ g -   =   U\ - (/2a- j)  =  - a2 o x- a *a —. -, 3 ! A'3 3 ! 3 ! P ostę pując  podobn ie  otrzym am y  wedł ug  (3.13) 3! ' ( a *) 5 3 C  /   /   \   " X V 3  fl  I   I  OtXi" z =  a x ~ a a ^ + «a 4 T f - . ..  = 7 | a x — ^  ,   5 , a  . . . wię c z  =  —  si n ( a x) . \ 4.  Zastosowanie  metody  iteracyjnej  do  dowolnego  ciał a  odksztalcalnego P roblem  sformuł owany  w p .  2 rozwią ż emy  m etodą   iteracyjną   zgodnie  z p . 3. Konieczne  jest  wprowadzenie  dodatkowych  symboli  na  nastę pują ce  ukł ady:  ciał o  V z  danymi  warun kam i  brzegowymi  nazwiemy  ukł adem  danym  U  (rys.  1), ciał o  zastę pcze V z  okreś lonymi  przez  ukł ad  U  warun kam i  brzegowymi  nazwiemy  ukł adem  zastę pczym  ii (rys.  3), ciał o  V z  warun kam i  brzegowymi  wynikają cymi  z  rozwią zania  ukł adu  zastę pczego U  oznaczymy  przez  W .  N iewiadom e  sił y  masowe  Z i  powierzchniowe  y  wyznaczymy n a  drodze  iteracyjnej. • Rys.  3.  U kł a d  zastę pczy  U Z ał oż eniem  podstawowym  m etody  jest  znajomość  lub  moż liwość  rozwią zania  ciał a zastę pczego  obcią ż onego  dowoln ie  sił ami  masowymi  i powierzchniowymi.  Ponieważ  ciał o zastę pcze  m a  charakterystyki  zbliż one  do  charakterystyk  ciał a  danego,  m oż na  przypusz- 96  J.  WRAN IK czać, że obcią ż enie  ciał a zastę pczego,  tak jak  ciał a  danego, da  również  zbliż one  rozwią za- nia  (3.3). W  począ tkowym  kroku  iteracyjnym  obcią ż amy  wię c  ciał o  zastę pcze  sił ami  danymi  p na  powierzchni  A a ,  danymi  sił ami masowymi  M   oraz  danymi  przemieszczeniami  f  n a po- wierzchni  A„. Z rozwią zania  ukł adu zastę pczego  (/ podobn ie  do  (3.4) otrzymujemy:  wektor naprę ż eń ó,  wektor  przemieszczeń  u  i  wektor  odkształ ceń e.  Z ał oż ona w  p .  2  równoważ ność  pól przemieszczeń  ciał   V  i  V  daje  relację (4.1)  E  =   e równoznaczną   z  wymuszeniem  w  ciele  V  odkształ ceń  e. lii  V  ||i Otrzymujemy  ukł ad  W . N aprę ż enia a  i  obcią ż enia  M  i p ukł adu  W  obliczymy  korzys- tają c  z równoś ci  (4.1), mianowicie (4.2) T)a = ta. Przekształ cają c  (4.2)  otrzymamy  (patrz  (3.5),  (3.6)), (4.3)  o  =   S a , gdzie (4.4)  <5 =   I T 1 ! ) Korzystają c  z  (2.3)  i  (4.3)  otrzymujemy  obcią ż enia  ukł adu  W : sił y  masowe (4.5a)  M =   - 2 B o=   - 2B< SC T, sił y  powierzchniowe (4.5b)  p  =   $ o  =   $< »«. Rozwią zanie  ukł adu  U przedstawimy  w  postaci  podobnej  do  (3.7),  tj. (4.6)  U m  W +A t U, p r zy  czym  w  m iejsce  sym bo li  U,  W ,  A 1 V'w  r ó wn a n i u  (4.6)  m o ż na p o d st a wić o d p o wie d n ie If  W wektory  odkształ ceń,  wówczas  e  =  e+A l e,  wektory  przemieszczeń —  u  =   u - Mi u, w   w naprę ż eń —  a  =  a + A ± a,  sił y  masowe—•  M   =   M + ^ l j M ,  lub  sił y  powierzchniowe  — Otrzymamy  obcią ż enia  ukł adu A,  u w  postaci (4.7a) (4.7b) (4.7c)  Jif- O, gdzie (4.8)  x  =   3 ~ S ,  3  —  macierz jedn ostkowa. Otrzymaliś my  w  ten  sposób  ukł ad  A X U,  który  jest  ciał em  V  z  sił ami  A ± f  (4.7a)  n a powierzchni  A a ,  z  sił ami  masowymi  A X M.  (4.7b)  i  zerowymi  przemieszczeniami  A x i  -   0 (4.7c) na powierzchni  A„. M E T O D A  OBLI C Z AN I A  C I AŁ  OD KSZ TAŁ C ALN YC H   97 Rozwią zanie  ukł adu  A t   U  m oż na przedstawić  w  postaci  analogicznej  do  (4.6) (4.9)  A t U  =  A 1 W +A 2 U, przy  czym ukł ad  A t   W  otrzymujemy  w drugim kroku  iteracyjnym,  podobnie do ukł adu  W . W  kolejnym  / - tym kroku  iteracyjnym  otrzym am y: obcią ż enia  ukł adu  A t   U (4.10a)  A t v  =  4 p  =  §xń i . l a, (4.10b)  A t M  =  A,M=  - W cA^ ^ , rozwią zanie  ukł adu  A t U  w  postaci  wektorów  naprę ż eń Ą ó  i  odkształ ceń  A t k, odkształ cenia  w  ukł adzie A;  W (4.11) naprę ż enia  w  ukł adzie Zf;  W , (4.12) obcią ż enia  ukł adu  A t W (4.13)  4 , M - obcią ż enia  ukł adu  Z l i + 1 Ł/ (4.14a) (4.14b)  z l i + 1 M =   - Rozwią zanie  ukł adu  A t   U przedstawić moż emy podobnie do  (4,6) i  (4.9) w postaci (4.15)  A,U  =  AiW +A l+1 U, a  stą d  wynika  przedstawienie  rozwią zania  ukł adu  U  w  postaci  nieskoń czonego  szeregu: (4.16)  U P ostać  (4.16) rozwią zania  moż emy przedstawić przy  wykorzystaniu  (4.15) nastę pują co: (4.17)  U- V Zwią zek  (4.17) jest  dowodem  zbież noś ci  szeregu  (4.16) przy  warunku (4.18) M oż na  zauważ yć,  że  o  wielkoś ciach  skł adowych  wektorów  obcią ż enia  / l;p  i  AfM decyduje  macierz r ;  wzory  (4.10)  i  (4.14). Jeż eli  macierz r. dobierzemy  tak,  aby speł nione był y nierównoś ci: (4.19)  |j j , + 1 p ||  <  \ \ AiV\ \ ,  \ \ Ai+1M\ \  <  \ \ A,M\ U wówczas  również  norm y  wektorów  naprę ż enia  i  odkształ cenia  bę dą   maleć  z  kolejnym krokiem  iteracyjnym,  co wynika  wprost  z  (4.14) i  definicji  normy. Otrzymamy \ mxAi+ 1i\ \ < ||2BrA,A||, a  stą d (4.20) 7  M ech .  T eoret .  i  Stosowan a  1/78 98  J.  WRAN IK i  podobnie (4.21)  H 4+ i«ll< I I 4«ll. Przy  i - *  oo  normy  wektorów  zmierzać  bę dą   do  zera,  a  tym  samym  skł adowe  odpo- wiednich  wektorów  osią gną   wartoś ci  zerowe. Zagadnieniem  osobnym  jest  moż liwość  speł nienia  warunków  (4.19).  M ogą   one być speł nione  przy  takim  doborze  macierzy  r, aby zachodził a  nierówność (4.22)  H t | | < l , wynikają ca  z twierdzeń  zwią zanych  ze  zbież noś cią   szeregu  macierzowego. M acierz r  (4.8)  okreś lona  jest  przez  ciał o  zastę pcze  V;  zatem  im bliż sze  bę dzie ono ciał u  danemu  V, tym  norma  macierzy r  bę dzie  mniejsza,  a zbież ność  lepsza.  Zważ ając  n a moż liwość  rozwią zania  ciał a  zastę pczego  V  dobierzemy  jego  charakterystyki  jak  naj- prostsze, n p . ciał o izotropowe, jednorodne i jednospójne.  Przy z góry  okreś lonym  rodzaju ciał a  zastę pczego  róż nią cego  się  dość  znacznie  od ciał a  danego,  zachodzi  problem  opty- malnego  doboru  wartoś ci  charakterystyk  ciał a  zastę pczego  ze  wzglę du  n a  nierówność (4.22). Zagadnienie  ciał a  zastę pczego  wygodniej  jest  rozpatrywać  dla  okreś lonego  rodzaju ciał a  danego  (tarcze,  pł yty,  powł oki); problem  ten  bę dzie  przedmiotem  osobnych  opra- cowań. Obliczmy  jeszcze  obcią ż enia  Z i y. P odobnie  do  (4.16),  moż emy  utworzyć  szereg nie- skoń czony  z  cią gu  rozwią zań  A t U,  wtedy (4.23) 2 ( = 0 f= l / = 0 1= 1 Korzystają c  z (4.10)  otrzymamy (4.24) 2 X) $(2 ;=i lub (4.25)  Z = - 2 B ( 2 4 « ),  y =  . ponieważ A t M  =  - 2I kl;ć  i  A t p  =  §>A t a. 5.  Uwagi  koń cowe Rozważ my  jeszcze  zwią zane  z  samonaprę ż eniami  zagadnienie  jednoznacznoś ci roz- wią zania.  Czy  narzucają c  w  ukł adzie  A t W   przemieszczenia  otrzymujemy  jednoznacznie okreś lone  naprę ż enia?  Odkształ cenia  niezależ ne  od  sił  zewnę trznych  powodują   wystą - pienie samonaprę ż en tylko  wtedy,  gdy  nie speł niają   warunków  nierozdzielnoś ci  [3]. W  przy- padkach  rozpatrywanych  warunki  nierozdzielnoś ci  są  zawsze  speł nione, gdyż  wektor  od- kształ ceń  narzucony  w  ukł adzie  A t W   ciał u  danem u  jest  wzię ty  z  rozwią zania  ukł adu A t U,  który  moż emy  zawsze  rozwią zać  jednoznacznie. M E TOD A  OBLICZAN IA  CIAŁ  ODKSZTALCALN YCH   99 Rozwią zanie  w  każ dym  kroku  iteracyjnym  jest  wię c  jednoznaczne,  a  tym  samym i  suma  szeregu  nieskoń czonego  —  lub  w  rozwią zaniu  przybliż onym  suma  czę ś ciowa  — są   jedn ozn aczn ie  okreś lon e. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  Z .  BU D Z I AN OWSKI , F .  AN D ERM AN N , J.  WR AN I K,  Pewien iteracyjny sposób wyznaczania  naprę ż eń w  tar- czach  wielospójnych,  M ech.  T e o r . i  Stos.,  2,  12  (1974). 2.  Y.  C .  F U N G ,  Podstawy  mechaniki  ciał a stał ego,  Warszawa,  1969. 3.  M .  T.  H uber,  T eoria  sprę ż ystoś ci,  Czę ść  I ,  Warszawa  1954. 4.  A.  I O .  Jlytł KA,  T eopun  u  npuaeueuue  Memoda  ocpedmHUA cfiyHKijUOHaAbHUX  nonpaeoK, KneB  1963. 5.  W.  M L AK ,  W stę p  do  teorii przestrzeni  Hilberta,  Warszawa  1970. 6.  W.  N O WAC K I ,  T eoria  sprę ż ystoś ci,  Warszawa  1970. 7.  A.  PISKOREK,  Równania  cał kowe,  Warszawa  1971. 8.  G .  N .  P OŁ OŻ Y,  Metody  przybliż onych  obliczeń , Warszawa  1966. 9.  K ) .  fl.  COKOJIOBJ  Memod  ocpedneHun (JiyHKiiuoHajibHux nonpaeon,  K I K B  1967. 10.  J.  WR AN I K ,  Iteracyjna metoda obliczania tarcz  o  cią gle] zmianie gruboś ci wedł ug funkcji jednej zmiennej, Zesz.  N au k.  P oi.  Ś l.,  Budownictwo,  41  (1976). 11.  J.  WR AN I K ,  Iteracyjne  odwracanie macierzy  kwadratowych  wystę pują cych w  mechanice budowli,  Zesz. N au k.  P oi.  Ś L,  Budownictwo,  41  (1976). 12.  J.  WR AN I K ,  Iteracyjna  metoda obliczania tarcz  w  zakresie  liniowo  sprę ż ystym,  M ateriał y  XVIII  Polskiej Konferencji  M echaniki  Ciał a  Stał ego,  Wisł a,  wrzesień  1976. 13.  J.  WR AN I K ,  Iteracyjna  metoda  obliczania dowolnych tarcz  w  zakresie  liniowo sprę ż ystym,  I I  nagroda n a  kon kursie  P T M T S,  P ozn ań ,  grudzień  1976. P  e  3  io  M   e HTEPAIIHOHHBIft  METOfl  PACTETA  riP0H 3B0JIbH BIX JIH H EKH O  yn p yrn x  TEJI B  p aBo ie  n peflcTasn eH   o6n n ifi  H TepainroH H brii  metop,,  KOToptiS  MCWKHO  npiuvseHHTB  KaK  n p n  p e- ineHHH   npoH 3B0JiBH bix  HHHeHHO  yn p yr n x  Ten ,  o6jiap;aiomH X  nojio>KHTejiBHO 3HeprHH   fledjjopjwainm,  Tai<  H  n p n  pemeH H H  H eKOToptix  MaTeiwaTiraecKHx  3aflai. ripHMeHHTenbHo  K 3aflaqaM   TeopHH  yn pyrocTH j  iweiofl  COCTOHT  B  3aiweHe  flaH H oro  Tejia (DHKTHBHblM  TejIOM, flJIH  KOTOpOTO peniaeTCH  pHfl  KpaeBBIX  3aflai  npH  H3MeHHK>mHXCfl B HTepat(HOHHOM n poi?ecce  H arpy3i< ax.  3 T O  npnBOflHT  K o6pa3OBaffl«o  6ecKOH etnioro  pHfla  BeKTopoB  HanpHSKeroiH  H   p,e- dpopMainiH . IIpefljiaraeM biH   MeTOH  noxo>K  Ha MeTOfl  M anoro n apaiweipa,  TaK KaK  COCTOHT B He3HaMHiejibHOM   H 3- napaiweTpOB  flaH H oro  Tena  (n auH oro  on epaTopa)  ii  nocjieflOBaiejibHOM   pein em iH (yn pom eH H oro  on epaT opa)  n p n  ycjioBHH   CXOSH MOCTH   npH6jra>KeHHMx  pemeH H ił   K OopM yjin pyfl  p e in e m ie  3afla^iH   TeopHH  ynpyrocTH   n pH   noMoinji  dpuKTHBHoro Tejia  MO>KHO  3aJweTHTi, aH anorH K)  c  MeTOflOM   C H JI . S u m m a r y ITERATION   M ETH OD   OF   CALCU LATIN G  ARBITRARY  D EF ORM ABLE BODIES I N   A LIN EAR ELASTIC  RAN G E In  the present work a certain general iteration method is described applicable to arbitrary  linear elastic bodies  with  a  positive  definite  strain energy  function  and to some other mathematical  problems. The  con- sidered iteration method, as applied to deformable bodies, consists in replacing the given body by an auxiliary 7 * 100  J.  WRAN IK one,  and then  solving  consecutively  the auxiliary  system  with  loads  changing  in the iterative  procedure. In the solution  infinite  series  of stress  and  deformation  vectors  are  constructed. A certain  similarity  of the present  method  to the perturbation  and  force  methods  is  pointed out. P OLI TEC H N I KA  ŁÓD ZKA F ILIA  W B1F.LSKU - BIAŁEJ Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  25  lipca  1977  r.