Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  16 (1978) N AP RĘ Ż EN IA  KRYTYCZN E  WOLN OP OD P AR TYC H   Ś CIN AN YCH   PŁYT PRZEKŁAD KOWYCH FRANCISZEK  R O M A N Ó W  (WROCŁAW) Oznaczenia a, b  dł ugość i szerokość  pł yty, t, 2c  grubość  okł adziny i rdzenia, E, G, v  moduł  Younga,  Kirchhoffa  i  liczba  Poissona  dla okł adziny, E u ,  G „ ,  v„  odpowiednio dla rdzenia, m, n  ilość  pół fal w kierunku  osi x  i y, firn  20. a mi o = b r  =   alb q  jednostkowe  naprę ż enia tną ce, T  naprę ż enia tną ce, W   ugię cie  okł adziny  w  kierunku  osi z, W u   przemieszczenie  rdzenia  w  kierunku  osi z, Et3 D  =   —  sztywność  okł adziny na  zginanie, 1 2 ( 1 —v2 ) 2(1—1',,) 1. Wstę p Z agadn ien iom  obliczania  n aprę ż eń  krytycznych  ś cinanych  pł yt  przekł adkowych  po- ś wię cono  dotychczas  wiele  p r a c .  P rzedstawion e  t am  m etody  mogą   być jedn ak  stosowane tylko  do  tzw.  cienkich  pł yt przekł adkowych  [1, 2], które  speł niają   warun ek a 2 < J ( l  v) P odstawowym  uproszczen iem , jakie  przyjmowane  jest  w  tych  pracach, to nieodkształ - calność  mię kkiego  rdzen ia  w  kierun ku  prostopadł ym  do  powierzchni  pł yty.  To zał oż enie nie  uwzglę dnia  n aprę ż eń  ś cinają cych  w  rdzeniu  i  uniemoż liwia  opracowanie  ogólniejszej m etody  oraz  projektowan ie  pł yt  w  oparciu  o  n oś n ość  graniczną .  Z asadniczym  kryterium wytrzymał oś ciowym  tych pł yt jest u t rat a  statecznoś ci  cał ej pł yty  (tzw.  ogólna  forma  utraty statecznoś ci), przy  której  obcią ż enia  krytyczne  są   n a  ogół  mniejsze  od  noś noś ci  granicznej. 200 F . ROMANÓW Z  ekonomicznego  pun ktu  widzenia  interesują ce  są   grubsze  pł yty,  w  których  naprę ż e- nia  krytyczne  są   zbliż ane  do  granicy  plastycznoś ci  okł adzin y.  Wychodzą c  z  zał oż enia, że  ugię cie  okł adziny  opisane  jest  szeregiem (1.2) w  =   - Cm"Sln~ .  nyn s i n   b~' w  pracy  [5] rozwią zano  zagadnienie  statecznoś ci  krótkich  pł yt  przekł adkowych,  dla  któ- rych  (ajb  ^  2).  Jednak  doś wiadczenia  wykazał y,  że  teoretyczne  n aprę ż en ia  krytyczne w  stosunku  do  wyników  badań  są   znacznie  zawyż one.  D latego  dalsze  poszukiwan ia  do- prowadził y  do  przyję cia  nieco  innej  funkcji  od  równ an ia  (1.2)  która  dokł adn iej  opisuje ugię cia  wolnopodpartych,  ś cinanych,  prostoką tn ych  pł yt  przekł adkowych  i  w  konsek- wencji  daje  dokł adniejsze  rozwią zania.  Rzeczywisty  obraz  odkształ con ej  pł yty,  uzyskany n a  drodze  doś wiadczalnej,  przedstawiony  jest  n a  rys.  1. Rys.  1. F orma  utraty statecznoś ci pł yt  prz:kł adkowych P rzeprowadzone  rozważ ania  i  otrzym an e  wnioski  są   sł uszne  przy  nastę pują cych  za- ł oż eniach : —  okł adziny wykonane  z jedn akowego,  izotropowego  m ateriał u posiadają   taką   samą gruboś ć, —  rdzeń  wykonany  z  mię kkiego  izotropowego  m ateriał u,  dla  którego  obowią zuje zależ ność  E u   •   cjEt  <  0, 1.  Oznacza  t o ,  że  sztywność  rdzen ia  w  pł aszczyź nie  pł yty  w  sto- sunku  do  sztywnoś ci  okł adzin jest  dużo  mniejsza.  ;.' N APRĘ Ż EN IA  KRYTYCZNE  WOI.NOPODPARTYCH   PŁYT 20J M oż emy  wię c przyją ć,  że  obcią ż enia  leż ą ce  w  pł aszczyź nie  pł yty przenoszą   tylko  okł a- dziny.  R dzeń  n atom iast  równ om iern ie  podpiera  okł adzin y  i  przenosi  sił y  tną ce  oraz  sił y n orm aln e  prostopadł e  do  powierzchn i  pł yty. W  oparciu  o  powyż sze  zał oż en ia  moż emy  przyją ć,  że  lekki  rdzeń  charakteryzuje  się nastę pują cymi  wł asn oś ciam i:  E x   • » E y   =   G xy   =   0;  G xz   =   G yz   =   G u   i  E,  =  E„, 2.  Pł yta  nieskoń czenie dł uga N a  począ tek  przean alizujm y  problem  n aprę ż eń  krytycznych  dla  pł yt teoretycznie nie- skoń czenie  dł ugich. P odobn ie jak  w  teorii  cienkich  pł yt przyjmiemy,  że  ugię cie  okł adziny opisuje  zależ ność (2.1) W   — A sin —  sin —  (x—ay). D la  woln opodpartej  pł yty  funkcja  t a  speł nia  tylko  czę ś ciowo  warunki  brzegowe  [3]. N a  krawę dziach  pł yty  (y  =  0,  y  =  b)  ugię cia  równają   się   zeru,  zaś  momenty  są   róż ne od  zera,  gdyż  82W / 8y2  Ą=  0.  Jednak  dla  uzykania  chociaż  przybliż onego  rozwią zania bę dziemy  w  dalszym  cią gu  korzystać  z  tej  zależ noś ci.  G raficzne  przedstawienie  ugię cia pł yty  pokazan e jest  n a  rys.  2,  gdzie  s  oznacza  dł ugość pół fali,  a charakteryzuje  nachylenie linii  wę zł owych,  dla  których  x—ay/ s  jest  liczbą   cał kowitą   i  A  jest  am plitudą . Rys.  2.  Schemat  odkształ conej nieskoń czenie  dł ugiej  pł yty  przekł adkowej Przemieszczenie  rdzen ia  w  kierun ku  prostopadł ym do powierzchni  pł yty został o okreś- lone w  ogólnym  przypadku  w  pracy  [4] ja ko  funkcja  trzech zmiennych (2.2) gdzie cosh [p(c—z)] cos  hpc "(x 8 2 W   8 2 W •  + 8x 2 dy 2  l - 2 r„ *  W   2(1 - v„) Jak  wynika  z zależ noś ci  (2.2), q> jest  tylko  funkcją   zmiennej  z,  a  ugię cie  W   funkcją   x  i  y. Aby  to  zał oż enie  był o  speł n ion e,  zależ ność  (2.3)  bę dziemy  traktować  ja ko  param etr, 6  M ech .  Teoretyczn a  i  Stosowan a  2/ 78 202 F .  ROMANÓW który  w  kon kretn ym  przypadku  ugię cia  okł adziny  posiada  stał ą   wartoś ć.  Wielkość  tego współ czynnika  dla  niektórych  funkcji  ugię cia  okł adziny  p o d an o  w  tablicy  1. Tablica  1 Funkcja  ugię cia  okł adziny W tixm A  a   sin a 00  00 v- i  r )  ,  nxm  .  nym }  }  / („„sin  sin- - -— ZJ  Z J  a  b n =   1  « =  1 .  ..  ny  .  n Asm  — s i n —  (JC—ay) b  s DO  0 0 r i  r i  ,  .  nxm  .  nyn  n y  y  /4„,„sin  sm—• —  cos —  (y—ax) ~- j  —/   a  b a 111=  1  7 1 =   1 P aram etr/ ;2 /   nm  \ 2 1 mp \ 2 r  I a  \ 2  1 \   a  1  L  \ 6  /   .1 Mają c  okreś lone  przemieszczenie  rdzen ia  moż emy  teraz  za  pom ocą   m etody  energe- tycznej  znaleźć  naprę ż enia  krytyczne. W  zwią zku  z tym, iż okł adzina traktowan a jest ja ko  cienka izotropowa pł yta, jej  energia odkształ cenia  sprę ż ystego  okreś lona  jest  wzorem  [3] a  b D  r r\   82w  82w - 4 /J o o 8x2 + 8y2 [ Opierają c  się   n a  przedstawionych  we  wstę pie  zał oż eniach odn oś n ie  rdzen ia  i  korzystają c z  ogólnego  równania  n a  energię   sprę ż ystą   ciał a  izotropowego,  energię   sprę ż ystą   da  się opisać  zależ noś cią P raca  wykonana  przez  zewnę trzne  sił y  ś cinają ce  pł ytę  wyraża  się   wzorem \ \ U wzglę dniając  dalej  równ an ia  (2.1)  i  (2.2)  ostatecznie  otrzym am y: (2A)  A  -   4A2Dab  \  L +   ł ± ^ 2  ,   ( 1 +   «2)2" 8  I 6 4  s2b2 (2.5)  Ar= n2G< - A2abl^ \̂   ,  < (2.6) 8  \ b2  '  s2  T  ^ /   ;;c 7r2^2aaA 4? N AP R Ę Ż E N IA  KR YTYC Z N E  WO LN O P O D P AR T YC H   P ŁYT  203 N ieznane  jednostkowe  naprę ż enia  tną ce  q  obliczymy  z  zależ noś ci (2.7)  A K +A r +A z   =  0, W  dalszym  cią gu  interesuje  nas  najmniejsza  wartość  q,  czyli  naprę ż enia  krytyczue. Ż ą daną   wartość  otrzymamy  z  warunku (2.9)  - jr-  =   0  i  - —•   =   0 . Z  równ an ia (2.9) przy  zał oż en iu, że m am y do czynienia tylko  z cienką  pł ytą   (bez rdze- n ia  c  =   0)  otrzym am y  zn an e  rozwią zan ia  [3]   a 0 .  Oznacza to, że pł yta przekł adkowa  fał duje  się   w ten sposób,  że dł ugość pół fali jest mniejsza  od dł u- goś ci  pół fali  dla  takiej  samej  cienkiej  pł yty  (bez  rdzenia). 6* 204 F . ROMAN ÓW 3.  Pł yty  prostoką tne Jak  już  wspom n ian o  we  wstę pie  w  pracy  [5]  rozwią zano  problem  statecznoś ci  krót- kich  pł yt  przekł adkowych  przy  zał oż eniu, że  ugię cie  okł adziny  opisane  jest  zależ noś cią (1.2).  Schemat  takiej  pł yty przedstawion o  n a  rys.  3.  Póź niejsze  dociekania  doprowadzają do  wniosku,  że  dokł adniej  ugię cie  okł adziny  m oż na  opisać  nastę pują cą  zależ noś cią: .  nyn  n  ,   ssin  —= —  c o s —  ( v — ax). a  ba(3.i)   W=- 2J2JC  s i n Wyraż enie  to, podobn ie jak  zależ ność  (2.1), nie speł nia wszystkich  warun ków  brzegowych, gdyż na krawę dziach  pł yty ugię cia  są  równe zeru, zaś  m om en ty nie są  równe  zeru. J* . s^—  ** J Rys.  3. Pł yta  prostoką tna  wolnopodparta  na cał ym  obwodzie  obcią ż ona  na  krawę dziach  naprę ż eniami tną cymi W  dalszym  cią gu  zostanie  wykazane,  iż  ten  fakt  dla  pł yt  przekł adkowych  w. przeci- wień stwie  do  pł yt bez  rdzenia  nie jest  zbyt  istotn y.  Wykorzystując  zależ ność  (2.2)  i  (3.1), a  nastę pnie postę pują c,  podobn ie jak  w p . 2, otrzym am y  wzory  n a energię  sprę ż ystą  i pracę sił   zewnę trznych. Energia gię cia okł adziny (3 . 2 ) A,  =   — I 1 «- (£[< \ XlXl  +  ~2 H mna.  11 - ZT )  \ X 1 X 2 +- ^ X 4 X s   + X s Xii)  + : 7 - 2 x5 x 9 + 4 x 1 1 x ] 2 )I N AP R Ę Ż E NI \   KRYTYCZN E  WOLN OPOD PARTYCH   PŁYT  205 Energia  sprę ż ysta rdzenia co  co (3.3)  Ar -  - ? i  "  i  f —'  * 2 \   p  '  c o sh ^ c / U 2 L  P   1H '  2 am  , 1   \  1 ,  ,  \ s  1  /   1 H - .v5(>Xi4 —X10JJ +   - —j"  l ^ a ^ n  +  ^ i ^ g  —^- .VV 1 W  równ an iach  tych  przez  x  ozn aczon o  nastę pują ce  cał ki: / '  2  rca  ,   2nm  a  j  1  /  1  a  \   . c o s 2 —^ s r a 2  xdx  = —  1 +   - TT—  5  T  sin27ra  =   x u J  a  a  4 [  2 K \ S  a2—m 2  / rai  ,  7r  ,  6  a  / ,  62  \   .  „   b o 6 o b 2nn  ,  «a 2 6 / sir o f  .  2n  . I  sin  —  VSHA — . ' a  b  2n{p i - —a i n A )  a b  \ \ a \f  .  2n  .  27in  .  I  ^   b  \ \   a  I sin  ysm2~r- ydy  =  COS2TJ:  1) h r ~  " J  a  b  \   a  I[47t\ a  /   An  \ b2—a2n2 o "  r .  2na  .  -  nm  ,  a  2a  .  , .  ,  1  . sm  Jtsm"4  xax  =   - 3—  I —=   r- (cos27ra— l H —( l - c o s2 jr a)  =   .v5,a  a  An  \ _  ar—m2 b bJ .  , n  .  nn  b  a  I  b 2  , \   .  . sm*—y  cos* —r- yay  =*  —r — 1- 5—\ - rz  5—, + 1  si n 2 jt ~  — x 7 )a  o  4  I oTt \ b  —a n  I  a o  .  L  x  ' C  ,   o n  .  . nn  ,  6  [ # /   b2  , \ . ^ . ^ 1 sm 2—ysm2—r- ydy  =  T  +   - 5— T I  2̂ 2  -   1  sin2?r—  -   x8 , J  a  b  4  [871 \ i> 2- fl2«2  /   flj b J  a  b  \   x   a)i^ 7t\   b 2  — a 2 n 2 ']   9 ' 6 2nn  ,  .  n  ,  a2bn  /   .  b  , \ 206  F .  ROMAN ÓW (I / .  , na  .  , T im  ,  a  \  a  I  a  1  \ ]  . CtY\   — _  V  C 11*1  v/ / y  —  _ _ _  (  I  I  ,  I  I  c i a  a  4  [ 8 7 i ; \ a 2 - m2  a/ J / a  a  4  \ 8jt\ a z - m 2  a/ J b 2 n  , m  ,  b  \   a cof- ycosi- j- ydy =  -   +   | ^ i / .  2jra  .  2?r sin  xsi n  xflx  =  •   „  , ,  xr a  a  2n(az- m2)/ 2?rm  ,  am sin  xsin a a / .  , na  .  2nm  ,  aa  „  „   . si n 2 —xsi n  xdx =   .  .  ;,  - r-  (l- cos2?ra) =   ^ 1 6 , a ('  -  na  .  2nm  ,  am  ..  .  . cos2  jvsin  xdx  =  - .-   .  „  —5 r ( l — cos2jra)  =   x 1 7 ,J  a  a  4n(m2- a2)y  '  "' C  . ,na  , wm  ,  a  \  a  / 1  a  Yl . „ s m z —x c o s ' '  xdx ~—r — \ - z—\—i—5  5-   sin 2:n :a  =  x 1 8 ,J  «  a  4 [ 8 j r \ a  a 2 - m2 / J /"  , na  ,  7OTZ  ,  a  [ a  11  a  \  I . c o s"5 —xc o s' !  xdx =  - r +   - 0— — I — 5  H   sm 2wa  =  Xia, J  a  a  4  [87i\ a  v.2- m2)\ .  2na  ,  7im  ,  ,,  „   x [  a  / 1  a  \ 1sin  xc o s2  xdx ~   (l—cos27ra)  - r—  1  - ,   T )\   -   x 20 - a  a   v   \ 47i\ a  a 2 - m2 / J o Praca sił  zewnę trznych 0 0  OD  OO  00 (3.4)  A, =   - q y  y  y  y m= l  n= l  k= l  / = 1 +  i z 4 Z 5 + Z 8 Z 9 j  +  ̂ - [ Z1 3 ( Z 8 - Z3 ) + Z 5 ( Z 1 2 - Z1 1 ) ] + +  ̂ - [ Z4( Z6- Z7) +  Z2( Z9- Z1)] +  ^[ y Z 2 Z l 3 - Z7 Z 1 2 - Z6 Z 1 1 ] j) gdzie: / ,  T iix  nfti  .  nk  .  u c o s- ' —- xc o s—xsm —x d x  =  - r— r   ^ [l—cosmm+k)]  + a  a  a  4n(m + k)   J NAPRĘ Ż ENIA KRYTYCZNE WOLNOPODPARTYCH PŁYT  207 a  a n   ,~   :j- r-  [ c o s7 i ( 2 a —m — k ) —  11+   - r——-  p-   xSn(2a- m- k)  L  v  '  J  8n(2a+m- k) a[cosra(2a- m  +   fc)- l] -   Z ltSn(2a- m- k) C  .  nn  . 2 n . n l ,  ab  \   12b  A  , 1 sin—= — ysin  vsin - =— ydy  — — j — ^  ;  r r  cosra  (- « — /   — 1  + J  b  '  a  b  4n[2b  + a(n  — / )]  \ _  \  a  / ' 2 / 3 ~ B + / 4n[2b+a(n+D] [ C 0 S B (4m[2b- a(n+I)]  [  \ a b 26  \ 1 1 a/ J /   ,  26 \ 1  a6  [, «  +   / H  1 +  - 5—7-7  ,.  - Ł 1  1—COSJTX \   / J  8 [ ( + / ) 2 6 ]  [ x (n + 0  +   a a 26261  fl/ j  I",  ,   n  261  _—  +  o  r  /   FN—?nr  1- cosOTH - /)  =   Z 3 , a C  mn  .  2raa  nk  ,  a  ,_  ,   xcos  *sin  .vsm —• xax=  - :——  ;  - smm2a—k—m)  +J  a  a  a  4n(2u- k- m)  K »  J 1  4 J Z ( 2 « -  k+m)  """v*» 47z(2a+k+m) 1, f  .  mi  .  2n  nl  ,  ab  .  lib  A s i n - 7 - j s m —j e o s - 5— ydy  =  - T —  ̂ ^T  r- smTi  n + l — J  b  a  b  47t(2b — a)[n  — l)  \  a  j ab  .  [2b  A  ab  .  (2b sin n ; —- +n + l) + - r- 7=i—r?—K  s l n j t l  n- l) — \   a  J  4n{2b- a)(n+l)  \  a ab  .  [2b b f  .  nn  .  ni  , n  ,  b  ,  _ J  8m - r^6ł u Tj;cos^- ŷ   =   - ^ - m̂*(n- l)- /   ,   2/3  \   «/3   .   /   .   2 6 \ .T  smn\ n~'  +  "b—r?—T rr^ rrsm :n :\ n- l+—  - ]  \   a /   8n[a(nl)+2b]  \   a  / [n- l)- 2b]  V  a /   8n [a(»- / )+ 26]  \   « 2*\   ab  .  [  . ,  . 2 / 3 a 208  F . ROMANÓW f  ,  T in  .  ni  7t  b  . J  b  b  a  4n(n- l) b a'"'  4n(n- iy" vy   '  4n(n + l) ab  .  I  ,  2b\   ab 8n[a(n- l)- 2b]  \   a j  8n[a(n- .  1  .  2b\   ab  .  1  2b\ \   a I  8n[a(n + l)- 2b]  \   a )x  sinn ab  •   ,  2b\ 'Ą n + lĄ   =   Z 7 , b J  s .  nn  ni  .  , ns m - ^ c o s  - - ^ b 0 • ab  ,  /   . ,  2 4 \ |  ab " +'  a  JJ x  cosTt  «- / + • —I  - 1  +  - s- 77̂  A  , Ł 1  COSTI;  «- /   1 -   1  =   Z 8 , I.  \   « /   J  &n[a(n- l)- 2b]  [  \   a /   J «  .  • / .  , na  mn  .  nk  ,  a  _,  .  ,  , . , Sin  XCOS  XSin  X0X =   - j—;  rr-  11 — COSJlfm + k)] + a  a  a  4n(m + k) TT I—/ c) k)  8T(2a+7?3—A:)8n(2tx—m — k)  8.T(2a+ 7?3—A:) a- m  + k)- \ ]  =   Z 9 ,2a — m+k) a f  .   7   na  .  nm  .  nk  .  a  ,  , . sm • *—x sin  x s m —x d x  = • - .- —. — sm n(m—k) — J  aa  a  .  4n(m—k) sh\ n(m+k)-   ,   a   - ? sinji(m- / c- 2a) + 4n(m 87r(m- A:+ 2a)  v  ' =  Z u , N AP R Ę Ż E N IA  KR YTYC Z N E  WO LN O P O D P AR T YC H   P Ł YT  209 f  .  nm  .  nk  , na.  ,  a  ,  ,. sin  x s m —  xcosz  xax =  - r- ~.  -  ̂ smnun—k) — J  a  a  a  4n(m- k)   v a  4n(m- k) ~T —f—- ,rsin?r(/ n+ fc)+  o - > —T — Ą  <ń nn(m- k- 2a)  +4n(m  + k)  &n(m — k — 2a) .  .  ?rw  .  nk  .  a sin  jsm  xsm  xox =   - .- ——  r a  a  a  4n(k  +  2a- m) tutaj m  7̂  A:,  n ^ / . Cał kowita  energia  pł yty.  Korzystając  z  równ an ia  (2.7) przy  uwzglę dnieniu  równań (3.2),  (3.3) i  (3.4)  otrzym am y  ostatecznie  wzór  na  cał kowitą  energię  pł yty  przekł adkowej 00  co  co  co  00  co (3.5)  Am J?£ }\ m 1  / c=   1  / = gdzie: 2n*  \ ,   2  2  In 2  1 \   m a / n 2  1  \ H   3 ~  ! ("*  +  a  Jl  L2  "I" ~^2'| (XlX2~ł ~v,5X4.X s +XsX li )  - \  T ~  I T T  "I "  ~~Z~2  I x [xi5(x2~x8)  + x4(x16~x17)]  +  - —  (/ n 2 +  a 2 ) [ x3 ( xx  - 2ab m n a   tc\   ^  \ \   4- \ l n2  " " n '  j  i.'- ')-̂  X3 X15  X10 X i 7  — X4.X1 ft J \   ~T~ n  I I "«~T~ " r '  - ab  J  [ _\ 6 2  a^ G,(  , /  t gh »c  c 2  \   P \   p  co sh 2pc / 1 a 210 F .  ROMANÓW - r 2 - (xixl2+ 0,5x5x9+ x7xli)  + - ^ (x L x a - Q, \ , wzór  n a  B m „ki  ma  p o st a ć : "ml  t —  [ 0 , 5 z 2 z 1 3 - z7  z 1 2 - z6 Stosują c  m et odę   R itza- T im osh en ki  o t rzym am y m  r ó wn a ń lin iowych je d n o r o d n yc h p o st a c i: 3A 8C mn =  0 , rozwią zując  nastę pnie  wyznacznik  tego  u kł ad u  równ ań ,  otrzym am y  ostateczn ie  wielkość jedn ostkowych  n aprę ż eń  tną cych  g kI   (krytyczne). W  pracy  [5]  au t o r  wykazał ,  że  dostateczn ą   dokł adn ość  rozwią zan ia  zagadn ien ia  dla celów  praktycznych  uzyskuje  się ,  przyjmują c  sześć  a  n awet  pię ć  skł adn ików  szeregu  F ou - riera. Toteż w niniejszej  pracy ogran iczon o się  do przyję cia  m  —  1,2,  .,.,  5 in  • »  1, 2,  .., , 5. W  celu porówn an ia  wielkoś ci  n aprę ż eń krytycznych  dla funkcji  ugię cia  okł adzin y  okreś- lonej  wzorem  (1.2)  i  (3.1)  odpowiednie  wartoś ci  p o d a n o  w  tablicy  2  i  3. Tablica 2.  q**  — Jednostkowe naprę ż enia krytyczne obliczone dla funkcji wg  wzoru (1.2) Lp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c  ^ \ ^ 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 5 1.....2 40,42 402,00 746,79 1075,32 1381,95 1662,88 1916,20 2141,74 2340,47 2665,42 1.....3* 33,27 230,91 409,69 573,71 718,95 843,57 947,72 1032,97 1101,65 1199,56 1,...,4 33,17 201,54 342,86 465,74 567,00 646,39 706,18 749,90 781,26 819,19 1,...,5 32,96 196,95 326,61 432,64 512,54 568,27 605,06 628,61 643,47 658,72 U waga:  dane  w  tablicy  pom noż one przez  10- 3  dają   wartoś ci  q  w  [M N / m ]. G ruboś ci  rdzenia c pom n oż one przez  10- 2  dają   wartoś ci  w [m]. NAPRĘ Ż ENIA KRYTYCZNE WOLNOPODPARTYCH PŁYT 211 Tablica  3.  g*  —  Jedn ostkowe  n aprę ż en ia krytyczn e  obliczone dla  funkcji wg  wzoru  (3.1) Lp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c  " ' " ť \ 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 5 1.....2 55,2 361,45 656,6 937,54 1200 1597,65 1659,45 1855 2028,3 2535 1  3 38,85 196,95 341,71 474,0 590,85 719,17 773,81 841,69 896,24 1002,6 1.....4 36,27 157,89 262,33 352,85 427,42 485,88 529,74 561,72 584,67 614,79 1,...,5 35,98 145,4 232,72 304,1 358,45 397,1 423,3 449,86 451,26 464,4 D iine w tablicy  pom n oż one  przez  10- 3 dają   wartość q w  [M N / m].  G rubość  rdzenia  c  pom no- - ż ona  przez  10 - 2  dają   wartość  w  [m], Z  porówn an ia jedn ostkowych  n aprę ż eń tn ą cych wedł ug funkcji  (1.2)  (wartoś ci  z dwo- m a  gwiazdkam i  w tablicy 2) z n aprę ż en iami krytycznymi  dla funkcji  (3.1) (wartoś ci  zjedn a gwiazdką   w  tablicy  3)  m oż na  wycią gnąć  bardzo  ciekawy  wniosek: —  D la cienkich jedn olitych  pł yt  c  — 0 n aprę ż en ia q**  są   znacznie mniejsze  od naprę - ż eń  q*,  co  ozn acza, że  funkcja  (3.1)  daje  zawyż one  wartoś ci n aprę ż eń. P odstawową   przyczyną   wzrostu  n aprę ż eń jest  czę ś ciowe  niespeł nienie warunków  brze- gowych,  o  czym  był a  m owa  wcześ niej. Widać  wię c,  że jedn olite  pł yty  (bsz  rdzen ia)  są   bardziej  «wraż liwe»  n a  warunki  brze- gowe. —  D la  gruboś ci  rdzen ia  c  >  0,  n p .  dla  c  =   0,5  •   10~ 2  [m] funkcja  (3.1)  daje  dokł ad- niejsze  rozwią zan ia  w  stosun ku  d o  funkcji  (1.2)  o  okoł o  35%. T ablica  4.  P rocen towy  bł ą d  wzglę dny  A% Lp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c  ^ ~ \ ^ 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 5 1.....2 - 26,7 11,3 13,7 14,6 15,2 14 15,5 15,7 15,4 15 ł,...,3 - 14,4 17,2 19,9 21 21,7 17,2 22,5 22,7 22,8 20 1.....4 - 8,5 26,4 30,7 32 32,7 33,0 33,2 33,4 33,6 33 1.....5 - 8,4 35,5 40,3 42,3 42,9 43,1 42,9 42,6 42,6 42 A  = •  100%,  g**  wg  t abl.  2,  q*  wg  t abl.  3 212 F .  R OM AN ÓW D la  bardziej  przejrzystego  zobrazowan ia  róż nicy  wielkoś ci  naprę ż eń  krytycznych, n a  rys.  4  przedstawiono  zależ ność  tych  n aprę ż eń  od  gruboś ci  rdzen ia.  Z  przebiegu  tych krzywych  widać,  że  m oż na  dobrać  taką  grubość  rdzen ia, powyż ej  której jego  zwię kszanie nie  daje  efektywnych  przyrostów  n aprę ż eń  krytycznych,  a  tylko  n iepotrzebn ie  zwię ksza cię ż ar  pł yty. P rzykł adowe  obliczenie  naprę ż eń  krytycznych  wykon an o  dla  pł yty,  która  charaktery- zował a  się  nastę pują cymi  param etram i:  a  =  28,5-   10 "2  [m ];  b  =   19-   10~ 2  [m ];  D  = =   17,02-   10- 6  [M N m ];  t  =   0,1  •   10~ 2  [m];  £ = 1 8 5 4 7 5 , 9 5  [M N / m 2 ];  0 . - 2 3 , 55 [M N / m 2];  v u   =   0,17;  v  -   0,3  i  E„  =   58,81  [M N / m 2]. [MN / rn] 700x10 Rys.  4.  Zależ ność naprę ż eń  krytycznych  od  gruboś ci rdzenia obliczonych  dla  pię ciu liczb szeregu  (1.2)  i  (3.1) D la  uł atwienia  bardzo  ż mudnych  obliczeń  autor  opracował   program  «M I N Q»  n a E M C  umoż liwiają cy  obliczanie  n aprę ż eń  krytyczn ych  dla  dowolnej  liczby  wyrazów szeregu  F ouriera. W  oparciu  o  param etry  pł yty,  sł uż ą ce  jako  dan e  wejś ciowe,  otrzymujemy  a k r ;  S kI; q kI ;  T kr  i  krytyczne  obcią ż enia. P rogram  dostę pny  jest  w  Instytucie  Konstrukcji  i  Eksploatacji  M aszyn  P olitechniki Wrocł awskiej. Literatura cytowana w tekś cie 1.  A.  .51.  AnEKCAHflpoB  u  AP . J Pacnem  mpexcnoumix  nane/ ieu,  M ocKBa  1960. 2.  P. P .  BIJLAARD ,  Analysis  of  the  elastic  and  elastic stability  of  sandwich plates  by  the  method  of  split rigidities, J.  Aeronautical  Sci.,  18,  5  (1961) 339—349. 3.  S.  P .  TIM OSH EN KO,  J.  M .  G E R E ,  T eoria  statecznoś ci  sprę ż ystej,  Warszawa  1963. 4.  F r.  ROM AN ÓW,  Statecznoś ć  pł yt  dwuwarstwowych, woinopodpartych,  przy  obcią ż eniu  ś cinają cym.  Kon- strukcje  Lekkie  —•  Konferencje  N aukowo- Tecł miczne  w  Instytucie  Lotn ictwa,  Warszawa  1966. 5.  F r.  ROM AN ÓW,  W pł yw  iloś ci skł adników  szeregu  Fouriera na  dokł adnoś ć  obliczeń  naprę ż eń ] krytycznych w  ś cinanych pł ytach  przekł adkowych,  P race  I n stytutu  Lotn ictwa,  46  (1971). P  e  3 jo  M  e KPH TJOTECKH E  H AIiPiD KEH H fl  CBOEOflH O  OI I EP TBI X  TP E XC JI OftH BlX n J I AC T H H   PABOTAIOIAH X  H A  C flBH r H cnojifc3yn  oH epreTiraecKira  MeTOfl  penieH a  3aflaqa  pacxieTa  KpnTiwecKiix  HaupameaKpi  TpexcrioS- Hbix roiacTiiH , noflBeprayTbix  BO3fleficTBnio  cpe3biBaioin n x  H arpy SOK.  B  pe3ynLTaTe  yi&ra  fledpopM H pye- MOCTH   3anoJiHHTejin  n o  Bceił   ero  TonuiH H e  npefljioHKeT  npHMeHwrbcH   6e3  KaKnx- jra5o  orpamraeH H H   fljm  ruiacTHH   n p o iB- sojibHhix  reoMeTpH'iecKHX  paaiwepoB,  B  K o ro pwx  3anojnfflTeJib  COCTOHT  na  jier- KHX  H 3orpomn>ix  neHO- o6pa3Hfaix  MaTepnaJioB.  PacawaTpH BaeMbie  nnacTH iibi  SLTJIH   pacc^H TaH bi  MHcneHHfciM   MeTOflOM,  a  p e- 3yjibTaTbi  npuBefleH bi  B  T a6ram e  1,  2  H   n a  p u c .  4. S  u m m  a r y CRITICAL  STRESSES  OF   SIMPLY  SU PPORTED   SAN D WICH   PLATES  I N   SH EAR Energy  method  is  used  to  solve  the  problem  of  critical  stresses  in  sandwich  plates  subject  to  shear loads.  Since  the  deformation  over  entire  thickness  of  ths  core  was  taken  into  consideration  (contrary  to the  well- known  theories  [1,  2]), ths  present theory can beused  without  any limitation for  the plates  of  arbi- trary  dimensions  with  cores  mads  of  foam- typs  isotropic  materials.  The  results  of  numerical  analysis  are given  in  table  1, 2 and  F ig.  4. P OLI TE C H N I KA  WR OC Ł AWSKA y Praca  został a zł oż ona w Redakcji dnia 25 lipca  1977 r.