Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  16  (1978) APROKSYMACJA  N IEU STALON EG O POLA  TEMPERATURY W CIAŁACH   WALCOWYCH I KULISTYCH JAN   T A L E R  (KRAKÓW) Wykaz  waż niejszych  oznaczeń a  promień wewnę trzny  walca, b  promień zewnę trzny  walca, c  ciepł o wł aś ciwe, C 0 ,C y ,C 2   stał e, %•   1 F o  =   liczba  F ouriera, J 0 (x),  J x (x)  funkcje  Bessela  I  rodzaju,  odpowiednio  rzę du  zerowego  i  pierwszego, b k  —  —  stosunek  promienia zewnę trznego  walca  do  wewnę trznego, a / = i - < 5 ( 0, m, n  liczby naturalne, q  strumień  cieplny  na  wewnę trznej  powierzchni  walca, Q  =  2naq r  promień, M =  —  promień  bezwymiarowy, a S  powierzchnia  ograniczają ca  ciał o  o  obję toś ci  V, t  czas, T *  temperatura dokł adna, T   temperatura przybliż ona, 7^  temperatura począ tkowa, U  temperatura zewnę trznej  ś cianki walca, V  obję tość  ciał a, bezwymiarowa  temperatura zewnę trznej  ś cianki  walca, qa Y 0 (x),  Yi(x)  funkcje  Bessela  I I rodzaju  odpowiednio rzę du  zerowego  i  pierwszego, <5(/)  gł ę bokość wnikania ciepł a (rys. 1), S V  "  1 +  — , a ]L (T *  T   ") 0* =   .•   temperatura  bezwymiarowa,  dokł adna, qa X(T ~T 0 ) 0  =   temperatura bezwymiarowa,  przybliż ona, qa K  =   współ czynik  wyrównania  temperatury, CQ A  współ czynnik przewodzenia ciepł a, ft„,  dodatnie  pierwiastki  równania  charakterystycznego, g  gę stość  materiał u  walca, 248  J.  T ALE R 1.  Wstę p D okł adn ość analitycznych m etod przybliż onych  w zn aczn ym  stopn iu  zależy  od  funkcji aproksymują cej  dokł adn e pole  tem peratury.  Brak  reguł   kon struowan ia  rozwią zań  przy- bliż onych  utrudn ia praktyczn e  zastosowanie  wymienionych  m etod.  Z tych  też wzglę dów, w  ostatnich  latach  prowadzon e  są  prace  n ad zasadam i  wyboru  rozwią zań  przybliż onych zapewniają cych  dostateczną   ich dokł adn ość i  eliminują cych  z  obliczeń  przypadkowoś ć. Oryginalne  procedury  kon struowan ia  rozwią zań  przybliż onych  w  m etodzie  K AN TO- ROWICZA  prezentowane  są   w  pracach  KERRA  [1]  oraz  KRAJEWSKIEG O  [2,3]. W  niniejszej  pracy przedstawiono  sposób  wyboru  rozwią zań  przybliż onych  w m etodach wykorzystują cych  koncepcję   gł ę bokoś ci  wnikania  ciepł a  [4- 8],  oparty  n a m etodzie  uś red- niania  funkcjonalnych  poprawek  [9,  10]. Zwykle  funkcja  aproksymują ca  dokł adn y nieustalony  rozkł ad  tem peratury jest  wielo- mianem  drugiego  stopn ia  współ rzę dnej  r  [5, 10, 11] niezależ nie  od  tego  czy  rozważ ane ciał o jest pł askie, walcowe  czy kuliste.  Tak  prosta  funkcja  przybliż ają ca  w wielu  przypad- kach  nie zapewnia  dostatecznej  dokł adn oś ci  rozwią zań,  dlatego  też  w  dotychczasowej literaturze  znane  są   metody  konstrukcji  funkcji  przybliż ają cych  pozwalają cych  otrzym ać rozwią zania  bardziej  dokł adn e,  szczególnie  w  przypadku  ciał   pł askich  [4, 12]. Również w  przypadku  ciał   walcowych  i  kulistych,  jak  wykazał   LARD N ER  [13, 14],  paraboliczn y rozkł ad  tem peratury  wymaga  modyfikacji. Z apropon owan a  przez  LARD N ERA  modyfikacja,  ja k  wykazan o  w dalszej  czę ś ci  pracy, jest  w  wielu  przypadkach  zawodna.  Z  tych  też wzglę dów  przedm iotem  niniejszej  pracy jest  wybór  funkcji  przybliż ają cych  dokł adn e,  jedn owym iarowe,  n ieustalon e  pole  tem pe- ratury  w  ciał ach  walcowych  i  kulistych. 2.  Konstrukcja  przybliż onego  rozkł adu t em perat u ry Przy  konstrukcji  funkcji  przybliż ają cej  dokł adn y  rozkł ad  tem peratury  wykorzystana zostanie  m etoda  uś redn ian ia  funkcjonalnych  poprawek  [9]. Wymieniona  m etoda jest  stosowana  do przybliż onego  rozwią zywania  równ ań róż nicz- kowych  nieustalonego  przewodzenia  ciepł a  [10]. N ależy  jed n ak  podkreś lić,  że  funkcją przybliż ają cą   dokł adny  rozkł ad  tem peratury  jest  parabola  drugiego  stopn ia  niezależ nie od  kształ tu  ciał a  [10], co sprawia,  że dokł adn ość otrzym ywanych  wyników  w  przypadku ciał   walcowych  i  kulistych  nie jest  zbyt  duż a. W  niniejszej  pracy  równanie  przewodzen ia  ciepł a (2.1)  div(A  grad  2"*) =  co—- —, ot w  oparciu  o  m etodę   funkcjonalnych  poprawek  przybliż ono  równ an iem 1  f  8T   . . . (2.2)  div(A grad  T ) = cQy  J ~Jfdv- v Łatwo  zauważ yć,  że lokalną   szybkość  zm ian  tem peratury  w  czasie  w  równ an iu (2.1) zastą piono  w  równ an iu  (2.2) szybkoś cią   uś redn ioną   p o  cał ej  obję toś ci  ciał a. AP R O K SYM AC JA  N IEU STALON EG O  P OLA  TEM PERATU RY  249 Ponieważ  ś rednia  szybkość  zmian  temperatury  ciał a  nie zależy  od  współ rzę dnych (CQ =  const),  wię c  z  (2.2)  wynika,  że (2.3)  div(2  grad  T )  =  / ( / ) , gdzie (2.4) W  celu  wykazania  zwią zku  równania  (2.2)  z metodą   bilansu  cieplnego  [4], równanie (2.3)  zostanie  scał kowane  p o  obję toś ci (2.5)  J  div(A grad  T )dV  = f(t)  J  dV. v  v Stosują c  do przekształ cenia  lewej  strony  równania  (2.5)  reguł ę   G aussa- Ostrograds- kiego i uwzglę dniając  w (2.5) zależ ność  (2.4), otrzymuje  się   równanie  bilansu  cieplnego dla ciał a  o  obję toś ci  V  ograniczonego  powierzchnią   S  i (2.6)  J  M grad  7WS1 =   J CQ~dV, s  v Tak  wię c równanie  (2.6) jest  równoważ ne  równaniu  (2.2) pod  warunkiem,  że tempera- tura  przybliż ona  speł nia  równanie  (2.3).  Przy  praktycznym  rozwią zywaniu  zagadnień nieustalonego  przewodzenia  ciepł a  równanie  (2.3)  pozwala  wyznaczyć  funkcję   przybliż a- ją cą   dokł adny  rozkł ad  tem peratury,  natomiast  równanie  (2.2)  lub (2.6) — funkcję ,  f{t). N ależy  podkreś lić,  że  równanie  (2.3) może  być  stosowane  do  okreś lania  temperatury przybliż onej  w  innych  m etodach niż  omówione  wyż ej  metody  uś redniania  funkcjonalnych poprawek  i bilansu  cieplnego. Z  uwagi  na fakt,  że  metody  przybliż onego  rozwią zywania  równań  róż niczkowych wykorzystują cych  gł ę bokość  wnikania  ciepł a stosowane  są   dotychczas  do  równań jedno- wymiarowych,  wię c równanie  (2.3)  zapisane  dla  pola jednowymiarowego  przyjmuje  postać P o  dwukrotnym  scał kowaniu  po r  (2.7)  przy  zał oż eniu, że  X =  const  otrzymuje, się przybliż ony  rozkł ad  tem peratury: (2.8)  T  m j  C 0 r 2   + d  r+C 2 ,  gdy  n =  0 (ciał a pł askie), (2.9)  T  -   - T C 0 r 2   + C 1 lnr+  C 2   gdy  w  =  1  (ciał a  walcowe), (2.10)  T  =  \   C 0 r 2 -   ^ -   + C 2 ,  gdy  n =  2  (ciał a  kuliste), gdzie r  - 9  M ech .  Teoretyczn a  i  Stosowan a  2/ 78 250 J.  T ALE R Równanie  (2.2) przyjmuje  postać r"  8r  \ M   8r ~ C e n atom iast  równanie  (2.6) (2.12) 8T 8r ' + 1  (W l - r ?+ l  J  8t r2 r 8T „, cQ—r n dr. r,   J  Ot 3.  P rzykł ad  obliczeniowy Z astosowanie  przedstawionej  procedury  zostanie  zilustrowan e  n a  przykł adzie  obli- czania  nieustalonego  pola  tem peratury  w  nieskoń czenie  dł ugim  wydrą ż onym  walcu,  któ- rego zewnę trzna ś cianka jest izolowana cieplnie, nagrzewanym  n a wewnę trznej  powierzchni stał ym  strumieniem  cieplnym.  Tem peratura  począ tkowa  walca  jest  stał a  i  niezależ na  od prom ien ia. P ole  tem peratury  w  walcu  okreś lone  jest  równ an iem  róż niczkowym  przewodzenia ciepł a (3- D warunkam i  brzegowymi (3.2) (3. 3) 8T * ST * JL JL I   dT *\ =   r  8r\   8r  \ ' dr 8T * 8r =   0 , Ina =   - 9 , oraz  warunkiem  począ tkowym (3.4) = T0. Wprowadzają c  współ rzę dne  bezwymiarowe  okreś lone  w  wykazie  oznaczeń  otrzymu- je  się (3.5) (3.6) (3. 7) (3. 8) 0 d* 86* ~dR 80* 8R 8 6 * =  0 -   - I, 8R 0*|F O - O  =   O . AP R O K SYM AC JA  N I EU STALON EG O  P OLA  TEM P ERATU RY 251 D okł adn e  rozwią zanie  sformuł owanego  problem u  m oż na  znaleźć  w  pracach  [15,  16] a  także  ł atwo otrzym ać je  z wyraż enia  (5.5.16) pracy  [17] wykorzystują c  zależ ność  (5.5.19). W  niniejszej  pracy  przybliż one  pole  tem peratury  okreś lone  zostanie  za  pomocą   metody bilansu  cieplnego,  okreś lonej  równ an iem  (2.12),  które  jest  równoważ ne  równaniu  (2.11). Rys.  1.  Rozkł ad  temperatury  w  wydrą ż onym  walcu  nagrzewanym  na  wewnę trznej  powierzchni  stał ym strumieniem cieplnym 1  cylinder,  2  izolacja  cieplna,  T i  i  T u  —  tem peratura w  pierwszej  i  drugiej  fazie  wnikania  ciepł a P odobn ie  jak  w  in n ych  m etodach  stosują cych  koncepcję   gł ę bokoś ci  wnikania  ciepł a pro- ces  wn ikan ia  ciepł a  podzielon y  zostanie  n a  dwie  fazy.  R ozkł ad tem peratury  w  I  i  I I  fazie wn ikan ia  ciepł a  przedstawion y  jest  schematycznie  n a  rys.  1.  R ównanie  bilansu  cieplnego (2.12)  w  pierwszej  fazie  wn ikan ia  ciepł a,  zapisane  w  formie  bezwymiarowej  m a  postać (3.9) R 8R dFo / ORdR. U wzglę dniając  warun ek  brzegowy  (3.7) oraz  warun ki  wynikają ce  z  definicji  gł ę bokoś ci wn ikan ia  ciepł a  [5],  t j. (3.10) (3.11) równ an ie  (3.9)  m a  po st ać (3.12) dR =   o, dFo 'i / 0RdR  =  1, 252  J.  T AL E R Przybliż ony  rozkł ad  temperatury  zapisany  w  formie  bezwymiarowej,  zgodnie  z  (2.9) okreś lony  jest  wyraż eniem 1 (3.13)  6 = - T C 0 R 2   +  C 1 \ nR+C 2 . Po wyznaczeniu  stał ych C o , Ct  i C2  z warunku  brzegowego  (3.7) oraz warunków  (3.10) i  (3.11)  i ponownym  ich podstawieniu  do  (3.13),  przybliż ony  rozkł ad tem peratury w  I  fa- zie  wnikania  ciepł a  okreś lony  jest  wyraż eniem (3.14)  0  =  - X 0 =  0,  rj^ R^ k. Podstawiają c  (3.14) do (3.12) i cał kują c otrzymane równanie róż niczkowe przy  warunku począ tkowym otrzymuje  się (3.15) D la  wię kszych  wartoś ci  t], a  wię c  i  wię kszych  wartoś ci  liczby  F ouriera, z  (3.15)  otrzymuje się (3.16)  » ? 2 « 8 F o . Temperatura  wewnę trznej  powierzchni  rury  d„ dla  wię kszych  wartoś ci  F o  wynosi (3.17)  e.M  - U wzglę dniając  w  (3.17)  zależ ność  (3.16)  otrzymuje  się   ostatecznie (3.18)  d s   =  01, . ,  w yln f- j^ o)  =   y l Rozwią zanie  dokł adne  dla  wię kszych  wartoś ci  F o  m a  postać  [18] (3.19)  6 S   =  I l n ( 2 , 2 4 F o ) . Ponieważ przybliż one  okreś lanie pola  tem peratury w  wydrą ż onym  walcu  nagrzewanym od .wewną trz  w  I  fazie  wnikania  ciepł a jest  identyczne jak  w przypadku  pustki  cylindrycz- nej,  wię c  jest  moż liwe  porównanie  otrzymanych  wyników  z podanym i  przez  LARD N ERA i  P OH LE'A  W pracy  [13]. LARD N ER i  POH LE stosują c  przybliż ony  rozkł ad tem peratury okreś- lony  wyraż eniem (3.2o)  r- -g  g j f f A r  =  o, r\ AP R OKSYM AC JA  N IEU STALON EG O  P OLA  TEM PERATU RY 253 otrzym ali  nastę pują cą   zależ ność  dla  Fo(rj) (3.21)  F o  =   -   [ ( 72^ - 96*7  +   36) ^ 7?- 13 D la  wię kszych  wartoś ci  F o tem peratura powierzchni  pustki  okreś lona jest  zależ noś cią (3.22) 0s  =   i l n ( 3 , 3 2 F o ) . Z  porówn an ia  przedstawion ych  rozwią zań  wynika,  że  rozwią zanie  (3.18)  otrzymane w  niniejszej  pracy  lepiej  aproksymuje  rozwią zanie  dokł adn e (3.19)  w  porówn an iu  z  wyni- kiem  (3.22)  otrzym an ym przez  LARD N ERA  i  P OH LE 'A.  Stwierdzenie  to jest  sł uszne dla wię k- szych  wartoś ci  liczby  F ouriera. 2.0 1.6 1.2 0.6 0,4 0,0 - - i  / —  —  3 . - > 1 - - - 1 1  — - • 2.0 4,0 6.0 8,0  FO 10.0 Rys. 2. Rozkł ad  temperatury  wokół  pustki cylindrycznej w zależ noś ci od  czasu 1  —  niniejsza  praca  (3.14), 2  —  m etoda Lardnera  i P ohle'a (3.20), 3  —  rozwią zanie  dokł adne [20] P orówn an ie  wartoś ci  tem peratury  okreś lonych  wzorem  (3.14)  otrzymanym  w  niniej- szej pracy  z rozwią zaniem  LARD N ERA  i  P OH LE 'A  (3.20)  oraz rozwią zaniem  dokł adnym  [20] dla  mniejszych  wartoś ci  liczby  F o u riera  F o , dla  róż n ych  wartoś ci  prom ien ia i?  przedsta- wion o  n a  rys.  2.  Z  przedstawion ego  porówn an ia  wynika,  że  dla  mniejszych  wartoś ci  F o rozwią zanie  otrzym an e przez  LARD N ERA  i  P OH LE 'A  jest  dokł adniejsze  od  przedstawionego w  niniejszej  pracy. N ależy jedn ak  podkreś lić,  że  w  m iarę  upł ywu  czasu  bardziej  dokł adn e staje  się  rozwią - zanie prezen towan e w pracy. Z arówn o rozwią zanie  (3.14) jak  i  (3.20) znacznie lepiej  aprok- symują   rozwią zanie  dokł adn e  w  porówn an iu  z  wynikami  otrzymanymi  przy  zał oż eniu parabolicznego  rozkł adu  tem peratury,  o  czym  ś wiadczy  porówn an ie  przeprowadzon e 254  J.  T ALE R w pracy  [13]. Widać  to również  z rys.  3, gdzie  porównano wartoś ci  temperatury obliczone wedł ug  wzorów  (3.14)  i  (3.20) z temperaturą   okreś loną   parabola  drugiego  stopnia  [13] (3.23)  °- ^ h)^ -R^  l**«l> gdzie  t] okreś lone  jest  równaniem  [13] (3.24)  24  F o  =   ( J ? - 1 )3 + 4 ( J J - 1 )2 . N astę pnie rozważ ona zostanie druga faza  wnikania  ciepł a  (rys.  1), która rozpoczyna się z  chwilą   gdy  gł ę bokość  wnikania  ciepł a  staje  się   równa  gruboś ci  ś cianki  walca,  tj.  gdy r\  =  k. Czas,  po  upł ywie  którego  nastę puje  druga  faza  wnikania  ciepł a  oznaczmy  przez  t lt a  odpowiadają cą   mu liczbę   F ouriera przez F o j. Wartoś ci  F oj  ł atwo wyznaczyć  w każ dym z  rozważ anych  przypadków  podstawiają c  rj =  k w równaniach  (3.15),  (3.21)  i  (3.24). Równanie bilansu  cieplnego  otrzymuje  się  z równania  (2.12) po  uwzglę dnieniu,  że t\  —  a, r 2   -   b oraz  warunku  brzegowego  (3.2).  Przekształ cają c  otrzymane  tak  równanie  do  po- staci  bezwymiarowej  otrzymuje się k (3.25)  ~ -  |  ORdR  = 1 ,  F o >  F o Ł . at 0   J Podobnie jak  w pierwszej  fazie  wnikania  ciepł a  rozkł ad temperatury  w I I fazie  przybli- ż ony zostanie funkcją   (3.13), Po wyznaczeniu  stał ych C o ,  C t i C2 z warunków  brzegowych (3.6) i  (3.7)  oraz z warunku  (rys. 1) (3.26)  0\ R=k   =   X(M~ T o)  =   w (jCŁ i  ponownym  ich podstawieniu  do  (3.13), rozkł ad  temperatury  okreś lony jest  wyraż eniem: n r 7 .  n_}_  1  2  k 2  .  fc2lnfc  1  k 2 {   '  2 k 2 - \  k 2 - l  k 2 - l  2k 2 - \ F o  >  F o x ,  1 ̂   R ^ k. Podstawiają c  (3.27)  do  (3.25) i  cał kują c  otrzymane  równanie  róż niczkowe  przy  wa- runku  począ tkowym W \ FO =F O1   =   0 otrzymuje  się (3.28)  w =   ^ °  *°- V-,  F o > F o i, fc  l gdzie  F o x  wyznaczone  z  (3.15)  po  podstawieniu  rj =  k  wynosi (3.29)  F o 1 = l( / AP R OKSYM AC JA  N IEU STALON EG O POLA  TEMPERATU RY  255 P o  podstawien iu  (3.28)  do  (3.27)  z  uwzglę dnieniem  (3.29)  pole  tem peratury  w  drugiej fazie  wn ikan ia  ciepł a  okreś lone  jest  wyraż eniem  • 7?/   '  ( & 2 - l )2  2(A;2- 1)  4k 2- \ ^ k2 F o  >  F O i. D okł adne  rozwią zanie  rozważ anego  zagadn ien ia  m a  postać  [15,  16] (3.31)  0*  =   0 ą +0 n , gdzie «, „   .  k  ,  I  k\   k  ,  ,  / c i ?  A;  +  l  2 (3.32)  e ^ ^ ^ l ^ j + l /   + (3.33)  0„  =  - 7 mml gdzie C m (k)  =   - M a  / u m  są  dodatn im i pierwiastkam i  równ an ia  charakterystycznego =   0. Z  porówn an ia  (3.30)  z  (3.31)  wynika,  że  rozwią zanie  przybliż one  w  drugiej  fazie  wni- kan ia  ciepł a jest  identyczne z  rozwią zaniem  dokł adn ym  6„  okreś lają cym  pole temperatury w  stanie  quasi- stacjonarnym.  Bł ąd  spowodowany  pominię ciem szeregu  nieskoń czonego  0„ w  rozwią zaniu  (3.31)  dla  róż n ych  wartoś ci  liczb  F ouriera i stosunku  promienia zewnę trz- nego  do  wewnę trznego  walca  m oż na  wyznaczyć  z  rys.  5 pracy  [15].  W przypadku  rury o  stosun ku  prom ien ia  zewnę trznego  d o  wewnę trznego  równym  k  =   5/ 3,  maksymalna wartość  —£ • R= l wynosi  |  -   — " / i . R = l 0,085 zgodnie z  pracą  [15]  i wystę puje  na  po- czą tku  drugiej  fazy  wn ikan ia  ciepł a,  tj.  dla  F o  =   0,073.  Wartość  — \ szybko  jed- \ n ak  maleje  i  dla  F o  =   0,2 jest  praktyczn ie  równ a  zeru, czyli  od  tego  m om entu w  ś ciance rury  ustala  się  quasi- stacjonarne  pole  tem peratury.  D la  porówn an ia  rozważ my  drugą fazę  wnikania  ciepł a  przy  aproksymacji  pola  tem peratury  wielomianem  drugiego  stopnia od  r i wedł ug  metody  LARD N ERA.  W pierwszym  przypadku  pole  tem peratury  przybliż one zostanie  wielomianem  i (3.34)  0 =  Cotf  + C^ R +  Ci. P o  wyznaczeniu  stał ych C o ,  C t  i  C2  z  warun ków  brzegowych  (3.6), (3.7) i  (3.26) i po- nownym  ich  podstawien iu  do  (3.34)  otrzymuje  się (3- 35)  6  -   *  (lc~R)*+w. Z\ K 1) 256 J.  TALER P odstawiają c  (3.35)  do  (3.25)  i  cał kują c  otrzym an e  równ an ie  róż niczkowe  przy  wa- run ku  począ tkowym otrzymuje  się (3.36) B l  = 0 lCFb - Fo j) A: 2 - l  ' gdzie  FO]  wyznaczone  z  (3.24),  p o  uwzglę dnieniu,  że  v\   =   k,  wynosi (3.37) U wzglę dniając  (3.36)  w  (3.35) pole  tem peratury  w  drugiej  fazie  wn ikan ia  ciepł a  okreś- lone jest  wyraż eniem (3.38) / c 2 - l  12  Jfc+ 1 Fo 1.0  1,1  1.2  1,3  W  15  R  1.6  1,6(6) Rys.  3.  Rozkł ad  temparatury  w  wydrą ż onym  walcu  w pierwszej  i drugiej fazie  wnikania ciepł a  dla  róż nych liczb  F ouriera 1 —  niniejsza  praca  (3.14)  i  (3.30),  2  —  metoda  Lardn era  i  P ohle'a  (3.20)  i  (3.43),  3 —  paraboliczny  rozkł ad  tem peratury  (3.23) i  (3.38),  4 —  rozwią zanie  dokł adn e  (3.31) W drugim przypadku przybliż one  pole  tem peratury zgodn ie z m etodą   LARD N ERA  m a postać (3.39)  0  -   C 0 (k- R)Hn l~\   +  d . AP R O K SYM AC JA  N IEU STALON EG O  P OLA  TEM PERATU RY  257 P o  wyznaczeniu  stał ych  z  warun ków  brzegowych  (3.7)  i  (3.26)  i  ponownym  ich  podsta- wieniu  do  (3.39)  otrzymuje  się (3.40)  0  -   77- P odstawiają c  (3.40)  do  (3.25)  i  cał kują c  otrzym an e  równanie  róż niczkowe  przy  wa- run ku  począ tkowym  WJFC^FO!  =   0  otrzymuje  się (3.31)  " gdzie  F o i  wyznaczone  z  (3.21), p o  podstawien iu  i]  =  k,  wynosi (3.42)  F oi  -   [(72 fc2 -   96A:+ 36) In A:- 13A;*+ 36fc2  -   32yt+ 9] x Podstawiają c (3.41)  do  (3.40) i uwzglę dniając  (3.42) otrzymuje się (3- 43)  0 =  TTTM F oiL. . Ł _ i v( *- *) a W - #) +^ r - W 2k 2 - 96k  +  36)lnk r - I3k 4 +36k 2 - 32k+9][12(k i - l)(l- k)x(2lak+k~l)]- 1 , Fo N a  rys.  3 przedstawion o  pole  tem peratury w  wydrą ż onym  walcu  o stosunku prom ienia zewnę trznego  do  wewnę trznego  k  — 5/ 3.  Czas  bezwymiarowy  F o x , p o  którym  nastę puje druga  faza  wn ikan ia  ciepł a zależy  od funkcji  przybliż ają cej;  dokł adny rozkł ad temperatury i  obliczony  wedł ug wzorów  (3.29),  (3.37)  i  (3.42)  dla  k  — 5/ 3  wynosi  odpowiednio  F o x  = =   0,0730,  F o t  =   0,0864 i  F Oi =  0,0358.  Z porówn an ia przedstawionego  n a  rys.  3 wynika że  w  drugiej  fazie  wn ikan ia  ciepł a  rozwią zanie  przedstawione  w  niniejszej  pracy  najlepiej aproksymuje  rozwią zanie  dokł adn e.  N ajmniej  dokł adn y jest  rozkł ad  tem peratury  wyzna- czony  wg  m etody  LAR D N ER A. 2F o N a  rys.  4  i  5  przedstawion o  porówn an ie  funkcji  6 q ~  73—^- obliczonej  dla  drugiej 2F o fazy  wn ikan ia  ciepł a  wedł ug  wzorów  (3.30),  (3.38  i  (3.43) z  fu n kcją d q -   p —= -   obliczoną wedł ug wzoru  (3.32). Z  przedstawion ych  rysun ków  wynika,  że  sposób  aproksymacji  pola  tem peratury  za- propon owan y  w  niniejszej  pracy  zapewnia  najwię kszą   dokł adn oś ć, gdyż  w  stanie  quasi- stacjonarnym przybliż ony  i dokł adn y rozkł ad tem peratury są  identyczne. N ależy podkreś lić, że jest  to  cecha  bardziej  ogóln a  przedstawionego  w  pracy  sposobu  aproksymacji  dokł ad- n ego pola  tem peratury. I den tyczn ość przybliż onego  pola tem peratury okreś lonego  wg  (2.3) i  dokł adn ego wynika  stą d,  że  w  stanie  stacjonarnym  funkcja  f(t)  jest  równa  zeru  i rozwią - zanie przybliż one  okreś lone  wedł ug  (2.3) i  dokł adn e w  stanie  stacjonarnym  są  identyczne. Powyż sze  uwagi  n ie  dotyczą   in n ych  sposobów  aproksymacji  pola  tem peratury  omó- wionych  w  niniejszej  pracy.  ,.  . 0.W  ~ - V 4: - 0 . 06 \ \ \ A \ \ — ~- -   2 -   3 W  U U  13  1.4  1.5  1.6  1.6161 0.6 a." 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 -   0.1 -   0 . 2 v\ \ \\   \   N \  \\\ • \\  \ \ k< 2,50 \ -   2 -   3 " ^ 1.0   1,25   1.50   1.75   2 , 0 2 . 5 0 2F o Rys. 4 i 5. Zmiany  funkcji  fl,-   w zależ noś ci  od  promienia .  fc  — 1 /  — niniejsza  praca według (3.30)  i rozwią zanie  dokł adne (wedł ug 3.32), 2 —  metoda Lardnera  i Pohle'a według (3.43), 3 —  para- boliczny  rozkł ad temperatury  według (3.38) [ 258] AP R O K SYM AC JA  N IEU STALON EG O  P OLA  TEM PERATU RY  259 4.  Om ówien ie innych  p rac Sposób  wyboru  funkcji  aproksymują cej  nieustalony  rozkł ad  temperatury  w  ciał ach walcowych  i  kulistych  przedstawił   LARD N ER  i  POH LE  [13,  14]. W  wymienionych  pracach  przybliż ony  profil  temperatury  zaleca  się   wybierać  w  po- staci (4.1)  T {r, t) =  W (r)lnr w  przypadku  ciał   walcowych  oraz  postaci (4.2)  T (r,t)=W {r)- l, w przypadku  ciał   kulistych,  gdzie  W (r) jest  wielomianem  współ rzę dnej r. O  ile  w przypadku  ciał  kulistych  sposób  ten nie budzi  zastrzeż eń, to w przypadku  ciał walcowych  nasuwają   się  pewne  wą tpliwoś ci. LARD N ER i P OH LE  [13] analizują c  pole  temperatury wokół  pustki  cylindrycznej  nagrze- wanej  stał ym  strumieniem  cieplnym,  aproksymowali  rozkł ad  temperatury  wyraż eniem (4.3)  T   =   - .  /   \   °  - L . T =  0, Łatwo sprawdzić, że wybierają c  profil  temperatury w postaci (4.1) z uwzglę dnieniem, że W (r)=  Co+dr+Czr 2 i  okreś lając  współ czynniki  C o , Ci i C2 z warunków  brzegowych  (3.3)  oraz  (3.10) i (3.11) zapisanych  w postaci  wymiarowej  nie  otrzyma  się  wyraż enia  (4.3).  Łatwo  natomiast je uzyskać,  okreś lając  rozkł ad  tem peratury  wyraż eniem: (4.4)  r - i  okreś lając  stał ą   C z  warun ku  brzegowego  (3.3). Zauważ my, że wybór  m noż nika logarytmicznego w (4.4) nie jest jednoznaczny. W miejsce In  F m o ż na wybrać  n p .  In- r-lub  I n —?  ^ - , gdzie p >   1 i warunki brzegowe  wynika- a+o  o  p{a+o) ją ce z definicji  gł ę bokoś ci wnikania  ciepł a, tj.  (3.10) i (3.11) bę dą   nadal  speł nione. P on adto  zachodzi  pytan ie, jak  wybrać  przybliż ony  rozkł ad  temperatury  w  drugiej fazie  wnikania  ciepł a, gdy  warunki  brzegowe  n a  zewnę trznej  i  wewnę trznej  powierzchni rury  są  niejednorodne» Omówione  tu  trudnoś ci  potwierdza  czę ś ciowo  sposób  w jaki  uwzglę dnione  został y zalecenia  LARD N ERA  i  P OH LE'A  W pracy  [19].  P oza  tym  dokł adność  aproksymacji  pola tem peratury  w I I  fazie  wnikania  ciepł a jest niedostateczna. 260  '  J.  T ALE R P roblemy  wyboru  funkcji  aproksymują cej  w  przypadku  ciał   walcowych  porusza  rów- nież  VU JAN OVIC  w pracy  [7]. Autor  stwierdza,  że przedstawion a  przez niego  m et oda  przy- bliż onego  rozwią zywania  równ ań  róż niczkowych  n ieustalon ego  przewodzen ia  zapewnia dostateczną   dokł adn ość  przy  aproksymacji  pola  tem peratury  wielomianem  I I  stopn ia, niezależ nie  od  kształ tu  ciał a  i  demonstruje  to  okreś lając  n ieustalon e  pole  tem peratury w peł nym walcu  ogrzewanym  n a powierzchni  stał ym strum ieniem  cieplnym.  N a  podstawie rozwią zania  tego  samego  problem u  zostanie  wykazane,  że  stwierdzenie  to  jest  niepraw- dziwe. P ole  tem peratury  w  walcu  okreś lone  jest  przez  równ an ie  róż niczkowe  (3.1),  warun ki brzegowe (43) =  0, gdzie  b  oznacza  prom ień  zewnę trzny  walca,  i  warun ek  począ tkowy (4.5)  r | , _ 0  -   0. Równanie  bilansu  cieplnego  (2.12)  w  I  fazie  wn ikan ia  ciepł a,  uwzglę dniając  że  w  roz- waż anym  przypadku  r x   =   b — d(t)  i  r 2   =  b,  m a  postać 6 (4.8) 4 Wybierają c  podobn ie, jak  VU JAN OVIC  [7] paraboliczn y  rozkł ad  tem peratury gdzie  I =  b—d,  podstawiają c  (4.9)  do  (4.8)  i  uwzglę dniają c,  że  ó |, = 0  =   0, otrzymuje  się b 2   6\ b]  7A\ b]  ' VU JAN OVIC  [7]  otrzym ał   n atom iast  nastę pują cą   zależ ność  dla  okreś lenia  gł ę bokoś ci wnikania  ciepł a  6  (t): 4 W  drugiej  fazie  wnikania  ciepł a  równ an ie  bilan su  cieplnego  (2.12)  przyjmuje  postać (4.12)  - f AP R O K SYM AC JA  N IEU STALON EG O  POLA  TEM PERATU RY  261 Przyjmują c  rozkł ad  tem peratury i  wyznaczają c  u(t)  z  równ an ia  (4.12)  przy  warun ku  począ tkowym  u(t)\ ,=  tl   =   0  p o  po- nownym  podstawien iu  do  (4.13)  otrzymuje  się 0  < r  ̂ b, t> ti. C zas  t l t   p o  którym  rozpoczyn a się   druga  faza  wn ikan ia  ciepł a  wyznacza  się   z  (4.10) po  podstawieniu  d  =   b.  W  dan ym  przypadku (4.15)  tt  =  0 , 12 5 —. Rozwią zanie  VU JAN OVICA  m a postać (4.16)  r  =   ^ [ - g - + ( ~ ) - 0 , 1 3 7 ],  O^ r^ b,  t> 0,137- ^-. Rozwią zanie  dokł adn e  [18] dla wię kszych  wartoś ci  czasu  okreś lone jest wyraż eniem (4.14), a  wię c  pokrywa  się   z  rozwią zaniem  przybliż onym  otrzymanym ,za  pomocą   metody  bi- lansu  cieplnego. P orówn an ie  rozwią zań  przybliż onych  ze  ś cisł ym  [20]  również  wskazuje,  że  bardziej dokł adn e  jest  rozwią zanie  otrzym an e  za  pom ocą   metody  bilansu  cieplnego,  tak  wię c i  w  przypadku  m etody  VU JAN OWI C A  [7], należy  zastosować  zmodyfikowany  profil  tem- peratury  w  ciał ach  walcowych  i  kulistych,  aby  otrzym ać dobrą   dokł adnoś ć. Wydaje  się ,  że  kształ t paraboli  drugiego  stopn ia  i  krzywej  przedstawiają cej  dokł adny rozkł ad  tem peratury  w  przypadku  ciał   kulistych  i  cylindrycznych  znacznie  się   róż nią, w  zwią zku  z  czym  niezależ nie  od  zastosowanej  m etody  należy  zmodyfikować  przybliż ony rozkł ad tem peratury. 5.  Wnioski, Z apropon owan y  sposób  kon strukcji  funkcji  przybliż ają cej  jednowymiarowe,  nieusta- lon e  pole  tem peratury  uwzglę dnia  kształ t  rozważ anego  ciał a. Wykazan o  również,  że  aproksym acja  dokł adn ego  pola  tem peratury  wielomianem drugiego  stopn ia w  przypadku  ciał   walcowych  i kulistych  prowadzi  do znacznych bł ę dów. W  porówn an iu  z  m etodą   wyboru  rozwią zania  przybliż onego  przedstawioną   przez LAR- D N ERA i P OH LE 'A [13] sposób prezen towan y w niniejszej  pracy zapewnia wię kszą   dokł adność obliczeń  w  drugiej  fazie  wn ikan ia  ciepł a  i jest  ł atwy w zastosowaniu,  szczególnie  przy nie- jedn orodn ych  warun kach  brzegowych. 10  M cci).  Teoretyczn a  i  Stosowan a  2/ 78 262  J.  TALER Literatura  cytowana w tekś cie 1.  A. D .  K E R R ,  An  extension  of  the  Kantorovich  method,  Q u art .  Appl.  M at h .,  2, 26  (1968) 219—229. 2.  B.  KRAJEWSKI,  Ein  direktes  Variationsverfahren  zur  Behandlung  der  W dnneiibertragungsprobleme  fiir erzwungene Konvektion, I n t . J.  H eat  M ass Transfer, 16  (1973)  469—483. 3.  B.  KR AJE WSKI ,  Modyfikacja  metody  Kantorowicza,  Archiwum Term odyn am iki  i  Spalan ia, 4,  7  (1976) 545—556. 4.  T . R.  G OOD M AN ,  Application  of  integral  methods  to  transient  non- linear  heat  transfer,  Advances  in H eat  Transfer, 1, N ew York  1964. 5.  M . A.  BI O T ,  Variational principles  in  heat  transfer,  Oxford  1970. 6.  B.  VU JAN OVIC,  An  approach  to  linear  and nonlinear heat  transfer problems  using  a  L agrangian,  AIAA Journ al,  1,  9  (1971)  131—134. 7.  B.  VU JAN OVIC,  On  one  variational principle  for  irreversible phenomena,  Acta  M echan ica,  3—4,  19, (1974)  259—275. 8.  J.  TALER,  Zastosowanie  zasady  Gaussa do przybliż onego  rozwią zywania  równań  róż niczkowych  przewo- dzenia ciepł a, R ozpr.  I n ż ., 2, 25  (1977) 349—368. 9.  I O .  fl.  C OK OJI OB, O  Msmode  ocpedneniM  tfiynmfuoHaAuibix nonpaeoic,  YKpaHHCKiM   MaTeiwaTiraecKHH JKypnaJi,  i ,  9  (1957)  82—99. 10.  I O .  C .  IlocTOJiŁHHK,  Haipes  ą muHÓpa  lasiyueHueM,  IIpH KJiafliiaH   M e xa in iu a ,  6,  1  (1965)  14—20. 11.  A. H .  3O H O T AP E B, I O . C .  nocTojibH H K3  B. M .  FyBAj  Pacnem  mcMnepamypu  u  uanpmiceuuu  o ifu- juutdpe  npu  nopcMemioM  mcn/ ioeoM  nomoiiKH # KH X;,  Pacuemu  mcnnoaozo  peoicuMa  meepdux  men,  JleH H urpafl  1968. P  e 3 io  M e An n P OKC H M AlTH fl  H E yC TAH OBH BI U E rOC fl  T E M I I E P AT YP H O rO  I lOJI fl B  E tH JI H H flP H ^E C KH X  H   CEPH*IECKHX  TEJI AX B  pa6oTe  npefljio>iKeH H oro  HeycTaHOBHBiuerocH   p ac n p e# ejien i«i  Teiw- n epaTypw  B minjm# pir no npefljiaraeM bift  M eioa  6ojiee  To^eH j lieM  MeTOfl JIapflH epa  H  I lo jia  [13]) oco6eHHO fljiH  6ojibuiHX  3HaMeHHfi  BpeM eint.  J^0Ka3aH 0j  U TO B  c n yi a e Ten  BapaaqHOHHWH   M M O R  ByaH OBH ^a  [ 7] 3 KBK  H   flpyrne  MeTOflbi,  Tpe6yeT pacrrpe# ejieH H Jł AP R O K SYM AC JA  N IEU STALON EG O  POLA  TEM PERATU RY  263 S u m  m a r y APPROXIM ATION   OF  TH E  TRAN SIEN T  TEM PERATU RE  F IELD   IN  CYLIN D RICAL  AN D SPH ERICAL BOD IES The paper presents a method for the choice of the approximate temperature distribution in the bodies of  cylindrical  and  spherical  geometry.  The  method is appropriate for solving  any  problem  governed by diffusion  —•  type  equation with  the aid  of the methods using  the concept of thermal  boundary  layer.  Par- ticular  cases  considered  in this  paper  include  the  transient temperature distributions  in a hollow  cylinder in the case  of heat being transferred  at a constant rate to the inner wall surface, while the outer wall  surface is  insulated  against  heat losses. It is found  that, for problems  involving  polar  or spherical  symmetry,  Lar- dner's and Pohle's methods are inappropriate because  the solution does  not tend to the proper form of the steady  —  state  solution in the  limit for large  time  (in  the second  phase  of heat  penetration). It is shown that  Vujanovic's  variational  method  [7] cannot be  improved  to  produce better  results  with  parabolic tem- perature  distribution  in a  cylindrical  body. I N STYTU T  APARATU RY  P R Z E M YSŁ O WE J I  EN ERG ETYKI P O LI T E C H N I K I  KRAKOWSKIEJ Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  17 paź dziernika  1977  r.