Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z2.pdf M E C H AN I KA TEOREFYCZNA I S TOS OWANA 2, 16 (1978) O  P EWN YM   Z AM KN IĘ TYM   ROZ WIĄ Z AN IU   P R OBLE M U   P R OP AG AC JI  PŁASKIEJ  F ALI U D E R Z E N I OWE J  W  N I E JE D N OR OD N YM  PLASTYCZN YM   OŚ ROD KU   POLITROPOWYM Z  LI N I OWOSP R Ę Ż YSTYM   OD C IĄ Ż EN IEM EDWARD   W Ł O D A R C Z Y K  (WARSZAWA) 1. Wstę p P roblem  propagacji  fal  uderzeniowych  w  niejednorodnych,  politropowych  oś rodkach plastycznych jest  cią gle  aktualn y  i  otwarty.  Był  on ju ż  rozpatrywany  przez wielu autorów. I  tak,  w  m on ografii  [1] przedstawion e jest  rozwią zanie  problem u propagacji  pł askich, cy- lindrycznych  i  kulistych  fal  uderzeniowych  w  suchym,  niejednorodnym  gruncie, modelo- wanym  gazem  plastycznym  [2].  Z astosowan o  tutaj  skokową   aproksymację   niejednorod- noś ci  oś rodka,  przy  zach owan iu  stał ej jego  gę stoś ci  za  frontem  fali  (gaz  plastyczny).  Za- gadnienie  propagacji  pł askiej  fali  uderzeniowej  w  oś rodku  trójskł adnikowym  ze  stał ą   gę - stoś cią   w  strefie  obcią ż enia  wraz  z  odbiciem  od  nieruchomej  przegrody  rozpatrzon o w  pracy  [3].  W  kolejnych  publikacjach  [4—6]  p o d a n o  efektywną   m etodę   konstrukcji zam knię tych rozwią zań  propagacji  fal  sprę ż ysto- plastycznych  typu uderzeniowego  w okreś- lonej  klasie  oś rodków  n iejedn orodn ych, których  ruch  opisuje  się   równaniem Eulera- D ar- boux  [7]. W  pracach  [8, 9] rozwią zano  problem  rozprzestrzen ian ia  się   pł askich fal  naprę - ż enia  w  n iejedn orodn ym  oś rodku  trójskł adnikowym .  D o  analizy  problem u  wykorzystano m odel  oś rodka  podan y  przez  LACH OWA  [10] i  RACH M ATU LIN A  [11]. W  modelu  tym  zał o- ż on o,  że  współ czynniki  obję toś ciowej  zawartoś ci  poszczególnych  skł adników  (powietrza, wody  i  czą stek  m in eraln ych)  są   liniowymi  funkcjami  współ rzę dnej  przestrzennej  x  (gł ę - bokoś ci).  P oza tym przyję to,  że wypadkowa  gę stość  oś rodka  i m oduł   odcią ż enia  zmieniają się   wedł ug  tego  sam ego  przepisu  funkcyjnego.  P rzy  takich  uproszczeniach  n atury  fizycz- nej  uzyskan o  analityczn e  rozwią zanie  dość  zł oż onego problem u, przy  czym  w  [8] rozwią - zanie  skon struowan o  m etodą   odwrotn ą ,  n atom iast  w  [9] —  metodą   bezpoś rednią   z  wy- korzystan iem  kon kretn ego  warun ku  brzegowego.  Z astosowan o  tutaj  m etodę   rozwinię cia poszczególnych  segmentów  fron tu  fali  uderzeniowej  w  szeregi  Taylora  [12- 16], przy  czym współ czynniki  rozwinię cia  obliczon o  z  równ ań  ruch u  i  warun ków  granicznych.  Stosują c analogiczną   techn ikę   kon strukcji  rozwią zania  w  pracy  [17]  rozpatrzon o problem  odbicia się   niestacjonarnej  pł askiej  fali  uderzeniowej  od  ruchom ej  masywnej  przegrody,  umiesz- czonej  w  trójskł adn ikowym ,  n iejedn orodn ym  oś rodku  LACH OWA  [10]. Odnoś nie niejedno- rodn oś ci  oś rodka  przyję to  analogicznie  ograniczenia, ja k  w  pracach  [8, 9]. Okazuje  się ,  że  m oż na  skon struować  zam kn ię te  rozwią zanie  problem u  propagacji niestacjonarnej  fali  uderzeniowej  w  oś rodku  niejednorodnym  dla  znacznie  szerszej  klasy niejednorodnoś ci,  niż  ro zpat rzo n o  w  pracach  [8,  9,  17].  P roblem em  tym  zajmiemy  się w  niniejszej  publikacji. 236 E .  WŁ O D AR C Z YK U kł ad  pracy  jest  nastę pują cy.  W  rozdziale  drugim  formuł ujemy  problem ,  a  w trzecim konstruujemy  ogólne  jego  rozwią zanie  n a  froncie  i  za  fron tem  fali,  w  tym  i  n a  brzegu pół przestrzeni.  R ozpatrzon o  modele  ciał   gazowych,  pł ynnych  i  stał ych.  W  rozdziale czwartym  przeanalizowano  dość  dokł adn ie  m odel  oś rodka  trójskł adn ikowego. 2.  Sform uł owanie problem u Rozpatrzmy  ruch  pół przestrzeni  wypeł nionej  n iejedn orodn ym  oś rodkiem  politropo- wym  ze  stał ym  lub  sł abozmiennym  oporem  falowym  [Q O (X)  a(x) «  con st  lub  d  [Q O (X) a(x)l  x  0] i  liniowosprę ż ystym  odcią ż eniem  (rys.  1). Z ał oż ymy,  że  od  powierzchn i pół - przestrzeni  propaguje  się  w gł ą b  oś rodka,  ze zmienną   prę dkoś cią   D(t), pł aska fala  uderze- niowa.  P oza  tym przyjmiemy,  że  D(t)  jest  znaną   funkcją   czasu.  Wówczas  rozwią zanie problemu  n a froncie  i za frontem  fali  uderzeniowej,  w tym i  warun ek  brzegowy, są   jedn o- znacznie  zdeterminowane  przez  postać  funkcji  D{t). Rys.  1 N a  froncie  fali  uderzeniowej,  zgodnie  z  prawam i  zachowan ia  masy  i  im pulsu,  mamy (2.1)  Qo(x)D(t)  =  Qoi(x)[D(t)- v ol (x)l (2.2)   Qo (x)D(t)v ol (x)  =  p ol (x)  - p o (x). P oza  tym, z  politropowoś ci  oś rodka  wynika,  że (2.3) Poi(x)  = lub  Qoi(x)  = gdzie  indeksem  „ O"  oznaczyliś my  param etry  stan u  oś rodka  n iezaburzon ego  przed  fron- tem  fali,  n atom iast  indeksem  „ 0 1 " —  param etry  stan u  n a froncie  fali  uderzeniowej. Cią gł ym  ruchem  oś rodka  za  frontem  fali  uderzeniowej,  zgodn ie  z  przyję tymi  zał oż e- niami,  rzą dzą   nastę pują ce  równ an ia: 1 (2. 4) (2.5) (2.6) Q O (X) ' "  ~    otrzymu- jemy (3.2)  S gdzie (3.3)   l ( 0  - Równanie  (3.2)  w  ogólnym  przypadku  jest  równaniem  przestę pnym.  Jego  postać  za- leży  od  rodzaju  funkcji  !F [z(/ )].  N a przykł ad  dla  gazu  politropowego mamy (3.4)  Ą[*(*)]  =  z l / y ( 0 i  równanie  (3.2)  przyjmuje  wówczas  prostą   postać (3.5)  a ( 0 2 - 1 / v ( 0 =   - z ( f ) + a (0 +  l. 238 E.  WŁ O D AR C Z YK Łatwo  wykazać  (patrz rys.  2), że  równ an ie  (3.5) może posiadać  trzy pierwiastki  rzeczy- wiste.  Jeden z  nich, niezależ nie  od  wartoś ci  prę dkoś ci  propagacji  fron tu  fali  uderzeniowej D(t),  m a  stał ą   wartość  i  wynosi  z x (t)  s  1.  Jest  to  rozwią zanie  trywialne,  odpowiadają ce falom  akustycznym.  D rugi pierwiastek  jest  mniejszy  od jedn oś ci  i  nie m a sensu  fizycznego (rozrzedzeniowe  fale  uderzeniowe  w  n orm aln ym  gazie  politropowym  nie  wystę pują ). Wreszcie  trzeci  pierwiastek,  wię kszy  od jedn oś ci, jest  poszukiwan ym  jedn ozn aczn ym  roz- fit) !  !  ! 'k) f2(z)"- Z(t)w(t) + 1 Rys.  2 wią zaniem  dla  fali  uderzeniowej.  P rzy  dowolnych  wartoś ciach  wykł adn ika  politropy  y okreś lamy  go  n a  ogół  w  sposób  numeryczny.  W  szczególnych  przypadkach  otrzymujemy zamknię te  rozwią zanie  równ an ia  (3.5). I  tak  n a przykł ad: (3.6) (3.7) (3.8) gdzie z{t) z(t) z{t) =   a( 0  dla y  = 2 1  (gaz  izoterm iczny ; 4a( 0 +  l]  dla  y = yql  + y  ~tfi- vViH [18]), 2  oraz - q\  dla  y  =   3, 2 ( 2 + 3 a ) 3  (2+ 3< x)(3a2 4~  r — 27 8 a 2 - 3 a -l • 4 Z  kolei  dla  oś rodka  politropowego  opisanego  równ an iem  Taity  (pł yny  [19]  i  ciał a stał e  [20]) mamy (3.9) eo(x * ) l 4>(*) ) I  po(x) ] J - i O PROPAGACJI PŁASKIEJ FALI UDERZENIOWEJ 239 D alej  z  wzorów  (2.1)- (2.3) p o  wykorzystaniu  (3.9)  otrzymujemy (3.10)  J > "+ 1 ( 0 gdzie obecnie (3.11) Cn(f) = c 0 ( t ) \ ' 2 , A  nA0[(p(ł )] R ówn an ie  (3.10)  posiada  również  trzy  dodatn ie pierwiastki  rzeczywiste  (patrz rys.  3). Warun ki badan ego problem u speł nia tylko pierwiastek  z(ł )  >  1. P odobnie jak  w przypadku gazu  politropowego, pierwiastki  równ an ia  (3.10) okreś lamy  n a ogół  numerycznie.  D la nie- Rys.  3 których  szczególnych  wartoś ci  wykł adnika  n  otrzymujemy  rozwią zania  zamknię te.  Mają one postać (3.12)  y(t)  = / ?(/ )  dla  n  =   1, (3.13) (3.14) dla oraz / 2 Y 3 1 _ 27 P rę dkość  ruchu  oś rodka  n a  froncie  fali  uderzeniowej  v 01   okreś lamy  ze  wzorów: (3.15)   VQl[(p(t)]  =   Ś VL [z(t) - H 240  E.  WŁ O D AR C Z YK lub (3.15') Przejdziemy  obecnie do  rozwią zania  problem u  za  frontem  fali  uderzeniowej.  Wykorzy- stują c  zwią zki  n a  charakterystykach  (2.11)  (rys.  4),  p o  przekształ cen iach  otrzymujemy (3.16)  , ( *.< >  -   j (3.17) gdzie 0 (3.18) 2  9 ( j ) 0  " ^ ' 2 Rozwią zanie  n a  brzegu  poł przestrzeni  otrzymujemy  kł adą c  we  wzorach  (3.16)- (3.18) x  =   0.  Tym  samym  problem  został   rozwią zany. 4.  P ropagacja  fali  uderzeniowej  w  niejednorodnym  oś rodku  trójskł adn ikowym R ozpatrzym y  propagację   fali  uderzeniowej  w  trójskł adn ikowym  oś rodku  LACH OWA [10]  o nastę pują cym  równ an iu  st an u : gdzie  p jest  wypadkową   gę stoś cią   oś rodka  przy  ciś nieniu p,  n atom iast  Qo(x) ozn acza  wy- padkową   gę stość  przy  ciś nieniu  atomosferycznym  p 0 .  P oza  tym  g 1 }  Q2,  $3  są   gę stoś ciami wł aś ciwymi,  c l s  c 2 ,  c 3  —  prę dkoś ciami  propagacji  dź wię ku,  y l 9  y 2 ,  73 —  wykł adnikam i politrop,  a t ,  a2,  a 3  —  współ czynnikami  obję toś ciowych  zawartoś ci  dla  poszczególnych skł adn ików:  powietrza,  wody  i  kwarcu. Z godnie  z  zał oż eniami modelu  Lachowa  mamy (4.2)  Q O (X)  = (4.3)  ai O  PROPAG ACJI PŁ ASKIEJ  FALI  UDERZENIOWEJ  241 D o d at ko wo  przyjmiemy,  że  a t (x),  a 2 (x)  i  a 3( x)  są  liniowymi  funkcjami  zmiennej  x: «i(x)  =   a oi (l+bix);  b x   <  0;  \ b x x\   <  I, (4.4)  u 2 (x)  =  a o2 (l+b 2 x);  b 2   >  0;  0  <  oc^ x)  <  a 2 (x)  <  1, W  takim  przypadku  gę stość  począ tkowa  c> 0 (x) również  w  sposób  liniowy  zależ y  od gł ę bokoś ci  x  i  m a  po st ać (4.5)   Qo (x)  =   eo mi+kxy !   k>0, gdzie Q 0 (0)  = (4.6)  fc  =   • —v̂ r P oza  tym  zał oż ymy,  że  m o du ł   liniowego  obcią ż enia  E(x)  wynosi (4.7)  E(x)  =  E(0)(l+kx), n atom iast  front  fali  uderzen iowej  jest  linią  prostą  o  postaci (4.8)  x  =   o i ( O )  ( 1 -   Xx);  Z > 0 , Rys.  4 gdzie (4.14)   Poi (O)  = (Q)Di\ i- Ź -̂Yi[piTpo]Y'n\ ' Wartość  współ czynnika  X  wynika  z  liniowej  aproksym acji  funkcji  p ol (x)  (patrz  rys.  5). P rę dkość  na  froncie  fali  m oż na  teraz  wyrazić  wzorem (4.15)  v ol (x)  - Wprowadzają c  wyraż enia  (4.8),  (4.9)  i  (4.13)  do  wzorów  (3.16)  i  (3.17)  otrzym am y oraz (4.17)  ,(,- ,  0  - Poi (0) Kł adą c  w  wyraż eniach  (4.16)  i  (4.17)  x  =   0,  otrzym am y  odpowiedn io  ciś nienie  dzia- ł ają ce  n a  powierzchnię   pół przestrzeni  (warunek  brzegowy)  generują ce  prostolin iową   falę uderzeniową   x  =  D o t  oraz  prę dkość  przem ieszczania  się   tej  powierzch n i: (4.18) oraz (4.19) O! + / > 2 «+ / > 3( 0. gdzie X  al  ,{.,X\   a o {al- Dl) Pi =Poi(P)\   - J l ) 2-   +  H  +   T 1 1D\   \   ka o D o t  +  a o - D o *i  ~i 1 ka o D o t+a o „ - ~  \ / A 6 Y- ]/ Q  •   2 Q P+Ql  As A 6 A 7 S[P- (A 6 - 1)]- PY(2A 6 S- A 7 ) ^ | 244  E .  WLOD AR C Z YK. .  Y+A 6 S I  I  PY  .  _/ A 7 Y\ \   A 3 J2X+A 7 j  _ /  A 7 Q + |  ( ^ 6 l ) i ?  +  ( £ 6 +  l) f  |  A7V[(A6- 1)X- Q]- XQ(2V+A6A7 A 6 R]/ A 7 P  X(XQ+A 7 V)\ / A 6 A 7 Q PV(2X- A 7 )- A 7 X[A 6 P- (A 6 - 1)V]  ,  A 6 X+V  /   / ~XQ - j-   '7—1"'  - ', I aFC I g  I /   —- —~r X(A 6 A 7 X+PV)\ / A 7 P  X\ / A 6 XV\   V  A 7 V - a r c t gy  6 p ^ P=  (A 6 - l)t+A 7 , Q=(A 6 - l)t+A 6 A 7 , R  = (Ar, At =  A 6 K i  *  A 7 l  Ac t+(A 6   + l)j al~D 2 ) 2kD 2   ' - D,  A 6 As i l +   A 4 ' A l ~  k 2 D 2 ' 2 A n = ka 0 W  celu  zbadan ia  efektywnoś ci  i dokł adn oś ci przedstawion ej  w niniejszej  pracy  m etody, porówn an o  wyniki  liczbowe  uzyskane  za pom ocą  obydwóch  wzorów,  tj.  (4.18)  i  (4.20). Okazuje  się, że wyniki  te z  dość  dużą  dokł adnoś cią  pokrywają  się  (wystę pują  róż nice n a czwartym  miejscu  p o przecin ku) i n a wykresach  są n ierozróż n ialne  (patrz rys.  6). Z e  wzoru (4.18)  i z liczbowych  wyników  uzyskanych  za pom ocą  wzoru  (4.20)  wynika,  że  przyję tym zał oż eniom  odnoś nie  niejednorodnoś ci  oś rodka  prę dkoś ci  propagacji  fali  uderzeniowej odpowiada  liniowa  zm ian a  ciś nienia  n a  powierzchn i  pół przestrzeni  (rys. 6).  Wniosek ten  m a kapitaln e  znaczenie  praktyczn e.  D aje  bowiem  praktyczn e  wskazówki jak  należy postę pować  w problem ach  oddział ywania fal n aprę ż en ia n a  obiekty  fortyfikacyjne,  umiesz- czone  w  n iejedn orodn ych  grun tach  wieloskł adnikowych. O  PROPAG ACJI PŁASKIEJ  FALI  UDERZENIOWEJ 245 L it erat u ra  cytowana w tekś cie 1.  X .  A.  PAXMATyjiHH,  A.  H .  C ATOM OH H H ,  H .  A.  AJI E K C E E B,  Bonpocu  ÓUHOMUKU zpyumoe,  M ocKsa 1964. 2.  X . A. PAXMATyjiHHj J I . H .  C T E I I AH O BA,  O pacupocmpanenuu  ydapuou  eojmu. 83puea e epyumax,  C 6op- H H K  ciaTeii  n o B3pbiBy,  H 3 # . A H   C C C P 3 1957. 3 .  F . M .  JI flXOB,  P . A .  OcAfliE H K Oj  H . H .  IToJIH KOBA,  T IjlOCKUe BOMM  8  HeoOHOpodHblX  nAaClllU'ieCKUX cpedax  u ux e3auModeiicmeue  c  npeepadaMU, I 1 M T O ,  4 (1969). 4.  E . WŁ O D AR C Z YK ,  Propagation  of  elastic- plastic  and  shock  waves  in a bar of finite  length  and  monotone decreasing  cross- sectional  area,  P r o c .  Vibr.  P r o bl. ,  7, 2 (1966). 5.  E . WŁ O D AR C Z YK ,  On a certain  class  of closed- form  solutions  of the  propagation  problem  of  a  plane  elas- tic- plastic  stress  wave in a nonhomogeneous  medium,  P r o c .  Vibr.  P r o bl. , 7, 3  (1966). 6.  E .  WŁ O D AR C Z YK ,  O pewnej  klasie  zamknię tych  rozwią zań  problemu  propagacji  kulistej  i  cylindrycznej fali  obcią ż enia  w  niejednorodnym  oś rodku  sprę ż ysto- plastycznym,  Biul.  WAT,  15,  7  (1966). 7.  H .  C .  K O I H JWK O BJ  3 .  B.  T J I H H E P ,  M .  M .  C M H P H O B,  Ocnomue  dn$(f>epeHą uaMHbieypamenun  MatneMO- munecKoU (/ )U3UKU, M ocKBa 1962. 8.  E . WŁ O D AR C Z YK ,  L U C  D U   K H U O N G ,  Propagation  of  a plane  shock  wave in nonhomogeneous  water  satu- rated  soil, J . T ec h n .  P h ys. ,  17, 4  (1976). 9.  E . WŁ O D AR C Z YK ,  L U C  D U   K H U O N G ,  Plane  shock  wave  in a nonhomogeneous  multicomponent  medium, J .  T ec h n .  P h ys.,  18, 2  (1977). 10.  I \  M .  JI H XO BJ  ydapHbie  eomu  e  MHOiOKOMnoHmnmbix  cpedax,  Visp,.  AH  C C C P ,  O T H ,  M examiKa u  M auiH H ocipoeH H e,  1  ( 1958) . 11.  F . M .  PAXMATyjiHH, O  pactipocmpanemiu  som  e  MHOzoKOMnoHewnHbix  cpedax,  P I M M ,  3 3 5 4 (1969). 12.  F .  C H WAL C Z YK ,  E .  WŁ O D AR C Z YK ,  A  method  of  solving  the  problem  of  propagation  of  a  nonstationary plane  shock  wave  in an inelastic  medium,  P r o c .  Vibr.  P r o bl. ,  12,  3 (1971). 246  E .  WŁ O D AR C Z YK 13.  E .  WŁ O D AR C Z YK , A closed- form  solution  of the propagation  problem  of  plane  shock  wave in a  polytropic plastic  body  with elastic  unloading properties,  P r o c .  Vibr,  P r o bl. ,  12, 4  (1971). 14.  E .  WŁ O D AR C Z YK ,  On  the  loading process  behind  the  fronts  of reflected  and refracted  shock  waves  in  plas- tic  layered  media,  P r o c .  Vibr.  P ro bl.,  12, 4  (1971). 15.  E .  WŁ O D AR C Z YK . A closed- form  solution of  the  propagation  problem  of  an  unloading  shock  wave in a bili- near  elastic  body,  P r o c .  Vibr.  P ro bl.,  13, 3  (1972). 16.  E .  WŁ O D AR C Z YK ,  Propagation  of  a plane  loading  shock  wave  in a bilinear  elastic  bar,  P r o c .  Vibr.  P r o bl. 13,  4 (1972). 17.  E .  WŁ O D AR C Z YK ,  L U C  D U   K H U O N G ,  Reflection  of plane  shock  wave from  a moving  solid partition  placed in  nonhomogenepus  three- component  medium,  J.  T ech n .  P h ys.  (w  d r u ku ) . 18.  E . J l.  Po>Kfl,ECTBEHCKHH,  H . H .  .H H E H KO,  Cucmejuu  Keamjitmeunux  ypaeneuuii  u  ux  npu/ iODicemisi K  zaioeou  dtmaMUKe,  M o c r a a  1968. 19.  R . H .  C O L E ,  Underwater  explosions,  P rin c et o n  U n iversity  P ress,  P r in c et o n ,  N ew Jersey 1948. 20.  B .  n .  ^ I E J M J I E B ,  B.  H .  I I I E XT E P ,  J I . A.  I I I VT K O ,  O6  u3Memmiu  dasjienun  na  noaepxHocmu  npetpaóu npu  KoumaKtimoM  63puee  3apnba  BB,  Oiran tca  B3pbiBa, 6, 2  ( 1970) . P  e  3  io  M e O  H EKOTOP OM   3AM K H YT 0M   P EIU EH H H   3AflA^IH   O  P AC ITP OC TP AH EH H H njiocKofi  yflAPHofł   BOJIH BI  B HEOflHOPOflHoń  n ojiH TP on H ofi  C P E JI E c  jiH H EKH o- ynpyroH   PA3rpy3iiM   M 6TOH OM .  ITojiyvceHU   3aMKHyrbie $ o p - napaiueTpoB  COCTOHHHH   HccneflyeMoft  cpeflw  Ha (j)poirre  H   3a  ebpoHTOM   BOJI H BI .  PaccMOTpeH ti KoiiKpeTHLix  nojiH TponH wx  cpefl.  ITocTpoeHHoe  p e m e in ie ,  i