Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  S TOS OWANA 2,  16  (1978) METODA FIKCYJNYCH Ź RÓDEŁ ZMIENNEJ BIEGUNOWEJ JAKO SPOSÓB WYZNACZANIA  PODATNOŚ CI DYNAMICZNEJ ZŁOŻ ONYCH UKŁADÓW MECHANICZNYCH JE R Z Y  Ś W I D E R,  JÓZ E F   W O J N A R O W S K I  (G LI WI C E ) 1. Wstę p Jedną   z  charakterystyk  u kł ad u  m echanicznego jest  macierz podatn oś ci dynamicznych, której  elementy  stanowią ,  w  opisie  wielowejś ciowych  ukł adów  mechanicznych,  funkcje odwzorowują ce  h arm on iczn e zm ienne przepł ywowe  / - tego  wejś cia  w  zmienne  biegunowe y- tego  wyjś cia.  Z n an e są   róż ne  m etody  wyznaczania  funkcji  podatn oś ci  dynamicznej. M e- tody  klasyczne  wymagają   zawsze  opisu  analizowanego  ukł adu  w  formie  równań  róż nicz- kowych  [1, 2,  3]  i  przez  to  stwarzają   okreś lone  trudn oś ci  w  sformuł owaniu  zagadnienia dla  przygotowan ia  pro gram u  n a  maszynę   cyfrową .  M etody  niekonwencjonalne  umoż li- wiają   opuszczenie  etapu  ukł adan ia równ ań  róż niczkowych.  W pracach  [4, 5] podan o spo- sób  wyznaczania  funkcji  podatn oś ci  dynam icznych  ukł adów  mechanicznych przy  uż yciu grafów  i  liczb  strukturaln ych .  W  pracy  [6]  rozpatrzon o  zagadnienia  analizy  górniczego ukł adu  wycią gowego  przy  zastosowan iu  macierzowych  grafów  przepł ywu  sygnał ów1'. U zyskany  w  niej  graf  m oże  być  podstawą   wyznaczania  charakterystyk  dynamicznych przyję tego  m odelu, w  tym  także  funkcji  podatn oś ci. Z astosowanie  tego  grafu  do  oblicze- n ia  macierzy  podatn oś ci jest  jed n ak  utrudn ion e  z  uwagi  n a  istnienie  pę t li2'. Zł oż oność obliczeń  m oż na  uproś cić, jeś li  do  wyznaczania  macierzowego  grafu  przepł ywu  sygnał ów zastosować  m etodę  fikcyjnych  ź ródeł   zmiennej  biegunowej.  W  niniejszej  pracy  przedsta- wiono tę  m etodę , a n a przykł adzie górniczej  maszyny  wycią gowej  pokazan o sposób  wyzna- czania  funkcji  podatn oś ci  dyn am iczn ej. 2.  M etoda  fikcyjnych  ź ródeł   zmiennej  biegunowej P odstawą   tej  m etody  jest  teza,  że  swobodny  ukł ad  mechaniczny  m oż na  modelować grafem  biegunowym  X  posiadają cym  gał ę zie  wymuszenia,  które  reprezentują   fikcyjne oo ź ródła  zmiennej  biegun owej.  P o n ad t o w metodzie  tej  korzystan o  z  transformacji  grafu  X oo w  graf  przepł ywu  sygnał ów  [4,  6,  7]. 1 }  Macierzowym grafem  przepł ywu sygnał ów nazywamy  taki graf, którego transmitancje  (przyporzą d- kowane gał ę ziom) i zmienne  (przyporzą dkowane wierzchoł kom) są  macierzami. 2 )  P or. rys. 6  [6]. 226 J .  Ś WID ER, J .  WOJN AROWSKI Rozważ my  ukł ad  mechaniczny  o  n  stopniach  swobody.  G raf  takiego  ukł adu  [4,  8,  9] przyjmie  postać  jak  n a  rys.  1.  Z godnie  z  definicją   grafu  biegun owego,  każ dej  krawę dzi przypisana jest  para  zmiennych wielkoś ci  fizykalnych,  czyli  istnieje  dla  grafu  przyporzą d- kowanie gdzie  i S  jest  zbiorem  zmiennych  biegunowych,  n p .  zbiorem  przemieszczeń,   2 S  jest zbiorem  zmiennych przepł ywowych, n p . zbiorem  sił ,  2 f  jest funkcją   przyporzą dkowują cą. Rys.  1 Jeś li  przekształ cimy  graf  X  tak,  że  drzewo  Lagran ge'a  (rys.  2a) zastą pimy  drzewem z. multigał ę ziami  (rys.  2b),  to  uzyskamy  graf z  «multidrzewem  Lagran ge'a».  Każ dej  z  ga- 2  1 ł ę zi   2 x  multidrzewa  przyporzą dkowano  parę   zmiennych  [ t s,   2 s],  a  każ dej  z  gał ę zi   2 x  — tylko  zmienną   biegunową   t s. a] ! / , , Rys.  2 Zmienne biegunowe  x Ą  przyporzą dkowane gał ę ziom m ultigał ę zi ( 2 x,  2 x)i,  (i =   1 4-  n) są sobie  równe, ponieważ gał ę zie te rozpię te są  n a parze tych samych  wierzchoł ków  (yX 0 ,   y xi). 1 G ał ę zie   2 Xi,  (i  =   1  T  n)  traktować  bę dziemy  jako  fikcyjne  ź ródła  zmiennej  biegunowej, 1 a  utworzone  z  nich  drzewo  X  nazwiemy  «drzewem  fikcyjnych  ź ródel»  zmiennej  biegu- nowej. Tak uzyskany  graf  X,  czyli  graf z m ultidrzewem  Lagran ge'a  X,  stan owi  podstawę do  przeprowadzenia  transformacji  ukł adu  w  macierzowy  graf  przepł ywu  sygnał ów.  Sto- 1 sują c  procedurę  podan ą   w  pracy  [6] i przyjmują c  jako  drzewo  tworzą ce  —  drzewo  X,  uzy- METOD A  FIKCYJNYCH   Ź RÓDEŁ  ZMIENNEJ  BIEGUNOWEJ  .  227 skujemy  macierzowy  graf  przepł ywu  sygnał ów  (rys.  3).  D zię ki  przekształ ceniu  grafu  bie- i  , gunowego  do grafu  z m ultidrzewem  Lagran ge'a  X  uzyskujemy  graf  X a , w którym wszystkie krawę dzie  reprezentują ce  rzeczywiste  elementy  ukł adu  mechanicznego  są   cię ciwami, a  wię c  należą   do  przeciwdrzewa  X.  U zyskany  przez  transformację   graf  przepł ywu  sygna- ł ów redukuje  się  wtedy  do  ś cież ki  prostej, zawierają cej  trzy ł uki  (rys.  3), w  której: W  - BT ' 1 ' Rys.  3 ,S  oznacza  macierz  wierszową   fikcyjnych  ź ródeł   zmiennych  biegunowych, o i S  —  macierz  wierszową   zmiennych  biegunowych  cię ciw, 2 S  —  macierz  wierszową   zmiennych  przepł ywowych  cię ciw, 2 S  —  macierz  wierszową   zm iennych  przepł ywowych  odpowiadają cych,  w  reprezen- tacji  dualn ej,  fikcyjnym  ź ródł om  zmiennych  biegunowych, W  —  diagonalną   macie'rz  operatorowych  sztywnoś ci  dynamicznych  wszystkich rzeczywistych  elementów  ukł adu mechanicznego, B,  —B r —  macierze  rozpł ywu  sygnał ów  [6]3)  wynikają ce  z  I  i  I I postulatu  dla  grafów biegunowych  [4]. M acierz  rozpł ywu  sygnał ów  charakteryzuje  rozpł yw  zmiennych  przepł ywowych   2 Si w  wierzchoł kach  i  zm iennych  biegunowych  jj(  W kon turach  grafu  biegunowego. Z atem  każ dy  graf  biegun owy  swobodnego  ukł adu  mechanicznego  m oż n a,  dzię ki Av—* przekształ ceniu  do grafu  X  z drzewemfikcyjnych  ź ródeł  zmiennej   Ł si, sprowadzić  do  ś cież ki prostej  macierzowego  grafu  przepł ywu  sygnał ów. 3. Sposób wyznaczania  macierzy podatnoś ci  dynamicznych D okon ują c  inwersji  ś cież ki  prostej  grafu  przedstawion ego  n a  rys.  3,  ł atwo  spostrzec, że  inwersja  iloczynu  B-   W-   (—BT)  jest  macierzą   operatorowych  podatn oś ci u kł a d u 4 ' Y(p)  =   - [ B - W - ( - BT ) ] - ', co  jest  rozwią zaniem  sformuł owanego  problem u. D la p  =   ho,  gdzie  i  =   y  — 1, m acierz  operatorowa  Y(p)  staje  się   macierzą   podatnoś ci dynamicznych  ukł adu  m echanicznego  [3,  4]. Wtedy Y(fo>)  =   [ m   Y lSJ  (fcu)],  (/ , j  =   1, 2,  ..., »), gdzie   2 s,Y lS j(ia>)  ozn acza  po d at n o ść  dynamiczną   ukł adu  mię dzy  f- tą   zmienną   przepł y- wową   (wzbudzenie  u kł adu ) ,  a  j- tą .  zmienną   biegunową   (odpowiedź  ukł adu). W  takim  uję ciu  wyznaczanie  funkcji  podatn oś ci  dynamicznych  ukł adu  mechanicz- nego  polega  n a : 3 )  P or.  odnoś nik  1), s.  218. 4 0  Z nak  minus  wynika  z koniecznoś ci  zmiany  znaku  zmiennej  biegunowej  wzbudzenia  w  dualnej reprezentacji  grafu  J(. 228  J.  Ś WID ER,  J.  WOJN AROWSKI —  przedstawieniu  swobodnego  ukł adu mechanicznego w  postaci  grafu  obcią ż onego  ~K —  przejś ciu  z grafu  swobodnego  X  do  grafu  biegunowego  z  m ultidrzewem  Lagran - ge'ai —  dokon an iu transformacji  uzyskanego  grafu  w  macierzowy  graf  przepł ywu  sygnał ów i X  przy  wyborze  drzewa  fikcyjnych  ź ródeł   zmiennej  biegunowej  (X)  jako  drzewa  tworzą - 11 cego  graf, —  wyznaczeniu  odwrotnoś ci  transmitancji  ś cież ki  prostej  grafu  X. u N ależy  zwrócić  uwagę ,  że  przy  praktycznym  wykorzystaniu  przedstawionej  metody wyznaczania  podatn oś ci  dynamicznej  zł oż onych ukł adów  m echanicznych, nie  m a  potrze- by przeprowadzania cał ego cią gu  transformacji.  Opisane transformacje  i przekształ cenia do- konane n a grafach  należy  traktować jedynie jako  dowód, że wyraż enie  — [B •   W  •   ( —B 7 ) ] "1 jest  macierzą   funkcji  podatn oś ci  dynamicznych.  N atom iast m acierze  B,  W i  — B T  m oż na wypisać  bezpoś rednio  z  grafu  biegunowego  an alizowan ego  u kł ad u . Twierdzenie:  M acierz  Y(/a>) podatn oś ci  dynamicznych  u kł ad u  m echanicznego,  uzys- kan a  metodą   fikcyjnych  ź ródeł   zmiennej  biegunowej,  jest  zawsze  macierzą   kwadratową o  wymiarze  n x n,  gdzie  n jest  liczbą   stopn i  swobody  ukł adu.  Wskaź niki  kolum n  macierzy Y(KO)  odpowiadają   wskaź nikom  elementów  w  wierszu  odpowiedzi  ukł adu,  a  wskaź niki wierszy  —  wskaź nikom  elementów  w  wierszu  wzbudzenia  u kł adu . Aby  wykazać  prawdziwość  tego  twierdzenia  przyjmijmy,  ż e: L  — jest  liczbą   elementów  ukł adu  mechanicznego,  odpowiadają cą   liczbie  krawę dzi  jego grafu  biegunowego, n — jest  liczbą   stopn i  swobody  ukł adu  m echanicznego,  odpowiadają cą   liczbie  gał ę zi drzewa  Lagran ge'a  jego  grafu  biegunowego, w m   (m  =   1, 2,  ...,i,j,  . . . ) —je st  wskaź nikiem  wiersza  macierzy  Y(zco), k„(r  =   1 ( 2 , . . . .  i,j,  ..,) —  jest  wskaź nikiem  kolum n y  m acierzy  Y(/ co), ^ (oc  =   1, 2,  ..., «) —jest  elementem  macierzy  wierszowej  t S  odpowiedzi  ukł adu, 2Sp,(f!  =   1 =   2 , . . . ,  n) —jest  elementem macierzy  wierszowej  2 S  wzbudzenia  ukł adu, Obowią zują   również  zależ noś ci 1 S = 2 S - Y( / c o ), Y(/ft>)  =   [B  W •  ( - BT ) ] - ] ,  (max  \ v m   m ax  k r ). Wtedy  macierz  podatn oś ci  dynamicznych  przyjmie  postać  macierzy  kwadratowej: K  j m =   1,2,...,i,j,...,n, a  wskaź niki  wierszy  m  i  kolum n  r  macierzy  Y(/ co)  odpowiadają   wskaź nikom  zmiennych przepł ywowych  /S  i  biegunowych  a : r  *- *  a,  m+- *  / 3. Dowód;  Z  drugiego postulatu dla grafów  biegunowych  wynika  [B]„XL -   M acierz  sztyw- M E T O D A  F I K C YJN YC H   Ź R Ó D EŁ  Z M I E N N E J  BI E G U N OWE J  229 noś ci dynam icznych wszystkich  elem entów ukł adu m echanicznego jest diagonalną   [W]Z.XL. Z atem i  r  =   1 , 2 , ...,i,j,  . . . , «,  w  =   1 , 2 , . . . , / , ; ,  . . . , «. Z  za leż n o ś ci wyn ika ,  że p r zy  je d n ym  n ie z e r o wym  i- tym  elem en c ie   2 $i  m a c ier zy  wzbu d ze n ia   2 S  o t rzy- m u je m y co  implikuje  odpowiedn iość  wskaź n ików: r  • *- *  a,,  m  +• +   / ?. A A P odatn ość  dyn am iczn a  2j,YlJy  (/co) jest  wię c  elementem  macierzy  kwadratowej  Y(/a>) leż ą cym  w  i- tym  wierszu  / - tej  kolum n y  c.n.u. W  ogólnym  przypadku  funkcje  ^ Y, ^  są   zespolone  i m oż na je  zapisać jako mYlSJ(ico)  =   ^ 5 | lu b gdzie  y4(co) jest  współ czynnikiem  uwielokrotn ienia  am plitudy,  0(m)  jest  ką tem  przesu- nię cia  fazowego. D la  zachowawczych  ukł adów  mechanicznych  funkcje  podatn oś ci  dynamicznych  są rzeczywiste  i  stanowią   wprost  współ czynniki uwielokrotnienia mię dzy  i- tym wzbudzeniem harm on iczn ym  i  / - tą   odpowiedzią   ukł adu. 4.  Wyzn aczen ie  podatn oś ci  dynam icznej ukł adu  wycią gowego D la  ilustracji  m etody  rozważ ymy  górniczą   maszynę   wycią gową   [10],  której  model przedstawion o  n a  rys.  4. W  m odelu tym  wyodrę bn ion o: wirnik  silnika, maszyny  wycią gowej  ( i) , koł o pę dne (2), elementy  masy  dyskretn ego  m odelu  lewej  liny  (5, 5,  7), element masy  dyskretnego  modelu prawej  liny  (4), lewe  naczynie  wydobywcze5)  (P), prawe  naczynie  wydobywcze  z  ł adun- kiem  (6), element m asy  dyskretn ego  m odelu lewej  czę ś ci liny  wyrównawczej  (27),  elementy m asy  dyskretnego  m odelu prawej  czę ś ci  liny  wyrównawczej  (8, 10, 12), promień koł a pę d- n ego  (R), sztywność  skrę tną   wał u  pę dn ego  {13), sztywnoś ci  wzdł uż ne dyskretnego mode- lu  lewej  liny  (14,16,18,  20), sztywnoś ci  wzdł uż ne dyskretnego m odelu prawej  liny  (15,17), sztywność  wzdł uż ną   dyskretn ego  m odelu  lewej  czę ś ci  liny  wyrównawczej  (22), sztywnoś ci wzdł uż ne  dyskretnego  m odelu prawej  czę ś ci liny  wyrównawczej  (19, 21, 23). D o  dalszych obliczeń  przyję to  nastę pują ce  param etry,  wyznaczone  dla  rzeczywistej  górniczej  maszyny wycią gowej6)  : 5 )  Stosowana jest  również nazwa skip. S)  Projektowanej  dla  jednej  z kopalń. 230 J .  Ś WID ER,  J .  WOIN AROWSKl J  *  5,3  10- 3[M N ms2],  C 1 2  =   SOOtN IN m^d)" 1], h  =   5,2-   10" 2 [MN ms2], d  =   2,2[M N m- 1],  C 2  =   1,1 [M N m " 1],  C 3  =   l. ló lM N n r 1 ] ,  C 4  =   3,2[M N m- ^,i, C 5  =   0,72[MN m- 1],  m x   =   5,55- .10-3IM N s2m- 1],  m 2   =   19,2  •   10~ 3[M N - 1s2], m 3  =   1,1 •   l O - ^ M N s^ - 1 ] ,  w4  =   3,8  •   l O - ^ M N s^ - 1 ] ,  m s  =   32-   10- 3fM N s2m - 1], w6  =   5-   l O - ^ M N s^ - 1 ] . Tak przyję ty  model  opisano  grafem  obcią ż onym  X  (rys.  5).  G raf  ten  przekształ cono do grafu  z  drzewem  Lagrange'a fikcyjnych  ź ródeł  zmiennej  biegunowej  i§t,  (i =  1,2,... ...,12). Rys.  4 Rys.  5 METOD A  FIKCYJNYCH   Ź RÓDEŁ  ZMIENNEJ  BIEGUNOWEJ  231 Z godnie  z procedurą   podan ą   w pracy  [6] uzyskany  graf  obcią ż ony  X  przetransformo- wano  w  macierzowy  graf  przepł ywu  sygnał ów  X  (rys.  3) z opisują cymi  go  macierzami: u i S =   U ] ,  (i  =   1, 2,  . . . , 12) , , S =   [ lS j],  0 ' = 1 . 2 ,  . . . , 23) , 2 S =   [2Sj],  ( ; =   1, 2,  . . . , 23) , 2 S =   y,], ( / =   1,2,  . . . , 12) , W  =   D I AG   [ 0, 0053^ ,  0,052 p2,  0,00555 p2,  0,0038 p\ 0,00555 p2,  0,032 p2,  0,00555 p2,  0,0053  p2, 0,0192 p2,  0,0053 p 2 ,  0,0011 p 2 ,  0,0053  p2, 500, 2, 2, 3, 2,  1,1,  3,2,  1,1,  0,72,  2,2, 0,72,  1,16,  0,72], N ależy  zwrócić  uwagę ,  że  wierzchoł ek   t xi  grafu  obcią ż onego  o ^( rys.  5) jest wierzchoł - kiem  incydentnoś ci  krawę dzi  opisanych  niejednorodnymi  zmiennymi  przepł ywowymi i  biegunowymi.  Każ dy  pu n kt  grafu  biegunowego,  w  którym  incydentne  są   krawę dzie  opi- sane  niejednorodnymi  zmiennymi  nazywać  bę dziemy  «wierzchoł kiem  niejednorodnych zmiennych»,  a  każ dy  ko n t u r  zawierają cy  taki  wierzchoł ek —  «konturem  niejedno- rodnych  zmiennych». S t w i e r d z e n i e :  Jeż eli  graf  biegun owyX  posiada  wierzchoł ek  (lub  wierzchoł ki) niejednorodnych  zmiennych,  to  zawsze  macierze  rozpł ywu  sygnał ów  B i  — B r  grafu  X ii zawierają   mianowane  elementy  ujednoradniają ce  zmienne,  zwykle  róż ne  odjedn oś ci7). Powyż sze  stwierdzenie  wynika  z faktu,  że macierze  — B r  i B są   macierzami  współ czyn- ników  zmiennych  przepł ywowych  i  biegunowych  w równaniach  wyraż ają cych  pierwsze i  drugie  uogólnione  prawo  Kirchhoffa.  Redukują c  graf przepł ywu  sygnał ów  X  do jednego n ł uku  oraz  dokonują c  jego  inwersji  uzyskano  graf  pokazan y  na  rys.  6. [B'il- B1]]'' Rys. 6 Z  rys.  6 wynika  bezpoś redn io,  że  transmitancja  uzyskanego  ł uku  Y(p)  =   [B- Wx x ( —B T ) ] - 1  jest  macierzą   operatorowych  podatnoś ci  dynamicznych  modelu  ukł adu wycią gowego.  D la  przyję tych  param etrów  modelu  ukł adu,  oraz  przy  zał oż eniu p —  ico wyznaczono  n a  maszynie  cyfrowej  WAN G   funkcje  podatnoś ci  dynamicznej  mię dzy  sil- nikiem  maszyny  wycią gowej  a lewym  pustym  naczyniem  wydobywczym  —   lSl  Y lS ,  oraz prawym  naczyniem  wydobywczym  z  ł adunkiem   lSl Y lS6 . Wykresy  uzyskanych  funkcji  podatn oś ci  dynamicznych  górniczej  maszyny  wycią go- wej  (rys.  7)  pozwalają   wnioskować  o zachowaniu  się   odkształ ceń  charakterystycznych 7 )  P or. str. 276  [4] 232 J.  Ś WID ER, J.  WOJN AROWSKI Rvs.  7 wę zł ów  maszyny  wycią gowej  w  funkcji  czę stoś ci  wzbudzen ia,  co jed n ak  nie  był o  celem niniejszej  pracy. Skalę  czę stoś ci  uzyskanych  wykresów  ogran iczon o do  30  [r d s"1]  z uwagi  n a  t o , że poza tym  zakresem  wartoś ci  obydwu  funkcji  Y(co) są   bardzo  m ał e  [rzę du  W ' ^ t M N m ] " 1 ) ] . Jest  to  również  uzasadn ion e  faktem,  że  w  przedziale  0- 1- 30  [rd s"1]  znajduje  się   osiem pierwszych  niezerowych  czę stoś ci  rezonansowych  ukł adu.  Z  maszyny  cyfrowej  uzyskano poszukiwane  funkcje  (w  postaci  wydruku)  w  przedziale  0,1- ^- 500  [rds"*1]. 5.  Wnioski Opracowana  m etoda  wyznaczania  podatn oś ci  dynam icznych  jest  wygodnym  n arzę - dziem  w  prowadzeniu  numerycznej  analizy  drgań  zł oż on ych  ukł adów  m echanicznych. Charakteryzuje  ją : —  pominię cie etapu  sporzą dzenia  modelu  m atem atyczn ego  w  formie  równ ań  róż nicz- kowych  ruchu, —  prosta  postać  macierzowego  grafu  przepł ywu  sygnał ów  przedstawiają cego  relacje mię dzy  zmiennymi  przepł ywowymi  wzbudzenia  a  zmiennymi  biegunowymi  odpowiedzi ukł adu, —  ł atwość  wprowadzenia  zmian  do program u  obliczeń  maszyny  cyfrowej  przy  mody- fikacji  param etrów  ukł adu, —-  szybkie  uzyskiwanie  wyników  num erycznych  stanowią cych  elementy  m acierzy podatn oś ci. METOD A  FIKCYJNYCH  Ź RÓDEŁ  ZMIENNEJ  BIEGUNOWEJ  233 W  szczególnoś ci,  wyznaczone  dla  przyję tego  modelu  górniczej  maszyny  wycią gowej funkcje  podatn oś ci  dyn am iczn ych  (rys.  7)  umoż liwiają   ocen ę : —  czę stoś ci  drgań  wł asnych i  szerokoś ci  pasm  rezonansowych, —  wartoś ci  liczbowych  podatn oś ci  dynamicznych  mię dzy  silnikiem  maszyny  wycią - gowej  a  lewym  i  prawym  naczyniem  wydobywczym  w  analizowanym  poł oż eniu  ukł adu. P rzedstawion a  m etoda  wyznaczania  podatn oś ci  dynamicznych  może  być  stosowana w  specjalistycznych  biurach  projektowych,  a  uzyskane  wyniki  numeryczne  mogą   zostać wykorzystane  w  projektowan iu  górniczych  maszyn  wycią gowych  do  duż ej  gł ę bokoś ci cią gnienia  urobku. Literatura  cytowana w  tekś cie 1.  Y.  TAKAHASHI,  H . J.  RABIN S,  D .  M.  AUSLAN DER, Sterowanie  i systemy dynamiczne,  WN T,  Warszawa 1976. 2.  R.  E.  BISH OP, G .  M .  L.  G LAD WELL,  S.  MICHAELSON , Macierzowa analiza drgań ,  WN T,  Warszawa  1972. 3.  V. STREJC,  M.  SALAMON, Z .  KOTEK,  M.  BALD A, T eoria regulacji automatycznej,  WN T  Warszawa  1962. 4.  J.  WOJN AROWSKI,  Grafy i liczby strukturalne jako  modele  ukł adów mechanicznych,  Politechnika  Ś lą ska PTMTS  Oddz.  G liwice z. 38, G liwice 1977. 5.  J.  WOJN AROWSKI, A. BU C IIAC Z , Zastosowanie grafów i liczb strukturalnych  wyż szej kategorii w modelo- waniu  ukł adów mechanicznych, XVI Sympozjom  «Modelowanie w Mechanice», PTMTS Oddz.  Gliwice^ Beskid  Ś lą ski, marzec  1977,  s.  505—517. 6.  J.  Ś WID ER,  J.  WOJN AROWSKI,  Grafy przepł ywu sygnał ów w modelowaniu  kaskadowej  struktury  ukł adu wycią gowego,  (w tyra  zeszycie), s. 215—223. 7.  J. S.  MASON ,  H . J.  ZIMMERMANN, Elektronie  Circuits,  Signal and Systems, John  Wiley & Sons,  Inc., N ew  York —L o n d o n  1960. 8.  H .  E.  KOEN IG , W.  A.  BLACKWELL,  Electromechanical  System  T heory,  McG raw — H ill'  Book Com- pany, N ew  York  1961. 9.  J.  WOJN AROWSKI,  Graf jako  ję zyk  struktury  ukł adu, Zeszyty  N aukowe  Politechniki  Ś lą skiej,  Mecha- nika z. 52,  G liwice  1973,  s.  3—21. 10.  Praca  zbiorowa  pod red.  J.  WOJN AROWSKIEG O, Pewne problemy modelowamia  wieloliniowych  ukł adów wycią gowych,  G liwice  1976. P  e  3  io  M  e METOfl  4>HKTHBHBIX  HCTOHHHKOB  nOJIIOCH Ofl  IIEPEMEHHOft KAK  CIIOCOE  OnPEflEJIEH H iI flH H AM H ^ECKOH  nOflATJIHBOCTH CJIOKH BIX  MEXAHIWECKHX CHCTEM B  pa6oT e3  H cnoiu.3yH  MeTOfl  cbHKTHBHbix  H C TO^H H KOB  n ojaocH oii  nepeiweimoH   narpy>i