Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  16  (1978) G EN EROWAN IE  R E Z ON AN SÓW  P OBOC Z N YC H   P R Z E Z  I M P U LSY  SI Ł  W  N IELIN IOWYCH U KŁAD ACH   D RG AJĄ CYCH* JÓZEF   B A J K O W S K I  (WARSZAWA) 1.  Wprowadzenie Jak  wiadom o,  w  liniowych  dysypacyjnych  ukł adach drgają cych  rozwią zania  ustalone są  jedn ozn aczn ie okreś lone przez param etry ukł adu  i harm oniczne wymuszenie zewnę trzne. U stalon a  odpowiedź  u kł ad u jest  odpowiedzią   harm oniczn ą   o  czę stoś ci  sił y  wymuszają cej, gdyż  inne  skł adowe  odpowiadają ce  drgan iom  swobodnym  są   wytł umiane  z  upł ywem czasu.  > I stotn ą   cechą   nieliniowych  ukł adów  drgają cych  wzbudzanych  sił ami harmonicznymi jest  moż liwość  istn ien ia  kilku  statecznych rozwią zań  ustalonych —  zależ nie  od  warunków począ tkowych.  U stalon a  odpowiedź  ukł adu  moż e-   zatem  zawierać  oprócz  skł adowej o  czę stoś ci  sił y  wymuszają cej  in n e  skł adowe  harm on iczn e, o  innych  czę stoś ciach  i  zna- cznie wię kszych  am plitudach . Jako  przypadki  szczególne  wymienić  t u moż emy  nastę pują ce typy  odpowiedzi: —  w  odpowiedzi  ukł adu  dom inuje  skł adowa  o  czę stoś ci  wymuszenia;  odpowiedź t a wystę puje  zarówn o w  otoczen iu rezonansów gł ównych, tzn . gdy  czę stość wymuszenia jest w  pobliżu jedn ej  z  czę stoś ci  wł asnych ukł adu, jak  i  z  dala  od nich, —  w  odpowiedzi  ukł adu  dom inuje  skł adowa  o  czę stoś ci  bę dą cej  wielokrotnoś cią (ultraharm on iczn e)  lub  podwielokrotn oś cią   (subharmoniczne)  czę stoś ci  wymuszenia, —  odpowiedź  prawie- periodyczną,  w  której  oprócz  skł adowej  o  czę stoś ci  wymuszenia wystą pi  kilka  skł adowych  harm on iczn ych  o  czę stoś ciach  niewspół miernych. P eriodyczne  odpowiedzi:  subharm on iczn ą   i ultraharm on iczn ą  oraz  odpowiedź  prawie- periodyczną   okreś la  się   term in em  rezonanse poboczne.  Rezonanse  periodyczne  wystę pują zarówn o  w  ukł adach  o  jedn ym ,  ja k  i  o  wielu  stopn iach  swobody,  n atom iast  rezonanse prawie- periodyczne  mogą   wystą pić  tylko  w ukł adach o wię cej niż jednym stopniu swobody. Z adan ie  zbadan ia  warun ków,  dla  których  ukł ad  nieliniowy  realizuje  tę   lub  inną   od- powiedź  ustalon ą ,  rozwinę ły  się   w  ostatn ich latach  w  osobną   gał ą ź teorii  drgań,  przybie- rają c  n azwę   obszarów przycią gania  [1, 2,  3, 4].  Z n aczn e  zainteresowanie  tymi  problema- mi  wynika  zarówn o  z  naukowo- poznawczego  ch arakteru  tego  zadania, ja k  i  z  potrzeby znajom oś ci  tych  zagadnień,  w  zastosowan iach  inż ynierskich.  Wią że  się   to  z  faktem,  że w  zakresach  czę stoś ci  wymuszenia,  w  których  teoria  liniowa  przewiduje  drgania  harm o- niczne  o  m ał ych am plitudach , m ogą - przy  pewnych  warun kach  począ tkowych,  bą dź  przy- • ' Praca wyróż niona II nagrodą   na konkursie zorganizowanym przez Oddział  Łódzki PTMTS w ro- ku  1977.  ' 8  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3/78 390  J.  BAJKOWSJCI padkowych  impulsach  sił , bą dź  skokowych  zmianach  sztywnoś ci,  mas  czy  amplitud  wy- muszenia,  pojawić  się   drgania  o  innych  czę stoś ciach  i  znacznych  amplitudach. Z adan ie wyznaczania  obszarów  przycią gania  polega  na  wyznaczeniu  obszarów  warunków  począ t- kowych,  przy  których  po  pewnym  stanie  przejś ciowym  ustala  się   drganie  odpowiadają ce danemu  typowi  rezonansu  pobocznego  lub  drganie harm on iczn e. Teoria periodycznych rezonansów pobocznych w  ukł adach o jedn ym  stopniu  swobody i  zwią zanych  z  nimi  obszarów  przycią gania  jest  stosunkowo  dobrze  znana  [3,]. Teoria rezonansów  pobocznych  w  ukł adach  o  wielu  stopniach  swobody  jest  jeszcze  sł abo  roz- winię ta,  a  zagadnienie  obszarów  przycią gania  rezonansów  prawie- periodycznych  nie był o dotychczas  rozważ ane. Zadaniem  niniejszej  pracy  jest  zbadanie, czy  impulsy  sił   przył oż one przypadkowo  do ukł adu  wymuszanego  sił ą   harmoniczną   mogą   spowodować  zmianę   odpowiedzi  ukł adu z  odpowiedzi  harmonicznej  o  mał ej  amplitudzie  (z  dala  od  gł ównego  rezonansu), do  od- powiedzi  odpowiadają cej  rezonansowi  pobocznemu  —  ze  znaczną   amplitudą   drgań. Przyję to  zał oż enie,  że efektem  impulsów  sił  przył oż onych w  chwili  t 0   są   począ tkowe  prę d- koś ci, przy  zerowych  przemieszczeni ach  począ tkowych  ukł adu.  Odpowiedzi  n a  to  pytanie szukano na drodze obliczeń teoretycznych, wykorzystują c  przybliż one  metody analityczne, oraz  za  pomocą   maszyn  analogowych  wraz  z  urzą dzeniami  pomiarowo- rejestrują cymi. Teoretyczne  rozwią zanie  zadania  dla  przypadku  rezonansu  prawie- periodycznego  (dwu- czę stoś ciowego)  okazał o się  bardzo zł oż one i wymagał o opracowania specjalnego  algorytmu numerycznego. Przy badaniu tego  zagadnienia  za  pomocą   maszyn  analogowych  udał o  się opracować  specjalny  ukł ad  pomiarowo- rejestrują cy,  pozwalają cy  n a  automatyczne  wyz- naczanie  obszarów  przycią gania  n a  pł aszczyź nie  prę dkoś ci  począ tkowych  (na  rejestra- torze  X-   Y). 2.  Ogólne  równania  ruchu  ukł adu Rozważ my  nieliniowy,  holonomiczny, dysypacyjny  ukł ad  drgają cy  o  n  stopniach  swo- body,  którego  równania  ruchu przyję to  w  postaci (2.1)  Aq+Cq+f(q)  + cp(q,  q)- Pcosvt  =  0, gdzie  A  s  [a ik ]  oznacza  macierz  bezwł adnoś ci,  kwadratowa,  symetryczna,  dodatn io okreś lona,  C  =  [c ik ]  macierz  sztywnoś ci,  kwadratowa,  symetryczna,  dodatn io  okreś loną, zaś  q  =   col[q{, q- i,  ...,  q n ]  współ rzę dne  uogólnione, / ,    0  dla  qi  nie  wszystkich  równych  zeru, 8V . . . , q „ ) ,  i  =   1 , 2 ,  . . . , « . G E N E R O WAN I E  R E Z ON AN SÓW  W  N I E LI N I OWYC H   U K Ł AD ACH   391 ,- Energia  kinetyczna  ukł adu  jest  formą  kwadratową  wzglę dem   £ 1,  . . . , $ „ ,  dodatnio okreś loną •   •   T =~qrAq. F unkcje  (q,  q)  przedstawiają ce  sił y  tł umienia  speł niają  warun ki:   0  dla  q t   nie  wszystkich  równych  zeru. Przyjmuje  się,  że  m oż na je  przedstawić  w  postaci  skoń czonych  szeregów  Taylora. Równania  (2.1)  opisują  zarówno  drgania  ukł adów,  których  modele  mechaniczne  są modelami  o  masach  skupionych,  jak  i  drgania  ukł adów  o  cią gł ym  rozkł adzie  mas, jeś li odpowiedź  przedstawimy  w  postaci  skoń czonego  szeregu: *  " u(r,  t)=  £wi(.r)q t (t), gdzie  ip(r) oznacza  liniowo  niezależ ne  funkcje  wektora  r. 3.  Badan ie  rezon an sów  pobocznych  za  pomocą  kombinowanej  metody  R itza  —  uś redniania D o  obliczeń  teoretycznych  wykorzystał em  przybliż oną  metodę  Ritza — uś redniania (R—A)  [7], M etoda  ta  pozwala  badać  zarówno  stany  ustalone, jak  i  nieustalone,  a  więc i  obszary  przycią gania.  W  pierwszym  etapie  rozpatruje  się  tu  drgania  swobodne  ukł adu zachowawczego  nieliniowego,  dla  którego  równania ruchu zapiszemy  w postaci (3.1)  e ic   &  m$i+£  c ik q k +fi(qi  q n )  =  0 ,  / =   1 , 2 , . . . , « . k= l Ogólne rozwią zanie  ukł adu  zachowawczego  (3.1) zakł adamy w pierwszym  przybliż eniu w  formie (3.2)  qt(t)  =  2 J a s b i s c o s a ) s t ,  i = l ,  2 ,  . . . , « , i  ż ą damy,  aby  nieznane  co s ,b is   w  rozwią zaniu  (3.2)  speł niały  zależ noś ci  (wykorzystana uogólniona  m etoda  R itza  lub  procedura bilansu harmonicznych) T lim  —  I  s tc (t)cosm s tdt  =   0,  i,  s  =   1, 2,  ..., n, T - tmT  - T  J gdzie  e ic (t)  pozostał oś ci  równ ań  (3.1)  po  podstawieniu  przybliż onego  rozwią zania  (3.2). Otrzymujemy  w  ten  sposób  ukł ad  nieliniowych  równ ań  algebraicznych  z niewiadomymi 8 * 392  J.  BAJKOWSKI c5 s ,bi S .  Rozwią zanie,  moż liwe  n a  ogól  tylko  n a  drodze  num erycznej,  daje'n am  szukane współ czynniki —  «sprzę ż one»  nieliniowe  czę stoś ci  i  postacie  wł asne, ja ko  funkcje  wszyst- kich  amplitud  a t ,...,a„: ć os  =   c55(ai,  ..., a„ ), b is   =  b ls (ai,  ...,a„),  i,  s  =   1 , 2 ,  . . . , « ;  b ls   =  1. W  drugim etapie metody  R—A  rozwią zania  ogólnego  u kł adu  (2.1) poszukujemy  w  p o s- taci (3.3)  q t   =   ^ a s b is co&6 s   + CiCosvt,  i =  1 , 2 , . . . , « ,  • s= l s  =   1, 2,  ..., / > , / > <  n, gdzie 0S  =   (5st+...a p ,)~0 o raz'z  dodatkowego  równ an ia: (3.6b)  $t  =   - L £  (u s +Aa> s )n s ~v  =  0 G EN EROWAN IE  REZONANSÓW  W  NIELINIOWYCH   UKŁ ADACH   393 gdzie  Acos  oznacza  poprawki  czę stoś ci  poszczególnych  harmonicznych  w  (3.3) p (3.7)   = ~ ] ?W«s. Ostatn ia  z  równ oś ci  (3.7)  wynika  z  faktu  że  rezonanse  poboczne  mogą  pojawić  się tylko  w  tyGh  przypadkach ,  dla  których  speł niona jest  relacja p 1  V  v (3.8) V = Z ' N 2J  "S C°5 5 s- l gdzie  cus  =   COJ+ Ą COJ,  a  iV  =   1, 2, 3, . . . , «5  =   0  ± 1 , ± 2 , ..., —liczby  cał kowite  odpo- wiednio  dobran e, do  form y  funkcji  nieliniowych. Ostatecznie  rozwią zanie  odpowiadają ce  rezon an som  pobocznym  bę dzie  nastę pują ce: (3.9)  qi  =  2J  «s6iscos[(cos +  Aa ) s) f+ ^ o s] +  Cjcos}»r,  /  =   1, 2,  ...,n. s= l  .  * Relacja  (3.8)  nie  precyzuje  jeszcze  typu  rezon an su,  tj.  jakie  wartoś ci  przybierają  licz- by  n s   przy  dan ym typie  nieliniowoś ci.  U dał o  się wykazać,  że wyznaczenie  wszystkich  kom- binacji  liczb  n s ,  t j.  wszystkich  typów  rezonansów  pobocznych, m oż na sprowadzić  do  sto- sun kowo  prostej  procedury,  m ian owicie:  weź my  nieliniowe  funkcje  reprezentują ce  sił y sprę ż yste  oraz  sił y tł um ien ia  wystę pują ce  w  uś redn ion ych równaniach  (3.4) i,  podstawiając rozwią zanie  (3.3),  rozwiń my  je  n a  uogóln ion y  szereg  F ouriera: (3.10)  +  J ^ l . m ,  ».  COSK0X+   ...  +m p d p +m,,vt)+ •••   +m p d p +m v vt)+pfcosvt+gl s) smvt, gdzieJjj1oznaczają  sum y  p o  wszystkich  m l 5  ..., mp  =   0,  + 1 ,  ±2,   ...  za  wyją tkiem  przy- padku,  kiedy  jed n a  z  wartoś ci  m  =   1,  a  pozostał e  są  równe  zeru. Warun kiem  kon ieczn ym  istn ien ia  niezerowych  amplitud  a s   (w  stanie  ustalonym), jest znikanie  czł onów z sin 0s  w  (3.4a).  P onieważ dla ukł adów  dysypacyjnych  gf )   '*£  0, więc  aby speł nić ten warun ek  m usim y  znaleźć taką  kombinację  współ czynników  m it   m 2 ,  ...,m p ,  m, w  wyraż en iacti*cos(m101 +   ...  +mp0p+mvvt)  lub  si n ( m x 0 1 +   ...  +mp6p+mvvt)!  aby  uzys- kać  dodatkowe  czł ony  z  sin 0a ,  tzn .  jeś li  speł nimy  warun ek: (3.11) R ówn ość (3.11) bę dzie speł n iona jeś li mię dzy v a czę stoś ciami có s  — ddjdt,  s  =  1,2,  ...,p, zajdzie  relacja  (3.7),  przy  n ± ,  n 2 ,  ...,n s   wynikają cych  z  m 1}   ..., tn p   w  rozwinię ciu  (3.10). 394  J.  BAJK O WSK I W  rezultacie  uzyskamy  dodatkowe  czł ony  z  sin0.„   a  rozwinię cie  (3.10)  m oż na  przedstawić n astę pują co: n  p J W A / i + r t  -   Pf+  X  [(/ )is)+ ^?)cos0i +  tó s)+ ^?)sineJ]+ wyż sze harmoniczne. R ówn an ia  (3.6a)  przedstawiają   się   teraz  n astę pują co: (3.12)  SS^+ SS? -   P .  s =  hX...,p. P ostę powanie  takie  pozwala  wykryć  wszystkie  kombinacje  liczb  n s   w  (3.8)  dla  danego typu  funkcji  nieliniowych,  a  wię c  wszystkie  typy  rezon an sów  poboczn ych. N ależy  zaznaczyć,  że  nie  są   to  warunki  dostateczne,  gdyż  z  istnienia  dodatkowych wyrazów  gf2 +  ft>i! i +  a>2>  oraz  rezonanse  periodyczne  subh arm on iczn e:  3ct>i  i  3ca2  [1]. Szczegół owe  obliczenia  wykonano  dla  przykł adu  liczbowego  scharakteryzowanego dan ym i:  m 01   =   0,915,  coo2  =   1,645,  y  =   0,279,  x 2  =   2,27,  (ii  =   0,02,  / uP2  =   1. C harakterystyki  amplitudowo- czę stoś ciowe  a x   =  a^ iy)  znalezione  za  pom ocą   metody Ritza —  uś redn ian ia  wedł ug  wzorów  (3.6)  dla  wymienionych  rezon an sów  poboczn ych dokazan o  n a  rys.  1.  Widzimy,  że  w  pewnych  przedział ach  czę stoś ci  v,  moż emy  zależ nie od  warunków  począ tkowych  otrzymać  trzy  róż ne  typy  odpowiedzi  ustalon ej.  N p .  przy czę stoś ci  v  =   4,65  m am y: —  odpowiedź  prawie- periodyczną   typu  v  =   2a> 1 +co 2 , —  odpowiedź  prawie- periodyczną   typu  v  =   2a) 2  + co 1 , —  odpowiedź  harmoniczną   o  czę stoś ci  sił y  wymuszają cej. P rzebiegi  czasowe  ^ I ( T )  i  q 2 (x)  charakterystyczne  dla  odpowiedzi  prawie- periodycznych pokazan e  są   n a  rys.  2. Aby  znaleźć  odpowiedź  n a  pytan ie,  które  z  trzech  moż liwych  statecznych  rozwią zań bę dzie  generowane  przez  ukł ad, musimy  wyznaczyć  obszary  przycią gania  każ dego  z n ich . 5.  Wyzn aczan ie  Obszarów  przycią gan ia  za  pomocą   m etody  R  —  A  i  procedury  n um eryczn ej Z adan ie  wyznaczania  obszarów  przycią gania  rezon an sów  pobocznych  sprowadza  się w  ogólnym  przypadku  do  scał kowania  równ ań  (3.6). W  przypadku  rezonansów  periodycznych  równ an ia  (3.6)  przybierają   p o st ać : (5.1)  - J- = 2>i( a, fl, ^= D2{a,$). Z adan ie jest  dwuparam etrowe  (a, (/>), a  obszarów  przycią gan ia  poszukujemy  n a  pł asz- czyź nie  H ayashiego,  tj.  pł aszczyź nie  tak  dobran ej,  aby  stan om  ustalon ym  odpowiadał y pun kty  osobliwe  równ ań  (5.1).  Separatrysę ,  czyli  krzywą   rozdzielają cą   obszary  o  róż nym charakterze  odpowiedzi,  znajdziemy  przez  numeryczne  scał kowanie  równ ań  (5.1)  w  ujem- nym czasie  [3], z warunkam i począ tkowymi  z najbliż szego  są siedztwa  niestatecznego pun ktu osobliwego. M etoda  t a  stosowana  był a  efektywnie  do  wyznaczania  obszarów  przycią gania  rezo- nansów  periodycznych,  gdy  zagadnienie  był o  dwuwymiarowe,  a  separatrysa  linią   pł aską . W  obecnej  pracy  podję to  próbę   wyznaczenia  obszarów  przycią gania  rezonansów prawie- periodycznych  dwuczę stoś ciowych,  a  wię c  rozwią zania  zagadn ien ia  okreś lonego trzem a  param etram i  (fli,a 2 ,<\ >).  R ówn an ia  (3.6)  są   teraz  n astę pują ce: dcii (5- 2)  • ^jrT 2>a( fli.fl», 0, D{aa<$) G E N E R O WAN I E  R E Z ON AN SÓW  W  N I E LI N I OWYC H   U KŁ AD AC H 397 ,  P onieważ  zagadn ien ie  jest  trzyparam etrowe,  zaistniał a  konieczność  uogólnienia  zna- nych  dotą d  m etod wyznaczania  obszarów  przycią gania  i  wyboru  odpowiedniej  przestrzeni trójwymiarowej,  takiej  aby  stan om  ustalon ym  odpowiadał y  pun kty  osobliwe  równań (5.2),  a  w  której  separatrysa  jest  powierzchnią .  Przestrzenią   speł niają cą   te  warunki  może być  trójwym iarowa  przestrzeń  kartezjań ska  o  współ rzę dnych (5.3)  ( «!, a2cos,a2sin). D la  wyznaczenia  separatrysy  w przypadku  rezonansów periodycznych  wystarczył o  zna- lezienie  dwóch  krzywych  cał kowych  zdą ż ają cych  z  obu  stron  do  niestatecznego  pun ktu osobliwego  przy  i  - > co. Z adan ie  kom plikuje  się   bardzo  w  przypadku  rezonansów  prawie- periodycznych.  Se- paratrysa  jest  teraz  powierzchnią   wyznaczoną   przez  nieskoń czoną   ilość  trajektorii  zdą ż a- ją cych  do  niestatecznego  p u n kt u  osobliwego  przy  t  - »  co.  M oż emy  ją   zatem  wyznaczyć tylko  w  sposób  przybliż ony.  Aby  to  uczynić, musimy  znaleźć  wiele  trajektorii  leż ą cych  n a niej, i opierają c  się  n a n ich, wyznaczyć  separatrysę .  W tym celu należy  scał kować numerycz- nie  w  ujemnym  czasie  równ an ia  (5.2), z  warun kam i  począ tkowymi  z  najbliż szego  są siedz- twa  niestatecznego  p u n kt u  osobliwego. N a  rys.  3  pokazan e  są -   obszary  przycią gania  rezonansu  prawie- periodycznego  v = =   2o>i +  có2  (obszar  zakreskowan y),  n a  pł aszczyź nie  (a2cos(j>,  a2sin) dla  ustalonej  war- toś ci  a x   =   0,20  i czę stoś ci  wymuszenia  v  =   3,83.  N ależy dodać, że dla  maleją cych  wartoś ci am plitudy  a x   obszary  przycią gania  tego  rezon an su  zmniejszają   się   i  poniż ej  a L   —  0,14 wszystkie  warun ki  począ tkowe  prowadzą   do  rozwią zania  harmonicznego  o  czę stoś ci  sił y wymuszają cej  v. Z godn ie z postawion ym  zadan iem , mają c  okreś lone  obszary  przycią gania  w przestrzeni (5.3),  przejdziemy  n astę pn ie  do  znalezienia  ich  w  przestrzeni  warunków  począ tkowych. 9  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3/78 398 J.  BAIKOWSKI D la rozważ anego ukł adu o dwóch stopn iach swobody  istnieją   cztery warunki począ tkowe  — dwa  n a  przemieszczenia: q 2 (0)  = (5.4) i  dwa  n a  prę dkoś ci: (5.5) Jeś li  w wyraż eniach  (5.4) i  (5.5) podstawim y  param etry  dla stan u ustalon ego  (lub z jego najbliż szego  są siedztwa),  to  w  czterowymiarowej  przestrzen i  warun ków  począ tkowych [# i(0)> (72(0), # i(0)» # 2(0)]  znajdziemy  obszary  przycią gania  badan ego  poboczn ego  rezo- nansu  prawie- periodycznego  2W 1   + OJ 2 . W  obecnej  pracy  postawion o  pytan ie,  czy  n a  pł aszczyź nie  [# i(0), ć / 2 (0)] są   obszary przycią gania  tego  rezonansu przy  zał oż eniu, że przemieszczenia  m as  w  chwili  począ tkowej są   równe  zeru,  t zn .: a 1 cos(l) 1 +a 2 cos(j>2 + Ci  =   0, (5.6)  _  _ a 1 Z ) 2 1 c o s ^ 1  +  fl2&22 cos.  P oza tym  dla  tego typu  rezon an su prawdziwy jest  zwią zek: (5.7)  0  =   2 1,0 0 , 5 - - 0.5 - 1 ,0 - 1,0 - 0 .5 0,5 1.0 Rys.  4 Aby  wię c  istniał y  obszary  przycią gania  n a  pł aszczyź nie  prę dkoś ci  począ tkowych  przy zerowych  przemieszczeniach  począ tkowych,  musi  być  równ ocześ n ie  z  (5.7)  speł niony  wa- run ek  (5.6). P un kty,  dla  których  speł n ion a jest  równ ość  (5.7)  przy  równocześ nie  speł nio- G E N E R O WAN I E  R E Z ON AN SÓW  W  N I E LI N I OWYC H  U KŁ AD AC H 399 n ym  warun ku  (5.6), został y  znalezione  numerycznie. N astę pnie  wyznaczono  odpowiednie obszary  przycią gania  n a  podstawie  wzorów  (5.5). Rys.  4 przedstawia  obszary  przycią gania  pobocznego  rezonansu  prawie- periodycznego v  =   2o)1 +  w2   n a  pł aszczyź nie  prę dkoś ci  począ tkowych,  przy  zerowych  przemieszczeniach m as  ukł adu  w  chwili  począ tkowej. 6.  Wyzn aczen ie  obszarów  przycią gan ia  za  pomocą   maszyn  analogowych  i  autom atycznego  ukł adu pomiarowo- rejestrują cego Wobec  pracochł on n oś ci  i  mał ej  efektywnoś ci  m etod  numerycznych  w  wyznaczaniu obszarów  przycią gan ia  n a  pł aszczyź nie  prę dkoś ci  począ tkowych  — szczególnie  dla  przy- pad ku  rezon an sów  prawie- periodycznych, jak  również  w  celu porówn an ia wyników teore- tycznych z doś wiadczalnymi, zadan ie to rozwią zano m a maszynie analogowej  M E D A 41TC, modelują c  ś cisłe  równ an ia  ruch u  (4.2). M ogą   on e  być  bad an e w  sposób  tradycyjny.  Oznacza t o  rę czne wprowadzanie  nastaw n a  wszystkie  poten cjom etry,  ś ledzenie  rozwią zania  n a  ekranie  oscyloskopu,  nanoszenie pun któw  o  współ rzę dn ych,  których  wartoś ci  odpowiadają   rozwią zaniom  rezonansowym. Obszary  przycią gania  interesują cego  n as  rezonansu  pobocznego  m oż na  znaleźć  (jeś li istnieją ),  zagę szczając  odpowiedn io  pun ktam i  pł aszczyznę   [# i(0), # 2(0)]. Opisan a  powyż ej  m etodyka  wyznaczania  obszarów  przycią gania,  aczkolwiek  jest znacznie  szybsza  od  cyfrowej,  jedn ak  także  zajmuje  dosyć  dużo  czasu.  D latego  też  dla ograniczenia  do  m in im um  czynnoś ci  m an ualn ych  w  czasie  prowadzenia  badań  i  zmniej- szenia  ich  pracoch ł on n oś ci,  opracowan y  został   specjalny  ukł ad  pomiarowo- rejestrują cy, który  autom atyczn ie wyznacza  obszary  przycią gania  n a  pł aszczyź nie  prę dkoś ci  począ tko- wych.  Czynnoś ci  m an ualn e  sprowadzają   się   t u  do  ustalenia  czę stoś ci  sił y  wymuszają cej oraz  wybran ia  górnej  i  dolnej  granicy  # i(0)  i  (/ 2(0)- Rys.  5 9* 400 J.  BAJKOWSKI Schemat  ukł adu  analogowego  do  rozwią zania  równ ań  (4.2)  oraz  ukł adu pom iarowo- rejestrują cego  pokazan o  n a  rys.  5.  D o realizacji  wymuszenia  harm on iczn ego zastosowan o generator  funkcji  / ( / )  =   cosvt,  o  stabilizowanej  am plitudzie  i  pł ynnej  zm ian ie  czę stoś ci. Z adawanie  warun ków  począ tkowych  ^ ( O )  i  q 2 (fy  realizowan e  jest  autom atyczn ie. .Wartość  £1(0)  podawan a  za  pom ocą  tego  ukł adu  okreś lona  jest  wzorem gdzie  #1(0)10 oznacza wartość  # x( 0) w  kro ku  zerowym,  Aqt  wielkość  przyrostu  # i( 0) ,  zaś i  =  0,1,  ...,k  liczbę  kroków. U kł ad  jest  t a k  zbudowan y, że jedn em u  peł nemu  cyklowi  zm ian  i+ c52 przy  warunkach począ tkowych  —  p u n kt  1  n a  rys.  7,  bą dź  harm onicznego  o  czę stoś ci  wymuszenia  przy warun kach  począ tkowych  —  pu n kt  2  n a  rys.  7. 402 J.  BAJKOWSKI Pcos^T q,(T) Rys.  8 7.  Wnioski Przedstawiony  w  niniejszej  pracy  problem  gen erowan ia  rezon an sów  poboczn ych  przez impulsy  sił  w  nieliniowych  ukł adach  drgają cych  o  wielu  stopn iach swobody,  zwią zany  jest ś ciś le z  zagadnieniem wyznaczania  obszarów  przycią gania  tychże  rezon an sów  i  został  roz- wią zany  w  dwojaki  sposób: —  wykorzystują c  teoretyczną ,  przybliż oną   m etodę   bad an ia  nieliniowych  ukł adów drgają cych  oraz  odpowiednią   technikę   numeryczną , —  przez  zamodelowanie  ś cisł ych  równ ań  ruchu  n a  m aszynie  analogowej. t  Wyniki  przedstawione  n a  rys.  4  i  7  pozwalają   stwierdzić,  że  wystę pują   obszary  przy- cią gania  pobocznego  rezon an su prawie- periodycznego  2ft> 1+ tt> 2,  przy  zał oż en iu  zerowych przemieszczeń  i przy  dan ych  odpowiednich prę dkoś ciach począ tkowych. Wyn ika  z  tego, że tego  typu  rezonans  może  być  generowany  przez  impulsy  sił . Wykorzystana  przybliż ona  tberetyczna  m etoda  R itza —  uś redn ian ia  nadaje  się   d o efektywnego  wyznaczania  obszarów  przycią gania  i  daje  wyniki  bliskie  an alogowym . Jedn ak  wyznaczone  w ten sposób  obszary  przycią gania  są   tylko  czę ś cią   obszaru  wyznaczo- nego  doś wiadczalnie.  P rócz tego  wymaga  ona pracoch ł on n ych  obliczeń i  stosowan ia  spec- jaln ych  technik  num erycznych. G EN EROWAN IE  REZONANSÓW  W NIELINIOWYCH   UKŁADACH   403 Z astosowanie  m aszyn  analogowych  do  rozwią zania  postawionego  zadan ia  okazał o się   bardzo  efektywne,  gł ównie  ze  wzglę du  n a  opracowanie  specjalnego  ukł adu pom ią so- wo- rejestrują cego,  który  autom atyczn ie  wyznacza  obszary  przycią gania  n a  pł aszczyź nie prę dkoś ci  począ tkowych.  P ozwolił o  t o  n a  wielokrotne  zmniejszenie  czasochł onnoś ci w  stosun ku  do  analogicznych  obliczeń  numerycznych. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  J.  BAJKOWSKI,  Obszary przycią gania rezonansów pobocznych  w nieliniowych  ukł adach  drgają cych,  Prace I P P T  P AN  6  (1977). 2.  J.  BAJKOWSKI, W.  SZEMPLIŃ SKA- STUPN ICKA,  Domains of attraction of  the  secondary  periodic  and combi- nation resonances in nonlinear two- degree- of- freedom system, Int. Conf. on N onlinear Oscill., Berlin  1975. 3.  C.  HAYASHT,  N onlinear oscillations  in physical systems,  McG raw- H ill.,  New York 1964. 4.  W. S.  LOU D ,  P . R.  SETH N A,  Some  explicit estimates for  domains  of  attraction,  J. of Diff.  Equat.,  2,2 (1966),  158—172. 5.  J.  M Ę D RZYCKI,  T echnika  analogowa  i  hybrydowa,  WN T,  Warszawa 1974. 6.  W.  SZEMPLIŃ SKA- STUPN ICKA,  On the phenomenon  of the  combination  resonance  in nonlinear  two- degree- of- freedom  systems, I n t .  J.  N onlinear  M ech.,  4,2  (1969),  335—359. 7.  W.  SZEMPLIŃ SKA- STUPN ICKA,  An  approximate method of  treating transients  in nonlinear,  multi- degree- of- freedom  vibrating  systems,  I n t. Conf.  Equa- diff  73,  Bruksela 1973. P  e 3  IO  M e TE H E P H P OBAH H E  CH JIOBBIM H   H M I iyjI bC AM H   I I OBO^H BI X  P E3OH AH COB B  H E JI H H E flH BI X  KOJIEEATEJIbH M X  CH CTEM AX B  pa5oTe  pacciwoTpeHo  reH epapoBamie  nepHOflEraecrarx  H  noMXH- nepnoflHqecKHx  pe30HancoB B  He- flH cctmaTH BH btx  KOJieSaTejitH bix  CHCTeiwax,  B036y>KflaeMHX  rapMomraecKHMH   cmiaMH. H c - Bon poc —  MoryT  JI H  C H JI OBLK  HMnyjibCbi,  npnjion3yfl: TeopeTHiieci